О поведении решений систем линейных дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом в окрестности особой точки
Встановлено новi властивостi C¹(0, +∞)-розв’язкiв систем лiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь x'(t) = Ax(t) + Bx(qt) + Cx'(qt) в околi особливої точки t = 0.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178414 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О поведении решений систем линейных дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом в окрестности особой точки / Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 4. — С. 435-442. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178414 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1784142021-02-20T01:26:15Z О поведении решений систем линейных дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом в окрестности особой точки Бельский, Д.В. Встановлено новi властивостi C¹(0, +∞)-розв’язкiв систем лiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь x'(t) = Ax(t) + Bx(qt) + Cx'(qt) в околi особливої точки t = 0. We find new properties of C¹(0, +∞)-solutions of systems of the linear differential-functional equations x'(t) = Ax(t) + Bx(qt) + Cx'(qt) in a neighborhood of the singular point t = 0. 2009 Article О поведении решений систем линейных дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом в окрестности особой точки / Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 4. — С. 435-442. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178414 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Встановлено новi властивостi C¹(0, +∞)-розв’язкiв систем лiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь x'(t) = Ax(t) + Bx(qt) + Cx'(qt) в околi особливої точки t = 0. |
| format |
Article |
| author |
Бельский, Д.В. |
| spellingShingle |
Бельский, Д.В. О поведении решений систем линейных дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом в окрестности особой точки Нелінійні коливання |
| author_facet |
Бельский, Д.В. |
| author_sort |
Бельский, Д.В. |
| title |
О поведении решений систем линейных дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом в окрестности особой точки |
| title_short |
О поведении решений систем линейных дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом в окрестности особой точки |
| title_full |
О поведении решений систем линейных дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом в окрестности особой точки |
| title_fullStr |
О поведении решений систем линейных дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом в окрестности особой точки |
| title_full_unstemmed |
О поведении решений систем линейных дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом в окрестности особой точки |
| title_sort |
о поведении решений систем линейных дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом в окрестности особой точки |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178414 |
| citation_txt |
О поведении решений систем линейных дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом в окрестности особой точки / Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 4. — С. 435-442. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT belʹskijdv opovedeniirešenijsistemlinejnyhdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravnenijspostoânnymikoéfficientamiilinejnopreobrazovannymargumentomvokrestnostiosobojtočki |
| first_indexed |
2025-07-15T16:53:25Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:53:25Z |
| _version_ |
1837732626004180992 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
И ЛИНЕЙНО ПРЕОБРАЗОВАННЫМ АРГУМЕНТОМ
В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ
Д. В. Бельский
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев, ул. Терещенковская, 3
We find new properties of C1(0,+∞)-solutions of systems of the linear differential-functional equations
x′(t) = Ax(t) + Bx(qt) + Cx′(qt) in a neighborhood of the singular point t = 0.
Встановлено новi властивостi C1(0,+∞)-розв’язкiв систем лiнiйних диференцiально-функцiо-
нальних рiвнянь x′(t) = Ax(t) + Bx(qt) + Cx′(qt) в околi особливої точки t = 0.
В данной работе рассматривается система линейных дифференциально-функциональных
уравнений
x′(t) = Ax(t) + Bx(qt) + Cx′(qt), (1)
где A, B, C — комплексные (n× n)-матрицы, 0 < q < 1, t ∈ (0,+∞). Скалярный случай
этого уравнения в окрестности особой точки t = 0 исследован в [1]. Случай седловой
точки изучался в [2].
Для исследования поведения решений системы (1) в окрестности нуля выполним за-
мену переменных
x(t) = z
(
1
t
)
, x(qt) = z
(
1
qt
)
,
d
dt
x(t) = z′
(
1
t
) (
− 1
t2
)
,
x′(qt) = z′
(
1
qt
)(
− 1
q2t2
)
, t =
1
qτ
.
В результате получим уравнение
Cz′(τ) =
1
τ2
(Bz(τ) + Az(qτ)) + q2z′(qτ), (2)
решение которого сводится к решению уравнения
q−1Cz(τ) = z(qτ)− e−A(1−q−1τ−1)(z(1)− q−1Cz(q−1))+
+ eAq−1τ−1
qτ∫
1
e−As−1
(B + q−1AC)
1
s2
z(q−1s)ds.
c© Д. В. Бельский, 2009
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 4 435
436 Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Обозначая
f(τ) df=−e−A(1−q−1τ−1)(z(1)− q−1Cz(q−1))+
+ eAq−1τ−1
qτ∫
1
e−As−1
(B + q−1AC)
1
s2
z(q−1s)ds, (3)
получаем уравнение
q−1Cz(τ) = z(qτ) + f(τ). (4)
Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Пусть A, B, C — комплексные (n×n)-матрицы; 0 < q < 1; λk(C), k = 1, n,
— собственные значения матрицы C. Тогда:
1) если |λk(C)| 6= q, k = 1, n, и существует |λk1(C)| < q, то ограниченное в окрест-
ности нуля решение уравнения (1) имеет правосторонний предел в нуле;
2) при |λk(C)| > q, k = 1, n, все решения уравнения (1) имеют правосторонний пре-
дел в нуле.
Докажем первое утверждение теоремы. Пусть x(t), а значит, и z(τ) ограничены на
отрезках (0, 1], [q−1,+∞) соответственно. Тогда легко показать, что интеграл в (3) схо-
дится абсолютно при τ → +∞, т. е. существует конечный предел lim
τ→+∞
f(τ) df=M. Без
ограничения общности считаем, что матрица C имеет жорданову нормальную форму.
Рассмотрим некоторую подсистему системы уравнений (4)
λk1(C)
q
1
q 0 . . . 0
0 λk1(C)
q
1
q
. . .
...
...
. . . . . . . . . 0
0 . . . 0 λk1(C)
q
1
q
0 . . . . . . 0 λk1(C)
q
zk1(τ)
zk1+1(τ)
...
zk1+m−1(τ)
zk1+m(τ)
=
=
zk1(qτ)
zk1+1(qτ)
...
zk1+m−1(qτ)
zk1+m(qτ)
+
fk1(τ)
fk1+1(τ)
...
fk1+m−1(τ)
fk1+m(τ)
.
Для (k1 + m)-й координаты вектора z(τ) получим уравнение
λk1(C)
q
zk1+m(τ) = zk1+m(qτ) + fk1+m(τ).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 4
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 437
Если λk1(C) = 0, то
zk1+m(τ) = −fk1+m(q−1τ) → −Mk1+m, τ → +∞.
Если 0 < |λk1(C)| < q, то
zk1+m(τ) =
q
λk1(C)
zk1+m(qτ) +
q
λk1(C)
fk1+m(τ) = rk1 zk1+m(qτ) + fн,k1+m(τ),
где
rk1 =
q
λk1(C)
, fн,k1+m(τ) =
q
λk1(C)
fk1+m(τ).
Отсюда следуют равенства
zk1+m(q−jτ) = rj+1
k1
zk1+m(qτ) + rj
k1
fн,k1+m(τ) + rj−1
k1
fн,k1+m(q−1τ) + . . .
. . . + rk1fн,k1+m(q−j+1τ) + fн,k1+m(q−jτ) =
= rj+1
k1
(zk1+m(qτ) + r−1
k1
fн,k1+m(τ) + r−2
k1
fн,k1+m(q−1τ) + . . .
. . . + r−j
k1
fн,k1+m(q−j+1τ) + r−j−1
k1
fн,k1+m(q−jτ)), j ∈ N. (5)
Рассмотрим функцию
gk1+m(j, τ) df= zk1+m(qτ) + r−1
k1
fн,k1+m(τ) + r−2
k1
fн,k1+m(q−1τ) + . . .
. . . + r−j
k1
fн,k1+m(q−j+1τ) + r−j−1
k1
fн,k1+m(q−jτ), j ∈ N, τ ≥ 1.
Поскольку |r−1
k1
| =
|λk1(C)|
q
< 1, можно показать, что
r−1
k1
fн,k1+m(τ) + r−2
k1
fн,k1+m(q−1τ) + . . . + r−j
k1
fн,k1+m(q−j+1τ)+
+ r−j−1
k1
fн,k1+m(q−jτ) −→
j→+∞,τ→+∞
r−1
k1
1− r−1
k1
q
λk1(C)
Mk1+m =
=
r−1
k1
1− r−1
k1
Mн,k1+m,
где Mн,k1+m =
q
λk1(C)
Mk1+m.
Действительно, так как∣∣∣∣∣r−1
k1
fн,k1+m(τ) + r−2
k1
fн,k1+m(q−1τ) + . . . + r−j
k1
fн,k1+m(q−j+1τ)+
+ r−j−1
k1
fн,k1+m(q−jτ)−
r−1
k1
1− r−1
k1
Mн,k1+m
∣∣∣∣∣ =
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 4
438 Д. В. БЕЛЬСКИЙ
=
∣∣∣∣∣r−1
k1
(fн,k1+m(τ)−Mн,k1+m) + r−2
k1
(fн,k1+m(q−1τ)−Mн,k1+m) + . . .
. . . + r−j
k1
(fн,k1+m(q−j+1τ)−Mн,k1+m) + r−j−1
k1
(fн,k1+m(q−jτ)−Mн,k1+m)−
−
r−j−2
k1
1− r−1
k1
Mн,k1+m
∣∣∣∣∣≤ |r−1
k1
|
1− |r−1
k1
|
sup
s≥τ
|fн,k1+m(s)−Mн,k1+m|+
∣∣∣∣∣ r−j−2
k1
1− r−1
k1
Mн,k1+m
∣∣∣∣∣,
и lim
τ→+∞
fн,k1+m(τ) = Mн,k1+m, то последняя сумма в неравенстве стремится к нулю при
τ → +∞, j → +∞. Из изложенного следует, что существование lim
j→+∞
τ→+∞
gk1+m(j, τ) влечет
за собой существование lim
τ→+∞
zk1+m(τ).
Предположим, что lim
j→+∞
τ→+∞
gk1+m(j, τ) не существует. Из этого следует, в частности, что
нуль не является пределом функции gk1+m(j, τ) при j → +∞, τ → +∞, т. е. существуют
ε > 0 и последовательность точек (jl, τl) такая, что jl → +∞, τl → +∞ при l → +∞, для
которых выполняется неравенство ∣∣∣∣gk1+m(jl, τl)
∣∣∣∣ ≥ ε.
Тогда в силу (5) получим∣∣∣∣zk1+m(q−jlτl)
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣rjl+1
k1
∣∣∣∣∣∣∣∣gk1+m(jl, τl)
∣∣∣∣ ≥ ∣∣∣∣rjl+1
k1
∣∣∣∣ε → +∞, l → +∞,
что противоречит ограниченности zk1+m(τ) на полуоси [1,+∞). Таким образом,
lim
j→+∞
τ→+∞
gk1+m(j, τ), а значит, и lim
τ→+∞
zk1+m(τ) существуют.
Запишем уравнение для (k1 + m− 1)-й координаты вектора z(τ)
zk1+m−1(τ) =
q
λk1(C)
zk1+m−1(qτ)− 1
λk1(C)
zk1+m(τ) +
q
λk1(C)
fk1+m−1(τ) =
= rk1 zk1+m−1(qτ) + hk1+m−1(τ),
где функция hk1+m−1(τ) = − 1
λk1(C)
zk1+m(τ) +
q
λk1(C)
fk1+m−1(τ) имеет предел при τ →
→ +∞. С помощью рассуждений, аналогичных предыдущим, устанавливаем существова-
ние lim
τ→+∞
zk1+m−1(τ). Доказательство существования пределов при τ → +∞ у координат
zk1+m−2(τ), . . . , zk1(τ) полностью совпадает с изложенным для координаты zk1+m−1(τ).
Рассмотрим подсистему системы уравнений (4), соответствующую собственному зна-
чению |λk2(C)| > q и его клетке Жордана в матрице C (ее размер снова обозначим чис-
лом m + 1). Обозначая
q
λk2(C)
df= rk2 ,
q
λk2(C)
fk2+m(τ) df= fн,k1+m(τ),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 4
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 439
для (k2 + m)-й координаты вектора z(τ) получаем равенство
zk2+m(q−jτ) = rj+1
k2
zk2+m(qτ) + rj
k2
fн,k2+m(τ) + rj−1
k2
fн,k2+m(q−1τ) + . . .
. . . + rk2fн,k2+m(q−j+1τ) + fн,k2+m(q−jτ).
Исходя из условия |rk2 | < 1 и lim
τ→+∞
fн,k2+m(τ) = Mн,k2+m, оценим разность
∣∣∣∣∣rj+1
k2
zk2+m(qτ) + rj
k2
fн,k2+m(τ) + rj−1
k2
fн,k2+m(q−1τ) + . . .
. . . + rk2fн,k2+m(q−j+1τ) + fн,k2+m(q−jτ)− 1
1− rk2
Mн,k2+m
∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣rj+1
k2
zk2+m(qτ) + rj
k2
(
fн,k2+m(τ)−Mн,k2+m
)
+
+ rj−1
k2
(fн,k2+m(q−1τ)−Mн,k2+m) + . . . + rk2(fн,k2+m(q−j+1τ)−Mн,k2+m)+
+ fн,k2+m(q−jτ)−Mн,k2+m −
rj+1
k2
1− rk2
Mн,k2+m
∣∣∣∣∣ ≤
≤ |rk2 |j+1 sup
s≥1
|zk2+m(qs)|+ 1
1− |rk2 |
sup
s≥τ
|fн,k2+m(s)−Mн,k2+m|+
∣∣∣∣∣ rj+1
k2
1− rk2
Mн,k2+m
∣∣∣∣∣.
Поскольку по предположению вектор z(τ) ограничен на отрезке [q, +∞), последняя
сумма в неравенстве стремится к нулю при j → +∞, τ → +∞. Следовательно,
lim
j→+∞
τ→+∞
zk2+m(g−jτ) =
1
1− rk2
Mн,k2+m = lim
τ→+∞
zk2+m(τ).
Запишем уравнение для (k2 + m− 1)-й координаты вектора z(τ)
zk2+m−1(τ) =
q
λk2(C)
zk2+m−1(qτ)− 1
λk2(C)
zk2+m(τ) +
q
λk2(C)
fk2+m−1(τ) =
= rk2zk2+m−1(qτ) + hk2+m−1(τ),
где функция hk2+m−1(τ) = − 1
λk2(C) zk2+m(τ) + q
λk2(C) fk2+m−1(τ) имеет предел при τ →
→ +∞. С помощью рассуждений, аналогичных предыдущим, устанавливаем существова-
ние lim
τ→+∞
zk1+m−1(τ). Доказательство существования пределов при τ → +∞ у координат
zk2+m−2(τ), . . . , zk2(τ) полностью совпадает с изложенным для координаты zk2+m−1(τ).
Первая часть теоремы доказана.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 4
440 Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Докажем второе утверждение теоремы. Поскольку матрица C невырождена, из урав-
нения (2) непосредственно следует
|z′(τ)| ≤ |C−1B| 1
τ2
|z(τ)|+ |C−1A| 1
τ2
|z(qτ)|+ q2|C−1||z′(qτ)|,
где |G| df= max
1≤i≤n
∑n
j=1 |gi,j |, |~ν|
df= max
1≤i≤n
|ν|. Интегрируя последнее неравенство на отрезке
[1, t], находим
t∫
1
∣∣z′(τ)dτ
∣∣ ≤ ∣∣C−1B
∣∣ t∫
1
|z(τ)|
τ2
dτ +
∣∣C−1A
∣∣ t∫
1
|z(qτ)|
τ2
dτ + q|C−1|
qt∫
q
∣∣z′(τ)
∣∣ dτ ≤
≤
∣∣C−1B
∣∣ t∫
1
|z(τ)|
τ2
dτ +
∣∣C−1A
∣∣ t∫
1
|z(qτ)|
τ2
dτ+
+ q
∣∣C−1
∣∣ 1∫
q
∣∣z′(τ)
∣∣ dτ + q
∣∣C−1
∣∣ qt∫
1
∣∣z′(τ)
∣∣ |dτ |. (6)
Обозначим
∫ u
1 |z
′(τ)| |dτ | df= s(u), u > 0. Тогда при τ > 0 имеем |z(τ)| ≤ s(τ) + |z(1)|.
Если 1 ≤ t ≤ q−1, то
s(qt) =
qt∫
1
|z′(τ)||dτ | ≤
qt∫
q
|z′(τ)|dτ +
1∫
qt
|z′(τ)|dτ =
1∫
q
|z′(τ)|dτ
df=N ≤ N + s(t).
При t ≥ q−1 находим s(qt) =
∫ qt
1 |z′(τ)|dτ ≤
∫ t
1 |z
′(τ)|dτ = s(t) ≤ s(t)+N. Таким образом,
при t ≥ 1 имеем s(qt) ≤ s(t) + N.
Из (6) следует
s(t) ≤ |C−1B|
t∫
1
|z(1)|+ s(τ)
τ2
dτ + |C−1A|
t∫
1
|z(1)|+ N + s(τ)
τ2
dτ + q|C−1|N+
+ q|C−1|(N + s(t)) ≤ K + (|C−1B|+ |C−1A|)
t∫
1
s(τ)
τ2
dτ + q|C−1|s(t),
где
K =
[
|C−1B| |z(1)|+ |C−1A| (|z(1)|+ N)
] +∞∫
1
1
τ2
dτ + 2q|C−1|N.
Без ограничения общности можно считать, что матрица C−1 имеет жорданову нормаль-
ную форму, у которой над главной диагональю стоят не единицы, а достаточно малые
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 4
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 441
числа ε > 0, чтобы выполнялось неравенство q|C−1| < 1. Тогда последнее неравенство
для s(t) можно представить в виде
s(t) ≤ (1− q|C−1|)−1K + (1− q|C−1|)−1(|C−1B|+ |C−1A|)
t∫
1
s(τ)
τ2
dτ = F + M
t∫
1
s(τ)
τ2
dτ,
где F = (1 − q|C−1|)−1K, M = (1 − q|C−1|)−1(|C−1B| + |C−1A|). Отсюда и из леммы
Гронуолла – Беллмана следует s(t) ≤ Fe
M
tR
1
1
s2 ds
≤ Fe
M
+∞R
1
1
s2 ds
, т. е.
+∞∫
1
|z′(τ)||dτ | =
1∫
0
|x′(t)|dt ≤ Fe
M
+∞R
1
1
s2
ds
.
Теорема доказана.
Если |λk(C)| < q, k = 1, n, то можно показать, что любое ограниченное в окрестности
нуля решение уравнения (1) представимо в виде x(t) = D(t)x(0), где матрица D(t) —
фиксированный степенной ряд.
В случае переменных матриц имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Пусть A(t), B(t), C(t) — комплексные (n × n)-матрицы, непрерывные в
окрестности нуля; 0 < q < 1; λk(C(0)), k = 1, n, — собственные значения матрицы
C(0). Тогда:
1) если |λk(C(0))| 6= q, k = 1, n, и существуют |λk1(C(0))| < q; C(t) ∈ C1[0, δ] и∫ δ
0 |C
′(s)|ds, то ограниченное в окрестности нуля решение уравнения (1) имеет право-
сторонний предел в нуле;
2) при |λk(C(0))| > q, k = 1, n, все решения уравнения (1) имеют правосторонний
предел в нуле.
Для простоты записи без ограничения общности считаем, что матрицы A(t), B(t) не-
прерывны на отрезке [0, 1], а C(t) непрерывно дифференцируема на [0, q−1]. Тогда для
доказательства первого утверждения теоремы достаточно записать уравнение (2) с пере-
менными матрицами в виде
C(0)q−1z(τ) = z(qτ)−
(
C
(
1
qτ
− C(0)
))
q−1z(τ)−
− e
−A(0)
�
1− 1
qτ
−C(0)
�
(z(1)− C(1)q−1z(q−1))−
− e
A(0) 1
qτ
qτ∫
1
eA(0) 1
s
((
A(0)−A
(
1
s
))
1
s2
z(s) −
−
(
A(0)C
(
1
s
)
q−1 + B
(
1
s
)
− C ′
(
1
s
)
q−1
)
1
s2
z(q−1s)
)
ds
и применить рассуждения из доказательства первого пункта теоремы 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 4
442 Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Для доказательства второго утверждения теоремы достаточно записать неравенство,
следующее из уравнения (2),
|z′(τ)| ≤ sup
s≥t0
∣∣∣∣C−1
(
1
qs
)
B
(
1
qs
)∣∣∣∣ 1
τ2
|z(τ)|+ sup
s≥t0
∣∣∣∣C−1
(
1
qs
)
A
(
1
qs
)∣∣∣∣ 1
τ2
|z(qτ)|+
+ q2
(
|C−1(0)|+ sup
s≥t0
∣∣∣∣C−1
(
1
qs
)
− C−1(0)
∣∣∣∣) |z′(qτ)|, τ ≥ t0,
в котором без ограничения общности можно считать, что q|C−1(0)| < 0, при достаточ-
но большом t0 : q
(
|C−1(0)|+ sup
s≥t0
∣∣∣C−1
(
1
qs
)
− C−1(0)
∣∣∣) < 1 проинтегрировать его на
отрезке [t0, t] и применить в дальнейшем те же рассуждения, что и для постоянных мат-
риц.
1. Полищук В. М., Шарковский А. Н. Представление решений линейных дифференциально-разностных
уравнений нейтрального типа // Дифференц. уравнения. — 1973. — 9, № 9. — С. 1627 – 1645.
2. Бельский Д. В. Об ограниченных на R+ решениях линейных систем дифференциально-функциональных
уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом и их свойствах
// Докл. АН Украины. — 2005. — № 8. — C. 10 – 14.
Получено 26.11.07
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 4
|