Періодичні розв’язки систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійними відхиленнями аргументу та їх властивості
Установлены достаточные условия существования периодических решений систем линейных и нелинейных дифференциально-функциональных уравнений с линейными отклонениями аргумента и исследованы их свойства....
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178399 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Періодичні розв’язки систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійними відхиленнями аргументу та їх властивості / Н.Л. Денисенко // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 2. — С. 168-179. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178399 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1783992021-02-20T01:27:11Z Періодичні розв’язки систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійними відхиленнями аргументу та їх властивості Денисенко, Н.Л. Установлены достаточные условия существования периодических решений систем линейных и нелинейных дифференциально-функциональных уравнений с линейными отклонениями аргумента и исследованы их свойства. Sufficient conditions for existence of periodic solutions of systems of linear and nonlinear differentialfunctional equations with linear deviations of the argument have been established and their properties have been studied. 2009 Article Періодичні розв’язки систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійними відхиленнями аргументу та їх властивості / Н.Л. Денисенко // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 2. — С. 168-179. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178399 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Установлены достаточные условия существования периодических решений систем линейных
и нелинейных дифференциально-функциональных уравнений с линейными отклонениями аргумента и исследованы их свойства. |
| format |
Article |
| author |
Денисенко, Н.Л. |
| spellingShingle |
Денисенко, Н.Л. Періодичні розв’язки систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійними відхиленнями аргументу та їх властивості Нелінійні коливання |
| author_facet |
Денисенко, Н.Л. |
| author_sort |
Денисенко, Н.Л. |
| title |
Періодичні розв’язки систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійними відхиленнями аргументу та їх властивості |
| title_short |
Періодичні розв’язки систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійними відхиленнями аргументу та їх властивості |
| title_full |
Періодичні розв’язки систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійними відхиленнями аргументу та їх властивості |
| title_fullStr |
Періодичні розв’язки систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійними відхиленнями аргументу та їх властивості |
| title_full_unstemmed |
Періодичні розв’язки систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійними відхиленнями аргументу та їх властивості |
| title_sort |
періодичні розв’язки систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійними відхиленнями аргументу та їх властивості |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178399 |
| citation_txt |
Періодичні розв’язки систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійними відхиленнями аргументу та їх властивості / Н.Л. Денисенко // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 2. — С. 168-179. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT denisenkonl períodičnírozvâzkisistemdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹízlíníjnimivídhilennâmiargumentutaíhvlastivostí |
| first_indexed |
2025-07-15T16:52:23Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:52:23Z |
| _version_ |
1837732561249370112 |
| fulltext |
УДК 517.9
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
IЗ ЛIНIЙНИМИ ВIДХИЛЕННЯМИ АРГУМЕНТУ
ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТI*
Н. Л. Денисенко
Нац. техн. ун-т України „КПI”
Україна, 03056, Київ, просп. Перемоги, 37
e-mail: natalia den@bigmir.net
Sufficient conditions for existence of periodic solutions of systems of linear and nonlinear differential-
functional equations with linear deviations of the argument have been established and their properties
have been studied.
Установлены достаточные условия существования периодических решений систем линейных
и нелинейных дифференциально-функциональных уравнений с линейными отклонениями аргу-
мента и исследованы их свойства.
Рiзнi частиннi випадки систем диференцiально-функцiональних рiвнянь вигляду
ẋ(t) = f
(
t, x(t), x(λ1t), . . . , x(λkt)
)
, (1)
де λi > 0, i = 1, k, f — деяка вектор-функцiя розмiрностi n, дослiджувались багатьма
математиками i на сьогоднi низку питань їх теорiї досить добре вивчено (див. [1 – 7] i на-
ведену там бiблiографiю). Наприклад, в [1] достатньо повно дослiджено асимптотичнi
властивостi розв’язкiв лiнiйного скалярного рiвняння (n = 1), в [3] одержано достатнi
умови iснування та єдиностi обмеженого на всiй дiйснiй осi розв’язку системи нелiнiй-
них диференцiально-функцiональних рiвнянь нейтрального типу, в [4] дослiджено питан-
ня iснування неперервних при t ∈ R+ розв’язкiв лiнiйних систем рiвнянь з лiнiйно пе-
ретвореним аргументом, в [5] — асимптотичнi властивостi неперервно диференцiйов-
них i обмежених при t ∈ R+ розв’язкiв систем лiнiйних та нелiнiйних диференцiально-
функцiональних рiвнянь з лiнiйними перетвореннями аргументу. У данiй роботi дослiджу-
ється iснування перiодичних розв’язкiв деяких класiв систем диференцiально-функцiо-
нальних рiвнянь вигляду (1) та вивчаються їх властивостi.
1. Розглянемо систему диференцiально-функцiональних рiвнянь вигляду
ẋ(t) = Λx(t) +
k∑
i=1
Bi(t)x(λit) + f(t) (2)
у випадку, коли λi ∈ N, i = 1, k, t ∈ R = (−∞,+∞), Λ — стала дiйсна (n × n)-матриця,
Bi(t), i = 1, k, — дiйснi матричнi T -перiодичнi функцiї розмiрностi n × n, f(t) — дiйсна
∗ Частково пiдтримано проектом Ф25.1/021.
c© Н. Л. Денисенко, 2009
168 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 169
T -перiодична векторна функцiя розмiрностi n, тобто
Bi(t + T ) ≡ Bi(t), i = 1, k, f(t + T ) ≡ f(t).
Позначимо через µi, i = 1, n, власнi значення матрицi Λ i припустимо, що вони задо-
вольняють умову Re µi(Λ) 6= 0, i = 1, n. Тодi iснує неособлива матриця C, яка приводить
матрицю Λ до вигляду
Λ = C−1diag (Λ1,Λ2)C,
де Λ1, Λ2 — сталi матрицi розмiрностi p × p i (n − p) × (n − p), власнi значення яких
задовольняють умови
Re µi(Λ1) < 0, i = 1, . . . , p,
(3)
Re µi(Λ2) > 0, i = p + 1, . . . , n (0 < p ≤ n).
Для дослiдження питання про iснування T -перiодичних розв’язкiв системи рiвнянь (2) ви-
конаємо перетворення
ẋ(t) = Λx(t) + y(t), (4)
де y(t) ∈ C0, C0 — простiр неперервних T -перiодичних вектор-функцiй з нормою ‖y(t)‖ =
= max
t
|y(t)|. Внаслiдок (3) iз (4) безпосередньо випливає, що x(t) визначається єдиним
чином за допомогою спiввiдношення
x(t) =
+∞∫
−∞
G(t− τ)y(τ)dτ, (5)
де
G(t) =
{
C−1diag (eΛ1t, 0)C при t > 0,
−C−1diag (0, eΛ2t)C при t < 0.
(6)
Неважко показати, що для матричної функцiї G(t) = (gij(t)) виконуються наступнi
умови:
а) G(+0)−G(−0) = E, де E — одинична матриця розмiрностi n× n;
б) |G(t)| ≤ Ke−α|t| при всiх t 6= 0, де K > 0, α > 0 i |G| = max
1≤i≤n
n∑
j=1
|gij |;
в) Ġ = ΛG, t 6= 0.
Оскiльки
ẋ(t) = y(t) + Λ
+∞∫
−∞
G(t− τ)y(τ)dτ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
170 Н. Л. ДЕНИСЕНКО
то в результатi перетворення (4) система рiвнянь (2) набирає вигляду
y(t) =
k∑
i=1
Bi(t)
+∞∫
−∞
G(λit− τ)y(τ)dτ + f(t)
або
y(t) =
k∑
i=1
Bi(t)λi
+∞∫
−∞
G(λi(t− τ))y(λiτ)dτ + f(t). (7)
Для системи рiвнянь (7) має мiсце наступна теорема.
Теорема 1. Нехай виконуються умови:
1) власнi значення µi, i = 1, n, матрицi Λ такi, що має мiсце (3);
2) всi елементи матриць Bi(t), i = 1, k, i вектора f(t) є неперервними, T -перiодичними
при t ∈ R функцiями i
max
t∈R
|Bi(t)| ≤ bi < ∞, i = 1, k, max
t∈R
|f(t)| ≤ f∗ < ∞;
3) має мiсце спiввiдношення
2K
α
k∑
i=1
bi < 1. (8)
Тодi iснує єдиний неперервний T -перiодичний розв’язок γ = γ(t) системи рiвнянь (7).
Доведення. Побудуємо розв’язок системи рiвнянь (7) за допомогою методу послiдов-
них наближень, якi визначимо формулами
y0(t) = f(t),
(9)
ym(t) =
k∑
i=1
Bi(t)λi
+∞∫
−∞
G(λi(t− τ))ym−1(λiτ)dτ, m = 1, 2, . . . .
Покажемо спочатку, що при всiх m = 1, 2, . . . , t ∈ R виконуються спiввiдношення
|ym(t)− ym−1(t)| ≤ Nθm−1, (10)
де
N := f∗
(
2K
α
k∑
i=1
bi + 1
)
, θ :=
2K
α
k∑
i=1
bi.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 171
Справдi, на пiдставi умов теореми маємо
|y1(t)− y0(t)| ≤
k∑
i=1
|Bi(t)|λi
+∞∫
−∞
|G(λi(t− τ))||y0(λiτ)|dτ + |f(t)| ≤
≤
k∑
i=1
biλi
+∞∫
−∞
Ke−αλi|t−τ |f∗dτ + f∗ ≤ f∗
(
k∑
i=1
biλi
2K
αλi
+ 1
)
≤
≤ f∗
(
2K
α
k∑
i=1
bi + 1
)
,
тобто при m = 1 оцiнка (10) має мiсце. Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо, що
оцiнку (10) доведено для деякого m ≥ 1, i покажемо, що вона не змiниться при переходi
вiд m до m + 1. Дiйсно, беручи до уваги умови теореми, iз (9) одержуємо
|ym+1(t)− ym(t)| ≤
k∑
i=1
|Bi(t)|λi
+∞∫
−∞
|G(λi(t− τ))||ym(λiτ)− ym−1(λiτ)|dτ ≤
≤
k∑
i=1
biλi
+∞∫
−∞
Ke−αλi|t−τ |Nθm−1dτ ≤ Nθm−1
k∑
i=1
biλi
2K
αλi
= Nθm.
Цим доведено, що оцiнка (10) має мiсце для довiльного m ≥ 1.
Таким чином, усi наближення ym(t), m = 0, 1, 2, . . . , мають сенс, є неперервними T -
перiодичними вектор-функцiями (випливає з (9)) i для них справджується оцiнка (10).
Внаслiдок (8) i (10) ряд
+∞∑
m=1
(ym(t)− ym−1(t))
рiвномiрно збiгається для довiльного t ∈ R до деякої неперервної T -перiодичної вектор-
функцiї γ(t), яка є розв’язком системи рiвнянь (7) (це легко показати, якщо в (9) перейти
до границi при m → +∞).
Покажемо, що система рiвнянь (7) не має iнших неперервних T -перiодичних розв’яз-
кiв. Справдi, нехай iснує ще один неперервний T -перiодичний розв’язок γ(t) системи рiв-
нянь (7) i γ(t) 6= γ(t). Тодi
|γ(t)− γ(t)| ≤
k∑
i=1
biλi
+∞∫
−∞
|G(λi(t− τ))||γ(λiτ)− γ(λiτ)|dτ ≤
≤ 2K
α
k∑
i=1
bi max
t
|γ(t)− γ(t)|.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
172 Н. Л. ДЕНИСЕНКО
Отже,
‖γ(t)− γ(t)‖ ≤ θ‖γ(t)− γ(t)‖.
Одержане спiввiдношення може мати мiсце лише у випадку, коли θ ≥ 1, що суперечить
зробленому припущенню. Цим доведено, що вектор-функцiя γ(t) є єдиним неперервним
T -перiодичним розв’язком системи рiвнянь (7).
Теорему доведено.
Враховуючи теорему 1 i спiввiдношення (4), (5), знаходимо, що вектор-функцiя x̄(t) =
=
∫ +∞
−∞
G(t − τ)γ(τ)dτ є єдиним неперервним T -перiодичним розв’язком системи рiв-
нянь (2).
Продовжуючи дослiдження неперервно диференцiйовних розв’язкiв системи рiвнянь
(2), виконаємо в (2) взаємно однозначну замiну змiнних
x(t) = y(t) + x(t), (11)
де x(t) — T -перiодичний розв’язок цiєї системи рiвнянь.
Тодi дослiдження системи рiвнянь (2) зводиться до дослiдження системи
ẏ(t) = Λy(t) +
k∑
i=1
Bi(t)y(λit), (12)
для якої має мiсце наступна теорема.
Теорема 2. Нехай виконуються умови теореми 1 i спiввiдношення∗
2K
α− α∗
k∑
i=1
bi < 1, (13)
де 0 < α∗ < α. Тодi справедливими є такi твердження:
1) система рiвнянь (12) має сiм’ю неперервно диференцiйовних обмежених при t ∈
∈ [0,+∞) розв’язкiв y(t) = y(t, c), де c = (c1, . . . , cp, 0, . . . , 0), ci, i = 1, p, — довiльнi
сталi, що задовольняють умову lim
t→+∞
|y(t, c)| = 0;
2) система рiвнянь (12) має сiм’ю неперервно диференцiйовних обмежених при t ∈
∈ (−∞, 0] розв’язкiв y(t) = y(t, c), де c = (0, . . . , 0, cp+1, . . . , cn), ci, i = p + 1, n, — довiльнi
сталi, що задовольняють умову lim
t→−∞
|y(t, c)| = 0.
Доведення. Розв’язки системи рiвнянь (12) шукатимемо у виглядi
y(t) =
+∞∑
m=0
ym(t), (14)
де ym(t), m = 0, 1, 2, . . . , — деякi, поки що невiдомi, функцiї. Пiдставляючи (14) в (12),
отримуємо
+∞∑
m=0
y′m(t) = Λ
+∞∑
m=0
ym(t) +
k∑
i=1
Bi(t)
+∞∑
m=0
ym(λit).
∗ Якщо виконується умова (13), то виконується й умова (8) i, таким чином, теорема 1 має мiсце.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 173
Зрозумiло, що якщо ym(t) вибрати такими, що
y′0(t) = Λy0(t),
(15)
y′m(t) = Λym(t) +
k∑
i=1
Bi(t)ym−1(λit), m = 1, 2, . . . ,
то ряд (14) буде формальним розв’язком системи рiвнянь (12). Безпосередньою пiдста-
новкою в (15) можна переконатися, що векторнi функцiї
y0(t) = G(t)c, де c = (c1, . . . , cp, 0, . . . , 0), ci ∈ R, i = 1, p,
(16)
ym(t) =
+∞∫
0
G(t− τ)
k∑
i=1
Bi(τ)ym−1(λiτ)dτ, m = 1, 2, . . . ,
є неперервно диференцiйовними при t ∈ R+ розв’язками вiдповiдних систем рiвнянь (15).
Доведемо, що ряд (14), члени якого визначенi спiвiдношеннями (16), рiвномiрно збi-
гається при t ∈ R+. Для цього достатньо показати, що при всiх m = 0, 1, 2, . . . , t ∈ R+
виконуються спiввiдношення
|ym(t)| ≤ Nθme−α∗t, (17)
де
N := K|c|, θ := 2K
k∑
i=1
bi
1
α− α∗
.
Справдi, зважаючи на умову 1 теореми 1, маємо
|y0(t)| ≤ |G(t)||c| ≤ Ke−αt|c| < K|c|e−α∗t,
тобто при m = 0 оцiнка (17) має мiсце. Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо, що
оцiнку (17) доведено для деякого m ≥ 0, i покажемо, що вона не змiниться при переходi
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
174 Н. Л. ДЕНИСЕНКО
вiд m до m + 1. Дiйсно, беручи до уваги умови теореми, iз (16) одержуємо
|ym+1(t)| ≤
t∫
0
|G(t− τ)|
k∑
i=1
|Bi(τ)||ym(λiτ)|dτ+
+
+∞∫
t
|G(t− τ)|
k∑
i=1
|Bi(τ)||ym(λiτ)|dτ ≤
≤ KNθm
t∫
0
e−α(t−τ)
k∑
i=1
bie
−α∗λiτdτ +
+∞∫
t
eα(t−τ)
k∑
i=1
bie
−α∗λiτdτ
≤
≤ KNθm
e−αt
t∫
0
eατ
k∑
i=1
bie
−α∗τdτ + eαt
+∞∫
t
e−ατ
k∑
i=1
bie
−α∗τdτ
≤
≤ NθmK
k∑
i=1
bi
e−αt
t∫
0
e(α−α∗)τdτ + eαt
+∞∫
t
e−(α+α∗)τdτ
≤
≤ NθmK
k∑
i=1
bi
(
e−αt e
(α−α∗)t
α− α∗
+ eαt e
−(α+α∗)t
α + α∗
)
=
= NθmK
k∑
i=1
bie
−α∗t
(
1
α− α∗
+
1
α + α∗
)
= NθmK
k∑
i=1
bi
2α
α2 − α2
∗
e−α∗t ≤
≤ NθmK
k∑
i=1
bi
2
α− α∗
e−α∗t = Nθm+1e−α∗t.
Цим доведено, що оцiнка (17) має мiсце для довiльного m ≥ 0.
Звiдси безпосередньо випливає, що ряд (14) рiвномiрно збiгається для довiльного t ∈
∈ R+, |c| ≤ c∗ (c∗ — додатна стала) до деякої неперервної вектор-функцiї y(t, c), яка є
розв’язком системи рiвнянь (12).
При цьому для вектор-функцiї y(t, c) справджується оцiнка
|y(t, c)| ≤
+∞∑
m=0
|ym(t)| ≤ e−α∗tN
+∞∑
m=0
θm ≤ N
1− θ
e−α∗t,
звiдки випливає, що lim
t→+∞
|y(t, c)| = 0.
Доведемо, що так побудований розв’язок y(t) є неперервно диференцiйовним. Дiйсно,
iз спiввiдношень (15) (зважаючи на (17)) отримуємо
|y′0(t)| ≤ |Λ||y0(t)| ≤ |Λ|Ne−α∗t,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 175
|y′m(t)| ≤ |Λ||ym(t)|+
k∑
i=1
|Bi(t)||ym−1(λit)| ≤
≤ |Λ|Nθme−α∗t +
k∑
i=1
biNθm−1e−α∗t ≤ N
(
|Λ|θ +
k∑
i=1
bi
)
θm−1e−α∗t, m = 1, 2, . . . .
Звiдси випливає, що ряд
+∞∑
m=0
y′m(t)
рiвномiрно збiгається для довiльного t ∈ R+ i, отже, розв’язок y(t) є неперервно дифе-
ренцiйовним.
Таким чином, твердження 1 теореми доведено.
Доведення твердження 2 теореми проводиться за тiєю ж схемою. При цьому послi-
довнi наближення визначаються за допомогою спiввiдношень
y0(t) = G(t)c, де c = (0, . . . , 0, cp+1, . . . , cn), ci ∈ R, i = p + 1, n,
ym(t) =
0∫
−∞
G(t− τ)
k∑
i=1
Bi(τ)ym−1(λiτ)dτ, m = 1, 2, . . . ,
i задовольняють за умовами теореми спiввiдношення |ym(t)| ≤ Nθmeα∗t при всiх m =
= 0, 1, . . . , t ∈ (−∞, 0].
Теорему доведено.
Таким чином, на пiдставi (11) i теорем 1, 2 приходимо до висновку, що система рiвнянь
(2) має сiм’ю неперервно диференцiйовних розв’язкiв x(t), що залежать вiд p довiльних
сталих, якi прямують до T -перiодичного розв’язку x(t) при t → +∞, i сiм’ю неперервно
диференцiйовних розв’язкiв x(t), що залежать вiд n − p довiльних сталих, якi прямують
до T -перiодичного розв’язку x(t) при t → −∞.
2. Розглянемо тепер систему нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь ви-
гляду
ẋ(t) = Λx(t) + f
(
t, x(t), x(λ1t), . . . , x(λkt)
)
(18)
у випадку, коли λi ∈ N, i = 1, k, t ∈ R, Λ — дiйсна стала (n× n)-матриця, вектор-функцiя
f : R× Rn × . . .× Rn → Rn є неперервною за всiма змiнними T -перiодичною по t, тобто
f
(
t + T, x(t), x(λ1t), . . . , x(λkt)
)
≡ f
(
t, x(t), x(λ1t), . . . , x(λkt)
)
.
Припустимо, що власнi значення µi, i = 1, n, матрицi Λ задовольняють умову (3), i
дослiдимо питання про iснування T -перiодичних розв’язкiв системи рiвнянь (18). Викону-
ючи в (18) перетворення (4), отримуємо систему рiвнянь
y(t) = f
t,
+∞∫
−∞
G(t− τ)y(τ)dτ,
+∞∫
−∞
G(λ1t− τ)y(τ)dτ, . . . ,
+∞∫
−∞
G(λkt− τ)y(τ)dτ
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
176 Н. Л. ДЕНИСЕНКО
або
y(t) = f
t,
+∞∫
−∞
G(t− τ)y(τ)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(t− τ))y(λ1τ)dτ, . . .
. . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(t− τ))y(λkτ)dτ
, (19)
де G(t) визначається за допомогою спiввiдношення (6).
Для системи рiвнянь (19) має мiсце наступна теорема.
Теорема 3. Нехай виконуються умови:
1) власнi значення µi, i = 1, n, матрицi Λ такi, що має мiсце (3);
2) всi компоненти вектор-функцiї f(t, y0, y1, . . . , yk) є неперервними за всiма змiнними
T -перiодичними по t функцiями i max
t∈R
|f(t, 0, . . . , 0)| ≤ f∗ < ∞;
3) |f(t, ỹ0, ỹ1, . . . , ỹk) − f(t, ˜̃y0, ˜̃y1, . . . , ˜̃yk)| ≤ l
k∑
i=0
|ỹi − ˜̃yi|, де t ∈ R, ỹi, ˜̃yi ∈ Rn, i = 0, k,
l = const > 0;
4) має мiсце спiввiдношення
2Kl(k + 1)
α
< 1. (20)
Тодi при достатньо малому l iснує єдиний неперервний T -перiодичний розв’язок γ =
= γ(t) системи рiвнянь (19).
Доведення. Розв’язок системи рiвнянь (19) побудуємо за допомогою методу послiдов-
них наближень, якi визначимо формулами
y0(t) ≡ 0,
(21)
ym(t) = f
t,
+∞∫
−∞
G(t− τ)ym−1(τ)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(t− τ))ym−1(λ1τ)dτ, . . .
. . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(t− τ))ym−1(λkτ)dτ
, m = 1, 2, . . . .
Покажемо спочатку, що при всiх m = 1, 2, . . . , t ∈ R виконуються спiввiдношення
|ym(t)− ym−1(t)| ≤ Nθm−1, (22)
де
N := f∗, θ :=
2Kl(k + 1)
α
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 177
Справдi, зважаючи на умови теореми, маємо
|y1(t)− y0(t)| ≤ |f(t, 0, . . . , 0)| ≤ f∗,
тобто при m = 1 оцiнка (22) має мiсце. Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо, що
оцiнку (22) доведено для деякого m ≥ 1, i покажемо, що вона не змiниться при переходi
вiд m до m + 1. Дiйсно, беручи до уваги умови теореми, iз (21) одержуємо
|ym+1(t)− ym(t)| ≤ l
+∞∫
−∞
|G(t− τ)||ym(τ)− ym−1(τ)|dτ +
+
k∑
i=1
λi
+∞∫
−∞
|G(λi(t− τ))||ym(λiτ)− ym−1(λiτ)|dτ
≤
≤ l
+∞∫
−∞
Ke−α|t−τ |Nθm−1dτ +
k∑
i=1
λi
+∞∫
−∞
Ke−αλi|t−τ |Nθm−1dτ
≤
≤ Nθm−1Kl
(
2
α
+
k∑
i=1
λi
2
αλi
)
= Nθm−1Kl
2(k + 1)
α
= Nθm.
Цим доведено, що оцiнка (22) має мiсце для довiльного m ≥ 1.
Таким чином, всi наближення ym(t), m = 0, 1, 2, . . . , мають сенс, є неперервними T -пе-
рiодичними вектор-функцiями (випливає з (21)) i для них справедлива оцiнка (22). Врахо-
вуючи (20) i (22), приходимо до висновку, що ряд
+∞∑
m=1
(ym(t)− ym−1(t))
рiвномiрно збiгається для довiльного t ∈ R до деякої неперервної T -перiодичної вектор-
функцiї γ(t), яка є розв’язком системи рiвнянь (19) (це легко показати, якщо в (21) пере-
йти до границi при m → +∞).
Покажемо, що система рiвнянь (19) не має iнших неперервних T -перiодичних розв’яз-
кiв. Справдi, нехай iснує ще один неперервний T -перiодичний розв’язок γ(t) системи рiв-
нянь (19) i γ(t) 6= γ(t). Тодi
|γ(t)− γ(t)| ≤ l
+∞∫
−∞
|G(t− τ)||γ(τ)− γ(τ)|dτ +
+
k∑
i=1
λi
+∞∫
−∞
|G(λi(t− τ))||γ(λiτ)− γ(λiτ)|dτ
≤
≤ 2Kl(k + 1)
α
max
t
|γ(t)− γ(t)|.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
178 Н. Л. ДЕНИСЕНКО
Отже,
‖γ(t)− γ(t)‖ ≤ θ‖γ(t)− γ(t)‖.
Одержане спiввiдношення може мати мiсце лише у випадку, коли θ ≥ 1, що суперечить
зробленому припущенню. Цим доведено, що вектор-функцiя γ(t) є єдиним неперервним
T -перiодичним розв’язком системи рiвнянь (19).
Теорему доведено.
Враховуючи теорему 3 i спiввiдношення (4), (5), знаходимо, що вектор-функцiя x̄(t) =
=
∫ +∞
−∞
G(t − τ)γ(τ)dτ є єдиним неперервним T -перiодичним розв’язком системи рiв-
нянь (18).
Виконуючи в системi рiвнянь (18) взаємно однозначну замiну змiнних
x(t) = y(t) + x(t), (23)
де x(t) — T -перiодичний розв’язок системи рiвнянь (18), дослiдження неперервно дифе-
ренцiйовних розв’язкiв системи рiвнянь (18) зводимо до дослiдження неперервно дифе-
ренцiйовних розв’язкiв системи
ẏ(t) = Λy(t) + F
(
t, y(t), y(λ1t), . . . , y(λkt)
)
, (24)
де
F
(
t, y(t), y(λ1t), . . . , y(λkt)
)
= f
(
t, y(t) + y(t), y(λ1t) + y(λ1t), . . . , y(λkt) + y(λkt)
)
−
−f
(
t, y(t), y(λ1t), . . . , y(λkt)
)
.
Взявши до уваги умови теореми 3, легко переконатися, що вектор-функцiя F (t, y(t),
y(λ1t), . . . , y(λkt)) є неперервною за всiма змiнними, F (t, 0, . . . , 0) ≡ 0 i задовольняє умову
Лiпшиця
|F (t, ỹ0, ỹ1, . . . , ỹk)− F (t, ˜̃y0, ˜̃y1, . . . , ˜̃yk)| ≤ l
k∑
i=0
|ỹi − ˜̃yi|,
де t ∈ R, ỹi, ˜̃yi ∈ Rn, i = 0, k, l = const > 0.
Для системи рiвнянь (24) має мiсце наступна теорема.
Теорема 4. Нехай виконуються умови теореми 3 i спiввiдношення
2Kl(k + 1)
α− α∗
< 1,
де 0 < α∗ < α.
Тодi при достатньо малому l справджуються такi твердження:
1) система рiвнянь (24) має сiм’ю неперервно диференцiйовних обмежених при t ∈
∈ [0,+∞) розв’язкiв y(t) = y(t, c), де c = (c1, . . . , cp, 0, . . . , 0) ci, i = 1, p, — довiльнi сталi,
що задовольняють умову lim
t→+∞
|y(t, c)| = 0;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 179
2) система рiвнянь (24) має сiм’ю неперервно диференцiйовних обмежених при t ∈
∈ (−∞, 0] розв’язкiв y(t) = y(t, c), де c = (0, . . . , 0, cp+1, . . . , cn) ci, i = p + 1, n, — довiльнi
сталi, що задовольняють умову lim
t→−∞
|y(t, c)| = 0.
Доведення проводиться аналогiчно доведенню теореми 2.
Таким чином, на пiдставi (23) i теорем 3, 4 приходимо до висновку, що система рiвнянь
(18) має сiм’ю неперервно диференцiйовних розв’язкiв x(t), що залежать вiд p довiльних
сталих, якi прямують до T -перiодичного розв’язку x(t) при t → +∞, i сiм’ю неперервно
диференцiйовних розв’язкiв x(t), що залежать вiд n − p довiльних сталих, якi прямують
до T -перiодичного розв’язку x(t) при t → −∞.
1. Kato T., McLeod J. B. The functional-differential equation y′(x) = ay(λx) + by(x) // Bull. Amer. Math. Soc.
— 1971. — 77. — P. 891 – 937.
2. Kwapisz M. On the existence and uniqueness of solutions of certain integral-differential equation // Ann. pol.
math. — 1975. — 31, № 1. — P. 23 – 41.
3. Самойленко А. М., Пелюх Г. П. Ограниченные на всей вещественной оси решения систем нелинейных
дифференциально-функциональных уравнений и их свойства // Укр. мат. журн. — 1994. — 46, № 6. —
С. 737 – 747.
4. Денисенко Н. Л. Про неперервно диференцiйовнi на R+ розв’язки систем лiнiйних диференцiально-
функцiональних рiвнянь з лiнiйно перетвореним аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2007. — 10,
№ 3. — С. 322 – 327.
5. Денисенко Н. Л. Асимптотичнi властивостi неперервних розв’язкiв систем диференцiально-функцiо-
нальних рiвнянь з лiнiйними перетвореннями аргументу // Наук. вiстi НТУ України „КПI”. — 2008. —
№ 3. — С. 135 – 141.
6. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Мартынюк Д. И. Системы эволюционных уравнений с пе-
риодическими и условно периодическими коэффициентами. — Киев: Наук. думка, 1985. — 216 с.
7. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1984. — 412 с.
Одержано 11.07.08
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
|