Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні

Исследуется поведение при t → ∞ математического ожидания полной энергии гармонического осциллятора без трения при внешнем импульсном пуассоновском возмущении.

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2009
Hauptverfasser: Кулiнiч, Г.Л., Куровський, Д.Ю., Петрусенко, Д.В.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут математики НАН України 2009
Schriftenreihe:Нелінійні коливання
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178413
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні / Г.Л. Кулiнiч, Д.Ю. Куровський, Д.В. Петрусенко // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 3. — С. 299-306. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-178413
record_format dspace
spelling irk-123456789-1784132021-02-20T01:25:56Z Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні Кулiнiч, Г.Л. Куровський, Д.Ю. Петрусенко, Д.В. Исследуется поведение при t → ∞ математического ожидания полной энергии гармонического осциллятора без трения при внешнем импульсном пуассоновском возмущении. We study the behavior, as t → ∞, of the mathematical expectation of a harmonic frictionless oscillator in the presence of an external impulsive Poissonian perturbation. 2009 Article Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні / Г.Л. Кулiнiч, Д.Ю. Куровський, Д.В. Петрусенко // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 3. — С. 299-306. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178413 519.21, 517.4 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Исследуется поведение при t → ∞ математического ожидания полной энергии гармонического осциллятора без трения при внешнем импульсном пуассоновском возмущении.
format Article
author Кулiнiч, Г.Л.
Куровський, Д.Ю.
Петрусенко, Д.В.
spellingShingle Кулiнiч, Г.Л.
Куровський, Д.Ю.
Петрусенко, Д.В.
Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні
Нелінійні коливання
author_facet Кулiнiч, Г.Л.
Куровський, Д.Ю.
Петрусенко, Д.В.
author_sort Кулiнiч, Г.Л.
title Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні
title_short Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні
title_full Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні
title_fullStr Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні
title_full_unstemmed Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні
title_sort асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2009
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178413
citation_txt Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні / Г.Л. Кулiнiч, Д.Ю. Куровський, Д.В. Петрусенко // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 3. — С. 299-306. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.
series Нелінійні коливання
work_keys_str_mv AT kuliničgl asimptotičnijanalízmatematičnogospodívannâpovnoíenergíígarmoníčnogooscilâtoraprivipadkovomuímpulʹsnomuzburenní
AT kurovsʹkijdû asimptotičnijanalízmatematičnogospodívannâpovnoíenergíígarmoníčnogooscilâtoraprivipadkovomuímpulʹsnomuzburenní
AT petrusenkodv asimptotičnijanalízmatematičnogospodívannâpovnoíenergíígarmoníčnogooscilâtoraprivipadkovomuímpulʹsnomuzburenní
first_indexed 2025-07-15T16:53:21Z
last_indexed 2025-07-15T16:53:21Z
_version_ 1837732622463139840
fulltext УДК 519.21, 517.4 АСИМПТОТИЧНИЙ АНАЛIЗ МАТЕМАТИЧНОГО СПОДIВАННЯ ПОВНОЇ ЕНЕРГIЇ ГАРМОНIЧНОГО ОСЦИЛЯТОРА ПРИ ВИПАДКОВОМУ IМПУЛЬСНОМУ ЗБУРЕННI Г. Л. Кулiнiч, Д. Ю. Куровський, Д. В. Петрусенко Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка Україна, 01033, Київ, вул. Володимирська, 64 e-mail:bks@univ.kiev.ua We study the behavior, as t → ∞, of the mathematical expectation of a harmonic frictionless oscillator in the presence of an external impulsive Poissonian perturbation. Исследуется поведение при t → ∞ математического ожидания полной энергии гармонического осциллятора без трения при внешнем импульсном пуассоновском возмущении. 1. Вступ. Пiд гармонiчним осцилятором без тертя при зовнiшньому перiодичному збу- реннi iз пуассонiвською iмпульсною амплiтудою будемо розумiти тiло маси 1, рух якого описується диференцiальним рiвнянням другого порядку ü(t) + k2u(t) = q(t), u(0) = u0, u̇(0) = u̇0, (1) де q(t) = ξ(t) cos αt — зовнiшня збурна сила, ξ(t) — пуассонiвський процес з параметром λ > 0; u0, u̇0 — початковi положення i швидкiсть осцилятора; u(t), u̇(t) — положення i швидкiсть осцилятора в момент часу t > 0; k > 0 — параметр осцилятора; ε(t) = = 1 2 [ u̇2(t) + k2u2(t) ] — повна енергiя осцилятора. Вiдомо [1], що в детермiнованих випадках: 1) ε(t) = ε(0) при всiх t > 0, якщо q(t) ≡ 0; 2) повна енергiя обмежена, якщо q(t) = = cos αt, α 6= k, i ε(t) ∼ 1 8 t2 при t → ∞ (резонанс) при α = k. Модель гармонiчного осцилятора з неперервним випадковим зовнiшнiм збуренням, в якому математичне сподiвання Eε(t) ∼ √ t при t → ∞, розглядалась у [2], Eε(t) ∼ t — у [3], Eε(t) ∼ tα, α > 1 2 , — у [4, 5], ln Eε(t) ∼ t — у [6]. Фазовий „портрет” гармонiчного осцилятора при випадковому збуреннi процесом ти- пу „бiлого шуму” вздовж вектора фазової швидкостi осцилятора дослiджувався у роботах [7, 8], пiд певним кутом до вектора фазової швидкостi — у [9], а при випадковому збуреннi процесом типу „дробового шуму” — у [10]. У данiй роботi дослiджується поведiнка при t → ∞ математичного сподiвання пов- ної енергiї гармонiчного осцилятора (1) (теореми 1, 2) i осцилятора типу (1), в якому q(t) = [ξ(t)−E ξ(t)] cos αt (теореми 3, 4). Частиннi результати в цьому напрямку наведено в роботi [11]. Зауваження. Оскiльки [12] траєкторiї пуассонiвського процесу ξ(t) з iмовiрнiстю 1 розривнi, то рiвнiсть (1) ми не можемо розглядати для всiх t > 0, якщо похiднi в рiвняннi c© Г. Л. Кулiнiч, Д. Ю. Куровський, Д. В. Петрусенко, 2009 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 299 300 Г. Л. КУЛIНIЧ, Д. Ю. КУРОВСЬКИЙ, Д. В. ПЕТРУСЕНКО розумiти як звичайнi похiднi з iмовiрнiстю 1. Тому в рiвняння (1) похiднi будемо розгля- дати як похiднi в середньоквадратичному, при цьому рiвнiсть (1) можна розглядати при всiх t > 0 i знайти явний вигляд розв’язку, аналогiчний детермiнованому випадку при неперервному зовнiшньому збуреннi. Бiльш того, у п. 3 для спрощення викладу будемо вважати, що у рiвняннi (1) u0 = 0, u̇0 = 0. 2. Допомiжнi результати. Означення. Випадковий процес η(t), t ∈ [0, T ], середньоквадратично диференцiйов- ний у точцi t0 ∈ (0, T ), якщо E |η(t)|2 < ∞ i lim ∆t→0 E ∣∣∣∣η(t0 + ∆t)− η(t0) ∆t − η̇(t0) ∣∣∣∣2 = 0. Випадкова величина η̇(t0) називається середньоквадратичною похiдною випадково- го процесу η(t) у точцi t0. Якщо iснує середньоквадратична похiдна процесу η(t) у кож- нiй точцi t ∈ (0, T ), то процес η(t) середньоквадратично диференцiйовний на iнтервалi (0, T ). Нехай ξ(t), t ≥ 0, — пуассонiвський процес з параметром λ > 0. Це означає, що ξ(t) — процес з незалежними приростами, ξ(0) = 0 i P {ξ(t + s)− ξ(t) = k} = (λs)k k! `−λs, k = 0, 1, . . . . Отже, математичне сподiвання Eξ(t) = λt, дисперсiя Dξ(t) = λt, коварiацiйна функцiя B(t, s) = Eξ(t)ξ(s) = λ2ts + λ min(t, s), кореляцiйна функцiя R(t, s) = E(ξ(t) − −Eξ(t))(ξ(s)− Eξ(s)) = λ min(t, s). Розглянемо процес η(t) = ∫ t 0 ξ(s)ds. Оскiльки траєкторiї пуассонiвського процесу ξ(t) кусково-сталi, то вони iнтегровнi, процес η(t) iснує при кожному t > 0 i має неперервнi з iмовiрнiстю 1 траєкторiї, крiм того, має мiсце наступна лема. Лема 1. Середньоквадратична похiдна η̇(t) = ξ(t) з iмовiрнiстю 1 при всiх t > 0. Доведення. Оскiльки E ∣∣∣∣∣∣ 1 ∆  t+∆t∫ 0 ξ(s)ds− t∫ 0 ξ(s)ds − ξ(t) ∣∣∣∣∣∣ 2 = 1 (∆t)2 E  t+∆t∫ t ξ(s)ds 2 − − 2 1 ∆t t+∆t∫ t Eξ(t)ξ(s)ds + Eξ2(t) = 1 (∆t)2 t+∆t∫ t t+∆t∫ t [ λ2s1s2 + λ min(s1, s2) ] ds1ds2− − 2 1 ∆t t+∆t∫ t [ λ2ts + λt ] ds + λt + (λt)2 ⇒ λ2t2 + λt− 2 [ λ2t2 + λt ] + λ2t2 + λt = 0 при ∆t → 0, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 АСИМПТОТИЧНИЙ АНАЛIЗ МАТЕМАТИЧНОГО СПОДIВАННЯ ПОВНОЇ ЕНЕРГIЇ . . . 301 то середньоквадратична похiдна η̇(t) iснує i дорiвнює ξ(t) з iмовiрнiстю 1 при кожному t > > 0. Процес η(t) неперервний з iмовiрнiстю 1. Отже, вiн сепарабельний [12]. Тому рiвнiсть η̇(t) = ξ(t) виконується для всiх t > 0 з iмовiрнiстю 1. Лема 2. Нехай функцiя g(t, s) невипадкова, частиннi похiднi g′t(t, s), g′s(t, s) неперервнi за двома аргументами в областi (t ≥ 0, s ≥ 0) i ξ(t) — пуассонiвський процес з парамет- ром λ > 0. Тодi має мiсце рiвнiсть t∫ 0 g(t, s)ξ(s)ds ′ = g(t, t)ξ(t) + t∫ 0 g′t(t, s)ξ(s)ds при всiх t > 0 з iмовiрнiстю 1, де похiдна вiд iнтеграла розглядається як похiдна в середньоквадратичному. Доведення. Для доведення використаємо зображення 1 ∆t  t+∆t∫ 0 g (t + ∆t, s) ξ(s)ds− t∫ 0 g(t, s)ξ(s)ds  = 1 ∆t t+∆t∫ t g(t + ∆t, s) ξ(s)ds+ + 1 ∆t t∫ 0 [g (t + ∆t, s)− g(t, s)] ξ(s)ds. (2) Оскiльки 1 ∆t t+∆t∫ t g(t + ∆t, s)ξ(s)ds− g (t, t) ξ(t) = 1 ∆t  t+∆t∫ t g (t + ∆t, s)− g(t, s) × × ξ(s)ds + 1 ∆t  t+∆t∫ t g (t, s)− g(t, t)  ξ(s)ds + g(t, t)  1 ∆t t+∆t∫ t ξ(s)ds− ξ(t)  , то, враховуючи лему 1, маємо збiжнiсть E ∣∣∣∣∣∣ 1 ∆t t+∆t∫ t g(t + ∆t, s)ξ(s)ds− g(t, t)ξ(t) ∣∣∣∣∣∣ 2 ≤ 3  sup t≤s1≤t+∆t t≤s≤t+∆t ∣∣g′s1 (s1, s) ∣∣2 + sup t≤s≤t+∆t ∣∣g′s(t, s)∣∣2 × × E  t+∆t∫ t ξ(s)ds 2 + 3g2(t, t)E  1 ∆t t+∆t∫ t ξ(s)ds− ξ(t) 2 → 0 при ∆t → 0. Отже, маємо збiжнiсть (l.i.m.) у середньоквадратичному l.i.m. ∆t→0 1 ∆t t+∆t∫ t g(t + ∆t, s)ξ(s)ds = g(t, t)ξ(t) (3) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 302 Г. Л. КУЛIНIЧ, Д. Ю. КУРОВСЬКИЙ, Д. В. ПЕТРУСЕНКО з iмовiрнiстю 1 при кожному t > 0. Внаслiдок того, що g′s1 (s1, s) неперервна по s1, s, в замкненiй областi t ≤ s1 ≤ t + ∆t, 0 ≤ s ≤ t, вона рiвномiрно неперервна. Тому з оцiнки E  1 ∆t t∫ 0 [g(t + ∆t, s)− g(t, s)] ξ(s)ds− t∫ 0 g′t(t, s)ξ(s)ds 2 ≤ ≤ sup t≤s1≤t+∆t 0≤s≤t ∣∣g′s1 (s1, s)− g′t(t, s) ∣∣2 E  t∫ 0 ξ(s)ds 2 маємо збiжнiсть l.i.m. ∆t→0 1 ∆t t∫ 0 [g(t + ∆t, s)− g(t, s)] ξ(s)ds = t∫ 0 g′t(t, s)ξ(s)ds (4) з iмовiрнiстю 1 при кожному t > 0. Iз спiввiдношень (2) – (4) i сепарабельностi процесу∫ t 0 g(t, s)ξ(s)ds випливає твердження леми 2. Наслiдок. Процес u(t) = 1 k t∫ 0 sin k(t− s)ξ(s) cos αsds + u0 cos kt + u̇0 k sin kt, (5) де ξ(t) — пуассонiвський процес, при всiх t > 0 з iмовiрнiстю 1 задовольняє рiвняння (1), в якому похiднi u̇(t)i ü(t) розглядаються в середньоквадратичному. Справдi, для невипадкових функцiй середньоквадратичнi похiднi збiгаються iз звичай- ними похiдними, а для пiдiнтегрального виразу в (5) виконуються умови леми 2. Тому без- посередньою перевiркою встановлюється твердження наслiдку. 3. Основнi результати. Теорема 1. Нехай ε(t) — повна енергiя випадкового гармонiчного осцилятора (1). То- дi: 1) при α 6= k, α 6= 0 lim t→∞ 1 t2 E ε(t) = λ2 4 [ k2 + α2 (k2 − α2)2 + 1 |α2 − k2| ] , lim t→∞ 1 t2 E ε(t) = λ2 4 [ k2 + α2 (k2 − α2)2 − 1 |α2 − k2| ] ; 2) при α = k lim t→∞ 1 t4 E ε(t) = λ2 32 . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 АСИМПТОТИЧНИЙ АНАЛIЗ МАТЕМАТИЧНОГО СПОДIВАННЯ ПОВНОЇ ЕНЕРГIЇ . . . 303 Доведення. Домножимо рiвнiсть (1) на u̇(t) i зiнтегруємо вiд 0 до t. Використовуючи формулу Ньютона – Лейбнiца [11] (гл. V, § 2), отримуємо ε(t) = t∫ 0 ξ(s) cos αsu̇(s)ds. Згiдно з рiвнiстю (5) i лемою 2 u̇(t) = t∫ 0 cos k (t− s)ξ(s) cos αsds. Тому E ε(t) = λ2 t∫ 0 sy(s) cos αsds + λ t∫ 0 y(s) cos αsds, (6) де y(t) = t∫ 0 s cos k(t− s) cos αsds. Оскiльки y(t) = 1 2  t∫ 0 s cos(kt− s(k − α))ds + t∫ 0 s cos(kt− s(k + α))ds  = = − αt k2 − α2 sin αt + k2 + α2 (k2 − α2)2 [cos αt− cos kt] при α 6= k i y(t) = t2 4 cos kt + t 4k sin kt при α = k, то t∫ 0 y(s) cos αsds = − α k2 − α2 [ − t 4α cos 2αt + 1 8α2 sin 2αt ] + + k2 + α2 (k2 − α2)2 [ t 2 + 1 4α sin 2αt− 1 2(k + α) sin(k + α)t− 1 2(k − α) sin(k − α)t ] (7) при α 6= k i t∫ o y(s) cos αsds = t3 24 + t2 16k sin 2kt (8) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 304 Г. Л. КУЛIНIЧ, Д. Ю. КУРОВСЬКИЙ, Д. В. ПЕТРУСЕНКО при α = k. Бiльш того, t∫ 0 sy(s) cos αsds = − α k2 − α2 { − t2 4α cos 2αt + t 4α2 sin 2αt + 1 8α3 [cos 2αt− 1] } + + k2 + α2 (k2 − α2)2 { t2 4 + t 4α sin 2αt + 1 8α2 [cos 2αt− 1]− t 2(k + α) sin(k + α)t− − t 2(k − α) sin(k − α)t + 1 2(k + α)2 [1− cos(k + α)t] + 1 2(k − α)2 [1− cos(k − α)t] } при k 6= α i t∫ 0 sy(s) cos αsds = t4 32 + t3 8k sin 2kt− t2 8k2 sin 2kt− t 8k3 cos 2kt + 1 16k4 sin 2kt при α = k. Отже, згiдно з (6) Eε(t) = λ2 { t2 4 k2 + α2 (k2 − α2)2 + t2 4(k2 − α2) cos 2αt + + 1 2(k2 − α2)2 [ tα sin 2αt + 1 2 (cos 2αt− 1) ] − − t(k2 + α2) 2(k2 − α2)2 [ sin(k + α)t k + α + sin(k − α)t k − α ]} + + λ { t(k2 + α2) 2(k2 − α2)2 + t 4(k2 − α2) cos 2t− − k2 + α2 2(k2 − α2)2 [ sin(k + α)t k + α + sin(k − α)t k − α ]} , α 6= k, α 6= 0, (9) Eε(t) = λ2 { t4 32 + t3 8k sin 2kt− t2 8k2 sin 2kt− t 8k3 cos 2kt+ + 1 16k4 sin 2kt } + λ { t3 24 + t2 16k sin 2kt } , α = k. Звiдси випливає твердження теореми 1. Теорема 2. Нехай ε(t) — повна енергiя осцилятора вигляду (1), в якому q(t) = ξ(t). Тодi E ε(t) = λ2 [ t2 2k2 − t k3 sin kt ] + λ [ 3t 4k2 − t k3 sin kt ] ( lim t→∞ Eε(t) t2 = λ2 2k2 ) . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 АСИМПТОТИЧНИЙ АНАЛIЗ МАТЕМАТИЧНОГО СПОДIВАННЯ ПОВНОЇ ЕНЕРГIЇ . . . 305 Це твердження випливає з теореми 1, якщо в рiвняннi (9) покласти α = 0. Теорема 3. Нехай ε(t) — повна енергiя осцилятора вигляду (1), в якому q(t) = [ξ(t)− −E ξ(t)] cos αt. Тодi: 1) lim t→∞ Eε(t) t = λ 2 [ k2 + α2 (k2 − α2)2 + 1 2 |k2 − α2| ] , lim t→∞ Eε(t) t = λ 2 [ k2 + α2 (k2 − α2)2 + 1 2 |k2 − α2| ] при α 6= k, α 6= 0; 2) lim t→∞ E ε(t) t3 = λ 24 при α = k. Доведення аналогiчне доведенню теореми 1. Тiльки в цьому випадку замiсть рiвностi (6) отримаємо рiвнiсть Eε(t) = λ t∫ 0 y(s) cos αsds, де y(t) має той самий вигляд, що i в рiвностi (6). Тому iз (7) i (8) знаходимо Eε(t) = λ { t 2 [ k2 + α2 (k2 − α2)2 + 1 2(k2 − α2) cos αt ] + + k2 + 3α2 8α(k2 − α2)2 sin 2αt− k2 + α2 (k2 − α2)2 [ sin(k + α)t 2(k + α) + sin(k − α)t 2(k − α) ]} (10) при α 6= k, α 6= 0; Eε(t) = λ { t3 24 + t2 16k sin 2kt } при α = k. Iз цих рiвностей випливають твердження теореми 3. Теорема 4. Нехай ε(t) — повна енергiя осцилятора (1), в якому q(t) = ξ(t)−Eξ(t). Тодi Eε(t) = λ { t k2 − 1 k3 sin kt } ( lim t→∞ Eε(t) t = λ k2 ) . Ця теорема випливає iз теореми 3, якщо в (10) покласти α = 0. 4. Висновок. У спорудах i машинах явище резонансу вiдiграє дуже негативну роль: збiльшення амплiтуди коливань викликає зростання напруження матерiалу, а це може призвести до руйнацiї споруди або машини. В акустицi й радiотехнiцi, як вiдомо, роль резонансу є позитивною. Отже, отриманi в роботi результати мають теоретичне значення та практичне засто- сування при побудовi математичних моделей та дослiдженнi поведiнки динамiчних систем при iмпульсних випадкових збуреннях. 1. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1965. — 424 с. 2. Кулiнiч Г. Л. Про граничну поведiнку випадкового гармонiчного осцилятора // Вiсн. Київ. ун-ту. Мате- матика, механiка. — 1985. — Вип. 25. — С. 108 – 113. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 306 Г. Л. КУЛIНIЧ, Д. Ю. КУРОВСЬКИЙ, Д. В. ПЕТРУСЕНКО 3. Papanirolan G. G. Stochastic equations and their applications // Amer. Math. Mon. — 1973. — 80, № 5. — P. 526 – 545. 4. Kulinich G. L. On the limiting behavions of a harmonic oscillator with randon external disturbance // Y.A.M.S.A. — 1995. — 8. — P. 265 – 274. 5. Дивнич М. Т., Куровський Д. Ю., Єршов А. В. Асимптотичний аналiз математичного сподiвання повної енергiї випадкового гармонiчного осцилятора // Вiсн. Київ. ун-ту. Математика, механiка. — 2005. — № 3. — С. 104 – 112. 6. Бандерский М. М., Пастур Л. А. Об асимптотике уравнений 2-го порядка со случайным коэффициен- том // Теория функций, функцион. анализ и их прил. — 1975. — Вып. 22. — С. 3 – 14. 7. Kulinich G. L. Qualitative analysis of the influence of random perturbations of the phase velocity of the harmonic oscillator // Random Oper. and Stochast. Equat. — 1995. — 3, № 2 — P. 141 – 152. 8. Кулiнiч Г. Л. Якiсний аналiз впливу на гармонiчний осцилятор з тертям випадкових збурень типу „бi- лого шуму” вздовж вектора фазової швидкостi // Укр. мат. журн. — 1997. — 49, № 1. — C. 36 – 47. 9. Кулинич Г. Л., Бернацкая Ю. В. О фазовом „портрете” гармонического осциллятора с трением, возму- щенного случайным процессом типа „белого шума” // Мат. зап. — 1998. — 68, № 4. — С. 862 – 869. 10. Кулiнiч Г. Л. Якiсний аналiз поведiнки гармонiчного осцилятора пiд впливом випадкових збурень пара- метрiв процесами типу „бiлого i дробового шумiв” // Теорiя ймовiрностей та мат. статистика. — 1998. — Вип. 58. — С. 81 – 91. 11. Кулiнiч Г. Л., Куровський Д. Ю., Петрусенко Д. В. Про асимптотичну поведiнку гармонiчного осци- лятора математичного сподiвання повної енергiї стохастичного гармонiчного осцилятора // Мат. XI Мiжнар. наук. конф. iм. акад. М. Кравчука. — Київ, 2006. — С. 719. 12. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — М.: Наука, 1965. — 654 с. Одержано 22.01.08 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3