О решении системы уравнений Шази
Знайдено розв’язок системи Шазi, що складається з дев’яти нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь. Ця система є необхiдною умовою належностi до P-типу класу нелiнiйних диференцiальних рiвнянь третього порядку з шiстьма особливими точками....
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178384 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О решении системы уравнений Шази / И.П. Мартынов, А.В. Чичурин // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 1. — С. 92-98. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178384 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1783842021-02-20T01:27:29Z О решении системы уравнений Шази Мартынов, И.П. Чичурин, А.В. Знайдено розв’язок системи Шазi, що складається з дев’яти нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь. Ця система є необхiдною умовою належностi до P-типу класу нелiнiйних диференцiальних рiвнянь третього порядку з шiстьма особливими точками. We find a solution of a Chazy system consisting of nine nonlinear algebraic equations. This system gives a necessary condition for a class of nonlinear third order differential equations with six singularities to be of P-type. 2009 Article О решении системы уравнений Шази / И.П. Мартынов, А.В. Чичурин // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 1. — С. 92-98. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178384 517.925 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Знайдено розв’язок системи Шазi, що складається з дев’яти нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь.
Ця система є необхiдною умовою належностi до P-типу класу нелiнiйних диференцiальних рiвнянь третього порядку з шiстьма особливими точками. |
| format |
Article |
| author |
Мартынов, И.П. Чичурин, А.В. |
| spellingShingle |
Мартынов, И.П. Чичурин, А.В. О решении системы уравнений Шази Нелінійні коливання |
| author_facet |
Мартынов, И.П. Чичурин, А.В. |
| author_sort |
Мартынов, И.П. |
| title |
О решении системы уравнений Шази |
| title_short |
О решении системы уравнений Шази |
| title_full |
О решении системы уравнений Шази |
| title_fullStr |
О решении системы уравнений Шази |
| title_full_unstemmed |
О решении системы уравнений Шази |
| title_sort |
о решении системы уравнений шази |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178384 |
| citation_txt |
О решении системы уравнений Шази / И.П. Мартынов, А.В. Чичурин // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 1. — С. 92-98. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT martynovip orešeniisistemyuravnenijšazi AT čičurinav orešeniisistemyuravnenijšazi |
| first_indexed |
2025-07-15T16:51:20Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:51:20Z |
| _version_ |
1837732495287648256 |
| fulltext |
УДК 517.925
О РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ШАЗИ
И. П. Мартынов
Гродн. ун-т
Республика Беларусь, 230023, Гродно, ул. Ожешко, 22
е-mail: chio@tut.by
А. В. Чичурин
Брест. ун-т
Республика Беларусь, 224665, Брест, бульв. Космонавтов, 21
е-mail: chio@tut.by
We find a solution of a Chazy system consisting of nine nonlinear algebraic equations. This system gives a
necessary condition for a class of nonlinear third order differential equations with six singularities to be of
P -type.
Знайдено розв’язок системи Шазi, що складається з дев’яти нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь.
Ця система є необхiдною умовою належностi до P -типу класу нелiнiйних диференцiальних рiв-
нянь третього порядку з шiстьма особливими точками.
Введение. Исследуя на предмет принадлежности к P -типу уравнения вида
w′′′ = R(w′′, w′, w, z), (1)
где R-рациональная функция по w′′, w′, w с аналитическими коэффициентами по z, Шази
получил упрощенное уравнение
w′′′ =
PQ′′ − P ′′Q
PQ′ − P ′Q
w′w′′ − P ′Q′′ − P ′′Q′
PQ′ − P ′Q
w′3
2
, (2)
в котором P, Q — два полинома четвертой степени по w с постоянными коэффициента-
ми, а P ′, P ′′, Q′, Q′′ — производные полиномов P, Q по w [1]. В этой же работе он показал,
что уравнение (2) имеет не более шести полюсов, а также то, что уравнение P -типа ви-
да (1), которое допускает в качестве своего упрощения уравнение (2) (причем все корни
относительно переменной w уравнения PQ′ −QP ′ = 0 простые), необходимо имеет вид
w′′′ =
6∑
k=1
(w′ − a′k)(w
′′ − a′′k) + Ak(w′ − a′k)
3 + Bk(w′ − a′k)
2 + Ck(w′ − a′k)
w − ak
+
+ Dw′′ + Ew′ +
6∏
i=1
(w − ai)
6∑
k=1
Fk
w − ak
. (3)
Уравнение (3) содержит 32 функции по z : ak, Ak, Bk, Ck, Fk, k = 1, 6, D, E. Развивая ме-
тод Пенлеве [2] для уравнения (3), Шази получил систему из 31 алгебраического и диф-
ференциального уравнений, в которых в качестве неизвестных используются 32 функции
c© И. П. Мартынов, А. В. Чичурин, 2009
92 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
О РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ШАЗИ 93
— коэффициенты уравнения (3). Система девяти уравнений, которая связывает функции
Ak и ak, k = 1, 6, согласно работе [1], имеет вид
6∑
k=1
Ak = 0,
6∑
k=1
akAk = −6,
6∑
k=1
a2
kAk = −2
6∑
k=1
ak, (4)
2A2
k +
6∑
j=1
j 6=k
Ak −Aj
ak − aj
= 0, k = 1, 6. (5)
Неизвестными функциями в системе (4), (5) являются функции Ak, k = 1, 6.
Формулировка задачи. Целью данной работы является нахождение решения систе-
мы (4), (5).
Прежде всего отметим, что в работе [1] нет подробного вывода условий (4), (5). Поэ-
тому приведем здесь подробную процедуру получения условий (4), (5).
Уравнение (3) имеет шесть конечных полюсов по w. Поэтому значение z0, при кото-
ром w = ∞, не может быть полюсом уравнения (3) и, следовательно, точка z0 является
только точкой голоморфности упрощенного уравнения (2), которое можно представить
в виде
(w − a1)w′′′ =
1 +
6∑
j=2
w − a1
w − aj
w′w′′ +
A1 +
6∑
j=2
(w − a1)Aj
w − aj
w′3. (6)
Запишем разложение для простого полюса z0 функции w :
w(z) =
α
z − z0
+ β + γ(z − z0)2 + . . . ,
в котором α, β, z0 — произвольные постоянные.
Тогда
w − a1
w − aj
= 1 +
aj − a1
α
(z − z0) + . . . , j = 2, 6, (7)
(w − a1)w′′′ = − 6α2
(z − z0)5
+
6α(a1 − β)
(z − z0)4
+ . . . , (8)
w − a1
w − aj
w′3 = − α3
(z − z0)6
+
(a1 − aj)α2
(z − z0)5
+
(a1 − aj)(aj − β)α
(z − z0)4
+ . . . , j = 2, 6, (9)
w′w′′ = − 2α2
(z − z0)5
+ . . . . (10)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
94 И. П. МАРТЫНОВ, А. В. ЧИЧУРИН
Отсюда возникают коэффициентные условия (4) как резонансные условия [3] для лю-
бых значений α и β. Действительно, подставим соотношения (7) – (10) в уравнение (6) и
сравним коэффициенты при (z − z0)−6, (z − z0)−5, (z − z0)−4. Коэффициентное условие
при (z − z0)−6 есть
0 =
6∑
k=1
Ak, (11)
т. е. получаем первое условие системы (4). Коэффициентное условие при (z−z0)−5 имеет
вид
−6α2 = −12α2 +
6∑
j=2
Aj(a1 − aj)α2,
или
6 = a1
6∑
j=2
Aj −
6∑
j=2
ajAj .
Учитывая равенство (11), легко записать последнее соотношение в виде второго уравне-
ния системы (4).
Коэффициентное условие при (z − z0)−4 есть
6αa1 − 6αβ = α
2
6∑
j=2
(a1 − aj) +
6∑
j=2
(a1 − aj)ajAj
− αβ
6∑
j=2
(a1 − aj)Aj . (12)
Поскольку α и β — произвольные постоянные, коэффициенты при α и β должны быть
равными нулю. Приравнивая коэффициенты при αβ в обеих частях соотношения (12),
получаем второе уравнение системы (4). Равенство коэффициентов при α в соотношении
(12) приводит к уравнению
0 = 4a1 − 2
6∑
j=2
aj + a1
6∑
j=2
ajAj −
6∑
j=2
a2
jAj . (13)
Выразив значения сумм
∑6
j=2 Aj и
∑6
j=2 ajAj из первого и второго уравнений системы
(4) и подставив их в равенство (13), получим третье уравнение системы (4).
Теперь выведем систему (5). Для этого рассмотрим голоморфное разложение функ-
ции w в точке z0 :
w(z) = a1(z0) + α(z − z0) + β(z − z0)2 + γ(z − z0)3 + . . . , (14)
где α, γ, z0 — произвольные постоянные.
Дифференцируя (14), получаем
w′′′ = 6γ + . . . ,
w′w′′ = 2αβ + (6αγ + 4β2)(z − z0) + . . . , (15)
w′3 = α3 + 6α2β(z − z0) + . . . .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
О РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ШАЗИ 95
Подставим в уравнение (6) соотношения (14), (15) и учтем, что
w − a1
w − aj
=
α
a1 − aj
(z − z0) + . . . . (16)
В полученном уравнении сравним коэффициенты
при (z − z0)0 :
2αβ + A1α
3 = 0
или
2β = −A1α
2 для любого α; (17)
и при (z − z0)1 :
6αγ = 6αγ + 4β2 + 6α2βA1 +
6∑
j=2
2α2β + Ajα
4
a1 − aj
.
Подставляя значение β из (17) в последнее соотношение, находим
A2
1α
4 − 3α4A2
1 +
6∑
j=2
(Aj −A1)α4
a1 − aj
= 0. (18)
Уравнение (18) можно представить в виде
2A2
1 +
6∑
j=2
A1 −Aj
a1 − aj
= 0. (19)
Беря в соотношении (16) вместо a1 функцию aj , j = 2, 6, и проводя аналогичные
рассуждения для каждого из этих значений j, получаем еще пять соотношений вида (19),
т. е. систему (5).
Решение задачи. Сформулируем основной результат.
Теорема. Решение системы (4), (5) имеет вид
Ak =
−6a4
k + 4σ1a
3
k + 3(α2 − σ2)a2
k − 3β2ak + 3β3 − σ4
6a5
k − 5σ1a4
k + 4σ2a3
k − 3σ3a2
k + 2σ4ak − σ5
, k = 1, 6, (20)
где основные симметрические многочлены σk, составленные из элементов ak, k = 1, 6,
связаны с величинами α2, β2, β3 соотношениями
β2 =
(3α2 − σ2)(2α2σ1 − 3σ3)− 2σ1σ4 + 6σ5
18α2 + σ2
1 − 6σ2
,
(21)
β3 =
2σ1σ5 − (3α2 − σ2)(12α2
2 − 4σ2α2 + σ1σ3 − 4σ4)
2(18α2 + σ2
1 − 6σ2)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
96 И. П. МАРТЫНОВ, А. В. ЧИЧУРИН
а функция α2 удовлетворяет уравнению 5-й степени
1296α5
2 − 1296α4
2 + 216(2σ2
2 + σ1σ3 − σ4)α3
2 + 24(σ2
1σ4 − 2σ3
2 − 6σ2(σ1σ3 − 2σ4)−
− 9σ1σ5 + 54σ6)α2
2 + (12σ1(σ3(2σ2
2 − 3σ4) + 6σ2σ5) + σ2
1(9σ2
3 − 8σ2σ4 + 144σ6)−
− 12(4σ2
2σ4 − 9σ3σ5 + 72σ2σ6)− 4σ3
1σ5)α2 + (2σ1σ4 − 3σ2σ3 − 6σ5)×
× (σ2
1σ3 − 4σ1σ4 + 12σ5) + 4(σ2
1 − 6σ2)2σ6 = 0. (22)
Доказательство основано на методе Н. А. Лукашевича [4]. Решение системы (4), (5)
ищем, согласно работе [4], в виде
Ak =
4∑
i=0
χia
4−i
i
6∏
j=1
j 6=k
(ak − aj)
, k, j = 1, 6, (23)
где χi — неизвестные функции.
Перепишем знаменатели правых частей (23), использовав основные симметрические
многочлены σi, i = 1, 6, в виде
ϕ(ak) ≡
6∏
j=1
j 6=k
(ak − aj) = 6a5
k − 5σ1a
4
k + 4σ2a
3
k − 3σ3a
2
k + 2σ4ak − σ5, k = 1, 6.
Выберем функции χi, i = 0, 4, согласно формулам (20):
χ0 = −6, χ1 = 4σ1, χ2 = 3(α2 − σ2), χ3 = −3β2, χ4 = 3β3 − σ4,
где неизвестные функции α2, β2, β3 связаны с другими функциями α1, α3, β1 и основными
симметрическими многочленами σi, i = 1, 6, соотношениями
σ1 = −2α1, σ2 = β1 + 3α2, σ3 = −4α3 − 2β2, σ4 = 3β3 + α1β2 − β1α2,
(24)
σ5 = −2(α1β3 − β1α3), σ6 = α2β3 − β2α3.
Решая систему (24) относительно неизвестных величин β2, β3 и α2, получаем соотноше-
ния (21), (22) и
α1 = −σ1
2
, β1 = σ2 − 3α2, α3 =
σ1(4α2(σ2 − 3α2)− σ1σ3 + 4σ4)− 12σ5
4(18α2 + σ2
1 − 6σ2)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
О РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ШАЗИ 97
Подставим значения функций Ak, k = 1, 6, из соотношений (20) в левые части урав-
нений системы (4) и воспользуемся тождествами
6∑
k=1
1
ϕ(ak)
≡
6∑
k=1
ak
ϕ(ak)
≡
6∑
k=1
a2
k
ϕ(ak)
≡
6∑
k=1
a3
k
ϕ(ak)
≡
6∑
k=1
a4
k
ϕ(ak)
≡ 0,
(25)
6∑
k=1
a5
k
ϕ(ak)
≡ 1,
6∑
k=1
a6
k
ϕ(ak)
≡ σ1,
6∑
k=1
a7
k
ϕ(ak)
≡ σ2
1 − σ2
(тождества (25) доказаны в работе [4] на основе свойств определителей Вандермонда [5]).
В результате несложных преобразований получим правые части уравнений системы (4).
Таким образом, соотношения (20) удовлетворяют системе (4).
Теперь подставим значения функций Ak, k = 1, 6, из соотношений (20) – (22) в ле-
вые части уравнений системы (5). После приведения к общему знаменателю и выделения
множителей получим шесть выражений
(6a2
k + σ2 − 2akσ1)(1296α5
2 − 1296α4
2 + 216(2σ2
2 + σ1σ3 − σ4))α3
2+
+ 24(σ2
1σ4 − 2σ3
2 − 6σ2(σ1σ3 − 2σ4)− 9σ1σ5 + 54σ6)α2
2 + (12σ1(σ3(2σ2
2 − 3σ4) + 6σ2σ5)+
+ σ2
1(9σ2
3 − 8σ2σ4 + 144σ6)− 12(4σ2
2σ4 − 9σ3σ5 + 72σ2σ6)− 4σ3
1σ5)α2+
+ (2σ1σ4 − 3σ2σ3 − 6σ5)(σ2
1σ3 − 4σ1σ4 + 12σ5) + 4(σ2
1 − 6σ2)2σ6, k = 1, 6. (26)
Но второй множитель в произведениях (26) равен нулю в силу соотношения (22). Таким
образом, доказано, что функции (20) – (22) также удовлетворяют системе (5) для каждого
из пяти корней уравнения (8).
Замечание. Если набор функций ak, k = 1, 6, имеет определенную симметрию, то
некоторые из пяти наборов функций Ak вида (20) – (22) могут совпадать.
Покажем это на примере.
Пример. Выберем функции ak, k = 1, 6, линейными вида
a1 = x, a2 = 2x, a3 = 4x, a4 = −x, a5 = −2x, a6 = −4x.
Тогда функции Ak, k = 1, 6, вида (20) – (22) примут вид
A1 =
19x4 − 6x2α2 − α2
2
30x5
, A2 =
α2
2 + 3x2α2 − 52x4
48x5
, A3 =
−α2
2 + 9x2α2 − 176x4
480x5
,
A4 = −A1, A5 = −A2, A6 = −A3,
а функция α2 является одной из трех функций
(α2)1 = 4x2, (α2)2 = −(
√
57 + 11)x2
2
, (α2)3 =
(
√
57− 11)x2
2
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
98 И. П. МАРТЫНОВ, А. В. ЧИЧУРИН
1. Chazy J. Sur les equations differentielles du troisieme ordre et d’ordre superieur, don’t l’integrale generale a
ses points critiques fixes // Acta Math. — 1911. — 34. — P. 317 – 385.
2. Painleve P. Lecons sur les theorie analytique des equations differentielles. Professies a Stokholm. — Paris,
1897.
3. Мартынов И. П. О некоторых задачах аналитической теории дифференциальных уравнений, решае-
мых в Гродненском государственном университете // Весн. Гродн. дзярж. ун-та. — 2003. — Сер. 2, № 2
(22). — С. 15 – 25.
4. Лукашевич Н. А. К теории уравнения Шази // Дифференц. уравнения. — 1993. — 29, № 2. — С. 353 – 357.
5. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1976.
Получено 11.09.07
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
|