Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні
Исследуется поведение при t → ∞ математического ожидания полной энергии гармонического осциллятора без трения при внешнем импульсном пуассоновском возмущении.
Gespeichert in:
Datum: | 2009 |
---|---|
Hauptverfasser: | , , |
Format: | Artikel |
Sprache: | Ukrainian |
Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2009
|
Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178413 |
Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Zitieren: | Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні / Г.Л. Кулiнiч, Д.Ю. Куровський, Д.В. Петрусенко // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 3. — С. 299-306. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-178413 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1784132021-02-20T01:25:56Z Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні Кулiнiч, Г.Л. Куровський, Д.Ю. Петрусенко, Д.В. Исследуется поведение при t → ∞ математического ожидания полной энергии гармонического осциллятора без трения при внешнем импульсном пуассоновском возмущении. We study the behavior, as t → ∞, of the mathematical expectation of a harmonic frictionless oscillator in the presence of an external impulsive Poissonian perturbation. 2009 Article Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні / Г.Л. Кулiнiч, Д.Ю. Куровський, Д.В. Петрусенко // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 3. — С. 299-306. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178413 519.21, 517.4 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Ukrainian |
description |
Исследуется поведение при t → ∞ математического ожидания полной энергии гармонического
осциллятора без трения при внешнем импульсном пуассоновском возмущении. |
format |
Article |
author |
Кулiнiч, Г.Л. Куровський, Д.Ю. Петрусенко, Д.В. |
spellingShingle |
Кулiнiч, Г.Л. Куровський, Д.Ю. Петрусенко, Д.В. Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні Нелінійні коливання |
author_facet |
Кулiнiч, Г.Л. Куровський, Д.Ю. Петрусенко, Д.В. |
author_sort |
Кулiнiч, Г.Л. |
title |
Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні |
title_short |
Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні |
title_full |
Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні |
title_fullStr |
Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні |
title_full_unstemmed |
Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні |
title_sort |
асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні |
publisher |
Інститут математики НАН України |
publishDate |
2009 |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178413 |
citation_txt |
Асимптотичний аналіз математичного сподівання повної енергії гармонічного осцилятора при випадковому імпульсному збуренні / Г.Л. Кулiнiч, Д.Ю. Куровський, Д.В. Петрусенко // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 3. — С. 299-306. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
series |
Нелінійні коливання |
work_keys_str_mv |
AT kuliničgl asimptotičnijanalízmatematičnogospodívannâpovnoíenergíígarmoníčnogooscilâtoraprivipadkovomuímpulʹsnomuzburenní AT kurovsʹkijdû asimptotičnijanalízmatematičnogospodívannâpovnoíenergíígarmoníčnogooscilâtoraprivipadkovomuímpulʹsnomuzburenní AT petrusenkodv asimptotičnijanalízmatematičnogospodívannâpovnoíenergíígarmoníčnogooscilâtoraprivipadkovomuímpulʹsnomuzburenní |
first_indexed |
2025-07-15T16:53:21Z |
last_indexed |
2025-07-15T16:53:21Z |
_version_ |
1837732622463139840 |
fulltext |
УДК 519.21, 517.4
АСИМПТОТИЧНИЙ АНАЛIЗ МАТЕМАТИЧНОГО СПОДIВАННЯ
ПОВНОЇ ЕНЕРГIЇ ГАРМОНIЧНОГО ОСЦИЛЯТОРА
ПРИ ВИПАДКОВОМУ IМПУЛЬСНОМУ ЗБУРЕННI
Г. Л. Кулiнiч, Д. Ю. Куровський, Д. В. Петрусенко
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 01033, Київ, вул. Володимирська, 64
e-mail:bks@univ.kiev.ua
We study the behavior, as t → ∞, of the mathematical expectation of a harmonic frictionless oscillator in
the presence of an external impulsive Poissonian perturbation.
Исследуется поведение при t → ∞ математического ожидания полной энергии гармонического
осциллятора без трения при внешнем импульсном пуассоновском возмущении.
1. Вступ. Пiд гармонiчним осцилятором без тертя при зовнiшньому перiодичному збу-
реннi iз пуассонiвською iмпульсною амплiтудою будемо розумiти тiло маси 1, рух якого
описується диференцiальним рiвнянням другого порядку
ü(t) + k2u(t) = q(t), u(0) = u0, u̇(0) = u̇0, (1)
де q(t) = ξ(t) cos αt — зовнiшня збурна сила, ξ(t) — пуассонiвський процес з параметром
λ > 0; u0, u̇0 — початковi положення i швидкiсть осцилятора; u(t), u̇(t) — положення
i швидкiсть осцилятора в момент часу t > 0; k > 0 — параметр осцилятора; ε(t) =
=
1
2
[
u̇2(t) + k2u2(t)
]
— повна енергiя осцилятора.
Вiдомо [1], що в детермiнованих випадках:
1) ε(t) = ε(0) при всiх t > 0, якщо q(t) ≡ 0; 2) повна енергiя обмежена, якщо q(t) =
= cos αt, α 6= k, i ε(t) ∼ 1
8
t2 при t → ∞ (резонанс) при α = k.
Модель гармонiчного осцилятора з неперервним випадковим зовнiшнiм збуренням, в
якому математичне сподiвання Eε(t) ∼
√
t при t → ∞, розглядалась у [2], Eε(t) ∼ t — у
[3], Eε(t) ∼ tα, α >
1
2
, — у [4, 5], ln Eε(t) ∼ t — у [6].
Фазовий „портрет” гармонiчного осцилятора при випадковому збуреннi процесом ти-
пу „бiлого шуму” вздовж вектора фазової швидкостi осцилятора дослiджувався у роботах
[7, 8], пiд певним кутом до вектора фазової швидкостi — у [9], а при випадковому збуреннi
процесом типу „дробового шуму” — у [10].
У данiй роботi дослiджується поведiнка при t → ∞ математичного сподiвання пов-
ної енергiї гармонiчного осцилятора (1) (теореми 1, 2) i осцилятора типу (1), в якому
q(t) = [ξ(t)−E ξ(t)] cos αt (теореми 3, 4). Частиннi результати в цьому напрямку наведено
в роботi [11].
Зауваження. Оскiльки [12] траєкторiї пуассонiвського процесу ξ(t) з iмовiрнiстю 1
розривнi, то рiвнiсть (1) ми не можемо розглядати для всiх t > 0, якщо похiднi в рiвняннi
c© Г. Л. Кулiнiч, Д. Ю. Куровський, Д. В. Петрусенко, 2009
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3 299
300 Г. Л. КУЛIНIЧ, Д. Ю. КУРОВСЬКИЙ, Д. В. ПЕТРУСЕНКО
розумiти як звичайнi похiднi з iмовiрнiстю 1. Тому в рiвняння (1) похiднi будемо розгля-
дати як похiднi в середньоквадратичному, при цьому рiвнiсть (1) можна розглядати при
всiх t > 0 i знайти явний вигляд розв’язку, аналогiчний детермiнованому випадку при
неперервному зовнiшньому збуреннi. Бiльш того, у п. 3 для спрощення викладу будемо
вважати, що у рiвняннi (1) u0 = 0, u̇0 = 0.
2. Допомiжнi результати.
Означення. Випадковий процес η(t), t ∈ [0, T ], середньоквадратично диференцiйов-
ний у точцi t0 ∈ (0, T ), якщо E |η(t)|2 < ∞ i
lim
∆t→0
E
∣∣∣∣η(t0 + ∆t)− η(t0)
∆t
− η̇(t0)
∣∣∣∣2 = 0.
Випадкова величина η̇(t0) називається середньоквадратичною похiдною випадково-
го процесу η(t) у точцi t0. Якщо iснує середньоквадратична похiдна процесу η(t) у кож-
нiй точцi t ∈ (0, T ), то процес η(t) середньоквадратично диференцiйовний на iнтервалi
(0, T ).
Нехай ξ(t), t ≥ 0, — пуассонiвський процес з параметром λ > 0. Це означає, що ξ(t)
— процес з незалежними приростами, ξ(0) = 0 i
P {ξ(t + s)− ξ(t) = k} =
(λs)k
k!
`−λs, k = 0, 1, . . . .
Отже, математичне сподiвання Eξ(t) = λt, дисперсiя Dξ(t) = λt, коварiацiйна функцiя
B(t, s) = Eξ(t)ξ(s) = λ2ts + λ min(t, s), кореляцiйна функцiя R(t, s) = E(ξ(t) −
−Eξ(t))(ξ(s)− Eξ(s)) = λ min(t, s).
Розглянемо процес η(t) =
∫ t
0 ξ(s)ds. Оскiльки траєкторiї пуассонiвського процесу ξ(t)
кусково-сталi, то вони iнтегровнi, процес η(t) iснує при кожному t > 0 i має неперервнi з
iмовiрнiстю 1 траєкторiї, крiм того, має мiсце наступна лема.
Лема 1. Середньоквадратична похiдна η̇(t) = ξ(t) з iмовiрнiстю 1 при всiх t > 0.
Доведення. Оскiльки
E
∣∣∣∣∣∣ 1
∆
t+∆t∫
0
ξ(s)ds−
t∫
0
ξ(s)ds
− ξ(t)
∣∣∣∣∣∣
2
=
1
(∆t)2
E
t+∆t∫
t
ξ(s)ds
2
−
− 2
1
∆t
t+∆t∫
t
Eξ(t)ξ(s)ds + Eξ2(t) =
1
(∆t)2
t+∆t∫
t
t+∆t∫
t
[
λ2s1s2 + λ min(s1, s2)
]
ds1ds2−
− 2
1
∆t
t+∆t∫
t
[
λ2ts + λt
]
ds + λt + (λt)2 ⇒ λ2t2 + λt− 2
[
λ2t2 + λt
]
+ λ2t2 + λt = 0
при ∆t → 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
АСИМПТОТИЧНИЙ АНАЛIЗ МАТЕМАТИЧНОГО СПОДIВАННЯ ПОВНОЇ ЕНЕРГIЇ . . . 301
то середньоквадратична похiдна η̇(t) iснує i дорiвнює ξ(t) з iмовiрнiстю 1 при кожному t >
> 0. Процес η(t) неперервний з iмовiрнiстю 1. Отже, вiн сепарабельний [12]. Тому рiвнiсть
η̇(t) = ξ(t) виконується для всiх t > 0 з iмовiрнiстю 1.
Лема 2. Нехай функцiя g(t, s) невипадкова, частиннi похiднi g′t(t, s), g′s(t, s) неперервнi
за двома аргументами в областi (t ≥ 0, s ≥ 0) i ξ(t) — пуассонiвський процес з парамет-
ром λ > 0. Тодi має мiсце рiвнiсть t∫
0
g(t, s)ξ(s)ds
′
= g(t, t)ξ(t) +
t∫
0
g′t(t, s)ξ(s)ds
при всiх t > 0 з iмовiрнiстю 1, де похiдна вiд iнтеграла розглядається як похiдна в
середньоквадратичному.
Доведення. Для доведення використаємо зображення
1
∆t
t+∆t∫
0
g (t + ∆t, s) ξ(s)ds−
t∫
0
g(t, s)ξ(s)ds
=
1
∆t
t+∆t∫
t
g(t + ∆t, s) ξ(s)ds+
+
1
∆t
t∫
0
[g (t + ∆t, s)− g(t, s)] ξ(s)ds. (2)
Оскiльки
1
∆t
t+∆t∫
t
g(t + ∆t, s)ξ(s)ds− g (t, t) ξ(t) =
1
∆t
t+∆t∫
t
g (t + ∆t, s)− g(t, s)
×
× ξ(s)ds +
1
∆t
t+∆t∫
t
g (t, s)− g(t, t)
ξ(s)ds + g(t, t)
1
∆t
t+∆t∫
t
ξ(s)ds− ξ(t)
,
то, враховуючи лему 1, маємо збiжнiсть
E
∣∣∣∣∣∣ 1
∆t
t+∆t∫
t
g(t + ∆t, s)ξ(s)ds− g(t, t)ξ(t)
∣∣∣∣∣∣
2
≤ 3
sup
t≤s1≤t+∆t
t≤s≤t+∆t
∣∣g′s1
(s1, s)
∣∣2 + sup
t≤s≤t+∆t
∣∣g′s(t, s)∣∣2
×
× E
t+∆t∫
t
ξ(s)ds
2
+ 3g2(t, t)E
1
∆t
t+∆t∫
t
ξ(s)ds− ξ(t)
2
→ 0 при ∆t → 0.
Отже, маємо збiжнiсть (l.i.m.) у середньоквадратичному
l.i.m.
∆t→0
1
∆t
t+∆t∫
t
g(t + ∆t, s)ξ(s)ds = g(t, t)ξ(t) (3)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
302 Г. Л. КУЛIНIЧ, Д. Ю. КУРОВСЬКИЙ, Д. В. ПЕТРУСЕНКО
з iмовiрнiстю 1 при кожному t > 0. Внаслiдок того, що g′s1
(s1, s) неперервна по s1, s, в
замкненiй областi t ≤ s1 ≤ t + ∆t, 0 ≤ s ≤ t, вона рiвномiрно неперервна. Тому з оцiнки
E
1
∆t
t∫
0
[g(t + ∆t, s)− g(t, s)] ξ(s)ds−
t∫
0
g′t(t, s)ξ(s)ds
2
≤
≤ sup
t≤s1≤t+∆t
0≤s≤t
∣∣g′s1
(s1, s)− g′t(t, s)
∣∣2 E
t∫
0
ξ(s)ds
2
маємо збiжнiсть
l.i.m.
∆t→0
1
∆t
t∫
0
[g(t + ∆t, s)− g(t, s)] ξ(s)ds =
t∫
0
g′t(t, s)ξ(s)ds (4)
з iмовiрнiстю 1 при кожному t > 0. Iз спiввiдношень (2) – (4) i сепарабельностi процесу∫ t
0
g(t, s)ξ(s)ds випливає твердження леми 2.
Наслiдок. Процес
u(t) =
1
k
t∫
0
sin k(t− s)ξ(s) cos αsds + u0 cos kt +
u̇0
k
sin kt, (5)
де ξ(t) — пуассонiвський процес, при всiх t > 0 з iмовiрнiстю 1 задовольняє рiвняння (1),
в якому похiднi u̇(t)i ü(t) розглядаються в середньоквадратичному.
Справдi, для невипадкових функцiй середньоквадратичнi похiднi збiгаються iз звичай-
ними похiдними, а для пiдiнтегрального виразу в (5) виконуються умови леми 2. Тому без-
посередньою перевiркою встановлюється твердження наслiдку.
3. Основнi результати.
Теорема 1. Нехай ε(t) — повна енергiя випадкового гармонiчного осцилятора (1). То-
дi:
1) при α 6= k, α 6= 0
lim
t→∞
1
t2
E ε(t) =
λ2
4
[
k2 + α2
(k2 − α2)2
+
1
|α2 − k2|
]
,
lim
t→∞
1
t2
E ε(t) =
λ2
4
[
k2 + α2
(k2 − α2)2
− 1
|α2 − k2|
]
;
2) при α = k
lim
t→∞
1
t4
E ε(t) =
λ2
32
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
АСИМПТОТИЧНИЙ АНАЛIЗ МАТЕМАТИЧНОГО СПОДIВАННЯ ПОВНОЇ ЕНЕРГIЇ . . . 303
Доведення. Домножимо рiвнiсть (1) на u̇(t) i зiнтегруємо вiд 0 до t. Використовуючи
формулу Ньютона – Лейбнiца [11] (гл. V, § 2), отримуємо
ε(t) =
t∫
0
ξ(s) cos αsu̇(s)ds.
Згiдно з рiвнiстю (5) i лемою 2
u̇(t) =
t∫
0
cos k (t− s)ξ(s) cos αsds.
Тому
E ε(t) = λ2
t∫
0
sy(s) cos αsds + λ
t∫
0
y(s) cos αsds, (6)
де
y(t) =
t∫
0
s cos k(t− s) cos αsds.
Оскiльки
y(t) =
1
2
t∫
0
s cos(kt− s(k − α))ds +
t∫
0
s cos(kt− s(k + α))ds
=
= − αt
k2 − α2
sin αt +
k2 + α2
(k2 − α2)2
[cos αt− cos kt]
при α 6= k i
y(t) =
t2
4
cos kt +
t
4k
sin kt
при α = k, то
t∫
0
y(s) cos αsds = − α
k2 − α2
[
− t
4α
cos 2αt +
1
8α2
sin 2αt
]
+
+
k2 + α2
(k2 − α2)2
[
t
2
+
1
4α
sin 2αt− 1
2(k + α)
sin(k + α)t− 1
2(k − α)
sin(k − α)t
]
(7)
при α 6= k i
t∫
o
y(s) cos αsds =
t3
24
+
t2
16k
sin 2kt (8)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
304 Г. Л. КУЛIНIЧ, Д. Ю. КУРОВСЬКИЙ, Д. В. ПЕТРУСЕНКО
при α = k. Бiльш того,
t∫
0
sy(s) cos αsds = − α
k2 − α2
{
− t2
4α
cos 2αt +
t
4α2
sin 2αt +
1
8α3
[cos 2αt− 1]
}
+
+
k2 + α2
(k2 − α2)2
{
t2
4
+
t
4α
sin 2αt +
1
8α2
[cos 2αt− 1]− t
2(k + α)
sin(k + α)t−
− t
2(k − α)
sin(k − α)t +
1
2(k + α)2
[1− cos(k + α)t] +
1
2(k − α)2
[1− cos(k − α)t]
}
при k 6= α i
t∫
0
sy(s) cos αsds =
t4
32
+
t3
8k
sin 2kt− t2
8k2
sin 2kt− t
8k3
cos 2kt +
1
16k4
sin 2kt
при α = k. Отже, згiдно з (6)
Eε(t) = λ2
{
t2
4
k2 + α2
(k2 − α2)2
+
t2
4(k2 − α2)
cos 2αt +
+
1
2(k2 − α2)2
[
tα sin 2αt +
1
2
(cos 2αt− 1)
]
−
− t(k2 + α2)
2(k2 − α2)2
[
sin(k + α)t
k + α
+
sin(k − α)t
k − α
]}
+
+ λ
{
t(k2 + α2)
2(k2 − α2)2
+
t
4(k2 − α2)
cos 2t−
− k2 + α2
2(k2 − α2)2
[
sin(k + α)t
k + α
+
sin(k − α)t
k − α
]}
, α 6= k, α 6= 0, (9)
Eε(t) = λ2
{
t4
32
+
t3
8k
sin 2kt− t2
8k2
sin 2kt− t
8k3
cos 2kt+
+
1
16k4
sin 2kt
}
+ λ
{
t3
24
+
t2
16k
sin 2kt
}
, α = k.
Звiдси випливає твердження теореми 1.
Теорема 2. Нехай ε(t) — повна енергiя осцилятора вигляду (1), в якому q(t) = ξ(t).
Тодi
E ε(t) = λ2
[
t2
2k2
− t
k3
sin kt
]
+ λ
[
3t
4k2
− t
k3
sin kt
] (
lim
t→∞
Eε(t)
t2
=
λ2
2k2
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
АСИМПТОТИЧНИЙ АНАЛIЗ МАТЕМАТИЧНОГО СПОДIВАННЯ ПОВНОЇ ЕНЕРГIЇ . . . 305
Це твердження випливає з теореми 1, якщо в рiвняннi (9) покласти α = 0.
Теорема 3. Нехай ε(t) — повна енергiя осцилятора вигляду (1), в якому q(t) = [ξ(t)−
−E ξ(t)] cos αt. Тодi:
1) lim
t→∞
Eε(t)
t
=
λ
2
[
k2 + α2
(k2 − α2)2
+
1
2 |k2 − α2|
]
, lim
t→∞
Eε(t)
t
=
λ
2
[
k2 + α2
(k2 − α2)2
+
1
2 |k2 − α2|
]
при α 6= k, α 6= 0;
2) lim
t→∞
E ε(t)
t3
=
λ
24
при α = k.
Доведення аналогiчне доведенню теореми 1. Тiльки в цьому випадку замiсть рiвностi
(6) отримаємо рiвнiсть
Eε(t) = λ
t∫
0
y(s) cos αsds,
де y(t) має той самий вигляд, що i в рiвностi (6). Тому iз (7) i (8) знаходимо
Eε(t) = λ
{
t
2
[
k2 + α2
(k2 − α2)2
+
1
2(k2 − α2)
cos αt
]
+
+
k2 + 3α2
8α(k2 − α2)2
sin 2αt− k2 + α2
(k2 − α2)2
[
sin(k + α)t
2(k + α)
+
sin(k − α)t
2(k − α)
]}
(10)
при α 6= k, α 6= 0;
Eε(t) = λ
{
t3
24
+
t2
16k
sin 2kt
}
при α = k. Iз цих рiвностей випливають твердження теореми 3.
Теорема 4. Нехай ε(t) — повна енергiя осцилятора (1), в якому q(t) = ξ(t)−Eξ(t). Тодi
Eε(t) = λ
{
t
k2
− 1
k3
sin kt
} (
lim
t→∞
Eε(t)
t
=
λ
k2
)
.
Ця теорема випливає iз теореми 3, якщо в (10) покласти α = 0.
4. Висновок. У спорудах i машинах явище резонансу вiдiграє дуже негативну роль:
збiльшення амплiтуди коливань викликає зростання напруження матерiалу, а це може
призвести до руйнацiї споруди або машини. В акустицi й радiотехнiцi, як вiдомо, роль
резонансу є позитивною.
Отже, отриманi в роботi результати мають теоретичне значення та практичне засто-
сування при побудовi математичних моделей та дослiдженнi поведiнки динамiчних систем
при iмпульсних випадкових збуреннях.
1. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1965. —
424 с.
2. Кулiнiч Г. Л. Про граничну поведiнку випадкового гармонiчного осцилятора // Вiсн. Київ. ун-ту. Мате-
матика, механiка. — 1985. — Вип. 25. — С. 108 – 113.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
306 Г. Л. КУЛIНIЧ, Д. Ю. КУРОВСЬКИЙ, Д. В. ПЕТРУСЕНКО
3. Papanirolan G. G. Stochastic equations and their applications // Amer. Math. Mon. — 1973. — 80, № 5. —
P. 526 – 545.
4. Kulinich G. L. On the limiting behavions of a harmonic oscillator with randon external disturbance // Y.A.M.S.A.
— 1995. — 8. — P. 265 – 274.
5. Дивнич М. Т., Куровський Д. Ю., Єршов А. В. Асимптотичний аналiз математичного сподiвання повної
енергiї випадкового гармонiчного осцилятора // Вiсн. Київ. ун-ту. Математика, механiка. — 2005. —
№ 3. — С. 104 – 112.
6. Бандерский М. М., Пастур Л. А. Об асимптотике уравнений 2-го порядка со случайным коэффициен-
том // Теория функций, функцион. анализ и их прил. — 1975. — Вып. 22. — С. 3 – 14.
7. Kulinich G. L. Qualitative analysis of the influence of random perturbations of the phase velocity of the
harmonic oscillator // Random Oper. and Stochast. Equat. — 1995. — 3, № 2 — P. 141 – 152.
8. Кулiнiч Г. Л. Якiсний аналiз впливу на гармонiчний осцилятор з тертям випадкових збурень типу „бi-
лого шуму” вздовж вектора фазової швидкостi // Укр. мат. журн. — 1997. — 49, № 1. — C. 36 – 47.
9. Кулинич Г. Л., Бернацкая Ю. В. О фазовом „портрете” гармонического осциллятора с трением, возму-
щенного случайным процессом типа „белого шума” // Мат. зап. — 1998. — 68, № 4. — С. 862 – 869.
10. Кулiнiч Г. Л. Якiсний аналiз поведiнки гармонiчного осцилятора пiд впливом випадкових збурень пара-
метрiв процесами типу „бiлого i дробового шумiв” // Теорiя ймовiрностей та мат. статистика. — 1998.
— Вип. 58. — С. 81 – 91.
11. Кулiнiч Г. Л., Куровський Д. Ю., Петрусенко Д. В. Про асимптотичну поведiнку гармонiчного осци-
лятора математичного сподiвання повної енергiї стохастичного гармонiчного осцилятора // Мат. XI
Мiжнар. наук. конф. iм. акад. М. Кравчука. — Київ, 2006. — С. 719.
12. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — М.: Наука, 1965. — 654 с.
Одержано 22.01.08
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 3
|