Про локальні асимптотичні розвинення розв’язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженням у точці
Предложен алгоритм построения асимптотических решений сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений в случае простых корней характеристического уравнения. В отличие от предыдущих исследований, когда матрица при производных становится вырожденной на всем промежутке, исследуется случай, ко...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178395 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про локальні асимптотичні розвинення розв’язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженням у точці / М.І. Шкіль // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 2. — С. 279-285. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178395 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1783952021-02-20T01:27:42Z Про локальні асимптотичні розвинення розв’язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженням у точці Шкіль, М.І. Предложен алгоритм построения асимптотических решений сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений в случае простых корней характеристического уравнения. В отличие от предыдущих исследований, когда матрица при производных становится вырожденной на всем промежутке, исследуется случай, когда вырожденность происходит в одной точке. We propose an algorithm for constructing asymptotic solutions of singularly perturbed systems of differential equations in the case where the characteristic equation has simple roots. As opposed to previous studies of the case where the matrix at the derivative becomes degenerate on the entire interval, we study the case where the degeneration occurs in one point. 2009 Article Про локальні асимптотичні розвинення розв’язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженням у точці / М.І. Шкіль // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 2. — С. 279-285. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178395 517.91/943 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Предложен алгоритм построения асимптотических решений сингулярно возмущенных систем
дифференциальных уравнений в случае простых корней характеристического уравнения. В отличие от предыдущих исследований, когда матрица при производных становится вырожденной на всем промежутке, исследуется случай, когда вырожденность происходит в одной точке. |
| format |
Article |
| author |
Шкіль, М.І. |
| spellingShingle |
Шкіль, М.І. Про локальні асимптотичні розвинення розв’язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженням у точці Нелінійні коливання |
| author_facet |
Шкіль, М.І. |
| author_sort |
Шкіль, М.І. |
| title |
Про локальні асимптотичні розвинення розв’язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженням у точці |
| title_short |
Про локальні асимптотичні розвинення розв’язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженням у точці |
| title_full |
Про локальні асимптотичні розвинення розв’язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженням у точці |
| title_fullStr |
Про локальні асимптотичні розвинення розв’язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженням у точці |
| title_full_unstemmed |
Про локальні асимптотичні розвинення розв’язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженням у точці |
| title_sort |
про локальні асимптотичні розвинення розв’язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженням у точці |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178395 |
| citation_txt |
Про локальні асимптотичні розвинення розв’язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженням у точці / М.І. Шкіль // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 2. — С. 279-285. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT škílʹmí prolokalʹníasimptotičnírozvinennârozvâzkívsingulârnozburenihsistemdiferencíalʹnihrívnânʹzvirodžennâmutočcí |
| first_indexed |
2025-07-15T16:52:06Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:52:06Z |
| _version_ |
1837732544161775616 |
| fulltext |
УДК 517.91/943
ПРО ЛОКАЛЬНI АСИМПТОТИЧНI РОЗВИНЕННЯ
РОЗВ’ЯЗКIВ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ВИРОДЖЕННЯМ У ТОЧЦI
М. I. Шкiль
Нац. пед. ун-т
Україна, 01030, Київ, вул. Пирогова, 9
We propose an algorithm for constructing asymptotic solutions of singularly perturbed systems of di-
fferential equations in the case where the characteristic equation has simple roots. As opposed to previous
studies of the case where the matrix at the derivative becomes degenerate on the entire interval, we study
the case where the degeneration occurs in one point.
Предложен алгоритм построения асимптотических решений сингулярно возмущенных систем
дифференциальных уравнений в случае простых корней характеристического уравнения. В от-
личие от предыдущих исследований, когда матрица при производных становится вырожден-
ной на всем промежутке, исследуется случай, когда вырожденность происходит в одной точке.
1. Останнiм часом все бiльше математикiв займаються дослiдженням сингулярно збуре-
них систем диференцiальних рiвнянь, як лiнiйних, так i нелiнiйних, у яких матриця при
похiдних може бути виродженою. Бiблiографiю з цих дослiджень можна знайти в моно-
графiї [1], а також у роботах [2 – 4]. При цьому розглядалися випадки, коли матриця є
виродженою на всьому промiжку, на якому дослiджується система диференцiальних рiв-
нянь.
У данiй роботi розглядається випадок, коли виродженiсть у системi настає в однiй
точцi, i, отже, наведенi вище результати не можуть бути застосовними.
2. Розглянемо систему лiнiйних диференцiальних рiвнянь
εE(t)
dx
dt
= A(t)x, x(0) = x0, (1)
у якiй x = x(t), x0 — n-вимiрнi вектори, A(t) — (n × n)-матриця, ε, 0 < ε ≤ ε0, — малий
параметр, t ∈ [0;L] — дiйсна змiнна, E(t) — дiагональна (n× n)-матриця вигляду
E(t) = (1, 1, . . . ,︸ ︷︷ ︸
n−r
1, tp1 , tp2 , . . . , tpr︸ ︷︷ ︸
r
), (2)
p1 ≥ 1, . . . , pr ≥ 1 — натуральнi числа, 1 ≤ r ≤ n.
Як випливає з (2), матриця E(t) при t = 0 стає виродженою.
На матрицю A(t) накладемо умови:
10) на вiдрiзку [0;L] вона є неперервною;
20) iснує скiнченна границя
lim
t→0
(t>0)
(E−1(t)A(t)) = K 6= 0, (3)
c© М. I. Шкiль, 2009
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 279
280 М. I. ШКIЛЬ
де E−1(t) — обернена матриця до матрицi E(t) (при t > 0 E−1(t) iснує), 0 — нульова
матриця.
3. Вивчатимемо асимптотику (за параметром ε) на вiдрiзку 0 ≤ t ≤ δ (δ = δ(ε) > 0
— число, яке буде визначено нижче). Систему диференцiальних рiвнянь (1) при t ∈ (0;L]
можна записати у виглядi
ε
dx
dt
= B(t) x, (4)
де
B(t) = E−1(t)A(t). (5)
При виконаннi умови 20 iснує lim
t→0
(t>0)
B(t) i
lim
t→0
(t>0)
B(t) = K. (6)
Тодi B(t) у точцi t = 0 можна довизначити за принципом неперервностi [5], ввiвши
матрицю
C(t) =
{
B(t), t ∈ (0;L],
K, t = 0.
(7)
Отже, далi розглядатимемо довизначену в точцi t = 0 систему диференцiальних рiв-
нянь
ε
dx
dt
= C(t)x, x(0) = x0, (8)
у якiй матриця C(t), згiдно з умовою 10, є неперервною на вiдрiзку [0;L].
Введемо до розгляду матрицю
D(t) = C(t)−K. (9)
Згiдно з (6) i (7), iснує окiл точки t = 0, 0 ≤ t ≤ δ (цим самим визначено число 0 <
< δ = δ(ε) ≤ L), такий, що для будь-яких t ∈ [0; δ] i ε ∈ (0; ε0] норма ‖ D(t) ‖ матрицi
D(t) задовольняє нерiвнiсть
‖ D(t) ‖≤ εαb, (10)
де α > 1 — довiльне дiйсне число, b > 0 — дiйсне число, яке не залежить вiд ε.
Тодi систему диференцiальних рiвнянь (8) можна записати у виглядi
ε
dx
dt
= Kx + D(t)x, x(0) = x0. (11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
ПРО ЛОКАЛЬНI АСИМПТОТИЧНI РОЗВИНЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 281
Введемо пiдстановку
x = Xy, (12)
де X = X(t, ε) — розв’язок початкової задачi X(0, ε) = E (E — одинична матриця) для
матричного рiвняння
ε
dX
dt
= KX. (13)
Рiвняння (13) має нормальну фундаментальну систему розв’язкiв
X = exp
(
1
ε
Kt
)
. (14)
Тодi пiдстановка (12) зводить систему диференцiальних рiвнянь (11) до еквiвалентної сис-
теми iнтегральних рiвнянь
x = exp
(
1
ε
Kt
)
x0 +
1
ε
t∫
0
exp
(
1
ε
K(t− t1)
)
D(t1)x(t1, ε)dt1. (15)
Далi припускатимемо виконання умови:
30) характеристичнi числа матрицi K простi i їх дiйснi частини недодатнi. Тодi iснують
числа c1 > 0, c2 > 0, якi не залежать вiд ε i такi, що для будь-яких t, t1 ∈ [0; δ] i ε ∈ (0; ε1],
0 < ε1 ≤ ε0, мають мiсце оцiнки ∥∥∥∥exp
(
1
ε
Kt
)
x0
∥∥∥∥ ≤ c1, (16)
∥∥∥∥exp
(
1
ε
K(t− t1)
)
D(t1)
∥∥∥∥ ≤ c2ε
α. (17)
Тому iз спiввiдношення (15) отримуємо нерiвнiсть
‖x‖ ≤ c1 + εα−1
0 c2
t∫
0
‖x(t1, ε)‖dt1, 0 ≤ t ≤ δ ≤ L. (18)
Застосовуючи до нерiвностi (18) вiдому лему Беллмана [6], отримуємо
‖x(t, ε)‖ ≤ c1e
εα−1
0 c2L, (19)
0 ≤ t ≤ δ ≤ L, 0 < ε ≤ ε1 ≤ ε0, ‖x‖ — норма вектора x. Отже, розв’язок x(t, ε) системи
диференцiальних рiвнянь (8) з початковою умовою x(0) = x0 є обмеженим для будь-яких
t ∈ [0; δ], 0 < δ < L, i ε ∈ (0; ε1], 0 < ε1 ≤ ε0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
282 М. I. ШКIЛЬ
Тодi для другого доданка в рiвностi (15) маємо оцiнку∥∥∥∥∥∥
t∫
0
exp
(
1
ε
K(t− t1)
)
D(t1)x(t1, ε)dt1
∥∥∥∥∥∥ ≤ εα−1c2 c1e
εα−1
0 c2LL. (20)
Отриманi вище результати можна сформулювати у виглядi теореми.
Теорема 1. Якщо матриця A(t) задовольняє умови 10 – 30 , то iснує вiдрiзок [0; δ] ⊂
⊂ [0;L] (δ = δ(ε) > 0 — число, яке визначається спiввiдношенням (10)) такий, що для
будь-яких t ∈ [0; δ] i ε ∈ (0; ε1], 0 < ε1 ≤ ε0, розв’язок системи диференцiальних рiвнянь
(8) можна зобразити у виглядi асимптотичної (за параметром ε) формули
x(t, ε) =
(
exp
(
K
t
ε
)
+ O(εα−1)
)
x0. (21)
4. Наведемо кiлька прикладiв.
Приклад 1. Розглянемо окремий випадок, коли в системi (1) E(t) є скалярною матри-
цею
E(t) = tpE, (22)
E — одинична матриця, p ≥ 1 — натуральне число, а вiд матрицi A(t) вимагатимемо, щоб
вона в околi точки t = 0 мала неперервнi похiднi до порядку p включно i щоб виконува-
лись умови
A(0) = A′(0) = . . . = A(p−1)(0) = 0, A(p)(0) 6= 0, (23)
де 0 — нульова матриця, A′(0), . . . , A(p)(0) — вiдповiднi похiднi матрицi A(t) в точцi t = 0.
Тодi A(t) можна розвинути за формулою Тейлора, яка при виконаннi умов (23) має
вигляд
A(t) =
A(p)(θt)
p!
tp, 0 < θ < 1. (24)
Для розглядуваного випадку iснує границя (3) i дорiвнює
K =
A(p)(0)
p!
. (25)
Отже, згiдно з теоремою 1, правильною є формула
x(t, ε) =
(
exp
(
A(p)(0)
p!
t
ε
)
+ 0(εα−1)
)
x0. (26)
Зауваження 1. Асимптотичнi формули (21), (26) мають локальний характер (вони є
правильними в околi 0 ≤ t ≤ δ ⊂ [0;L] точки t = 0). Однак, якщо матриця A(t) на
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
ПРО ЛОКАЛЬНI АСИМПТОТИЧНI РОЗВИНЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 283
вiдрiзку [0;L] має похiднi до порядку m + 1 (m ≥ p) включно i виконуються умови (23),
до системи (1) у розглядуваному випадку можна застосувати методи автора [7] i асимпто-
тичну формулу для розв’язку можна отримати на всьому вiдрiзку [0;L]. Увагу автора на
такий можливий випадок звернув академiк А. М. Самойленко.
Зауваження 2. Отриманi результати в даному прикладi можна узагальнити на той ви-
падок, коли при похiднiй змiнна t входить з дробовим додатним показником
p
q
, q ≥ 2.
Тодi, виконуючи замiну t = τ q, систему зводимо до вигляду
ετp+1 dx
dτ
= L(τ)x, x(0) = x0,
де
L(τ) = qτ q A(τ q). (27)
Вiд матрицi L(τ) вимагатимемо, щоб її похiднi до порядку p+1 включно задовольняли
умови
L(0) = . . . = L(p)(0) = 0, L(p+1)(0) 6= 0. (28)
Тодi iснує
lim
τ→0
(τ−(p+1)L(τ)) =
1
(p + 1)!
L(p+1)(0) = K ′. (29)
Згiдно з теоремою 1, для розв’язку розглядуваної системи на вiдрiзку [0; q
√
δ ] правильною
є формула
x(t, ε) =
(
exp
(
K ′
q
√
t
ε
)
+ 0(εα−1)
)
x0. (30)
Приклад 2. Розглянемо задачу Кошi для скалярного диференцiального рiвняння
ε2tp
d2y
dt2
+ a(t)y = 0 (31)
з початковими умовами
y(0) = y0, y′(0) = y′0, (32)
де y′(0) =
dy
dt
при t = 0, ε > 0 — малий параметр, p ≥ 1 — натуральне число.
Припускатимемо, що функцiя a(t) є неперервною на вiдрiзку [0;L] i задовольняє таку
умову: iснує границя
lim
t→0
(t>0)
(t−pa(t)) = b 6= 0. (33)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
284 М. I. ШКIЛЬ
Тодi рiвняння (31) пiдстановками
y = x1, εy′ = x2 (34)
зводиться до системи (1), в якiй
x =
∥∥∥∥ x1
x2
∥∥∥∥ , A(t) =
∥∥∥∥ 0 1
−a(t) 0
∥∥∥∥ ,
E(t) =
∥∥∥∥ 1 0
0 tp
∥∥∥∥ , x0 =
∥∥∥∥ y0
εy′0
∥∥∥∥ . (35)
Матриця B(t) в формулi (5) i lim
t→0
B(t) вiдповiдно дорiвнюють
B(t) = E−1(t)A(t) =
∥∥∥∥ 0 1
t−pa(t) 0
∥∥∥∥ ,
K =
∥∥∥∥ 0 1
b 0
∥∥∥∥ 6= 0, (36)
0 — нульова матриця.
Отже, для системи (1), у якiй матрицi заданi формулами (35), (36), виконуються умови
теореми 1. Тому для розв’язку даної системи правильною є асимптотична формула (21).
5. Узагальнимо результати на системи бiльш загального вигляду. Розглянемо систему
диференцiальних рiвнянь вигляду
εB1(t)
dx
dt
= A(t)x, x(0) = x0, (37)
де x = x(t) i x0 — n-вимiрнi вектори, B1(t) i A(t) — (n × n)-матрицi, ε > 0 — малий
параметр.
Нехай виконуються умови:
1) матрицi A(t), B1(t) є неперервними на вiдрiзку [0;L];
2) матриця B1(t) стає особливою в однiй внутрiшнiй точцi t = c iнтервалу (0;L) (c ∈
∈ (0;L)), тобто рiвняння
det B1(t) = 0 (38)
має лише один iзольований корiнь t = c ∈ (0;L);
3) iснує границя матрицi Π(t) = B−1
1 (t)A(t) :
lim
t→c
(t>c)
Π(t) = K̃ 6= 0, (39)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
ПРО ЛОКАЛЬНI АСИМПТОТИЧНI РОЗВИНЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ . . . 285
де B−1
1 (t) — обернена матриця до B1(t) (B−1
1 (t) iснує при t ∈ (c;L)), 0 — нульова матриця.
Тодi, як наслiдок iз теореми 1, випливає наступна теорема.
Теорема 2. Якщо виконуються умови 1 – 3, то iснує окiл [c; c+δ], 0 < δ ≤ L−c, точки
c такий, що для всiх t ∈ [c; c + δ] правильною є асимптотична формула
x(t, ε) = exp
((
K̃
t
ε
)
+ O
(
εα−1
))
x0. (40)
Зауваження 3. Теорема 2 дає можливiсть будувати „праву” (t ≥ c) асимптотику за
параметром ε для розв’язку системи (37). Однак якщо матриця Π(t) має в точцi t = c лiву
границю:
lim
t→c
(t<c)
Π(t) = K̃ ′ 6= 0, (41)
то методом теореми 1 можна побудувати „лiву” (t < c) асимптотику. Якщо настане випа-
док K̃ = K̃ ′, то „права” i „лiва” асимптотики в точцi t = c збiгаються i є неперервними.
1. Самойленко А. М., Шкiль М. I., Яковець В. П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродження-
ми. — Київ: Вища шк., 2000. — 294 с.
2. Шкiль М. I., Рашевський М. О. Асимптотичне iнтегрування лiнiйних диференцiальних рiвнянь при на-
явностi точок повороту // Доп. НАН України. — 1998. — № 8. — С. 46 – 50.
3. Шкиль Н. И., Завизион Г. В. Системы сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравне-
ний // Укр. мат. журн. — 1999. — 51, № 12. — С. 1694 – 1703.
4. Шкiль М. I., Самусенко П. Ф. Зведення певного класу систем диференцiальних рiвнянь до L-дiагональ-
ного вигляду // Вiсн. нац. ун-ту „Львiв. полiтехнiка”. Прикл. математика. — 2000. — № 411. — С. 349 –
354.
5. Фихтенгольц Г. И. Основы математического анализа: В 3 т. — М.: Гостехтеориздат, 1955. — Т. 1. —
215 с.
6. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. — М.: Изд-во иност. лит.,
1954. — 215 c.
7. Шкiль М. I. Асимптотичнi методи в диференцiальних рiвняннях. — Київ: Вища шк., 1971. — 225 c.
Одержано 25.09.07
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
|