Про існування інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах

Получены достаточные условия существования в пространстве ограниченных числовых последовательностей инвариантных торов линейных и квазилинейных счетных систем дифференциально-разностных уравнений, определенных на бесконечномерных торах и содержащих бесконечное множество постоянных отклонений скаляр...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автори:	Самойленко, А.М., Теплінський, Ю.В., Пасюк, К.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2009
Назва видання:	Нелінійні коливання
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178408
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Про існування інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах / А.М. Самойленко, Ю.В. Теплінський, К.В. Пасюк // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 3. — С. 347-367. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-178408
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1784082021-02-20T01:27:30Z Про існування інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах Самойленко, А.М. Теплінський, Ю.В. Пасюк, К.В. Получены достаточные условия существования в пространстве ограниченных числовых последовательностей инвариантных торов линейных и квазилинейных счетных систем дифференциально-разностных уравнений, определенных на бесконечномерных торах и содержащих бесконечное множество постоянных отклонений скалярного аргумента. In the space of bounded number sequences, sufficient conditions of existence of invariant tori for linear and quasi-linear countable systems of differential-difference equations defined on infinite-dimensional tori and containing an infinite set of constant deviations of scalar argument are obtained. 2009 Article Про існування інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах / А.М. Самойленко, Ю.В. Теплінський, К.В. Пасюк // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 3. — С. 347-367. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178408 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Получены достаточные условия существования в пространстве ограниченных числовых последовательностей инвариантных торов линейных и квазилинейных счетных систем дифференциально-разностных уравнений, определенных на бесконечномерных торах и содержащих бесконечное множество постоянных отклонений скалярного аргумента.
format	Article
author	Самойленко, А.М. Теплінський, Ю.В. Пасюк, К.В.
spellingShingle	Самойленко, А.М. Теплінський, Ю.В. Пасюк, К.В. Про існування інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах Нелінійні коливання
author_facet	Самойленко, А.М. Теплінський, Ю.В. Пасюк, К.В.
author_sort	Самойленко, А.М.
title	Про існування інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах
title_short	Про існування інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах
title_full	Про існування інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах
title_fullStr	Про існування інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах
title_full_unstemmed	Про існування інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах
title_sort	про існування інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178408
citation_txt	Про існування інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах / А.М. Самойленко, Ю.В. Теплінський, К.В. Пасюк // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 3. — С. 347-367. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT samojlenkoam proísnuvannâínvaríantnihtorívzlíčennihsistemdiferencíalʹnoríznicevihrívnânʹviznačenihnaneskínčennovimírnihtorah AT teplínsʹkijûv proísnuvannâínvaríantnihtorívzlíčennihsistemdiferencíalʹnoríznicevihrívnânʹviznačenihnaneskínčennovimírnihtorah AT pasûkkv proísnuvannâínvaríantnihtorívzlíčennihsistemdiferencíalʹnoríznicevihrívnânʹviznačenihnaneskínčennovimírnihtorah
first_indexed	2025-07-15T16:53:02Z
last_indexed	2025-07-15T16:53:02Z
_version_	1837732602504544256
fulltext	УДК 517.9 ПРО IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ, ВИЗНАЧЕНИХ НА НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ ТОРАХ А. М. Самойленко Iн-т математики НАН України Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3 e-mail: sam@imath.kiev.ua Ю. В. Теплiнський Кам’янець-Подiл. нац. ун-т Україна, 32300, Кам’янець-Подiльський Хмельницької обл., вул. Iвана Огiєнка, 61 К. В. Пасюк Буковин. держ. фiн. академiя Україна, 58000, Чернiвцi, вул. Штерна, 1 In the space of bounded number sequences, sufficient conditions of existence of invariant tori for linear and quasi-linear countable systems of differential-difference equations defined on infinite-dimensional tori and containing an infinite set of constant deviations of scalar argument are obtained. Получены достаточные условия существования в пространстве ограниченных числовых по- следовательностей инвариантных торов линейных и квазилинейных счетных систем диффе- ренциально-разностных уравнений, определенных на бесконечномерных торах и содержащих бесконечное множество постоянных отклонений скалярного аргумента. 1. Постановка задачi. Вiдомо, що дослiдження iнварiантних множин i, зокрема, iнварiан- тних торiв посiдають важливе мiсце як в теорiї неперервних динамiчних систем (потокiв), так i в теорiї дискретних динамiчних систем (каскадiв), визначених у рiзноманiтних нор- мованих просторах. Велика кiлькiсть фундаментальних результатiв, одержаних у цiй га- лузi математики протягом майже чотирьох останнiх десятилiть, пов’язана iз застосуван- ням методу функцiї Грiна задачi про iнварiантний тор лiнiйного розширення динамiчної системи на торi, запропонованого А. М. Самойленком у 1970 роцi [1, 2]. У роботах [3 – 6] вказаний метод застосовано до дослiдження iнварiантних торiв злiченних систем звичай- них диференцiальних рiвнянь, визначених на торах. Протягом останнiх десяти рокiв було опублiковано ряд наукових праць [7 – 15], в яких цей метод застосовано до дослiдження iнварiантних торiв злiченних систем диференцiально-рiзницевих та рiзницевих рiвнянь. У цiй роботi поставлено i розв’язано задачу вiдшукання достатнiх умов iснування у про- сторi обмежених числових послiдовностей iнварiантних торiв лiнiйних та квазiлiнiйних злiченних систем диференцiально-рiзницевих рiвнянь, що визначенi на нескiнченнови- мiрних торах i мiстять нескiнченну множину рiзнознакових сталих вiдхилень скалярного аргументу. До цього часу така задача у математичнiй лiтературi не дослiджувалась. c© А. М. Самойленко, Ю. В. Теплiнський, К. В. Пасюк, 2009 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 347 348 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК 2. Основне допомiжне твердження. Розглянемо спочатку рiвняння dφ dt = a(φ), (1) де φ = (φ1, φ2, φ3, . . .) ∈ M; вiдображення a(φ) = {a1(φ), a2(φ), a3(φ), . . .} визначено перi- одичними для всiх i ∈ N вiдносно координат φj , j = 1, 2, 3, . . . , з перiодом 2π функцiями ai(φ) : M → R1, що дозволяє вважати рiвняння (1) визначеним на нескiнченновимiрному торi T∞, а цi координати — кутовими координатами на ньому;N — множина натуральних чисел, M — простiр обмежених числових послiдовностей x = (x1, x2, x3, . . .) зi стандарт- ною нормою ‖x‖ = supi{\|xi\|}; символом dφ dt позначено вектор { dφ1 dt ; dφ2 dt ; dφ3 dt , . . . } . Домовимося надалi диференцiювати та iнтегрувати векторнi функцiї лише у покоор- динатному сенсi. Наступнi умови назвемо умовами (A) : 1) ‖a(φ)‖ = supi{\|ai(φ)\|} ≤ A = const > 0 ∀φ ∈ T∞; 2) ‖a(φ)− a(ψ)‖ ≤ α‖φ− ψ‖, де α = const > 0, ∀{φ, ψ} ⊂ T∞. Якщо цi умови виконуються, то за теоремою 1.3 з [3, с. 12] для будь-якого φ ∈ T∞ рiв- няння (1) має у класi функцiй, обмежених за нормою на будь-якому скiнченному сегментi числової осi, єдиний розв’язок φ = φt(φ) = (φ1t(φ), φ2t(φ), . . . ), що визначений на всiй осi i задовольняє початкову умову φ = φ0(φ), причому цей розв’язок є неперервним вiдносно t вiдображенням R1 → M. Запишемо тепер систему рiвнянь dφ dt = a(φ), dx dt = P (φ)x, (2) де x ∈ M;P (φ) = [pij(φ)]∞ij=1 — така нескiнченна матриця з неперервними по φ i перiодич- ними вiдносно φi, i = 1, 2, 3, . . . , з перiодом 2π елементами, що ∞∑ j=1 sup φ∈T∞ \|psj(φ)\| ≤ P 0 = const < ∞, s = 1, 2, 3, . . . . (3) Якщо справджуються умови (A) та нерiвностi (3), то для рiвняння dx dt = P (φt(φ))x (4) iснує 2π-перiодичний вiдносно φi, i = 1, 2, 3, . . . , матрицант Ωt τ (φ) (див. [3, с. 108]), елемен- ти якого неперервнi по τ для всiх τ ∈ R1 (див. наслiдок 5.1 з [3, с. 38]). Норму матрицi P (φ) з (2) задамо рiвнiстю ‖P (φ)‖ = supi ∑∞ j=1 \|pij(φ)\| i через C0(T∞) позначимо множину визначених на торi T∞ обмежених за нормою вектор-функцiй i мат- риць, координати i елементи яких вiдповiдно 2π-перiодичнi по φi, i = 1, 2, 3, . . . , i непе- рервнi вiдносно φ. Множину елементiв з C0(T∞), що задовольняють умову Лiпшиця по φ, позначимо через C0 Lip(T∞) i вважатимемо, що матриця P (φ) ∈ Cφ(T∞), якщо вона нале- жить множинi C0(T∞) i для неї справджується умова (3). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 ПРО IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 349 Якщо iснує така матриця C(φ) ∈ Cφ(T∞), що функцiя Gt(τ, φ) =  Ωt τ (φ)C(φτ (φ)) при τ ≤ t, Ωt τ (φ)[C(φτ (φ))− E] при τ > t задовольняє нерiвнiсть ‖Gt(τ, φ)‖ ≤ K exp{−γ\|t− τ \|} (5) для всiх {t, τ} ⊂ R1, φ ∈ T∞, де K i γ — додатнi сталi, що не залежать вiд φ, t, τ, E — нескiнченна одинична матриця, то цю функцiю називають функцiєю Грiна – Самойленка (скорочено ФГС) задачi про обмеженi розв’язки, а функцiю G0(τ, φ) — функцiєю Грi- на – Самойленка задачi про iнварiантнi тори лiнiйних розширень рiвняння (4) або системи рiвнянь (2). Неважко поширити доведення зауваження 7.1 з [3, с. 71] на випадок φ ∈ T∞ i переко- натися в еквiвалентностi нерiвностi (5) та оцiнки ‖G0(τ, φ)‖ ≤ K exp{−γ\|τ \|}. Легко пе- реконатися також, що для e-дихотомiчного на R1 рiвняння (4) з матричним проектором (див. [3, с. 72]) iснує вказана вище матриця C(φ). Зауважимо, що до рiвнянь такого типу належить рiвняння (4), матрицант якого задовольняє оцiнку ‖Ωt τ (φ)‖ ≤ K exp{−γ\|t− τ \|}. Розглянемо тепер неоднорiдне рiвняння dx(t) dt = P (φt(φ))x(t) + c(φ, t), (6) що вiдповiдає рiвнянню (4), де функцiя c(φ, t) = (c1(z1(φ, t), z2(φ, t), . . .), c2(z1(φ, t), z2(φ, t), . . .), . . .) здiйснює вiдображення множини T ∞∞ = T∞ × T∞ × . . . у простiр M, тобто ci(z1(φ, t), z2(φ, t), . . .) : T ∞∞ 7→ R1 для будь-якого натурального числа i; точки zi(φ, t) = (φ1t+∆i1 (φ), φ2t+∆i2 (φ), . . .), t ∈ R1, належать тору T∞,∆ij — довiльнi фiксованi дiйснi числа (сталi вiд- хилення аргументу t), φ ∈ T∞, {i, j} ⊂ N.У випадку, коли ∆k1 = ∆k2 = . . . = ∆k = const, одержуємо рiвнiсть zk = φt+∆k (φ). Наступнi умови назвемо умовами (C) : 1) функцiї ci(z) = ci(z1, z2, . . .) є 2π-перiодичними вiдносно кожної координати векто- ра zj для будь-яких натуральних i та j; 2) функцiї ci(z) неперервнi вiдносно z на T ∞∞ i рiвномiрно обмеженi на цiй множинi, тобто ‖c(z)‖ = supi \|ci(z)\| ≤ C0 = const > 0, i = 1, 2, 3, . . . . Iнварiантним тором T 0 системи рiвнянь (1), (6) (рiвняння (6)) називають множину то- чок x ∈ M, породжену функцiєю x = u0(φ) = (u0 1(φ), u0 2(φ), . . .), φ ∈ T∞, якщо вона 2π-перiодична вiдносно φi, i = 1, 2, 3, . . . , обмежена за нормою i при будь-яких φ ∈ T∞, t ∈ R1 задовольняє рiвнiсть du0(φt(φ)) dt = P (φt(φ))u0(φt(φ)) + c(φ, t). (7) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 350 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК Справджується таке твердження. Лема 1. Нехай a(φ) ∈ C0 Lip(T∞), P (φ) ∈ Cφ(T∞), виконуються умови (C) та для рiвняння (4) iснує ФГС Gt(τ, φ). Тодi рiвняня (6) має iнварiантний тор T 0, породжений функцiєю u0(φ) = ∞∫ −∞ G0(τ, φ)c(φ, τ)dτ. (8) Доведення. Зауважимо спочатку, що з включення a(φ) ∈ C0 Lip(T∞) випливають умови (A), тобто рiвняння (6) записується однозначно. Неважко перевiрити, що невласний iнте- грал у рiвностi (8) збiгається рiвномiрно вiдносно φ ∈ T∞ у покоординатному сенсi, якщо функцiї ci(z(φ, t)) неперервнi по t наR1 при всiх i ∈ N.Переконаємося у виконаннi остан- ньої вимоги. Очевидно, що для {t1, t2} ⊂ R1 рiвномiрно вiдносно φ ∈ T∞ справджуються нерiвностi ‖φt1(φ)− φt2(φ)‖ ≤ ∣∣∣∣∣∣ t1∫ t2 ‖a(φt(φ))‖dt ∣∣∣∣∣∣ ≤ A\|t1 − t2\| < ε = const > 0, ‖zi(φ, t1)− zi(φ, t2)‖ = sup j∈N {\|φjt1+∆ij (φ)− φjt2+∆ij (φ)\|} ≤ A\|t1 − t2\| < ε ∀i ∈ N, якщо \|t1 − t2\| < δ, а δ < ε A . Це означає рiвностепеневу вiдносно i ∈ N неперервнiсть послiдовностi функцiй zi(φ, t), а разом з тим i неперервнiсть функцiй ci(z(φ, t)) по t на R1 при всiх i ∈ N. Далi, беручи до уваги включення {P (φ), C(φ)} ⊂ Cφ(T∞) та оцiнку supi∈N ∑∞ j=1 maxt∈T \|ωij(t, τ, φ)\| ≤ eP 0σ, де Ωt τ (φ) = [ωij(t, τ, φ)]∞i,j=1, σ — довжина сегмен- та T числової прямої, який мiстить точку τ (див. [3, с. 31]), переконуємося, що коорди- нати пiдiнтегральної векторної функцiї G0(τ, φ)c(φ, τ) з (8) є неперервними вiдносно τ на R1 \ {0}. Залишається показати, що: а) функцiя u0(φ) є 2π-перiодичною вiдносно φi для будь-якого i ∈ N ; б) при всiх φ ∈ T∞, t ∈ R1 справджується рiвнiсть u0(φt(φ)) = ∞∫ −∞ Gt(τ, φ)c(φ, τ)dτ ; в) функцiя u0(φt(φ)) диференцiйовна вiдносно t на всiй числовiй прямiй i задовольняє рiвняння (7) при всiх t ∈ R1. Наявнiсть сталих вiдхилень ∆ij , i, j = 1, 2, . . . , у рiвняннi (6) та у рiвностi (8) не ду- же ускладнює обґрунтування правильностi трьох останнiх тверджень, яке проводиться аналогiчно до доведень теорем 7.1 та 8.1 з [3, с. 60, 75]. При доведеннi третього тверд- ження слiд врахувати, що iнтеграл ∫∞ −∞Gt(τ, φ)c(φ, τ)dτ збiгається рiвномiрно вiдносно t на довiльному скiнченному вiдрiзку числової осi, а елементи матрицi Ωt τ (φ) неперервнi ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 ПРО IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 351 за сукупнiстю змiнних {t, τ} ⊂ R1, оскiльки таку властивiсть має будь-який її вектор- стовпець, який ми позначимо через x(t, τ, x0). Дiйсно, ‖x(t+ ∆t, τ + ∆τ, x0)− x(t, τ, x0)‖ ≤ ε1 + ε2, де ε1 = ‖x(t+∆t, τ+∆τ, x0)−x(t+∆t, τ, x0)‖, ε2 = ‖x(t+∆t, τ, x0)−x(t, τ, x0)‖.Очевидно, для будь-якого ε 2 > 0 iснує ρ > 0 таке, що ε2 < ε 2 при ∆t < ρ. Крiм того, iз доведення теореми 5.3 з [3, c. 37] випливає, що ε1 < ε 2 при \|∆τ \| < 1 P 0 ln ε 2g , де g — деяка додатна стала. 3. Iснування iнварiантного тора лiнiйної системи. Розглянемо рiвняння dx(t) dt = P (φt(φ))x(t) +B(φ, t)x(t+ ∆) + c(φ, t), (9) де B(φ, t) = [bij(φ, t)]∞ij=1 — нескiнченна матриця, функцiї bij(φ, t) = bij(y1(φ, t), y2(φ, t), . . .) здiйснюють вiдображення множини T ∞∞ у простiр R1, точки yi(φ, t) = (φ1t+Γi1 (φ), φ2t+Γi2 (φ), . . .) ∀t ∈ R1 належать тору T∞; x(t+ ∆) = (x1(t+ ∆1), x2(t+ ∆2), . . .); Γij та ∆i — довiльнi фiксованi дiйснi числа (сталi вiдхилення аргументу t); φ ∈ T∞, {i, j} ⊂ N. Наступнi умови назвемо умовами (B) : 1) функцiї bij(y) = bij(y1, y2, . . .) є 2π-перiодичними вiдносно кожної координати век- тора ys для будь-яких натуральних i, j, s; 2) для будь-яких {i, j} ⊂ N функцiї bij(y) неперервнi вiдносно y на T ∞∞ i ∞∑ j=1 sup y∈T∞∞ \|bsj(y)\| ≤ B0 = const < ∞ ∀s ∈ N. Поняття iнварiантного тора T : x = u(φ) = (u1(φ), u2(φ), . . .) для рiвняння (9) вводить- ся аналогiчно до наведеного ранiше означення множини T 0 : x = u0(φ), лише спiввiдно- шення (7) у ньому слiд замiнити рiвнiстю du(φt(φ)) dt = P (φt(φ))u(φt(φ)) +B(φ, t)u(φ, t+ ∆) + c(φ, t), (10) де u(φ, t+ ∆) = (u1(φt+∆1(φ)), u2(φt+∆2(φ)), . . .). Запишемо тепер рiвняння dx(t) dt = P (φt(φ))x(t) +B(φ, t)u0(φ, t+ ∆) + c(φ, t) (11) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 352 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК i, використавши схему доведення леми 1, переконаємося, що воно визначає у просторi M iнварiантний тор T 1, породжений функцiєю x = u1(φ) = ∞∫ −∞ G0(τ, φ)c1(φ, τ)dτ, (12) де c1(φ, τ) = B(φ, τ)u0(φ, τ + ∆) + c(φ, τ). Лема 2. Нехай виконуються умови леми 1, умови (B) та наступнi вимоги: 1) ‖P (φ)− P (φ̄)‖ ≤ p0‖φ− φ̄‖, p0 = const > 0, ∀{φ, φ̄} ⊂ T∞; 2) ‖c(z)− c(z̄)‖ ≤ η‖z − z̄‖, η = const > 0, ∀{z, z̄} ⊂ T ∞∞ ; 3) рiвняння (4) не має обмежених на всiй числовiй осi розв’язкiв, крiм нульового; 4) множина ∆ij вiдхилень аргументу t обмежена, тобто \|∆ij \| ≤ ∆∗ = const < ∞ ∀{i, j} ⊂ N. Тодi рiвняння (11) має iнварiантний тор T 1, породжений функцiєю (12). Доведення. Врахувавши 2π-перiодичнiсть функцiй c1i (φ, τ) вiдносно φj , {i, j} ⊂ N, рiв- нiсть c1(φt(φ), τ) = c1(φ, τ + t), оцiнки ‖u0(φ)‖ ≤ 2KC0 γ , ‖c1(φ, τ)‖ ≤ C0 ( 1 + 2KB0 γ ) i доведення леми 1, неважко зрозумiти, що невласний iнтеграл у рiвностi (12) збiгається рiвномiрно вiдносно φ ∈ T∞ у покоординатному сенсi i породжує iнварiантний тор T 1 рiвняння (11), якщо функцiї c1i (φ, τ) неперервнi по τ на R1 при всiх i ∈ N. Оскiльки для будь-яких {i, j} ⊂ N такими є функцiї ci(φ, τ) та bij(φ, τ), то залишається показати, що цю властивiсть мають функцiї u0 i (φ, τ + ∆) при всiх i ∈ N. Останнє випливає з неперерв- ностi функцiї u0(φ) вiдносно φ, що ми обґрунтуємо аналогiчно до доведення теореми 8.2 з [3, с. 76], в якiй наведено умови гельдеровостi iнварiантного тора рiвняння вигляду (6), що не мiстить вiдхилень аргументу i визначене на m-вимiрному торi Tm. Не становить труднощiв переконатись у правильностi оцiнки ‖u0(φ)− u0(φ̄)‖ ≤ I0 1 + I0 2 , (13) де φ та φ̄ — довiльнi точки тора T∞, I0 1 = ∞∫ −∞ ‖G0(τ, φ)−G0(τ, φ̄)‖‖c(φ, τ)‖dτ, I0 2 = ∞∫ −∞ ‖G0(τ, φ̄)‖‖c(φ, τ)− c(φ̄, τ)‖dτ. Повторюючи практично без змiн фрагменти доведення теореми 8.2 з [3, с. 76], одержуємо I0 1 ≤ S1‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , де S1 = 4C0 γ ( 2 γ − αν ν+1 K3(2P 0(p0)ν) 1 ν+1 ) 1 2 , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 ПРО IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 353 ν — довiльне додатне число, при якому να ν + 1 < γ. Далi вважатимемо, що число ν задовольняє цю нерiвнiсть. Знайдемо аналогiчну оцiнку для iнтеграла I0 2 . Справджуються спiввiдношення ‖c(φ, τ)− c(φ̄, τ)‖ ≤ η sup i∈N sup j∈N { \|φjτ+∆ij (φ)− φjτ+∆ij (φ̄)\| } ≤ ≤ η sup i∈N sup j∈N exp{α\|τ + ∆ij \|}‖φ− φ̄‖ ≤ η exp{α\|τ \|} exp{α∆∗}‖φ− φ̄‖, з якого для будь-якого ν > 0 випливає нерiвнiсть ‖c(φ, τ)− c(φ̄, τ)‖ ≤ Kν exp { αν 2(ν + 1) \|τ \| } ‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , де Kν = { 2C0 [ 2C0(η exp{α∆∗})ν ] 1 ν+1 } 1 2 . Звiдси одержуємо I0 2 ≤ S2‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , де S2 = KKν 2 γ − αν 2(ν+1) . Використавши нерiвнiсть (13), отримаємо оцiнку ‖u0(φ)− u0(φ̄)‖ ≤ Γ0‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , Γ0 = (S1 + S2), що завершує доведення леми 2. Запишемо тепер рiвняння dx(t) dt = P (φt(φ))x(t) +B(φ, t)u1(φ, t+ ∆) + c(φ, t) (14) i, використавши схему доведення леми 2, переконаємось у правильностi наступного твер- дження. Лема 3. Нехай виконуються умови леми 2 та наступнi вимоги: 1) ‖B(y)−B(ȳ)‖ ≤ β‖y − ȳ‖, β = const > 0, ∀{y, ȳ} ⊂ T ∞∞ ; 2) множини вiдхилень Γij та ∆i аргументу t обмеженi, тобто \|Γij \| ≤ Γ∗ = const < < ∞ та \|∆i\| ≤ ∆∗ = const < ∞ ∀{i, j} ⊂ N. Тодi рiвняння (14) визначає у просторi M iнварiантний тор T 2, породжений функцi- єю x = u2(φ) = ∞∫ −∞ G0(τ, φ)c2(φ, τ)dτ, де c2(φ, τ) = B(φ, τ)u1(φ, τ + ∆) + c(φ, τ). Доведення. Зрозумiло, що достатньо обґрунтувати неперервнiсть функцiї u1(φ) вiднос- но φ на T∞. Неважко переконатись у правильностi оцiнки ‖u1(φ)− u1(φ̄)‖ ≤ I1 1 + I1 2 , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 354 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК де φ та φ̄ — довiльнi точки тора T∞, I1 1 = ∞∫ −∞ ‖G0(τ, φ)−G0(τ, φ̄)‖‖c1(φ, τ)‖dτ, I1 2 = ∞∫ −∞ ‖G0(τ, φ̄)‖‖c1(φ, τ)− c1(φ̄, τ)‖dτ. Очевидно, що I1 1 ≤ S3‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , де S3 = 4C0 γ ( 2 γ − αν ν+1 K3(2P 0(p0)ν) 1 ν+1 ) 1 2 ( 1 + 2KB0 γ ) . Знайдемо аналогiчну оцiнку для iнтеграла I1 2 . Виконуються нерiвностi ‖u0(φ, τ + ∆)− u0(φ̄, τ + ∆)‖ ≤ sup i∈N Γ0‖φτ+∆i(φ)− φτ+∆i(φ̄)‖ ν 2(ν+1) ≤ ≤ Γ0 { exp{α(\|τ \|+ ∆∗)}‖φ− φ̄‖ } ν 2(ν+1) ≤ ≤ S4 exp { αν 2(ν + 1) \|τ \| } ‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , де S4 = Γ0 exp{α∆∗}. Крiм того, справджуються оцiнки ‖B(φ, τ)−B(φ̄, τ)‖ ≤ β sup i∈N sup j∈N { \|φjτ+Γij (φ)− φjτ+Γij (φ̄)\| } ≤ ≤ β sup i∈N sup j∈N exp{α\|τ + Γij \|}‖φ− φ̄‖ ≤ β exp{α\|τ \|} exp{αΓ∗}‖φ− φ̄‖, з яких випливає нерiвнiсть ‖B(φ, τ)−B(φ̄, τ)‖ ≤ S5 exp { αν 2(ν + 1) \|τ \| } ‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , де S5 = { 2B0 [ 2B0(β exp{αΓ∗})ν ] 1 ν+1 } 1 2 . Нарештi одержуємо оцiнки ‖c1(φ, τ)− c1(φ̄, τ)‖ ≤ ‖c(φ, τ)− c(φ̄, τ)‖+ + ‖B(φ, τ)‖‖u0(φ, τ + ∆)− u0(φ̄, τ + ∆)‖+ + ‖B(φ, τ)−B(φ̄, τ)‖‖u0(φ̄, τ + ∆)‖ ≤ ≤ { Kν +B0S4 + 2KC0S5 γ } exp { αν 2(ν + 1) \|τ \| } ‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 ПРО IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 355 звiдки випливає I1 2 ≤ S6‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , де S6 = K { Kν +B0S4 + 2KC0S5 γ } 2 γ − αν 2(ν+1) . Остаточно маємо оцiнку ‖u1(φ)− u1(φ̄)‖ ≤ (S3 + S6)‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , що завершує доведення леми 3. Iндуктивна лема 4. Припустимо, що виконуються умови леми 3. Тодi для будь-якого k ∈ N ⋃ {0} рiвняння dx(t) dt = P (φt(φ))x(t) +B(φ, t)uk(φ, t+ ∆) + c(φ, t) визначає у просторi M iнварiантний тор T k+1, породжений функцiєю x = uk+1(φ) = ∞∫ −∞ G0(τ, φ)ck+1(φ, τ)dτ, де ck+1(φ, τ) = B(φ, τ)uk(φ, τ + ∆) + c(φ, τ), функцiя uk(φ) задовольняє умову Гельдера ‖uk(φ)− uk(φ̄)‖ ≤ Γk‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , {φ, φ̄} ⊂ T∞, а функцiя u0(φ) породжує iнварiантний тор T 0 рiвняння (6). Доведення. Цю лему доведено вище для k ∈ {0, 1}. Далi використаємо метод повної математичної iндукцiї, тобто припустимо, що вказане твердження виконується при всiх натуральних k ≤ n, i доведемо, що воно справджується при k = n + 1. Очевидно, для цього достатньо показати, що функцiя un+1(φ) задовольняє умову Гельдера вiдносно φ на T∞. Неважко перевiрити, що при всiх натуральних k ≤ n+ 1 мають мiсце нерiвностi ‖ck(φ, τ)‖ ≤ C0 k∑ i=1 ( 2KB0 γ )i + C0 = C0 ( 2KB0 γ )k+1 − 1 2KB0 γ − 1 df= Ck, (15) ‖uk(φ)‖ ≤ 2KC0 γ k∑ i=0 ( 2KB0 γ )i = 2KC0 γ ( 2KB0 γ )k+1 − 1 2KB0 γ − 1 df= Uk. (16) Для всiх {φ, φ̄} ⊂ T∞ справджується оцiнка ‖un+1(φ)− un+1(φ̄)‖ ≤ In+1 1 + In+1 2 , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 356 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК де In+1 1 = ∞∫ −∞ ‖G0(τ, φ)−G0(τ, φ̄)‖‖cn+1(φ, τ)‖dτ, In+1 2 = ∞∫ −∞ ‖G0(τ, φ̄)‖‖cn+1(φ, τ)− cn+1(φ̄, τ)‖dτ. Врахувавши (15), запишемо нерiвнiсть In+1 1 ≤ Sn+1 3 ‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , де Sn+1 3 = 4 γ ( 2 γ − αν ν+1 K3(2P 0(p0)ν) 1 ν+1 ) 1 2 Cn+1. Оцiнимо тепер iнтеграл In+1 2 . Запишемо нерiвностi ‖un(φ, τ + ∆)− un(φ̄, τ + ∆)‖ ≤ sup i∈N Γn‖φt+∆i(φ)− φt+∆i(φ̄)‖ ν 2(ν+1) ≤ ≤ Γn { exp{α(\|τ \|+ ∆∗)}‖φ− φ̄‖ } ν 2(ν+1) , звiдки ‖un(φ, τ + ∆)− un(φ̄, τ + ∆)‖ ≤ Sn 4 exp { αν 2(ν + 1) \|τ \| } ‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , де Sn 4 = Γn exp{α∆∗}. Крiм того, враховуючи (16), маємо ‖cn+1(φ, τ)− cn+1(φ̄, τ)‖ ≤ ‖c(φ, τ)− c(φ̄, τ)‖+ + ‖B(φ, τ)‖‖un(φ, τ + ∆)− un(φ̄, τ + ∆)‖+ + ‖B(φ, τ)−B(φ̄, τ)‖‖un(φ̄, τ + ∆)‖ ≤ ≤ { Kν +B0Sn 4 + UnS5 } exp { αν 2(ν + 1) \|τ \| } ‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , звiдки випливає In+1 2 ≤ Sn+1 6 ‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , де Sn+1 6 = K { Kν +B0Sn 4 + UnS5 } 2 γ − αν 2(ν+1) . Остаточно маємо оцiнку ‖un+1(φ)− un+1(φ̄)‖ ≤ (Sn+1 3 + Sn+1 6 )‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , (17) що й завершує доведення леми 4. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 ПРО IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 357 Наступне твердження надає достатнi умови iснування iнварiантного тора рiвняння (9). Теорема 1. Нехай виконуються умови леми 3 та справджується нерiвнiсть 2KB0 < < γ. Тодi послiдовнiсть {uk(φ)}∞k=1 рiвномiрно вiдносно φ ∈ T∞ збiгається за нормою простору M до неперервної на T∞ функцiї u(φ) : T∞ → M, що визначає iнварiантний тор T рiвняння (9). При додатковiй умовi γ > 2KB0 exp{α∆∗} ця функцiя задовольняє умову Гельдера, тобто для {φ, φ̄} ⊂ T∞ ‖u(φ)− u(φ̄)‖ ≤ U‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , U = const > 0, (18) де ν — довiльне число, що задовольняє нерiвнiсть γ − αν ν + 1 > 2KB0 exp{α∆∗}. Доведення. Перевiряючи оцiнку (16) для випадку k = n + 2, переконуємося в її пра- вильностi для будь-якого k ∈ N, причому при 2KB0 < γ iз спiввiдношень (15) та (16) випливає, що Ck ≤ C0γ γ − 2KB0 , Uk ≤ 2KC0 γ − 2KB0 рiвномiрно вiдносно k ∈ N . З нерiвностей ‖ck+1(φ, τ)− ck(φ, τ)‖ ≤ ‖B(φ, τ)uk(φ, τ + ∆) + c(φ, τ)−B(φ, τ)uk−1(φ, τ + ∆)− c(φ, τ)‖ ≤ ≤ B0‖uk(φ, τ + ∆)− uk−1(φ, τ + ∆)‖, ‖uk+1(φ)− uk(φ)‖ ≤ ∞∫ −∞ ‖G0(τ, φ)‖‖ck+1(φ, τ)− ck(φ, τ)‖dτ, поклавши ‖uk+1(φ)− uk(φ)‖0 = sup φ∈T∞ ‖uk+1(φ)− uk(φ)‖, неважко одержати iндуктивну оцiнку ‖uk+1(φ)− uk(φ)‖0 ≤ 2KB0 γ ‖uk(φ)− uk−1(φ)‖0, що приводить до нерiвностi ‖uk+1(φ)− uk(φ)‖0 ≤ ( 2KB0 γ )k ‖u1(φ)− u0(φ)‖0. Враховуючи (16), одержуємо оцiнку ‖uk+1(φ)− uk(φ)‖0 ≤ ( 2KB0 γ )k (U1 + U0), ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 358 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК з якої при 2KB0 < γ випливає фундаментальнiсть послiдовностi {uk(φ)}∞k=1 у повному метричному просторi M. Отже, ця послiдовнiсть рiвномiрно вiдносно φ ∈ T∞ збiгається за нормою простору M до неперервної на T∞ функцiї u(φ) : T∞ → M. Залишається показати, що ця функцiя визначає iнварiантний тор рiвняння (9). При всiх k = 0, 1, 2, . . . справджуються тотожностi duk+1(φt(φ)) dt = P (φt(φ))uk+1(φt(φ)) +B(φ, t)uk(φ, t+ ∆) + c(φ, t), (19) тобто у покоординатному виглядi одержуємо рiвностi duk+1 s (φt(φ)) dt = ∞∑ j=1 psj(ϕt(ϕ))uk+1 j (ϕt(ϕ)) + ∞∑ j=1 bsj(φ, t)uk j (φ, t+ ∆) + cs(φ, t), де s = 1, 2, . . . , ϕ ∈ T∞. Очевидно, що для будь-якого s ∈ N ряди ∞∑ j=1 { psj(ϕt(ϕ))uk+1 j (ϕt(ϕ)) + bsj(φ, t)uk j (φ, t+ ∆) } , k = 0, 1, 2, . . . , збiгаються рiвномiрно вiдносно k та t ∈ R1, оскiльки вони мажоруються збiжним число- вим рядом ∞∑ j=1 2KC0 γ − 2KB0 { sup φ∈T∞ \|psj \|+ sup y∈T∞∞ \|bsj(y)\| } . У цьому випадку ∞∑ j=1 { psj(ϕt(ϕ))uk+1 j (ϕt(ϕ)) + bsj(φ, t)uk j (φ, t+ ∆) } → → ∞∑ j=1 {psj(ϕt(ϕ))uj(ϕt(ϕ)) + bsj(φ, t)uj(φ, t+ ∆)} , s = 1, 2, . . . , при k → ∞ рiвномiрно вiдносно t ∈ R1. Це дає можливiсть у рiвностi (19) перейти у покоординатному сенсi до границi при k → ∞ i одержати тотожнiсть (10). При додатко- вiй умовi теореми Γk ≤ U ∀k ∈ N i для доведення нерiвностi (18) достатньо перейти до границi при n → ∞ у нерiвностi (17). Зауваження 1. Виберемо будь-яку функцiю ρ(φ) = (ρ1(φ), ρ2(φ), . . . ), що задовольняє наступнi умови: 1) є 2π-перiодичною вiдносно φi для будь-якого i ∈ N ; ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 ПРО IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 359 2) на торi T∞ задовольняє умову Гельдера з показником ν 2(ν + 1) , де ν вибрано так, як вказано ранiше, i ‖ρ(φ)‖ ≤ 2KC0 γ . Очевидно, такi функцiї iснують (наприклад, цi властивостi має кожна з функцiй uk(φ), k ∈ N ⋃ {0}. Поклавши у рiвняння (11) замiсть u0(φ, t+ ∆) функцiю ρ(φ, t+ ∆), неважко переконатися, що iндуктивна лема 4 i теорема 1 залишаються правильними, до того ж функцiя u(φ) : T∞ → M, що визначає iнварiантний тор T рiвняння (9), при цьому не змiнюється. 4. Iснування iнварiантного тора квазiлiнiйної системи. Тепер запишемо рiвняння dx(t) dt = P (φt(φ))x(t) +B(φ, t)x(t+ ∆) + f(v(φ, t), x(t), x(t+ Θ)), (20) де функцiя f(v, x, χ) = {f1(v, x, χ), f2(v, x, χ), . . .} вiдображує множинуD∗ = D0×D×D у простiр M, {x, χ} ⊂ D, v ∈ D0, D = {x ∈ M\|‖x‖ ≤ d = const > 0}, D0 = {x ∈ M\|‖x‖ ≤ ≤ V 0 = const > 0}; функцiя v = v(φ, t) = (v1(ψ1(φ, t), ψ2(φ, t), . . .), v2(ψ1(φ, t), ψ2(φ, t), . . .), . . .) здiйснює вiдображення T ∞∞ → M, тобто vi(ψ1(φ, t), ψ2(φ, t), . . .) : T ∞∞ 7→ R1 ∀i ∈ N ; точ- ки ψi(φ, t) = (φ1t+Θi1 (φ), φ2t+Θi2 (φ), . . .) ∀t ∈ R1 належать тору T∞, Θij та Θi — довiльнi дiйснi числа, φ ∈ T∞, {i, j} ⊂ N ; x(t+ Θ) = (x1(t+ Θ1), x2(t+ Θ2), . . .). Наступнi умови назвемо умовами (F): 1) функцiї vi(ψ1, ψ2, . . .) є 2π-перiодичними вiдносно кожної координати вектора ψj для будь-яких натуральних i та j; 2) для будь-яких {ψ, ψ̄} ⊂ T ∞∞ справджуються нерiвностi ‖v(ψ) − v(ψ̄)‖ ≤ ζ‖ψ − ψ̄‖, ‖v(ψ)‖ ≤ V 0, де ζ = const > 0; 3) функцiя f(v, x, χ) задовольняє умову Лiпшиця за сукупнiстю змiнних v, x, χ на D∗ i обмежена на цiй множинi, тобто ‖f(v, x, χ)− f(v̄, x̄, χ̄)‖ ≤ ξ1‖v − v̄‖+ ξ2‖x− x̄‖+ ξ3‖χ− χ̄‖, ‖f(v, x, χ)‖ = sup i∈N \|fi(v, x, χ)\| ≤ F 0 ∀ {(v, x, χ), (v̄, x̄, χ̄)} ⊂ D∗, де F 0, ξ1, ξ2, ξ3 — додатнi сталi. Поняття iнварiантного тора T ∗ для рiвняння (20) вводиться аналогiчно до наведеного ранiше означення множини T 0 для рiвняння (6), лише спiввiдношення (7) у ньому слiд замiнити рiвнiстю du∗(φt(φ)) dt = P (φt(φ))u∗(φt(φ))+ +B(φ, t)u∗(φ, t+ ∆) + f(v(φ, t), u∗(φt(φ)), u∗(φ, t+ Θ)), (21) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 360 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК де u∗(φ) — функцiя, що породжує iнварiантний тор T ∗, u∗(φ, t+ Θ) = (u∗1(φt+Θ1(φ)), u∗2(φt+Θ2(φ)), . . .). Сукупнiсть наступних умов назвемо умовами (V) : 1) функцiя a(φ) ∈ C0 Lip(T∞), матриця P (φ) ∈ Cφ(T∞) i є лiпшiцевою вiдносно φ з коефiцiєнтом p0, для рiвняння (4) iснує ФГС Gt(τ, φ), яка задовольняє нерiвнiсть (5), i воно не має обмежених на всiй осi розв’язкiв, крiм тривiального; 2) справджуються умови (B) та (F), до того ж матриця B(y) є лiпшицевою вiдносно y ∈ T ∞∞ з коефiцiєнтом β; 3) множини вiдхилень Γij , ∆i, Θij та Θi аргументу t обмеженi, тобто \|Γij \| ≤ Γ∗, \|∆i\| ≤ ≤ ∆∗, \|Θij \| ≤ Θ∗ та \|Θi\| ≤ Θ∗ ∀{i, j} ⊂ N, де Γ∗, ∆∗, Θ∗, Θ∗ — додатнi сталi; 4) виконується нерiвнiсть 2KB0 < γ. Сформулюємо наступне твердження. Лема 5. Нехай виконуються умови (V). Тодi лiнеаризоване рiвняння dx(t) dt = P (φt(φ))x(t) +B(φ, t)x(t+ ∆) + f(v(φ, t), 0, 0), 0 ∈ M, (22) визначає у просторi M iнварiантний тор T 0 ∗ , породжуюча функцiя якого ũ(φ) : T∞ → → M неперервна на торi T∞, причому ‖ũ(φ)‖ ≤ 2KF 0 γ − 2KB0 df= U0. (23) Доведення леми очевидне, оскiльки рiвняння (22) має вигляд рiвняння (9) i при умовах (V) для нього виконуються всi умови теореми 1. Припустимо тепер, що U0 ≤ d, i покладемо u0 ∗(φ) = ũ(φ), якщо ця функцiя задоволь- няє умову Гельдера з показником ν 2(ν + 1) . У протилежному випадку покладемо u0 ∗(φ) = = ρ(φ), де ρ(φ) — довiльна функцiя, що має властивостi, вказанi у зауваженнi 1, до того ж ‖ρ(φ)‖ ≤ U0. У цьому випадку при всiх {φ, φ̄} ⊂ T∞ ‖u0 ∗(φ)− u0 ∗(φ̄)‖ ≤ U0 ∗ ‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , U0 ∗ = const > 0, i має сенс рiвняння dx(t) dt = P (φt(φ))x(t) +B(φ, t)u0 ∗(φ, t+ ∆) + f(v(φ, t), u0 ∗(φt(φ)), u0 ∗(φ, t+ Θ)). (24) Переконаємося, що функцiя x = u1 ∗(φ) = ∞∫ −∞ G0(τ, φ)f1(φ, τ)dτ, (25) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 ПРО IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 361 де f1(φ, τ) = B(φ, τ)u0 ∗(φ, τ + ∆) + f(v(φ, τ), u0 ∗(φτ (φ)), u0 ∗(φ, τ + Θ)), визначає у просторi M iнварiантний тор T 1 ∗ рiвняння (24). Врахувавши нерiвнiсть (23), 2π-перiодичнiсть функцiй f1 i (φ, τ) вiдносно φj ∀{i, j} ⊂ N, рiвнiсть f1(φt(φ), τ) = f1(φ, τ + t), очевидну оцiнку ‖f1(φ, τ)‖ ≤ B0 2KF 0 γ − 2KB0 + F 0 i доведення леми 2, неважко зрозумiти, що невласний iнтеграл у рiвностi (25) збiгається рiвномiрно вiдносно φ ∈ T∞ у покоординатному сенсi i породжує iнварiантний тор T 1 ∗ рiв- няння (24), якщо функцiї f1 i (φ, τ) неперервнi по τ на R1 при всiх i ∈ N. Остання вимога дiйсно виконується, оскiльки функцiя f(v, x, χ) неперервна на множинi D∗ за сукупнiстю змiнних, що випливає з третьої умови (F),функцiї u0 ∗(φτ (φ)) та u0 ∗(φ, τ+Θ) неперервнi вiд- носно τ ∈ R1 за нормою простору M, оскiльки неперервною на торi T∞ є функцiя u0 ∗(φ), i, нарештi, функцiя v(φ, τ) неперервна по τ ∈ R1 у сенсi норми простору T ∞∞ , оскiльки iз спiввiдношень ‖vi(φ, τ1)− vi(φ, τ2)‖ ≤ ζ sup j∈N {\|φjτ1+Θij (φ)− φjτ2+Θij (φ)\|} ≤ A\|τ1 − τ2\|, якi справджуються при всiх i ∈ N, {τ1, τ2} ⊂ R1, випливає рiвностепенева неперервнiсть вiдносно τ на R1 послiдовностi функцiй {vi(φ, τ)}∞i=1. Бiльш того, очевидно, що функцiя f(φ, τ) неперервна вiдносно τ i в сенсi норми простору M. При цьому має мiсце нерiвнiсть ‖u1 ∗(φ)‖ ≤ 2KB0 γ U0 + 2KF 0 γ = U0. Покажемо тепер, що функцiя u1 ∗(φ) задовольняє умову Гельдера по φ. З рiвностi (25) для всiх {φ, φ̄} ⊂ T∞ випливає аналог нерiвностi (13): ‖u1 ∗(φ)− u1 ∗(φ̄)‖ ≤ I1 ∗ + I2 ∗ , де I1 ∗ = ∞∫ −∞ ‖G0(τ, φ)−G0(τ, φ̄)‖ ‖f1(φ, τ)‖dτ, I2 ∗ = ∞∫ −∞ ‖G0(τ, φ̄)‖ ‖f1(φ, τ)− f1(φ̄, τ)‖dτ. Повторюючи хiд доведення леми 2, одержуємо I1 ∗ ≤ S∗1‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , де S∗1 = 4(B0U0 + F 0) γ ( 2 γ − αν ν+1 K3(2P 0(p0)ν) 1 ν+1 ) 1 2 . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 362 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК Знайдемо аналогiчну оцiнку для iнтеграла I2 ∗ . Враховуючи нерiвностi ‖B(φ, τ)−B(φ̄, τ)‖‖u0 ∗(φ, τ + ∆)‖ ≤ U0S5 exp { αν 2(ν + 1) \|τ \| } ‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , ‖B(φ̄, τ)‖‖u0 ∗(φ, τ + ∆)− u0 ∗(φ̄, τ + ∆)‖ ≤ ≤ B0U0 ∗ exp{α∆∗} exp { αν 2(ν + 1) \|τ \| } ‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , ‖u0 ∗(φτ (φ))− u0 ∗(φτ (φ̄))‖ ≤ U0 ∗ exp { αν 2(ν + 1) \|τ \| } ‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , ‖u0 ∗(φ, τ + Θ)− u0 ∗(φ̄, τ + Θ)‖ ≤ U0 ∗ exp{αΘ∗} exp { αν 2(ν + 1) \|τ \| } ‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , ‖v(φ, τ)− v(φ̄, τ)‖ ≤ { 2V 0 { 2V 0ζν } 1 ν+1 } 1 2 exp{αΘ∗} exp { αν 2(ν + 1) \|τ \| } ‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , одержуємо такi оцiнки: ‖f1(φ, τ)− f1(φ̄, τ)‖ ≤ ‖B(φ, τ)−B(φ̄, τ)‖‖u0 ∗(φ, τ + ∆)‖+ + ‖B(φ̄, τ)‖‖u0 ∗(φ, τ + ∆)− u0 ∗(φ̄, τ + ∆)‖+ ξ1‖v(φ, τ)− v(φ̄, τ)‖+ + ξ2‖u0 ∗(φτ (φ))− u0 ∗(φτ (φ̄))‖+ ξ3‖u0 ∗(φ, τ + Θ)− u0 ∗(φ̄, τ + Θ)‖ ≤ ≤ F ∗ exp { αν 2(ν + 1) \|τ \| } ‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , де F ∗ = U0S5 +B0U0 ∗ exp{α∆∗}+ ξ1 { 2V 0 { 2V 0ζν } 1 ν+1 } 1 2 exp{αΘ∗}+ ξ2U 0 ∗+ + ξ3U 0 ∗ exp{αΘ∗} = const > 0. Тодi I2 ∗ ≤ S2 ∗‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , S2 ∗ = 2KF ∗ γ − αν 2(ν+1) = const > 0 i ‖u1 ∗(φ)− u1 ∗(φ̄)‖ ≤ U1 ∗ ‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 ПРО IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 363 де U1 ∗ = S1 ∗ + S2 ∗ , тобто функцiя u1 ∗(φ) задовольняє умову Гельдера по φ. Оскiльки ‖u1 ∗(φ)‖ ≤ U0 ≤ d, то має сенс рiвняння dx(t) dt = P (φt(φ))x(t) +B(φ, t)u1 ∗(φ, t+ ∆) + f(v(φ, t), u1 ∗(φt(φ)), u1 ∗(φ, t+ Θ)), (26) аналогiчне до рiвняння (24). Повторивши попереднi мiркування, приходимо до висновку, що функцiя x = u2 ∗(φ) = ∞∫ −∞ G0(τ, φ)f2(φ, τ)dτ, де f2(φ, τ) = B(φ, τ)u1 ∗(φ, τ + ∆) + f(v(φ, τ), u1 ∗(φτ (φ)), u1 ∗(φ, τ + Θ)), визначає у просторi M iнварiантний тор T 2 ∗ рiвняння (26), до того ж для будь-яких {φ, φ̄} ⊂ T∞ ‖u2 ∗(φ)− u2 ∗(φ̄)‖ ≤ U2 ∗ ‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , де U2 ∗ = const > 0, ‖u2 ∗(φ)‖ ≤ U0 ≤ d. Простi iндуктивнi мiркування показують, що цей рекурентний процес можна продов- жити нескiнченно, що дає можливiсть сформулювати наступне твердження. Iндуктивна лема 6. Нехай виконуються умови (V) i 2KF 0 γ − 2KB0 ≤ d. Тодi для будь- якого k ∈ N ⋃ {0} рекурентне рiвняння dx(t) dt = P (φt(φ))x(t) +B(φ, t)uk ∗(φ, t+ ∆) + f(v(φ, t), uk ∗(φt(φ)), uk ∗(φ, t+ Θ)) визначає у просторi M iнварiантний тор T k+1 ∗ , породжений функцiєю x = uk+1 ∗ (φ) = ∞∫ −∞ G0(τ, φ)fk+1(φ, τ)dτ, де fk+1(φ, τ) = B(φ, τ)uk ∗(φ, τ + ∆) + f(v(φ, τ), uk ∗(φτ (φ)), uk ∗(φ, τ + Θ)), функцiя uk ∗(φ) за- довольняє умову Гельдера ‖uk ∗(φ)− uk ∗(φ̄)‖ ≤ Uk ∗ ‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) ∀{φ, φ̄} ⊂ T∞ (27) i обмежена на торi T∞ сталою d, тобто ‖uk ∗(φ)‖ ≤ d i Uk ∗ = const > 0. Наступне твердження визначає достатнi умови збiжностi послiдовностi {uk ∗(φ)}∞k=1 до функцiї u∗(φ), що визначає iнварiантний тор T∗ рiвняння (20). Теорема 2. Припустимо, що виконуються умови (V), четверту з яких замiнено не- рiвнiстю 2K(B0 + ξ2 + ξ3) < γ, i 2KF 0 γ − 2KB0 ≤ d. Тодi послiдовнiсть {uk ∗(φ)}∞k=1 рiв- номiрно вiдносно φ ∈ T∞ збiгається за нормою простору M до неперервної функцiї u∗(φ) : T∞ → M, що визначає iнварiантний тор T∗ рiвняння (20). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 364 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК Якщо множина чисел Uk ∗ (k ∈ N) обмежена, то ця функцiя задовольняє умову Гель- дера по φ, тобто для будь-яких {φ, φ̄} ⊂ T∞ ‖u∗(φ)− u∗(φ̄)‖ ≤ U∗‖φ− φ̄‖ ν 2(ν+1) , U∗ = const > 0. (28) Доведення проведемо аналогiчно до доведення теореми 1. З нерiвностей ‖fk+1(φ, τ)− fk(φ, τ)‖ ≤ B0‖uk ∗(φ, τ + ∆)− uk−1 ∗ (φ, τ + ∆)‖+ + ξ2‖uk ∗(φτ (φ))− uk−1 ∗ (φτ (φ))‖+ ξ3‖uk ∗(φ, τ + Θ)− uk−1 ∗ (φ, τ + Θ)‖, ‖uk+1 ∗ (φ)− uk ∗(φ)‖ ≤ ∞∫ −∞ ‖G0(τ, φ)‖‖fk+1(φ, τ)− fk(φ, τ)‖dτ, поклавши ‖uk+1 ∗ (φ)− uk ∗(φ)‖0 = sup φ∈T∞ ‖uk+1 ∗ (φ)− uk ∗(φ)‖, неважко одержати iндуктивну оцiнку ‖uk+1 ∗ (φ)− uk ∗(φ)‖0 ≤ 2K(B0 + ξ2 + ξ3) γ ‖uk ∗(φ)− uk−1 ∗ (φ)‖0, що приводить до нерiвностi ‖uk+1 ∗ (φ)− uk ∗(φ)‖0 ≤ ( 2K(B0 + ξ2 + ξ3) γ )k ‖u1 ∗(φ)− u0 ∗(φ)‖0. Нарештi одержуємо оцiнку ‖uk+1 ∗ (φ)− uk ∗(φ)‖0 ≤ ( 2K(B0 + ξ2 + ξ3) γ )k 2d, з якої при 2K(B0 + ξ2 + ξ3) < γ випливає фундаментальнiсть послiдовностi {uk ∗(φ)}∞k=1 у повному метричному просторi M. Отже, ця послiдовнiсть рiвномiрно вiдносно φ ∈ T∞ збiгається за нормою простору M до неперервної на T∞ функцiї u∗(φ) : T∞ → M. Залишилося показати, що ця функцiя визначає iнварiантний тор рiвняння (20). При всiх k = 0, 1, 2, . . . справджуються тотожностi duk+1 ∗ (φt(φ)) dt = P (φt(φ))uk+1 ∗ (φt(φ)) +B(φ, t)uk ∗(φ, t+ ∆)+ + f(v(φ, t), uk ∗(φt(φ)), uk ∗(φ, t+ Θ)), (29) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 ПРО IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 365 тобто у покоординатному виглядi одержуємо рiвностi duk+1 ∗s (φt(φ)) dt = ∞∑ j=1 psj(φt(φ))uk+1 ∗j (φt(φ))+ + ∞∑ j=1 bsj(φ, t)uk ∗j(φ, τ + ∆) + fs(v(φ, t), uk ∗(φt(φ)), uk ∗(φ, t+ Θ)), де s = 1, 2, . . . , φ ∈ T∞. Очевидно, що для будь-якого s ∈ N ряди ∞∑ j=1 { psj(φt(φ))uk+1 ∗j (φt(φ)) + bsj(φ, t)uk ∗j(φ, t+ ∆) } , k = 0, 1, 2, . . . , збiгаються рiвномiрно вiдносно k та t ∈ R1, оскiльки вони мажоруються збiжним число- вим рядом ∞∑ j=1 d { sup φ∈T∞ \|psj(φ)\|+ sup y∈T∞∞ \|bsj(y)\| } . Неважко також переконатися в тому, що lim k→∞ f(v(φ, t), uk ∗(φt(φ)), uk ∗(φ, t+ Θ)) = f(v(φ, t), u∗(φt(φ)), u∗(φ, t+ Θ)) у сенсi норми простору M. Це дає можливiсть у рiвностi (29) перейти у покоординатному сенсi до границi при k → ∞ i одержати тотожнiсть (21). При умовi, що Uk ∗ ≤ U∗ ∀k ∈ N, для доведення нерiвностi (28) достатньо перейти до границi при k → ∞ у нерiвностi (27). Теорему доведено. Зауваження 2. Неоднозначнiсть вибору функцiї u0 ∗(φ) при побудовi iтерацiйного про- цесу в останньому пунктi не приводить до змiни функцiї u∗(φ) : T∞ → M, що визначає iнварiантний тор T∗ рiвняння (20). Зауваження 3. Лiпшицевiсть на торi T∞ функцiй uk(φ) та uk ∗(φ) при будь-якому k ∈ ∈ N ⋃ {0} з наведених вище тверджень не випливає. Щоб ця властивiсть мала мiсце, до- статньо до умов леми 2 та умов (V) додати нерiвнiсть γ > α i функцiю ρ(φ) у зауваженнi 1 вважати лiпшицевою на цьому торi. Це саме стосується вибору функцiї u0 ∗(φ).Пiсля цього формулювання наведених вище лем i теорем та їх доведення слiд адаптувати до вказаних змiн. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 366 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК Приклад. Розглянемо систему рiвнянь вигляду (9): dφi dt = trig (φi + φi+1), (30) dxi dt = −xi + ∞∑ j=1 1 2 j+2 trig ( φsij t+cij (φ) ) xj(t+ ∆j)+ + trig ( φsi t+ais (φ) + φki t+aik (φ) ) , i = 1, 2, 3, . . . , де символом trig позначено функцiї синус або косинус, sij , si, ki — довiльнi натуральнi числа, серед яких може бути скiльки завгодно однакових, cij , ais, aik, ∆j — довiльнi дiйснi числа з обмеженого вiдрiзка числової осi, серед яких також може бути скiльки завгодно однакових. Очевидно, що перше рiвняння цiєї системи задовольняє умови (A), матриця P (φ) для неї є сталою дiагональною матрицею, до того ж diagP (φ) = {−1,−1,−1, . . .} i ‖P (φ)‖ = P 0 = 1. При цьому матриця Ω0 τ для системи рiвнянь dxi dt = −xi, i = 1, 2, 3, . . . , теж є дiагональною матрицею, причому diag Ω0 τ = {exp{τ}, exp{τ}, exp{τ}, . . .} i при τ ≤ ≤ 0 ‖Ω0 τ‖ = exp{−1\|τ \|}. Це означає, що остання система не має жодного обмеженого на всiй осi розв’язку, крiм нульового, i для неї iснує ФГС G0(τ, φ) = { Ω0 τ (φ) при τ ≤ 0, 0 при τ > 0, для якої коефiцiєнти K = 1, γ = 1. Неважко переконатися, що матриця B(φ, t) та функцiя c(φ, t), якi вiдповiдають системi (30), задовольняють умови теореми 1, причому ‖B(φ, t)‖ ≤ B0 = 1 4 , тобто виконується нерiвнiсть 2KB0 < γ. Таким чином, у просторi M система рiвнянь (30) визначає неперервний iнварiантний тор. На завершення зазначимо, що одержанi результати є новими i для випадку, коли рiв- няння (9) та (20) розглядаються у скiнченновимiрному просторi i визначенi на скiнченно- вимiрних торах. 1. Самойленко А. М. К теории возмущения инвариантных многообразий динамических систем // Тр. V Междунар. конф. по нелинейным колебаниям. Т. I. Аналитические методы. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1970. — С. 495 – 499. 2. Самойленко А. М. К вопросу о сохранении инвариантного тора при возмущении // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1970. — 34, № 6. — С. 1219 – 1240. 3. Самойленко А. М., Теплинский Ю. В. Счетные системы дифференциальных уравнений. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1993. — 308 с. 4. Самойленко А. М., Теплинский Ю. В. Об инвариантных торах дифференциальных систем с импульса- ми в пространствах ограниченных числовых последовательностей // Дифференц. уравнения. — 1985. — 21, № 8. — С. 1353 – 1361. 5. Самойленко А. М., Теплинский Ю. В. О гладкости инвариантного тора счетного линейного расшире- ния динамической системы на m-мерном торе // Там же. — 1994. — 30, № 5. — С. 781 – 790. 6. Samoilenko A. M., Teplinskiy Yu. V. Countable systems of differential equations.— Utrecht; Boston: VSP, 2003. — 287 p. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 ПРО IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 367 7. Ельназаров А. А. Деякi питання теорiї злiченних систем та асимптотичних методiв: Автореф. дис. ... канд. фiз.-мат. наук. — Київ, 1998. — 16 с. 8. Жанбусинова Б. Х. Квазипериодические решения счетных систем дифференциально-разностных урав- нений: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. — Киев, 1991. — 12 с. 9. Мартинюк Д. I., Верьовкiна Г. В. Iнварiантнi множини злiченних систем рiзницевих рiвнянь // Вiсн. Київ. ун-ту. Сер. фiз.-мат. наук. — 1997. — Вип. 1. — С. 117 – 127. 10. Мартынюк Д. И., Кравец В. И., Жанбусинова Б. Х. Об инвариантном торе счетной системы диффе- ренциальных уравнений с запаздыванием // Асимптотические методы в задачах математической фи- зики. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1989. — С. 77 – 86. 11. Самойленко А. М., Теплинский Ю. В. Инвариантные торы линейных счетных систем дискретных урав- нений, заданных на бесконечномерном торе // Укр. мат. журн. — 1998. — 50, № 2. — С. 244 – 251. 12. Теплiнський Ю. В., Марчук Н. А. Про Cρ-гладкiсть iнварiантного тора зчисленної системи рiзницевих рiвнянь, визначеної на m-вимiрному торi // Нелiнiйнi коливання. — 2002. — 5, № 2. — С. 251 – 265. 13. Теплiнський Ю. В., Марчук Н. А. Про диференцiйовнiсть в сенсi Фреше iнварiантних торiв зчисленних систем рiзницевих рiвнянь, визначених на нескiнченновимiрних торах // Укр. мат. журн. — 2003. — 55, № 1. — С. 75 – 90. 14. Самойленко А. М., Теплiнський Ю. В., Семенишина I. В. Про iснування гладкого обмеженого напiвiн- варiантного многовиду виродженої нелiнiйної системи рiзницевих рiвнянь у просторi m // Нелiнiйнi коливання. — 2003. — 6, № 3. — С. 378 – 400. 15. Самойленко А. М., Теплiнський Ю. В. Елементи математичної теорiї еволюцiйних рiвнянь у банахових просторах. — Київ: Iн-т математики НАН України, 2008. — 496 с. Одержано 18.10.08 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3

Про існування інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах

Репозитарії

Схожі ресурси