Багатоточкова задача для параболічних рівнянь високого порядку в паралелепіпеді
Исследована корректность задачи с многоточечными условиями по временной переменной для параболического за Петровским уравнения с переменными по пространственным координатам коэффициентами. Установлены условия существования и единственности классического решения задачи. Для доказательства существов...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178407 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Багатоточкова задача для параболічних рівнянь високого порядку в паралелепіпеді / Б.Й. Пташник, I.Р. Тимкiв // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 3. — С. 336-346. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178407 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1784072021-02-20T01:27:27Z Багатоточкова задача для параболічних рівнянь високого порядку в паралелепіпеді Пташник, Б.Й. Тимкiв, I.Р. Исследована корректность задачи с многоточечными условиями по временной переменной для параболического за Петровским уравнения с переменными по пространственным координатам коэффициентами. Установлены условия существования и единственности классического решения задачи. Для доказательства существования решения задачи использован метод разделенных разностей. Доказана теорема метрического характера об оценках снизу малых знаменателей, которые появляются при построении решения. We study the correctness of the problem with multipoint conditions on the time variable for an equation, parabolic in the sense of Petrovskii, with coefficients that depend on the spatial variables. We find conditions for existence and uniqueness of a classical solution of the problem. For proving existence of a solution of the problem, a divided difference method is used. A theorem, metric in character, has been proved for lower estimates of small denominators that appear in the construction of the solution. 2009 Article Багатоточкова задача для параболічних рівнянь високого порядку в паралелепіпеді / Б.Й. Пташник, I.Р. Тимкiв // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 3. — С. 336-346. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178407 517.95+511.2 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Исследована корректность задачи с многоточечными условиями по временной переменной для
параболического за Петровским уравнения с переменными по пространственным координатам
коэффициентами. Установлены условия существования и единственности классического решения задачи. Для доказательства существования решения задачи использован метод разделенных разностей. Доказана теорема метрического характера об оценках снизу малых знаменателей, которые появляются при построении решения. |
| format |
Article |
| author |
Пташник, Б.Й. Тимкiв, I.Р. |
| spellingShingle |
Пташник, Б.Й. Тимкiв, I.Р. Багатоточкова задача для параболічних рівнянь високого порядку в паралелепіпеді Нелінійні коливання |
| author_facet |
Пташник, Б.Й. Тимкiв, I.Р. |
| author_sort |
Пташник, Б.Й. |
| title |
Багатоточкова задача для параболічних рівнянь високого порядку в паралелепіпеді |
| title_short |
Багатоточкова задача для параболічних рівнянь високого порядку в паралелепіпеді |
| title_full |
Багатоточкова задача для параболічних рівнянь високого порядку в паралелепіпеді |
| title_fullStr |
Багатоточкова задача для параболічних рівнянь високого порядку в паралелепіпеді |
| title_full_unstemmed |
Багатоточкова задача для параболічних рівнянь високого порядку в паралелепіпеді |
| title_sort |
багатоточкова задача для параболічних рівнянь високого порядку в паралелепіпеді |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178407 |
| citation_txt |
Багатоточкова задача для параболічних рівнянь високого порядку в паралелепіпеді / Б.Й. Пташник, I.Р. Тимкiв // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 3. — С. 336-346. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT ptašnikbj bagatotočkovazadačadlâparabolíčnihrívnânʹvisokogoporâdkuvparalelepípedí AT timkivir bagatotočkovazadačadlâparabolíčnihrívnânʹvisokogoporâdkuvparalelepípedí |
| first_indexed |
2025-07-15T16:52:58Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:52:58Z |
| _version_ |
1837732598042853376 |
| fulltext |
УДК 517.95+511.2
БАГАТОТОЧКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНИX РIВНЯНЬ
ВИСОКОГО ПОРЯДКУ В ПАРАЛЕЛЕПIПЕДI*
Б. Й. Пташник, I. Р. Тимкiв
Iн-т прикл. проблем механiки i математики НАН України
Україна, 79000, Львiв, вул. Наукова, 3-Б
e-mail: tymkiv_if@ukr.net
We study the correctness of the problem with multipoint conditions on the time variable for an equation,
parabolic in the sense of Petrovskii, with coefficients that depend on the spatial variables. We find conditi-
ons for existence and uniqueness of a classical solution of the problem. For proving existence of a solution
of the problem, a divided difference method is used. A theorem, metric in character, has been proved for
lower estimates of small denominators that appear in the construction of the solution.
Исследована корректность задачи с многоточечными условиями по временной переменной для
параболического за Петровским уравнения с переменными по пространственным координатам
коэффициентами. Установлены условия существования и единственности классического ре-
шения задачи. Для доказательства существования решения задачи использован метод разде-
ленных разностей. Доказана теорема метрического характера об оценках снизу малых знаме-
нателей, которые появляются при построении решения.
Задачi з багатоточковими умовами (як за часовою координатою, так i за просторовими
змiнними) для диференцiальних рiвнянь iз частинними похiдними вивчались у роботах [1 –
12], а задачi з багатоточковими умовами за видiленою змiнною t та певними умовами за
iншими координатами (умови перiодичностi, умови типу умов Дiрiхле) для гiперболiчних,
параболiчних i безтипних рiвнянь — у роботах [1, 6 – 10]. Встановлено, що такi задачi є,
взагалi кажучи, умовно коректними, а їх розв’язнiсть у багатьох випадках пов’язана з
проблемою малих знаменникiв.
Локальнi багатоточковi задачi для деяких класiв параболiчних рiвнянь високого по-
рядку зi сталими та змiнними коефiцiєнтами вивчались у роботах [9, 10]. Розв’язнiсть не-
локальних багатоточкових задач для параболiчних рiвнянь другого порядку зi змiнними
коефiцiєнтами вивчено, зокрема, у працях [2, 3, 5, 11], а для систем параболiчних рiвнянь
— у працях [4, 12].
У данiй статтi, яка є продовженням працi [9], дослiджено коректну розв’язнiсть за-
дачi з багатоточковими за часовою змiнною умовами та умовами типу Дiрiхле за про-
сторовими координатами для параболiчного за Петровським рiвняння зi змiнними по
x = (x1, . . . , xp) коефiцiєнтами. Побудовано розв’язок задачi у виглядi ряду Фур’є за
системою ортогональних функцiй змiнних x, для знаходження коефiцiєнтiв uk(t) якого
використано фундаментальнi системи розв’язкiв вiдповiдних диференцiальних рiвнянь,
побудованi за подiленими рiзницями. На вiдмiну вiд [9] це дало змогу уникнути тих малих
знаменникiв, якi мають вигляд рiзниць коренiв характеристичних рiвнянь.
1. Постановка задачi. Основнi позначення. В областi Qp = (0, T ) × Πp, Πp = {x =
∗ Частково пiдтримано Державним фондом фундаментальних дослiджень України (проект №29.1/005).
c© Б. Й. Пташник, I. Р. Тимкiв, 2009
336 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
БАГАТОТОЧКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНИX РIВНЯНЬ ВИСОКОГО ПОРЯДКУ В ПАРАЛЕЛЕПIПЕДI 337
= (x1, . . . , xp) ∈ Rp : 0 < xr < π, r = 1, . . . , p} розглянемо задачу
∂nu(t, x)
∂tn
+
n−1∑
s0=0
∑
bs0+2|s|=bn
As0,s
(
∂
∂t
)s0
Ls1
1 . . . L
sp
p u(t, x) = f(t, x), (1)
u(tj , x) = ϕj(x), j = 1, . . . , n, 0 ≤ t1 < t2 < . . . < tn ≤ T, (2)
Lm
r u(t, x)
∣∣∣
xr=0
= Lm
r u(t, x)
∣∣∣
xr=π
= 0, m = 0, 1, . . . , (bn/2− 1), r = 1, . . . , p, (3)
де s = (s1, . . . , sp) ∈ Zp
+, |s| = s1 + . . . + sp, b ∈ N — парне число, As0,s ∈ R; Lr :=
:= −∂/∂xr (ar(xr)∂/∂xr) + qr(xr); ar ∈ Cbn−1([0, π]), qr ∈ Cbn−2([0, π]) — дiйснозначнi
функцiї, ar(xr) > 0, qr(xr) > 0, r = 1, . . . , p.
Припустимо, що рiвняння (1) є рiвномiрно параболiчним за Петровським в областi
Qp, тобто ξ-коренi рiвняння
ξn +
n−1∑
s0=0
∑
bs0+2|s|=bn
As0,s
p∏
r=1
(ar(xr))srη2sr
r ξs0 = 0 (4)
для довiльного η ∈ Rp i для довiльного x ∈ Πp задовольняють нерiвностi
Re ξj(x, η) ≤ −δ‖η‖b, δ > 0, j = 1, . . . , n. (5)
Нехай {Xkr(xr), kr ∈ N} i Λr = {λkr , kr ∈ N}, r = 1, . . . , p, — система власних
функцiй та множина власних значень вiдповiдної задачi
LrX(xr) = λX(xr), X(0) = X(π) = 0, r = 1, . . . , p. (6)
Вiдомо [13], що для кожного r, r = 1, . . . , p, власнi функцiї задачi (6) утворюють повну
ортогональну в L2(0, π) систему i за накладених на ar(xr) i qr(xr) умов для всiх kr ∈ N
виконуються оцiнки
C̃0k
2
r ≤ λkr ≤ C̃1k
2
r , (7)
|X(j)
kr
(xr)| ≤ Njλ
j/2
kr
, j = 0, 1, . . . , bn, (8)
де C̃0, C̃1, Nj , j = 0, 1, . . . , bn, — додатнi константи; при цьому система функцiй {Xk(x) =
= Xk1(x1) . . . Xkp(xp), k = (k1, . . . , kp) ∈ Np} є повною ортогональною системою у про-
сторi L2(Πp) (будемо вважати, що вона ортонормована). Далi позначимо Λ = {λk =
= (λk1 , . . . , λkp), k ∈ Np}, |λk| = λk1 + . . . + λkp , |k| = k1 + . . . + kp; mesRn(A) — мiра
Лебега в Rn множини A ⊂ Rn; C(q,m)(Qp), q < m, — банахiв простiр функцiй v(t, x) з
нормою ∥∥∥v;C(q,m)(Qp)
∥∥∥ =
∑
0≤j≤q
0≤j+|s|≤m
max
(t,x)∈Qp
∣∣∣∣∣ ∂j+|s|v(t, x)
∂tj∂xs1
1 . . . ∂x
sp
p
∣∣∣∣∣ ;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
338 Б. Й. ПТАШНИК, I. Р. ТИМКIВ
Gα,γ(Πp), α ∈ R, γ > 0, — простiр функцiй ϕ(x) =
∑
k∈Np ϕkXk(x), ϕk =
∫
Πp ϕ(x)Xk(x)dx,
для яких є скiнченною норма
‖ϕ;Gα,γ(Πp)‖ =
∑
k∈Np
|ϕk| exp(α|λk|γ);
Cq([0, T ];Gα,γ(Πp)) — простiр визначених в Qp функцiй v(t, x) =
∑
k∈Np vk(t)Xk(x), vk(t) =
=
∫
Πp v(t, x)Xk(x)dx таких, що для кожного t ∈ [0, T ] ∂jv(t, x)/∂tj ∈ Gα,γ(Πp) i є непе-
рервною по t в нормi цього простору, j = 0, 1, . . . , q,
‖v;Cq([0, T ];Gα,γ(Πp))‖ =
∑
k∈Np
q∑
j=0
max
0≤t≤T
∣∣∣v(j)
k (t)
∣∣∣ exp(α|λk|γ).
2. Умови єдиностi розв’язку. Розв’язок задачi (1) – (3) шукаємо у виглядi ряду
u(t, x) =
∑
k∈Np
uk(t)Xk(x). (9)
Кожна функцiя uk(t), k ∈ Np, є розв’язком задачi
dnuk(t)
dtn
+
n−1∑
s0=0
∑
bs0+2|s|=bn
As0,sλ
s1
k1
. . . λ
sp
kp
ds0uk(t)
dts0
= fk(t), (10)
uk(tj) = ϕjk, j = 1, . . . , n, 0 ≤ t1 < t2 < . . . < tn ≤ T, (11)
де fk(t) =
∫
Πp f(t, x)Xk(x)dx, ϕjk =
∫
Πp ϕj(x)Xk(x)dx, j = 1, . . . , n.
Розглянемо вiдповiдну до (10), (11) однорiдну задачу
dnuk(t)
dtn
+
n−1∑
s0=0
∑
bs0+2|s|=bn
As0,sλ
s1
k1
. . . λ
sp
kp
ds0uk(t)
dts0
= 0, (12)
uk(tj) = 0, j = 1, . . . , n, 0 ≤ t1 < t2 < . . . < tn ≤ T, (13)
i зауважимо, що розв’язок задачi (10), (11) можна зобразити у виглядi суми
uk(t) = wk(t) + vk(t), (14)
де wk(t) — розв’язок задачi (11), (12), а vk(t) — розв’язок задачi (10), (13).
При побудовi розв’язку задачi (10), (11) використаємо подiленi рiзницi RM (f(µ)) по-
рядку χ − 1 (χ ≥ 1) комплекснозначної функцiї f(µ) для набору комплексних чисел
M = (µ1, . . . , µ1︸ ︷︷ ︸
n1
, . . . , µl, . . . , µl︸ ︷︷ ︸
nl
) при χ = n1 + . . . + nl вигляду
RM (f(µ)) =
l∏
j=1
1
(nj − 1)!
∂χ−l
∂µn1−1
1 . . . ∂µnl−1
l
l∑
j=1
f(µj)
l∏
i=1,i6=j
(µj − µi)−1
, (15)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
БАГАТОТОЧКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНИX РIВНЯНЬ ВИСОКОГО ПОРЯДКУ В ПАРАЛЕЛЕПIПЕДI 339
зокрема при l = χ
RM (f(µ)) =
χ∑
j=1
f(µj)
χ∏
i=1,i6=j
(µj − µi)−1,
при l = 1, RM (f(µ)) = f (χ−1)(µ1)/(χ − 1)!. Формула (15) є правильною для функцiї f(µ),
аналiтичної в точках µ1, . . . , µl, а для функцiї f(µ), яка аналiтична в опуклiй областi, що
мiстить точки µ1, . . . , µl, має мiсце iнтегральна формула
RM (f(µ)) =
1∫
0
ς1∫
0
. . .
ςl−2∫
0
f (χ−1)
(
l∑
i=1
ςi−1(µi − µi−1)
)
l∏
j=1
(ςj−1 − ςj)nj−1
(nj − 1)!
dς1. . .dςl−1, (16)
де ς0 = 1, µ0 = ςl = 0.
Подiленi рiзницi рiзних порядкiв пов’язанi мiж собою формулою [14]
RM (f(µ)) = [RM1(f(µ))−RM2(f(µ))]/(µj1 − µj2), µj1 6= µj2 , (17)
де M1 = (µ1, . . . , µj2−1, µj2+1, . . . , µχ), M2 = (µ1, . . . , µj1−1, µj1+1, . . . , µχ). Лiва частина
формули (17) мiстить подiлену рiзницю порядку χ−1, а права — подiленi рiзницi порядку
χ− 2.
Нехай µ1(λk), . . . , µl(λk) — коренi рiвняння
µn +
n−1∑
s0=0
∑
bs0+2|s|=bn
As0,sλ
s1
k1
. . . λ
sp
kp
µs0 = 0 (18)
з кратностями n1, . . . , nl вiдповiдно, n1 + . . . + nl = n. Система функцiй
E(t, λk) = {tr−1 exp(µq(λk)t), r = 1, . . . , nq, q = 1, . . . , l} (19)
є фундаментальною системою розв’язкiв рiвняння (12).
Позначимо
Mqr = (µ1(λk), . . . , µ1(λk)︸ ︷︷ ︸
n1
, . . . , µq−1(λk), . . . , µq−1(λk)︸ ︷︷ ︸
nq−1
, . . . , µq(λk), . . . , µq(λk)︸ ︷︷ ︸
r
),
χqr = r + n1 + . . . + nq−1, r = 1, . . . , nq, q = 1, . . . , l.
Зi структури рiвняння (18), згiдно з [15, с. 102], випливають оцiнки
|µj(λk)| ≤ C1|λk|b/2, j = 1, . . . , l, C1 = 2 max
m∈{1,...,n}
(
max
|s|=bm/2
|An−m,s|
)1/m
. (20)
Iз (4), (5) при ηr =
√
λkr/ar(xr), r = 1, . . . , p, та рiвнянь (18) знаходимо
Re µj(λk) ≤ −δa0|λk|b/2, j = 1, . . . , l, a0 =
(
max
1≤r≤p
(
max
0≤xr≤π
ar(xr)
))−b/2
. (21)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
340 Б. Й. ПТАШНИК, I. Р. ТИМКIВ
Далi використовуватимемо вiдмiнну вiд (19) фундаментальну систему розв’язкiв рiв-
няння (12) (побудовану за подiленими рiзницями функцiй) вигляду
U(t, λk) = {uk,q,r(t) := RMqr(exp (µ(λk)t)), r = 1, . . . , nq, q = 1, . . . , l}, (22)
що спрощує обґрунтування розв’язностi задачi (1) – (3).
Тодi розв’язок задачi (11), (12) зображується формулою
wk(t) =
l∑
q=1
nq∑
r=1
Cqr(λk)uk,q,r(t),
де сталi Cqr(λk), r = 1, . . . , nq, q = 1, . . . , l, визначаються зi системи рiвнянь
l∑
q=1
nq∑
r=1
Cqr(λk)uk,q,r(tj) = ϕjk, j = 1, . . . , n,
визначник якої
∆(λk) = det ‖uk,q,r(tj)‖q=1,l
j=1,n, r=1,nq
. (23)
Зауважимо, що визначник (23) збiгається з характеристичним визначником задачi (10),
(11).
На пiдставi (15) i (22) отримуємо
uk,q,r(t) =
q∏
j=1
1
(nj − 1)!
∂χqr−q
(
q∑
j=1
exp(µj(λk)t)
q∏
i=1,i6=j
(µj(λk)− µi(λk))−1
)
∂µn1−1
1 (λk) . . . ∂µ
nq−1−1
q−1 (λk)∂µr−1
q (λk)
, (24)
де r = 1, . . . , nq, q = 1, . . . , l. Враховуючи (23), (24) знаходимо
∆(λk) =
∏
1≤i<j≤l
(µj(λk)− µi(λk))−ninj det
∥∥∥tr−1
j /((r − 1)!) exp(µq(λk)tj)
∥∥∥q=1,l
j=1,n, r=1,nq
. (25)
Задача (1) – (3) не може мати два рiзнi розв’язки тодi i лише тодi, коли вiдповiдна їй
однорiдна задача має лише тривiальний розв’язок.
Теорема 1. Для єдиностi розв’язку задачi (1) – (3) у просторi C(n,bn)(Qp) необхiдно i
достатньо, щоб виконувалась умова
det
∥∥∥tr−1
j /((r − 1)!) exp(µq(λk)tj)
∥∥∥q=1,l
j=1,n, r=1,nq
6= 0 ∀λk ∈ Λ. (26)
Доведення проводиться за схемою доведення теореми 5.3 з [6] (гл. 2) iз урахуванням
формули (25).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
БАГАТОТОЧКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНИX РIВНЯНЬ ВИСОКОГО ПОРЯДКУ В ПАРАЛЕЛЕПIПЕДI 341
3. Iснування розв’язку. Нехай виконується умова (26). Тодi для кожного λk ∈ Λ iснує
розв’язок задачi (11), (12), який зображується формулою
wk(t) =
l∑
q=1
nq∑
r=1
n∑
j=1
∆j,qr(λk)
∆(λk)
ϕjkuk,q,r(t), (27)
де ∆j,qr(λk) — алгебраїчне доповнення елемента uk,q,r(tj) у визначнику (23), а також у
квадратi K = {(t, τ) : 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ τ ≤ T} iснує єдина функцiя Грiна Gk(t, τ) задачi
(12), (13), за допомогою якої розв’язок задачi (10), (13) визначається формулою
vk(t) =
T∫
0
Gk(t, τ)fk(τ)dτ. (28)
У кожнiй iз областей Kj = {(t, τ) : 0 ≤ t ≤ T, tj < τ < tj+1}, j = 0, 1, . . . , n, t0 = 0,
tn+1 = T, функцiя Gk(t, τ) збiгається, вiдповiдно, з функцiєю
Gkj(t, τ) =
sgn (t−τ)
2
uk,l,nl
(t− τ) +
j∑
m=1
(−1)m+1Fkm(t, τ)−
n∑
m=j+1
(−1)m+1Fkm(t, τ), (29)
j = 0, 1, . . . , n,
де
Fkm(t, τ) =
1
2
l∑
q=1
nq∑
r=1
∆m,qr(λk)
∆(λk)
uk,q,r(t)uk,l,nl
(tm − τ), m = 1, . . . , n. (30)
На вiдрiзках прямих τ = tj , j = 0, 1, . . . , n, доозначуємо функцiю Gk(t, τ) за неперервнiс-
тю по τ справа, а при τ = T — за неперервнiстю злiва.
На основi формул (9), (14), (27), (28) одержуємо формальне зображення розв’язку
задачi (1) – (3) у виглядi ряду
u(t, x) =
∑
k∈Np
l∑
q=1
nq∑
r=1
n∑
j=1
∆j,qr(λk)
∆(λk)
ϕjkuk,q,r(t) +
T∫
0
Gk(t, τ)fk(τ)dτ
Xk(x). (31)
Збiжнiсть ряду (31), взагалi кажучи, пов’язана з проблемою малих знаменникiв, оскiль-
ки |∆(λk)|, будучи вiдмiнним вiд нуля, може набувати як завгодно малих значень для не-
скiнченної кiлькостi векторiв λk ∈ Λ.
Теорема 2. Нехай справджується умова (26) та iснує додатна стала ν така, що для
всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв λk ∈ Λ виконується нерiвнiсть
|∆(λk)| > exp(−ν|λk|b/2). (32)
Якщо ϕj(x) ∈ Gα1,b/2(Πp), α1 > ν−(n−1)δa0t1, j = 1, . . . , n, f(t, x) ∈ C([0, T ];Gα2,b/2(Πp)),
α2 > ν + (T − nt1)δa0, то у просторi C(n,bn)(Qp) iснує розв’язок задачi (1) – (3), який зо-
бражується рядом (31) i неперервно залежить вiд функцiй f(t, x) та ϕj(x), j = 1, . . . , n.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
342 Б. Й. ПТАШНИК, I. Р. ТИМКIВ
Доведення. На пiдставi (16), (20) – (23) знаходимо
max
t∈[0,T ]
∣∣∣u(s0)
k,q,r(t)
∣∣∣ ≤ C2|λk|bs0/2, s0 = 0, 1, . . . , n, (33)
|∆j,qr(λk)| ≤ (n− 1)!(C2)n−1 exp
{
−(n− 1)δa0t1|λk|b/2
}
, (34)
r = 1, . . . , nq, q = 1, . . . , l, j = 1, . . . , n,
де C2 = C2(n, T, C1). Iз формул (27) – (30) на пiдставi оцiнок (32) – (34) отримуємо
max
t∈[0,T ]
∣∣∣w(s0)
k (t)
∣∣∣ ≤ C3
n∑
j=1
|ϕjk||λk|bs0/2 exp{(ν − (n− 1)δa0t1)|λk|b/2}, (35)
max
t∈[0,T ]
∣∣∣v(s0)
k (t)
∣∣∣ ≤ C4f̃k|λk|bs0/2 exp{(ν + (T − nt1)δa0)|λk|b/2}, (36)
де s0 = 0, 1, . . . , n, C3 = n!(C2)n, C4 = (n+1)!(C2)n+1/2, f̃k = maxt∈[0,T ] |fk(t)|. На пiдставi
формул (9), (14), (27) – (30) i нерiвностей (8), (35), (36) дiстаємо оцiнку
∥∥∥u;C(n,bn)(Qp)
∥∥∥ ≤ ∑
k∈Np
n∑
s0=0
∑
s0+|s|≤bn
{
max
t∈[0,T ]
∣∣∣v(s0)
k (t)
∣∣∣+ max
t∈[0,T ]
∣∣∣w(s0)
k (t)
∣∣∣}max
x∈Πp
∣∣∣∣∣ ∂|s|Xk(x)
∂xs1
1 . . . ∂x
sp
p
∣∣∣∣∣ ≤
≤ C5
∑
k∈Np
f̃k|λk|bn−n/2 exp
{
(ν + (T − nt1)δa0)|λk|b/2
}
+
+ C6
n∑
j=1
∑
k∈Np
|ϕjk| |λk|bn−n/2 exp
{
(ν − (n− 1)δa0t1)|λk|b/2
}
, (37)
в якiй C5 = C4NbnVbn, C6 = C3NbnVbn, Nbn — стала iз оцiнок (8), Vbn — кiлькiсть усiх
розв’язкiв нерiвностi s0 + |s| ≤ bn у цiлих невiд’ємних числах s0, s1, . . . , sp, s0 ≤ n.
Використовуючи елементарну нерiвнiсть
θσ ≤ C(σ) exp(ρθ), C(σ) > 0, (38)
яка при 0 < θ < +∞ виконується для довiльних σ ≥ 0 i ρ > 0, iз (37) маємо
∥∥∥u;C(n,bn)(Qp)
∥∥∥ ≤ C7
(
C5
∑
k∈Np
f̃k exp{(ρ2 + ν + (T − nt1)δa0)|λk|b/2} +
+ C6
n∑
j=1
∑
k∈Np
|ϕjk| exp{(ρ1 + ν − (n− 1)δa0t1)|λk|b/2}
≤
≤ C7C8
‖f ;C([0, T ]Gα2,b/2(Π
p))‖+
n∑
j=1
‖ϕj ;Gα1,b/2(Π
p)‖
, (39)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
БАГАТОТОЧКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНИX РIВНЯНЬ ВИСОКОГО ПОРЯДКУ В ПАРАЛЕЛЕПIПЕДI 343
де ρ1 = α1− ν + (n− 1)δa0t1, ρ2 = α2− ν − (T −nt1)δa0, C7 = C7(n, b), C8 = max{C5, C6},
що й завершує доведення теореми.
Очевидно, що за умов теореми 2 розв’язок задачi (1) – (3) належить простору
Cn
(
[0, T ];Gα3,b/2(Πp)
)
, де α3 < min{ρ1, ρ2}.
4. Оцiнки знизу малих знаменникiв. Вияснимо, наскiльки "багата"множина задач (1) –
(3), для яких виконується нерiвнiсть (32). Позначимо m0 = 0, mr = n1 + . . . + nr, r =
= 1, . . . , l;
gq(t, λk) := tq−mj−1−1/((q −mj−1 − 1)!) exp(µj(λk)t), q = 1, . . . , n,
Pq(β, λk) := (β − µ1(λk))n1 . . . (β − µj−1(λk))nj−1(β − µj(λk))q−mj−1 , q = 1, . . . , n,
Zq(λk) := 1, q = 1, . . . , n1,
Zq(λk) := (µj(λk)− µ1(λk))n1 . . . (µj(λk)− µj−1(λk))nj−1 , q = n1 + 1, . . . , n,
де iндекс j = j(q) однозначно визначається з умови mj−1 < q ≤ mj .
Теорема 3. Для майже всiх (щодо мiри Лебега в Rn) векторiв ~t = (t1, . . . , tn) ∈ [0, T ]n
i для довiльних фiксованих коефiцiєнтiв рiвняння (1) нерiвнiсть (32) виконується для
всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв λk ∈ Λ при ν > nC1T, де C1 — стала з оцi-
нок (20).
Доведення. Скористаємось схемою доведення теореми 3 з [8]. Нехай
Γ(λk; t1, . . . , tn) := det ‖gq(tj , λk)‖n
j,q=1, (40)
а Γq(λk; t1, . . . , tq) — визначник, який отримується з Γ(λk; t1, . . . , tn) викреслюванням остан-
нiх n− q рядкiв та останнiх n− q стовпцiв. Згiдно з (25), (40)
∆(λk) = Γ(λk; t1, . . . , tn)
∏
1≤i<j≤l
(µj(λk)− µi(λk))−ninj = Γ(λk; t1, . . . , tn)
n∏
q=1
Z−1
q (λk). (41)
Розглянемо множини
A(λk) :=
{
~t ∈ [0, T ]n : |∆(λk)| < exp(−ν|λk|b/2)
}
,
Aq(λk) :=
{
~t ∈ [0, T ]n : |Γq(λk; t1, . . . , tq)| < hq(λk), |Γq−1(λk; t1, . . . , tq−1)| ≥ hq−1(λk)
}
,
де числа hq(λk), q = 1, . . . , n, визначаються рiвностями
hq(λk) = |λk|−q(q−1)(p+b)/4−ε(2q−1)/(2n−1) exp
(
−qC1T |λk|b/2
) q∏
j=1
|Zj(λk)|, ε > 0.
Згiдно з теоремою Фубiнi [16, с. 119], для кожного q, q = 2, . . . , n,
mesRnAq(λk) =
∫
[0,T ]n−1
mesRAq(λk; t1, . . . , tq−1, tq+1, . . . , tn)dt1 . . . dtq−1dtq+1 . . . dtn, (42)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
344 Б. Й. ПТАШНИК, I. Р. ТИМКIВ
де Aq(λk; t1, . . . , tq−1, tq+1, . . . , tn) := {tq ∈ [0, T ] : ~t ∈ Aq(λk)}.
Застосуємо леми 1, 2 з роботи [8] для оцiнки зверху мiр Лебега множин Aq(λk; t1, . . .
. . . , tq−1, tq+1, . . . , tn), q = 2, . . . , n. Для цього зауважимо, що функцiя Γq(λk; t1, . . . , tq) як
функцiя змiнної tq (при фiксованих t1, . . . , tq−1) є квазiмногочленом, модулi показникiв
експонент якого не перевищують C1|λk|b/2. Крiм того, з розвинення визначника Γq(λk;
t1, . . . , tq) за елементами останнього рядка випливають рiвностi
Pq−1(∂/∂tq,λk)Γq(λk; t1,. . . , tq) = exp(µj(λk)tq)Zq(λk)Γq−1(λk; t1,. . . , tq−1), q = 2, . . . , n,
(43)
де iндекс j = j(q) однозначно визначається з умови mj−1 < q ≤ mj .
Iз оцiнок (20) отримуємо
| exp(µr(λk)t)| ≥ exp(−C1T |λk|b/2) = h1(λk), t ∈ [0, T ], λk ∈ Λ, r = 1, . . . , l. (44)
Якщо ~t ∈ Aq(λk), q = 2, . . . , n, то з формул (43), (44) та означення множин Aq(λk)
випливає
|Pq−1(∂/∂tq, λk)Γq(λk; t1, . . . , tq)| ≥ h1(λk)hq−1(λk)|Zq(λk)| ∀tq ∈ [0, T ]. (45)
Очевидно, що для кожного q, q = 2, . . . , n, степiнь многочлена Pq−1(β, λk) за змiнною β
дорiвнює q − 1, а модуль коефiцiєнта при βq−j−1, j = 0, 1, . . . , q − 1, в цьому многочленi
не перевищує C9|λk|bj/2, де C9 = C9(n, C1). Тому з оцiнок (45) та лем 1, 2 з [8] отримуємо
mesRAq(λk; t1, . . . , tq−1, tq+1, . . . , tn) ≤ C10|λk|b/2 q−1
√
hq(λk)
h1(λk)hq−1(λk)|Zq(λk)|
≤
≤ C10|λk|−p/2−εq , q = 2, . . . , n, (46)
де εq = ε/((2q − 1)(2n− 1)) > 0, C10 = C10(n, T ).
Тодi з формул (42), (46) дiстаємо
mesRnAq(λk) ≤ C10T
n−1|λk|−p/2−εq , q = 2, . . . , n. (47)
Оскiльки, згiдно з (41),
|Γ(λk; t1, . . . , tn)| = |∆(λk)|
n∏
q=1
|Zq(λk)| < hn(λk),
то A(λk) ⊂
n⋃
q=2
Aq(λk). З оцiнок (7) та (47) випливає
∑
k∈Np
mesRnA(λk) ≤
∑
k∈Np
n∑
q=2
mesRnAq(λk) ≤ C11
∑
k∈Np
|k|−p−ε,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
БАГАТОТОЧКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНИX РIВНЯНЬ ВИСОКОГО ПОРЯДКУ В ПАРАЛЕЛЕПIПЕДI 345
де C11 = (n − 1)Tn−1C10C̃0
−p/2
. Зi збiжностi останнього ряду, згiдно з лемою Бореля –
Кантеллi [17] i оцiнкою (38), для майже всiх (щодо мiри Лебега в Rn) векторiв ~t ∈ [0, T ]n
нерiвнiсть
|∆(λk)| ≥ |λk|−n(n−1)(p+b)/4−ε exp(−nC1T |λk|b/2) ≥ 1
C12
exp(−(nC1T +ρ3)|λk|b/2), ρ3 > 0,
де C12 = C12(n, p, b, ε), виконується для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв λk ∈ Λ.
Теорему доведено.
З теорем 2, 3 випливає таке твердження.
Теорема 4. Нехай ϕj(x) ∈ Gα1,b/2(Πp), α1 > nC1T − (n− 1)δa0t1, j = 1, . . . , n, f(t, x) ∈
∈ C([0, T ];Gα2,b/2(Πp)), α2 > nC1T + (T − nt1)δa0. Для майже всiх (щодо мiри Лебега в
Rn) векторiв ~t ∈ [0, T ]n i довiльних фiксованих коефiцiєнтiв рiвняння (1) iснує єдиний
розв’язок задачi (1) – (3) з простору C(n,bn)(Qp), який зображується рядом (31) i непе-
рервно залежить вiд функцiй f(t, x) та ϕj(x), j = 1, . . . , n.
Викладенi вище результати можна перенести на випадок такої задачi:
∂nu(t, x)
∂tn
+
n−1∑
r=0
Ar
(
∂
∂t
)r
Lb(n−r)/2u(t, x) = f(t, x), (t, x) ∈ D,
n−1∑
r=0
dr
∂ru(tj , x)
∂tr
= ϕj(x), x ∈ Ω, j = 1, . . . , n, 0 ≤ t1 < t2 < . . . < tn ≤ T,
Lmu(t, x)
∣∣∣
∂Ω
= 0, t ∈ [0, T ], m = 0, 1, . . . , (bn/2− 1),
де D = {(t, x) ∈ Rp+1 : 0 < t < T, x ∈ Ω ⊂ Rp}, Ω — обмежена однозв’язна область з
гладкою межею ∂Ω; Ar ∈ R, dr ∈ C; L =
p∑
i,j=1
∂
∂xi
(
hij(x)
∂
∂xj
)
− c(x) — елiптичний в Ω
диференцiальний вираз з досить гладкими в Ω коефiцiєнтами, c(x) ≥ 0.
1. Василишин П. Б., Пташник Б. Й. Багатоточкова задача для iнтегро-диференцiальних рiвнянь iз ча-
стинними похiдними // Укр. мат. журн. — 1998. — 50, № 9. — С. 1155 – 1168.
2. Картынник А. В. Трехточечная смешанная задача с интегральным условием по пространственной
переменной для параболических уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения. — 1990. — 26,
№ 9. — С. 1568 – 1575.
3. Лавренчук В. П. Деякi нелокальнi задачi для параболiчного рiвняння другого порядку з оператором
Бесселя // Крайовi задачi з рiзними виродженнями i особливостями. — Чернiвцi: Рута, 1990. — С. 111 –
119.
4. Матiйчук М. I. Параболiчнi сингулярнi крайовi задачi. — Київ: Наук. думка, 1999. — 214 с.
5. Пукальський I. Д. Багатоточкова задача для параболiчного рiвняння з виродженням // Iнтегральнi пе-
ретворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. — Київ: Iн-т математики НАН України,
1997. — Вип. 16. — С. 246 – 255.
6. Пташник Б. И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными про-
изводными. — Киев: Наук. думка, 1984. — 264 с.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
346 Б. Й. ПТАШНИК, I. Р. ТИМКIВ
7. Пташник Б. И., Салыга Б. О. Аналог многоточечной задачи для дифференциальных уравнений с
частными производными с переменными коэффициентами // Укр. мат. журн. — 1983. — 35, № 6. —
С. 728 – 734.
8. Пташник Б. Й., Симотюк М. М. Багатоточкова задача для неiзотропних диференцiальних рiвнянь iз
частинними похiдними зi сталими коефiцiєнтами // Там же. — 2003. — 55, № 2. — С. 241 – 254.
9. Пташник Б. Й., Тимкiв I. Р. Багатоточкова задача для параболiчного рiвняння зi змiнними коефiцiєн-
тами // Доп. НАН України. — 2008. — № 12. — С. 34 – 39.
10. Силюга Л. П. Багатоточкова задача для параболiчних рiвнянь зi сталими коефiцiєнтами // Мат. методи
i фiз.-мех. поля. — 2000. — 43, № 4. — С. 42 – 48.
11. Chabrovski J. On non-local problems for parabolic equations // Nagoya Math. J. — 1984. — 93. — P. 109 – 131.
12. Majchrowski M. On certain nonlocal problem with mixed boundary condition for a parabolic system of
partial differential equations // Demonstr. math. — 1982. — 15, № 3. — P. 635 – 646.
13. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — М.: Физматгиз, 1961. — 400 с.
14. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс. — М.: Наука, 1965. — 328 с.
15. Фаддєєв Д. К., Сомiнський I. С. Збiрник задач з вищої алгебри. — Київ: Вища шк., 1971. — 316 с.
16. Дороговцев А. Я. Элементы общей теории меры и интеграла. — Киев: Вища шк., 1989. — 152 с.
17. Спринжук В. Г. Метрическая теория диофантовых приближений. — М.: Наука, 1977. — 143 с.
Одержано 12.03.09
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
|