Асимптотические представления решений неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностями, близкими к степенным
Встановлено асимптотичнi зображення для розв’язкiв неавтономних диференцiальних рiвнянь другого порядку з нелiнiйностями, що близькi до степеневих.
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178390 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотические представления решений неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностями, близкими к степенным / M.А. Белозёрова // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 1. — С. 3-15. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178390 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1783902021-02-20T01:27:38Z Асимптотические представления решений неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностями, близкими к степенным Белозёрова, M.А. Встановлено асимптотичнi зображення для розв’язкiв неавтономних диференцiальних рiвнянь другого порядку з нелiнiйностями, що близькi до степеневих. We find asymptotic representations for solutions of nonautonomous second order differential equations that have close to power-type nonlinearities. 2009 Article Асимптотические представления решений неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностями, близкими к степенным / M.А. Белозёрова // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 1. — С. 3-15. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178390 517.925 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Встановлено асимптотичнi зображення для розв’язкiв неавтономних диференцiальних рiвнянь
другого порядку з нелiнiйностями, що близькi до степеневих. |
| format |
Article |
| author |
Белозёрова, M.А. |
| spellingShingle |
Белозёрова, M.А. Асимптотические представления решений неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностями, близкими к степенным Нелінійні коливання |
| author_facet |
Белозёрова, M.А. |
| author_sort |
Белозёрова, M.А. |
| title |
Асимптотические представления решений неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностями, близкими к степенным |
| title_short |
Асимптотические представления решений неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностями, близкими к степенным |
| title_full |
Асимптотические представления решений неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностями, близкими к степенным |
| title_fullStr |
Асимптотические представления решений неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностями, близкими к степенным |
| title_full_unstemmed |
Асимптотические представления решений неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностями, близкими к степенным |
| title_sort |
асимптотические представления решений неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностями, близкими к степенным |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178390 |
| citation_txt |
Асимптотические представления решений неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностями, близкими к степенным / M.А. Белозёрова // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 1. — С. 3-15. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT belozërovama asimptotičeskiepredstavleniârešenijneavtonomnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkasnelinejnostâmiblizkimikstepennym |
| first_indexed |
2025-07-15T16:51:44Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:51:44Z |
| _version_ |
1837732520655847424 |
| fulltext |
УДК 517.925
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ
НЕАВТОНОМНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ,
БЛИЗКИМИ К СТЕПЕННЫМ
М. А. Белозерова
Одес. нац. ун-т
Украина, 65000, Одесса, ул. Дворянская, 2
e-mail: emdenl@farlep.net
We find asymptotic representations for solutions of nonautonomous second order differential equations
that have close to power-type nonlinearities.
Встановлено асимптотичнi зображення для розв’язкiв неавтономних диференцiальних рiвнянь
другого порядку з нелiнiйностями, що близькi до степеневих.
В данной работе рассматривается нелинейное дифференциальное уравнение
y′′ = α0p(t)ϕ0(y)ϕ1(y′), (1)
в котором α0 ∈ {−1, 1}, p : [a, ω[→]0,+∞[, −∞ < a < ω ≤ +∞, — непрерывная функ-
ция, ϕi : ∆Yi →]0,+∞[, i = 0, 1, — строго монотонные, дважды непрерывно дифферен-
цируемые функции, удовлетворяющие условиям
lim
z→Yi
z∈∆Yi
zϕ′i(z)
ϕi(z)
= σi, lim sup
z→Yi
z∈∆Yi
∣∣∣∣zϕ′′i (z)
ϕ′i(z)
∣∣∣∣ < +∞, i = 0, 1, (2)
Yi =
{
либо 0,
либо ±∞,
∆Yi =
{
либо1 [y0
i , Yi[,
либо ]Yi, y0
i ],
σi ∈ R, причем σ0 + σ1 6= 1. (3)
В силу первого из условий (2) каждая из функций ϕi, i ∈ {0, 1}, в некотором смысле
близка к степенной, а именно, имеет вид ϕi(z) = |z|σiθi(z), где θi : ∆Yi →]0,+∞[ тако-
ва, что
lim
z→Yi
z∈∆Yi
zθ′i(z)
θi(z)
= 0. (4)
1 При Yi = +∞ (Yi = −∞) считаем y0
i > 0 (y0
i < 0) соответственно.
c© М. А. Белозерова, 2009
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1 3
4 М. А. БЕЛОЗЕРОВА
Будем говорить, что функция ϕi(z), i ∈ {0, 1}, удовлетворяет условию Si, если для любой
непрерывно дифференцируемой функции L : ∆Yi →]0;+∞[ такой, что
lim
z→Yi
z∈∆Yi
zL′(z)
L(z)
= 0, (5)
имеет место соотношение
θi(zL(z)) = θi(z)(1 + o(1)) при z → Yi (z ∈ ∆Yi).
Условию Si заведомо удовлетворяют функции ϕi(z), для которых θi(z) имеют конечный
предел при z → Yi, а также функции вида |z|σi | ln |z||µi , |z|σi | ln | ln |z|||µi и другие. Однако
в силу произвольности функции L такое условие может быть сложным для проверки.
Поэтому в некоторых случаях целесообразно пользоваться несколько иными условиями,
например условиями вида
lim
z→Yi
z∈∆Yi
z ln zθ′i(z)
θi(z)
= const, (6)
которые являются достаточными для того, чтобы функция ϕi(z) удовлетворяла усло-
вию Si.
Решение y уравнения (1) будем называть Pω(Y0, Y1, λ0)-решением, если
y(i) : [t0, ω[−→ ∆Yi , lim
t↑ω
y(i)(t) = Yi, i = 0, 1, lim
t↑ω
(y′(t))2
y′′(t)y(t)
= λ0. (7)
В настоящей работе исследуются Pω(Y0, Y1, λ0)-решения уравнения (1), где λ0 ∈
∈ R\{0, 1}. Уравнения такого вида ранее исследовались (см. [1 – 11]) лишь для случаев,
когда функция ϕ1 удовлетворяет условию S1, причем в основном для ϕ1(y′) ≡ 1 (см. [1, 2,
6 – 11]). В данной работе никакие дополнительные ограничения, кроме (2), на функцию
ϕ1 не накладываются.
В силу вида уравнения (1) каждое его Pω(Y0, Y1, λ0)-решение, где λ0 ∈ R\{0, 1}, являет-
ся строго монотонным вместе со своей первой производной. Поэтому очевидно, что при
изучении таких решений необходимо считать, что
y0
1 > 0, если ∆Y0 = [y0
0, Y0[,
(8)
y0
1 < 0, если ∆Y0 =]Y0, y
0
0].
Введем следующие обозначения, положив
πω(t) =
{
t при ω = +∞,
t− ω при ω < +∞,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 5
I0
1 (t) =
t∫
Aω
p(τ)|πω(τ)|σ0 dτ, Aω =
a, если
∫ ω
a p(τ)|πω(τ)|σ0 dτ = +∞,
ω, если
∫ ω
a p(τ)|πω(τ)|σ0 dτ < +∞.
Теорема. Пусть выполняются условия (8). Тогда для существования Pω(Y0, Y1, λ0)-
решений, λ0 ∈ R\{0, 1}, уравнения (1) необходимо выполнение условий
lim
t↑ω
πω(t)(I0
1 (t))′
I0
1 (t)
=
σ0 + σ1 − 1
1− λ0
, α0λ0y
0
0 > 0, α0y
0
1(1− σ0 − σ1)I0
1 (t) > 0 при t ∈ [b, ω[, (9)
Yi =
±∞, если α0 y0
1λ
i
0 > 0,
0, если α0 y0
1λ
i
0 < 0,
где λi
0 =
λ0, если i = 0,
1, если i = 1.
(10)
Если же функция ϕ0 удовлетворяет условию S0, и, кроме того,
λ0 6= σ1 − 1 либо λ0(σ0 + σ1 − 1) > 0, (11)
то условия (9), (10) являются также и достаточными для существования таких ре-
шений уравнения (1), причем в этом случае каждое Pω(Y0, Y1, λ0)-решение, λ0 ∈ R\{0, 1},
имеет при t ↑ ω асимптотические представления
y′(t)
ϕ1(y′(t))|y′(t)|σ0
∼ α0
∣∣∣∣ λ0
1− λ0
∣∣∣∣−σ0
(1− σ0 − σ1)I0
1 (t)θ0
(
y0
0|πω(t)|
λ0
λ0−1
)
,
(12)
y′(t)
y(t)
∼ λ0
(λ0 − 1)πω(t)
.
Доказательство. Необходимость. Пусть y : [t0, ω[→ R — Pω(Y0, Y1, λ0)-решение урав-
нения (1), λ0 ∈ R\{0, 1}. Тогда, согласно (7), имеют место асимптотические представле-
ния
y(i+1)(t)
y(i)(t)
=
λi
0
(λ0 − 1)πω(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω, i = 0, 1, (13)
откуда с учетом (7) и (1) получаем (10), второе из условий (9), а также второе из пред-
ставлений (12). Кроме того, в силу (13) имеет место представление
y(t) = y0
0|πω(t)|
λ0
λ0−1 L
(
y0
0|πω(t)|
λ0
λ0−1
)
,
где L : ∆Y0 →]0;+∞[ удовлетворяет (5). В случае, когда функция ϕ0 удовлетворяет усло-
вию S0, это означает, что
θ0(y(t)) = θ0
(
y0
0|πω(t)|
λ0
λ0−1
)
(1 + o(1)) при t ↑ ω. (14)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
6 М. А. БЕЛОЗЕРОВА
Используя (1) и (13), получаем
y′′(t)
ϕ1(y′(t))|y′(t)|σ0θ0(y(t))
= α0
∣∣∣∣ λ0
λ0 − 1
∣∣∣∣−σ0
p(t) |πω(t)|σ0 [1 + o(1)] при t ↑ ω. (15)
Тогда из равенства
(
y′(t)|y′(t)|−σ0
ϕ1(y′(t))θ0(y(t))
)′
=
y′′(t)|y′(t)|−σ0
ϕ1(y′(t))θ0(y(t))
(
1− σ0 −
(y′(t))2
y′′(t)y(t)
y(t)θ′0(y(t))
θ0(y(t))
− y′(t)ϕ′1(y
′(t))
ϕ1(y′(t))
)
с учетом (15), (2), (7), (3), (6) и определения функции I0
1 (t) при
∫ ω
a p(τ)|πω(τ)|σ0 dτ = +∞
следует
|y′(t)|1−σ0sign y′(t)
ϕ1(y′(t))θ0(y(t))
= α0
∣∣∣∣ λ0
λ0 − 1
∣∣∣∣−σ0
(1− σ0 − σ1)I0
1 (t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (16)
В случае же, когда
∫ ω
a p(τ)|πω(τ)|σ0 dτ < +∞, получаем либо (16), либо
lim
t↑ω
|y′(t)|1−σ0sign y′(t)
ϕ1(y′(t))θ0(y(t))
= c 6= 0. (17)
Покажем, что (17) не может иметь места. Поскольку σ0 + σ1 6= 1, в силу второго из
условий (7) и (2) функция
y′(t)
ϕ1(y′(t))|y′(t)|σ0
имеет либо нулевой, либо бесконечный предел
при t ↑ ω. Если бы выполнялось условие (17), то функция θ0(y(t)) имела бы соответствен-
но нулевой либо бесконечный предел при t ↑ ω. Тогда, использовав правило Лопиталя,
(15), (2), (7), (3) и (6), получили бы
lim
t↑ω
y′(t)
ϕ1(y′(t))|y′(t)|σ0θ0(y(t))
= lim
t↑ω
[
1
θ0(y(t))
]′
[
ϕ1(y′(t))|y′(t)|σ0
y′(t)
]′ =
= lim
t↑ω
(y′(t))2
y′′(t)y(t)
y′(t)
θ0(y(t))ϕ1(y′(t))|y′(t)|σ0
y(t)θ′0(y(t))
θ0(y(t))
1
1− σ0 −
y′(t)ϕ′1(y′(t))
ϕ1(y′(t))
= 0,
что противоречит (17). Таким образом, (16) имеет место в обоих случаях. Если функция
ϕ0 удовлетворяет условию S0, то из (16) в силу (14) следует первое из представлений (12).
Кроме того, используя (16) и (15), имеем
πω(t)y′′(t)
y′(t)
=
πω(t)(I0
1 (t))′
I0
1 (t)(1− σ0 − σ1)
[1 + o(1)] при t ↑ ω,
откуда с учетом (13) следует первое и третье из условий (9).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 7
Достаточность. Пусть ϕ0 удовлетворяет условию S0 и наряду с (9), (10) выполняет-
ся условие (11). Рассмотрим функцию
Φ(z) =
z∫
Y ∗1
dτ
ϕ1(τ)|τ |σ0
, где Y ∗
1 =
y0
1, если
∣∣∣∣∣∣∣
Y1∫
y0
1
dz
ϕ1(z)|z|σ0
∣∣∣∣∣∣∣ = +∞,
Y1, если
∣∣∣∣∣∣∣
Y1∫
y0
1
dz
ϕ1(z)|z|σ0
∣∣∣∣∣∣∣ < +∞.
Поскольку Φ возрастает на ∆Y1 и lim
z→Y1
z∈∆Y1
Φ(z) = Φ1, где
Φ1 =
±∞, если Y ∗
1 = y0
1,
0, если Y ∗
1 = Y1,
то для нее существует обратная функция Φ−1, заданная в силу (2) на промежутке
∆Φ1 =
[Cϕ1 ,Φ1[, если Cϕ1 < Φ1,
]Φ1, Cϕ1 ], если Cϕ1 > Φ1,
где Cϕ1 =
y0
1∫
Y ∗1
dz
ϕ1(z)|z|σ0
,
причем
lim
z→Φ1
z∈∆Φ1
Φ−1(z) = Y1. (18)
Кроме того, согласно правилу Лопиталя
lim
z→Y1
z∈∆Y1
Φ(z)ϕ1(z)|z|σ0
z
=
1
1− σ0 − σ1
. (19)
Уравнение (1) с помощью преобразования
Φ(y′(t)) = α0
∣∣∣∣ λ0
1− λ0
∣∣∣∣−σ0
I0
1 (t)θ0
(
Y [0](t)
)
[1 + z1(x)],
y′(t)
y(t)
=
λ0
(λ0 − 1)πω(t)
[1 + z2(x)],
(20)
где
x = β ln |πω(t)|, β =
1 при ω = +∞,
−1 при ω < +∞,
Y [0](t) = y0
0|πω(t)|
λ0
λ0−1 , (21)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
8 М. А. БЕЛОЗЕРОВА
сведем с учетом (9) и (10) к системе дифференциальных уравнений
z′1 = β
[
K(x, z1, z2)G(x)|1 + z2|−σ0 − (1 + z1)(G(x) + BM(x))
]
,
(22)
z′2 = β(1 + z2)
[
α0 |B(1 + z2)|−σ0 K(x, z1, z2)F (x, z1)G(x)−B(z2 + 1) + 1
]
,
в которой
B =
λ0
λ0 − 1
, G(x) =
πω(t(x))(I1
0 (t(x)))′
I1
0 (t(x))
, M(x) =
Y [0](t(x))θ′0
(
Y [0](t(x))
)
θ0
(
Y [0](t(x))
) ,
K(x, z1, z2) =
θ0(Y (t(x), z1, z2))
θ0
(
Y [0](t(x))
) ,
F (x, z1) = Y [1](t(x), z1)I1
0 (t(x))θ0
(
Y [0](t(x))
)
ϕ1(Y [1](t(x), z1))|Y [1](t(x), z1)|σ0−2,
Y [1](t, z1) = Φ−1
(
α0|B|−σ0I1
0 (t)θ0
(
Y [0](t)
)
(1 + z1)
)
, Y (t, z1, z2) =
Y [1](t, z1)πω(t)
B(1 + z2)
,
где t(x) — функция, обратная для x = β ln |πω(t)|.
В силу (18), (8), (9) и (10) lim
t↑ω
Y [1](t, ξ) = Y1 при |ξ| ≤ 1
2
. C использованием правила
Лопиталя и (2) для каждого такого ξ находим
lim
t↑ω
Y [1](t, ξ)
I0
1 (t)θ0
(
Y [0](t)
)
ϕ1(Y [1](t, ξ))|Y [1](t, ξ)|σ0
= lim
t↑ω
[
Y [1](t, ξ)
ϕ1(Y [1](t, ξ))|Y [1](t, ξ)|σ0
]′
(
I0
1 (t)θ0
(
Y [0](t)
))′ =
= lim
t↑ω
α0|B|−σ0(1 + ξ)
[
1− σ0 −
Y [1](t, ξ)ϕ′1(Y
[1](t, ξ))
ϕ1(Y [1](t, ξ))
]
= α0|B|−σ0(1 + ξ)(1− σ0 − σ1).
(23)
Тогда с учетом (4) и (9) при t ↑ ω будем иметь
πω(t) (Y (t, ξ, 0))′
Y (t, ξ, 0)
=
= 1 + α0|B|σ0(1 + ξ)G(x)F (x(t), ξ)
(
1 +
λ0Y
[0](t)θ′0
(
Y [0](t)
)
(λ0 − 1)G(x)θ0
(
Y [0](t)
)) ∼ λ0
λ0 − 1
. (24)
Это означает, что |Y (t, ξ, 0)| = |πω(t)|
λ0(1+o(1))
λ0−1 при t ↑ ω. Поскольку в силу монотонности
функции Φ−1 имеет место одно из неравенств
1
2
∣∣∣∣Y (t,
1
2
, 0
)∣∣∣∣ < |Y (t, z1, z2| <
3
2
∣∣∣∣Y (t,
3
2
, 0
)∣∣∣∣ при |zi| ≤
1
2
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 9
1
2
∣∣∣∣Y (t,
3
2
, 0
)∣∣∣∣ < |Y (t, z1, z2)| <
3
2
∣∣∣∣Y (t,
1
2
, 0
)∣∣∣∣ при |zi| ≤
1
2
,
учитывая (9) и (10), можно выбрать число t0 ∈ [a, ω[ так, чтобы Y [0](t) ∈ ∆Y0 , Y
[1](t, z1) ∈
∈ ∆Y1 , Y (t, z1, z2) ∈ ∆Y0 при t ∈ [t0, ω[ и |zi| ≤
1
2
, i = 1, 2.
Теперь рассмотрим систему дифференциальных уравнений (22) на множестве
Ω = [x0,+∞[×D, где x0 = β ln |πω(t0)|, D =
{
(z1, z2) : |zi| ≤
1
2
, i = 1, 2
}
.
На этом множестве правые части системы (22) являются непрерывными функциями по
переменной x и дважды непрерывно дифференцируемыми по переменным z1, z2, причем
F ′
z1
(x, z1) = α0|B|−σ0F 2(x, z1)
(
σ0 − 1 +
Y [1](t(x), z1)ϕ′1(Y
[1](t(x), z1))
ϕ1(Y [1](t(x), z1))
)
,
F ′′
z2
1
(x, z1) =
2(F ′
z1
(x, z1))2
F (x, z1)
+ |B|−2σ0F 2(x, z1)
F (x, z1)Y [1](t(x), z1)ϕ′1(Y
[1](t(x), z1))
ϕ1(Y [1](t(x), z1))
×
×
[
1− Y [1](t(x), z1)ϕ′1(Y
[1](t(x), z1))
ϕ1(Y [1](t(x), z1))
+
Y [1](t(x), z1)ϕ′′1(Y
[1](t(x), z1))
ϕ′1(Y [1](t(x), z1))
]
,
K ′
z1
(x, z1, z2) = α0|B|−σ0F (x, z1)
Y (t(x), z1, z2)θ′0 (Y (t(x), z1, z2))
θ0
(
Y [0](t(x))
) ,
K ′
z2
(x, z1, z2) = −Y (t(x), z1, z2)θ′0 (Y (t(x), z1, z2))
(1 + z2)θ0
(
Y [0](t(x))
) , K ′′
z2
1
(x, z1, z2) = K ′
z1
(x, z1, z2)×
× α0|B|−σ0F (x, z1)
[
Y (t(x), z1, z2)θ′′0 (Y (t(x), z1, z2))
θ′0(Y (t(x), z1, z2))
+
F ′
z1
(x, z1)
α0|B|−σ0F (x, z1)
+ 1
]
,
K ′′
z2
2
(x, z1, z2) = −
K ′
z2
(x, z1, z2)
1 + z2
(
2 +
Y (t(x), z1, z2)θ′′0(Y (t(x), z1, z2))
(1 + z2)θ′0(Y (t(x), z1, z2))
)
,
K ′′
z2,z1
(x, z1, z2) = −
K ′
z1
(x, z1, z2)
1 + z2
[
Y (t(x), z1, z2)θ′′0(Y (t(x), z1, z2))
θ′0(Y (t(x), z1, z2))
+ 1
]
.
Разложив при каждом фиксированном x ∈ [x0,+∞[ функцию F (x, z1) по формуле
Тейлора с остатком в форме Лагранжа в окрестности z1 = 0 до второго порядка включи-
тельно, функцию K(x, z1, z2) — в окрестности точки (z1, z2) = (0, 0), а функцию |1+z2|−σ0
— в окрестности точки z2 = 0, перепишем систему (22) в виде
z′1 = F1(x) + A11(x)z1 + A12(x)z2 + R1(x, z1, z2),
(25)
z′2 = F2(x) + A21(x)z1 + A22(x)z2 + R2(x, z1, z2),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
10 М. А. БЕЛОЗЕРОВА
где
F1(x) = β [G(x)(K(x, 0, 0)− 1)−M(x)] ,
F2(x) = β
[
α0 |B|−σ0 K(x, 0, 0)F (x, 0)G(x)−B + 1
]
,
A11(x) = β
[
G(x)(K ′
z1
(x, 0, 0)− 1)−BM(x)
]
, A12(x) = βG(x)
[
K ′
z2
(x, 0, 0)− σ0K(x, 0, 0)
]
,
A21(x) = βα0 |B|−σ0 G(x)
[
K ′
z1
(x, 0, 0)F (x, 0) + K(x, 0, 0)F ′
z1
(x, 0)
]
,
A22(x) = βF2(x)− β
[
α0 |B|−σ0 F (x, 0)G(x)(σ0K(x, 0, 0)−K ′
z2
(x, 0, 0)) + B
]
,
R1(x, z1, z2) = βG(x)×
×
(1 + z2)−σ0
2∑
i,j=1
K ′′
zizj
(x, ξ1, ξ2)zizj − σ0
2∑
i=1
K ′
zi
(x, 0, 0)ziz2 +
σ0(σ0 + 1)
|1 + ξ3|σ0+2
K(x, 0, 0)z2
2
,
R2(x, z1, z2) = βA21(x)z1z2 + β(A22(x)− F2(x))z2
2 + βα0|B|−σ0G(x)×
×
[
F (x, 0) + F ′(x, 0)z1
2
(
σ0(σ0 + 1)
|1 + ξ3|σ0+2
(
K(x, 0, 0) +
2∑
i=1
K ′
zi
(x, 0, 0)zi
)
z2
2−
−2σ0
2∑
i=1
K ′
zi
(x, 0, 0)ziz2 + |1 + z2|−σ0
2∑
i,j=1
K ′
zizj
(x, ξ4, ξ5)zizj
+
+ F ′(x, 0)
(
2∑
i=1
K ′
zi
(x, 0, 0)ziz1 − σ0K(x, 0, 0)z2z1
)
+
+ F ′′(x, ξ6)K(x, z1z2)|1 + z2|−σ0z2
1
]
,
|ξi| < |zi| ≤
1
2
, i = 1, . . . , 6.
Учитывая (24) и то, что функция ϕ0(z) удовлетворяет условию S0, имеем
θ0 (Y (t(x), 0, 0)) = θ0
(
Y [0](t(x))
)
(1 + o(1)) при x → +∞.
Отсюда lim
x→+∞
K(x, 0, 0) = 1 и согласно (1.2) lim
x→+∞
K ′
zi
(x, 0, 0) = 0, i ∈ {1, 2}. Поэтому в
силу (23), (9) и (10) получаем
lim
x→+∞
Fi(x) = 0, i = 1, 2,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 11
предельная матрица коэффициентов линейной части системы (25) имеет вид
A = lim
x→+∞
A11(x) A12(x)
A21(x) A22(x)
=
β(σ0 + σ1 − 1)
λ0 − 1
βσ0(σ0 + σ1 − 1)
λ0 − 1
β
1− λ0
β(σ0 + λ0)
1− λ0
и
lim
|z1|+|z2|→0
Ri(x, z1, z2)
|z1|+ |z2|
= 0, i = 1, 2, равномерно по x ∈ [x0,+∞[.
Запишем для матрицы A характеристическое уравнение det[A− νE2] = 0, где E2 — еди-
ничная матрица второго порядка:
ν2 − β(λ0 − σ1 + 1)
(1− λ0)
ν − λ0
(σ0 + σ1 − 1)
(1− λ0)2
= 0.
В силу (11) это уравнение не имеет корней с нулевой действительной частью. Таким
образом, для системы дифференциальных уравнений (25) выполнены все условия те-
оремы 2.1 из [12]. Согласно этой теореме система (22) имеет хотя бы одно решение
{zi}2
i=1 : [x1,+∞[−→ R2, x1 ≥ x0, стремящееся к нулю при x → +∞. Ему в силу замен
(20), (21) соответствует решение y уравнения (1), допускающее при t ↑ ω асимптотиче-
ские представления
Φ(y′(t)) ∼ α0
∣∣∣∣ λ0
1− λ0
∣∣∣∣−σ0
I0
1 (t)θ0
(
y0
0|πω(t)|
λ0
λ0−1
)
,
y′(t)
y(t)
∼ λ0
(λ0 − 1)πω(t)
.
Используя (19), первое из них перепишем в виде
y′(t)
ϕ1(y′(t))|y′(t)|σ0
∼ α0
∣∣∣∣ λ0
1− λ0
∣∣∣∣−σ0
(1− σ0 − σ1)I0
1 (t)θ0
(
y0
0|πω(t)|
λ0
λ0−1
)
при t ↑ ω.
Отсюда с учетом (1), условия S0, (9), (10) следует, что y является Pω(Y0, Y1, λ0)-решением
уравне-
ния (1).
Теорема доказана.
В качестве примера рассмотрим на промежутке ]0,+∞[ дифференциальное уравне-
ние
y′′ = ctγ |y|σ0 | ln |y||µ0 |y′|σ1 exp
(√
| ln |y′||
)
, (26)
где c ∈ R\{0}, σ0, σ1, µ0 ∈ R, σ0 +σ1 6= 1. Это уравнение является уравнением (1), в кото-
ром α0 = sign c, p(t) = |c|tγ , ϕ0(z) = |z|σ0 | ln |z||µ0 , ϕ1(z) = |z|σ1 exp
(√
| ln |z||
)
. Очевидно,
что в данном случае функция ϕ0 удовлетворяет (7), а значит и условию S0, в то время
как функция ϕ1 не удовлетворяет условию S1. Таким образом, уравнение (26) допускает
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
12 М. А. БЕЛОЗЕРОВА
применение полученной теоремы. При ее использовании нам потребуются следующие
вспомогательные обозначения:
c0 =
c(1− σ0 − σ1)
γ + σ0 + 1
[
|c|σ0+σ1 |1− σ0 − σ1|σ1−µ0+2σ0
|γ + σ0 + 1|σ0+σ1 |γ − σ1 + 2|µ0−σ0
] 1
1−σ0−σ1
,
c1 =
c(1− σ0 − σ1)
σ0 + 1
[
|c|σ0+σ1 |1− σ0 − σ1|σ1−µ0+2σ0
|σ0 + 1|σ0+σ1 |2− σ1|µ0−σ0
] 1
1−σ0−σ1
.
Сначала исследуем вопрос о наличии и асимптотике P+∞(Y0, Y1, λ0)-решений, где λ0 ∈
∈ R\{0, 1}. При этом можем считать, что a = 2.
В данном случае
πω(t) = t, I0
1 (t) = |c|
t∫
A+∞
τγ+σ0dτ.
Поэтому с учетом выбора предела интегрирования A+∞ получим при t → +∞ представ-
ление
I0
1 (t) ∼
|c|
γ + σ0 + 1
tγ+σ0+1, если γ + σ0 6= −1,
|c| ln t, если γ + σ0 = −1.
(27)
Кроме того,
lim
t→+∞
t
(
I0
1 (t)
)′
I0
1 (t)
= γ + σ0 + 1. (28)
Тогда в силу (27) и (28) из теоремы вытекает следующее утверждение.
Следствие 1. Для существования P+∞(Y0, Y1, λ0)-решений, λ0 ∈ R\{0, 1}, уравнения
(26) необходимо, а если
γ + 2− σ1
σ0 + γ + 1
6= σ1 − 1 либо (1− σ0 − σ1)(1− σ1) > 0, (29)
то и достаточно выполнения условий
λ0 =
γ + 2− σ1
σ0 + γ + 1
, γ − σ1 6= −2, σ0 + γ + 1 6= 0. (30)
Более того, для каждого такого P+∞
(
Y0, Y1,
γ + 2− σ1
σ0 + γ + 1
)
-решения имеют место при
t → +∞ асимптотические представления
y′(t) ∼ c0
[
tγ+σ0+1 lnµ0 t exp
(
sign (σ0 − σ1 − 1)
√∣∣∣∣ γ + σ0 + 1
1− σ0 − σ1
∣∣∣∣ ln t
)] 1
1−σ0−σ1
,
y(t) ∼ c0(1− σ0 − σ1)
γ − σ1 + 2
[
t2+γ−σ1 lnµ0 t exp
(
sign (σ0 − σ1 − 1)
√∣∣∣∣ γ + σ0 + 1
1− σ0 − σ1
∣∣∣∣ ln t
)] 1
1−σ0−σ1
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 13
Выбрав теперь в качестве ω любое число из промежутка (0,+∞), исследуем вопрос о
наличии и асимптотике Pω(Y0, Y1, λ0)-решений уравнения (26), где λ0 ∈ R\{0, 1}. В этом
случае πω(t) = t − ω, I0
1 (t) = |A|
∫ t
Aω
τγ(ω − τ)σ0 dτ. Поэтому с учетом выбора пределов
интегрирования получим при t ↑ ω представления
I0
1 (t) ∼
− |A|ω
γ
σ0 + 1
(ω − t)σ0+1, если σ0 6= −1,
−|A|ωγ ln(ω − t), если σ0 = −1.
(31)
Кроме того,
lim
t↑ω
(ω − t)
(
I0
1 (t)
)′
I0
1 (t)
= σ0 + 1. (32)
Тогда, используя теорему, получаем такое утверждение.
Следствие 2. Для существования Pω(Y0, Y1, λ0)-решений, λ0 ∈ R\{0, 1}, уравнения (26)
необходимо, а если
2− σ1
σ0 + 1
6= σ1 − 1 либо (1− σ0 − σ1)(1− σ1) > 0, (33)
то и достаточно выполнения условий
λ0 =
2− σ1
σ0 + 1
, σ1 − 2 6= 0, σ0 + 1 6= 0. (34)
Более того, для каждого такого Pω
(
Y0, Y1,
2− σ1
σ0 + 1
)
-решения имеют место при t ↑ ω
асимптотические представления
y′(t) ∼ −c1
[
tσ0+1| ln(ω − t)|µ0 exp
(
sign (σ0 − σ1 − 1)
√∣∣∣∣ σ0 + 1
1− σ0 − σ1
ln(ω − t)
∣∣∣∣
)] 1
1−σ0−σ1
,
y(t) ∼ c1(1− σ0 − σ1)
2− σ1
×
×
[
(ω − t)2−σ1 lnµ0(ω − t) exp
(
sign (σ0 − σ1 − 1)
√∣∣∣∣ σ0 + 1
1− σ0 − σ1
ln(ω − t)
∣∣∣∣
)] 1
1−σ0−σ1
.
Теперь рассмотрим вопрос о существовании и асимптотике при t ↓ ω, 0 ≤ ω <
< +∞, решений, определенных в правой окрестности ω. Для исследования таких реше-
ний выполним замену
z(τ) = y(t), ω − τ = t− ω. (35)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
14 М. А. БЕЛОЗЕРОВА
В результате замены получим уравнение
z′′ = A(2ω − τ)γ |z|σ0 | ln |z| |µ0 |z′|σ1 exp
(√
| ln |z′||
)
, (36)
которое теперь следует исследовать при τ ↑ ω. Решение уравнения (26), соответству-
ющее при этом Pω(Y0, Y1, λ0)-решению уравнения (36), будем называть Pω+(Y0, Y1, λ0)-ре-
шением.
Поскольку при 0 < ω < +∞ lim
τ↑ω
(2ω − τ)γ = ωγ , для уравнения (36) имеют место
предельные соотношения (31) и (32). В этом случае вопрос об асимптотике при t ↓ ω
Pω+(Y0, Y1, λ0)-решений уравнения (26) может быть решен на основании теоремы с уче-
том замен (35). Таким образом, приходим к следующему утверждению.
Следствие 3. Для существования Pω+(Y0, Y1, λ0)-решений, λ0 ∈ R\{0, 1}, уравнения
(26) необходимо, а если выполняется условие (33), то и достаточно выполнения усло-
вий (34). Более того, для каждого такого Pω+
(
Y0, Y1,
2− σ1
σ0 + 1
)
-решения имеют место
при t ↓ ω асимптотические представления
y′(t) ∼ −c1
[
tσ0+1| ln(t− ω)|µ0 exp
(
sign (σ0 − σ1 − 1)
√∣∣∣∣ σ0 + 1
1− σ0 − σ1
ln(t− ω)
∣∣∣∣
)] 1
1−σ0−σ1
,
y(t) ∼ c1(1− σ0 − σ1)
σ1 − 2
×
×
[
(t− ω)2−σ1 | ln(t− ω)|µ0 exp
(
sign (σ0 − σ1 − 1)
√∣∣∣∣ σ0 + 1
1− σ0 − σ1
ln(t− ω)
∣∣∣∣
)] 1
1−σ0−σ1
.
Далее заметим, что при ω = 0 уравнение (36) принимает вид
z′′ = A|τ |γ |z|σ0 | ln |z||µ0 |z′|σ1 exp
(√
| ln |z′||
)
.
Это уравнение следует исследовать при τ ↑ 0, причем π0(τ) = τ, I0
1 (τ) = −|A|
∫ τ
Aω
(−t)σ0+γ dt.
Поэтому при τ ↑ 0
I0
1 (τ) ∼
|A|
γ + σ0 + 1
(−τ)γ+σ0+1, если γ + σ0 6= −1,
|A| ln(−τ), если γ + σ0 = −1.
Тогда из теоремы вытекает следующее утверждение.
Следствие 4. Для существования P0+(Y0, Y1, λ0)-решений, λ0 ∈ R\{0, 1}, уравнения
(26) необходимо, а если выполняется условие (29), то и достаточно выполнения усло-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 15
вий (30). Более того, для каждого такого P0+
(
Y0, Y1,
γ + 2− σ1
σ0 + γ + 1
)
-решения имеют мес-
то при t ↓ 0 асимптотические представления
y′(t) ∼ c0
[
tγ+σ0+1| ln t|µ0 exp
(
sign (σ0 − σ1 − 1)
√∣∣∣∣ γ + σ0 + 1
1− σ0 − σ1
ln t
∣∣∣∣
)] 1
1−σ0−σ1
,
y(t) ∼ c0(1− σ0 − σ1)
γ − σ1 + 2
[
t2+γ−σ1 | ln t|µ0 exp
(
sign (σ0 − σ1 − 1)
√∣∣∣∣ γ + σ0 + 1
1− σ0 − σ1
ln t
∣∣∣∣
)] 1
1−σ0−σ1
.
Выводы. В настоящей работе устанавливаются необходимые условия существования
так называемых Pω(Y0, Y1, λ0)-решений уравнения (1) для случаев λ0 ∈ R\{0, 1}. Для
уравнений, в которых функция ϕ0 удовлетворяет условию S0, получены асимптотиче-
ские представления и доказано существование таких решений. На функцию ϕ1 не на-
кладываются никакие дополнительные ограничения, кроме (2), что требует изменения
методики исследования по сравнению с предыдущими исследованиями уравнений такого
вида.
1. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных
дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1990. — 430 c.
2. Костин А.В. Об асимптотике продолжаемых решений уравнения типа Эмдена – Фаулера // Докл.
АН СССР. — 1971. — 200, № 1. — С. 28 – 31.
3. Костин А. В., Евтухов В. М. Асимптотика решений одного нелинейного дифференциального урав-
нения // Там же. — 1976. — 231, № 5. — С. 1059 – 1062.
4. Евтухов В. М. Об одном нелинейном дифференциальном уравнении второго порядка // Там же. —
1977. — 233, № 4. — С. 531 – 534.
5. Евтухов В. М. Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференци-
альных уравнений второго порядка // Сообщ. АН ГССР. — 1982. — 106, № 3. — С. 473 – 476.
6. Wong P. K. Existence and asymptotic behavior of proper solutions of a class of second-order nonlinear di-
fferential equations // Pacif. J. Math. — 1963. — 13. — P. 737 – 760.
7. Marić V., Tomić M. Asymptotic properties of solutions of the equation y′′ = f(x)Φ(y) // Math. Z. — 1976.
— 149. — S. 261 – 266.
8. Talliaferro S. D. Asymptotic behavior of the solutions of the equation y′′ = Φ(t)f(y) // SIAM J. Math. Anal.
— 1981. — 12, № 6. — P. 1 – 24.
9. Кирилова Л. О. Асимптотичнi властивостi розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь другого по-
рядку, якi близькi до рiвнянь типу Емдена – Фаулера // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. — 2004.
— Вип. 228. — С. 30 – 35.
10. Евтухов В. М., Кириллова Л. А. Об асимптотике решений нелинейных дифференциальных уравнений
второго порядка // Дифференц. уравнения. — 2005. — 41, № 8. — С. 1053 – 1061.
11. Кириллова Л. А. Об асимптотике решений нелинейных дифференциальных уравнений второго по-
рядка // Нелiнiйнi коливання. — 2005. — 8, № 1. — С. 18 – 28.
12. Евтухов В.М. Об исчезающих на бесконечности решениях вещественных неавтономных систем квази-
линейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. — 2003. — 39, № 4. — С. 433 – 444.
Получено 18.05.08
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
|