Задачі регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі

Исследуется вопрос существования функции Грина – Самойленко некоторых линейных расширений динамических систем.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автори:	Степаненко, Н.В., Ткоч-Пішчек, Є.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2009
Назва видання:	Нелінійні коливання
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178385
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Задачі регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі / Н.В. Степаненко, Є. Ткоч-Пішчек // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 1. — С. 99-109. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-178385
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1783852021-02-20T01:27:08Z Задачі регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі Степаненко, Н.В. Ткоч-Пішчек, Є. Исследуется вопрос существования функции Грина – Самойленко некоторых линейных расширений динамических систем. We study the problem of existence of the Green – Samoilenko function for some linear extensions of dynamical systems. 2009 Article Задачі регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі / Н.В. Степаненко, Є. Ткоч-Пішчек // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 1. — С. 99-109. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178385 517.938 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Исследуется вопрос существования функции Грина – Самойленко некоторых линейных расширений динамических систем.
format	Article
author	Степаненко, Н.В. Ткоч-Пішчек, Є.
spellingShingle	Степаненко, Н.В. Ткоч-Пішчек, Є. Задачі регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі Нелінійні коливання
author_facet	Степаненко, Н.В. Ткоч-Пішчек, Є.
author_sort	Степаненко, Н.В.
title	Задачі регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі
title_short	Задачі регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі
title_full	Задачі регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі
title_fullStr	Задачі регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі
title_full_unstemmed	Задачі регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі
title_sort	задачі регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178385
citation_txt	Задачі регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі / Н.В. Степаненко, Є. Ткоч-Пішчек // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 1. — С. 99-109. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT stepanenkonv zadačíregulârnostílíníjnihrozširenʹdinamíčnihsistemnatorí AT tkočpíščekê zadačíregulârnostílíníjnihrozširenʹdinamíčnihsistemnatorí
first_indexed	2025-07-15T16:51:24Z
last_indexed	2025-07-15T16:51:24Z
_version_	1837732499560595456
fulltext	УДК 517.938 ЗАДАЧI РЕГУЛЯРНОСТI ЛIНIЙНИХ РОЗШИРЕНЬ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ НА ТОРI Н. В. Степаненко Нац. техн. ун-т України „КПI” Україна, 02057, Київ, просп. Перемоги, 37 Є. Ткоч-Пiшчек Сiлез. техн. ун-т Польща, 44-100, Глiвiце, вул. Кашубська, 23 e-mail: E.Tkocz@polsl.pl We study the problem of existence of the Green – Samoilenko function for some linear extensions of dynamical systems. Исследуется вопрос существования функции Грина – Самойленко некоторых линейных расши- рений динамических систем. У статтi [1, с. 158] при застосуваннi асимптотичного методу до дослiдження коливань у нелiнiйних системах звернено увагу на те, що система рiвнянь вигляду da dt = hω2 1 2ν a cos 2θ, (1) dθ dt = ω1 − ν 2 − hω1 2 − hω2 1 2ν sin 2θ, h, ω1, ν = const, при замiнi змiнних x1 = a cos θ, x2 = a sin θ переходить у лiнiйну однорiдну систему двох диференцiальних рiвнянь iз сталими коефiцiєнтами вiдносно змiнних x1, x2. Система (1) є лiнiйним розширенням динамiчних систем на торi (див. [2, 3]), для яких глибоко дослiд- жено питання iснування функцiї Грiна – Самойленка (див. [4 – 7]). У зв’язку з цим виникає задача дослiдження на регулярнiсть всiх таких систем, якi можуть бути отриманi при пе- реходi до полярної системи координат у лiнiйних диференцiальних системах iз сталими коефiцiєнтами. Дослiдженню цiєї задачi i присвячено дану статтю. Нагадаємо означення функцiї Грiна – Самойленка лiнiйних розширень динамiчних сис- тем на торi. З цiєю метою розглянемо систему диференцiальних рiвнянь dϕ dt = a(ϕ), dx dt = A(ϕ)x, (2) де ϕ = (ϕ1, . . . , ϕm) ∈ Tm, x ∈ Rn, a(ϕ) ∈ CLip(Tm), A(ϕ) ∈ C0(Tm), Tm — m-вимiрний тор. Пiдставляючи розв’язок ϕt(ϕ) задачi Кошi dϕ dt = a(ϕ), ϕ ∣∣∣∣ t=0 = ϕ у систему рiвнянь (2), отримуємо лiнiйну систему dx dt = A(ϕt(ϕ))x з вектором параметрiв ϕ ∈ Tm. Мат- c© Н. В. Степаненко, Є. Ткоч-Пiшчек, 2009 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1 99 100 Н. В. СТЕПАНЕНКО, Є. ТКОЧ-ПIШЧЕК рицант цiєї системи позначимо через Ωt τ (ϕ), Ωt τ (ϕ) ∣∣ t=τ = In, In — n-вимiрна одинична матриця. Далi будемо використовувати такi позначення: 〈x, y〉 = n∑ i=1 xiyi — скалярний добуток в Rn, ‖M‖ = max ‖x‖=1 ‖Mx‖, ‖x‖ = √ 〈x, x〉, — норма (n× n)-вимiрної матрицi M. Означення. Нехай iснує (n × n)-вимiрна матриця C(ϕ), елементами якої є дiйснi не- перервнi функцiї, визначенi на m-вимiрному торi Tm, така, що функцiя G0(τ, ϕ) вигляду G0(τ, ϕ) =  Ω0 τ (ϕ)C(ϕτ (ϕ)), τ ≤ 0, Ω0 τ (ϕ)[C(ϕτ (ϕ))− In], τ > 0, (3) задовольняє оцiнку ‖G0(τ, ϕ)‖ ≤ K exp{−γ\|τ \|} з деякими додатними сталими K, γ, що не залежать вiд ϕ ∈ Tm i τ ∈ R. Тодi функцiя (3) називається функцiєю Грiна – Самойленка системи (2). У випадку iснування єдиної такої функцiї систему (3) називають регулярною. Ефективним методом дослiдження iснування функцiї Грiна – Самойленка системи (2) є метод функцiї Ляпунова (див. [3, 4]). Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь dϕ dt = ω + k1 cos 2ϕ− k2 sin 2ϕ, (4) dx dt = [b+ k2 cos 2ϕ+ k1 sin 2ϕ]x з деякими фiксованими значеннями параметрiв b, ω, k1, k2 ∈ R. Системи вигляду (4) i тiльки такого вигляду при замiнi змiнних x1 = x cosϕ, x2 = x sinϕ зводяться до лiнiйних систем диференцiальних рiвнянь iз сталими коефiцiєнтами dx1 dt = a11x1 + a12x2, (5) dx2 dt = a21x1 + a22x2, де a11 = b+ k2, a12 = k1 − ω, a21 = k1 + ω, a22 = b− k2. (6) Припускаємо, що для коефiцiєнтiв k1, k2 в системi рiвнянь (4) виконується нерiвнiсть k2 1 + +k2 2 > 0. Зауваження 1. При позначеннях (6) нерiвнiсть b2 + ω2 − k2 1 − k2 2 > 0 (7) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1 ЗАДАЧI РЕГУЛЯРНОСТI ЛIНIЙНИХ РОЗШИРЕНЬ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ НА ТОРI 101 для параметрiв системи рiвнянь (4) є еквiвалентною нерiвностi det  a11 a12 a21 a22  > 0 для коефiцiєнтiв системи рiвнянь (5). Має мiсце наступне твердження. Теорема. Нехай для параметрiв у системi рiвнянь (4) виконується нерiвнiсть (7) i при цьому b 6= 0, k2 1 + k2 2 > 0. Тодi система рiвнянь (4) має єдину функцiю Грiна – Самойленка. У випадку виконання протилежної нерiвностi b2 +ω2−k2 1−k2 2 ≤ 0 система рiвнянь (4) не має жодної такої функцiї, до того ж якщо виконується строга нерiвнiсть b2 + ω2 − k2 1 − k2 2 < 0, (8) то спряжена до (4) система dϕ dt = ω + k1 cos 2ϕ− k2 sin 2ϕ, (9) dy dt = −[b+ k2 cos 2ϕ+ k1 sin 2ϕ] y має безлiч рiзних функцiй Грiна – Самойленка. При виконаннi рiвностi b2+ω2−k2 1−k2 2 = = 0 системи (4) i (9) не мають жодної такої функцiї. Спочатку розглянемо допомiжнi твердження. Лема 1. Нехай система рiвнянь (2) така, що матрицант Ωt τ (ϕ) лiнiйної системи dx dt = = A(ϕt(ϕ))x при деякiй додатнiй сталiй ∆, що не залежить вiд ϕ ∈ Tm, задовольняє одну з нерiвностей ‖Ω∆ 0 (ϕ)‖ < 1, ∆ = const > 0, (10) або ‖Ω0 ∆(ϕ)‖ < 1, ∆ = const > 0. (11) Тодi система рiвнянь (2) має єдину функцiю Грiна – Самойленка G0(τ, ϕ), до того ж при виконаннi нерiвностi (10) ця функцiя має вигляд G0(τ, ϕ) =  Ω0 τ (ϕ), τ ≤ 0, 0, τ > 0. (12) Якщо ж виконується нерiвнiсть (11), то G0(τ, ϕ) =  0, τ ≤ 0, −Ω0 τ (ϕ), τ > 0. (13) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1 102 Н. В. СТЕПАНЕНКО, Є. ТКОЧ-ПIШЧЕК Доведення. У статтi [6] доведено, що iз нерiвностi (10) випливає оцiнка ‖Ωt τ (ϕ)‖ ≤ ≤ Kexp{−γ(t − τ)}, τ ≤ t, K, γ = const > 0, а це означає, що система рiвнянь (2) має єдину функцiю Грiна – Самойленка вигляду (12). Ми пропонуємо для дослiдження цього питання використовувати функцiю Ляпунова. Розглянемо симетричну матрицю S(ϕ) = ∆∫ 0 (Ωσ 0 (ϕ))T Ωσ 0 (ϕ) dσ, ∆ = const > 0. (14) Для суперпозицiї S(ϕt(ϕ)) отримуємо рiвнiсть S(ϕt(ϕ)) = ∆∫ 0 (Ωσ+t t (ϕ))T Ωσ+t t (ϕ) dσ = ∆+t∫ t (Ωz t (ϕ))T Ωz t (ϕ) dz. Диференцiюючи матрицю S(ϕt(ϕ)) по t, маємо d dt S(ϕt(ϕ)) = (Ω∆+t t (ϕ))T Ω∆+t t (ϕ)− In −AT (ϕt(ϕ))S(ϕt(ϕ))− S(ϕt(ϕ))A(ϕt(ϕ)). Звiдси одержуємо Ṡ(ϕ) + S(ϕ)A(ϕ) + AT (ϕ)S(ϕ) = (Ω∆ 0 (ϕ))T Ω∆ 0 (ϕ) − In. Таким чином, похiдна квадратичної форми V = 〈S(ϕ)x, x〉 (15) в силу системи рiвнянь (2) має вигляд V̇ = −‖x‖2 + ∥∥Ω∆ 0 (ϕ)x ∥∥2 . (16) Оцiнюючи зверху праву частину рiвностi (16), маємо V̇ ≤ − ( 1− ∥∥Ω∆ 0 (ϕ) ∥∥2 ) ‖x‖2. (17) Оцiнюючи ж праву частину рiвностi (16) знизу, отримуємо V̇ ≥ ( 1∥∥Ω∆ 0 (ϕ) ∥∥2 − 1 ) ‖x‖2. (18) При виконаннi нерiвностi (10) похiдна додатно визначеної квадратичної форми (15) в си- лу системи рiвнянь (2) буде вiд’ємно визначеною вигляду (17). Звiдси випливає наступна оцiнка для матрицанта: ‖Ωt τ (ϕ)‖ ≤ K exp{−γ(t− τ)}, τ ≤ t, t, τ ∈ R, (19) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1 ЗАДАЧI РЕГУЛЯРНОСТI ЛIНIЙНИХ РОЗШИРЕНЬ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ НА ТОРI 103 з додатними сталими K, γ, що не залежать вiд t, τ, ϕ. Це означає, що система рiвнянь (2) має єдину функцiю Грiна – Самойленка вигляду (12). Аналогiчно при виконаннi нерiвнос- тi (11) похiдна квадратичної форми (15) в силу системи (2) буде додатно визначеною ви- гляду (18). Звiдси випливає виконання оцiнки ‖Ωt τ (ϕ)‖ ≤ K exp{γ(t− τ)}, t ≤ τ, t, τ ∈ R, K, γ = const > 0, (20) яка гарантує iснування єдиної функцiї Грiна (13). Зауваження 2. Оскiльки (19), (20) еквiвалентнi вiдповiдно оцiнкам ‖Ωt 0(ϕ)‖ ≤ K exp{−γt}, t ≥ 0, (21) ‖Ωt 0(ϕ)‖ ≤ K exp{γt}, t ≤ 0, K, γ = const > 0. (22) Лема 2. Якщо в системi рiвнянь (2) функцiя a(ϕ) ∈ CLip(T1) є скалярною, яка не набу- ває нульових значень ϕ ∈ T1, то iснування функцiї Грiна – Самойленка системи рiвнянь (2) еквiвалентно iснуванню такої функцiї для системи dϕ dt = 1, dx dt = 1 a(ϕ) A(ϕ)x, x ∈ Rn. (23) Доведення. Iснування функцiї Грiна – Самойленка системи рiвнянь (2) є еквiвалент- ним (див. [3]) iснуванню симетричної матрицi S(ϕ) ∈ C1(T1), для якої виконується нерiв- нiсть 〈[ dS(ϕ) dϕ a(ϕ)− S(ϕ)AT (ϕ)−A(ϕ)S(ϕ) ] x, x 〉 ≥ ‖x‖2. Припустивши, що a(ϕ) > 0, обидвi частини записаної вище нерiвностi подiлимо на a(ϕ) i отримаємо〈[ dS(ϕ) dϕ − S(ϕ) 1 a(ϕ) AT (ϕ)− 1 a(ϕ) A(ϕ)S(ϕ) ] x, x 〉 ≥ 1 a(ϕ) ‖x‖2 ≥ ε ‖x‖2, де ε = min ϕ∈T1 1 a(ϕ) = const > 0. Отримана нерiвнiсть i є умовою iснування функцiї Грiна – Самойленка системи рiвнянь (23). У випадку a(ϕ) < 0 знак в отриманiй вище нерiвностi змiнюється на протилежний, що не впливає на iснування функцiї Грiна – Самойленка. Доведення теореми. В системi рiвнянь (4) введемо позначення k = √ k2 1 + k2 2 > 0, cos ∆ = k2 k , sin∆ = k1 k , ϕ− ∆ 2 → ϕ, kt → t, ω k → ω, b k → b. (24) Тодi одержимо наступну систему (еквiваленту системi (4)): dϕ dt = ω − sin 2ϕ, (25) dx dt = [b+ cos 2ϕ]x. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1 104 Н. В. СТЕПАНЕНКО, Є. ТКОЧ-ПIШЧЕК Нерiвнiсть (7) для коефiцiєнтiв системи рiвнянь (4), з урахуванням позначень (24), еквi- валентна нерiвностi ω2 + b2 > 1. (26) Розглянемо такi випадки: I. При виконаннi нерiвностi \|b\| > 1 система рiвнянь (25) має єдину функцiю Грiна – Самойленка, оскiльки похiдна функцiї V = x2 в силу системи рiвнянь (25) буде знакови- значеною. II. \|ω\| > 1, b 6= 0. Згiдно з лемою 2 систему рiвнянь (25) замiнимо наступною: dϕ dt = 1, dx dt = b+ cos 2ϕ ω − sin 2ϕ x. (27) Вiдповiдне лiнiйне рiвняння з параметром ϕ має вигляд dx dt = b+ cos 2(t+ ϕ) ω − sin 2(t+ ϕ) x. Звiдси знаходимо вигляд функцiї Ωt τ (ϕ) : Ωt τ (ϕ) = exp  t∫ τ b ω − sin 2(σ + ϕ) dσ  F (t, τ, ϕ), (28) де F (t, τ, ϕ) = exp  t∫ τ cos 2(σ + ϕ) ω − sin 2(σ + ϕ) dσ  = ( ω − sin 2(τ + ϕ) ω − sin 2(t+ ϕ) ) 1 2 . Очевидно, має мiсце оцiнка \|F (t, τ, ϕ)\| ≤ ( \|ω\|+ 1 \|ω\| − 1 ) 1 2 = F0. Розглянемо наступнi випадки. 1) ω > 1, b > 0. При всiх значеннях t ≤ 0 має мiсце нерiвнiсть t∫ 0 b ω − sin 2(σ + ϕ) dσ = 0∫ t b −ω + sin 2(σ + ϕ) dσ ≤ 0∫ t b −ω − 1 dσ = b ω + 1 t. Звiдси для функцiї (28) при τ = 0 випливає нерiвнiсть \|Ωt 0(ϕ)\| ≤ F0 exp { b ω + 1 t } , t ≤ 0, яка вiдповiдає оцiнцi (22). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1 ЗАДАЧI РЕГУЛЯРНОСТI ЛIНIЙНИХ РОЗШИРЕНЬ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ НА ТОРI 105 2) ω < −1, b < 0. При t ≤ 0 маємо t∫ 0 b ω − sin 2(σ + ϕ) dσ = 0∫ t −b ω − sin 2(σ + ϕ) dσ ≤ 0∫ t −b ω − 1 dσ = b ω − 1 t, звiдки \|Ωt 0(ϕ)\| ≤ F0 exp { −b −ω + 1 t } , t ≤ 0. 3) ω > 1, b < 0. При t ≥ 0 маємо t∫ 0 b ω − sin 2(σ + ϕ) dσ ≤ t∫ 0 b ω + 1 dσ = b ω + 1 t, t ≥ 0, звiдки випливає \|Ωt 0(ϕ)\| ≤ F0 exp { b ω + 1 t } , t ≥ 0, що вiдповiдає оцiнцi (21) при γ = − b ω + 1 . 4) ω < −1, b > 0. При t ≥ 0 маємо t∫ 0 b ω − sin 2(σ + ϕ) dσ ≤ t∫ 0 b ω − 1 dσ = b ω − 1 t, t ≥ 0, що означає \|Ωt 0(ϕ)\| ≤ F0 exp { b ω − 1 t } , t ≥ 0. Тобто виконується оцiнка (21) зi сталою γ = − b ω − 1 . III. \|ω\| > 1, b = 0.Оскiльки у цьому випадку функцiя (28) буде обмеженою, то система рiвнянь (25) не має жодної функцiї Грiна – Самойленка. IV. ω2 = 1, b 6= 0. Безпосередньо переконуємось, що в цьому випадку система рiвнянь (25) має єдину функцiю Грiна – Самойленка вигляду Ωt 0(ϕ) = ebt  √ 2t2(cosϕ− sinϕ)2 + 2t cos 2ϕ+ 1, ω = 1,√ 2t2(cosϕ+ sinϕ)2 + 2t cos 2ϕ+ 1, ω = −1. Звiдси випливає одна з оцiнок (21), (22). Це приводить до регулярностi системи рiв- нянь (25). V. 0 < ω < 1, ω2 + b2 > 1. Оскiльки цей випадок викликає особливий iнтерес, то дослiдимо його детальнiше. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1 106 Н. В. СТЕПАНЕНКО, Є. ТКОЧ-ПIШЧЕК Iнтегруючи перше рiвняння системи (25), отримуємо ω tgϕt(ϕ)− 1− √ 1− ω2 ω tgϕt(ϕ)− 1 + √ 1− ω2 = ω tgϕ− 1− √ 1− ω2 ω tgϕ− 1 + √ 1− ω2 exp { 2 √ 1− ω2 t } . (29) Позначимо праву частину отриманої рiвностi через σ. Спростивши вiдповiдний вираз, бу- демо мати σ = ω sin ϕ− (1 + √ 1− ω2) cos ϕ ω sin ϕ+ (−1 + √ 1− ω2) cos ϕ exp { 2 √ 1− ω2t } = u ν exp {γ t} , (30) де u = ω sinϕ− (1 + √ 1− ω2) cosϕ, ν = ω sinϕ+ (−1 + √ 1− ω2) cosϕ, γ = 2 √ 1− ω2. (31) З рiвностi (29) отримуємо tgϕt(ϕ) = 1 ω + 1 + σ 1− σ √ 1− ω2 ω . (32) Тепер для знаходження нормованого розв’язку другого рiвняння системи (25) Ωt 0(ϕ) = exp  t∫ 0 (b+ cos 2ϕτ (ϕ)) dτ  (33) обчислимо спочатку cos 2ϕt(ϕ) : cos 2ϕt(ϕ) = 1− tg2ϕt(ϕ) 1 + tg2ϕt(ϕ) = 1− [ 1 ω + 1 + σ 1− σ √ 1− ω2 ω ]2 1 + [ 1 ω + 1 + σ 1− σ √ 1− ω2 ω ]2 = = ω2(1− σ)2 − [(1− σ) + (1 + σ) √ 1− ω2]2 ω2(1− σ)2 + [(1− σ) + (1 + σ) √ 1− ω2]2 = = 2 [ (1− √ 1− ω2)σ2 − (1 + √ 1− ω2) ]√ 1− ω2 2 [ σ2(1− √ 1− ω2)− 2ω2σ + 1 + √ 1− ω2 ] = = σ2 − 1 + √ 1− ω2 1− √ 1− ω2 σ2 − 2 ω2 1− √ 1− ω2 σ + 1 + √ 1− ω2 1− √ 1− ω2 √ 1− ω2 = = σ2 − C σ2 − 2Bσ + C √ 1− ω2, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1 ЗАДАЧI РЕГУЛЯРНОСТI ЛIНIЙНИХ РОЗШИРЕНЬ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ НА ТОРI 107 де B = ω2 1− √ 1− ω2 , C = 1 + √ 1− ω2 1− √ 1− ω2 . (34) Враховуючи рiвнiсть (30) i позначення (31), для функцiї (33) отримуємо рiвнiсть Ωt 0(ϕ) = exp  t∫ 0 [ b+ u2e2γz − Cν2 u2e2γz − 2Buνeγz + Cν2 √ 1− ω2 ] dz  . (35) Зауважимо, що квадратична форма u2 − 2Buν + Cν2 з коефiцiєнтами (34) (0 < ω < 1) є додатно визначеною i її можна оцiнити таким чином: L1 ( u2 + ν2 ) ≤ u2 − 2Buν + Cν2 ≤ L2 ( u2 + ν2 ) , (36) де L1, L2 — додатнi сталi, якi можна вибрати у виглядi L1 = 1− √ 1− ω2 + ω4 1− √ 1− ω2 , L2 = 1 + √ 1− ω2 + ω4 1− √ 1− ω2 . З метою дослiдження функцiї (35) обчислимо iнтеграл t∫ 0 u2e2γz − Cν2 u2e2γz − 2Buνeγz + Cν2 dz = exp{γt}∫ 1 u2x2 − Cν2 (u2x2 − 2Buνx+ Cν2) γx dx = = exp{γt}∫ 1 u2x2 + Cν2 − 2Buνx+ 2Buνx− 2Cν2 (u2x2 − 2Buνx+ Cν2) γx dx = = exp{γt}∫ 1 dx γx + exp{γt}∫ 1  2u2 γ x− 2B γ uν (u2x2 − 2Buνx+ Cν2) − 2 γx  dx = = exp{γt}∫ 1  2u2 γ x− 2B γ uν (u2x2 − 2Buνx+ Cν2) − 1 γx  dx = = 1 γ ln ( u2e2γt − 2Buνeγt + Cν2 eγt(u2x2 − 2Buνx+ Cν2) ) . Таким чином, функцiю (35) можна записати у виглядi Ωt 0(ϕ) = exp {bt} √ u2e2γt − 2Buνeγt + Cν2 eγt(u2 − 2Buν + Cν2) . (37) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1 108 Н. В. СТЕПАНЕНКО, Є. ТКОЧ-ПIШЧЕК Нехай b > 0, тодi функцiю (37) при t ≤ 0 запишемо i оцiнимо з урахуванням нерiвностей (36) таким чином: Ωt 0(ϕ) = exp {( b− γ 2 ) t }√u2e2γt − 2Buνeγt + Cν2 u2 − 2Buν + Cν2 ≤ ≤ exp {( b− γ 2 ) t }√L2(u2e2γt + ν2) L1(u2 + ν2) ≤ L exp {( b− γ 2 ) t } , t ≤ 0, де L = √ L2 L1 . Зауважимо, що вираз b− γ 2 = b− √ 1− ω2 є додатним, а тому iснує значення ∆ > 0, при якому виконується нерiвнiсть ∣∣∣Ω−∆ 0 (ϕ) ∣∣∣ < 1, що є еквiвалентною нерiвностi∣∣Ω0 ∆(ϕ) ∣∣ < 1. З огляду на лему 1 стверджуємо, що система рiвнянь (25) є регулярною, тоб- то має єдину функцiю Грiна – Самойленка. У випадку, коли b < 0, функцiю (37) оцiнимо таким чином: Ωt 0(ϕ) = exp {( b+ γ 2 ) t }√u2 − 2Buνe−γt + Cν2e−2γt u2 − 2Buν + Cν2 ≤ L exp {( b+ γ 2 ) t } , t ≥ 0. При цьому показник b + γ 2 = b + √ 1− ω2 є вiд’ємним. Звiдси випливає, що iснує таке значення ∆ > 0, при якому ∥∥Ω∆ 0 (ϕ) ∥∥ < 1, що вiдповiдає оцiнцi (11). Випадок, коли −1 < ω < 0, ω2 + b2 > 1, зводиться до попереднього випадку. Досить лише в системi рiвнянь (25) виконати замiну змiнної ϕ = ψ + π 2 i незалежної змiнної t → → −t. В результатi отримаємо систему dψ dt = −ω − sin 2ψ, dx dt = [−b+ cos 2ψ]x, в якiй 0 < −ω < 1. При виконаннi рiвностi ω2 + b2 = 1 iснує таке значення ϕ = ϕ0, при якому одночасно виконуються рiвностi ω − sin 2ϕ0 = 0, b+ cos 2ϕ0 = 0. Звiдси випливає, що система рiвнянь (25) i спряжена до неї dϕ dt = ω − sin 2ϕ, (38) dy dt = −[b+ cos 2ϕ] y ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1 ЗАДАЧI РЕГУЛЯРНОСТI ЛIНIЙНИХ РОЗШИРЕНЬ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ НА ТОРI 109 не мають жодної функцiї Грiна – Самойленка. Якщо виконується нерiвнiсть ω2+b2 < 1, то похiдна квадратичної форми V = (cos 2ϕ)x2 в силу системи рiвнянь (25) буде додатно визначеною: V̇ = {2− 2ω sin 2ϕ+ 2b cos 2ϕ}x2 ≥ 2 ( 1− √ b2 + ω2 ) x2. Оскiльки коефiцiєнт cos 2ϕ у квадратичнiй формi V набуває нульового значення, то си- стема рiвнянь (25) не має функцiї Грiна – Самойленка, а спряжена система (38) має безлiч таких функцiй. Теорему доведено. 1. Мосеенков Б. И., Максимюк П. А. Изучение параметрического резонанса при освещении модулиро- ванным светом полупроводниковых кристаллов // Проблемы асимптотической теории нелинейных колебаний. — Киев: Наук. думка, 1977. — С. 149 – 160. 2. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Кулик В. Л. Исследование дихотомии линейных систем дифференциальных уравнений с помощью функций Ляпунова. — Киев: Наук. думка, 1990. — 270 с. 3. Mitropolsky Yu. A., Samoilenko A. M., Kulik V. L. Dichotomies and stability in nonautonomous linear systems. London: Taylor & Francis Inc., 2003. 4. Kenneth J. Palmer. On the reducibility of almost periodic systems of linear differential systems // J. Different. Equat. — 1980. — 36, № 3. — P. 374 – 390. 5. Самойленко А. М. О некоторых проблемах теории возмущений гладких инвариантных торов динами- ческих систем // Укр. мат. журн. — 1994. — 46, № 12. — С. 1665 – 1699. 6. Самойленко А. М. К вопросу существования единственной функции Грина линейного расширения ди- намической системы на торе // Там же. — 2001. — 53, № 4. — С. 513 – 521. 7. Бойчук А. А. Условие существования единственной функции Грина – Самойленко задачи об инвари- антном торе // Там же. — 2001. — 53, № 4. — С. 556 – 559. Одержано 04.02.08 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1

Задачі регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі

Репозитарії

Схожі ресурси