Еквівалентність замкнених 1-форм на замкнених неорієнтованих поверхнях
Исследуются замкнутые 1-формы с изолированными нулями на замкнутых неориентируемых поверхностях рода p ≥ 1. Доказан критерий топологической эквивалентности замкнутых 1-форм....
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178398 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Еквівалентність замкнених 1-форм на замкнених неорієнтованих поверхнях / Н.В. Будницька // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 2. — С. 155-167. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178398 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1783982021-02-20T01:27:00Z Еквівалентність замкнених 1-форм на замкнених неорієнтованих поверхнях Будницька, Н.В. Исследуются замкнутые 1-формы с изолированными нулями на замкнутых неориентируемых поверхностях рода p ≥ 1. Доказан критерий топологической эквивалентности замкнутых 1-форм. We study closed 1-forms on closed nonoriented surfaces of genus p ≥ 1, with isolated zeros, and prove a criterion for topological equivalence of closed 1-forms. 2009 Article Еквівалентність замкнених 1-форм на замкнених неорієнтованих поверхнях / Н.В. Будницька // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 2. — С. 155-167. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178398 515.164.13, 517.91 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Исследуются замкнутые 1-формы с изолированными нулями на замкнутых неориентируемых
поверхностях рода p ≥ 1. Доказан критерий топологической эквивалентности замкнутых
1-форм. |
| format |
Article |
| author |
Будницька, Н.В. |
| spellingShingle |
Будницька, Н.В. Еквівалентність замкнених 1-форм на замкнених неорієнтованих поверхнях Нелінійні коливання |
| author_facet |
Будницька, Н.В. |
| author_sort |
Будницька, Н.В. |
| title |
Еквівалентність замкнених 1-форм на замкнених неорієнтованих поверхнях |
| title_short |
Еквівалентність замкнених 1-форм на замкнених неорієнтованих поверхнях |
| title_full |
Еквівалентність замкнених 1-форм на замкнених неорієнтованих поверхнях |
| title_fullStr |
Еквівалентність замкнених 1-форм на замкнених неорієнтованих поверхнях |
| title_full_unstemmed |
Еквівалентність замкнених 1-форм на замкнених неорієнтованих поверхнях |
| title_sort |
еквівалентність замкнених 1-форм на замкнених неорієнтованих поверхнях |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178398 |
| citation_txt |
Еквівалентність замкнених 1-форм на замкнених неорієнтованих поверхнях / Н.В. Будницька // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 2. — С. 155-167. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT budnicʹkanv ekvívalentnístʹzamknenih1formnazamknenihneoríêntovanihpoverhnâh |
| first_indexed |
2025-07-15T16:52:19Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:52:19Z |
| _version_ |
1837732556570624000 |
| fulltext |
УДК 515.164.13, 517.91
ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ЗАМКНЕНИХ 1-ФОРМ
НА ЗАМКНЕНИХ НЕОРIЄНТОВАНИХ ПОВЕРХНЯХ
Н. В. Будницька
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 01033, Київ, вул. Володимирська, 64
e-mail: Nadya VB@ukr.net
We study closed 1-forms on closed nonoriented surfaces of genus p ≥ 1, with isolated zeros, and prove a
criterion for topological equivalence of closed 1-forms.
Исследуются замкнутые 1-формы с изолированными нулями на замкнутых неориентируемых
поверхностях рода p ≥ 1. Доказан критерий топологической эквивалентности замкнутых
1-форм.
1. Вступ. У роботi [1] наведено топологiчну класифiкацiю замкнених 1-форм з iзольо-
ваними критичними точками та замкненими рекурентними траєкторiями. У роботi [2]
встановлено необхiднi та достатнi умови топологiчної еквiвалентностi замкнених 1-форм
з iзольованими нулями на орiєнтованих поверхнях роду p ≥ 1. Метою цiєї роботи є зна-
ходження необхiдних та достатнiх умов топологiчної еквiвалентностi замкнених 1-форм з
iзольованими нулями на неорiєнтованих поверхнях роду p ≥ 1. Для доведення використо-
вуються число обертання Пуанкаре, гомотопiчний клас обертання, введений С. Х. Аран-
соном i В. З. Грiнесом [3], орбiта гомотопiчного класу обертання, введена С. Х. Арансо-
ном, Е. В. Жужомою, I. А. Тельних [4].
2. Основнi означення. Нагадаємо деякi означення з роботи [2]. Нехай M — замкнена
поверхня роду p.
Означення 1. Диференцiальною 1-формою на M називається вираз ω = A(x, y)dx +
+B(x, y)dy, де A(x, y), B(x, y) : M → R — гладкi функцiї, (x, y) — локальнi координати.
Позначимо через N(ω) множину нулiв форми ω.
Означення 2. Крива γ ⊂ M, що не мiстить нулiв, називається iнтегральною кривою
форми ω, якщо локально вона є рiвнем функцiї f такої, що ω = df.
Ми будемо розглядати лише максимальнi iнтегральнi кривi (якi не є власними пiдмно-
жинами iнших кривих) i називатимемо їх просто кривими.
Для кожного досить малого околу O(z) точки z крива, що проходить через z, розбиває
O(z) на двi частини: додатну {v : f(v)− f(z) > 0} i вiд’ємну {v : f(v)− f(z) < 0}.
Означення 3. Диференцiальнi 1-форми ω1 i ω2 на M називаються траєкторно еквi-
валентними, якщо iснує гомеоморфiзм h : M → M, що вiдображає нулi в нулi, а кривi
в кривi. При цьому h називається траєкторною еквiвалентнiстю. Якщо, крiм того,
h зберiгає розбиття кожного малого околу точки z ∈ M\N(ω) на додатну i вiд’єм-
ну частини, то його називають топологiчною еквiвалентнiстю, а вiдповiднi форми —
топологiчно еквiвалентними.
c© ОН. В. Будницька, 2009
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 155
156 Н. В. БУДНИЦЬКА
Об’єднання додатних частин околiв будемо називати додатною пiдобластю, а вiд’єм-
них — вiд’ємною пiдобластю.
Означення 4. Нуль 1-форми називається iзольованим, якщо iснує його окiл, що не
мiстить iнших нулiв.
Означення 5. Iнтегральна крива γ : R → M називається рекурентною, якщо γ ⊂
⊂ {z ∈ M : ∃{tn} → ±∞, γ(tn) → z, n → ∞}.
З означення 5 випливає, що якщо iнтегральна крива є замкненою або скрiзь щiльною
в M, то вона є рекурентною.
1-Форма називається замкненою, якщо dω = 0. Вiдомо, що якщо iснує функцiя f ∈
∈ C2(G), де G — вiдкрита множина, то ω = df тодi i тiльки тодi, коли ω замкнена в G. Тому
далi будемо розглядати такi 1-форми ω, для яких локально iснує функцiя f : ω = df. Вiдомо
[5], що для кожної критичної точки z0 (крiм локального мiнiмуму i максимуму) iснує окiл,
у якому функцiя спряжена з функцiєю Re (x+iy)k для деякого числа k ∈ N\{1}. Можливi
лише два види iзольованих точок: сiдло i центр.
У цiй роботi будемо розглядати замкненi 1-форми з iзольованими нулями.
Нехай ω — замкнена 1-форма з iзольованими нулями на замкненiй поверхнi. Об’єд-
нання нулiв та iнтегральних кривих, що їх з’єднують, будемо розглядати як граф G(ω),
що вкладений у поверхню. При цьому якщо з нуля виходить незамкнена рекурентна пiв-
траєкторiя, то для отримання графа G(ω) ми обрiжемо цю пiвкриву на деякiй вiдстанi вiд
нуля i отримаємо ребро з однiєю вершиною валентностi 1. Вершинами графа є нулi або
вершини валентностi 1, а ребрами — iнтегральнi кривi, що їх з’єднують.
Розглянемо тор T 2 як фактор-простiр евклiдової площини R2 з координатами x, y по
цiлочисловiй решiтцi Z2, яка iзоморфна фундаментальнi групi тора. Позначимо через π
проекцiю R2 на T 2. Нехай на T 2 задано потiк f t, L — додатна пiвтраєкторiя f t i l : x =
= x(t), y = y(t), t ∈ [0,+∞), — її прообраз на R2.
Вiдомо [6] (теорема 4.4.), що якщо x2(t)+y2(t) → +∞ при t → +∞, то iснує скiнченна
або нескiнченна границя
ν(L) = lim
t→+∞
y(t)
x(t)
, (1)
яка не залежить вiд вибору прообразу l в π−1(L). Число ν(L) називається числом обертан-
ня додатної пiвтраєкторiї L потоку f t на T 2. Аналогiчно визначається число обертання
вiд’ємної пiвтраєкторiї. Вiдмiтимо, що число обертання не залежить вiд вибору пiвтра-
єкторiї потоку f t на T 2, прообраз якої на R2 залишає компактну частину площини. Тому
для такого потоку f t на T 2 можна говорити про одне число, визначене в (1), для будь-
якої пiвтраєкторiї, щоб лише її прообраз на R2 залишав компактну частину площини.
Таке число ν називається числом обертання Пуанкаре потоку f t на торi T 2.
Означення 6 [6]. Потiк f t
1 на торi T 2 з числом обертання Пуанкаре ν1 топологiчно
еквiвалентний за допомогою гомеоморфiзму ϕ : T 2 → T 2 потоку f t
2 на T 2 з числом
обертання Пуанкаре ν2, якщо ν1 =
c + dν2
a + bν2
, де
(
a b
c d
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ЗАМКНЕНИХ 1-ФОРМ НА ЗАМКНЕНИХ НЕОРIЄНТОВАНИХ ПОВЕРХНЯХ 157
— цiлочислова матриця з визначником рiвним 1, яка iндукована ϕ. Числа обертання ν1
i ν2, що задовольняють це спiввiдношення, називаються сумiрними.
Вiдомо [2], що для того щоб двi замкненi 1-форми, заданi на орiєнтованiй поверхнi
роду 1, були топологiчно еквiвалентними, необхiдно i достатньо, щоб числа обертання
пiвкривих цих замкнених 1-форм були сумiрними.
Наступнi поняття були введенi в роботi [3] для орiєнтованої поверхнi роду p ≥ 2
i в роботi [4] для неорiєнтованої поверхнi роду p ≥ 4. Тому будемо розглядати M як
замкнену орiєнтовану поверхню роду p ≥ 2 або замкнену неорiєнтовану поверхню роду
p ≥ 4. Нехай H2 — круг Пуанкаре, який є унiверсальною накривною M, ∂H2 = S1
∞ —
абсолют, H2 ∩ S1
∞ = ∅, π : H2 → M — проекцiя, Γ — група iзометрiй, що дiють на
H2. Нехай h : M → M — гомеоморфiзм поверхнi, h̄ : H2 → H2 — накриваючий його
гомеоморфiзм. Тодi h̄ iндукує автоморфiзм групи Γ вигляду r(g1) = g2 = h̄ ◦ g1 ◦ h̄−1. I
навпаки, будь-який автоморфiзм групи Γ iндукується накриваючим для деякого гомео-
морфiзму поверхнi. Накриваючий гомеоморфiзм продовжується до гомеоморфiзму аб-
солюту r∗ : S1
∞ → S1
∞. Таким чином, кожен автоморфiзм групи Γ iндукує гомеоморфiзм
абсолюту. Нехай L — пiвтраєкторiя на M, тодi l — її пiдняття в H2. Позначимо через δ(l)
граничну точку пiвтраєкторiї l, що належить абсолюту.
Означення 7 [4, 6]. Гомотопiчним класом обертання пiвтраєкторiї L потоку f t на
M називається множина µ(L) =
⋃
g∈Γ
g(δ(l)).
Iншими словами, µ(L) — об’єднання граничних точок на S1
∞ усiх пiднять пiвтраєкто-
рiї L.
Означення 8 [6]. Два гомотопiчних класи обертання µ(L1) i µ(L2) пiвтраєкторiй L1 i
L2 потокiв f t
1 i f t
2 на M називаються сумiрними внаслiдок автоморфiзму r групи Γ, якщо
µ(L2) = r∗(µ(L1)), де r∗ — гомеоморфiзм абсолюту S1
∞, який єдиним чином iндукований
автоморфiзмом r.
Означення 9 [4]. Об’єднання O(L) =
⋃
r∗∈H(Γ)
r∗(µ(L)) називається орбiтою гомото-
пiчного класу обертання пiвтраєкторiї L, де H(Γ) — множина гомеоморфiзмiв абсолю-
ту, iндукованих усiма автоморфiзмами групи Γ.
Нагадаємо, що потiк є транзитивним, якщо вiн має скрiзь щiльну траєкторiю, а потiк,
будь-яка одновимiрна траєкторiя якого скрiзь щiльна на поверхнi, є надтранзитивним.
За теоремою 1 з роботи [4] два транзитивних потоки, якi не мають станiв рiвноваги
з двома сепаратрисами i заданi на неорiєнтованiй поверхнi M роду p = 3, є топологiчно
еквiвалентними тодi i тiльки тодi, коли числа обертання цих потокiв є сумiрними.
За теоремою 4 з роботи [4] два надтранзитивних потоки, якi не мають станiв рiвноваги
з двома сепаратрисами, на замкненiй неорiєнтованiй поверхнi M роду p ≥ 4 є тополо-
гiчно еквiвалентними тодi i тiльки тодi, коли iснують двi нетривiальнi рекурентнi сепарат-
риси цих потокiв з однаковими орбiтами обертання.
Вiдомо [2], що для того щоб двi замкненi 1-форми, заданi на орiєнтованiй поверхнi
M роду p ≥ 2, були топологiчно еквiвалентними, необхiдно i достатньо, щоб iснувало
по однiй незамкненiй рекурентнiй сепаратрисi цих замкнених 1-форм, що мають сумiрнi
гомотопiчнi класи обертання.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
158 Н. В. БУДНИЦЬКА
3. Приклади потокiв i замкнених 1-форм на неорiєнтованих поверхнях. Вiдомо, що
кожне векторне поле на замкненому многовидi породжує потiк. Навпаки, кожен потiк
задає траєкторiї для кожної точки, а отже, i векторне поле, що складається з дотичних
векторiв до цих траєкторiй. Тому далi поняття потоку i векторного поля будемо ототож-
нювати.
Нехай M — поверхня роду p ≥ 1 i γ — деяка крива на M, що не має витокiв, стокiв i
пiвкривих, ω- або α-граничними множинами яких є кривi, гомеоморфнi колу S1. Вiдомо,
що будь-яку поверхню (орiєнтовану i неорiєнтовану) можна подати у R2 у виглядi пра-
вильного 4p-кутника для орiєнтованої поверхнi i 2p-кутника для неорiєнтованої, де p —
рiд поверхнi, з вiдповiдними ототожненими сторонами. Далi будемо записувати 4p (2p)-
кутник для орiєнтованої (неорiєнтованої) поверхнi.
Введемо на 4p (2p)-кутнику декартовi координати x i y, кривiй γ вiдповiдає в 4p-кутни-
ку крива, яку ми будемо також позначати γ.
На правильному 4p (2p)-кутнику задано стандартну метрику, як на площинi, i вона iн-
дукує метрику на поверхнi.
Нехай γ — iнтегральна крива замкненої 1-форми ω = A(x, y)dx+B(x, y)dy, де A(x, y),
B(x, y) — гладкi функцiї з M в R. Тодi в кожнiй точцi (x0, y0) ∈ γ, що належить 4p-кутнику,
1-формi ω можна спiвставити векторне поле P з компонентами A(x0, y0) i B(x0, y0), тоб-
то вектор p̄ = (A(x0, y0), B(x0, y0)) ∈ P. Оскiльки ми розглядаємо замкнену 1-форму
ω = A(x, y)dx + B(x, y)dy, то в околi довiльної точки (x0, y0), а отже i в самiй точцi, що
належить iнтегральнiй кривiй γ, iснує функцiя f така, що ω = df, тобто A(x0, y0)dx +
+B(x0, y0)dy = df(x0, y0) =
∂f(x0, y0)
∂x
dx +
∂f(x0, y0)
∂y
dy. Звiдcи отримуємо A(x0, y0) =
=
∂f(x0, y0)
∂x
, B(x0, y0) =
∂f(x0, y0)
∂y
. Тобто довiльнiй замкненiй 1-формi ω в околi кожної
точки (x0, y0), а отже i в самiй точцi, що належить γ, можна задати єдиний вектор p̄ =
= (A,B) =
(
∂f
∂x
,
∂f
∂y
)
∈ P.
Означення 10. Будемо вважати, що вектор p̄ напрямлений вiд кривої з меншим зна-
ченням рiвня (з вiд’ємної частини околу) до кривої з бiльшим значенням рiвня (в додат-
ну частину околу), тобто локально порiвнює двi сусiднi iнтегральнi кривi замкненої
1-форми ω, i називатимемо його порiвнюючим напрямком у точцi.
Якщо пiсля ототожнення вiдповiдних сторiн у 4p (2p)-кутнику в кожнiй точцi, що на-
лежить межi склеювання, вектори p̄ ∈ P збiгаються, то будемо ототожнювати векторне
поле P i замкнену 1-форму ω, оскiльки в цьому випадку, маючи векторне поле P, можна
знайти замкнену 1-форму ω, i навпаки. Якщо ж на межi склеювання iснує хоча б одна точ-
ка, що належить γ, яка має два рiзних вектори з поля P, то векторне поле P не визначає
замкнену 1-форму ω i γ не є iнтегральною кривою ω.
Нехай r(t) — радiус-вектор, що задає криву γ у 4p (2p)-кутнику. Тодi в кожнiй точцi, що
належить γ, можна задати дотичний вектор v̄ := ṙ(t) — вектор швидкостi в данiй точцi.
Вектор v̄ задає напрямок руху в цiй точцi. Рухаючись по кривiй, ми отримаємо в кожнiй
точцi по одному такому вектору. Позначимо множину всiх дотичних векторiв швидкостi
через V. Якщо пiсля ототожнення вiдповiдних сторiн у 4p (2p)-кутнику в кожнiй точцi,
що належить межi склеювання, вектори v̄ ∈ V збiгаються (тобто немає точки на межi з
двома рiзними векторами), то V можна розглядати як векторне поле, яке будемо назива-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ЗАМКНЕНИХ 1-ФОРМ НА ЗАМКНЕНИХ НЕОРIЄНТОВАНИХ ПОВЕРХНЯХ 159
ти дотичним векторним полем (щоб вiдрiзняти вiд iнших можливих векторних полiв), а
криву γ — як траєкторiю дотичного векторного поля V.
Маючи векторне поле P (V ), поворотом p̄ на 90◦ за годинниковою стрiлкою (пово-
ротом v̄ на 90◦ проти годинникової стрiлки) можна отримати вектор v̄ (p̄). Тобто, маючи
поле P, можна отримати поле V, i навпаки.
Вiдомо, що якщо 4p-кутник є замкненою орiєнтованою поверхнею, то пiсля ототож-
нення вiдповiдних сторiн в 4p-кутнику в кожнiй точцi, що належить межi склеювання,
вектори дотичного векторного поля v̄ ∈ V збiгаються. А оскiльки, як ми показали, до-
тичне векторне поле V завжди визначає векторне поле P, то на межi склеювання поле
P буде визначене однозначно i задаватиме замкнену 1-форму. Тому для дослiдження iн-
тегральних кривих замкнених 1-форм на орiєнтованих поверхнях можна дослiджувати
траєкторiї дотичних векторних полiв. У випадку, коли 2p-кутник є замкненою неорiєнто-
ваною поверхнею, це не так: не кожна замкнена 1-форма задає дотичне векторне поле, i
навпаки, про що свiдчать наступнi приклади.
Приклад 1. Побудуємо кривi на неорiєнтованiй поверхнi, якi задають траєкторiї до-
тичного векторного поля, але не задають iнтегральнi кривi замкненої 1-форми. Як не-
орiєнтовану поверхню розглянемо пляшку Клейна, яку задамо через ототожнення сто-
рiн [x; 0] з [x; 1] i [0; y] з [1; 1− y], де x, y ∈ [0; 1] у квадратi [0; 1]× [0; 1] ⊂ R2.
Горизонтальнi прямi у квадратi [0; 1] × [0; 1] ⊂ R2 задають траєкторiї дотичного век-
торного поля
∂x
∂t
= 1,
∂y
∂t
= 0,
оскiльки при склеюваннi всiх вiдповiдних сторiн квадрата орiєнтацiя траєкторiй на гра-
ницi склеювання зберiгається. Локально кожнi двi траєкторiї можна порiвняти, тобто за-
дати порiвнюючий напрямок вiд одного рiвня до iншого. Пiсля склеювання вертикальних
сторiн у квадратi порiвнюючi напрямки не зберiгаються, тому що на границi склеювання
вони протилежно напрямленi. Склейка горизонтальних сторiн ситуацiю не змiнить.
Отже, розглянутi кривi задають траєкторiї дотичного векторного поля, але не зада-
ють iнтегральнi кривi замкненої 1-форми.
Приклад 2. Побудуємо кривi на неорiєнтованiй поверхнi, якi задають iнтегральнi кри-
вi замкненої 1-форми, але не задають траєкторiї дотичного векторного поля. Як неорiєн-
товану поверхню розглянемо пляшку Клейна, яку задамо через ототожнення сторiн [x; 0]
з [x; 1] i [0; y] з [1; 1− y], де x, y ∈ [0; 1] у квадратi [0; 1]× [0; 1] ⊂ R2.
Вертикальнi прямi у квадратi [0; 1] × [0; 1] ⊂ R2 задають iнтегральнi кривi замкненої
1-форми ω = dx, оскiльки локально кожнi двi iнтегральнi кривi можна порiвняти, тоб-
то задати порiвнюючий напрямок мiж рiвнями, i при склеюваннi всiх вiдповiдних сторiн
квадрата орiєнтацiя порiвнюючих напрямкiв на границi склеювання зберiгається. За до-
помогою порiвнюючих напрямкiв розглянемо дотичнi вектори, якi будуть задавати вер-
тикальнi прямi з напрямком у квадратi [0; 1] × [0; 1] ⊂ R2. Цi напрямленi прямi не будуть
задавати траєкторiй дотичного векторного поля, тому що при склеюваннi вертикальних
сторiн квадрата орiєнтацiя кривої на границi склеювання буде рiзною, тобто в кожнiй
точцi дотичний вектор буде неоднозначним. Склейка горизонтальних сторiн ситуацiю не
змiнить.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
160 Н. В. БУДНИЦЬКА
Отже, розглянутi кривi задають iнтегральнi кривi замкненої 1-форми i не задають тра-
єкторiй дотичного векторного поля.
4. Топологiчна еквiвалентнiсть замкнених 1-форм на неорiєнтованих поверхнях. 4.1.
Неорiєнтована поверхня роду p = 1 або p = 2.
Теорема 1. Нехай M — замкнена неорiєнтована поверхня роду p = 1 або p = 2 i на M
задано двi замкненi 1-форми: ω1 i ω2. Для того щоб ω1 i ω2 були топологiчно еквiвалент-
ними, необхiдно i достатньо, щоб для G(ω1) i G(ω2) виконувались умови:
1) iснує гомеоморфiзм f : M → M, обмеження якого на G(ω1) задає iзоморфiзм
графiв G(ω1) i G(ω2);
2) областi, що обмеженi ребрами графа G(ω1), переходять в областi, що обмеженi
образами цих ребер у графi G(ω2);
3) додатнi пiдобластi переходять у додатнi, а вiд’ємнi — у вiд’ємнi.
Доведення. За теоремами 1 i 2 з роботи [7] вiдомо, що на неорiєнтованих поверхнях
роду p = 1 (проективнiй площинi) i p = 2 (пляшцi Клейна) не iснує незамкнених реку-
рентних пiвтраєкторiй, тому G(ω1) 6= ∅, G(ω2) 6= ∅ i доведення є аналогiчним доведенню
орiєнтованого випадку з роботи [2].
4.2. Неорiєнтована поверхня роду p = 3. Розглянемо замкнену неорiєнтовану поверх-
ню M роду p = 3, i нехай на M задано транзитивний потiк без сiдел з двома сепаратриса-
ми, тобто потiк, що має незамкнену скрiзь щiльну траєкторiю. Вiдомо [4], що будь-який
транзитивний потiк, що не має сiдел з двома сепаратрисами, на замкненiй неорiєнтованiй
поверхнi роду 3 має лише одне сiдло з 4 сепаратрисами, де двi з них „зливаються”, утво-
рюючи петлю, при цьому досить малий окiл петлi сепаратриси гомеоморфний листку
Мьобiуса. Подамо неорiєнтовану поверхню M роду p = 3 як композицiю тора з дiркою
i ковпака Мьобiуса. Тодi петля, досить малий окiл якої гомеоморфний листку Мьобiуса,
лежить на межi склейки тора з дiркою i ковпака Мьобiуса. Покажемо, що незамкненi
рекурентнi пiвтраєкторiї транзитивного потоку не можуть рухатись по ковпаку Мьобi-
уса. Припустимо супротивне: нехай на ковпаку Мьобiуса такi пiвтраєкторiї iснують. За-
клеївши межу диском i стягнувши диск у точку, отримаємо проективну площину, на якiй
задано незамкненi рекурентнi траєкторiї, чого бути не може. Тодi незамкненi рекурентнi
траєкторiї рухаються по тору з дiркою. Далi траєкторiї потоку будемо називати траєкто-
рiями, а траєкторiї замкненої 1-форми — iнтегральними кривими чи просто кривими.
Розставивши порiвнюючi напрямки мiж траєкторiями цього транзитивного потоку,
отримаємо, що на межi петлi всi порiвнюючi стрiлки входять або виходять з петлi. Оскiль-
ки в петлi протилежнi точки ототожнюються, то при ототожненнi кожної пари проти-
лежних точок у кожнiй новоутворенiй точцi буде по два протилежно напрямлених порiв-
нюючих вектори. Тому траєкторiї цього транзитивного потоку не є iнтегральними кри-
вими замкненої 1-форми.
Виконаємо наступну побудову: розставимо порiвнюючi напрямки мiж траєкторiями
iснуючого транзитивного потоку, розглянемо порiвнюючi напрямки як дотичнi вектори
до деяких кривих i побудуємо цi кривi. Новоутворенi кривi i будуть iнтегральними кри-
вими замкненої 1-форми, оскiльки порiвнюючi напрямки мiж цими iнтегральними кри-
вими будуть дотичними векторами транзитивного потоку, а тому вони скрiзь узгодженi
(немає жодної точки, в якiй задано два рiзних дотичних вектори). Аналогiчно можна по-
казати, що iнтегральнi кривi замкненої 1-форми однозначно породжують траєкторiї по-
току. В цьому випадку будемо говорити, що траєкторiї потоку ортогонально породили
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ЗАМКНЕНИХ 1-ФОРМ НА ЗАМКНЕНИХ НЕОРIЄНТОВАНИХ ПОВЕРХНЯХ 161
iнтегральнi кривi замкненої 1-форми або просто потiк ортогонально породив замкнену
1-форму.
Отже, потiк однозначно ортогонально породжує замкнену 1-форму, i навпаки, замкне-
на 1-форма однозначно ортогонально породжує потiк. Оскiльки транзитивнi потоки не
мають сiдел з двома сепаратрисами, то побудованi за ними замкненi 1-форми також не
будуть мати сiдел з двома сепаратрисами, i навпаки. Далi ми без додаткових пояснень
будемо використовувати цi факти.
Iнтегральнi кривi замкненої 1-форми будуть мати на M одне сiдло валентностi 4, а
незамкненi рекурентнi пiвкривi будуть рухатися по тору. Зауважимо, що iншого вигляду
iнтегральнi кривi замкненої 1-форми на M мати не можуть, бо якби iснували кривi iншого
вигляду, то iснував би iнший транзитивний потiк, вiдмiнний вiд заданого, чого бути не
може.
Лема 1. Нехай на замкненiй неорiєнтованiй поверхнi M роду p = 3 задано топологiч-
но еквiвалентнi замкненi 1-форми ω1, ω2 i f t
1, f t
2 — транзитивнi потоки, ортогонально
породженi ω1, ω2. Числа обертання незамкнених рекурентних пiвтраєкторiй транзи-
тивних потокiв f t
1 i f t
2 сумiрнi тодi i тiльки тодi, коли числа обертання незамкнених
рекурентних пiвкривих замкнених 1-форм ω1, ω2 сумiрнi.
Доведення. Як ми показали, незамкненi рекурентнi пiвтраєкторiї транзитивного пото-
ку рухаються по тору. Якщо цi пiвтраєкторiї рухаються по тору пiд кутом α, то незамкненi
рекурентнi пiвкривi замкненої 1-форми рухаються пiд кутом 90◦+α. Оскiльки незамкненi
рекурентнi пiвтраєкторiї транзитивного потоку утворюють iррацiональну обмотку тора,
то tg α є iррацiональним, тодi tg (90◦+α) = −ctg α = − 1
tg α
також є iррацiональним, i не-
замкненi рекурентнi пiвкривi замкненої 1-форми також утворюють iррацiональну обмот-
ку тора i не мають замкнених кривих.
За умовою iснує топологiчна еквiвалентнiсть h, а оскiльки за iнтегральними кривими
1-форми однозначно будується транзитивний потiк, то h можна розглядати як топологiч-
ну еквiвалентнiсть i мiж транзитивними потоками.
Згiдно з теоремою 1 з роботи [4], числа обертання потокiв f t
1 i f t
2 сумiрнi. Нехай α
— кут, пiд яким пiвтраєкторiї транзитивного потоку f t
1 рухаються по M ; β — кут, пiд
яким пiвтраєкторiї транзитивного потоку f t
2 рухаються по M. Тодi tg α i tg β — числа
обертання потокiв f t
1 i f t
2 вiдповiдно; tg α i tg β сумiрнi, тобто iснує цiлочислова матриця з
визначником рiвним 1: (
a b
c d
)
,
яка задає спiввiдношення
tg α =
c + d tg β
a + b tg β
. (2)
Перетворимо (2) таким чином:
tg α =
c+d tg β
tg β
a+b tg β
tg β
=
c ctg β + d
a ctg β + b
=
−c ctg β − d
−a ctg β − b
=
c tg (90◦ + β)− d
a tg (90◦ + β)− b
,
1
tg α
= ctg α =
a tg (90◦ + β)− b
c tg (90◦ + β)− d
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
162 Н. В. БУДНИЦЬКА
Помножимо на −1 обидвi частини попередньої рiвностi:
−ctg α = −a tg (90◦ + β)− b
c tg (90◦ + β)− d
,
tg (90◦ + α) =
−(a tg (90◦ + β)− b)
c tg (90◦ + β)− d
=
b− a tg (90◦ + β)
−d + c tg (90◦ + β)
.
Ми отримали, що числа обертання tg (90◦ + α) i tg (90◦ + β) незамкнених рекурентних
iнтегральних пiвкривих замкнених 1-форм ω1 i ω2 вiдповiдно сумiрнi, бо iснує матриця(
−d c
b −a
)
,
яка є цiлочисловою, оскiльки a, b, c, d цiлi, з визначником рiвним 1, тому що (−d)(−a) −
−bc = 1.
Лему доведено.
Теорема 2. Нехай M — замкнена неорiєнтована поверхня роду p = 3 i на M задано
двi замкненi 1-форми: ω1 i ω2. Для того щоб ω1 i ω2 були топологiчно еквiвалентними,
необхiдно i достатньо, щоб:
1) для G(ω1) i G(ω2) виконувались умови:
iснує гомеоморфiзм f : M → M, обмеження якого на G(ω1) задає iзоморфiзм графiв
G(ω1) i G(ω2);
областi, що обмеженi ребрами графа G(ω1), переходять в областi, що обмеженi обра-
зами цих ребер у графi G(ω2);
додатнi пiдобластi переходять у додатнi, вiд’ємнi — у вiд’ємнi;
2) для областей з M\G(ωi), що мiстять незамкнену рекурентну пiвкриву, числа обер-
тання незамкнених рекурентних пiвкривих замкнених 1-форм ω1 i ω2 повиннi бути сумiр-
ними.
Доведення. Необхiднiсть. Розглянемо такi випадки:
1. Нехай iнтегральнi кривi ω1 i ω2 не мають незамкнених рекурентних пiвкривих, тодi
п. 2 теореми не буде, а G(ω1) 6= ∅, G(ω2) 6= ∅ i п. 1 випливає з побудови.
2. Нехай iнтегральнi кривi ω1 i ω2 мають незамкненi рекурентнi кривi. Тодi iнтегральнi
кривi замкнених 1-форм будуть мати на M одне сiдло валентностi 4, а незамкненi реку-
рентнi кривi будуть щiльно заповнювати тор. Тобто G(ω1) 6= ∅ i G(ω2) 6= ∅ будуть iзо-
морфними i умови п. 1 будуть виконуватися. Нехай h — топологiчна еквiвалентнiсть мiж
ω1 i ω2. Оскiльки ω1 i ω2 однозначно ортогонально iндукують транзитивнi потоки f t
1 i f t
2
на M, то h розглянемо як топологiчну еквiвалентнiсть f t
1 i f t
2. За теоремою 1 з роботи [4]
числа обертання цих потокiв є сумiрними. З леми 1 випливає, що незамкненi рекурентнi
пiвкривi замкнених 1-форм ω1 i ω2 мають сумiрнi числа обертання. Це i є п. 2 теореми.
Достатнiсть. Розглянемо M\G(ωi), i = 1, 2, — об’єднання областей двох типiв:
1) заповнених замкненими кривими;
2) заповнених незамкненими рекурентними кривими.
Як i в роботi [2], зафiксуємо структуру прямого добутку на областях типу 1 i продов-
жимо гомеоморфiзм мiж графами G(ωi) до топологiчної еквiвалентностi мiж областями.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ЗАМКНЕНИХ 1-ФОРМ НА ЗАМКНЕНИХ НЕОРIЄНТОВАНИХ ПОВЕРХНЯХ 163
Якщо ω1 i ω2 мають на M незамкненi рекурентнi пiвкривi, то за допомогою ω1 i ω2
однозначно будуємо транзитивнi потоки f t
1 i f t
2 на M. За лемою 1 числа обертання пiв-
траєкторiй f t
1 i f t
2 сумiрнi. З теореми 1 роботи [4] випливає, що транзитивнi потоки f t
1 i
f t
2, заданi на неорiєнтованiй поверхнi M роду p = 3, є топологiчно еквiвалентними, тобто
iснує гомеоморфiзм, що переводить траєкторiї f t
1 у траєкторiї f t
2 зi збереженням орiєнта-
цiї. Оскiльки f t
1 i f t
2 однозначно задають замкненi 1-форми ω1 i ω2, то знайдений гомеомор-
фiзм переводить iнтегральнi кривi ω1 в iнтегральнi кривi ω2. Рухаючись по траєкторiях
потокiв f t
1 i f t
2, частини околiв кожної точки, що знаходяться злiва, будемо називати до-
датними, а тi, що знаходяться справа, — вiд’ємними. Повернувшись вiд потокiв f t
1 i f t
2 до
кривих ω1 i ω2, отримаємо гомеоморфiзм, який переводить кривi ω1 у кривi ω2, додат-
нi частини околiв у додатнi, а вiд’ємнi — у вiд’ємнi. Тодi знайдений гомеоморфiзм буде
шуканою топологiчною еквiвалентнiстю областей типу 2.
За необхiдностi, пiдправляючи топологiчну еквiвалентнiсть областей з M\G(ωi) в око-
лах їх меж (графiв) так, щоб топологiчна еквiвалентнiсть при обмеженнi на межi збiга-
лась з гомеоморфiзмами графiв, отримуємо в сукупностi шукану топологiчну еквiвалент-
нiсть поверхнi M.
4.3. Неорiєнтована поверхня роду p ≥ 4. Розглянемо замкнену неорiєнтовану поверх-
ню M роду p ≥ 4, i нехай на M задано замкненi 1-форми ω1 i ω2, якi мають скiнченне
число станiв рiвноваги i сепаратрис, не мають станiв рiвноваги з двома сепаратрисами i
сепаратрис, що з’єднують рiзнi сiдла або одне i те ж сiдло, iнтегральнi кривi цих 1-форм
скрiзь щiльно заповнюють M. Оскiльки замкнена 1-форма однозначно ортогонально по-
роджує потiк, то розглянемо потоки f t
1, f t
2, заданi на поверхнi M, якi ортогонально по-
родженi замкненими 1-формами ω1 i ω2. Потоки f t
1, f t
2 будуть надтранзитивними, оскiль-
ки за рахунок замкнених 1-форм вони не мають станiв рiвноваги з двома сепаратрисами,
сепаратрис, що з’єднують рiзнi сiдла або одне i те ж сiдло, i iнтегральнi кривi ω1 i ω2 скрiзь
щiльно заповнюють M. Тому f t
1 i f t
2 також будуть скрiзь щiльно заповнювати M, тобто
будь-яка одновимiрна траєкторiя кожного з потокiв f t
1, f t
2 скрiзь щiльна на поверхнi M.
Зазначимо також, що f t
1, f t
2 мають скiнченне число станiв рiвноваги i сепаратрис.
Лема 2. Нехай на замкненiй неорiєнтованiй поверхнi M роду p ≥ 4 задано топологiч-
но еквiвалентнi замкненi 1-форми ω1, ω2 i f t
1, f t
2 — транзитивнi потоки, ортогонально
породженi ω1, ω2. У потокiв f t
1 i f t
2 є по однiй нетривiальнiй рекурентнiй сепаратрисi,
що мають однаковi орбiти обертання тодi i тiльки тодi, коли iснує по однiй незамк-
ненiй рекурентнiй сепаратрисi замкнених 1-форм ω1 i ω2, якi мають однаковi орбiти
обертання.
Доведення. Необхiднiсть. За побудовою в кожнiй точцi, вiдмiннiй вiд сiдла, траєкто-
рiї потокiв f t
1, f t
2 i iнтегральнi кривi замкнених 1-форм ω1, ω2 будуть перетинатися транс-
версально, тобто пiд кутами 90◦, а в сiдлах кут мiж кожною парою сусiднiх сепаратрис
потоку i 1-форми буде дорiвнювати
360◦
2n
(n — валентнiсть сiдла). Оскiльки f t
1 i f t
2 буду-
ються однозначно з ω1 i ω2, то топологiчну еквiвалентнiсть h : M → M мiж f t
1 i f t
2 можна
розглядати як топологiчну еквiвалентнiсть мiж потоками ω1 i ω2.
За теоремою 4 з роботи [4] iснують незамкнена рекурентна сепаратриса L1 потоку f t
1
i незамкнена рекурентна сепаратриса L2 потоку f t
2 з однаковими орбiтами. Нехай x0 ∈ L1
— сiдло, з якого виходить сепаратриса L1 (для сепаратриси, яка входить у сiдло, мiркуван-
ня аналогiчнi). Тодi в сiдлi x0 iснує сепаратриса K1 замкненої 1-форми ω1, яка отримана
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
164 Н. В. БУДНИЦЬКА
поворотом L1 на кут
360◦
2n
(n — валентнiсть сiдла x0) проти годинникової стрiлки.
Позначимо через l1 i k1 деякi прообрази на H2 сепаратрис L1 i K1. Нехай a1 i b1 —
граничнi точки на абсолютi S1
∞ сепаратрис l1 i k1 вiдповiдно. Оскiльки π : H2 → M —
конформне вiдображення, то π зберiгає кути, i тому кут мiж l1 i k1 дорiвнює
360◦
2n
. Можна
вважати, що вони перетинаються пiд кутом
360◦
2n
. Тому k1 можна отримати з l1 поворотом
S1
∞ на
360◦
2n
проти годинникової стрiлки.
Позначимо через n̄ вiдображення повороту на
360◦
2n
проти годинникової стрiлки, тоб-
то n̄(l1) = k1.
Нехай l2 — довiльна сепаратриса з прообразу L1 на H2, вiдмiнна вiд l1, тодi iснує
g1 ∈ Γ таке, що g1(l1) = l2. Оскiльки π : H2 → M — конформне вiдображення накрит-
тя, то iснує сепаратриса k2 — прообраз K1, вiдмiнний вiд k1, яка має з l2 спiльне сiдло i
n̄(l2) = k2. Тодi n◦g1◦n−1 можна розглядати як вiдображення групи Γ : n̄◦g1◦n̄−1(k1) = k2.
Спiвставимо вiдображенню g1 ∈ Γ вiдображення n◦g1 ◦n−1 ∈ Γ. Нехай a2 i b2 — граничнi
точки на абсолютi S1
∞ сепаратрис l2 i k2 вiдповiдно. Спiвставимо граничним точкам a1 i
b1 граничнi точки a2 i b2. Тобто ми отримали вiдповiдностi g1 → n̄ ◦ g1 ◦ n̄−1, a1 → b1,
a2 → b2. Аналогiчно розглянувши всi конгруентнi до l1 сепаратриси {li} з H2, отримаємо
всi конгруентнi до k1 сепаратриси {ki} i кожному вiдображенню gi ∈ Γ : gi(li) = lj , i 6= j,
спiвставимо вiдображення n̄ ◦ gi ◦ n̄−1 ∈ Γ : n̄ ◦ gi ◦ n̄−1(ki) = kj , i 6= j. Таким чином ми
отримаємо автоморфiзм R1 групи Γ : R1(gi) = n̄ ◦ gi ◦ n̄−1. Аналогiчно задамо вiдповiд-
нiсть мiж граничними точками {li} i {ki}, тобто мiж гомотопiчними класами обертання
µ(L1) = {a1, a2, a3, . . .} i µ(K1) = {b1, b2, b3, . . .}.
З роботи [6] вiдомо, що кожен автоморфiзм R1 групи Γ єдиним чином iндукує го-
меоморфiзм R∗1 абсолюту на себе, який залишає iнварiантним множину рацiональних
i iррацiональних точок. Тому вiдповiднiсть мiж µ(L1) i µ(K1) є гомеоморфiзмом, тобто
R∗1(µ(L1)) = µ(K1).
Аналогiчно задаємо гомеоморфiзм R∗2, який породжений автоморфiзмом R2 групи Γ,
мiж гомотопiчними класами обертання µ(L2) i µ(K2), де L2 — сепаратриса потоку f t
2, яка
має з L1 однаковi орбiти, K2 — сепаратриса замкненої 1-форми ω2, яка має з L2 спiльне
сiдло i повернута по вiдношенню до L2 пiд кутом
360◦
2n
(n — валентнiсть спiльного сiдла)
проти годинникової стрiлки.
Як ми вже встановили, має мiсце рiвнiсть O(L1) = O(L2), тобто⋃
r∗1∈H(Γ)
r∗1(µ(L1)) =
⋃
r∗2∈H(Γ)
r∗2(µ(L2)). (3)
Оскiльки iснують гомеоморфiзми R∗1, R∗2 абсолюту S1
∞ такi, що R∗1(µ(L1)) = µ(K1),
R∗2(µ(L2)) = µ(K2), то рiвнiсть (3) можна записати у виглядi⋃
r∗1∈H(Γ)
r∗1 ◦ (R∗1)
−1(µ(K1)) =
⋃
r∗2∈H(Γ)
r∗2 ◦ (R∗2)
−1(µ(K2)).
Оскiльки r∗1, r∗2, R∗1, R∗2 — гомеоморфiзми абсолюту S1
∞, то r∗1 ◦ (R∗1)
−1, r∗2 ◦ (R∗2)
−1
— гомеоморфiзми S1
∞ як добуток гомеоморфiзмiв. Покажемо, що кожен з r∗1 ◦ (R∗1)
−1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ЗАМКНЕНИХ 1-ФОРМ НА ЗАМКНЕНИХ НЕОРIЄНТОВАНИХ ПОВЕРХНЯХ 165
r∗2 ◦ (R∗2)
−1 iндукований деяким автоморфiзмом групи Γ. Дiйсно, нехай r∗1 iндукований ав-
томорфiзмом r1 групи Γ, тобто r1(g1) = g2 = h̄◦g1◦h̄−1, де h̄ : H2 → H2 — гомеоморфiзм.
Як ми встановили, гомеоморфiзми R∗i , i = 1, 2, iндукованi автоморфiзмами Ri групи Γ,
тобто Ri(gi) = fi, де gi — вiдображення мiж накриваючими траєкторiями потокiв f t
i , fi
— вiдображення мiж накриваючими iнтегральними кривими замкнених 1-форм ωi. Тому
автоморфiзм r1 ◦R−1
1 групи Γ iндукує гомеоморфiзм r∗1 ◦ (R∗1)
−1 абсолюту S1
∞.
Умова r∗1 ∈ H(Γ) рiвносильна умовi r∗1 ◦ (R∗1)
−1 ∈ H(Γ), оскiльки кожен автоморфiзм
r1, що iндукує r∗1, однозначно породжує автоморфiзм r1◦R−1
1 , що iндукує r∗1◦(R∗1)−1. Тому
⋃
r∗1∈H(Γ)
r∗1(µ(L1)) =
⋃
r∗1◦(R∗1)−1∈H(Γ)
r∗1 ◦ (R∗1)
−1(µ(K1)).
Аналогiчно отримуємо, що автоморфiзм r2◦R−1
2 групи Γ iндукує гомеоморфiзм r∗2◦(R∗2)−1
абсолюту S1
∞ i
⋃
r∗2∈H(Γ)
r∗2(µ(L2)) =
⋃
r∗2◦(R∗2)−1∈H(Γ)
r∗2 ◦ (R∗2)
−1(µ(K2)).
Оскiльки має мiсце рiвнiсть (3), то
⋃
r∗1◦(R∗1)−1∈H(Γ)
r∗1 ◦ (R∗1)
−1(µ(K1)) =
⋃
r∗2◦(R∗2)−1∈H(Γ)
r∗2 ◦ (R∗2)
−1(µ(K2)),
а ця рiвнiсть i означає рiвнiсть орбiт обертання сепаратрис K1 i K2.
Достатнiсть. За умовою теореми маємо рiвнiсть O(K1) = O(K2), тобто
⋃
r∗1∈H(Γ)
r∗1(µ(K1)) =
⋃
r∗2∈H(Γ)
r∗2(µ(K2)). (4)
Оскiльки iснують гомеоморфiзми R∗1, R∗2 абсолюту S1
∞ такi, що R∗1(µ(L1)) = µ(K1),
R∗2(µ(L2)) = µ(K2), то рiвнiсть (4) можна записати у виглядi
⋃
r∗1∈H(Γ)
r∗1 ◦R∗1(µ(L1)) =
⋃
r∗2∈H(Γ)
r∗2 ◦R∗2(µ(L2)).
Як i при доведеннi необхiдностi, знаходимо автоморфiзми r1 ◦ R1, r2 ◦ R2 групи Γ, якi
iндукують гомеоморфiзми r∗1 ◦R∗1, r∗2 ◦R∗2 абсолюту S1
∞, i кожному з r1 ◦R1, r2 ◦R2 можна
спiвставити автоморфiзми r1, r2 (тому умови r∗i ∈ H(Γ), i = 1, 2, рiвносильнi умовам
r∗i ◦R∗i ∈ H(Γ)). Тому рiвнiсть (4) можна переписати у виглядi
⋃
r∗1◦R∗1∈H(Γ)
r∗1 ◦R∗1(µ(L1)) =
⋃
r∗2◦R∗2∈H(Γ)
r∗2 ◦R∗2(µ(L2)),
а ця рiвнiсть i означає рiвнiсть орбiт обертання сепаратрис L1 i L2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
166 Н. В. БУДНИЦЬКА
Лему доведено.
Теорема 3. Нехай M — замкнена неорiєнтована поверхня роду p ≥ 4 i на M задано
двi замкненi 1-форми: ω1 i ω2. Для того щоб ω1 i ω2 були топологiчно еквiвалентними,
необхiдно i достатньо, щоб:
1) для G(ω1) 6= ∅ i G(ω2) 6= ∅ виконувались умови:
iснував гомеоморфiзм f : M → M, обмеження якого на G(ω1) задавав iзоморфiзм
графiв G(ω1) i G(ω2);
областi, що обмеженi ребрами графа G(ω1), переходили в областi, що обмеженi обра-
зами цих ребер у графi G(ω2);
додатнi пiдобластi переходили у додатнi, вiд’ємнi — у вiд’ємнi;
2) для кожної з областей з M\G(ωi), що мiстить хоча б одну незамкнену рекурентну
пiвкриву, виконувались умови:
для орiєнтованих областей роду g = 1 числа обертання незамкнених рекурентних
пiвкривих замкнених 1-форм ω1 i ω2 повиннi бути сумiрними;
для орiєнтованих областей роду g ≥ 2 iснує по однiй незамкненiй рекурентнiй сепа-
ратрисi замкнених 1-форм ω1 i ω2, що мають сумiрнi гомотопiчнi класи обертання;
для неорiєнтованих областей роду g = 3 числа обертання пiвкривих замкнених
1-форм ω1 i ω2 мають бути сумiрними;
для неорiєнтованих областей роду p ≥ 4 iснує по однiй незамкненiй рекурентнiй
сепаратрисi замкнених 1-форм ω1 i ω2, що мають однаковi орбiти обертання.
Доведення. Необхiднiсть. Нехай h : M → M — задана топологiчна еквiвалентнiсть
мiж ω1 i ω2. Якщо G(ω1) 6= ∅ i G(ω2) 6= ∅, то п. 1 випливає з побудови.
Якщо iснує область V1 ⊂ M\G(ω1), що має хоча б одну незамкнену рекурентну пiв-
криву, то з топологiчної еквiвалентностi h : M → M маємо, що iснує область V2 ⊂
⊂ M\G(ω2), для якої h : V1 → V2 також топологiчна еквiвалентнiсть.
Зауважимо, що V1 — орiєнтована чи неорiєнтована область роду g, тому внаслiдок
iснування гомеоморфiзму мiж V1 i V2 область V2 є вiдповiдно орiєнтованою чи неорiєнто-
ваною областю роду g. Далi для кожної областi будемо використовувати наступну пере-
будову: позаклеюємо межi в областях V1, V2 дисками i стягнемо кожен диск у точку. Таким
чином з кожної областi V1, V2 отримаємо деякi орiєнтованi чи неорiєнтованi поверхнi ро-
ду g (щоб не вводити новi позначення, будемо позначати новоутворенi поверхнi також
через V1, V2) з заданими на них замкненими 1-формами ω1 i ω2.
З теореми Пуанкаре – Хопфа випливає, що на поверхнi роду бiльшого або рiвного 2
завжди буде iснувати сiдло (точка вiд’ємного iндексу), а тому будуть iснувати сепаратри-
си.
Розглянемо наступнi випадки:
Нехай V1 i V2 — орiєнтованi областi роду g = 1. З роботи [2] випливає потрiбний
пiдпункт теореми 3.
Нехай V1 i V2 — орiєнтованi областi роду g ≥ 2. З роботи [2] випливає потрiбний
пiдпункт теореми 3.
Нехай V1 i V2 — неорiєнтованi областi роду g = 3. З теореми 2 випливає потрiбний
пiдпункт теореми 3.
Нехай V1 i V2 — неорiєнтованi областi роду g ≥ 4. Розглянемо надтранзитивнi потоки
f t
1, f t
2, заданi на поверхнях V1, V2 i ортогонально породженi замкненими 1-формами ω1 i
ω2. Розглянемо h : V1 → V2 як топологiчну еквiвалентнiсть мiж f t
1, f t
2. За теоремою 4
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ЗАМКНЕНИХ 1-ФОРМ НА ЗАМКНЕНИХ НЕОРIЄНТОВАНИХ ПОВЕРХНЯХ 167
з роботи [4] iснують двi нетривiальнi рекурентнi сепаратриси цих потокiв з однаковими
орбiтами обертання. Тодi за лемою 2 iснує по однiй незамкненiй рекурентнiй сепаратрисi
замкнених 1-форм ω1 i ω2 з однаковими орбiтами обертання. Це i є потрiбний пiдпункт
теореми 3.
Достатнiсть. Розглянемо M\G(ωi), i = 1, 2 — об’єднання областей двох типiв:
1) заповнених замкненими траєкторiями;
2) заповнених незамкненими рекурентними траєкторiями.
Як i в роботi [2], зафiксуємо структуру прямого добутку на областях типу 1 i продов-
жимо гомеоморфiзм мiж графами до гомеоморфiзму мiж областями.
Як i при доведеннi необхiдностi, розглянемо окремо областi V1 i V2, заклеїмо межi в
∂V1 i ∂V2 дисками, якi стягнемо в точки, i отримаємо поверхнi з заданими на них замкне-
ними 1-формами ω1 i ω2. Для областей типу 2 розглянемо такi випадки:
Нехай V1 i V2 — орiєнтованi областi роду g = 1, тодi з роботи [2] випливає потрiбний
пiдпункт теореми 3.
Нехай V1 i V2 — орiєнтованi областi роду g ≥ 2, тодi з роботи [2] випливає потрiбний
пiдпункт теореми 3.
Нехай V1 i V2 — неорiєнтованi областi роду g = 3, тодi з теореми 2 випливає потрiбний
пiдпункт теореми 3.
Нехай V1 i V2 — неорiєнтованi областi роду g ≥ 4. Розглянемо надтранзитивнi потоки
f t
1, f t
2, заданi на поверхнях V1, V2 i ортогонально породженi замкненими 1-формами ω1
i ω2. Тодi за лемою 2 у потокiв f t
1 i f t
2 iснують двi нетривiальнi рекурентнi сепаратриси з
однаковими орбiтами обертання i за теоремою 4 роботи [4] iснує топологiчна еквiвалент-
нiсть мiж потоками f t
1 i f t
2, яка i є шуканою топологiчною еквiвалентнiстю мiж ω1 i ω2 з
V1 в V2.
За необхiдностi, пiдправляючи топологiчну еквiвалентнiсть областей з M\G(ωi) в око-
лах їх меж (графiв) так, щоб топологiчна еквiвалентнiсть при обмеженнi на межi збiга-
лась з гомеоморфiзмами графiв, отримуємо в сукупностi шукану топологiчну еквiвалент-
нiсть поверхнi M.
Теорему доведено.
1. Бiлун С. В., Пришляк О. О. Замкненi 1-форми Морса на замкнених поверхнях // Вiсн. Київ. нац. ун-ту.
— 2002. — № 8. — С. 77 – 81.
2. Будницька Н. В., Пришляк О. О. Еквiвалентнiсть замкнених 1-форм на орiєнтованих поверхнях // Там
же. — 2008. — № 19. — C. 36 – 38.
3. Арансон С. Х., Гринес В. З. О некоторых инвариантах динамических систем на двумерных многообра-
зиях (необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности транзитивных систем) //
Мат. сб. — 1973. — 90(132), № 3. — С. 372 – 401.
4. Арансон С. Х., Жужома Е. В., Тельных И. А. Транзитивные и сверхтранзитивные потоки на замкнутых
неориентируемых поверхностях // Мат. заметки. — 1998. — 63, вып. 4. — С. 625 – 628.
5. Prishlyak A. O. Topological equivalence of smooth function with izolated critical points on closed surface //
Top. and Appl. — 2002. — № 119. — P. 257 – 267.
6. Арансон С. Х., Гринес В. З. Топологическая классификация потоков на замкнутых поверхностях //
Успехи мат. наук. — 1986. — 41, вып. 1 (247). — С. 149 – 169.
7. Арансон С. Х., Гринес В. З. Траектории на неориентируемых двумерных многообразиях // Мат. сб. —
1969. — 80(122), № 3. — С. 314 – 333.
Одержано 02.07.08
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
|