Асимптотика решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, близких к линейным
Встановлено асимптотичнi зображення для деяких класiв розв’язкiв неавтономних диференцiальних рiвнянь другого порядку, що у деякому сенсi є близькими до лiнiйних рiвнянь....
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178577 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотика решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, близких к линейным / Муса Джабер Абу эль-шаур // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 230-241. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178577 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1785772021-02-28T01:26:15Z Асимптотика решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, близких к линейным Муса Джабер Абу эль-шаур Встановлено асимптотичнi зображення для деяких класiв розв’язкiв неавтономних диференцiальних рiвнянь другого порядку, що у деякому сенсi є близькими до лiнiйних рiвнянь. We find asymptotic representations for a certain class of solutions of second order nonautonomous differential equations that are close, in a certain sense, to linear equations. 2008 Article Асимптотика решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, близких к линейным / Муса Джабер Абу эль-шаур // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 230-241. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178577 517.925 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Встановлено асимптотичнi зображення для деяких класiв розв’язкiв неавтономних диференцiальних рiвнянь другого порядку, що у деякому сенсi є близькими до лiнiйних рiвнянь. |
| format |
Article |
| author |
Муса Джабер Абу эль-шаур |
| spellingShingle |
Муса Джабер Абу эль-шаур Асимптотика решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, близких к линейным Нелінійні коливання |
| author_facet |
Муса Джабер Абу эль-шаур |
| author_sort |
Муса Джабер Абу эль-шаур |
| title |
Асимптотика решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, близких к линейным |
| title_short |
Асимптотика решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, близких к линейным |
| title_full |
Асимптотика решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, близких к линейным |
| title_fullStr |
Асимптотика решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, близких к линейным |
| title_full_unstemmed |
Асимптотика решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, близких к линейным |
| title_sort |
асимптотика решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, близких к линейным |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178577 |
| citation_txt |
Асимптотика решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, близких к линейным / Муса Джабер Абу эль-шаур // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 230-241. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT musadžaberabuélʹšaur asimptotikarešenijneavtonomnyhobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkablizkihklinejnym |
| first_indexed |
2025-07-15T16:43:53Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:43:53Z |
| _version_ |
1837732026258554880 |
| fulltext |
УДК 517 . 925
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА,
БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
Муса Джабер Абу эль-шаур
Ал ал-байт ун-т, Мафрак, Иордания
e-mail: drmousa67@yahoo.com
We find asymptotic representations for a certain class of solutions of second order nonautonomous di-
fferential equations that are close, in a certain sense, to linear equations.
Встановлено асимптотичнi зображення для деяких класiв розв’язкiв неавтономних диференцi-
альних рiвнянь другого порядку, що у деякому сенсi є близькими до лiнiйних рiвнянь.
1. Постановка задачи и формулировка основных теорем. Рассматривается дифференци-
альное уравнение
y′′ = α0p(t)y| ln |y||σ, (1.1)
где α0 ∈ {−1, 1}, σ ∈ R, p : [a, ω[−→]0 < +∞[ — непрерывная функция, −∞ < a < ω ≤
≤ +∞.
В работах [1 – 4] для нелинейного дифференциального уравнения второго порядка бо-
лее общего вида
y′′ = α0p(t)ϕ(y),
где α0 ∈ {−1, 1}, p : [a, ω[→]0,+∞[, −∞ < a < ω ≤ +∞, — непрерывная функция,
ϕ : ∆Y →]0,+∞[ (∆Y — односторонняя окрестность Y, Y — либо нуль, либо ±∞) —
дважды непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям
lim
y→Y
y∈∆Y
ϕ(y) =
{
либо 0,
либо +∞,
lim
y→∆Y
Y ∈∆Y
yϕ′′(y)
ϕ′(y)
= µ,
исследовался вопрос о существовании и асимптотике при t ↑ ω так называемых
Pω(λ0)-решений. При этом были рассмотрены все возможные случаи, кроме µ = 0. Осо-
бенность этого случая состоит в том, что уравнение является в некотором смысле близ-
ким к линейному дифференциальному уравнению и требует разработки новых подходов
для его изучения. Именно к этому классу и относится уравнение (1.1).
Решение y уравнения (1.1), заданное на промежутке [ty, ω[ ⊂ [a, ω[, будем называть
Pω(λ0)-решением, если оно удовлетворяет следующим условиям:
lim
t↑ω
y(k)(t) =
{
либо 0,
либо ±∞,
k = 0, 1, lim
t↑ω
(y′(t))2
y′′(t)y(t)
= λ0. (1.2)
c© Муса Джабер Абу эль-шаур, 2008
230 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 231
Целью работы является установление необходимых и достаточных условий суще-
ствования Pω(λ0)-решений уравнения (1.1), для которых λ0 ∈ R \ {0}, а также асимп-
тотических представлений при t ↑ ω для всех таких решений.
Введем вспомогательные обозначения, положив
πω(t) =
{
t, если ω = +∞,
t− ω, если ω < +∞,
IA(t) =
t∫
A
πω(τ)p(τ) dτ, JB(t) =
t∫
B
p
1
2 (τ) dτ,
A =
a, если
∫ ω
a |πω(τ)|p(τ) dτ = +∞,
ω, если
∫ ω
a |πω(τ)|p(τ) dτ < +∞,
B =
a, если
∫ ω
a p
1
2 (τ) dτ = +∞,
ω, если
∫ ω
a p
1
2 (τ) dτ < +∞.
Для уравнения (1.1) имеют место следующие теоремы.
Теорема 1.1. Пусть σ 6= 1. Тогда для существования Pω(λ0)-решений, λ0 ∈ R \ {0, 1},
уравнения (1.1) необходимо, а если (λ0 + 1)(σ − λ1 − 1) 6= 0, то и достаточно, чтобы
выполнялись условия
α0λ0 > 0, lim
t↑ω
p(t)π2
ω(t)
|(1− σ)(1− λ0)IA(t)|
σ
σ−1
=
|λ0|
(1− λ0)2
. (1.3)
Более того, для каждого такого решения при t ↑ ω имеют место асимптотические
представления
ln |y(t)| = ν |(1− σ)(1− λ0)IA(t)|
1
1−σ [1 + o(1)],
y′(t)
y(t)
=
λ0
(λ0 − 1)πω(t)
[1 + o(1)], (1.4)
где
ν = sign [α0(λ0 − 1)(1− σ)IA(t)] . (1.5)
Теорема 1.2. Пусть σ 6= 2. Тогда для существования Pω(1)-решений уравнения (1.1)
необходимо, а если функция p : [a, ω[−→]0,+∞[ непрерывно дифференцируема и такая,
что существует конечный или равный ±∞ предел
lim
t↑ω
(
p
1
2 (t) |JB(t)|
σ
2−σ
)′
p(t) |JB(t)|
2σ
2−σ
, (1.6)
то и достаточно, чтобы
α0 > 0 и lim
t↑ω
πω(t)p
1
2 (t) |JB(t)|
σ
2−σ = ∞. (1.7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
232 МУСА ДЖАБЕР АБУ ЭЛЬ-ШАУР
Более того, для каждого такого решения при t ↑ ω имеют место асимптотические
представления
ln |y(t)| = ±µ
∣∣∣∣2− σ
2
JB(t)
∣∣∣∣ 2
2−σ
[1 + o(1)],
y′(t)
y(t)
= ±p
1
2 (t)
∣∣∣∣2− σ
2
JB(t)
∣∣∣∣ σ
2−σ
[1 + o(1)],
(1.8)
где
µ = sign
(
2− σ
2
JB(t)
)
. (1.9)
Из этих теорем при σ = 0 непосредственно вытекают два следствия для линейного
дифференциального уравнения второго порядка
y′′ = α0p(t)y, (1.10)
где α0 ∈ {−1, 1}, p : [a, ω[−→]0 < +∞[ — непрерывная функция, −∞ < a < ω ≤ +∞.
Следствие 1.1. Для существования Pω(λ0)-решений, λ0 ∈ R \ {0, 1}, уравнения (1.10)
необходимо, а если λ0 6= −1, то и достаточно, чтобы выполнялись условия
α0λ0 > 0, lim
t↑ω
p(t)π2
ω(t) =
|λ0|
(1− λ0)2
.
Более того, для каждого такого решения при t ↑ ω имеют место асимптотические
представления
ln |y(t)| = α0(λ0 − 1)IA(t)[1 + o(1)],
y′(t)
y(t)
=
λ0
(λ0 − 1)πω(t)
[1 + o(1)].
Следствие 1.2. Для существования Pω(1)-решений уравнения (1.10) необходимо, а если
функция p : [a, ω[−→]0,+∞[ непрерывно дифференцируема и такая, что существует
конечный или равный ±∞ предел lim
t↑ω
p′(t)p−
3
2 (t), то и достаточно, чтобы
α0 > 0 и lim
t↑ω
π2
ω(t)p(t) = +∞.
Более того, для каждого такого решения при t ↑ ω имеют место асимптотические
представления
ln |y(t)| = ±JB(t)[1 + o(1)],
y′(t)
y(t)
= ±p
1
2 (t)[1 + o(1)].
Данные следствия дополняют известные результаты (см., например, [5, 6]) об асимп-
тотических свойствах решений линейных дифференциальных уравнений (1.10).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 233
Замечание 1.1. В определении Pω(λ0)-решения наиболее жестким является требова-
ние существования конечного или равного ±∞ предела при t ↑ ω отношения
[y′(t)]2
y′′(t)y(t)
. В
случае, когда функция p : [a, ω[−→]0,+∞[ непрерывно дифференцируема и lim
t↑ω
p′(t)p−
3
2 (t)
конечен либо равен ±∞, нетрудно доказать, что каждое неколеблющееся решение y ли-
нейного дифференциального уравнения (1.10), отличное от решений, которые допуска-
ют одно из асимптотических представлений y(t) ∼ c или y(t) ∼ cπω(t), c 6= 0, при t ↑ ω,
заведомо является Pω(λ0)-решением, где −∞ ≤ λ0 ≤ +∞.
2. Доказательства основных теорем. Для установления приведенных выше теорем
нам потребуется одно вспомогательное утверждение о существовании исчезающих на
бесконечности решений системы дифференциальных уравнений
z′i = fi(τ) + pi1(τ)z1 + pi2(τ)z2 + qi(τ)Zi(τ, z1, z2), i = 1, 2, (2.1)
в которой функции fi, pi1, pi2, qi : [τ0,+∞[−→ R, i = 1, 2, непрерывны, а функции Zi :
[τ0,+∞[×R2
b −→ R, где R2
b = {(z1, z2) ∈ R2 : |zi| ≤ b, i = 1, 2}, непрерывны, имеют
непрерывные частные производные по переменным z1, z2 и таковы, что
lim
(z1,z2)→(0,0)
∂Zi(τ, z1, z2)
∂zi
= 0, i = 1, 2, равномерно по τ ∈ [τ0,+∞[. (2.2)
Лемма 2.1. Пусть функции pii, i = 1, 2, отличны от нуля в некоторой окрестности
+∞ и таковы, что
+∞∫
τ0
pii(τ) dτ = ±∞, i = 1, 2. (2.3)
Пусть, кроме того, выполняются условия
lim
τ→+∞
fi(τ)
pii(τ)
= 0, lim
τ→+∞
qi(τ)
pii(τ)
= const, i = 1, 2, (2.4)
lim
τ→+∞
p12(τ)
p11(τ)
= const, lim
τ→+∞
p21(τ)
p22(τ)
= 0. (2.5)
Тогда система дифференциальных уравнений (2.1) имеет хотя бы одно решение (z1, z2) :
[τ1,+∞[−→ R2, τ1 ≥ τ0, стремящееся к нулю при τ → +∞, причем таких решений
существует целое однопараметрическое семейство в случае, когда одна из функций pii
отрицательна в указанной окрестности +∞, и двупараметрическое, если они обе в ней
отрицательны.
Справедливость этой леммы непосредственно следует из теоремы 1.3 и замечаний 1.4,
1.5 из работы [7].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
234 МУСА ДЖАБЕР АБУ ЭЛЬ-ШАУР
Доказательство теоремы 1.1. Необходимость. Пусть y : [ty, ω[→ R \ {0, 1} —
Pω(λ0)-решение уравнения (1.1), где λ0 ∈ R \ {0, 1}. Тогда в силу третьего из условий
(1.2) и тождества
y′′(t)y(t)
[y′(t)]2
=
(
y′(t)
y(t)
)′
(
y′(t)
y(t)
)2 + 1 (2.6)
имеем (
y′(t)
y(t)
)′
(
y′(t)
y(t)
)2 =
1− λ0
λ0
+ o(1) при t ↑ ω.
Отсюда с учетом первых двух условий (1.2) находим
lim
t↑ω
πω(t)y′(t)
y(t)
=
λ0
λ0 − 1
, lim
t↑ω
πω(t)y′′(t)
y′(t)
=
1
λ0 − 1
. (2.7)
Поэтому из (1.1) следует, что
y′(t) = α0(λ0 − 1)πω(t)p(t)y(t)| ln |y(t)‖σ[1 + o(1)] при t ↑ ω,
или
y′(t)
y(t)| ln |y(t)||σ
= α0(λ0 − 1)πω(t)p(t) при t ↑ ω.
Интегрируя это соотношение на промежутке от t0 до t, ty ≤ t0 ≤ t < ω, и учитывая
определение Pω(λ0)-решения, получаем
| ln |y(t)||1−σsign (ln |y(t)|)
1− σ
= α0(λ0 − 1)IA(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Значит,
sign (ln |y(t)|) = ν и ln |y(t)| = ν |(1− σ)(λ0 − 1)IA(t)|
1
1−σ [1 + o(1)] при t ↑ ω, (2.8)
где ν определяется формулой (1.5). Подставляя найденное значение ln |y(t)| в правую
часть (1.1) и учитывая тождество
y′′(t)
y(t)
=
y′′(t)y(t)
[y′(t)]2
(
y′(t)
y(t)
)2
,
а также предельные соотношения (2.7), имеем
(
λ0
λ0 − 1
)2 1
π2
ω(t)
= α0λ0p(t) |(1− σ)(λ0 − 1)IA(t)|
σ
σ−1 [1 + o(1)] при t ↑ ω.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 235
Из этого асимптотического соотношения непосредственно вытекают условия (1.3). Спра-
ведливость асимптотических представлений (1.4) следует из (2.8) и предельных соотно-
шений (2.7).
Достаточность. Предположим, что при некотором λ0 ∈ R \ {0, 1,−1} выполняются
условия (1.3). В этом случае уравнение (1.1) с помощью преобразования
ln |y(t)| = ν |(1− σ)(λ0 − 1)IA(t)|
1
1−σ [1 + v1(τ)],
y′(t)
y(t)
=
λ0
(λ0 − 1)πω(t)
[1 + v2(τ)], (2.9)
где
τ = β ln |πω(t)|, β =
{
1 при ω = +∞,
−1 при ω < +∞,
сведем к системе дифференциальных уравнений
v′1 =
βq(τ)
1− σ
[
1 + v2
h(τ)
− 1− v1
]
,
(2.10)
v′2 =
β
λ0 − 1
[
h(τ)|1 + v1|σ − λ0(1 + v2)2 + (λ0 − 1)(1 + v2)
]
,
в которой
q(τ) = q(τ(t)) =
πω(t)I ′A(t)
IA(t)
, h(τ) = h(τ(t)) =
(λ0 − 1)2
α0λ0
π2
ω(t)p(t) |(1− σ)(λ0 − 1)IA(t)|
σ
1−σ .
Выберем произвольным образом число a0 ∈ ]a, ω[ и рассмотрим систему дифферен-
циальных уравнений (2.10) на множестве [τ0,+∞[ × R2
1
2
, где
τ0 = β ln |πω(a0)|, R2
1
2
=
{
(v1, v2) ∈ R2 : |vi| ≤
1
2
, i = 1, 2
}
.
На этом множестве правые части системы (2.10) непрерывны и имеют непрерывные
частные производные по v1, v2. Кроме того, в силу условий (1.3) и вида функций IA(t),
τ(t)
lim
τ→+∞
h(τ) = lim
t↑ω
h(τ(t)) = 1, (2.11)
+∞∫
τ0
βq(τ) dτ =
ω∫
a0
I ′A(t)
IA(t)
dt = ln |IA(t)||ωa0
=
{
+∞, если A = a,
−∞, если A = ω,
(2.12)
причем функция q сохраняет знак на промежутке [τ0,+∞[.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
236 МУСА ДЖАБЕР АБУ ЭЛЬ-ШАУР
Выделяя в правых частях системы (2.10) линейные части, переписываем ее в виде
v′1 =
βq(τ)
1− σ
[h(τ)− 1− v1 + h(τ)v2] ,
(2.13)
v′2 =
β
λ0 − 1
[h(τ)− 1 + σh(τ)v1 − (λ0 + 1)v2 + V (τ, v1, v2)] ,
где
V (τ, v1, v2) = −λ0v
2
2 + h(τ)[(1 + v1)σ − 1− σv1]. (2.14)
Теперь с помощью дополнительного преобразования приведем эту систему к „почти
треугольному” виду, допускающему применение леммы 2.1. При этом обратим внимание
на то, что
q(τ(t)) =
πω(t)I ′A(t)
IA(t)
=
νλ0(1− σ)h(τ(t))
|(1− σ)(λ0 − 1)IA(t)|
1
1−σ
,
и поэтому в силу условия (2.11) и вида функций IA(t), τ(t)
lim
τ→+∞
q(τ) = lim
t↑ω
q(τ(t)) =
∞, если lim
t↑ω
|IA(t)|
1
1−σ = 0,
0, если lim
t↑ω
|IA(t)|
1
1−σ = +∞.
(2.15)
Далее, с учетом того, что
σ 6= 1, λ0 6= 1, и (λ0 + 1)(σ − λ0 − 1) 6= 0, (2.16)
рассмотрим каждый из двух возможных случаев.
1. В случае, когда lim
t↑ω
|IA(t)|
1
1−σ = +∞, систему уравнений (2.13) с помощью преобра-
зования
v1(τ) = z1(τ), v2(τ) = z2(τ) +
σz1(τ)
λ0 + 1
(2.17)
приведем к системе дифференциальных уравнений (2.1), где
f1(τ) =
βq(τ)
1− σ
[h(τ)− 1], f2(τ) = β
[
1
λ0 − 1
− σq(τ)
(λ0 + 1)(1− σ)
]
[h(τ)− 1],
q1(τ) = 0, q2(τ) =
β
λ0 − 1
, p11(τ) =
βq(τ)
1− σ
[
−1 +
σh(τ)
λ0 + 1
]
, p12(τ) =
βq(τ)h(τ)
1− σ
,
p21(τ) =
βσ
λ0 − 1
[h(τ)− 1]− σp11(τ)
λ0 + 1
, p22(τ) = −β(λ0 + 1)
λ0 − 1
− σp12(τ)
λ0 + 1
,
Z1(τ, z1, z2) = 0, Z2(τ, z1, z2) = V
(
τ, z1, z2 +
σz1
λ0 + 1
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 237
Поскольку в рассматриваемом случае lim
τ→+∞
q(τ) = 0, в силу (2.11), (2.12) и (2.14) выпол-
няются условия (2.2) – (2.5). Поэтому на основании леммы 2.1 полученная система диффе-
ренциальных уравнений (2.1) имеет хотя бы одно решение (z1, z2) : [τ1,+∞[−→ R2, τ1 ≥
≥ τ0, стремящееся к нулю при τ → +∞, причем нетрудно заметить, что при выполне-
нии неравенства (σ − 1 − λ0)(λ0 + 1) < 0 таких решений будет однопараметрическое
семейство. Каждому из них в силу замен переменных (2.17) и (2.9) соответствует реше-
ние y дифференциального уравнения (1.1), удовлетворяющее при t ↑ ω асимптотическим
соотношениям (1.4).
2. В случае, когда lim
t↑ω
|IA(t)|
1
1−σ = 0, к системе дифференциальных уравнений (2.13)
применим преобразование
v1(τ) = z2(τ) + z1(τ), v2(τ) = z1(τ). (2.18)
В результате получим систему дифференциальных уравнений вида (2.1), в которой
f1(τ) =
β
λ0 − 1
[h(τ)− 1], f2(τ) =
βq(τ)
1− σ
[h(τ)− 1]− f1(τ), q1(τ) =
β
λ0 − 1
,
q2(τ) = −q1(τ), p11(τ) =
β
λ0 − 1
[σh(τ)− λ0 − 1], p12(τ) =
βσh(τ)
λ0 − 1
,
p21(τ) =
βq(τ)
1− σ
[h(τ)− 1]− p11(τ), p22(τ) = −βq(τ)
1− σ
− p12(τ),
Z1(τ, z1, z2) =
β
λ0 − 1
V (τ, z2 + z1, z1), Z2(τ, z1, z2) = − β
1− λ0
V (τ, z2 + z1, z1).
Поскольку в данном случае lim
τ→+∞
q(τ) = ∞, в силу (2.11), (2.12) и (2.14) выполняются
условия (2.2) – (2.5). Значит, для полученной системы дифференциальных уравнений (2.1)
выполнены все условия леммы 2.1. Согласно этой лемме система имеет хотя бы одно ре-
шение (z1, z2) : [τ1,+∞[−→ R2, τ1 ≥ τ0, стремящееся к нулю при τ → +∞, причем таких
решений будет однопараметрическое семейство, если sign [(σ − 1− λ0)(λ0 − 1)πω(t)] < 0.
Каждому такому решению вследствие замен переменных (2.18) и (2.9) соответствует ре-
шение y дифференциального уравнения (1.1), удовлетворяющее при t ↑ ω асимптотичес-
ким соотношениям (1.4).
Установив существование решений уравнения (1.1), допускающих при t ↑ ω асимпто-
тические представления (1.4), нетрудно проверить, с учетом условий (1.3), что каждое из
них является Pω(λ0)-решением.
Теорема доказана.
Доказательство теоремы 1.2. Необходимость. Пусть y : [ty, ω[→ R \ {0, 1} —
Pω(1)-решение дифференциального уравнения (1.1). Тогда в силу условий (1.2), где λ0 = 1,
с учетом тождества (2.6) получим
lim
t↑ω
πω(t)y′(t)
y(t)
= ∞, lim
t↑ω
πω(t)y′′(t)
y′(t)
= ∞. (2.19)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
238 МУСА ДЖАБЕР АБУ ЭЛЬ-ШАУР
Кроме того, из (1.2) следует, что y′′(t) ∼ [y′(t)]2
y(t)
при t ↑ ω, и поэтому согласно (1.1)
(
y′(t)
y(t)
)2
= α0p(t)| ln |y(t)||σ[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Отсюда вытекают первое из условий (1.7) и асимптотическое соотношение
y′(t)
y(t)| ln |y(t)||
σ
2
= ±p
1
2 (t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (2.20)
Интегрируя это соотношение на промежутке от ty до t, t ∈ ]ty, ω[, и учитывая, что σ 6= 2
и выполняется первое из условий (1.2), получаем
|ln |y(t)||
2−σ
2 sign (ln |y(t)|) = ±2− σ
2
JB(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Следовательно,
sign (ln |y(t)|) = ±µ,
где µ определяется формулой (1.9), и
ln |y(t)| = ±µ
∣∣∣∣2− σ
2
JB(t)
∣∣∣∣ 2
2−σ
[1 + o(1)] при t ↑ ω,
т. е. имеет место первое из асимптотических соотношений (1.8). Учитывая его, из (2.20)
получаем второе из асимптотических представлений (1.8). В силу этого представления и
первого из условий (2.19) выполняется второе из условий (1.7).
Достаточность. Предположим, что функция p : [a, ω[−→]0,+∞[ непрерывно диф-
ференцируема, существует конечный или равный ±∞ предел (1.6) и выполняются усло-
вия (1.7). В этом случае, применяя к уравнению (1.1) преобразование
ln |y(t)| = ±µ
∣∣∣∣2− σ
2
JB(t)
∣∣∣∣ 2
2−σ
[1 + v1(τ)],
y′(t)
y(t)
= ±p
1
2 (t)
∣∣∣∣2− σ
2
JB(t)
∣∣∣∣ σ
2−σ
[1 + v2(τ)],
(2.21)
τ = β ln |JB(t)|, β =
{
1, если B = a,
−1, если B = ω,
получаем систему дифференциальных уравнений
v′1 =
2β
2− σ
(v2 − v1),
(2.22)
v′2 = ±2βµq(τ)
2− σ
[
|1 + v1|σ − (1 + v2)2 ∓ h(τ)(1 + v2)
]
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 239
в которой
q(τ) = q(τ(t)) =
∣∣∣∣2− σ
2
JB(t)
∣∣∣∣ 2
2−σ
, h(τ) = h(τ(t)) =
(
p
1
2 (t)
∣∣2−σ
2 JB(t)
∣∣ σ
2−σ
)′
p(t)
∣∣2−σ
2 JB(t)
∣∣ 2σ
2−σ
.
Выберем произвольным образом число a0 ∈ ]a, ω[. Поскольку выполняется второе из
условий (1.7), то
ω∫
a0
p
1
2 (t) |JB(t)|
σ
2−σ dt = +∞.
Отсюда следует, что
lim
t↑ω
|JB(t)|
2
2−σ = +∞.
Поэтому c учетом вида функции τ(t) имеем
lim
τ→+∞
q(τ) = lim
t↑ω
q(τ(t)) = +∞. (2.23)
Далее, покажем, что lim
t↑ω
h(τ(t)) = 0.
В силу условий теоремы lim
t↑ω
h(τ(t)) существует (конечный или равный ±∞). Допус-
тим, что
lim
t↑ω
h(τ(t)) =
{
либо const 6= 0,
либо ±∞.
(2.24)
Интегрируя функцию h(τ(t)) на промежутке от a0 до t, t ∈ ]a0, ω[, получаем
t∫
a0
h(τ(t)) dt = − 1
p
1
2 (t)
∣∣2−σ
2 JB(t)
∣∣ σ
2−σ
+ C, (2.25)
где C — некоторая постоянная.
Если ω = +∞, то πω(t) = t, и в этом случае в силу второго из условий (1.7)
lim
t→+∞
∫ t
a0
h(τ(t)) dt
t
= 0.
Однако это невозможно, поскольку в силу правила Лопиталя и (2.24)
lim
t→+∞
∫ t
a0
h(τ(t)) dt
t
= lim
t→+∞
h(τ(t)) 6= 0.
Если же ω < ∞, то πω(t) = t− ω, и в силу второго из условий (1.7)
lim
t↑ω
p
1
2 (t)
∣∣∣∣2− σ
2
JB(t)
∣∣∣∣ σ
2−σ
= +∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
240 МУСА ДЖАБЕР АБУ ЭЛЬ-ШАУР
Поэтому из (2.25) следует, что
lim
t↑ω
t∫
a0
h(τ(t)) dt = C.
В силу этого условия равенство (2.25) можно переписать в виде
t∫
ω
h(τ(t)) dt = − 1
p
1
2 (t)
∣∣2−σ
2 JB(t)
∣∣ σ
2−σ
.
Разделив это соотношение на πω(t) и перейдя к пределу при t ↑ ω, с учетом второго из
условий (1.7) получим
lim
t↑ω
∫ t
ω h(τ(t)) dt
t− ω
= 0.
Однако это также невозможно, поскольку предел, стоящий слева, в силу правила Лопи-
таля и (2.24) отличен от нуля.
Следовательно, предположение о том, что lim
t↑ω
h(τ(t)) 6= 0, было неверным. Значит,
lim
τ→+∞
h(τ) = lim
t↑ω
h(τ(t)) = 0. (2.26)
Установив условия (2.23) и (2.26), рассмотрим систему дифференциальных уравнений
(2.22) на множестве
[τ0,+∞[×R2
1
2
, где τ0 = β ln |JB(a0)|, R2
1
2
=
{
(v1, v2) ∈ R2 : |vi| ≤
1
2
, i = 1, 2
}
.
На этом множестве правые части данной системы непрерывны и имеют непрерывные
частные производные по переменным v1, v2.
Выделив во втором уравнении системы (2.22) линейную часть, перепишем ее в виде
v′1 =
2β
2− σ
(v2 − v1),
v′2 = ±2βµq(τ)
2− σ
[∓h(τ) + σv1 + (−2∓ h(τ))v2 + V (v1, v2)] ,
где
V (v1, v2) = (1 + v1)σ − 1− σv1 − v2
2. (2.27)
Теперь, применив к этой системе дополнительное преобразование
v1(τ) = z1(τ), v2(τ) = z2(τ) +
σz1(τ)
2
, (2.28)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 241
получим систему дифференциальных уравнений вида (2.1), где
f1(τ) = 0, f2(τ) = −2βµq(τ)
2− σ
h(τ), q1(τ) = 0, q2(τ) = ± 2βµ
2− σ
q(τ),
p11(τ) = −β, p12(τ) =
2β
2− σ
, p21(τ) = −βµσq(τ)
2− σ
+
βσ
2
,
p22(τ) = ±2βµq(τ)
2− σ
[σ−2∓h(τ)]− βσ
2− σ
, Z1(τ, z1, z2) = 0, Z2(τ, z1, z2) = V
(
z1, z2 +
σ
2
z1
)
.
Для этой системы дифференциальных уравнений в силу (2.23), (2.26) и (2.27) выполня-
ются условия (2.2) – (2.5). Поэтому согласно лемме 2.1 данная система имеет хотя бы одно
решение (z1, z2) : [τ1,+∞[−→ R2, τ1 ≥ τ0, стремящееся к нулю при τ → +∞, которому в
силу замен (2.28) и (2.21) соответствует решение y : [t0, ω[−→ R, t0 ∈ [a0, ω[, дифферен-
циального уравнения (1.1), допускающее при t ↑ ω асимптотические представления (1.8).
Учитывая эти представления, убеждаемся в том, что данное решение уравнения (1.1) яв-
ляется Pω(1)-решением.
Теорема доказана.
1. Evtukhov V. M., Kirillova L. A. Asymptotic representations of solutions of non-linear second order differenti-
al equations // Mem. Different. Equat. and Math. Phys. — 2003. — 30. — P. 153 – 158.
2. Кирилова Л. О. Асимптотичнi властивостi розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь другого по-
рядку, якi близькi до рiвнянь типу Емдена – Фаулера // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. — 2004.
— Вип. 228. — С. 30 – 35.
3. Евтухов В. М., Кириллова Л. А. Об асимптотике решений нелинейных дифференциальных уравнений
второго порядка // Дифференц. уравнения. — 2005. — 41, № 8. — С. 1053 – 1061.
4. Кириллова Л. А. Об асимптотике решений нелинейных дифференциальных уравнений второго по-
рядка // Нелiнiйнi коливання. — 2005. — 8, № 1. — С. 18 – 28.
5. Hartman P. Ordinary differential equations. — New York; London; Sydney, 1964. — 612 p.
6. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных
дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1990. — 430 с.
7. Евтухов В. М. Об исчезающих на бесконечности решениях вещественных неавтономных систем квази-
линейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. — 2003. — 39, № 4. — С. 433 – 444.
Получено 26.04.07
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2
|