Решение одного уравнения теплопроводности с запаздыванием
Доведено iснування та єдинiсть розв’язку крайової задачi для рiвняння теплопровiдностi iз запiзненням. Для побудови розв’язку використано спецiальну функцiю „запiзнiлого експоненцiала”...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178404 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Решение одного уравнения теплопроводности с запаздыванием / Д.Я. Хусаинов, А.Ф. Иванов, И.В. Коварж // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 2. — С. 251-272. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178404 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1784042021-02-20T01:27:23Z Решение одного уравнения теплопроводности с запаздыванием Хусаинов, Д.Я. Иванов, А.Ф. Коварж, И.В. Доведено iснування та єдинiсть розв’язку крайової задачi для рiвняння теплопровiдностi iз запiзненням. Для побудови розв’язку використано спецiальну функцiю „запiзнiлого експоненцiала” We prove the existence and uniqueness of a solution of boundary-value problem for a heat conduction equation with delay. A special function, the delayed exponent, is used to define solution. 2009 Article Решение одного уравнения теплопроводности с запаздыванием / Д.Я. Хусаинов, А.Ф. Иванов, И.В. Коварж // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 2. — С. 251-272. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178404 517.929 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Доведено iснування та єдинiсть розв’язку крайової задачi для рiвняння теплопровiдностi iз запiзненням. Для побудови розв’язку використано спецiальну функцiю „запiзнiлого експоненцiала” |
| format |
Article |
| author |
Хусаинов, Д.Я. Иванов, А.Ф. Коварж, И.В. |
| spellingShingle |
Хусаинов, Д.Я. Иванов, А.Ф. Коварж, И.В. Решение одного уравнения теплопроводности с запаздыванием Нелінійні коливання |
| author_facet |
Хусаинов, Д.Я. Иванов, А.Ф. Коварж, И.В. |
| author_sort |
Хусаинов, Д.Я. |
| title |
Решение одного уравнения теплопроводности с запаздыванием |
| title_short |
Решение одного уравнения теплопроводности с запаздыванием |
| title_full |
Решение одного уравнения теплопроводности с запаздыванием |
| title_fullStr |
Решение одного уравнения теплопроводности с запаздыванием |
| title_full_unstemmed |
Решение одного уравнения теплопроводности с запаздыванием |
| title_sort |
решение одного уравнения теплопроводности с запаздыванием |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178404 |
| citation_txt |
Решение одного уравнения теплопроводности с запаздыванием / Д.Я. Хусаинов, А.Ф. Иванов, И.В. Коварж // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 2. — С. 251-272. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT husainovdâ rešenieodnogouravneniâteploprovodnostiszapazdyvaniem AT ivanovaf rešenieodnogouravneniâteploprovodnostiszapazdyvaniem AT kovarživ rešenieodnogouravneniâteploprovodnostiszapazdyvaniem |
| first_indexed |
2025-07-15T16:52:46Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:52:46Z |
| _version_ |
1837732585789194240 |
| fulltext |
УДК 517.929
РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Д. Я. Хусаинов, А. Ф. Иванов, И. В. Коварж
Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко
Украина, 01033, Киев, ул. Владимирская, 64
We prove the existence and uniqueness of a solution of boundary-value problem for a heat conduction
equation with delay. A special function, the delayed exponent, is used to define solution.
Доведено iснування та єдинiсть розв’язку крайової задачi для рiвняння теплопровiдностi iз за-
пiзненням. Для побудови розв’язку використано спецiальну функцiю „запiзнiлого експоненцiала”.
Введение. В последнее время возрос интерес к исследованиям дифференциальных урав-
нений с распределенными параметрами, содержащими запаздывание. Уравнения пара-
болического типа с запаздывающим аргументом рассматриваются при анализе динами-
ки численности популяции в экологических системах с неоднородной внешней средой,
динамики численности рабочей силы с учетом миграции, динамики генераторов с за-
паздывающей обратной связью и др. [1, 2]. Следует отметить, что дифференциальные
уравнения с сосредоточенными параметрами различного типа с последействием изуче-
ны достаточно полно [3 – 6]. В то же время работ по исследованию уравнений в частных
производных с запаздыванием не так много [7].
1. Решение одномерного уравнения теплопроводности методом Фурье. Рассмотрим
первую краевую задачу для уравнения теплопроводности
ut(x, t) = a2uxx(x, t) + f(x, t).
Ищется классическое решение первой краевой задачи, т. е. функция u(x, t), определенная
при 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0, дважды непрерывно дифференцируемая по x и непрерывно диф-
ференцируемая по t, удовлетворяющая начальным u(x, 0) = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ l, и краевым
u(0, t) = µ1(t), u(l, t) = µ2(t), t ≥ 0, условиям. Для нахождения решения часто использу-
ют метод разделения переменных (метод Фурье). Решение ищется в виде суммы
u(x, t) = u1(x, t) + u2(x, t) + u3(x, t),
где u1(x, t) — решение однородного уравнения с нулевыми краевыми u1(0, t) ≡ 0, u1(l, t) ≡
≡ 0, t ≥ 0, и ненулевым начальным u1(x, 0) = Φ(x), Φ(x) = ϕ(x)−µ1(0)− x
l
[µ2(0)−µ1(0)],
0 ≤ x ≤ l, условиями; u2(x, t) — решение неоднородного уравнения с правой частью
F (x, t) = f(x, t) − µ̇1(t) −
x
l
[µ̇2(t)− µ̇1(t)] с нулевыми краевыми u2(0, t) ≡ 0, u2(l, t) ≡ 0,
t ≥ 0, и нулевым начальным u2(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ l, условиями; u3(x, t) имеет вид
u3(x, t) = µ1(t) +
x
l
[µ2(t)− µ1(t)], 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0.
c© Д. Я. Хусаинов, А. Ф. Иванов, И. В. Коварж, 2009
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2 251
252 Д. Я. ХУСАИНОВ, А. Ф. ИВАНОВ, И. В. КОВАРЖ
Решение u1(x, t) однородного уравнения ищется в виде произведения двух функций
u1(x, t) = X(x) T (t).
В результате разделения переменных получают задачу на собственные числа и реше-
ние однородного уравнения представляется в виде ряда по собственным функциям задачи
Штурма – Лиувилля. Эти же собственные функции используются для получения решения
второй краевой задачи.
2. Решение одномерного уравнения теплопроводности с запаздыванием. Рассмотрим
первую краевую задачу для одномерного уравнения теплопроводности с запаздыванием
ut(x, t) = a2
1uxx(x, t) + a2
2uxx(x, t− τ) + c1u(x, t) + c2u(x, t− τ) + f(x, t), (1)
определенного при 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0. Начальное условие имеет вид
u(x, t) = ϕ(x, t), 0 ≤ x ≤ l, −τ ≤ t ≤ 0, (2)
а краевые условия таковы:
u(0, t) = µ1(t), u(l, t) = µ2(t), t ≥ −τ, (3)
причем имеет место условие „согласования краевых и начального условий”
ϕ(0, t) = µ1(t), ϕ(l, t) = µ2(t), −τ ≤ t ≤ 0.
Решение ищется в виде суммы
u(x, t) = u1(x, t) + u2(x, t) + u3(x, t).
Здесь функции u1(x, t), u2(x, t), u3(x, t) определяются следующим образом:
u1(x, t) — решение однородного уравнения
∂u1(x, t)
∂t
= a2
1
∂2u1(x, t)
∂x2
+ a2
2
∂2u1(x, t− τ)
∂x2
+ c1u1(x, t) + c2u1(x, t− τ),
с нулевыми краевыми u1(0, t) = 0, u1(l, t) = 0, t ≥ −τ, и ненулевым начальным u1(x, t) =
= Φ(x, t), Φ(x, t) = ϕ(x, t)− µ1(t)−
x
l
[µ2(t)− µ1(t)], 0 ≤ x ≤ l, −τ ≤ t ≤ 0, условиями;
u2(x, t) — решение неоднородного уравнения
∂u2(x, t)
∂t
= a2
1
∂2u2(x, t)
∂x2
+ a2
2
∂2u2(x, t− τ)
∂x2
+ c1u2(x, t) + c2u2(x, t− τ) + F (x, t),
F (x, t) = f(x, t)− d
dt
{
µ1(t) +
x
l
[µ2(t)− µ1(t)]
}
+ c1
{
µ1(t) +
x
l
[µ2(t)− µ1(t)]
}
+
+ c2
{
µ1(t− τ) +
x
l
[µ2(t− τ)− µ1(t− τ)]
}
, 0 ≤ x ≤ l,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 253
с нулевыми краевыми u2(0, t) = 0, u2(l, t) = 0, t ≥ −τ, и нулевым начальным u2(x, t) ≡ 0,
0 ≤ x ≤ l, −τ ≤ t ≤ 0, условиями;
u3(x, t) = µ1(t) +
x
l
[µ2(t)− µ1(t)].
2.1. Рассмотрим однородное уравнение с запаздывающим аргументом
∂u1(x, t)
∂t
= a2
1
∂2u1(x, t)
∂x2
+ a2
2
∂2u1(x, t− τ)
∂x2
+ c1u1(x, t) + c2u1(x, t− τ) (4)
с нулевыми краевыми u1(0, t) = 0, u1(l, t) = 0, t ≥ −τ, и ненулевым начальным u1(x, t) =
= Φ(x, t), 0 ≤ x ≤ l, −τ ≤ t ≤ 0, условиями. Его решение будем искать методом Фурье,
т. е. функцию u1(x, t) ищем в виде произведения
u1(x, t) = X(x) T (t).
После подстановки в однородное уравнение получаем
X(x) T ′(t) = a2
1X
′′(x) T (t) + a2
2X
′′(x)T (t− τ) + c1X(x) T (t) + c2X(x) T (t− τ).
Делим переменные
X ′′(x)
X(x)
=
T ′(t)− c1T (t)− c2T (t− τ)
a2
1T (t) + a2
2(t− τ)
= −λ2.
Тогда уравнение расщепляется на два:
X ′′(x) + λ2X(x) = 0, T ′(t) +
(
λ2a2
1 − c1
)
T (t) +
(
λ2a2
2 − c2
)
T (t− τ) = 0. (5)
Поскольку граничные условия нулевые, для первого уравнения получаем нулевые крае-
вые условия
X(0) = 0, X(l) = 0.
Ненулевым решение будет только при
λ = λn =
π n
l
, n = 1, 2, 3, . . . ,
и каждому собственному значению λn =
n π
l
соответствует
Xn(x) = An sin
π n
l
x, n = 1, 2, 3, . . . ,
где An — произвольная постоянная. Подставляя полученные значения λn =
π n
l
во вто-
рое уравнение (5), получаем дифференциальные уравнения с запаздывающим аргумен-
том вида
Ṫn(t) =
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Tn(t) +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
Tn(t− τ), n = 1, 2, 3, . . . . (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
254 Д. Я. ХУСАИНОВ, А. Ф. ИВАНОВ, И. В. КОВАРЖ
Определим начальные условия для каждого из уравнений (6) следующим образом.
Разложим функцию Φ(x, t), 0 ≤ x ≤ l, −τ ≤ t ≤ 0, в ряд по собственным функциям
первого уравнения, т. е. представим в виде
Φ(x, t) =
∞∑
k=1
Φn(t) sin
π n
l
x, Φn(t) =
2
l
l∫
0
Φ(ξ, t) sin
π n
l
ξ dξ.
Подставив значение Φ(x, t) и проинтегрировав, получим начальные условия для каждого
из уравнений (6):
Tn(t) = Φn(t), n = 1, 2, 3, . . . , −τ ≤ t ≤ 0,
Φn(t) =
2
l
l∫
0
ϕ(ξ, t) sin
π n
l
ξ dξ +
2
π n
[(−1)nµ2(t)− µ1(t)] .
Найдем решение задачи Коши для каждого из уравнений (6) в аналитическом виде.
Предварительно приведем ряд вспомогательных утверждений. Как показано в работе
[8], решение систем линейных однородных дифференциальных уравнений с чистым за-
паздыванием
ẋ(t) = bx(t− τ), t ≥ 0, x(t) ≡ ϕ(t), −τ ≤ t ≤ 0,
имеет вид
x(t) = ebt
τ ϕ(−τ) +
0∫
−τ
eb(t−τ−s)
τ ϕ′(s) ds,
где функция ebt
τ представляет собой на промежутке (k−1)τ ≤ t < kτ матричный полином
k-го порядка, „склеенный” в узлах t = kτ. Он был назван „запаздывающим” экспонен-
циалом.
Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение с запаздыванием
ẋ(t) = ax(t) + bx(t− τ), t ≥ 0, τ > 0, x(t) ≡ ϕ(t), −τ ≤ t ≤ 0, (7)
в котором ϕ(t) — произвольная, непрерывно дифференцируемая функция, определяю-
щая начальное условие.
Определение 1. Запаздывающим экспоненциалом ebt
τ назовем функцию
ebt
τ =
0, −∞ < t < −τ,
1, −τ ≤ t < 0,
1 + b
t
1!
, 0 ≤ t < τ,
1 + b
t
1!
+ b2 (t− τ)2
2!
, τ ≤ t < 2τ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 + b
t
1!
+ . . . + bk [t− (k − 1)τ ]k
k!
, (k − 1)τ ≤ t < kτ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(8)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 255
В работе [8] доказано, что функция ebt
τ является решением линейного однородного
уравнения с чистым запаздыванием
ẋ(t) = bx(t− τ), t ≥ 0,
удовлетворяющим единичному начальному условию x(t) ≡ 1, −τ ≤ t ≤ 0.
Покажем, что решение задачи Коши для уравнения с запаздыванием (7) также может
быть записано в интегральном виде с функцией аналогичного вида.
Лемма 1. Функция
x0(t) = eateb1
τ , b1 = e−aτ b, t ≥ 0, (9)
где eb1t
τ — запаздывающий экспоненциал, определенный в (8), является решением урав-
нения (7), удовлетворяющим начальному условию
x0(t) = eat, −τ ≤ t ≤ 0. (10)
Доказательство. Выполнение для функции x0(t) условия (10) следует из определений
для экспоненциалов eat и eb1t
τ . Покажем, что при t ≥ 0 функция x0(t) является решением
уравнения (7). Продифференцировав (9), получим
d
dt
(
eat eb1t
τ
)
= a
(
eat eb1t
τ
)
+ eat b1 eb1(t−τ)
τ = a
(
eat eb1t
τ
)
+ eat e−aτ b eb1(t−τ)
τ =
= a
(
eat eb1t
τ
)
+ b
(
ea(t−τ) e(t−τ)
τ
)
.
Учитывая обозначение (9), имеем
d
dt
x0(t) = ax0(t) + bx0(t− τ),
т. е. получаем утверждение леммы 1.
Теорема 1. Решение x(t) уравнения (7), удовлетворяющее начальному условию x(t) ≡
≡ ϕ(t), −τ ≤ t ≤ 0, имеет вид
x(t) = ea(t+τ) eb1t
τ ϕ(−τ) +
0∫
−τ
ea(t−s)e
b1(t−τ−s)
−τ
[
ϕ′(s)− aϕ(s)
]
ds. (11)
Доказательство. Решение уравнения (7), удовлетворяющее начальному условию x(t) ≡
≡ ϕ(t), −τ ≤ t ≤ 0, будем искать в виде
x(t) = x0(t)c +
0∫
−τ
x0(t− τ − s) y(s) ds. (12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
256 Д. Я. ХУСАИНОВ, А. Ф. ИВАНОВ, И. В. КОВАРЖ
Здесь c — неизвестная постоянная, y(t) — неизвестная непрерывно дифференцируемая
функция, x0(t) определена в (9). Поскольку, как следует из леммы 1, функция x0(t) яв-
ляется решением уравнения (7), при произвольных c и y(t) выражение (12) также будет
решением уравнения (7). Выберем c и y(t) таким образом, чтобы выполнялись началь-
ные условия, т. е. x(t) ≡ ϕ(t), −τ ≤ t ≤ 0, или с учетом обозначений (12), при −τ ≤ t ≤ 0
выполнялось
x0(t) c +
0∫
−τ
x0(t− τ − s) y(s) ds ≡ ϕ(t).
Положим t = −τ. Как следует из определения запаздывающего экспоненциала,
x0(−τ) = e−aτ , x0(−2τ − s) = 0, если −τ < s ≤ 0, и x0(−2τ − s) = e−aτ , если s = −τ.
Поэтому ϕ(−τ) = e−aτ c, откуда находим c = eaτϕ(−τ), и зависимость (12) принимает
вид
x(t) = ea(t+τ)eb1t
τ ϕ(−τ) +
0∫
−τ
ea(t−τ−s) eb1(t−τ−s)
τ y(s) ds.
Разобьем интеграл на промежутке −τ ≤ t ≤ 0 на два. В результате получим
ϕ(t) = ea(t+τ)ϕ(−τ) +
t∫
−τ
ea(t−τ−s) eb1(t−τ−s)
τ y(s) ds +
0∫
t
ea(t−τ−s) eb1(t−τ−s)
τ y(s) ds.
В первом интеграле −τ ≤ s ≤ t, поэтому −τ ≤ t − τ − s ≤ t и запаздывающий
экспоненциал равен
eb1(t−τ−s)
τ ≡ 1, −τ ≤ s ≤ t.
Во втором интеграле t ≤ s ≤ 0, поэтому t − τ ≤ t − τ − s ≤ −τ и запаздывающий
экспоненциал равен
eb1(t−τ−s)
τ = 0, если t < s ≤ 0, и eb1(t−τ−s)
τ = 1, если s = t.
Таким образом на промежутке −τ ≤ t ≤ 0 получаем
ea(t+τ)ϕ(−τ) +
t∫
−τ
ea(t−τ−s) y(s) ds = ϕ(t). (13)
Дифференцируя зависимость (13), имеем
aea(t+τ)ϕ(−τ) + a
t∫
−τ
ea(t−τ−s) y(s) ds + e−aτ y(t) = ϕ′(t). (14)
Решая систему уравнений (13), (14), находим
y(t) = eaτ
[
ϕ′(t)− aϕ(t)
]
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 257
Подставляя это выражение в (12), получаем утверждение теоремы 1.
Замечание 1. Зависимость (11) можно записать в виде
x(t) = eaτ
x0(t)ϕ(−τ) +
0∫
−τ
x0(t− τ − s)
[
ϕ′(s)− aϕ(s)
]
ds
.
Замечание 2. Если a = 0, т. е. уравнение (7) является уравнением с чистым запаздыва-
нием, то получаем результаты, приведенные в [7]:
x(t) = ebt
τ ϕ(−τ) +
0∫
−τ
eb(t−τ−s)
τ ϕ′(s) ds.
Вернемся к дифференциальным уравнениям (6) с соответствующими начальными усло-
виями
Ṫn(t) =
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Tn(t) +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
Tn(t− τ),
Tn(t) = Φn(t), −τ ≤ t ≤ 0, n = 1, 2, 3, . . . .
Введем обозначение
Dn =
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
−
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ
.
Как следует из зависимости (11), решения задачи Коши для каждого из уравнений (6)
имеют вид
Tn(t) = e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t+τ)
eDnt
τ Φn(−τ)+
+
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
[
Φ′n(s)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(s)
]
ds. (15)
Отсюда решение первой краевой задачи для уравнения (4)
u1(x, t) =
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
{
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t+τ)
eDnt
τ Φn(−τ) +
+
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
[
Φ′n(s)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(s)
]
ds
}
,
(16)
Φn(t) =
2
l
l∫
0
ϕ(ξ, t) sin
π n
l
ξ dξ +
2
π n
[(−1)nµ2(t)− µ1(t)] .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
258 Д. Я. ХУСАИНОВ, А. Ф. ИВАНОВ, И. В. КОВАРЖ
2.2. Рассмотрим неоднородное уравнение
∂u2(x, t)
∂t
= a2
1
∂2u2(x, t)
∂x2
+ a2
2
∂2u2(x, t− τ)
∂x2
+ c1u2(x, t) + c2u2(x, t− τ) + F (x, t) (17)
с нулевыми краевыми u2(0, t) = 0, u2(l, t) = 0, t ≥ −τ, и нулевым начальным u2(x, t) ≡
≡ 0, 0 ≤ x ≤ l,−τ ≤ t ≤ 0, условиями. Решение ищем в виде ряда Фурье по собственным
функциям sin
π n
l
x, n = 1, 2, . . . :
u2(x, t) =
∞∑
n=1
u2n(t) sin
π n
l
x, n = 1, 2, . . . ,
считая при этом t параметром. Представим функцию F (x, t) также в виде ряда
F (x, t) =
∞∑
n=1
Fn(t) sin
π n
l
x, Fn(t) =
2
l
l∫
0
F (s, t) sin
π n
l
ξ dξ.
Поскольку
F (x, t) = f(x, t)− d
dt
{
µ1(t) +
x
l
[µ2(t)− µ1(t)]
}
+ c1
{
µ1(t) +
x
l
[µ2(t)− µ1(t)]
}
+
+ c2
{
µ1(t− τ) +
x
l
[µ2(t− τ)− µ1(t− τ)]
}
,
взяв интегралы, получим
Fn(t) =
2
l
l∫
0
f(ξ, t) sin
π n
l
ξ dξ +
2
π n
d
dt
[(−1)nµ2(t)− µ1(t)]−
− 2
π n
c1 [(−1)nµ2(t)− µ1(t)]−
2
π n
c2 [(−1)nµ2(t− τ)− µ1(t− τ)] , t ≥ 0.
Тогда каждая из функций u2n(t), n = 1, 2, . . . , является решением соответствующего
уравнения
u̇2n(t) =
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
u2n(t) +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
u2n(t− τ) + Fn(t) (18)
с нулевым начальным условием u2n(t) ≡ 0, −τ ≤ t ≤ 0.
Вновь приведем некоторые вспомогательные результаты. Рассмотрим задачу Коши
для неоднородного уравнения с запаздыванием
ẋ(t) = ax(t) + bx(t− τ) + f(t), t ≥ 0, τ > 0, (19)
с нулевым начальным условием.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 259
Теорема 2. Решение x(t) неоднородного уравнения (19), удовлетворяющее нулевым
начальным условиям, имеет вид
x(t) =
t∫
0
ea(t−s) eb1(t−τ−s)
τ f(s) ds, t ≥ 0, b1 = e−aτ b. (20)
Доказательство. Поскольку x0(t) — решение однородного уравнения (7), используя
метод вариации произвольной постоянной и учитывая вид функции x0(t), решение x(t)
неоднородного уравнения (19) будем искать в виде
x(t) =
t∫
0
ea(t−τ−s) eb1(t−τ−s)
τ c(s) ds, (21)
где c(s), 0 ≤ s ≤ t, — неизвестная функция.
Продифференцировав выражение (21), получим
d
dt
x(t) = ea(t−τ−s) eb1(t−τ−s)
τ c(s)
∣∣∣
s=t
+
t∫
0
[
aea(t−τ−s) eb1(t−τ−s)
τ + ea(t−τ−s) b1 eb1(t−2τ−s)
τ
]
c(s)ds.
Подставив зависимость (21) и полученное выражение производной в уравнение (19), за-
пишем
e−aτc(t) +
t∫
0
[
aea(t−τ−s) eb1(t−τ−s)
τ + b ea(t−2τ−s) eb1(t−2τ−s)
τ
]
c(s) ds =
= a
t∫
0
ea(t−τ−s) eb1(t−τ−s)
τ c(s) ds
+ b
t−τ∫
0
ea(t−2τ−s) eb1(t−2τ−s)
τ c(s) ds
+ f(t),
откуда
e−aτc(t) +
t∫
t−τ
bea(t−2τ−s) eb1(t−2τ−s)
τ c(s) ds = f(t).
А поскольку e
b1(t−2τ−s)
τ = 0 при t − τ < s ≤ t и e
b1(t−2τ−s)
τ = 1 при s = t − τ, имеем
e−aτ c(t) = f(t) и c(t) = eaτf(t). Отсюда следует зависимость (20).
Использовав полученный результат, запишем решение задачи Коши с нулевым на-
чальным условием для уравнений (18) в виде
u2n(t) =
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ Fn(s) ds, Dn =
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
−
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
260 Д. Я. ХУСАИНОВ, А. Ф. ИВАНОВ, И. В. КОВАРЖ
Решение неоднородного уравнения теплопроводности с запаздывающим аргументом (17)
с нулевыми краевыми и начальным условиями имеет вид
u2(x, t) =
∞∑
n=1
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ Fn(s) ds
sin
π n
l
x,
Fn(t) =
2
l
l∫
0
f(ξ, t) sin
π n
l
ξ dξ +
2
π n
d
dt
[(−1)nµ2(t)− µ1(t)]−
− 2
π n
c1 [(−1)nµ2(t)− µ1(t)]−
2
π n
c2 [(−1)nµ2(t− τ)− µ1(t− τ)] , t ≥ 0.
Обьединяя все полученные зависимости, решение краевой задачи одномерного неодно-
родного уравнения теплопроводности с запаздыванием записываем в виде
u(x, t) =
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
{
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t+τ)
eDnt
τ Φn(−τ) +
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ ×
×
[
Φ′n(s)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(s)
]
ds
}
+
+
∞∑
n=1
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ Fn(s) ds
sin
π n
l
x + µ1(t) +
x
l
[µ2(t)− µ1(t)] , (22)
где
Fn(t) =
2
l
l∫
0
f(ξ, t) sin
π n
l
ξ dξ +
2
π n
d
dt
[(−1)nµ2(t)− µ1(t)]−
− 2
π n
c1 [(−1)nµ2(t)− µ1(t)]−
2
π n
c2 [(−1)nµ2(t− τ)− µ1(t− τ)] ,
(23)
Φn(t) =
2
l
l∫
0
ϕ(ξ, t) sin
π n
l
ξ dξ +
2
π n
[(−1)nµ2(t)− µ1(t)] ,
Dn =
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
e
−
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ
.
Решение дифференциального уравнения с запаздыванием (17) представлено в виде фор-
мального ряда Фурье.
Сформулируем следующую теорему о сходимости решений краевой задачи (1) – (3).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 261
Теорема 3. Пусть функции F (x, t) Φ(x, t) таковы, что коэффициенты Фурье Fn(t),
Φn(t) и Φ′n(t) удовлетворяют соотношениям
lim
n→∞
n2(k−2)
[
Φ′n(s) +
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(s)
]
e−(π n
l
a1)2
(t∗−s) = 0,
lim
n→∞
n2(k−1) |Fn(s)| e−(π n
l
a1)2
(t∗+τ) = 0, −τ ≤ s ≤ 0, (k − 1)τ ≤ t∗ < kτ.
Тогда функция u(x, t), представленная рядом (22), имеет непрерывную производную по
t, непрерывную производную второго порядка по x и является решением уравнения (1),
удовлетворяющим начальному (2) и краевым (3) условиям. При этом возможно почлен-
ное дифференцирование ряда по x (два раза) и по t (один раз), и полученные ряды схо-
дятся абсолютно и равномерно при 0 ≤ x ≤ l, −τ ≤ t.
Доказательство. Запишем ряд (22) в виде суммы трех рядов:
u(x, t) = S1(x, t) + S2(x, t) + S3(x, t) + µ1(t) +
x
l
[µ2(t)− µ1(t)],
где
S1(x, t) =
∞∑
n=1
An(t) sin
π n
l
x, S2(x, t) =
∞∑
n=1
Bn(t) sin
π n
l
x, S3(x, t) =
∞∑
n=1
Cn(t) sin
π n
l
x,
An(t) = e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t+τ)
eDnt
τ Φn(−τ), Cn(t) =
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ Fn(s) ds,
Bn(t) =
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
[
Φ′n(s)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(s)
]
ds.
1. Рассмотрим An(t), n = 1, 2, . . . , — коэффициенты первого ряда S1(x, t). Для произ-
вольного фиксированного момента времени t∗ : (k − 1)τ ≤ t∗ < kτ получаем
An(t∗) = e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t∗+τ)
eDnt∗
τ Φn(−τ) =
= e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t∗+τ)
{
1 + Dn
t∗
1!
+ D2
n
(t∗ − τ)2
2!
+ . . . + Dk
n
[t∗ − (k − 1)τ ]k
k!
}
Φn(−τ).
После подстановки значения Dn запишем
An(t∗) = e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t∗+τ)
{
1 +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
−
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ t∗
1!
+
+
[[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
−
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ
]2 (t∗ − τ)2
2!
+ . . .
. . . +
[[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
−
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ
]k [t∗ − (k − 1)τ ]k
k!
}
Φn(−τ),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
262 Д. Я. ХУСАИНОВ, А. Ф. ИВАНОВ, И. В. КОВАРЖ
или
An(t∗) =
{
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t∗+τ) +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
t∗ t∗
1!
+
+
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]2
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t∗−τ) (t∗ − τ)2
2!
+ . . .
. . . +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]k
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
[t∗−(k−1)τ ] [t∗ − (k − 1)τ ]k
k!
}
Φn(−τ).
Поскольку, по условию, (k − 1)τ ≤ t∗ < kτ, при выполнении неравенств
c1 −
(π n
l
a1
)2
< 0, c2 −
(π n
l
)2
< −1
или при выполнении более „сильного” неравенства
n >
l
π
max
{√
|c1|
|a1|
,
√
|1 + c2|
|a2|
}
будут выполняться соотношения
|An(t∗)| ≤ |Φn(−τ)|e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
[t∗−(k−1)τ ]
∣∣∣∣{1 +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
t∗
1!
+
+
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]2 (t∗ − τ)2
2!
+ . . . +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]k [t∗ − (k − 1)τ ]k
k!
}∣∣∣∣∣ ≤
≤ |Φn(−τ)|e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
[t∗−(k−1)τ ]
∣∣∣∣∣
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]k
∣∣∣∣∣×
×
∣∣∣∣∣1 +
t∗
1!
+
(t∗ − τ)2
2!
+ . . . +
[t∗ − (k − 1)τ ]k
k!
∣∣∣∣∣
и найдется непрерывная функция N1(t∗), при которой
|An(t∗)| ≤ N1(t∗)
(π n
l
a2
)2k
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
[t∗−(k−1)τ ] |Φn(−τ)| .
Таким образом, если для момента времени t∗, (k − 1)τ ≤ t∗ < kτ,
lim
n→∞
n2ke−(π n
l
a1)2
[t∗−(k−1)τ ] Φn(−τ) = 0,
то ряд
S1(x, t∗) =
∞∑
n=1
An(t∗) sin
π n
l
x
сходится равномерно и абсолютно.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 263
2. Рассмотрим Bn(t), n = 1, 2, . . . , — коэффициенты второго ряда S2(x, t). Для фикси-
рованного момента времени t∗, (k − 1)τ ≤ t∗ < kτ, выполним замену t∗ − τ − s = ξ и
разобьем интеграл на сумму двух интегралов:
Bn(t∗) =
(k−1)τ∫
t∗−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ+τ)
eDnξ
τ
[
Φ′n(t− τ − ξ)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(t− τ − ξ)
]
dξ+
+
t∗∫
(k−1)τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ+τ)
eDnξ
τ
[
Φ′n(t− τ − ξ)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(t− τ − ξ)
]
dξ.
Используя представление запаздывающего экспоненциала eDnξ
τ на каждом из промежут-
ков, получаем следующее:
Bn(t∗) =
(k−1)τ∫
t∗−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ+τ)
[
Φ′n(t∗ − τ − ξ)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(t∗ − τ − ξ)
]
×
×
{
1 + Dn
ξ
1!
+ D2
n
(ξ − τ)2
2!
+ . . . + Dk−1
n
[ξ − (k − 2)τ ]k−1
(k − 1)!
}
dξ+
+
t∗∫
(k−1)τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ+τ)
[
Φ′n(t∗ − τ − ξ)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(t∗ − τ − ξ)
]
×
×
{
1 + Dn
ξ
1!
+ D2
n
(ξ − τ)2
2!
+ . . . + Dk
n
[ξ − (k − 1)τ ]k
k!
}
dξ.
Подставив значение Dn, получим
Bn(t∗) =
(k−1)τ∫
t∗−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ+τ)
[
Φ′n(t∗ − τ − ξ)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(t∗ − τ − ξ)
]
×
×
{
1 +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
−
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ ξ
1!
+
+
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]2
e
−2
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ (ξ − τ)2
2!
+ . . .
. . . +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]k−1
e
−(k−1)
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ [ξ − (k − 2)τ ]k−1
(k − 1)!
}
dξ+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
264 Д. Я. ХУСАИНОВ, А. Ф. ИВАНОВ, И. В. КОВАРЖ
+
t∗∫
(k−1)τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ+τ)
[
Φ′n(t∗ − τ − ξ)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(t∗ − τ − ξ)
]
×
×
{
1 +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
−
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ ξ
1!
+
+
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]2
e
−2
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ (ξ − τ)2
2!
+ . . .
. . . +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]k
e
−k
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ [ξ − (k − 1)τ ]k
k!
}
dξ,
или
Bn(t∗) =
(k−1)τ∫
t∗−τ
[
Φ′n(t∗ − τ − ξ)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(t∗ − τ − ξ)
]
×
×
{
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ+τ) +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
ξ ξ
1!
+
+
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]2
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ−τ) (ξ − τ)2
2!
+ . . .
. . . +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]k−1
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
[ξ−(k−2)τ ] [ξ − (k − 2)τ ]k−1
(k − 1)!
}
dξ+
+
t∗∫
(k−1)τ
[
Φ′n(t∗ − τ − ξ)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(t∗ − τ − ξ)
]
×
×
{
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ+τ) +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
ξ ξ
1!
+
+
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]2
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ−τ) (ξ − τ)2
2!
+ . . .
. . . +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]k
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
[ξ−(k−1)τ ] [ξ − (k − 1)τ ]k
k!
}
dξ.
Как и в предыдущем случае, так как t∗ ≥ (k − 1)τ, при достаточно большом n выполня-
ется неравенство
n >
l
π
max
{√
|c1|
|a1|
,
√
|1 + c2|
|a2|
}
.
Поэтому, как следует из свойств определенных интегралов и второй теоремы о среднем,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 265
существуют s1, s2, t∗ −τ ≤ s1 ≤ (k − 1)τ, (k − 1)τ ≤ s2 ≤ t∗, такие, что
|Bn(t∗)| ≤
≤
∣∣∣∣∣
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]k−1
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣(kτ − t∗)
[
Φ′n(t∗ − τ − s1)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(t∗ − τ − s1)
]
×
×e
−
h
(π n
l
a1)2−c1
i
[s1−(k−2)τ ]
{
1 +
s1
1!
+
(s1 − τ)2
2!
+ . . . +
[s1 − (k − 2)τ ]k−1
(k − 1)!
}∣∣∣∣ +
+
∣∣∣∣∣
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]k
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣[t∗ − (k − 1)τ ]
[
Φ′n(t∗ − τ − s2)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(t∗ − τ − s2)
]
×
× e
−
h
(π n
l
a1)2−c1
i
[s2−(k−1)τ ]
{
1 +
s2
1!
+
(s2 − τ)2
2!
+ . . . +
[s2 − (k − 1)τ ]k
k!
}∣∣∣∣ ,
и найдутся непрерывные функции N1
2 (t∗, s), N2
2 (t∗, s), ограниченные при (k − 1)τ ≤ t∗ <
< kτ, −τ ≤ t ≤ 0, такие, что
|Bn(t∗)| ≤
≤
∣∣∣∣∣
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]k−1
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
[
Φ′n(t∗ − τ − s1)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(t∗ − τ − s1)
]
×
× e
−
h
(π n
l
a1)2−c1
i
[s1−(k−2)τ ]
∣∣∣∣∣ ∣∣N1
2 (t∗, s1)
∣∣ +
+
∣∣∣∣∣
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]k
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
[
Φ′n(t∗ − τ − s2)−
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(t∗ − τ − s2)
]
×
× e
−
h
(π n
l
a1)2−c1
i
[s2−(k−1)τ ]
∣∣∣∣∣ ∣∣N2
2 (t∗, s2)
∣∣ .
Пусть функции Φ′n(s), Φn(s) „не очень сильно растут” на промежутке −τ ≤ s ≤ 0,
т. е. для момента времени t∗, (k − 1)τ ≤ t∗ < kτ, и для произвольного s, −τ ≤ s ≤ 0,
выполняется
lim
n→∞
n2(k−2)
[
Φ′n(s) +
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
Φn(s)
]
e−(π n
l
a1)2
(t∗−s) = 0.
Тогда
lim
n→∞
Bn(t∗) = 0
и ряд S2(x, t) также сходится равномерно и абсолютно.
3. Рассмотрим Cn(t∗) n = 1, 2, . . . , — коэффициенты третьего ряда S3(x, t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
266 Д. Я. ХУСАИНОВ, А. Ф. ИВАНОВ, И. В. КОВАРЖ
Для произвольного фиксированного момента времени t∗, (k − 1)τ ≤ t∗ < kτ, выпол-
ним замену t − τ − ξ = s и представим интеграл в виде суммы интегралов, в которых
функция запаздывающего экспоненциала имеет одинаковую структуру
Cn(t∗) =
t∗−τ∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ+τ)
eDnξ
τ Fn(t∗ − τ − ξ) dξ =
=
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ+τ)
Fn(t∗ − τ − ξ) dξ+
+
τ∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ+τ)
[
1 + Dn
ξ
1!
]
Fn(t∗ − τ − ξ) dξ + . . .
. . . +
t∗−τ∫
(k−2)τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(ξ+τ)
[
1 + Dn
ξ
1!
+ D2
n
(ξ − τ)2
2!
+ . . .
. . . + Dk−1
n
(ξ − (k − 2)τ)k−1
(k − 1)!
]
Fn(t∗ − τ − ξ) dξ.
Представляя значение Dn и используя теорему о среднем, можем показать, что существу-
ют моменты времени −τ ≤ s1 ≤ 0, 0 ≤ s2 ≤ τ, . . . , (k − 2)τ ≤ sk ≤ t∗ − τ такие, что
Cn(t∗) ≤ τe
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(τ+s1)
Fn(t∗ − τ − s1)+
+ τe
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(τ+s1)
[
1 +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
−
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ s2
1!
]
Fn(t∗ − τ − s2) + . . .
. . . + τe
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(τ+sk)
[
1 +
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
−
h
c1−(π n
l
a1)2
i
τ sk
1!
+ . . .
. . . + τ
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]k−1
e
−(k−1)τ
h
c1−(π n
l
a1)2
i
[sk − (k − 2)τ ]k−1
(k − 1)!
]
Fn(t∗ − τ − sk),
и при достаточно большом n выполняется неравенство
n >
l
π
max
{√
|c1|
|a1|
,
√
|1 + c2|
|a2|
}
.
Поэтому найдется непрерывная ограниченная при −τ ≤ s ≤ t∗ функция N3(t∗, s), для
которой имеет место неравенство
|Cn(t∗)| ≤ τ max
−τ≤s≤t∗
|Fn(s)|N3(t∗, s)
(π n
l
a2
)2(k−1)
e
−
h
(π n
l
a1)2−c1
i
(t∗+τ)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 267
Пусть функции Fn(s) „не очень сильно растут” на промежутке −τ ≤ s ≤ t∗, т. е.
выполняется условие
lim
n→∞
n2(k−1) |Fn(s)| e−(π n
l
a1)2
(t∗+τ) = 0.
Тогда
lim
n→∞
Cn(t∗) = 0
и ряд также сходится абсолютно и равномерно.
Таким образом, показано, что для абсолютной и равномерной сходимости рядов S1(x, t),
S2(x, t), S3(x, t) требуется лишь „не очень сильный рост” по индексу n коэффициентов
Фурье Fn(t), −τ ≤ s ≤ t∗, Φn(t) и Φ′n(t), −τ ≤ t ≤ 0. Сходимость производных функции
u(x, t) следует из свойств дифференцируемости запаздывающего экспоненциала.
Представление решения краевой задачи (1) – (3) в виде (22), (23) не всегда удобно,
например, при оценивании влияния начальных, краевых и внешних воздействий. Нужно
разделить эти факторы в отдельные слагаемые.
Перепишем (22) следующим образом:
u(x, t) =
∞∑
n=1
sin
π n
l
xe
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t+τ)
eDnt
τ ×
×
2
l
l∫
0
ϕ(ξ,−τ) sin
π n
l
ξ dξ +
2
π n
[(−1)nµ2(−τ)− µ1(−τ)]
+
+
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ ×
×
2
l
l∫
0
ϕ′s(ξ, s) sin
π n
l
ξ dξ +
2
π n
[(−1)nµ̇2(s)− µ̇1(s)]
ds
−
−
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
×
×
2
l
l∫
0
ϕ(ξ, s) sin
π n
l
ξ dξ +
2
π n
[(−1)nµ2(s)− µ1(s)]
ds+
+
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
2
l
l∫
0
f(ξ, s) sin
π n
l
ξ dξ ds+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
268 Д. Я. ХУСАИНОВ, А. Ф. ИВАНОВ, И. В. КОВАРЖ
+
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
2
π n
[(−1)nµ̇2(s)− µ̇1(s)] ds−
−
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
2
π n
c1 [(−1)nµ̇2(s)− µ̇1(s)] ds−
−
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ ×
× 2
π n
c2 [(−1)nµ̇2(s− τ)− µ̇1(s− τ)] ds + µ1(t) +
x
l
[µ2(t)− µ1(t)]. (24)
Разделим начальное и краевые воздействия:
u(x, t) =
∞∑
n=1
sin
π n
l
xe
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t+τ)
eDnt
τ
2
l
l∫
0
ϕ(ξ,−τ) sin
π n
l
ξ dξ
+
+
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
2
l
l∫
0
ϕ′s(ξ, s) sin
π n
l
ξ dξ
ds
−
−
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ ×
×
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
] 2
l
l∫
0
ϕ(ξ, s) sin
π n
l
ξ dξ
ds+
+
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
2
l
l∫
0
f(ξ, s) sin
π n
l
ξ dξ ds+
+
∞∑
n=1
sin
π n
l
xe
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t+τ)
eDnt
τ
[
2
π n
[(−1)nµ2(−τ)− µ1(−τ)]
]
+
+
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
t∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
[
2
π n
[(−1)nµ̇2(s)− µ̇1(s)]
]
ds
+
+
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
(π n
l
a1
)2
[
2
π n
[(−1)nµ2(s)− µ1(s)]
]
ds−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 269
− c1
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
t∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
2
π n
[(−1)nµ2(s)− µ1(s)] ds−
−
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
2
π n
c2 [(−1)nµ2(s− τ)− µ1(s− τ)]+
+ µ1(t) +
x
l
[µ2(t)− µ1(t)].
Вычислим интеграл
t∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ [(−1)nµ̇2(s)− µ̇1(s)] ds =
= e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ [(−1)nµ2(s)− µ1(s)]
∣∣∣∣t
−τ
+
+
t∫
−τ
[(−1)nµ2(s)− µ1(s)]×
×
[[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ +
+
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s−τ)
eDn(t−2τ−s)
τ
]
ds =
= [(−1)nµ2(t)− µ1(t)]− e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t+τ)
eDnt
τ [(−1)nµ2(−τ)− µ1(−τ)]+
+
t∫
−τ
[(−1)nµ2(s)− µ1(s)]
[[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ +
+
[
c2 −
(π n
l
a2
)2
]
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s−τ)
eDn(t−2τ−s)
τ
]
ds.
После подстановки полученных выражений получим
u(x, t) =
∞∑
n=1
sin
π n
l
xe
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t+τ)
eDnt
τ
2
l
l∫
0
ϕ(ξ,−τ) sin
π n
l
ξ dξ
+
+
∞∑
n=1
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
2
l
l∫
0
ϕ′s(ξ, s) sin
π n
l
ξ dξ
ds
sin
πn
l
x−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
270 Д. Я. ХУСАИНОВ, А. Ф. ИВАНОВ, И. В. КОВАРЖ
−
∞∑
n=1
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
×
×
2
l
l∫
0
ϕ(ξ, s) sin
π n
l
ξ dξ
ds
sin
πn
l
x+
+
∞∑
n=1
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
2
l
l∫
0
f(ξ, s) sin
π n
l
ξ dξ
ds
sin
π n
l
x+
+
(
a2
1 − a2
2
) ∞∑
n=1
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
[
2π n
l2
[(−1)nµ2(s)− µ1(s)]
]
ds
sin
π n
l
x−
− c2
∞∑
n=1
t∫
t−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−τ−s)
eDn(t−2τ−s)
τ
[
2
π n
[(−1)nµ2(s)− µ1(s)]
]
ds
sin
π n
l
x+
+ 2
{
µ1(t) +
x
l
[µ2(t)− µ1(t)]
}
.
Пусть
S̃1[ϕ] =
∞∑
n=1
sin
π n
l
x
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t+τ)
eDnt
τ
2
l
l∫
0
ϕ(ξ,−τ) sin
π n
l
ξ dξ
+
+
0∫
−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ ×
×
2
l
l∫
0
ϕ′s(ξ, s) sin
π n
l
ξ dξ −
[
c1 −
(π n
l
a1
)2
]
2
l
l∫
0
ϕ(ξ, s) sin
π n
l
ξ dξ
ds
(25)
— сумма, зависящая от начальных условий,
S̃2[f ] =
∞∑
n=1
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ
[
2
l
l∫
0
f(ξ, s) sin
π n
l
ξ dξ
]
ds
sin
π n
l
x (26)
— сумма, зависящая от внешних воздействий, и
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 271
S̃3[µ1, µ2] =
=
∞∑
n=1
{(
a2
1 − a2
2
) 2πn
l2
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ [(−1)nµ2(s)− µ1(s)] ds−
− 2c2
πn
t∫
t−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−τ−s)
eDn(t−2τ−s)
τ [(−1)nµ2(s)− µ1(s)] ds
}
sin
π n
l
x+
+ 2
{
µ1(t) +
x
l
[µ2(t)− µ1(t)]
}
(27)
— сумма, зависящая от краевых условий.
Тогда решение краевой задачи можно представить в виде
u(x, t) = S̃1[ϕ] + S̃2[f ] + S̃3[µ1, µ2].
Справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Пусть функции ϕ(x, t), f(x, t), µ1(t) и µ2(t) таковы, что на интервале
−τ ≤ t ≤ t∗, (k − 1)τ ≤ t∗ < kτ, их коэффициенты Фурье
ϕn(t) =
2
l
l∫
0
ϕ(s, t) sin
π n
l
s ds, ϕ̇n(t) =
2
l
l∫
0
ϕ̇t(s, t) sin
π n
l
s ds, −τ ≤ t ≤ 0,
fn(t) =
2
l
l∫
0
f(s, t) sin
π n
l
s ds
и
µn(t) =
2πn
l2
(a2
1 − a2
2)
t∫
0
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−s)
eDn(t−τ−s)
τ [(−1)nµ2(s)− µ1(s)] ds−
− 2c2
πn
t∫
t−τ
e
h
c1−(π n
l
a1)2
i
(t−τ−s)
eDn(t−2τ−s)
τ [(−1)nµ2(s)− µ1(s)] ds, n = 1, 2, 3, . . . ,
удовлетворяют условиям
lim
n→∞
n2(k−1)|ϕn(s)|e−(πn
l
a1)2
(t∗+τ) = 0, −τ ≤ s ≤ 0, (k − 1)τ ≤ t∗ < kτ,
lim
n→∞
n2(k−1)|fn(t∗)|e−(πn
l
a1)2
(t∗+τ) = 0, lim
n→∞
n2(k−1)|µn(t∗)|e−(πn
l
a1)2
(t∗+τ) = 0,
(k − 1)τ ≤ t∗ < kτ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
272 Д. Я. ХУСАИНОВ, А. Ф. ИВАНОВ, И. В. КОВАРЖ
Тогда при 0 ≤ t ≤ t∗ решение первой краевой задачи (1) – (3) имеет вид
u(x, t) = S̃1[ϕ] + S̃2[f ] + S̃3[µ1, µ2],
где S̃1[ϕ], S̃2[f ], S̃3[µ1, µ2] определены формулами (25) – (27).
Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.
1. Базыкин А. Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. — М.: Наука, 1985. —
181 с.
2. Жуков А. Б. Пространственная и временная изменчивость процесса прироста леса // Докл. АН СССР.
— 1978. — 239, № 1. — С. 245 – 248.
3. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся
аргументом. — М.: Наука, 1971. — 296 с.
4. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1984. — 421 с.
5. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматулина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифферен-
циальных уравнений. — М.: Наука, 1991. — 277 c.
6. Ткач Б. П. Об одном дифференциальном уравнении в частных производных с запаздывающим аргу-
ментом // Дифференц. уравнения. — 1967. — 3, № 10. — С. 1796 – 1801.
7. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи // Тр. Ин-та математики АН Украины. — 1985. — 13. — 320 с.
8. Хусаинов Д. Я., Шуклин Г. В. Об относительной управляемости в системах с чистым запаздыванием //
Прикл. механика. — 2005. — 41, № 2. — С. 118 – 130.
Получено 27.05.08
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 2
|