Про асимптотичне інтегрування лінійної системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині змінних

С помощью матрицы преобразования система дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных с точкой поворота сводится к интегрируемой системе уравнений и изучаются свойства преобразующей матрицы....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автори:	Самойленко, А.М., Ключник, І.Г.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2009
Назва видання:	Нелінійні коливання
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178402
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Про асимптотичне інтегрування лінійної системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині змінних / А.М. Самойленко, І.Г. Ключник // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 2. — С. 208-234. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-178402
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1784022021-02-20T01:26:04Z Про асимптотичне інтегрування лінійної системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині змінних Самойленко, А.М. Ключник, І.Г. С помощью матрицы преобразования система дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных с точкой поворота сводится к интегрируемой системе уравнений и изучаются свойства преобразующей матрицы. Using a transformation matrix, a system of differential equations with a small parameter at some derivatives and a turning point is reduced to an integrable system. We also study properties of the transformation matrix. 2009 Article Про асимптотичне інтегрування лінійної системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині змінних / А.М. Самойленко, І.Г. Ключник // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 2. — С. 208-234. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178402 517.928 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	С помощью матрицы преобразования система дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных с точкой поворота сводится к интегрируемой системе уравнений и изучаются свойства преобразующей матрицы.
format	Article
author	Самойленко, А.М. Ключник, І.Г.
spellingShingle	Самойленко, А.М. Ключник, І.Г. Про асимптотичне інтегрування лінійної системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині змінних Нелінійні коливання
author_facet	Самойленко, А.М. Ключник, І.Г.
author_sort	Самойленко, А.М.
title	Про асимптотичне інтегрування лінійної системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині змінних
title_short	Про асимптотичне інтегрування лінійної системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині змінних
title_full	Про асимптотичне інтегрування лінійної системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині змінних
title_fullStr	Про асимптотичне інтегрування лінійної системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині змінних
title_full_unstemmed	Про асимптотичне інтегрування лінійної системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині змінних
title_sort	про асимптотичне інтегрування лінійної системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині змінних
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178402
citation_txt	Про асимптотичне інтегрування лінійної системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині змінних / А.М. Самойленко, І.Г. Ключник // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 2. — С. 208-234. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT samojlenkoam proasimptotičneíntegruvannâlíníjnoísistemidiferencíalʹnihrívnânʹzmalimparametrompričastinízmínnih AT klûčnikíg proasimptotičneíntegruvannâlíníjnoísistemidiferencíalʹnihrívnânʹzmalimparametrompričastinízmínnih
first_indexed	2025-07-15T16:52:37Z
last_indexed	2025-07-15T16:52:37Z
_version_	1837732576328941568
fulltext	УДК 517.928 ПРО АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З МАЛИМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ЧАСТИНI ПОХIДНИХ А. М. Самойленко Iн-т математики НАН України Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3 e-mail: sam@imath.kiev.ua I. Г. Ключник Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка Україна, 01033, Київ, вул. Володимирська, 64 e-mail: Klyuchnyk.I@mail.ru Using a transformation matrix, a system of differential equations with a small parameter at some derivati- ves and a turning point is reduced to an integrable system. We also study properties of the transformation matrix. С помощью матрицы преобразования система дифференциальных уравнений с малым парамет- ром при части производных с точкой поворота сводится к интегрируемой системе уравнений и изучаются свойства преобразующей матрицы. Основними методами побудови асимптотичних розв’язкiв сингулярно збурених лiнiйних диференцiальних рiвнянь з точкою звороту, в яких використовуються функцiї Ейрi, є ме- тоди Лангера [1, 2], Вазова [3, 4], Дороднiцина [5], Цваана – Федорюка [6], регуляризацiї [7], зшивання i узгодження асимптотик [8 – 10]. У статтi [11] з допомогою спецiальних функцiй (функцiй сплеску) побудовано асимптотичний розв’язок сингулярно збурено- го диференцiального рiвняння другого порядку з точкою звороту, а в [12] розроблено асимптотичний метод iнтегрування системи диференцiальних рiвнянь з повiльно змiнни- ми коефiцiєнтами з точкою звороту в елементарних функцiях. Уперше в [13] розглянуто лiнiйну систему диференцiальних рiвнянь з малим парамет- ром при частинi похiдних з точкою звороту, для якої запропоновано асимптотичний ме- тод iнтегрування. В данiй статтi одержано асимптотичний метод iнтегрування системи лiнiйних диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних бiльш за- гального вигляду, нiж у [13]. Для розглядуваної системи доведено iснування i нескiнченну диференцiйовнiсть за дiйсними змiнними x, ε матричних функцiй, якi мають асимптотич- нi розвинення при ε → 0 формальних рядiв, одержаних запропонованим асимптотичним методом. Розглянемо систему лiнiйних диференцiальних рiвнянь вигляду y′ = A(x, ε)y + A1(x, ε)y1, (1) εy′1 = B(x, ε)y1 + εB1(x, ε)y, c© А. М. Самойленко, I. Г. Ключник, 2009 208 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 ПРО АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 209 де y ∈ Rp, y1 ∈ R2, A(x, ε), A1(x, ε), B(x, ε), B1(x, ε) — голоморфнi матрицi за змiнними x i ε при \|x\| ≤ x0, ε — малий дiйсний параметр, \|ε\| ≤ ε0, i мають мiсце розвинення A(x, ε) = ∞∑ n=0 εnAn(x), A1(x, ε) = ∞∑ n=0 εnAn1(x), (2) B(x, ε) = B0(x) + ∞∑ n=1 εnBn(x), B1(x, ε) = ∞∑ n=0 εnBn1(x) при ε → 0;B0(x) = ( 0 1 x 0 ) . Будемо вважати, що trB1(x) ≡ 0, trA0(x) ≡ 0. За допо- могою перетворення ( y y1 ) = Φ(x, ε) ( u v ) систему (1) зведемо до вигляду u′ = C1(ε)u, (3) εv′ = B0(x)v + εD1(ε)u, (4) де Φ(x, ε) — блочна матриця вигляду Φ(x, ε) =  U(x, ε) V1(x, ε) U1(x, ε) V (x, ε)  , (5) в якiй U(x, ε), U1(x, ε) — (p×p)-вимiрнi матрицi, V1(x, ε), V (x, ε) — (2×2)-вимiрнi матрицi; матрицi U(x, ε), U1(x, ε), V (x, ε), V1(x, ε) мають розвинення за степенями ε : U(x, ε) = U(x) + ∞∑ n=1 εnUn(x), U1(x, ε) = ∞∑ n=1 εnUn1(x), V (x, ε) = V (x) + ∞∑ n=1 εnVn(x), V1(x, ε) = ∞∑ n=1 εnVn1(x), (6) C(ε) = ∞∑ n=0 Cnεn, D(ε) = ∞∑ n=0 Dnεn, Cn, Dn — сталi матрицi вигляду Cn =  c1n 0 . . . . . . cpn 0  , Dn = ( 0 . . . 0 dn1 . . . dnp ) . Правильною є така лема. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 210 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. Г. КЛЮЧНИК Лема 1. Нехай ε ∈ [−ε0; ε0]. Тодi виконуються нерiвностi \|(ε + 2ε0)s\| ≥ \|ε\|s, s = 1, 2, . . . . (7) Доведення. Якщо s = 2l, l = 1, 2, . . . , то нерiвнiсть (7) для всiх \|ε\| ≤ ε0 рiвносильна нерiвностi (ε + 2ε0)2l ≥ ε2l. (8) При ε ∈ [0; ε0] нерiвнiсть (8) випливає з оцiнки рiзницi (ε + 2ε0)2l − ε2l = 2l−1∑ j=0 Cj 2lε j(2ε0)2l−j ≥ 0, де Cj 2l — число сполук з 2l елементiв по j. Якщо ε ∈ [−ε0; 0), то ε+2ε0 > 0. Тодi нерiвнiсть (8) при ε ∈ [−ε0; 0) випливає з оцiнки рiзницi (ε + 2ε0)2l − ε2l = (ε + 2ε0)2l − (−ε)2l = 2(ε + ε0) 2l−1∑ j=0 (ε + 2ε0)j(−ε)2l−1−j  ≥ 0. Якщо s = 2l + 1, l = 0, 1, 2, . . . , то нерiвнiсть (7) для всiх \|ε\| ≤ ε0 рiвносильна сукупностi нерiвностей −(ε + 2ε0)2l+1 ≤ ε2l+1, (9) (ε + 2ε0)2l+1 ≤ −\|ε\|2l+1. Перша з нерiвностей (9) при ε ∈ [−ε0, 0) випливає з оцiнки рiзницi (ε + 2ε0)2l+1 + ε2l+1 = (ε + 2ε0)2l+1 − (−ε)2l+1 = 2(ε + ε0)  2l∑ j=0 (ε + 2ε0)j(−ε)2l−j  ≥ 0, а при ε ∈ [0; ε0] — з того, що (ε+2ε0)2l+1 > 0,−ε2l+1 < 0. При \|ε\| ≤ ε0 друга iз нерiвностей (9) є хибною. Лему доведено. Побудуємо вiдповiдно (p× 2)- i (2× p)-матричнозначнi функцiї C1(ε), D1(ε) у виглядi C1(ε) = C0 + ∞∑ n=1 B̃ne−nεn ‖B̃n‖ε + 2ε0∆ , D1(ε) = D0 + ∞∑ n=1 Ãne−nεn ‖Ãn‖ε + 2ε0∆1 , (10) де ∆ = { ‖B̃n‖, якщо B̃n 6= 0, 1, якщо B̃n = 0, ∆1 = { ‖Ãn‖, якщо Ãn 6= 0, 1, якщо Ãn = 0, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 ПРО АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 211 B̃1 ‖B̃1‖ = 2C1eε0, якщо C1 6= 0, i B̃1 = 0, якщо C1 = 0; Ã1 ‖Ã1‖ = 2D1eε0, якщо D1 6= 0, i Ã1 = 0, якщо D1 = 0; B̃n ‖B̃n‖ = 2ε0e n(Cn + K1n), Ãn ‖Ãn‖ = 2ε0e n(Dn + K2n) (11) вiдповiдно у випадках, коли Cn +K1n 6= 0 i Dn +K2n 6= 0; якщо Cn +K1n = 0, Dn +K2n = = 0, то вiдповiдно B̃n = 0, Ãn = 0, n ≥ 2,K1n,K2n — коефiцiєнти при εn у розвиненнi вiдповiдно рацiональних функцiй n−1∑ j=1 B̃je −jεj ‖B̃j‖ε + 2ε0∆ , n−1∑ j=1 Ãje −jεj ‖Ãj‖ε + 2ε0∆1 (12) за зростаючими степенями ε. Правильною є наступна лема. Лема 2. Матричнi ряди (10) є рiвномiрно збiжними при \|ε\| ≤ ε0. Матричнi функцiї C1(ε), D1(ε) є нескiнченно диференцiйовними i мають асимптотичнi розвинення C1(ε) ∼ ∞∑ n=0 εnCn, D1(ε) ∼ ∞∑ n=0 εnDn, ε → 0. (13) Доведення. Оцiнимо елементи ряду (10) у випадку, коли матриця B̃n 6= 0. Використо- вуючи нерiвнiсть (7), при s = 1, \|ε\| ≤ ε0 одержуємо оцiнку норми∥∥∥∥∥ B̃ne−nεn ‖B̃n‖(ε + 2ε0) ∥∥∥∥∥ ≤ e−n\|ε\|n−1 ≤ e−n, n = 1, 2, . . . . (14) З нерiвностi (14) з урахуванням збiжностi ряду ∑∞ n=1 e−n випливає рiвномiрна збiжнiсть ряду (10) при \|ε\| ≤ ε0. Використовуючи формулу Лейбнiца для к-ї похiдної вiд добутку функцiй, отримуємо ( B̃ne−nεn ‖B̃n‖(ε + 2ε0) )(k) = B̃ne−n ‖B̃n‖ k∑ j=0 (−1)jCj kj!n(n− 1) . . . (n− k + j + 1)εn−k+j (ε + 2ε0)j+1 , k = 1, 2, . . . . (15) Рiвнiсть (15) i нерiвнiсть (7) при \|ε\| ≤ ε0 дають змогу оцiнити норму матриць∥∥∥∥∥∥ ( B̃ne−nεn ‖B̃n‖(ε + 2ε0) )(k) ∥∥∥∥∥∥ ≤ fk(n)e−n\|ε\|n−k−1 ≤ fk(n)e−n, n ≥ k + 1, (16) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 212 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. Г. КЛЮЧНИК де fk(n) = ∑k j=0 Cj kj!n(n−1) . . . (n−k + j +1) — многочлен к-го степеня вiдносно змiнної n, який розвинемо за степенями nj , j = 0, k, у виглядi fk(n) = k∑ j=0 f (j) k (0)nj j! ; (17) f (j) k (n) — j-та похiдна вiд функцiї fk(n). Згiдно з (16), (17) при \|ε\| ≤ ε0 матричний ряд ∞∑ n=k+1 ( B̃ne−nεn ‖B̃n‖(ε + 2ε0) )(k) мажорується збiжним числовим рядом ∞∑ n=k+1 k∑ j=0 f (j) k (0)nje−n j! = k∑ j=0 f (j) k (0) j! ∞∑ n=k+1 nje−n, k = 1, 2, . . . . Звiдси випливає iснування к-ї похiдної (k = 1, 2, . . .) вiд функцiї C1(ε) при \|ε\| ≤ ε0, яка визначена рiвнiстю (10). Розвинувши функцiю вигляду (12) за степенями параметра ε, одержимо n−1∑ j=1 ′ B̃je −jεj ‖B̃j‖(ε + 2ε0) = n−1∑ j=1 ′ B̃je −jεj ‖B̃j‖ ∞∑ r=0 (−1)rεr 2r+1εr+1 0 , (18) ∑′ — сума ненульових елементiв. Використавши (18), знайдемо явний вигляд матрицi K1n, означеної, як коефiцiєнт при εn у розвиненнi рацiональної функцiї вигляду (12): K1n = n−1∑ j=1 ′ (−1)n−j+1B̃je −j ‖B̃j‖2n+1−jεn+1−j 0 , n ≥ 2. (19) Використовуючи (19) i спiввiдношення (11), спрощуємо вираз Em(ε) = 1 εm ( C1(ε)− m∑ r=0 εrCr ) = = 1 εm C0 + m∑ j=1 B̃jε je−j ‖B̃j‖ε + 2ε0∆ + ∞∑ r=m+1 B̃re −rεr ‖B̃r‖ε + 2ε0∆ − m∑ n=0 εnCn  = = 1 εm  m∑ j=1 ′ B̃je −jεj ‖B̃j‖ ∞∑ r=0 (−1)rεr 2r+1εr+1 0 + ∞∑ r=m+1 B̃re −rεr ‖B̃r‖ε + 2ε0∆ − m∑ n=1 εnCn  = = 1 εm ( B̃1εe −1 2‖B̃1‖ε0 − C1ε + m∑ r=2 ′ ( B̃re −r 2‖B̃r‖ε0 − Cr −K1r ) εr+ ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 ПРО АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 213 + m∑ j=1 ′ B̃jε je−j ‖B̃j‖ ∞∑ r=m−j+1 (−1)rεr 2r+1εr+1 0 + ∞∑ r=m+1 B̃re −rεr ‖B̃r‖ε + 2ε0∆ ) = = m∑ j=1 ′ B̃je −j ‖B̃j‖ ∞∑ r=m−j+1 (−1)rεr+j−m 2r+1εr+1 0 + ∞∑ r=m+1 B̃re −rεr−m ‖B̃r‖ε + 2ε0∆ , m = 1, 2, . . . . З останньої рiвностi маємо lim ε→0 ‖Em(ε)‖ = 0. Тодi згiдно з означенням асимптотичного розвинення [3] ряд ∑∞ n=0 Cnεn є асимптотичним розвиненням при ε → 0 матричної функ- цiї C1(ε). Лему доведено. З (1), (3), (4) випливає, що матриця Φ(x, ε) задовольняє диференцiальне рiвняння εΦ′ + Φ  0 εC1(ε) εD1(ε) B0(x)  =  εA(x, ε) εA1(x, ε) εB1(x, ε) B(x, ε) Φ. (20) Пiдставляючи (5) в (20), переконуємося, що матрицi V (x, ε), U(x, ε), V1(x, ε), U1(x, ε) за- довольняють матричнi диференцiальнi рiвняння U ′(x, ε) + V1(x, ε)D1(ε) = A(x, ε)U(x, ε) + A1(x, ε)U1(x, ε), εV ′ 1(x, ε) + εU(x, ε)C1(ε) + V1(x, ε)B0(x) = εA(x, ε)V1(x, ε) + εA1(x, ε)V (x, ε), (21) εU ′ 1(x, ε) + εV (x, ε)D1(ε) = εB1(x, ε)U(x, ε) + B(x, ε)U1(x, ε), εV ′(x, ε) + εU1(x, ε)C1(ε) + V (x, ε)B0(x) = εB1(x, ε)V1(x, ε) + B(x, ε)V (x, ε). Пiдставляючи (2), (6) в (21), отримуємо систему рiвнянь для коефiцiєнтiв розвинень (6) матричної функцiї Φ(x, ε) : U ′(x) + ∞∑ n=1 εnU ′ n(x) + ( ∞∑ n=1 εnVn1(x) ) D1(ε) = = ( ∞∑ n=0 εnAn(x) )( U(x) + ∞∑ n=1 εnUn(x) ) + ( ∞∑ n=0 εnAn1(x) )( ∞∑ n=1 εnUn1(x) ) , ∞∑ n=1 εnV ′ n1(x) + ( U(x) + ∞∑ n=1 εnUn(x) ) C1(ε) + ∞∑ n=1 εn−1Vn1(x)B0(x) = ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 214 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. Г. КЛЮЧНИК = ( ∞∑ n=0 εnAn(x) )( ∞∑ n=1 εnVn1(x) ) + ( ∞∑ n=0 εnAn1(x) )( V (x) + ∞∑ n=1 εnVn(x) ) , (22) ∞∑ n=1 εnU ′ n1(x) + ( V (x) + ∞∑ n=1 Vn(x)εn ) D1(ε) = = ( ∞∑ n=0 εnBn1(x) )( U(x) + ∞∑ n=1 εnUn(x) ) + ( B0(x) + ∞∑ n=1 εnBn(x) )( ∞∑ n=1 εn−1Un1(x) ) , εV ′(x) + ε ∞∑ n=1 εnV ′ n(x) + ( ε ∞∑ n=1 εnUn1(x) ) C1(ε) + V (x)B0(x) + ∞∑ n=1 εnVn(x)B0(x) = = ( ε ∞∑ n=0 εnBn1(x) )( ∞∑ n=1 εnVn1(x) ) + ( B0(x) + ∞∑ n=1 εnBn(x) )( V (x) + ∞∑ n=1 εnVn(x) ) . Пiдставляючи (10) в (22) i прирiвнюючи в одержанiй рiвностi коефiцiєнти при нульовому степенi ε, одержуємо рiвняння U ′(x) = A0(x)U(x), (23) U(x)C0 + V11(x)B0(x) = A01(x)V (x), (24) V (x)D0 = B01(x)U(x) + B0(x)U11(x), (25) V (x)B0(x) = B0(x)V (x). (26) З рiвнянь (23) i (26) знаходимо U(x) = Ωx 0(A0(x)), V (x) = α0(x)I + β0(x)B0(x), (27) де Ωx 0(A0(x)) — матрицант рiвняння (23), α0(x) i β0(x) — довiльнi голоморфнi в областi \|x\| ≤ x0 функцiї, I — одинична матриця. Для визначення α0(x) i β0(x) використаємо систему рiвнянь, яку одержуємо з (22) i (10), прирiвнюючи в нiй коефiцiєнти при першому степенi параметра ε : U ′ 1(x) + V11(x)D0 = A0(x)U1(x) + A1(x)U(x) + A01(x)U11(x), (28) V ′ 11(x) + U(x)C1 + U1(x)C0 + V21(x)B0(x) = = A0(x)V11(x) + A01(x)V1(x) + A11(x)V (x), (29) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 ПРО АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 215 U ′ 11(x) + V1(x)D0 + V (x)D1 = B01(x)U1(x)+ + B11(x)U(x) + B1(x)U11(x) + B0(x)U21(x), (30) V ′(x) + V1(x)B0 = B1(x)V (x) + B0(x)V1(x). (31) Для того щоб рiвняння (31) мало розв’язок, необхiдно i достатньо виконання умов tr (B1(x)V (x)− V ′(x)) ≡ 0, tr (B1(x)V (x)B0(x)− V ′(x)B0(x)) ≡ 0. Пiдставивши в цi умови замiсть V ′(x) i V (x) її вигляд з (27) i врахувавши, що trB1(x) ≡ 0, одержимо систему рiвнянь для функцiй α0(x) i β0(x) вигляду 2α′0 = β0(x)b1(x), 2xβ′0 = α0(x)b1(x)− β0(x), (32) де b1(x) = tr (B1(x)B0(x)). (33) Система (32) має ненульовi голоморфнi в областi \|x\| ≤ x0 розв’язки, якi залежать вiд значення α0(0). Покладемо α0(0) = 1 i визначимо однозначно потрiбний нам розв’язок системи рiвнянь (32), (33): α0 = α0(x), β0 = β0(x). (34) Пiдставляючи (34), (27) у рiвняння (24), (25), одержуємо рiвняння для визначення матриць C0, D0, V11(x), U11(x). Помноживши (24) справа на B0(x), а (25) злiва на B0(x), отримаємо рiвняння U(x)C0B0(x) + xV11(x) = A01(x)V (x)B0(x), (35) B0(x)V (x)D0 = B0(x)B01(x)U(x) + xU11(x). (36) При x = 0 з (35), (36) одержимо рiвняння для визначення матриць C0, D0 : U(0)C0B0(0) = A01(0)V (0)B0(0), (37) B0(0)V (0)D0 = B0(0)B01(0)U(0). (38) Звiдси випливає, що якщо записати вiдповiднi матрицi рiвностi (37) покоординатно C0 = =  c10 c11 . . . . . . cp0 cp1  , A01(0)V (0) =  a11 a12 . . . . . . ap1 ap2  , то значення c10 = a11, . . . , cp0 = ap1, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 216 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. Г. КЛЮЧНИК c11 = 0, . . . , cp1 = 0 завжди будуть задовольняти рiвняння (37). Таким чином, вибираючи C0 у виглядi C0 = =  c10 0 . . . . . . cp0 0  , для визначення матрицi V11(x) з (35) отримаємо рiвняння вигляду xV11(x) = F (x), (39) де F (x) — вiдома матриця вигляду F (x) = A01(x)V (x)B0(x) − U(x)C0B0(x). Згiдно з ви- бором C0 F (0) = 0. Тодi F (x) = 1∫ 0 d dt F (tx) dt = x 1∫ 0 F ′ x(tx) dt. (40) З (39), (40) знаходимо значення V11(x) = 1∫ 0 F ′ x(tx) dt, (41) що є голоморфним в \|x\| ≤ x0 розв’язком рiвняння (39). Записуючи вiдповiднi матрицi в (38) покоординатно D0 = ( d11 . . . d1p d01 . . . d0p ) , B01(0)U(0) = ( b11 . . . b1p b21 . . . b2p ) , переконуємося, що значення d01 = b21, . . . , d0p = b2p, d11 = 0, . . . , d1p = 0 завжди задовольняють рiвняння (38). Отже, вибравши D0 = ( 0 . . . 0 d01 . . . d0p ) , для ви- значення матрицi U11 одержимо рiвняння вигляду xU11 = G(x), (42) де G(x) — визначена матриця вигляду G(x) = B0(x)V (x)D0 − B0(x)B01(x)U(x). Згiдно з вибором D0 G(0) = 0, i, врахувавши (40), знайдемо U11(x) : U11(x) = 1∫ 0 G′ x(tx)dt, (43) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 ПРО АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 217 що є голоморфним в \|x\| ≤ x0 розв’язком рiвняння (42). Отже, знайдено коефiцiєнти роз- винень (6), (13) при ε в нульовому степенi. Для знаходження коефiцiєнтiв розвинень (6), (13) при ε у першому степенi ми маємо систему рiвнянь (28) – (31). З рiвняння (28), поклавши U1(0) = 0, знайдемо матрицю U1(x) у виглядi U1(x) = x∫ 0 Ωx τ (A0(x))[A1(t)U(t)− V11(t)D0 + A01(t)U11(t)]dt. (44) Розглянемо рiвняння (31), яке набере вигляду V1(x)B0(x) = B0(x)V1(x) + F1(x), (45) де trF1(x) ≡ 0, trF1(x)B0(x) ≡ 0. Звiдси випливає, що F1(x) = B1(x)V (x) − V ′(x) = = ( f1(x) g1(x) −xg1(x) −f1(x) ) , де f1(x), g1(x) — вiдомi голоморфнi в \|x\| ≤ x0 функцiї. Тодi загальний розв’язок рiвняння (45) визначається формулою V1(x) = α1(x)I + β1(x)B0(x) + W1(x), W1(x) = ( g(x) 0 −f(x) 0 ) . (46) Функцiї α1(x), β1(x) визначаються, як α0(x), β0(x). Прирiвнюючи коефiцiєнти в остан- ньому рiвняннi системи (22) при другому степенi параметра ε, одержуємо V ′ 1(x) + V2(x)B0(x) = B0(x)V2(x) + B1(x)V1(x) + F2(x), (47) де F2(x) = B01(x)V11(x) + B2(x)V (x)− U11(x)C0. З умови iснування розв’язку рiвняння (47) trV ′ 1(x) = tr (B1(x)V1(x)) + trF2(x), tr (V ′ 1(x)B0(x)) = tr (B1(x)V1(x)B0(x)) + tr (F2(x)B0(x)) маємо систему рiвнянь для визначення α1 = α1(x), β1 = β1(x) : 2α′1(x) = b1(x)β1(x) + f1(x), 2xβ′1(x) = α1(x)b1(x)− β1 + g1(x), (48) де f1(x), g1(x) — голоморфнi в \|x\| ≤ x0 функцiї вигляду f1(x) = −trW ′ 1(x) + tr (B1(x)W1(x)) + trF2(x), g1(x) = −tr (W ′ 1(x)B0(x)) + tr (B1(x)W1(x)B0) + tr (F2(x)B0(x)). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 218 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. Г. КЛЮЧНИК Система (48) має голоморфнi в областi \|x\| ≤ x0 розв’язки, якi залежать вiд α1(0). По- клавши α1(0) = 0, однозначно визначимо розв’язок системи (48): α1 = α1(x), β1 = β1(x). (49) Пiдставивши (49) в (46), однозначно визначимо розв’язок рiвняння (31), голоморфний при \|x\| ≤ x0. Для знаходження розв’язку рiвнянь (29), (30) пiдставимо в них знайденi зна- чення для матриць U(x), U1(x), V11(x), C0, V1(x), V (x), U11(x) i одержимо рiвняння, якi розв’язуються тим же методом, що i рiвняння (24), (25). Це дозволяє однозначно визна- чити матрицi C1, D1 аналогiчно матрицям C0, D0 вигляду C1 =  c11 0 . . . . . . cp1 0  , D1 = ( 0 . . . 0 d11 . . . d1p ) , а також матрицi V21 = V21(x) i U21 = U21(x) аналогiчно матрицям V11(x) i U11(x), якi є голоморфними в областi \|x\| ≤ x0. Отже, знайдено коефiцiєнти розвинень (6), (13) при ε у першому степенi. Знайдемо iншi коефiцiєнти розвинень (6), (13). За допомогою математичної iндукцiї i формул (11), (19) можна довести, що K1j = Cj−1 2ε0 , j ≥ 2. Тодi, використавши формули (10), (11), подамо матрицю C1(ε) у виглядi C1(ε) = = C0 + B̃1(ε)e−1ε ‖B̃1‖ ∞∑ r=0 (−1)rεr 2r+1εr+1 0 + n∑ j=2 ′ B̃j(ε)e−jεj ‖B̃j‖ ∞∑ r=0 (−1)rεr 2r+1εr+1 0 + ∞∑ j=n+1 B̃je −jεj ‖B̃j‖ε + 2ε0∆ = = C0 + 2C1ε0ε ( 1 2ε0 + ∞∑ r=1 (−1)rεr 2r+1εr+1 0 ) + n∑ j=2 ′ 2ε0ε j(Cj + K1j) ( 1 2ε0 + ∞∑ r=1 (−1)rεr 2r+1εr+1 0 ) + + ∞∑ j=n+1 B̃je −jεj ‖B̃j‖ε + 2ε0∆ = n∑ j=0 Cjε j + n∑ j=1 ′ Cjε j ( ∞∑ r=1 (−1)rεr 2rεr 0 ) + + n∑ j=2 ′ K1jε j ( ∞∑ r=0 (−1)rεr 2rεr 0 ) + ∞∑ j=n+1 B̃je −jεj ‖B̃j‖ε + 2ε0∆ = = n∑ j=0 Cjε j + Cnεn ∞∑ r=1 (−1)rεr 2rεr 0 + ∞∑ j=n+1 B̃je −jεj ‖B̃j‖ε + 2ε0∆ . Пiдставляючи (10) в (22) i враховуючи останню рiвнiсть, записуємо рiвняння, що одержу- ється прирiвнюванням коефiцiєнтiв при n-му, n ≥ 2, степенi параметра ε : U ′ n(x) + n∑ s=1 Vs1(x)Dn−s = An(x)U(x) + n∑ s=1 An−s(x)Us(x) + n∑ s=1 An−s,1(x)Us1(x), (50) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 ПРО АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 219 V ′ n1(x) + n∑ s=1 Us(x)Cn−s + U(x)Cn + Vn+1,1(x)B0(x) = = n∑ s=1 An−s(x)Vs1(x) + An1(x)V (x) + n∑ s=1 An−s,1(x)Vs(x), (51) U ′ n1(x) + V (x)Dn + n∑ s=1 Vs(x)Dn−s = Bn1(x)U(x)+ + n∑ s=1 Bn−s,1(x)Us(x) + B0(x)Un+1,1(x) + n∑ s=1 Bn−s+1(x)Us1(x), (52) V ′ n−1(x) + n∑ s=2 Un−s+1,1(x)Cs−2 + Vn(x)B0(x) = n∑ s=2 Bs−2,1(x)Vn−s+1(x)+ + Bn(x)V (x) + B0(x)Vn(x) + n−1∑ s=1 Bs(x)Vn−s(x). (53) Застосовуючи метод математичної iндукцiї, ми на нульовому її кроцi визначили матри- цi U(x), V (x), C0, D0, U11(x), V11(x), на першому кроцi — матрицi U1(x), V1(x), C1, D1, U21(x), V21(x). Тому вважаємо, що математична iндукцiя виконується до (n− 1)-го кроку включно i на (n− 1)-му кроцi матрицi Un−1(x), Vn−1(x), Cn−1, Dn−1, Un1(x), Vn1(x) визна- чено, при цьому Vn−1(x) визначено з умови iснування розв’язку рiвняння (53). З рiвняння (50) однозначно визначаємо Un(x) у виглядi Un(x) = x∫ 0 Ωx τ (A0(t)) [ An(t)U(t)− n∑ s=1 Vs1(t)Dn−s + n−1∑ s=1 An−s(t)Us(t) + n∑ s=1 An−s,1(t)Us1(t) ] dt. З рiвняння (53) визначаємо Vn(x) у виглядi Vn(x) = αn(x)I + βn(x)B0(x) + Wn(x), (54) де αn(x) i βn(x) — довiльнi сталi, Wn(x) — вiдомi матричнi функцiї, голоморфнi в обла- стi \|x\| ≤ x0. Для знаходження αn(x) i βn(x) слiд розглянути рiвняння, яке одержуємо, прирiвнюючи коефiцiєнти при εn+1 в останньому рiвняннi формули (22): Vn+1(x)B0(x)−B0(x)Vn+1(x) = −V ′ n(x) + Fn+1(x) + B1(x)Vn(x), (55) де Fn+1(x) = − n+1∑ s=2 Un−s+2,1(x)Cs−2 + n+1∑ s=2 Bs−2,1(x)Vn−s+2(x)+ + Bn+1(x)V (x) + n∑ s=2 Bs(x)Vn−s+1(x). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 220 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. Г. КЛЮЧНИК З умови розв’язностi рiвняння (55) визначимо систему рiвнянь для визначення функцiй αn(x) i βn(x) : 2α′n(x) = b1(x)βn(x) + fn(x), 2xβ′n(x) + βn(x) = b1(x)αn(x) + gn(x), (56) де fn(x), gn(x)− вiдомi функцiї, fn(x) = trFn+1(x) + tr (B1(x)Wn(x))− trW ′ n(x), gn(x) = tr (Fn+1(x)B0(x)) + tr (B1(x)Wn(x)B0(x))− tr (W ′ n(x)B0), голоморфнi при \|x\| ≤ x0. Поклавши α0(0) = 0, визначимо однозначно iз (56) αn(x) i βn(x), як голоморфнi в областi \|x\| ≤ x0 розв’язки системи (56). Пiдставивши в (51), (52) визначенi вище вирази для матриць Un(x) i Vn(x), одержимо рiвняння, якi розв’язуються аналогiчно розв’язуванню рiвнянь (24), (25). Це однозначно визначає Cn, Dn вигляду Cn =  c1n 0 . . . . . . cpn 0  , Dn = ( 0 . . . 0 dn1 . . . dnp ) i матрицi Un+1,1(x), Vn+1,1(x) вигляду (43), (41). Таким чином, знайдено розв’язки рiвнянь (50) – (53) i матриць Cn i Dn, тим самим ви- значено всi коефiцiєнти розвинень (6), (13), i вони є голоморфними в областi \|x\| ≤ x0. Розглянемо матрицю (5), (6) при ε = 0. Вона має вигляд Φ0(x) = Φ(x, 0) = ( U(x) 0 0 V (x) ) , де U(x), V (x) визначається з (27). Врахувавши, що trA0(x) ≡ 0, отримаємо det U(x) ≡ ≡ 1. З (27) знайдемо det V (x) = α2 0(x) − xβ2 0(x), i, врахувавши рiвняння (32), одержи- мо d dx (detV (x)) = 2α0(x)α′0(x) − 2xβ0(x)β′0(x) − β2 0(x) ≡ 0. Звiдси маємо det V (x) ≡ ≡ 1. Таким чином, det Φ0(x) ≡ 1 для всiх x з областi \|x\| ≤ x0. Згiдно з [7] покоординатний запис рiвняння (3) має вигляд u′j = cj(ε)v1, j = 1, p, i нехай c1(ε) 6= 0. Суперпозицiя замiн u = V (ε)ω, ( y y1 ) = Φ(x, ε) ( u v ) перетворює систему (1) до вигляду ω′1 = c1(ε)v1, ω′j = 0, j = 2, p, (57) εv′ = B0(x)v + εD2ω, де cj(ε) = cj0 + ∞∑ n=1 bjne−nεn ‖B̃n‖ε + 2ε0∆ , j = 1, p; cjn, bjn — елементи вiдповiдно матриць Cn i B̃n =  b1n 0 . . . . . . bpn 0  ; V (ε) =  1 0 . . . 0 γ2(ε) 1 . . . 0 . . . . . . . . . . . . γp(ε) 0 . . . 1  , через γj(ε) позначено функцiю ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 ПРО АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 221 γj(ε) = cj(ε) c1(ε) ; D2(ε) = D1(ε)V (ε) = ( 0 . . . 0 d11(ε) . . . d1p(ε) ) ; d1j(ε) = d0j + ∞∑ n=1 anje −nεn ‖Ãn‖ε + 2ε0∆1 , j = 2, p, d11(ε) = p∑ r=1 γr(ε) ( d0r + ∞∑ n=1 anre −nεn ‖Ãn‖ε + 2ε0∆1 ) , γ1(ε) ≡ 1, dnj i anj — елементи вiдповiдно матриць Dn i Ãn = ( 0 . . . 0 an1 . . . anp ) . Таким чином, доведено наступну теорему. Теорема 1. Нехай права частина системи рiвнянь (1) голоморфна в областi \|x\| ≤ ≤ x0. Тодi iснують формальнi ряди (5), (6), коефiцiєнти яких голоморфнi в областi \|x\| ≤ ≤ x0, такi, що det Φ(x, 0) ≡ 1 i формальне перетворення з матрицею замiни вигляду (5) зводить систему (1) до системи (57). Правильною є така лема. Лема 1. Блочна матриця Φ∗(x, ε) = ( Φ1(x, ε) Φ2(x, ε) Φ3(x, ε) Φ4(x, ε) ) є нескiнченно диференцiйовною при \|x\| < x0, \|ε\| ≤ ε0. Формальна матриця Φ(x, ε) =  U(x) + ∞∑ n=1 εnUn(x) ∞∑ n=1 εnVn1(x) ∞∑ n=1 εnUn1(x) V (x) + ∞∑ n=1 εnVn(x)  (58) є рiвномiрним асимптотичним розвиненням при ε → 0 на множинi \|x\| ≤ x0 матрицi Φ∗(x, ε), де Φ1(x, ε) = U(x) + ∞∑ n=1 F1n(x)e−nεn ‖F1n(x)‖0ε + 2ε0∆̃1 , (59) Φj(x, ε) = ∞∑ n=1 Fjn(x)e−nεn ‖Fjn(x)‖0ε + 2ε0∆̃j , j = 2, 3, Φ4(x, ε) = V (x) + ∞∑ n=1 F4n(x)e−nεn ‖F4n(x)‖0ε + 2ε0∆̃4 , ‖Fjn(x)‖0 = max x ‖Fjn(x)‖, j = 1, 4. Матрицi Fjn(x) ‖Fjn(x)‖0 , j = 1, 4, визначаються рiвно- стями F11(x) ‖F11(x)‖0 = 2ε0eU1(x), F21(x) ‖F21(x)‖0 = 2ε0eV11(x), ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 222 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. Г. КЛЮЧНИК F31(x) ‖F31(x)‖0 = 2ε0eU11(x), F41(x) ‖F41(x)‖0 = 2ε0eV1(x), якщо вiдповiдно ‖U1(x)‖0 6= 0, ‖V11(x)‖0 6= 0, ‖U11(x)‖0 6= 0, ‖V1(x)‖0 6= 0, i F11(x) ≡ 0, F21(x) ≡ 0, F31(x) ≡ 0, F41(x) ≡ 0, якщо вiдповiдно U1(x) ≡ 0, V11(x) ≡ 0, U11(x) ≡ 0, V1(x) ≡ 0; F1n(x) ‖F1n(x)‖0 = 2ε0e n(Un(x) + Kn1(x)), F2n(x) ‖F2n(x)‖0 = 2ε0e n(Vn1(x) + Kn2(x)), (60) F3n(x) ‖F3n(x)‖0 = 2ε0e n(Un1(x) + Kn3(x)), F4n(x) ‖F4n(x)‖0 = 2ε0e n(Vn(x) + Kn4(x)) вiдповiдно у випадках, коли ‖Un(x) + Kn1(x)‖0 6= 0, ‖Vn1(x) + Kn2(x)‖0 6= 0, ‖Un1(x) + +Kn3(x)‖0 6= 0, ‖Vn(x) + Kn4(x)‖0 6= 0; якщо Un(x) + Kn1(x) ≡ 0, Vn1(x) + Kn2(x) ≡ 0, Un1(x)+Kn3(x) ≡ 0, Vn(x)+Kn4(x) ≡ 0, то вiдповiдно F1n(x) ≡ 0, F2n(x) ≡ 0, F3n(x) ≡ 0, F4n(x) ≡ 0, n ≥ 2, Knj(x), j = 1, 4, — коефiцiєнти при εn у розвиненнi рацiональних функцiй n−1∑ i=1 Fji(x)e−iεi ‖Fji(x)‖0ε + 2ε0∆̃j , ∆̃j = { ‖Fjn(x)‖0, якщо ‖Fjn(x)‖0 6= 0, 1, якщо ‖Fjn(x)‖0 = 0. Доведення. Згiдно з лемою 2 матрицi Knj , j = 1, 4, n = 2, 3, . . . , мають вигляд Knj(x) = n−1∑ i=1 ′ (−1)n−i+1Fji(x)e−i ‖Fji(x)‖02n−i+1εn−i+1 0 . (61) З теореми 1 випливає, що коефiцiєнти розвинень (6) голоморфнi в областi \|x\| ≤ x0, а тому з рiвностей (60), (61) випливає, що матрицi Fjn(x), j = 1, 4, голоморфнi за змiнною x при \|x\| ≤ x0. Позначивши через F1nr коефiцiєнти в розвиненнi матричної функцiї F1n(x) за степенями x, запишемо ряд ∞∑ n=1 F1n(x)e−nεn ‖F1n(x)‖0ε + 2ε0∆̃1 у виглядi ∞∑ n=1 ′ F1n(x)e−nεn ‖F1n(x)‖0(ε + 2ε0) = ∞∑ n=1 ′ F1n(x)e−n ‖F1n(x)‖0 ∞∑ j=0 (−1)jεn+j 2j+1εj+1 0 = = ∞∑ n=1 ′ ∞∑ j=0 ∞∑ r=0 (−1)je−nF1nrx rεn+j ‖F1n(x)‖02j+1εj+1 0 = ∞∑ j=1 ∞∑ r=0 j∑ n=1 ′ (−1)j−nF1nre −nxrεj ‖F1n(x)‖02j+1−nεj+1−n 0 , (62) де ∑ n ′ — сума елементiв (−1)j−nF1n(x)e−nεn ‖F1n(x)‖0ε + 2ε0∆̃1 , для яких ‖F1n(x)‖0 6= 0, n = 1, 2, . . . , iншi елементи дорiвнюють нулю. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 ПРО АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 223 Дослiдимо на збiжнiсть ряд (62). Згiдно з [15] \|{F1nr}ij \| ≤ sup x \|{F1n(x)}ij \| xr 0 , i, j = 1, p, r = 0, 1, 2, . . . , {F1n(x)}ij — елементи матрицi F1n(x). З цiєї нерiвностi i означення норми матрицi випли- ває нерiвнiсть ‖F1nr‖ ≤ ‖F1n(x)‖0 xr 0 . (63) Використавши нерiвнiсть (63), оцiнимо загальний член ряду (62): ‖ajr‖ ≤ e−1 2jεj 0 (1− (2ε0 e )j) (1− 2ε0 e ) ( \|x\| \|x0\| )r \|ε\|j , (64) де ajr = j∑ n=1 ′ (−1)j−nF1nre −nxrεj ‖F1n(x)‖02j+1−nεj+1−n 0 . Застосовуючи до дослiдження збiжностi ряду (62) ознаку Кошi i нерiвнiсть (64), маємо lim j→∞ j √ ‖ajr‖ ≤ lim j→∞ 1 2ε0 j √ e j √ 1− (2ε0 e )j 1− 2ε0 e ( \|x\| \|x0\| ) r j \|ε\| = \|ε\| 2ε0 < 1, (65) r — довiльне, \|ε\| ≤ ε0; lim r→∞ r √ ‖ajr‖ ≤ lim r→∞ 1 (2ε0) j r r √ e r √ 1− (2ε0 e )j 1− 2ε0 e \|x\| \|x0\| \|ε\| j r = \|x\| \|x0\| < 1, (66) j — довiльне, \|x\| < x0. Таким чином, з (65), (66) випливає збiжнiсть степеневого ряду (62), а отже, матриця Φ∗(x, ε) аналiтична при \|x\| < x0, \|ε\| ≤ ε0. Для доведення того, що матриця ∑∞ n=0 εnUn(x) є рiвномiрним асимптотичним розвиненням при ε → 0 на множинi \|x\| ≤ x0 матричної функцiї Φ1(x, ε) вигляду (59), розглянемо рiзницю Em(x, ε) = 1 εm+1 ( Φ1(x, ε)− m∑ n=0 εnUn(x) ) = 1 εm+1 ( m∑ n=1 ′ ( e−nF1n(x) 2ε0‖F1n(x)‖0 −Kn1 − Un ) εn + + m∑ n=1 ′ F1n(x)e−nεn ‖F1n(x)‖0 ∞∑ r=m−n+1 (−1)rεr (2ε0)r+1 + ∞∑ n=m+1 F1n(x)e−nεn ‖F1n(x)‖0ε + 2ε0∆̃1 ) = = m∑ n=1 ′ F1n(x)e−n ‖F1n(x)‖0 ∞∑ r=m−n+1 (−1)rεr−(m−n+1) (2ε0)r+1 + ∞∑ n=m+1 F1n(x)e−nεn−(m+1) ‖F1n(x)‖0ε + 2ε0∆̃1 . (67) З (67) випливає, що норма матрицi ‖Em(x, ε)‖ обмежена, а отже, згiдно з лемою з [3] про необхiдну i достатню умову рiвномiрностi асимптотичного розвинення, формальна ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 224 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. Г. КЛЮЧНИК матриця (58) є рiвномiрним асимптотичним розвиненням при ε → 0 на множинi \|x\| ≤ x0 матрицi Φ∗(x, ε). Лему доведено. За допомогою замiн U(x, ε) = Z1 + Φ1(x, ε), V1(x, ε) = Z2 + Φ2(x, ε), (68) U1(x, ε) = Z3 + Φ3(x, ε), V (x, ε) = Z4 + Φ4(x, ε) систему (21) запишемо у виглядi Z ′ 1 = A(x, ε)Z1 − Z2D1(ε) + A1(x, ε)Z3 + F1(x, ε), εZ ′ 2 = −Z2B0(x) + εA(x, ε)Z2 − εZ1C1(ε) + εA1(x, ε)Z4 + F2(x, ε), (69) εZ ′ 3 = B(x, ε)Z3 − εZ4D1(ε) + εB1(x, ε)Z1 + F3(x, ε), εZ ′ 4 = −Z4B0(x) + B(x, ε)Z4 − εZ3C1(ε) + εB1(x, ε)Z2 + F4(x, ε), де F1(x, ε) = −Φ′ 1(x, ε)− Φ2(x, ε)D1(ε) + A(x, ε)Φ1(x, ε) + A1(x, ε)Φ3(x, ε), F2(x, ε) = −εΦ′ 2(x, ε)− εΦ1(x, ε)C1(ε)−Φ2(x, ε)B0(x) + εA(x, ε)Φ2(x, ε) + εA1(x, ε)Φ4(x, ε), F3(x, ε) = −εΦ′ 3(x, ε)− εΦ4(x, ε)D1(ε) + εB1(x, ε)Φ1(x, ε) + B(x, ε)Φ3(x, ε), F4(x, ε) = −εΦ′ 4(x, ε)− εΦ3(x, ε)C1(ε)− Φ4(x, ε)B0(x) + εB1(x, ε)Φ2(x, ε) + B(x, ε)Φ4(x, ε). При ε 6= 0 систему (69) перепишемо у виглядi Z ′ 1 = B0(x)Z1 + (A(x, ε)−B0(x))Z1 − Z2D1(ε) + A1(x, ε)Z3 + F1(x, ε), Z ′ 2 = = B0(x)Z2 − ε−1Z2B0(x) + (A(x, ε)−B0(x))Z2 − Z1C1(ε) + A1(x, ε)Z4 + ε−1F2(x, ε), (70) Z ′ 3 = ε−1B0(x)Z3 + ε−1(B(x, ε)−B0(x))Z3 − Z4D1(ε) + B1(x, ε)Z1 + ε−1F3(x, ε), Z ′ 4 = = ε−1B0(x)Z4−ε−1Z4B0(x)+ε−1(B(x, ε)−B0(x))Z4 − Z3C1(ε)+B1(x, ε)Z2+ε−1F4(x, ε). Доведемо, що матрицi Fi(x, ε) ∼ 0, ε → 0, i = 1, 4. Дiйсно, F1(x, ε) = − ( U(x) + m∑ n=1 ′ ( e−nF1n(x) 2ε0‖F1n(x)‖0 −Kn1(x) ) εn + m∑ n=1 ′ F1n(x)e−nεn ‖F1n(x)‖0 × ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 ПРО АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 225 × ∞∑ r=m−n+1 (−1)rεr (2ε0)r+1 + ∞∑ n=m+1 F1n(x)e−nεn ‖F1n(x)‖0ε + 2ε0∆̃1 )′ − ( m∑ n=1 ′ ( e−nF2n(x) 2ε0‖F2n(x)‖0 −Kn2(x) ) εn + + m∑ n=1 ′ F2n(x)e−nεn ‖F2n(x)‖0 ∞∑ r=m−n+1 (−1)rεr (2ε0)r+1 + ∞∑ n=m+1 F2n(x)e−nεn ‖F2n(x)‖0ε + 2ε0∆̃1 ) D1(ε)+ + A(x, ε) ( U(x) + m∑ n=1 ′ ( e−nF1n(x) ‖F1n(x)‖02ε0 −Kn1(x) ) εn+ m∑ n=1 ′ F1n(x)e−nεn ‖F1n(x)‖0 ∞∑ r=m−n+1 (−1)rεr (2ε0)r+1 + + ∞∑ n=m+1 F1n(x)e−nεn ‖F1n(x)‖0ε + 2ε0∆̃1 ) + A1(x, ε) ( m∑ n=1 ′ ( e−nF3n(x) ‖F3n(x)‖02ε0 −Kn3(x) ) εn + + m∑ n=1 ′ F3n(x)e−nεn ‖F3n(x)‖0 ∞∑ r=m−n+1 (−1)rεr (2ε0)r+1 + ∞∑ n=m+1 F3n(x)e−nεn ‖F3n(x)‖0ε + 2ε0∆̃1 ) = = −U ′(x)− m∑ n=1 ′ U ′ n(x)εn − ( m∑ n=1 ′ Vn1(x)εn ) D1(ε)+ + A(x, ε) ( U(x) + m∑ n=1 ′ Un(x)εn ) + A1(x, ε) m∑ n=1 ′ Un1(x)εn + εm+1M = εm+1M, де M = − ( m∑ n=1 ′ F1n(x)e−nεn ‖F1n(x)‖0 ∞∑ r=m−n+1 (−1)rεr (2ε0)r+1 + ∞∑ n=m+1 F1n(x)e−nεn ‖F1n(x)‖0ε + 2ε0∆̃1 )′ + + 3∑ i=1 Ãi(x, ε) ( m∑ n=1 ′ Fin(x)e−nεn ‖Fin(x)‖0 ∞∑ r=m−n+1 (−1)rεr (2ε0)r+1 + ∞∑ n=m+1 Fin(x)e−nεn ‖Fin(x)‖0ε + 2ε0∆̃1 ) D̃i(ε), Ã1(x, ε) = A(x, ε), Ã2(x, ε) = −E, Ã3(x, ε) = A1(x, ε), D̃2(ε) = D1(ε), D̃1(ε) = D̃3(ε) = E. Згiдно з [3] рiвняння (70) замiнимо еквiвалентними iнтегральними рiвняннями вигляду Z1(x, ε) = Ũ(x) ∫ Γ(x) Ũ−1(t)[(A(t, ε)−B0(t))Z1 − Z2D1(ε) + A1(t, ε)Z3]dt + H1(x, ε), Z2(x, ε) = Ũ(x) ∫ Γ(x) Ũ−1(t)[(A(t, ε)−B0(t))Z2 − Z1C1(ε)+ + A1(t, ε)Z4](Ṽ T (t, ε))−1dtṼ T (x, ε) + H2(x, ε), (71) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 226 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. Г. КЛЮЧНИК Z3(x, ε) = Ũ(x, ε) ∫ Γ(x) Ũ−1(t, ε)[ε−1(B(t, ε)−B0(t))Z3− − Z4D1(ε) + B1(t, ε)Z1]dt + H3(x, ε), Z4(x, ε) = Ũ(x, ε) ∫ Γ(x) Ũ−1(t, ε)[ε−1(B(t, ε)−B0(t))Z4 − Z3C1(ε)+ + B1(t, ε)Z2](Ṽ T (t, ε))−1dtṼ T (x, ε) + H4(x, ε), де H1(x, ε) = Ũ(x) ∫ Γ(x) Ũ−1(t)F1(t, ε)dt, H2(x, ε) = Ũ(x) ∫ Γ(x) Ũ−1(t)ε−1F2(t, ε)(Ṽ T (t, ε))−1dtṼ T (x, ε), H3(x, ε) = Ũ(x, ε) ∫ Γ(x) Ũ−1(t, ε)ε−1F3(t, ε)dt, H4(x, ε) = Ũ(x, ε) ∫ Γ(x) Ũ−1(t, ε)ε−1F4(t, ε)(Ṽ T (t, ε))−1dtṼ T (x, ε), Ũ(x), Ũ(x, ε), Ṽ (x, ε) — фундаментальнi матрицi вiдповiдних диференцiальних рiвнянь Ũ ′ = ( 0 1 x 0 ) Ũ , εŨ ′ = ( 0 1 x 0 ) Ũ , εṼ ′ = − ( 0 1 x 0 )T Ṽ , Ṽ T (x, ε) — матриця, транс- понована до Ṽ (x, ε), Γ(x) — набiр шляхiв iнтегрування, кiнцi яких збiгаються з точ- кою x. За лемами 30.3 i 30.4 з [3] в секторi −π + δ ≤ arg(xε− 2 3 ) ≤ π 3 − δ Ũ(x, ε), Ṽ (x, ε) можна подати у виглядi Ũ(x, ε) = Ũ∗(x, ε)e 2 3 x 3 2 ε−1Ω, Ṽ (x, ε) = Ṽ ∗(x, ε)e 2 3 x 3 2 ε−1Ω, де Ũ∗(x, ε); Ṽ ∗(x, ε) мають вигляд Ũ∗(x, ε) = ( 1 0 0 ε 1 3 )( xε− 2 3 ) 1 4 σ(xε− 2 3 )Ω Û(xε− 2 3 ), Ṽ ∗(x, ε) = ( 0 −1 1 0 ) Ũ∗(x, ε), σ(xε− 2 3 ) = { 0, якщо \|xε− 2 3 \| ≤ z0, 1, якщо \|xε− 2 3 \| > z0, Ω = ( −1 0 0 1 ) , δ > 0. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 ПРО АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 227 Виконавши в (71) замiну за формулами W1(x, ε) = ε− 1 3 Z1(x, ε), W2(x, ε) = Z2(x, ε)(Ṽ ∗T (x, ε))−1ε− 1 3 , (72) W3(x, ε) = (Ũ∗(x, ε))−1Z3(x, ε)ε− 1 3 , W4(x, ε) = (Ũ∗(x, ε))−1Z4(x, ε)(Ṽ ∗T (x, ε))−1, одержимо iнтегральнi рiвняння вiдносно змiнних Wi(x, ε), i = 1, 4, для побудови розв’яз- кiв яких розглянемо наступний алгоритм W (0) i (x, ε) = 0, i = 1, 4 : W (l+1) 1 (x, ε) = Ũ(x) ∫ Γ(x) Ũ−1(t)(A(t, ε)−B0(t))W (l) 1 (t, ε)dt− − Ũ(x) ∫ Γ(x) Ũ−1(t)W (l) 2 (t, ε)Ṽ ∗T (t, ε)D1(ε)dt+ + Ũ(x) ∫ Γ(x) Ũ−1(t)A1(t, ε)Ũ∗(t, ε)W (l) 3 (t, ε)dt + ε− 1 3 H1(x, ε), W (l+1) 2 (x, ε) = Ũ(x) ∫ Γ(x) Ũ−1(t)(A(t, ε)−B0(t))W (l) 2 (t, ε)e 2 3ε � x 3 2−t 3 2 � Ω dt− − Ũ(x) ∫ Γ(x) Ũ−1(t)W (l) 1 (t, ε)C1(ε)(Ṽ ∗T (t, ε))−1e 2 3ε � x 3 2−t 3 2 � Ω dt+ + ε− 1 3 Ũ(x) ∫ Γ(x) Ũ−1(t)A1(t, ε)Ũ∗(t, ε)W (l) 4 (t, ε)e 2 3ε � x 3 2−t 3 2 � Ω dt+ + ε− 1 3 Ũ(x) ∫ Γ(x) Ũ−1(t)ε−1F2(t, ε)(Ṽ ∗T (t, ε))−1e 2 3ε (x 3 2−t 3 2 )Ωdt, (73) W (l+1) 3 (x, ε) = ∫ Γ(x) e 2 3ε � x 3 2−t 3 2 � Ω Ũ∗−1 (t, ε)ε−1(B(t, ε)−−B0(t))Ũ∗(t, ε)W (l) 3 (t, ε)dt− − ε− 1 3 ∫ Γ(x) e 2 3ε (x 3 2−t 3 2 )ΩW (l) 4 (t, ε)Ṽ ∗T (t, ε)D1(ε)dt+ + ∫ Γ(x) e 2 3ε (x 3 2−t 3 2 )ΩŨ∗−1 (t, ε)B1(t, ε)W (l) 1 (t, ε)dt+ + ε− 1 3 ∫ Γ(x) e 2 3ε (x 3 2−t 3 2 )ΩŨ∗−1 (t, ε)ε−1F3(t, ε)dt, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 228 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. Г. КЛЮЧНИК W (l+1) 4 (x, ε) = ∫ Γ(x) e 2 3ε � x 3 2−t 3 2 � Ω Ũ∗−1 (t, ε)ε−1× × (B(t, ε)−B0(t))Ũ∗(t, ε)W (l) 4 (t, ε)e 2 3ε (x 3 2−t 3 2 )Ω dt− − ε 1 3 ∫ Γ(x) e 2 3ε � x 3 2−t 3 2 � Ω W (l) 3 (t, ε)C1(ε)(Ṽ ∗T (t, ε))−1e 2 3ε (x 3 2−t 3 2 )Ωdt+ + ε 1 3 ∫ Γ(x) e 2 3ε � x 3 2−t 3 2 � Ω Ũ∗−1 (t, ε)B1(t, ε)W (l) 2 (t, ε)e 2 3ε � x 3 2−t 3 2 � Ω dt+ + ∫ Γ(x) e 2 3ε � x 3 2−t 3 2 � Ω Ũ∗−1 (t, ε)ε−1F4(t, ε)(Ṽ ∗T (t, ε))−1e 2 3ε � x 3 2−t 3 2 � Ω dt. Використавши (73), оцiнимо норму матрицi ‖W (l+1) 1 (x, ε)‖0 ≤ 2‖Ũ(x)‖0‖Ũ−1(x)‖0‖A1(x, ε)‖0‖W (l) 3 (x, ε)\|\|0× × ‖Û(xε− 2 3 )‖0 ∫ γ3(x) \|ε\| σ(tε − 2 3 ) 6 \|t\|− σ(tε − 2 3 ) 4 \|dt\|+ + 2\|\|Ũ(x)\|\|0\|\|Ũ−1(x)\|\|0\|\|W (l) 2 (x, ε)\|\|0\|\|ÛT (xε− 2 3 )\|\|0\|\|D1(ε)\|\|× × ∫ γ3(x) \|ε\| σ(tε − 2 3 ) 6 \|t\|− σ(tε − 2 3 ) 4 \|dt\|+ 2\|\|Ũ(x)\|\|0\|\|Ũ−1(x)\|\|0\|\|A(x, ε)−B0(x)\|\|0× × \|\|W (l) 1 (x, ε)\|\|0 ∫ γ3(x) \|dt\|+ \|ε\|− 1 3 \|\|H1(x, ε)\|\|0, \|\|W (l+1) 2 (x, ε)\|\|0 ≤ 2\|\|Ũ(x)\|\|0\|\|Ũ−1(x)\|\|0\|\|A1(x, ε)\|\|0\|\|Û(x, ε− 2 3 )\|\|0\|\|W (l) 4 (x, ε)\|\|0× ×  ∫ γ1(x) \|e− 2 3ε (x 3 2−t 3 2 )\|\|ε\| σ(tε − 2 3 )−2 6 \|t\|− σ(tε − 2 3 ) 4 \|dt\|+ ∫ γ2(x) \|e 2 3ε (x 3 2−t 3 2 )\|\|ε\| σ(tε − 2 3 )−2 6 \|t\|− σ(tε − 2 3 ) 4 \|dt\| + + 2\|\|Ũ(x)\|\|0\|\|Ũ−1(x)\|\|0\|\|C1(ε)\|\|\|\|(ÛT (xε− 2 3 ))−1\|\|0\|\|W (l) 1 (x, ε)\|\|0× ×  ∫ γ1(x) \|e− 2 3ε (x 3 2−t 3 2 )\|\|ε\| σ(tε − 2 3 )−2 6 \|t\|− σ(tε − 2 3 ) 4 \|dt\|+ ∫ γ2(x) \|e 2 3ε (x 3 2−t 3 2 )\|\|ε\| σ(tε − 2 3 )−2 6 \|t\|− σ(tε − 2 3 ) 4 \|dt\| + ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 ПРО АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 229 + \|\|Ũ(x)\|\|0\|\|Ũ−1(x)\|\|0\|\|A(x, ε)−B0(x)\|\|0\|\|W (l) 2 (x, ε)\|\|0  ∫ γ1(x) \|e− 2 3ε (x 3 2−t 3 2 )\|\|dt\| + + ∫ γ2(x) \|e 2 3ε (x 3 2−t 3 2 )\|\|dt\| + \|ε\|− 1 3 \|\|H2(x, ε)(Ṽ ∗T (x, ε))−1\|\|0, (74) \|\|W (l+1) 3 (x, ε)\|\|0 ≤ 8\|\|(Û(xε− 2 3 ))−1\|\|0\|\|ε−1(B(x, ε)−B0(x))\|\|0\|\|Û(x, ε− 2 3 )\|\|0\|\|W (l) 3 (x, ε)\|\|0× ×  ∫ γ1(x) \|e− 2 3ε (x 3 2−t 3 2 )\|\|t\|− σ(tε − 2 3 ) 2 \|ε\| σ(tε − 2 3 )−2 3 \|dt\|+ ∫ γ2(x) \|e 2 3ε (x 3 2−t 3 2 )\|\|t\|− σ(tε − 2 3 ) 2 \|ε\| σ(tε − 2 3 )−2 3 \|dt\| + + 4\|\|ÛT (xε− 2 3 )\|\|0\|\|D1(ε)\|\|\|\|W (l) 4 (x, ε)\|\|0× ×  ∫ γ1(x) \|e− 2 3ε (x 3 2−t 3 2 )\|\|t\|− σ(tε − 2 3 ) 4 \|ε\| σ(tε − 2 3 )−2 6 \|dt\|+ ∫ γ2(x) \|e 2 3ε (x 3 2−t 3 2 )\|\|t\|− σ(tε − 2 3 ) 4 \|ε\| σ(tε − 2 3 )−2 6 \|dt\| + + 4\|\|(Û(xε− 2 3 ))−1\|\|0\|\|B1(x, ε)\|\|0\|\|W (l) 1 (x, ε)\|\|0  ∫ γ1(x) \|e− 2 3ε (x 3 2−t 3 2 )\|\|t\|− σ(tε − 2 3 ) 4 \|ε\| σ(tε − 2 3 )−2 6 \|dt\| + + ∫ γ2(x) \|e 2 3ε (x 3 2−t 3 2 )\|\|t\|− σ(tε − 2 3 ) 4 \|ε\| σ(tε − 2 3 )−2 6 \|dt\| + \|ε\|− 1 3 \|\|(Ũ∗(x, ε))−1H3(x, ε)\|\|0, \|\|W (l+1) 4 (x, ε)\|\|0 ≤ 4\|\|(Û(xε− 2 3 ))−1\|\|0\|\|ε−1(B(x, ε)−B0(x))\|\|0\|\|Û(xε− 2 3 )\|\|0\|\|W (l) 4 (x, ε)\|\|0× ×  ∫ γ1(x) \|e− 4 3ε (x 3 2−t 3 2 )\|\|t\|− σ(tε − 2 3 ) 2 \|ε\| σ(tε − 2 3 )−1 3 \|dt\|+ ∫ γ2(x) \|e 4 3ε (x 3 2−t 3 2 )\|\|t\|− σ(tε − 2 3 ) 2 \|ε\| σ(tε − 2 3 )−1 3 \|dt\| + +2 ∫ γ3(x) \|t\|− σ(tε − 2 3 ) 2 \|ε\| σ(tε − 2 3 )−1 3 \|dt\| + 4\|\|C1(ε)\|\|\|\|(ÛT (x, ε− 2 3 ))−1\|\|0\|\|W (l) 3 (x, ε)\|\|0× ×  ∫ γ1(x) \|e− 4 3ε (x 3 2−t 3 2 )\|\|t\|− σ(tε − 2 3 ) 4 \|ε\| σ(tε − 2 3 ) 6 \|dt\|+ ∫ γ2(x) \|e 4 3ε (x 3 2−t 3 2 )\|\|t\|− σ(tε − 2 3 ) 4 \|ε\| σ(tε − 2 3 ) 6 \|dt\| + + 2 ∫ γ3(x) \|t\|− σ tε − 2 3 ! 4 \|ε\|− σ tε − 2 3 ! 6 \|dt\| + 4‖(Û(xε− 2 3 ))−1‖0‖B1(x, ε)‖0‖W (l) 2 (x, ε)‖0× ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 230 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. Г. КЛЮЧНИК ×  ∫ γ1(x) \|e− 4 3ε (x 3 2−t 3 2 )\|\|t\|− σ(tε − 2 3 ) 4 \|ε\| σ(tε − 2 3 ) 6 \|dt\|+ ∫ γ2(x) \|e 4 3ε (x 3 2−t 3 2 )\|\|t\|− σ(tε − 2 3 ) 4 \|ε\| σ(tε − 2 3 ) 6 \|dt\| + + 2 ∫ γ3(x) \|t\|− σ(tε − 2 3 ) 4 \|ε\| σ(tε − 2 3 ) 6 \|dt\| + \|\|(Ũ∗(x, ε))−1H4(x, ε)(Ṽ ∗T (x, ε))−1\|\|0. Будемо вибирати шляхи iнтегрування таким чином, щоб iнтеграли були обмеженi при ε → 0. Введемо допомiжнi змiннi τ = e−iβt 3 2 , ξ̃ = e−iβx 3 2 , де число β = 0, якщо ε > 0, i β = π, якщо ε < 0. Сектору −π < arg(xε− 2 3 ) < π 3 у площинi x вiдповiдає сектор −3π 2 < arg ξ̃ < π 2 у площинi ξ̃. Нехай ξ̃ лежить в областi −3π 2 + δ ≤ arg ξ̃ ≤ π 2 − δ, \|ξ̃\| ≤ x 3 2 0 . Побудуємо всерединi областi площини τ, визначенiй нерiвностями −3π 2 + δ ≤ arg τ ≤ π 2 − δ, \|τ \| ≤ x 3 2 0 , вiдрiзки δ1(ξ̃) i δ2(ξ̃). Нехай δ1(ξ̃) — вiдрiзок, який з додатним напрямом Re τ утворює кут π 4 i з’єднує точку ξ̃1, що лежить на перетинi кола з прямою, з довiльною точкою ξ̃, що лежить усерединi областi τ. Через δ2(ξ̃) позначимо вiдрiзок, який з додатним напрямом Re τ утворює кут 3π 4 i з’єднує точку ξ̃ з ξ̃2 — точкою перетину вiдрiзка з колом у правiй пiвплощинi вiдносно δ1(ξ̃). Тодi рiвняння δ1(ξ̃), δ2(ξ̃) мають вiдповiдно вигляд τ = ξ̃ − ρe πi 4 , τ = ξ̃ − ρe 3πi 4 , i на всьому вiдрiзку δ1(ξ̃) Re (ξ̃ − τ) > 0, а на δ2(ξ̃) Re (ξ̃ − τ) < 0. Оцiнимо iнтеграл ∫ γ1(x) ∣∣∣∣e− 2 3ε � x 3 2−t 3 2 �∣∣∣∣\|ε\|σ(tε − 2 3 )−2 6 \|t\|− σ(tε − 2 3 ) 4 \|dt\| = = 2 3 ∫ δ1(eξ) ∣∣∣∣e− 2(eξ−τ) 3\|ε\| ∣∣∣∣ \|ε\|σ(tε − 2 3 )−2 6 \|τ \|− σ(tε − 2 3 )+2 6 \|dτ \|. (75) При \|xε− 2 3 \| ≤ z0 iнтеграл I1 вигляду (75) має оцiнку I1 = 2 3 \|ε\|− 1 3 ∫ δ (1) 1 (eξ) \|e− 2(eξ−τ) 3\|ε\| \|\|τ \|− 1 3 \|dτ \| ≤ 4 3 \|ε\|− 1 3 z 3 2 0 \|ε\|∫ 0 \|τ \|− 1 3 \|dτ \| = 2z0\|ε\| 1 3 . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 ПРО АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 231 При \|xε− 2 3 \| > z0 iнтеграл I2 вигляду (75) має оцiнку I2 = 2 3 \|ε\|− 1 6 ∫ δ (2) 1 (eξ) \|e− 2(eξ−τ) 3\|ε\| \|\|τ \|− 1 2 \|dτ \| ≤ 4 3 \|ε\|− 2 3 z − 3 4 0 x 3 2 0∫ 0 e − √ 2ρ 3\|ε\| dρ = 2 √ 2\|ε\| 1 3 z − 3 4 0 (1− e − √ 2x 3 2 0 3\|ε\| ), де ρ = \|ξ̃−τ \|, δ(1) 1 (ξ̃), δ(2) 1 (ξ̃) — частини шляху, що лежать вiдповiдно в областях \|tε− 2 3 \| ≤ z0 i \|tε− 2 3 \| > z0. Тодi I ≤ 2z0\|ε\| 1 3 + 2 √ 2\|ε\| 1 3 z − 3 4 0 ( 1− e − √ 2x 3 2 0 3\|ε\| ) . В якостi γi(x) ми використали вiдповiдно прообраз δi(ξ̃), причому γ3(x) — вiдрiзок, що з’єднує точки t = 0 i t = x. Таким чином, оцiнивши методом (75) iнтеграли, якi мiстяться в (74), i врахувавши, що Fi(x, ε) ∼ 0, i = 1, 4, запишемо оцiнку (74) у виглядi \|\|W (l+1) i (x, ε)\|\|0 ≤ 4∑ j=1 Lij(x0, ε)\|\|W (l) j (x, ε)\|\|0 + ciε mi , де \|\|W (0) i \|\| = 0, mi — невiд’ємнi цiлi числа, ci — сталi, L14(x0, ε) = L23(x0, ε) = L32(x0, ε) = = L41(x0, ε) = 0, i = 1, 4, l = 0, 1, 2, . . . , L11(x0, ε) = L22(x0, ε) = 4x0‖Ũ(x)‖0‖Ũ−1(x)‖0‖A(x, ε)−B0(x)‖0, L12(x0, ε) = 4\|ε\| 1 6 ( z0 √ \|ε\|+ 4 3 x 3 4 0 ) ‖Ũ(x)‖0‖Ũ−1(x)‖0‖D1(ε)‖0‖ÛT (xε− 2 3 )‖0, L13(x0, ε) = 4\|ε\| 1 6 ( z0 √ \|ε\|+ 4 3 x 3 4 0 ) ‖Ũ(x)‖0‖Ũ−1(x)‖0‖A1(x, ε)‖0‖Û(xε− 2 3 )‖0, L21(x0, ε) = 8\|ε\| 1 3 z0 + √ 2z − 3 4 0 1− e − √ 2x 3 2 0 3\|ε\| ‖Ũ(x)‖0‖Ũ−1(x)‖0‖C1(ε)‖0‖(ÛT (xε− 2 3 ))−1‖0, L24(x0, ε) = 8\|ε\| 1 3 z0 + √ 2z − 3 4 0 1− e − √ 2x 3 2 0 3\|ε\|  ‖Ũ(x)‖0‖Ũ−1(x)‖0‖A1(x, ε)‖0‖Û(xε− 2 3 )‖0, L31(x0, ε) = 16\|ε\| 1 3 z0 + √ 2z − 3 4 0 1− e − √ 2x 3 2 0 3\|ε\|  \|\|(Û(xε− 2 3 ))−1\|\|0\|\|B1(x, ε)\|\|0, L33(x0, ε) = 32 ( z0\|ε\| 1 3 + 2x 1 2 0 ) \|\|Û(xε− 2 3 )\|\|0\|\|ε−1(B(x, ε)−B0(x))\|\|0\|\|(Û(xε− 2 3 ))−1\|\|0, L34(x0, ε) = 16\|ε\| 1 3 z0 + √ 2z − 3 4 0 1− e − √ 2x 3 2 0 3\|ε\|  \|\|D1(ε)\|\|0\|\|ÛT (xε− 2 3 )\|\|0, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 232 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. Г. КЛЮЧНИК L42(x0, ε) = 32\|ε\| 1 6 ( z0\|ε\| 1 2 + 4 3 x 3 4 0 ) \|\|Û−1(xε− 2 3 )\|\|0\|\|B1(x, ε)\|\|0, L43(x0, ε) = 32\|ε\| 1 6 ( z0\|ε\| 1 2 + 4 3 x 3 4 0 ) \|\|C1(ε)\|\|\|\|(ÛT (xε− 2 3 ))−1\|\|0, L44(x0, ε) = 64(2x 1 2 0 + z0\|ε\| 1 3 )‖(Û(xε− 2 3 ))−1‖0‖ε−1(B(x, ε)−B0(x))‖0‖Û(xε− 2 3 )‖0. Введемо наступнi позначення: W (l+1) =  ‖W (l+1) 1 −W (l) 1 ‖0 ‖W (l+1) 2 −W (l) 2 ‖0 ‖W (l+1) 3 −W (l) 3 ‖0 ‖W (l+1) 4 −W (l) 4 ‖0  , P =  L11(x0, ε) L12(x0, ε) L13(x0, ε) 0 L21(x0, ε) L22(x0, ε) 0 L24(x0, ε) L31(x0, ε) 0 L33(x0, ε) L34(x0, ε) 0 L42(x0, ε) L43(x0, ε) L44(x0, ε)  . Склавши рiзницi W (l+1) i (x, ε) − W (l) i (x, ε), i = 1, 4, у рiвняннях (73), одержимо оцiнки у виглядi ‖W (l+1)‖ ≤ ‖P‖ ‖W (l)‖. Числа x0 i ε вибираємо так, щоб виконувалась нерiвнiсть ‖P‖ < 1, (76) що забезпечить рiвномiрну збiжнiсть послiдовностей W (l) i (x, ε), i = 1, 4, l = 0, 1, 2, . . . , до функцiй Wi(x, ε) при \|x\| < x0, 0 < \|ε\| ≤ ε0, −π < arg (xε− 2 3 ) < π 3 . Можна довести нескiнченну диференцiйовнiсть по x, ε iтерацiй W (l) i (x, ε), i = 1, 4, l = 0, 1, . . . , а потiм за- стосувавши теорему Арцела, одержимо нескiнченну диференцiйовнiсть функцiй Wi(x, ε) по x, ε при \|x\| < x0, 0 < \|ε\| ≤ ε0,−π < arg (xε− 2 3 ) < π 3 . Довизначимо функцiї Wi(x, ε), i = 1, 4, у точцi ε = 0 i \|x\| < x0 таким чином: W̃i(x, ε) = { Wi(x, ε), якщо 0 < \|ε\| ≤ ε0, 0, якщо ε = 0. Тодi ∂W̃i(x, ε) ∂ε ∣∣∣∣∣ ε=0 = lim ε→0 W̃i(x, ε) ε = lim ε→0 εmi−1C̃i(x, ε) = 0, де C̃i(x, ε) = lim l→∞ C̃ (l) 1 (x, ε), C̃ (l) 1 (x, ε) = W (l) i (x, ε) εmi . Математичною iндукцiєю можна довести нескiнченну диференцi- йовнiсть по x i ε функцiї W̃i(x, ε) при \|x\| < x0 i ε = 0, причому ∂kW̃i(x, ε) ∂εk ∣∣∣∣∣ ε=0 = ( εmi−k ∂kC̃i(x, ε) ∂εk )∣∣∣∣∣ ε=0 = 0. Тодi iз спiввiдношень (72) випливає нескiнченна диференцiйовнiсть розв’язкiв диферен- цiальних рiвнянь (69) по x i ε при \|x\| < x0, \|ε\| ≤ ε0,−π < arg (xε 2 3 ) < π 3 . Можна довести наступну лему. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 ПРО АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 233 Лема 4. Матрицю Ũ(x, ε) у секторi π 3 + δ ≤ arg (xε− 2 3 ) ≤ 5π 3 − δ можна подати у виглядi Ũ(x, ε) = ( 1 0 0 ε 1 3 )( xε− 2 3 ) 1 4 σ(xε− 2 3 )Ω Û ( xε− 2 3 ) e− 2 3 x 3 2 ε−1Ω, (77) матрицi Û(xε− 2 3 ), Û−1(xε− 2 3 ) рiвномiрно обмеженi в областi \|ε\| ≤ ε0, π 3 +δ ≤ arg (xε− 2 3 ) ≤ ≤ 5π 3 − δ, δ > 0. При \|xε− 2 3 \| > z0 Û(xε− 2 3 ) =  (√ 3 2 − i 2 ) d2 ( −2 3 x 3 2 ε−1 ) ( 1 2 − i √ 3 2 ) d2 ( 2 3 x 3 2 ε−1 ) ( − √ 3 2 + i 2 ) d1 ( −2 3 x 3 2 ε−1 ) ( 1 2 + i √ 3 2 ) d1 ( 2 3 x 3 2 ε−1 )  , при \|xε− 2 3 \| ≤ z0 Û(xε− 2 3 ) =  Ai ( e 2πi 3 xε− 2 3 ) Ai ( e 4πi 3 xε− 2 3 ) e 2πi 3 Ai′ ( e 2πi 3 xε− 2 3 ) e 4πi 3 Ai′ ( e 4πi 3 xε− 2 3 )  e 2 3 x 3 2 ε−1Ω, де σ(xε− 2 3 ) = { 0, якщо \|xε− 2 3 \| ≤ z0, 1, якщо \|xε− 2 3 \| > z0, Ω = ( −1 0 0 1 ) , d2 ( 2 3 x 3 2 ε−1 ) = 1 2 √ π ∞∑ k=0 (−1)k c̃k( 2 3 x 3 2 ε−1)−k, c̃0 = 1, c̃k = Γ(3k + 1 2) 54kk!Γ(k + 1 2) , d1 ( 2 3 x 3 2 ε−1 ) = − 1 2 √ π ∞∑ k=0 (−1)kd̃k ( 2 3 x 3 2 ε−1 )−k , d̃0 = 1, d̃k = −6k + 1 6k − 1 c̃k, k = 1, 2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ai(x) = 1 3 2 3 Γ(2 3) ( 1 + ∞∑ k=2 1 · 4 · 7 · ·(3k − 2) (3k − 3)! x3k−2 ) + 1 3 1 3 Γ ( 1 3 ) (x + ∞∑ k=2 2 · 5 · 8 · ·(3k − 4) (3k − 2)! x3k−2 ) . Згiдно з [3] у рiвняннях (71) для сектора π 3 + δ ≤ arg (xε− 2 3 ) ≤ 5π 3 − δ, δ > 0, Ũ(x) має вигляд Ũ(x) =  Ai ( e 2πi 3 x ) Ai ( e 4πi 3 x ) e 2πi 3 Ai′ ( e 2πi 3 x ) e 4πi 3 Ai′ ( e 4πi 3 x )  , Ṽ (x, ε) = ( 0 −1 1 0 ) Ũ(x, ε), де Ũ(x, ε) визначається за формулою (77). З (71), (72), (77) випливає, що для побудови ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 234 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. Г. КЛЮЧНИК розв’язкiв iнтегральних рiвнянь вiдносно змiнних Wi(x, ε), i = 1, 4, у секторi π 3 + δ ≤ ≤ arg (xε− 2 3 ) ≤ 5π 3 − δ можна застосувати алгоритм за формулами (73), в яких аргумент в експонентi є iншим, а саме, має вигляд e − 2(x 3 2 −t 3 2 ) 3\|ε\| Ω . З нескiнченної диференцiйовностi матриць Zi(x, ε), Φi(x, ε), i = 1, 4, по x i ε при \|x\| < x0, \|ε\| ≤ ε0,−π < arg (xε− 2 3 ) < π 3 , π 3 < arg (xε− 2 3 ) < 5π 3 , а також iз спiввiдношень (5), (68) випливає нескiнченна диферен- цiйовнiсть матрицi Φ(x, ε). Таким чином, доведено наступну теорему. Теорема 2. Якщо виконуються умови теореми 1 i нерiвнiсть (76), то формальнi ряди (5), (6), (13) є асимптотичними розвиненнями матриць Φ(x, ε), C1(ε), D1(ε), нескiнченно диференцiйовних по x i ε в областi \|x\| < x0, \|ε\| ≤ ε0 дiйсних змiнних x, ε, такими, що замiна змiнних з матрицею Φ(x, ε) перетворює систему рiвнянь (1) до вигляду (3), (4) з матрицями C1(ε), D1(ε) вигляду (10). Таким чином, за допомогою замiни змiнних з матрицею перетворення Φ(x, ε), яка є нескiнченно диференцiйовною по x i ε при \|x\| < x0, \|ε\| ≤ ε0, систему рiвнянь (1) асимпто- тично зведено до систем (3), (4), якi мiстять нескiнченно диференцiйовнi матрицi C1(ε), D1(ε) при \|ε\| ≤ ε0, а також вказано метод iнтегрування систем рiвнянь (3), (4). 1. Langer R. E. The asymptotic solutions of a linear differential equations of the second order with two turning points // Trans. Amer. Math. Soc. — 1959. — 90. — P. 113 – 142. 2. Langer R. E. The solutions of the differential equations v′′′ + λ2zv′ + 3µλ2v = 0 // Duke Math. J. — 1955. — 22. — P. 525 – 542. 3. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1968. — 464 с. 4. Wasow W. Linear turning point theory. — New York etc.: Springer, 1985. — 243 p. 5. Дородницын А. А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка // Успехи мат. наук. — 1952. — 27, вып. 6 (52). — С. 3 – 96. 6. Федорюк М. Ф. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравне- ний. — М.: Наука, 1983. — 352 с. 7. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. — М.: Наука, 1981. — 398 с. 8. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. — М.: Наука, 1989. — 336 с. 9. Найфэ А. Методы возмущений. — М.: Мир, 1976. — 456 с. 10. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. — М.: Наука, 1990. — 528 с. 11. Дзядык В. К. Некоторые специальные функции и их роль при решении неоднородных дифференци- альных уравнений // Теория функций и ее приложение. — Киев: Наук. думка, 1979. — С. 61 – 81. 12. Шкиль Н. И. О периодических решениях систем линейных дифференциальных уравнений второго порядка // Arch. math. — 1987. — 23, № 1. — P. 53 – 62. 13. Самойленко А. М. Об асимптотическом интегрировании одной системы линейных дифференциаль- ных уравнений с малым параметром при части производных // Укр. мат. журн. — 2002. — 54, № 11. — С. 1505 – 1516. 14. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Изд-во иностр. лит., 1958. — 474 с. 15. Эрве М. Функции многих комплексных переменных. — М.: Мир, 1965. — 164 с. Одержано 16.03.09 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2

Про асимптотичне інтегрування лінійної системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині змінних

Репозитарії

Схожі ресурси