К динамике струнного генератора: эффект запаздывания в нелинейной обратной связи
Дослiджено вплив запiзнення у зворотному зв’язку на коливальнi характеристики (амплiтуду i частоту) струнного генератора, який, як вiдомо, працює в автоколивальному режимi i входить до складу струнного акселерометра — приладу, призначеного для вимiрювання прискорень балiстичних ракет i ракет-носiїв...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178573 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | К динамике струнного генератора: эффект запаздывания в нелинейной обратной связи / Д.Г. Кореневский, А.М. Пилькевич // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 168-190. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178573 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1785732021-02-28T01:26:13Z К динамике струнного генератора: эффект запаздывания в нелинейной обратной связи Кореневский, Д.Г. Пилькевич, А.М. Дослiджено вплив запiзнення у зворотному зв’язку на коливальнi характеристики (амплiтуду i частоту) струнного генератора, який, як вiдомо, працює в автоколивальному режимi i входить до складу струнного акселерометра — приладу, призначеного для вимiрювання прискорень балiстичних ракет i ракет-носiїв космiчних апаратiв та iнших об’єктiв, що рухаються. Математичну модель динамiки струнного генератора подано у виглядi квазiлiнiйного гiперболiчного рiвняння другого порядку iз сталим запiзненням по однiй iз незалежних змiнних (часу). Для аналiзу математичної моделi використано одночастотний асимптотичний метод нелiнiйної механiки Крилова – Боголюбова – Митропольського (його 1- та 2-е наближення). Показано, що збiльшення запiзнення в пiдсилювачi нелiнiйного зворотного зв’язку знижує частоту автоколивань i через це перетворює струнний генератор в низькочастотний прилад. We study the way a delay in the feedback influences oscillating properties (the amplitude and the frequency) of a string generator that, as it is well-known, works in an self-induced oscillation mode and is a part of a acceleration string meter, which is a device for measuring the acceleration of ballistic missiles and carriers for space apparatus and other moving objects. The mathematical dependent model for the dynamics of the string generator is taken in the form of a quasilinear second order hyperbolic equation with a constant delay in one of the variables, the time variable. In order to analyze the mathematical model, we use the one-frequency asymptotic method for Krylov – Bogolyubov – Mitropol’sky nonlinear mechanics, its first and second order approximations. In the paper we show the following. An increase of the delay in the nonlinear feedback amplifier results in a decrease of the frequency of the self-induced oscillations, which makes the string generator a low-frequency device. 2008 Article К динамике струнного генератора: эффект запаздывания в нелинейной обратной связи / Д.Г. Кореневский, А.М. Пилькевич // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 168-190. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178573 531.383 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Дослiджено вплив запiзнення у зворотному зв’язку на коливальнi характеристики (амплiтуду
i частоту) струнного генератора, який, як вiдомо, працює в автоколивальному режимi i входить до складу струнного акселерометра — приладу, призначеного для вимiрювання прискорень балiстичних ракет i ракет-носiїв космiчних апаратiв та iнших об’єктiв, що рухаються.
Математичну модель динамiки струнного генератора подано у виглядi квазiлiнiйного гiперболiчного рiвняння другого порядку iз сталим запiзненням по однiй iз незалежних змiнних (часу).
Для аналiзу математичної моделi використано одночастотний асимптотичний метод нелiнiйної механiки Крилова – Боголюбова – Митропольського (його 1- та 2-е наближення). Показано, що збiльшення запiзнення в пiдсилювачi нелiнiйного зворотного зв’язку знижує частоту
автоколивань i через це перетворює струнний генератор в низькочастотний прилад. |
| format |
Article |
| author |
Кореневский, Д.Г. Пилькевич, А.М. |
| spellingShingle |
Кореневский, Д.Г. Пилькевич, А.М. К динамике струнного генератора: эффект запаздывания в нелинейной обратной связи Нелінійні коливання |
| author_facet |
Кореневский, Д.Г. Пилькевич, А.М. |
| author_sort |
Кореневский, Д.Г. |
| title |
К динамике струнного генератора: эффект запаздывания в нелинейной обратной связи |
| title_short |
К динамике струнного генератора: эффект запаздывания в нелинейной обратной связи |
| title_full |
К динамике струнного генератора: эффект запаздывания в нелинейной обратной связи |
| title_fullStr |
К динамике струнного генератора: эффект запаздывания в нелинейной обратной связи |
| title_full_unstemmed |
К динамике струнного генератора: эффект запаздывания в нелинейной обратной связи |
| title_sort |
к динамике струнного генератора: эффект запаздывания в нелинейной обратной связи |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178573 |
| citation_txt |
К динамике струнного генератора: эффект запаздывания в нелинейной обратной связи / Д.Г. Кореневский, А.М. Пилькевич // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 168-190. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT korenevskijdg kdinamikestrunnogogeneratoraéffektzapazdyvaniâvnelinejnojobratnojsvâzi AT pilʹkevičam kdinamikestrunnogogeneratoraéffektzapazdyvaniâvnelinejnojobratnojsvâzi |
| first_indexed |
2025-07-15T16:43:35Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:43:35Z |
| _version_ |
1837732007968243712 |
| fulltext |
УДК 531 . 383
К ДИНАМИКЕ СТРУННОГО ГЕНЕРАТОРА: ЭФФЕКТ ЗАПАЗДЫВАНИЯ
В НЕЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ*
Д. Г. Кореневский, А. М. Пилькевич
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев, ул. Терещенковская, 3
e-mail: koren@imath.kiev.ua
We study the way a delay in the feedback influences oscillating properties (the amplitude and the frequency)
of a string generator that, as it is well-known, works in an self-induced oscillation mode and is a part of a
acceleration string meter, which is a device for measuring the acceleration of ballistic missiles and carriers
for space apparatus and other moving objects. The mathematical dependent model for the dynamics of
the string generator is taken in the form of a quasilinear second order hyperbolic equation with a constant
delay in one of the variables, the time variable. In order to analyze the mathematical model, we use the
one-frequency asymptotic method for Krylov – Bogolyubov – Mitropol’sky nonlinear mechanics, its first
and second order approximations. In the paper we show the following. An increase of the delay in the
nonlinear feedback amplifier results in a decrease of the frequency of the self-induced oscillations, which
makes the string generator a low-frequency device.
Дослiджено вплив запiзнення у зворотному зв’язку на коливальнi характеристики (амплiтуду
i частоту) струнного генератора, який, як вiдомо, працює в автоколивальному режимi i вхо-
дить до складу струнного акселерометра — приладу, призначеного для вимiрювання приско-
рень балiстичних ракет i ракет-носiїв космiчних апаратiв та iнших об’єктiв, що рухаються.
Математичну модель динамiки струнного генератора подано у виглядi квазiлiнiйного гiпербо-
лiчного рiвняння другого порядку iз сталим запiзненням по однiй iз незалежних змiнних (часу).
Для аналiзу математичної моделi використано одночастотний асимптотичний метод нелi-
нiйної механiки Крилова – Боголюбова – Митропольського (його 1- та 2-е наближення). Пока-
зано, що збiльшення запiзнення в пiдсилювачi нелiнiйного зворотного зв’язку знижує частоту
автоколивань i через це перетворює струнний генератор в низькочастотний прилад.
1. Применение струнных генераторов. Струнные акселерометры. Струнный генератор
(частотный датчик) — прибор, использующий струнный метод измерения силы и осно-
ванный на измерении собственной частоты струны при изменении силы натяжения. Струн-
ный метод измерения применяется для определения гравитационных полей (см., напри-
мер, [1]), для определения поля перегрузок и линейных ускорений (см., например, [2 –
19]). В последнем случае струнные генераторы комбинируются парами (для получения
линейной зависимости), и такая пара называется струнным акселерометром.
С учетом современного состояния и дальнейшего роста возможностей средств
цифровой вычислительной техники струнные акселерометры являются перспективными
датчиками первичной информации о движении. Реализуя прямое преобразование уско-
рений движущегося объекта в частоту, эти акселерометры оптимально вписываются в
микропроцессорные системы измерения и обработки информации, что позволяет обес-
∗ Виконано за часткової фiнансової пiдтримки НДР „Сучаснi математичнi моделi динамiки та стiй-
костi фiзичних процесiв у складних механiчних, гiдродинамiчних та бiомеханiчних структурах”. Замовник —
Президiя НАН України.
c© Д. Г. Кореневский, А. М. Пилькевич, 2008
168 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
К ДИНАМИКЕ СТРУННОГО ГЕНЕРАТОРА: ЭФФЕКТ ЗАПАЗДЫВАНИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ 169
Рис. 1
печить достаточно рациональное соотношение точности, эксплуатационных характе-
ристик и себестоимости.
Частотные датчики в области сил и давлений являются в настоящее время — в срав-
нении с другими типами датчиков — наиболее точными приборами. В связи с этим они,
в основном, применялись и сейчас применяются для специальных измерений в инерци-
альной навигации и инерциальном наведении баллистических ракет и ракет-носителей
космических аппаратов. Это накладывало свой отпечаток на характер публикаций (в
основном закрытых до начала 90-х годов XX века). Хотя количество публикаций по
струнным акселерометрам к настоящему времени велико, все эти публикации до сере-
дины 90-х годов имели рекламный или патентный характер и технические данные об
устройстве и достигнутой точности в них не приводились. В последние пятнадцать лет
появились некоторые аналитические обзоры (см., например, [6, 12]) и статьи (см., напри-
мер, [16, 19]). Такие акселерометры способны работать в промежутке ускорений от 1g до
20g (g — ускорение земного тяготения) и в последнее время до 100g. Требования к точ-
ности измерения инерционной силы, развиваемой инерционной массой, в этих областях
их применения очень велики. При измерении на уровне 1g чувствительность приборов
находится на уровне 0, 001g. Допустимая нечувствительность составляет 10−4 от диапа-
зона измерения.
Чувствительный элемент струнного акселерометра состоит из массы m и двух струн
одинаковой длины l, имеющих одно и то же натяжение T (0) при нулевом ускорении
(рис. 1), каждая из которых своим свободным концом закреплена в корпусе акселеро-
метра.
Эти струны расположены на одной прямой, которая является осью чувствительности
акселерометра (ось x). Для предохранения струн от поперечного прогиба инерционная
масса m установлена в упругом подвесе, имеющем малую жесткость в направлении оси
чувствительности.
В этих условиях частота ω каждой струны выражается формулой
ω =
1
2l
√
T (0)
ρS
, (1.1)
где ρ — удельный вес, S — площадь сечения струны.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
170 Д. Г. КОРЕНЕВСКИЙ, А. М. ПИЛЬКЕВИЧ
При наличии ускорения q к инерционной массе m прибора приложена сила инерции
mq, приводящая к удлинению одной из струн и укорочению на ту же величину другой.
При этом натяжение струн будет не T (0), а соответственно T (1) и T (2) (последние связа-
ны с mq с помощью уравнения сил T (2) = T (1) + 2mq). Частоты ω(1) и ω(2) поперечных
колебаний струн определятся соответственно выражениями
ω(1) =
1
2l
√
T (1)
ρS
, ω(2) =
1
2l
√
T (2)
ρS
. (1.2)
Тогда можно записать
(ω(2))2 − (ω(1))2 =
1
4l2ρS
(T (2) − T (1)) =
mq
2l2ρS
. (1.3)
Из соотношения (1.3) следует, что, измеряя частоты ω(1) и ω(2) собственных колебаний
струн, можно определить ускорение q.
Для практической реализации идеи струнного акселерометра удобно поддерживать
сумму частот ω(1) +ω(2) постоянной. В этом случае разность частот ω(2)−ω(1) будет про-
порциональна величине q (линейная зависимость):
ω(2) − ω(1) =
mq
2l2ρS[ω(1) + ω(2)]
. (1.4)
По своему принципу струнные акселерометры, как и вообще все струнные датчики,
могут обеспечить высокую собственную частоту измерительной системы и, следователь-
но, высокую вибро- и ударопрочность. Выходной сигнал в виде частоты является потен-
циально более точным, так как эталонные значения частот или интервалов времени до-
ступны нам с наибольшей точностью. Кроме того, это позволяет легко сопрягать его с
цифровыми вычислительными устройствами. В частности, простой цифровой сумматор,
на вход которого подаются импульсы с частотами ω(1) и ω(2), дает возможность получить
интеграл по времени от разности частот ω(2) − ω(1), который пропорционален интегралу
по времени от измеряемого ускорения,
∫
q dt.
Колебания струны из немагнитного материала возбуждаются проходящим по ней то-
ком в поле постоянного магнита (магнитоэлектрическое возбуждение (рис. 2)). Струны
1 и 2 включены в схемы автогенераторов 3 и 4, выходное напряжение которых пода-
ется на смеситель 5. Разность ω(2) − ω(1) является выходным сигналом прибора. Для ста-
билизации суммарной частоты ω(1) + ω(2) предназначена обратная связь, включающая
схему сложения частот 6, детектор 7 и усилитель 8. Последний управляет исполнитель-
ным элементом 9. Суммарная частота ω(1) + ω(2) сравнивается с эталонной частотой
ωэт. Разность этих частот ω(1) + ω(2)) − ωэт с учетом знака преобразуется в постоянный
ток и регулирует с помощью исполнительного элемента натяжения струн до совпадения
частот ωэт = ω(1) + ω(2) [2, 4].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
К ДИНАМИКЕ СТРУННОГО ГЕНЕРАТОРА: ЭФФЕКТ ЗАПАЗДЫВАНИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ 171
Рис. 2
2. Уравнения движения струнного генератора. Случай одной пары магнитов. Уравне-
ния, описывающие процессы в струнном генераторе без учета запаздывания в усилителе,
могут быть сведены к виду [11]
∂2U(t, x)
∂t2
= c21
∂2U(t, x)
∂x2
− 2 ε
h
ρ
∂U(t, x)
∂t
+ ε
F
ρ
, (2.1)
U(t, 0) = U(t, l) = 0, t0 ≤ t < ∞, U(t0, x) = u(x), 0 < x < l, (2.2)
F = B(x) J(t), (2.3)
B(x) =
B0 при
l
2
− b ≤ x ≤ l
2
+ b,
0 при 0 ≤ x <
l
2
− b, l
2
+ b < x ≤ l,
(2.4)
J(t) = 2h1E(t)− 2
3
h2E
3(t), h1, h2 > 0, (2.5)
E(t) =
l∫
0
B(x)
∂ U(t, x)
∂t
dx. (2.6)
Здесь уравнение (2.1) описывает плоские поперечные колебания гибкой струны длиной
l и плотностью ρ в кусочно-постоянном магнитном поле под действием пондеромотор-
ной силы ε F, возникающей в струне при прохождении тока J(t). Удельный коэффи-
циент демпфирования материала струны обозначен через 2 εh, ε — малый параметр.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
172 Д. Г. КОРЕНЕВСКИЙ, А. М. ПИЛЬКЕВИЧ
Магнитная индукция B(x) в зазоре между подошвами магнита шириной 2 b определяется
формулой (2.4). Характеристика нелинейного усилителя в соответствии с формулой (2.5)
предполагается мягкой. Электродвижущая сила, наводимая в струне при ее колебаниях,
подсчитывается по формуле (2.6). Через c1 обозначена скорость распространения возму-
щений в струне; она связана с силой натяжения струны T (0) соотношением T (0) = c21 ρ.
Если учесть постоянное запаздывание τ, вносимое усилителем, то характеристика
(2.5) принимает вид
J(t) = 2h1E(t− τ)− 2
3
h2E
3(t− τ). (2.7)
Поскольку мы задались целью изучить влияние запаздывания усилителя на работу
струнного генератора, в дальнейшем в системе уравнений (2.1) – (2.6) вместо уравнения
(2.5) будем рассматривать уравнение (2.7).
Величина τ в случае применения магнитных усилителей может достигать 10 милли-
секунд [20]. Хотя τ, как видно, очень малое, однако оно в большинстве случаев сравнимо
с периодом собственных колебаний струны.
Наличие малого параметра ε при нелинейности F позволяет для анализа математи-
ческой модели (2.1) – (2.4), (2.6), (2.7) применить один из методов малого параметра, в
частности одночастотный асимптотический метод нелинейной механики Крылова – Бо-
голюбова – Митропольского, развитый применительно к гиперболическим уравнениям в
частных производных и с запаздыванием в работе Ю. А. Митропольского и Д. Г. Коре-
невского [21].
3. Редукция исходной нелинейной задачи к асимптотическим представлениям Крыло-
ва – Боголюбова – Митропольского. При ε = 0 система уравнений (2.1) – (2.4), (2.6), (2.7)
является линейной и при граничных условиях (2.2) допускает решение U(t, x), которое
может быть найдено методом разделения переменных, т. е. в виде
U(t, x) = X(x)T (t),
где функции X(x) и T (t) подлежат определению. При этом задача сводится к решению
обычной краевой задачи (задачи Штурма – Лиувилля) по пространственной переменной
x, по которой нет отклонения аргумента, и к решению начальной задачи для обыкновен-
ных дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием по независимой пере-
менной t.
Разделяя переменные, приходим к представлению решения U(t, x) в виде
U(t, x) =
∞∑
n=1
Tn(t) sinλnx, (3.1)
где λn =
nπ
l
, n = 1, 2, . . . , и sinλnx — соответственно собственные числа и собственные
функции задачи Штурма – Лиувилля, которые определяют формы динамического равно-
весия (первую, вторую и т. д.), а функции Tn(t) являются решением следующих диффе-
ренциальных уравнений (уравнений осцилляторов)
T ′′n (t) + λ2
n c
2
1 Tn(t) = 0, n = 1, 2, . . . , (3.2)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
К ДИНАМИКЕ СТРУННОГО ГЕНЕРАТОРА: ЭФФЕКТ ЗАПАЗДЫВАНИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ 173
с соответствующими начальными условиями.
Тогда частное решение из семейства (3.1), соответствующее первой форме (n = 1)
динамического равновесия, с учетом (3.2) определяется выражением
U(t, x) = a cos(ωt+ ϕ) sin
πx
l
, ω =
π
l
c1, (3.3)
и, как видно, является двупараметрическим, колебательным по времени t; здесь через a
и ϕ обозначены постоянные параметры — амплитуда и фаза колебаний соответственно
(d a/d t = 0, d ϕ/d t = 0).
Для определения колебательного решения нелинейной задачи (ε 6= 0), возникающе-
го из колебательного решения (3.3) линейной задачи (ε = 0), применим одночастотный
асимптотический метод нелинейной механики Крылова – Боголюбова – Митропольского
[21]. При решении нелинейной задачи ограничимся лишь 2-м приближением метода. Это
означает, что колебательное решение вида (3.3) для нелинейной системы ищется в виде
U(t, x) = a cosψ sin
πx
l
+ εW1(a, ψ, x), ψ = ωt+ ϕ, (3.4)
где амплитуда a и фазовый угол ϕ не являются постоянными, а зависят от времени и
определяются из системы дифференциальных уравнений
d a
d t
= ε P1(a) + ε2 P2(a),
d ψ
d t
= ω +
dϕ
d t
= ω + εQ1(a) + ε2Q2(a). (3.5)
Неизвестные функции P1(a), P2(a), Q1(a), Q2(a), W1(a, ψ, x) подлежат определению в
процессе построения решения (3.4).
В соответствии с [21] процедура определения входящей в (3.4) неизвестной функции
W1(a, ψ, x) и входящих в (3.5) неизвестных функций P1(a), P2(a), Q1(a), Q2(a) состоит
в том, что, подставляя (3.4) в краевую задачу (2.1) – (2.4), (2.6), (2.7), получаем краевую
задачу для определения W1. Решая затем краевую задачу для W1 методом разделения
переменных с последующим разложением W1 в ряд Фурье, из условия отсутствия в ряде
Фурье „резонансных” коэффициентов получаем искомые алгебраические уравнения для
определения неизвестных функций P1(a), P2(a), Q1(a), Q2(a).
Чтобы не было в дальнейшем неясностей, заметим, что в теории асимптотическо-
го метода Крылова – Боголюбова – Митропольского понимается: под 1-м приближением
метода — отсутствие члена εW1(a, ψ, x) в формуле (3.4) и отсутствие членов ε2 P2(a)
и ε2Q2(a) в формуле (3.5); под 1-м улучшенным приближением — отсутствие членов
ε2 P2(a) и ε2Q2(a) в формуле (3.5).
В конечном итоге нас интересует зависимость амплитуды a и фазы ϕ от времени. Эту
зависимость можно определить, проинтегрировав уравнения (3.5), но для этого необхо-
димо найти неизвестную пока функцию W1.
Нелинейная краевая задача (2.1) – (2.4), (2.6), (2.7) после подстановки выражения (3.4)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
174 Д. Г. КОРЕНЕВСКИЙ, А. М. ПИЛЬКЕВИЧ
редуцируется к линейной краевой задаче для искомой функции W1(a, ψ, x) :
ω2 ∂
2W1(a, ψ, x)
∂ψ2
= c21
∂2W1(a, ψ, x)
∂x2
+
[
2ω (P1 sinψ + aQ1 cosψ)+
+ 2
h
ρ
aω sinnψ
]
sin
πx
l
+
1
ρ
B(x)
[
− 4 l
π
B0 h1 aω sin
πb
l
sin(ψ − ωτ) +
+
4 l3
3π3
h2B
3
0 a
3 ω3 sin3 πb
l
sin3(ψ − ωτ)
]
, (3.6)
W1(a, ψ, 0) = W1(a, ψ, l) = 0.
4. Алгоритм решения (второе приближение). Ищем решение W1(a, ψ, x) краевой за-
дачи (3.6) в виде ряда по собственным функциям линейной краевой задачи (ε = 0):
W1(a, ψ, x) =
∞∑
n=1
W1n(a, ψ) sin
nπx
l
, (4.1)
где
W1n(a, ψ) =
l∫
0
W1(a, ψ, x) sin
nπx
l
dx.
В свою очередь, коэффициенты W1n представим в виде ряда Фурье по ψ :
W1n(a, ψ) =
∞∑
σ=1
[
W
(σ)s
1n (a) sinσψ +W
(σ)c
1n (a) cosσψ
]
,
где
W
(σ)s
1n (a) =
1
2π
2π∫
0
W1n(a, ψ) sinσψ dψ, W
(σ)c
1n (a) =
1
2π
2π∫
0
W1n(a, ψ) cosσψ dψ.
Обозначим известную составляющую правой части уравнения (3.6) через Φ1(a, ψ, x).
Тогда, учитывая, что на промежутке (0, l) функция B(x) представима в виде ряда по соб-
ственным функциям линейной краевой задачи,
B(x) =
4
π
B0
(
sin
πb
l
sin
πx
l
+
1
3
sin
3π b
l
sin
3π x
l
+
1
5
sin
5π b
l
sin
5π x
l
+ . . .
)
=
=
4
π
B0
∞∑
n=1
1
2n− 1
sin
(2n− 1)π b
l
sin
(2n− 1)π x
l
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
К ДИНАМИКЕ СТРУННОГО ГЕНЕРАТОРА: ЭФФЕКТ ЗАПАЗДЫВАНИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ 175
для Φ1(a, ψ, x) получаем выражение
Φ1(a, ψ, x) = 2
h
ρ
aω sinψ sin
π x
l
+
+
1
ρ
4B0
π
[
− 4 l
π
B0 h1 aω sin
πb
l
(
sinψ cosωτ − cosψ sinωτ
)
+
+
4
3
h2B
3
0
l3
π3
a3 ω3 sin3 πb
l
(
3 sinψ cosωτ − 3 cosψ sinωτ − sin 3ψ cos 3ωτ +
+ cos 3ψ sin 3ωτ
)]( ∞∑
n=1
1
2n− 1
sin
(2n− 1)π b
l
sin
(2n− 1)π x
l
)
. (4.2)
Разлагая Φ1(a, ψ, x) в ряд Фурье по собственным функциям линейной задачи (ε = 0),
Φ1(a, ψ, x) =
∞∑
n=1
Φ1n(a, ψ) sin
nπ x
l
,
где
Φ1n(a, ψ) =
1
l
l∫
0
Φ1(a, ψ, x) sin
nπ x
l
dx,
а коэффициенты Φ1n(a, ψ) в ряд Фурье по переменной ψ,
Φ1n(a, ψ) =
∞∑
σ=1
[
Φ(σ)s
1n (a) sinσψ + Φ(σ)c
1n (a) cosσψ
]
,
где
Φ(σ)s
1n (a) =
1
2π
2 π∫
0
Φ1n(a, ψ) sinσψ dψ,
Φ(σ)c
1n (a) =
1
2π
2 π∫
0
Φ1n(a, ψ) cosσψ dψ,
последовательно получаем
Φ11(a, ψ) = 2
h
ρ
aω sinψ +
1
ρ
4B0
π
[
− 4 l
π
a ω B0 h1 sin
πb
l
(
sinψ cosωτ − cosψ sinωτ
)
+
+
4
3
a3 ω3 h2B
3
0
l3
π3
sin3 πb
l
(
3 sinψ cosωτ − 3 cosψ sinωτ −
− sin 3ψ cos 3ωτ + cos 3ψ sin 3ωτ
)]
sin
π b
l
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
176 Д. Г. КОРЕНЕВСКИЙ, А. М. ПИЛЬКЕВИЧ
Φ1n(a, ψ) =
1
ρ
4B0
π
[
− 4 l
π
a ω B0 h1 sin
πb
l
(
sinψ cosωτ − cosψ sinωτ
)
+
+
4
3
a3 ω3 h2B
3
0
l3
π3
sin3 πb
l
(
3 sinψ cosωτ − 3 cosψ sinωτ−
− sin 3ψ cos 3ωτ + cos 3ψ sin 3ωτ
)] 1
n
sin
nπ b
l
, n = 3, 5, . . . ,
Φ1n(a, ψ) ≡ 0, n = 2, 4, 6, . . . ,
Φ(1)s
11 (a) = 2
h
ρ
aω +
1
ρ
4B0
π
[
−4 l
π
a ω B0 h1 sin
πb
l
+
+ 4a3 ω3 h2B
3
0
l3
π3
sin3 πb
l
]
sin
π b
l
cosωτ,
Φ(1)s
1n (a) =
1
ρ
[
−4 l
π
a ω B0 h1 sin
πb
l
+
+ 4a3 ω3 h2B
3
0
l3
π3
sin3 πb
l
]
4B0
nπ
sin
nπ b
l
cosωτ, n = 3, 5, 7, . . . ,
Φ(1)c
1n (a) =
1
ρ
[
4 l
π
a ω B0 h1 sin
πb
l
−
− 4a3 ω3 h2B
3
0
l3
π3
sin3 πb
l
]
4B0
nπ
sin
nπ b
l
sinωτ, n = 1, 2, 3, . . . ,
Φ(3)s
1n (a) = −16
3
B4
0
nπ4
1
ρ
a3 ω3 h2 l
3 sin3 πb
l
sin
nπ b
l
cos 3ωτ,
Φ(3)c
1n (a) =
16
3
B4
0
nπ4
1
ρ
a3 ω3 h2 l
3 sin3 πb
l
sin
nπ b
l
sin 3ωτ,
Φ(σ)s
1n (a) = Φ(σ)c
1n (a) = 0, σ = 4, 5, 6, . . . ; n = 1, 3, 5, . . . .
Для неизвестных W (σ)s
1n (a), W (σ)c
1n (a), P1(a) и Q1(a) получаем формулы
W
(σ)s
1n (a) =
Φ(σ)s
1n (a)
ω2σ2 + c21
n2π2
l2
, W
(σ)c
1n (a) =
Φ(σ)c
1n (a)
ω2σ2 + c21
n2π2
l2
, (4.3)
σ =
{
1, 2, 3, . . . при n 6= 1,
2, 3, 4, . . . при n = 1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
К ДИНАМИКЕ СТРУННОГО ГЕНЕРАТОРА: ЭФФЕКТ ЗАПАЗДЫВАНИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ 177
P1(a) = − 1
2ω
Φ(1)s
11 (a); Q1(a) = − 1
2ωa
Φ(1)c
11 (a). (4.4)
После этого имеем
Φ2(a, ψ, x) = −
(
P1
dP1
d a
cosψ − 2P1Q1 sinψ − aP1
dQ1
d a
sinψ − aQ2
1 cosψ
)
sin
πx
l
−
− 2ω
(
P1
∂2
∂a∂ψ
+Q1
∂2
∂ψ2
)
W1(a, ψ, x)−
2h
ρ
[
(P1 cosψ − aQ1 sinψ) sin
πx
l
+
+ ω
∂W1(a, ψ, x)
∂ψ
]
+
B(x)
ρ
[
2h1 − 8h2B
2
0a
2ω2 l
2
π2
sin2 πb
l
sin2(ψ − ωτ)
]
×
×
{
2B0l
π
sin
πb
l
[(aωτQ1 + P1) cos(ψ − ωτ) + (ωτP1 − aQ1) sin(ψ − ωτ)]+
+B0ω
l/2+b∫
l/2−b
∂W1(a, ψ − ωτ, x)
∂ψ
dx
}
,
Φ21(a, ψ) = −P1
dP1
d a
cosψ + 2P1Q1 sinψ − aP1
dQ1
d a
sinψ + aQ2
1 cosψ−
− 2ω
(
P1
∂2
∂a∂ψ
+Q1
∂2
∂ψ2
)
W11(a, ψ)− 2h
ρ
[P1 cosψ − aQ1 sinψ +
+ ωW11(a, ψ)] +
1
ρ
[
2h1 − 8h2B
2
0a
2ω2 l
2
π2
sin2(
πb
l
) sin2(ψ − ωτ)
]
×
×
{
2B0l
π
sin
πb
l
[(aωτQ1 + P1) cos(ψ − ωτ) + (ωτP1 − aQ1) sin(ψ − ωτ)]+
+B0ω
l/2+b∫
l/2−b
∂W1(a, ψ − ωτ, x)
∂ψ
dx
}
4B0
π
sin
πb
l
,
Φ(1)s
21 (a) = 2P1Q1 + aP1
dQ1
d a
+
2h
ρ
aQ1+
+
4B0
πρ
sin
πb
l
(
2h1
{
2B0
l
π
sin
πb
l
[(aωτQ1 + P1) sinωτ + (ωτP1 − aQ1) cosωτ ] +
+ 2B0ω
l
π
∞∑
k=1
1
k
sin
kπb
l
(
W
(1)s
1k cosωτ +W
(1)c
1k sinωτ
)}
−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
178 Д. Г. КОРЕНЕВСКИЙ, А. М. ПИЛЬКЕВИЧ
− 8h2B
2
0a
2ω2 l
2
π2
sin2 πb
l
{
l
2B0π
sin
πb
l
[(aωτQ1 + P1) sinωτ + 3(ωτP1 − aQ1) cosωτ ] +
+
B0ωl
π
∞∑
k=1
1
k
sin
kπb
l
[
W
(1)s
1k
(
cosωτ +
1
2
cos 3ωτ
)
+
1
2
W
(1)c
1k sinωτ −
− 1
2
W
(3)s
1k cos 5ωτ − 1
2
W
(3)c
1k sinωτ
]})
,
Φ(1)c
21 (a) = aQ2
1 − P1
dP1
d a
− 2h
ρ
P1+
+
4B0
πρ
sin
πb
l
(
2h1
{
2B0
l
π
sin
πb
l
[(aωτQ1 + P1) cosωτ − (ωτP1 − aQ1) sinωτ ] +
+
2B0ωl
π
∞∑
k=1
1
k
sin
kπb
l
(
W
(1)c
1k cosωτ −W (1)s
1k sinωτ
)}
−
− 8h2B
2
0a
2ω2 l
2
π2
sin2 πb
l
{
B0l
2π
sin
πb
l
[(aωτQ1 + P1) cosωτ − 3(ωτP1 − aQ1) sinωτ ] +
+
B0ωl
π
∞∑
k=1
1
k
sin
kπb
l
[
W
(1)s
1k
(
− sinωτ +
1
2
sin 3ωτ
)
+
+ W
(1)c
1k
(
cosωτ − 1
2
cos 3ωτ
)
+
1
2
W
(3)s
1k sin 5ωτ − 1
2
W
(3)c
1k cos 5ωτ
]})
,
и тогда
P2(a) = − 1
2ω
Φ(1)s
21 (a), Q2(a) = − 1
2ω
Φ(1)c
21 (a). (4.5)
5. Стационарные режимы (первое приближение). Решая уравнение P1(a) = 0, заклю-
чаем, что в струнном генераторе возможны стационарные режимы (решения), соответ-
ствующие или положению равновесия a = a1 = 0 или автоколебаниям с амплитудой
a = a2,
a2 =
√√√√√√√
8lB2
0h1
π2
sin2 πb
l
cosωτ − h
8l3
π4
ω2h2B
4
0 sin4 πb
l
cosωτ
. (5.1)
Из (5.1) видно, что при малом τ автоколебания возникают лишь при
8lB2
0h1
π2
sin2 πb
l
cosωτ > h. (5.2)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
К ДИНАМИКЕ СТРУННОГО ГЕНЕРАТОРА: ЭФФЕКТ ЗАПАЗДЫВАНИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ 179
Частота автоколебаний ωст в первом приближении определяется согласно формуле
ωст = ω + εQ1(a2) =
=
(
ω − ε
ρ
8B2
0 lh1
π2
sin2 πb
l
sinωτ
)
+
+
ε
ρ
8B4
0 l
3ω2h2
π4
sin4 πb
l
sinωτ · a2
2 = ω − εh
ρ
tgωτ. (5.3)
6. Устойчивость стационарных режимов. Исследуем устойчивость стационарных ре-
жимов, использовав уравнения в вариациях. Полагая последовательно a = a1 + δa и
a = a2 + δa, где δa — вариация амплитуды, из уравнения первого приближения
d a
d t
= εP1(a) (6.1)
с учетом (4.4) получаем следующие дифференциальные уравнения для вариаций δa :
d δa
d t
=
ε
ρ
[
−h+
(
2l
π
B0h1 − 6 a2
i ω
2h2B
3
0
l3
π3
sin2 πb
l
)
4B0
l
cosωτ sin2 πb
l
]
δa, i = 1, 2,
(6.2)
соответствующие стационарным решениям (амплитудам) a1 и a2.
Из (6.2) следует, что положение равновесия a1 = 0 асимптотически устойчиво, если
8lB2
0h1
π2
sin2 πb
l
cosωτ − h < 0. (6.3)
Предельный цикл (5.1) устойчив, если
8lB2
0h1
π2
sin2 πb
l
cosωτ +
(
h− 8lB2
0h1
π2
sin2 πb
l
cosωτ
)
3π
l
− h < 0. (6.4)
Условие (6.4) преобразуется в более простое условие
8lB2
0h1
π2
sin2 πb
l
cosωτ − h > 0, (6.5)
которое совпадает с (5.2) — условием существования предельного цикла.
7. Условие настройки на первую моду. Из неравенства (6.5) получаем условие настрой-
ки струнного генератора с одной парой магнитов на первую моду :
sin
πb
l
>
π
2B0
√
h
2lh1 cosωτ
. (7.1)
Разумеется, это патологический вариант работы струнного генератора. Он никогда
на практике не реализуется.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
180 Д. Г. КОРЕНЕВСКИЙ, А. М. ПИЛЬКЕВИЧ
Поскольку полученные при асимптотическом подходе математические соотношения
приближенные, ряд эффектов — таких как взаимодействие между модами и настройка
на высшие моды, бифуркационные значения параметров, при которых осуществляется
смена динамики системы — в первом приближении асимптотического метода Крыло-
ва – Боголюбова – Митропольского не выявлен. Это можно обнаружить лишь при рас-
смотрении высших приближений асимптотического метода.
8. Закон зависимости амплитуды и фазового угла от времени. Интегрируя уравнение
(6.1), получаем закон зависимости амплитуды от времени (амплитуду нестационарных
колебаний). Умножая обе его части на a, имеем
d a2
d t
= −2ε(γ1 + γ2a
2)a2. (8.1)
Здесь приняты обозначения:
γ1 =
1
ρ
(
h− 8lB2
0h1
π2
sin2 πb
l
cosωτ
)
,
γ2 =
1
ρ
8ω2B4
0 l
3h2
π4
sin4 πb
l
sinωτ.
Далее
da2
(γ1 + γ2a2)a2
= 2εdt,
или
−γ2/γ1 · da2
γ1 + γ2a2
+
1/γ1 · da2
a2
= −2εdt,
откуда
ln
(
a2
γ1 + γ2a2
)1/γ1
= ln
(
a2
0
γ1 + γ2a2
0
)1/γ1
− 2εt, (8.2)
где a0 — начальное значение амплитуды в начальный момент времени t = 0.
Из (8.2) окончательно находим
a =
a0 exp(−γ1εt)√
1 + γ2/γ1 · a2
0(1− exp(−2γ1εt))
. (8.3)
Как видно из формулы (8.3), если начальное значение амплитуды a0 равно нулю, то
амплитуда остается равной нулю для любого t, и мы получаем U(t, x) = 0, т. е. тривиаль-
ное решение. Это тривиальное решение, очевидно, соответствует статическому стацио-
нарному режиму, т. е. отсутствию колебаний. При γ1 > 0 (что имеет место, если выпол-
нено условие (6.3)) статический режим устойчив. Колебания в струнном генераторе под-
держиваться не могут. Независимо от своего начального значения амплитуда монотонно
убывает, стремясь к нулю, и колебания со временем затухают.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
К ДИНАМИКЕ СТРУННОГО ГЕНЕРАТОРА: ЭФФЕКТ ЗАПАЗДЫВАНИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ 181
Однако, исходя из этой же формулы, нетрудно заключить, что при γ1 < 0 (условие
существования предельных циклов (6.5)) этот статический режим неустойчив. Действи-
тельно, каким бы малым не было начальное значение амплитуды, при γ1 < 0 оно все
равно будет монотонно возрастать с течением времени t, приближаясь к предельному
значению, равному
√
−γ1/γ2, т. е. значению радиуса предельного цикла (5.1).
Из (8.3) также следует, что если
a0 =
√
−γ1
γ2
≡
√√√√√√
8l
π2
B2
0h1 sin2 πb
l
cosωτ − h
8l3
π4
ω2h2B
4
0 sin4 πb
l
cosωτ
,
то a =
√
−γ1
γ2
для любых t ≥ 0.
В отличие от статического стационарного режима (a = 0) динамический стационар-
ный режим (a =
√
−γ1/γ2) имеет при γ1 < 0 сильную устойчивость, заключающуюся в
том, что каково бы ни было начальное значение a0 6= 0, малое или большое, все равно
a(t) →
√
−γ1/γ2 при t → ∞. Иначе говоря, любое колебание при увеличении t прибли-
жается к стационарному колебанию.
Эти же выводы мы получили выше, рассматривая стационарные режимы и составляя
для них соответствующие уравнения в вариациях.
Интегрируя уравнение первого приближения для ψ,
dψ
d t
= ω + εQ1(a) ≡ ω − ε
ρ
8B2
0 lh1
π2
sin2 πb
l
sinωτ +
ε
ρ
8B4
0 l
3ω2h2
π4
sin4 πb
l
sinωτ · a2, (8.4)
с учетом (8.3) получаем закон вращения фазового угла
ψ =
(
ω − ε
ρ
8B2
0 lh1
π2
sin2 πb
l
sinωτ
)
t+
+
1
2
tg τω · ln
[
1 +
γ2
γ1
· a2
0(1− exp(−2γ1εt))
]
+ ψ0, (8.5)
где ψ0 = const — фазовая постоянная, равная начальному значению фазы.
9. Дальнейший анализ первого приближения. Оценка эффекта запаздывания. Срав-
нение со случаем τ = 0. Сопоставим теперь полученные нами результаты с результа-
том И. Н. Синицина [11], исследовавшего работу струнного генератора в случае, когда
запаздывание в усилителе не учитывалось, т. е. τ = 0.
Поскольку расчетным режимом при проектировании струнных генераторов является
автоколебательный режим, здесь мы обсуждаем влияние τ лишь на параметры предель-
ного цикла (a2 и ωст) и не затрагиваем влияние τ на статический стационарный режим.
Если в формулах (5.1) и (5.3) положить τ = 0, то получим
a2 =
√√√√√√
8l
π2
B2
0h1 sin2 πb
l
− h
8l3
π4
ω2h2B
4
0 sin4 πb
l
, (9.1)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
182 Д. Г. КОРЕНЕВСКИЙ, А. М. ПИЛЬКЕВИЧ
ωст = ω. (9.2)
Последние две формулы совпадают с найденными в работе [11] (формула (2.1)), если
при этом учесть, что в [11] длина струны считалась равной не l, а 2l.
Из формулы (9.2) видно, что при τ = 0 в первом приближении частота ωст сохра-
няет свое первоначальное значение ω, а фазовый угол вращается с постоянной скоро-
стью (ψ = ωt + ϕ0). Таким образом, если при τ = 0 стационарные колебания в первом
приближении совершаются с собственной частотой невозмущенной системы ω, то в слу-
чае наличия запаздывания τ > 0 стационарные колебания совершаются с частотой ωст,
отличной от ω и равной
ωст = ω − εh
ρ
tgωτ. (9.3)
Из (9.3) видно, что увеличение запаздывания от 0 до
π
4ω
[сек] понижает частоту ав-
токолебаний от ω до (ω − εh
ρ
). Если при этом коэффициент демпфирования h выбран
близким к величине
ωρ
ε
, то струнный генератор превращается в низкочастотный прибор,
что в свою очередь совершенно исключает практическое использование его по назначе-
нию. При этом величина
ωρ
ε
является критическим верхним пределом для коэффициента
демпфирования h. Последнее означает, что при
h = hкр ≡
ωρ
ε
(9.4)
струнный генератор полностью теряет колебательные свойства.
При таких конструктивных параметрах даже при выполнении условия (5.2) автоко-
лебания невозможны.
С другой стороны, пусть h фиксировано в промежутке [0, hкр]. Рассматривая соотно-
шение
ωст = ω − εh
ρ
tgωτ = 0 (9.5)
как уравнение относительно τ, заключаем, что существует критическое значение за-
паздывания τкр такое, что при τ → τкр − 0 струнный генератор также становится низко-
частотным прибором, т. е. эффект от запаздывания аналогичен эффекту демпфирова-
ния. Критическое значение запаздывания τкр определяется с помощью формулы
τкр =
1
ω
arctg
ωρ
εh
. (9.6)
Допустим теперь, что запаздывание мало по сравнению с величиной
π
4ω
(что всегда
бывает на практике), τ � π
4ω
.В этом случае в формуле (9.3) tgωτ можно заменить одним
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
К ДИНАМИКЕ СТРУННОГО ГЕНЕРАТОРА: ЭФФЕКТ ЗАПАЗДЫВАНИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ 183
или двумя первыми членами тейлоровского разложения*. При сохранении, например,
лишь первого члена тейлоровского разложения получим
ωст = ω
(
1− εh
ρ
τ
)
. (9.7)
Поскольку формула (9.7) содержит произведение величин h и τ, ослабить влияние за-
паздывания на частоту автоколебаний можно путем уменьшения коэффициента
демпфирования h.
Итак, резюмируя вышеизложенное, отметим еще раз, что запаздывание усилителя
является нежелательным явлением с точки зрения влияния его на частоту автоколебаний
в данной динамической схеме генератора.
Перейдем теперь к анализу влияния эффекта запаздывания на амплитуду автоколе-
баний. Из формулы (5.1) видно, что с увеличением τ амплитуда несколько уменьшае-
тся по сравнению с амплитудой при τ = 0, определяемой формулой (9.1). Увеличение
демпфирования h также приводит к уменьшению амплитуды. Следовательно, эффект от
запаздывания аналогичен эффекту от демпфирования (с точки зрения влияния на ампли-
туду автоколебаний).
Для τ <
π
4ω
амплитуда практически близка к амплитуде (9.1).
Так как погрешность струнного генератора определяется нестабильностью собствен-
ной частоты автоколебаний струны и погрешностями, вызванными изменением режи-
ма автоколебаний (амплитуды a), отсюда заключаем, что запаздывание в усилителе су-
щественно влияет на погрешность струнного генератора.
10. Сравнение с экспериментом. В экспериментальных роботах Ю. М. Цодикова [17,
18] обнаружено понижение собственной частоты струны по сравнению с расчетной ве-
личиной. Была выдвинута гипотеза, что это понижение обусловлено неупругой дефор-
мацией в месте крепления струны.
Мы же выше установили, что это понижение может быть вызвано и запаздыванием
обратной связи. Таким образом, постулат о запаздывании не противоречит эксперимен-
тальным данным, а наоборот, является одной из форм интерпретации и объяснения этих
данных.
11. Анализ второго приближения. Взаимодействие между модами. Анализируя выра-
жения дляW1n, замечаем, что все четные моды (n = 2, 4, 6, . . .) не влияют на первую моду.
Влияние оказывают лишь нечетные моды (n = 3, 5, . . .), однако выбором отношения b/l с
достаточной для практики точностью можно ослабить влияние соседних мод. Например,
в рассматриваемом случае одной пары магнитов достаточно принять b/l = 1/3.
Взаимное влияние гармоник. Из выражений для W (σ)s
11 , W
(σ)c
11 , σ = 2, 3, . . . , видно, что
все гармоники, начиная с четвертой, не искажают колебательный процесс для первой
моды (для первой формы динамического равновесия). Влияние оказывает лишь третья
гармоника (σ = 3). Однако, если отношение b/l выбрано равным 1/3, то и ее влияние
полностью нейтрализуется.
∗ Заметим при этом, что разность tg τω−
�
τω +
τ3ω3
3
�
по модулю не превысит величину 0,005792, если
τω принимает значения между 0 и
π
6
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
184 Д. Г. КОРЕНЕВСКИЙ, А. М. ПИЛЬКЕВИЧ
Стационарные амплитуды второго приближения. Упростим выражение для P2(a). В
конструкцию P2(a) входят в качестве сомножителей бесконечные суммы
∞∑
k=1
1
k
sin
kπb
l
W
(1)s
1k ,
∞∑
k=1
1
k
sin
kπb
l
W
(1)c
1k ,
∞∑
k=1
1
k
sin
kπb
l
W
(3)s
1k ,
∞∑
k=1
1
k
sin
kπb
l
W
(3)c
1k .
Если учесть выражения (4.3) и то, чтоW (1)s
11 иW (1)c
11 равны нулю (в силу метода Крыло-
ва – Боголюбова), то исследование последних рядов сводится к исследованию ряда
∞∑
k=1
(−1)k
(2k + 1)2
· sin2 (2k + 1)πb
l
/
(
ω2 + c21
(2k + 1)2π2
l2
)
. (11.1)
Нетрудно видеть, что ряд (11.1) является абсолютно сходящимся, поскольку он мажори-
руется сходящимся рядом
∞∑
k=1
1
(2k + 1)2
=
π2
8
− 1.
В силу очень быстрой сходимости ряда (11.1) (второй член почти на порядок меньше
первого) при вычислении P2(a) можно ограничиться учетом лишь первого члена ряда
(11.1). Тогда получим
P2(a) = − 1
2ω
Ψ(1)s
21
∼= − 1
2ω
{
2P1Q1 + aP1
dQ1
d a
+
2h
ρ
aQ1 +
+
4B0
πρ
sin
πb
l
(
2h1
{
2B0l
π
sin
πb
l
[(P1 + aωτQ1) sinωτ + (ωτP1 − aQ1) cosωτ ] −
− 1
9
2B0ωl
πρ
4B0
π
1
ω2 + c21
9π2
l2
sin2 3πb
l
(
−4l
π
a ωB0h1 sin
πb
l
+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
К ДИНАМИКЕ СТРУННОГО ГЕНЕРАТОРА: ЭФФЕКТ ЗАПАЗДЫВАНИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ 185
Рис. 3
+ 4 a3 ω3h2B
3
0
l3
π3
sin3 πb
l
)
cos 2ωτ
}
− 8h2B
2
0 a
2 ω2 l
2
π2
sin2 πb
l
{
l
2B0π
sin
πb
l
· (aωτQ1 +
+ P1) sinωτ + 3(ωτP1 − aQ1) cosωτ ] +B0ω
l
πρ
(
−1
9
)
4B0
π
1
ω2 + c21
9π2
l2
sin2 3πb
l
×
×
(
−4B0
π
aωB0h1 sin
3πb
l
+ 4 a3ω3h2B
3
0
l3
π3
sin3 3πb
l
)(
cos2 ωτ − 1
2
cosωτ cos 3ωτ −
− 1
2
sin2 ωτ
)
+B0ω
l
πρ
(
−1
9
)
1
ω2 + c21
9π2
l2
sin2 3πb
l
(
16B4
0
3π4
a3ω3h2l
3 sin3 πb
l
sin
3πb
l
)
×
× 1
2
(
cosωτ cos 5ωτ − sinωτ sinωτ
)
+B0ω
l
πρ
1
9ω2 + c21
π2
l2
sin2 πb
l
×
×
(
16B4
0
3π4
a3ω3h2l
3 sin3 πb
l
sin
πb
l
)
1
2
(
cos 3ωτ cos 5ωτ − sin 3ωτ sinωτ
)})}
. (11.2)
Теперь стационарные амплитуды определяются из алгебраического уравнения 5-го
порядка относительно a :
P1(a) + εP2(a) = 0. (11.3)
Здесь вместо P2(a) нужно подставить приближенное значение (11.2).
Произведя вычисление амплитуд, полученных из уравнения первого приближения
(5.1) и уравнения второго приближения (11.3) для числовых параметров l, b, B0, . . . ,
можно убедиться, что амплитуда второго приближения почти сохраняет значение ампли-
туды первого приближения (5.1). Результаты вычислений свидетельствуют о целесооб-
разности изучения и учета лишь 1-го улучшенного приближения.
12. Влияние резонансного вибрационного граничного режима. Физические коммен-
тарии. Предположим теперь, что основание, на котором установлен струнный генератор,
совершает перпендикулярное к оси чувствительности прибора малое вибрационное дви-
жение εβ cos νt с частотой ν, близкой или равной собственной частоте ω, т. е. рассмотрим
случай основного резонанса. Из-за наличия упругого подвеса это вибрационное движе-
ние будет влиять на роботу струнного генератора посредством изменения граничного
режима на правой границе (рис. 3).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
186 Д. Г. КОРЕНЕВСКИЙ, А. М. ПИЛЬКЕВИЧ
В этом случае нулевое граничное условие U(t, l) = 0 должно быть заменено неодно-
родным условием
U(t, l) = εβ cos θ, θ = νt.
Изучим влияние таких вибраций на автоколебательные свойства струнного генератора
при наличии запаздывания в усилителе.
Математические соотношения. Ограничимся I-м улучшенным приближением. Тогда
решение U(t, x) для первой моды будем искать согласно [21] в виде
U(t, x) = a cosψ sin
πx
l
+ εW1(a, ψ, θ, x),
где зависящие от времени амплитуда a и разность фаз η определяются из дифференци-
альных уравнений
d a
d t
= εP1(a, η),
d η
d t
= εQ1(a, η), η = ψ − θ.
Приходим к линейной краевой задаче для функции W1 с неоднородными граничными
условиями(
ω2 ∂2
∂ ψ2
+ 2ων
∂2
∂ ψ∂ θ
+ ν2 ∂
2
∂ θ2
)
W1(a, ψ, θ, x) = c21
∂2W1(a, ψ, θ, x)
∂ x2
+
+
[
2ω
(
P1 sinψ + aQ1 cosψ
)
+ 2
h
ρ
aω sinψ
]
sin
πx
l
+
+B(x)
1
ρ
[
−4l
π
B0h1 aω sin
πb
l
sin(ψ − ωτ) +
4l3
3π3
h2B
3
0 a
3ω3 sin3 πb
l
sin(ψ − ωτ)
]
,
(12.1)
W1(a, ψ, θ, 0) = 0, W1(a, ψ, θ, l) = β cos νt.
Путем замены переменных
W1(a, ψ, θ, x) = W ∗
1 (a, ψ, θ, x) +
x
l
β cos νt
линейную краевую задачу (12.1) с неоднородными граничными условиями приводим к
краевой задаче с однородными граничными условиями для функции W ∗
1 (a, ψ, θ, x),(
ω2 ∂2
∂ ψ2
+ 2ων
∂2
∂ ψ∂ θ
+ ν2 ∂
2
∂ θ2
)
W ∗
1 (a, ψ, θ, x) = c21
∂2W ∗
1 (a, ψ, θ, x)
∂ x2
+
+
[
2ω
(
P1 sinψ + aQ1 cosψ
)
+ 2
h
ρ
aω sinψ
]
sin
πx
l
+
+B(x)
1
ρ
[
−4l
π
B0h1 aω sin
πb
l
sin(ψ − ωτ) +
4l3
3π3
h2B
3
0 a
3ω3 sin3 πb
l
sin(ψ − ωτ)
]
+
+
x
l
ν2β cos θ, W ∗
1 (a, ψ, θ, 0) = W ∗
1 (a, ψ, θ, l) = 0. (12.2)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
К ДИНАМИКЕ СТРУННОГО ГЕНЕРАТОРА: ЭФФЕКТ ЗАПАЗДЫВАНИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ 187
Тогда, разыскивая решение W ∗
1 краевой задачи (12.2) в виде ряда по собственным
функциям невозмущенной краевой задачи
W ∗
1 (a, ψ, θ, x) =
∞∑
n=1
W ∗
1n(a, ψ, θ) sin
nπx
l
,
где искомые коэффициенты W ∗
1n представлены в виде рядов Фурье
W ∗
1n(a, ψ, θ) =
∞∑
σ,µ=0
[
W
∗(σ,µ)s
1n (a) sin(σψ + µθ) +W
∗(σ,µ)c
1n (a) cos(σψ + µθ)
]
,
и учитывая то, что для ограниченности решений W ∗
1 (a, ψ, θ, x) необходимо, чтобы
W
∗(1,0)s
11 = W
∗(1,0)c
11 = W
∗(0,1)s
11 = W
∗(0,1)c
11 = 0, после промежуточных операций, свой-
ственных методу неопределенных коэффициентов, получаем выражения для неизвестных
коэффициентов W ∗(σ,µ)s
1n , W
∗(σ,µ)c
1n :
W
∗(σ,µ)s
1n (a) =
Φ∗(σ,µ)s
1n (a)
σ2ω2 + 2σµων + µ2ν2 + c21
n2π2
l2
,
W
∗(σ,µ)c
1n (a) =
Φ∗(σ,µ)c
1n (a)
σ2ω2 + 2σµων + µ2ν2 + c21
n2π2
l2
(σ + µ 6= 1 при n = 1).
Здесь Φ∗(σ,µ)s
1n и Φ∗(σ,µ)c
1n — известные величины, получающиеся вследствие разложения
известной функции
Φ∗
1(a, ψ, θ, x) ≡ 2
h
ρ
aω sinψ sin
πx
l
+B(x)
1
ρ
[
−4l
π
B0h1 aω sin
πb
l
sin(ψ − ωτ) +
+
4l3
3π3
h2B
3
0 a
3ω3 sin3 πb
l
sin(ψ − ωτ)
]
+
1
l
ν2βx cos θ
в ряды
Φ∗
1(a, ψ, θ, x) =
∞∑
n=1
Φ∗
1n(a, ψ, θ) sin
nπx
l
Φ∗
1n(a, ψ, θ) =
2
l
l∫
0
Φ∗
1(a, ψ, θ, x) sin
nπx
l
d x
,
Φ∗
1n(a, ψ, θ) =
∞∑
σ,µ=0
[
Φ∗(σ,µ)s
1n (a) sin(σψ + µθ) + Φ∗(σ,µ)c
1n (a) cos(σψ + µθ)
]
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
188 Д. Г. КОРЕНЕВСКИЙ, А. М. ПИЛЬКЕВИЧ
Φ∗(σ,µ)s
1n (a) =
1
π2
2π∫
0
2π∫
0
Φ∗
1n(a, ψ, θ) sin(σψ + µθ) dψ dθ,
Φ∗(σ,µ)c
1n (a) =
1
π2
2π∫
0
2π∫
0
Φ∗
1n(a, ψ, θ) cos(σψ + µθ) dψ dθ
.
Искомые функции P1(a, η) и Q1(a, η) имеют вид
P1(a, η) = −
{
h
ρ
a+
1
ρ
[
−h1 + a2ω2h2B
2
0
l2
π2
sin2 πb
l
]
8B2
0 l
π2
a sin2 πb
l
cosωτ +
ωβ
l
sin η
}
,
Q1(a, η) = −1
a
{
1
ρ
[
h1 − a2ω2h2B
2
0
l2
π2
sin2 πb
l
]
8B2
0 l
π2
a sin2 πb
l
sinωτ +
ωβ
l
sin η
}
.
Стационарные решения. Рассматривая систему уравнений
P1(a, η) = 0,
Q1(a, η) = 0,
после исключения переменной η получаем алгебраическое уравнение 3-го порядка отно-
сительно a2 для определения стационарных значений амплитуды:
a6 + α1 a
4 + α2 a
2 + α3 = 0, (12.3)
где обозначено
α1 = tg2 τω − 2
h− h1
8B2
0 l
π2
sin2 πb
l
cosωτ
ω2h2
8B4
0 l
3
π4
sin4 πb
l
cosωτ
,
α2 =
h− h1
8B2
0 l
π2
sin2 πb
l
cosωτ
ω2h2
8B4
0 l
3
π4
sin4 πb
l
cosωτ
2
− 2tg2τω
h1
h2ω2B2
0
l2
π2
sin2 πb
l
,
α3 = tg2 τω
h1
h2ω2B2
0
l2
π2
sin2 πb
l
2
−
1
ω2h2
8B4
0 l
3
π4
sin4 πb
l
cosωτ
2
ω2β2ρ2
l2
.
Анализируя (12.3), можно заключить, что при
α1 > 0, α2 > 0, α3 > 0, α1α2 − α3 > 0,
стационарные амплитуды отсутствуют.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
К ДИНАМИКЕ СТРУННОГО ГЕНЕРАТОРА: ЭФФЕКТ ЗАПАЗДЫВАНИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ 189
Пусть интенсивность вибрационного граничного режима β такова:
β =
8h1l
2B2
0
πωρ
sin2 πb
l
sinωτ
и α1 < 0, α2 < α2
1/4. Тогда существуют три стационарных значения амплитуды:
1) тривиальное a = 0,
2) предельный цикл радиуса
a =
√
−α1
2
+
√
α2
1
4
− α2,
3) предельный цикл радиуса
a =
√
−α1
2
−
√
α2
1
4
− α2.
При β >
8h1l
2B2
0
πωρ
sin2 πb
l
sinωτ может быть либо три, либо два, либо одно, либо ни
одного (в зависимости от значений параметров α1 и α2) стационарных значений ампли-
туды.
* * *
Эта работа отражает неопубликованные ранее исследования, выполненные автора-
ми в Институте математики НАН Украины в рамках хоздоговора с КБ электроприборо-
строения (сейчас НПО „Хартрон” , г. Харьков).
1. Акселерометр с вибрирующей нитью // Экспресс-информация (По материалам иностранной печати).
Сер. Испытательные приборы и стенды. — М.: ВИНИТИ, 1965. — Вып. 22.
2. Акселерометр со струнным датчиком // Там же. — Вып. 47.
3. Акселерометр (с преобразователем струнного типа) // Там же. — 1966. — Вып. 25.
4. Вильке В. Г. Исследование автоколебательных режимов в струнном генераторе // Инж. журн. Меха-
ника твердого тела. — 1967. — № 3. — С. 170 – 174.
5. Горенштейн И. А., Шульман И. А., Сафарян А. С. Инерциальная навигация. — М.: Сов. радио, 1962. —
248 с.
6. Евстигнеев М. И. Состояние разработок и перспективы развития микромеханических датчиков // На-
вигация и управление движением: Сб. докл. II науч.-техн. конф. мол. ученых. — СПб.: ЦНИИ „Элект-
роприбор”, 2000. — С. 54 – 71.
7. Инерциальные системы управления / Под ред. Д. Питтмана. Пер. с англ. — М.: Воениздат, 1964. —
454 с.
8. Карпачев Ю. А., Кореневский Д. Г. Некоторые задачи инерциального управления. — Киев: Наук. дум-
ка, 1977. — 152 с.
9. Лозинская А. М. Струнный гравиметр для измерения силы тяжести на море // Изв. АН СССР. Сер.
геофиз. — 1959. — № 3. — С. 398 – 402.
10. Светлицкий В. А. Колебания струны с учетом изменения натяжения // Изв. АН СССР. ОНТ. — 1958.
— № 11. — С. 31 – 36.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
190 Д. Г. КОРЕНЕВСКИЙ, А. М. ПИЛЬКЕВИЧ
11. Синицин И. Н. Автоколебания струнного генератора при аддитивной помехе // Автоматика и телеме-
ханика. — 1967. — № 12. — С. 173 – 176.
12. Снигур А. К. Анализ современного состояния и перспектив развития акселерометров // Зб. наук. праць.
— Севастополь: Севастопол. вiйськ.-мор. iн-т iм. Нахiмова. — 2004. — Вип. I(4). — С. 178 – 186.
13. Струнный акселерометр // Экспресс-информация (По материалам иностранной печати). Сер. Испыта-
тельные приборы и стенды. — М.: ВИНИТИ, 1968. — Вып. 35.
14. Струнный инерциальный акселерометр // Экспресс-информация (По материалам иностранной печа-
ти). Сер. Приборы и элементы автоматики. — М.: ВИНИТИ, 1964. — Вып. 17.
15. Усовершенствование акселерометров с вибрирующей нитью // Там же. Сер. Испытательные приборы
и стенды. — М.: ВИНИТИ, 1965. — Вып. 25.
16. Харьков И. А., Шустров А. Д., Селиванова Л. М. Трехкомпонентный дифференциальный вибрационно-
струнный акселерометр // Вестн. МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Приборостроение. — 2003. — № 4. —
С. 120 – 126.
17. Цодиков Ю. М. Исследование струнного автогенератора // Автоматика и телемеханика. — 1965. —
№ 3. — С. 558 – 562.
18. Цодиков Ю. М. Исследование струнных преобразователей в режиме автоколебаний: Автореф. дис. ...
канд. техн. наук. — М., 1965.
19. Чичинадзе М., Ильин В., Новгородский А., Бабур Н. Конструкции и области применения акселеро-
метров // III Санкт-Петербург. междунар. конф. по интегрированным навигационным системам. —
СПб., 1996. — С. 115 – 169.
20. Розенблат М. А., Субботин Г. В. Устойчивость многокаскадных магнитных усилителей, охваченных
отрицательной обратной связью // Автоматика и телемеханика. — 1961. — № 1. — С. 97 – 106.
21. Митропольский Ю. А., Кореневский Д. Г. Исследование нелинейных колебаний в системах с распре-
деленными параметрами и запаздыванием // Мат. физика. — 1968. — Вып. 4. — С. 93 – 145.
Получено 03.01.07
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
|