Обобщение леммы Шмидта на случай n- (d-) нормальных операторов в банаховом пространстве
Узагальнено вiдому лему Шмiдта на випадок лiнiйних обмежених нормально розв’язних операторiв у нескiнченновимiрних банахових просторах, якi є n- або d-нормальними. Припускається, що ядро й образ оператора доповнюванi в цих просторах....
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178415 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Обобщение леммы Шмидта на случай n- (d-) нормальных операторов в банаховом пространстве / В.Ф. Журавлев // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 4. — С. 443-450. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178415 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1784152021-02-20T01:26:16Z Обобщение леммы Шмидта на случай n- (d-) нормальных операторов в банаховом пространстве Журавлев, В.Ф. Узагальнено вiдому лему Шмiдта на випадок лiнiйних обмежених нормально розв’язних операторiв у нескiнченновимiрних банахових просторах, якi є n- або d-нормальними. Припускається, що ядро й образ оператора доповнюванi в цих просторах. We generalize the known Schmidt lemma to the case of a linear bounded normally solvable operator on an infinite dimensional Banach space that is n- or d-normal with the assumption that the kernel and the image of the operator have complements in the space. 2009 Article Обобщение леммы Шмидта на случай n- (d-) нормальных операторов в банаховом пространстве / В.Ф. Журавлев // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 4. — С. 443-450. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178415 517.983 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Узагальнено вiдому лему Шмiдта на випадок лiнiйних обмежених нормально розв’язних операторiв у нескiнченновимiрних банахових просторах, якi є n- або d-нормальними. Припускається,
що ядро й образ оператора доповнюванi в цих просторах. |
| format |
Article |
| author |
Журавлев, В.Ф. |
| spellingShingle |
Журавлев, В.Ф. Обобщение леммы Шмидта на случай n- (d-) нормальных операторов в банаховом пространстве Нелінійні коливання |
| author_facet |
Журавлев, В.Ф. |
| author_sort |
Журавлев, В.Ф. |
| title |
Обобщение леммы Шмидта на случай n- (d-) нормальных операторов в банаховом пространстве |
| title_short |
Обобщение леммы Шмидта на случай n- (d-) нормальных операторов в банаховом пространстве |
| title_full |
Обобщение леммы Шмидта на случай n- (d-) нормальных операторов в банаховом пространстве |
| title_fullStr |
Обобщение леммы Шмидта на случай n- (d-) нормальных операторов в банаховом пространстве |
| title_full_unstemmed |
Обобщение леммы Шмидта на случай n- (d-) нормальных операторов в банаховом пространстве |
| title_sort |
обобщение леммы шмидта на случай n- (d-) нормальных операторов в банаховом пространстве |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178415 |
| citation_txt |
Обобщение леммы Шмидта на случай n- (d-) нормальных операторов в банаховом пространстве / В.Ф. Журавлев // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 4. — С. 443-450. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT žuravlevvf obobŝenielemmyšmidtanaslučajndnormalʹnyhoperatorovvbanahovomprostranstve |
| first_indexed |
2025-07-15T16:53:28Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:53:28Z |
| _version_ |
1837732630331654144 |
| fulltext |
УДК 517.983
ОБОБЩЕНИЕ ЛЕММЫ ШМИДТА
НА СЛУЧАЙ n (d)-НОРМАЛЬНЫХ
ОПЕРАТОРОВ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В. Ф. Журавлев
Житомир. нац. агроэкол. ун-т
Украина, 10008, Житомир, бульв. Старый, 7
e-mail: vfz2008@ukr.net
We generalize the known Schmidt lemma to the case of a linear bounded normally solvable operator on
an infinite dimensional Banach space that is n- or d-normal with the assumption that the kernel and the
image of the operator have complements in the space.
Узагальнено вiдому лему Шмiдта на випадок лiнiйних обмежених нормально розв’язних опера-
торiв у нескiнченновимiрних банахових просторах, якi є n- або d-нормальними. Припускається,
що ядро й образ оператора доповнюванi в цих просторах.
Лемма Шмидта [1] наиболее полно изучена и широко применяется для обобщенного
обращения линейных ограниченных нормально разрешимых операторов, являющихся
фредгольмовыми (с ненулевыми ядрами), в виде так называемой конструкции Шмидта
[2]. Ее аналог для нетеровых операторов в конечномерных банаховых и гильбертовых
пространствах рассмотрен в [3].
Целью данной работы является доказательство утверждений, обобщающих лемму
Шмидта на случай линейных ограниченных нормально разрешимых операторов, явля-
ющихся n- или d-нормальными и действующих в бесконечномерных банаховых прост-
ранствах.
Постановка задачи. ПустьL— линейный ограниченный нормально разрешимый опе-
ратор, действующий из банахового пространства B1 в банахово пространство B2. Обо-
значим через dimN(L) = µ и dimN(L∗) = ν размерности нуль-пространств оператора
L и ему сопряженного L∗ соответственно. По классификации С. Г. Крейна [4] нормаль-
но разрешимый оператор L является n-нормальным, если µ конечно, а ν бесконечно, и
d-нормальным, если, наоборот, µ бесконечно, а ν конечно.
Если L : B1 → B2 — линейный ограниченный n-нормальный оператор, то будем
предполагать, что его образ R(L) дополняем [5] в пространстве B2, т. е.
B2 = Y ⊕R(L), (1)
а если L : B1 → B2 — линейный ограниченный d-нормальный оператор, то его ядро
N(L) дополняемо в пространстве B1, т. е.
B1 = N(L)⊕X. (2)
Основной результат. Проведем все рассуждения сначала для n-нормальных операто-
ров. Подпространство N(L) вследствие конечномерности (µ < ∞) имеет полную сис-
тему базисных элементов {fi}µ
i=1 ⊂ N(L), fi = col (f (1)
i , f
(2)
i , f
(3)
i , . . .).Пусть пространство
c© В. Ф. Журавлев, 2009
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 4 443
444 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
B2 имеет базис. Известно [6, с. 131], что B∗2 также имеет базис. Следовательно, под-
пространство N∗(L) ⊂ B∗2 имеет полную систему базисных элементов (функционалов)
{ϕs(·)}∞s=1 ⊂ N(L∗), ϕs(·) = col (ϕ(1)
s (·), ϕ(2)
s (·), ϕ(3)
s (·), . . .). Для элементов {fi}µ
i=1 и функ-
ционалов {ϕs(·)}∞s=1 существуют сопряженно биортогональные [7] система функциона-
лов {γj(·)}µ
j=1 ⊂ B∗1, γj(·) = col(γ(1)
j (·), γ(2)
j (·), γ(3)
j (·), . . .) и полная система элементов
{ψk}∞k=1 ⊂ B2, ψk = col(ψ(1)
k , ψ
(2)
k , ψ
(3)
k , . . .). Заметим, что каждый из функционалов
{γj(·)}µ
j=1, определенный на подпространстве N(L) ⊂ B1 (по теореме Хана – Банаха),
может быть продолжен, с сохранением нормы, на все пространство B1.
Обозначим через
X = (f1, f2, . . . , fµ), Γ(·) = (γ1(·), γ2(·), . . . , γµ(·))T
(3)
Φ(·) = (ϕ1(·), ϕ2(·), . . . , ϕk(·), . . .)T , Ψ = (ψ1, ψ2, . . . , ψk, . . .)
соответственно (∞×µ)-, (µ×∞)-, (∞×∞)- и (∞×∞)-мерные матрицы, причем Γ(X) =
= Eµ, Φ(Ψ) = E∞, Eµ, E∞ — единичные матрицы.
Оператор проектирования PN(L) : B1 → N(L) построим по формуле
PN(L)(·) = XΓ(·), PN(L) : B1 → B1.
Для построения оператора проектирования PY : B2 → B2 поступим следующим
образом. Определим последовательность проекторов
PY (j)(·) = ΨjΦj(·) (4)
пространства B2 на подпространства Yj ⊂ Y, натянутые на элементы {ψk}j
k=1.
Лемма 1. Последовательность (4) проекторов PY (j) сильно (поточечно) сходится
к проектору
PY (·) = ΨΦ(·) = lim
j→∞
ΨjΦj(·), PY : B2 → Y,
где Y ⊂ B2 — бесконечномерное пространство, натянутое на полную систему элемен-
тов {ψs}∞s=1.
Доказательство. Согласно определению сильной сходимости по норме пространства
B2, с учетом определения матриц Φ и Ψ имеем
‖PY y − PYjy‖ =
∥∥∥∥∥∥
∞∑
ξ=1
ϕξ(y)ψξ −
j∑
ξ=1
ϕξ(y)ψξ
∥∥∥∥∥∥ =
=
∥∥∥∥∥∥
∞∑
ξ=j+1
ϕξ(y)ψξ
∥∥∥∥∥∥ ≤
∞∑
ξ=j+1
‖ϕξ(y)ψξ‖ ∀y ∈ Y ⊂ B2.
Величина
∑∞
ξ=j+1 ‖ϕξ(y)ψξ‖ стремится к нулю при j → ∞ как остаток сходящегося ря-
да
∑∞
ξ=1 ϕξ(y)ψξ разложения элемента y ∈ Y по системе элементов {ψξ}∞ξ=1. А так как
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 4
ОБОБЩЕНИЕ ЛЕММЫ ШМИДТА НА СЛУЧАЙ n (d)-НОРМАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ . . . 445
функционалы {ϕj(·)}∞j=1 продолжаемы с сохранением нормы на все пространство B2, то∑∞
ξ=j+1 ‖ϕξ(y)ψξ‖ → 0 при j → ∞ для любого y ∈ B2.
Лемма доказана.
Покажем, что именно построенные проекторы разбивают пространства B1 и B2 на
взаимно дополняющие подпространства по формулам (1), (2).
Лемма 2. Операторы PN(L) и PY являются ограниченными проекторами в бана-
ховых пространствах B1 и B2 и разбивают их в прямые суммы замкнутых подпро-
странств по формулам (1), (2).
Доказательство. Прежде всего докажем, что операторы PN(L) и PY являются проек-
торами, т. е. удовлетворяют условиям P2
N(L) = PN(L), P2
Y = PY , определяющим проек-
торы
P2
N(L)(·) = PN(L)(PN(L)(·)) = XΓ(XΓ(·)) = XΓ(X)Γ(·) = XΓ(·) = PN(L)(·),
так как Γ(X) = Eµ, и
P2
Y (·) = PY (PY (·)) = ΨΦ(ΨΦ(·)) = ΨΦ(Ψ)Φ(·) = ΨΦ(y·) = PY (·),
так как Φ(Ψ) = Eν .
Таким образом, проекторы PN(L) и PY разбивают пространства B1 и B2 в прямые
топологические суммы замкнутых подпространств:
B1 = N (PN(L))⊕R (PN(L)), B2 = N (PY )⊕R (PY ).
Далее покажем, что
N (L) = R (PN(L)), R (L) = N (PY ),
(5)
Y = R (PY ), X = N (PN(L)).
Поскольку LPN(L)x = LXΓ(x) = 0, x ∈ B1 то R (PN(L)) ⊂ N (L). Пусть x ∈ N (L),
тогда x = Xc. Применив к последнему равенству матрицу функционалов Γ, получим
c = Γ(x), т. е. x = XΓ(x). Значит, x = PN(L)x и x ∈ R (PN(L)). Таким образом, N(L) ⊂
⊂ R (PN(L)) и первое равенство из (5) доказано.
Поскольку PY Lx = ΨΦ(Lz) = Ψ(L∗Φ)(z) = 0 (ϕs — базисные векторы нуль-прост-
ранства оператора L∗), то R (L) ⊂ N (PY ). С другой стороны, если y ∈ N (PY ), то
PY y = ΨΦ(y) = 0,
т. е. ϕs(y) = 0, s = 1, 2, . . . ,∞. А это в силу нормальной разрешимости оператора L
означает, что y ∈ R (L). Значит, N (PY ) ⊂ R (L) и доказательство второго равенства из
(5) завершено.
Третье и четвертое равенства из (5) доказываются аналогично.
Таким образом, проекторы PN(L) и PY разбивают банаховы пространства B1 и B2 в
прямые суммы замкнутых подпространств по формулам (1), (2).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 4
446 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
Ограниченность проектора PN(L) следует из его конечномерности, а проектора PY
— из дополняемости образа R(L) оператора L [8].
Лемма доказана.
Поскольку системы базисных элементов {ϕ(·)s}ν
s=1 ⊂ B∗2 нуль-пространства N(L∗) и
элементов {ψs}ν
s=1 ⊂ Y ⊂ B2 сопряженно биортогональны ϕs(ψk) = δsk, между ними
существует взаимно однозначное соответствие. Следовательно, подпространства N(L∗)
и Y изоморфны и имеют одинаковые размерности, dimN(L∗) = dimY. Вследствие того,
что µ конечно, а ν бесконечно, можно установить изоморфизм между N(L) и некоторым
подпространством Y1 ⊂ Y.
Построим этот изоморфизм.
Обозначим через
Φ(·) = (ϕ1(·), ϕ2(·), . . . , ϕµ(·))T и Ψ = (ψ1, ψ2, . . . , ψµ) (6)
соответственно (µ×∞)- и (∞×µ)-мерные матрицы, составленные из µ строк и столбцов
матриц Φ и Ψ соответственно. Матрица Ψ составлена из системы элементов {ψk}ν
k=1 ⊂
⊂ {ψk}∞k=1, на которую натянуто подпространство Y1, а матрица Φ — из функционалов
{ϕs}ν
s=1 ⊂ {ϕs}∞s=1, которые удовлетворяют соотношению Φ(Ψ) = Eµ. Линейный огра-
ниченный обратимый оператор J : N(L) → Y1 ⊆ Y, осуществляющий изоморфизмN(L)
на Y1, и ему обратный J−1 : Y1 → N (L) построим по формулам
J(·) = ΨΓ(·), (·) ∈ N(L),
J−1(·) = X Φ(·), (·) ∈ Y1.
По теореме Хана – Банаха каждый из линейных функционалов γi с сохранением нор-
мы может быть продолжен на все пространство B1, а каждый из линейных функцио-
налов ϕs — на все пространство B2. В связи с этим обозначим расширение оператора
J : N(L) → Y на все пространство B1 через PY1 , а расширение ему обратного J−1 на
пространство B2 через PN(L), т. е.
PY1(·) = ΨΓ(·), (·) ∈ B1,
PN(L)(·) = XΦ(·), (·) ∈ B2.
Использовав обозначения (6), проектирующий оператор PY1 : B2 → Y1 ⊂ Y опреде-
лим по формуле
PY1(·) = ΨΦ(·).
Этот оператор разбивает подпространство Y в прямую топологическую сумму подпрост-
ранств
Y = Y1 ⊕ Y2, (7)
где Y2 = PY2B2 = (PY − PY1)B2 и является ограниченным.
Для класса нормально разрешимых операторов, являющихся n-нормальными, дока-
жем утверждение, аналогичное лемме Шмидта.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 4
ОБОБЩЕНИЕ ЛЕММЫ ШМИДТА НА СЛУЧАЙ n (d)-НОРМАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ . . . 447
Лемма 3. Пусть L : B1 → B2 — линейный ограниченный n-нормальный оператор,
причем образ R(L) дополняем в пространстве B2. Тогда оператор L = L + PY1 имеет
ограниченный левый обратный
L
−1
l0 = (L+ PY1)
−1
l .
Общий вид обратных слева операторов L
−1
l0 определяется формулой
L
−1
l0 = L
−1
l0 (IB2 − PY2).
Доказательство. Пусть L — n-нормальный оператор. Для обратимости слева опера-
тора L необходимо и достаточно, чтобы [9]:
а) kerL = {0};
б) линейное многообразие R(L) являлось подпространством, имеющим прямое до-
полнение в B2.
Покажем, что kerL = {0}. Предположим, что существует x0 6= 0, x0 ∈ B1, такое, что
(L+ PY1)x0 = Lx0 + ΨΓ(x0) = 0.
Очевидно, чтоLx0 ∈ R(L), а из определения оператораPY1 следует, чтоPY1x0 ∈ Y1 ⊂
⊂ Y. Но подпространства R(L) и Y взаимно дополняют друг друга до всего пространс-
тва B2, следовательно, R(L)
⋂
Y = {0}, т. е. они имеют только один общий элемент
— нулевой. Таким образом, Lx0 = 0 и PY1x0 = 0. Из этого следует, что x0 ∈ N(L) и
x0 ∈ N(PY1) ⊂ X. Но подпространства N(L) и X также взаимно дополняют друг друга
до пространства B1, следовательно, N(L)
⋂
X = {0}. Отсюда следует, что x0 = 0.
Дополняемость образа R(L) в пространстве B2 следует из (7) и дополняемости под-
пространства R(L)
B2 = R(L)⊕ Y1 ⊕ Y2 = R(L)⊕ Y2. (8)
Следовательно, оператор L имеет левый обратный оператор. Оператор L осуществ-
ляет взаимно однозначное соответствие банахова пространства B1 на подпространство
B2 Y2, тогда по теореме Банаха [10] оператор L
−1
l ограничен. Известно [9, с. 61], что
если оператор проектирования P имеет свойство R(P) = R(L), то общий вид левых
обратных операторов имеет представление L
−1
l0 P. Как следует из (8), такое свойство
имеет оператор IB2 − PY2 , т. е. R(IB2 − PY2) = R(L), значит, общее представление ле-
вых обратных операторов можно записать в виде
L
−1
l0 = L
−1
l0 (IB2 − PY2).
Лемма доказана.
Замечания. 1. Если dim kerL < dim kerL∗ < ∞, т. е. L — нетеров оператор отрица-
тельного индекса, то лемма 3 переходит в лемму 2.4 [3, с. 47].
2. Если dim kerL = dim kerL∗ = n < ∞, т. е. L — фредгольмов оператор ненулевого
индекса, то лемма 3 переходит в лемму Шмидта [2, с. 340].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 4
448 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
Пусть теперь L : B1 → B2 — линейный ограниченный d-нормальный оператор. В
этом случае подпространство N(L) бесконечномерно (µ = ∞), а подпространство N(L∗)
конечномерно (ν < ∞). Пусть пространство B1 имеет базис. Следовательно, N(L) так-
же имеет базис. Пусть {fi}∞i=1 ⊂ N(L) — полная система базисных элементов. Подпро-
странство N(L∗) имеет конечномерный базис {ϕs}ν
s=1 ⊂ N(L∗). Для элементов {fi}∞i=1
и функционалов {ϕs}ν
s=1 существуют сопряженно биортогональные [7] система функци-
оналов {γj}∞j=1 ⊂ B∗1 и полная система элементов {ψk}ν
k=1 ⊂ B2. Каждый из функцио-
налов {γj}∞j=1 и {ϕs}ν
s=1, определенный на подпространстве N(L) ⊂ B1 и Y ⊂ B2 (по
теореме Хана – Банаха), может быть продолжен, с сохранением нормы, на пространства
B1 и B2 соответственно.
Аналогично (3) обозначим через
X = (f1, f2, . . . , fs, . . .), Γ(·) = (γ1(·), γ2(·), . . . , γs(·), . . .)T ,
Φ(·) = (ϕ1(·), ϕ2(·), . . . , ϕν(·))T , Ψ = (ψ1, ψ2, . . . , ψν)
соответственно (∞×∞)-, (∞×∞)-, (ν×∞)- и (∞× ν)-мерные матрицы, причем Γ(X) =
= E∞, Φ(Ψ) = Eν , E∞, Eν — единичные матрицы.
Для построения оператора проектирования PN(L) : B1 → N(L) определим последо-
вательность проекторов
PN(i)(L)(·) = XiΓi(·), i = 1, 2, 3, . . . , (9)
пространства B1 на подпространства Ni(L) нуль-пространства N(L).
Лемма 4. Последовательность (9) проекторов PN(i)(L) сильно (поточечно) сходит-
ся к проектору
PN(L)(·) = XΓ(·) = lim
i→∞
XiΓi(·), PN(L) : B1 → N(L). (10)
Доказательство проводится аналогично доказательству леммы 1.
Оператор проектирования PY : B2 → Y пространства B2 на подпространство Y
определим по формуле
PY (·) = ΨΦ(·) (11)
Для операторов проектирования (10) и (11) справедливы утверждения леммы 2.
Поскольку µ бесконечно, а ν конечно, можно установить изоморфизм междуN1(L) ⊂
⊂ N(L) и Y.
Построим этот изоморфизм. Обозначим через
X = (f1, f2, . . . , fν), Γ(·) = (γ1(·), γ2(·), . . . , γν(·))T (12)
соответственно (∞×ν)- и (ν×∞)-мерные матрицы. Тогда линейный ограниченный обра-
тимый оператор J : N1(L) → Y, осуществляющий изоморфизм N1(L) на Y, и ему обрат-
ный J−1 : Y → N1(L) построим по формулам
J(·) = ΨΓ(·), (·) ∈ N1(L),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 4
ОБОБЩЕНИЕ ЛЕММЫ ШМИДТА НА СЛУЧАЙ n (d)-НОРМАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ . . . 449
J−1(·) = X Φ(·), (·) ∈ Y.
Матрица X составлена из ν столбцов матрицы X, а матрица Γ(·) — из функционалов
матрицы Γ(·), которые удовлетворяют соотношению Γ(X) = Eν .
Обозначим расширение оператора J : N(L) → Y на все пространство B1 через PY , а
расширение ему обратного J−1 на пространство B2 — через PN1(L), т. е.
PY (·) = ΨΓ(·), (·) ∈ B1,
PN1(L)(·) = XΦ(·), (·) ∈ B2.
По аналогии с (11) проектирующий оператор PN1(L) : B1 → N1(L) ⊂ N(L) определим
по формуле
PN1(L)(·) = X Γ(·). (13)
Этот оператор ограничен и разбивает подпространство N(L) в прямую топологическую
сумму подпространств
N(L) = N1(L)⊕N2(L), N2(L) = PN2(L)B1, (14)
где PN2(L) = PN(L) − PN1(L) — ограниченный проектор.
Для класса нормально разрешимых операторов, являющихся d-нормальными, дока-
жем утверждение, аналогичное лемме Шмидта.
Лемма 5. Пусть L : B1 → B2 — линейный ограниченный d-нормальный оператор,
причем ядро N(L) дополняемо в пространстве B1. Тогда оператор L = L + PY имеет
ограниченный правый обратный
L
−1
r0
= (L+ PY )−1
r .
Общий вид обратных справа операторов L
−1
r0
определяется формулой
L
−1
r0
= (IB1 − PN2(L))L
−1
r .
Доказательство. Для обратимости справа оператора L необходимо и достаточно, что-
бы [9]:
а) R(L) = B2;
б) подпространство N(L) имело прямое дополнение в B1.
Из второго равенства в (5) имеем R(L) = N(PY ), т. е. условие R(L) = B2 эквивалент-
но условию
PY (·) = ΨΦ(·) = 0.
Поскольку система элементов {ψs}ν
s=1 линейно независима, то последнее соотношение
будет иметь место тогда и только тогда, когда все {ϕs}ν
s=1 = 0. А это, в свою оче-
редь, означает, что нуль-пространство сопряженного оператора является нулевым, т. е.
N(L∗) = {0}.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 4
450 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
Покажем, что N(L ∗) = {0}. Пусть существует функционал ϕ0, ϕ0 6= 0, ϕ ∈ B∗2 такой,
что L
∗
ϕ0 = (L+ PY )∗ϕ0 = 0. С учетом определения оператора PY имеем
L∗ϕ0 = −P ∗
Y ϕ0.
Применив функционалы L∗ϕ0 ∈ B∗1 и P ∗
Y к матрице X, получим: с одной стороны,
(L∗ϕ0)(X) = ϕ0(LX) = 0,
так как LX = 0, а с другой —
P ∗
Y ϕ0(X) = ϕ0(PY X) = ϕ0(Ψ)Γ(X) = ϕ0(Ψ),
поскольку Γ(X) = δij . Так как система элементов {ψi}ν
i=1 линейно независима, равенство
ϕ0(Ψ) = 0 возможно только при ϕ0 = 0. Полученное противоречие доказывает, что
N(L ∗) = {0}, а это, в свою очередь, означает, что R(L) = B2.
Дополняемость нуль-пространства N(L) следует из определения проектора PN1(L)
(13) и разбиения (14) нуль-пространства N(L) оператора L.
Известно [9, с. 62], что если оператор проектирования P имеет свойство N(P) =
= N(L), то общий вид правых обратных операторов имеет представление P L−1
r0
. Как
следует из (14), такое свойство имеет оператор IB1 −PN2(L), т. е. N(IB1 −PN2(L)) = N(L),
значит, общее представление левых обратных операторов можно записать в виде
L
−1
r0
= (IB1 − PN2(L))L
−1
r .
Лемма доказана.
Замечание 3. Если dim kerL∗ < dim kerL < ∞, т. е. L — нетеров оператор положи-
тельного индекса, то лемма 5 переходит в лемму 2.4 [3, с. 47].
1. Schmidt E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. Teil 3. Uber die Auflosungen der
nichtlinearen Integralgleichungen und die Verzweigung ihrer Losungen // Math. Ann. — 1908. — № 65.
2. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. — М.: Наука, 1969.
— 527 с.
3. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 320 с.
4. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1971. — 104 с.
5. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом про-
странстве. — М.: Наука, 1970. — 534 с.
6. Люстерник Л. А.,Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа. — М.: Высш. шк., 1982. —
271 с.
7. Гринблюм М. М. Биортогональные системы в пространстве Банаха // Докл. АН СССР. — 1945. — 47,
№ 2. — С. 79 – 82.
8. Кадец М. И., Митягин Б. С. Дополняемые подпространства в банаховых пространствах // Успехи мат.
наук. — 1973. — 28, вып. 6. — С. 77 – 94.
9. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов.
— Кишинев: Штиинца, 1973. — 426 с.
10. Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
Получено 06.04.09
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 4
|