Критерий промежуточного роста самоподобных групп
A new method for the upper estimation of growth for some infinite groups of the automorphisms of trees is investigated. A criterion which distinguishes when a group has exponential growth or subexponential is established.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1788 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Критерий промежуточного роста самоподобных групп / Ю.Г. Леонов // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 25-28. — Библиогр.: 7 назв. — рус. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-1788 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-17882008-09-03T12:01:57Z Критерий промежуточного роста самоподобных групп Леонов, Ю.Г. Математика A new method for the upper estimation of growth for some infinite groups of the automorphisms of trees is investigated. A criterion which distinguishes when a group has exponential growth or subexponential is established. 2007 Article Критерий промежуточного роста самоподобных групп / Ю.Г. Леонов // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 25-28. — Библиогр.: 7 назв. — рус. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1788 512.4 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Леонов, Ю.Г. Критерий промежуточного роста самоподобных групп |
| description |
A new method for the upper estimation of growth for some infinite groups of the automorphisms of trees is investigated. A criterion which distinguishes when a group has exponential growth or subexponential is established. |
| format |
Article |
| author |
Леонов, Ю.Г. |
| author_facet |
Леонов, Ю.Г. |
| author_sort |
Леонов, Ю.Г. |
| title |
Критерий промежуточного роста самоподобных групп |
| title_short |
Критерий промежуточного роста самоподобных групп |
| title_full |
Критерий промежуточного роста самоподобных групп |
| title_fullStr |
Критерий промежуточного роста самоподобных групп |
| title_full_unstemmed |
Критерий промежуточного роста самоподобных групп |
| title_sort |
критерий промежуточного роста самоподобных групп |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1788 |
| citation_txt |
Критерий промежуточного роста самоподобных групп / Ю.Г. Леонов // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 25-28. — Библиогр.: 7 назв. — рус. |
| work_keys_str_mv |
AT leonovûg kriterijpromežutočnogorostasamopodobnyhgrupp |
| first_indexed |
2025-07-02T05:15:51Z |
| last_indexed |
2025-07-02T05:15:51Z |
| _version_ |
1836510978715418624 |
| fulltext |
Теорема 4. Для довiльного Tχ група автоморфiзмiв групи Aχ iзоморфна групi авто-
морфiзмiв групи Sχ.
1. Lavrenyuk Ya.V., Sushchansky V. I. Automorphisms of homogeneous symmetric groups and hierarchomor-
phisms of rooted trees // Algebra and Discrete Mathematics. – 2003. – 2, No 4. – P. 33–49.
2. Lavrenyuk Y.V., Sushchansky V. I. Notes to “automorphisms of homogeneous symmetric groups and hi-
erarchomorphisms of rooted trees” // Ibid. – 2005. – 4, No 2. – P. 70–72.
3. Лавренюк Я.В. Класифiкацiя iндуктивних границь з дiагональними зануреннями скiнченних симет-
ричних та знакозмiнних груп // Доп. НАН України. – 2005. – № 9. – С. 24–27.
4. Rubin M. On the reconstruction of topological spaces from their groups of homeomorphisms // Trans.
Amer. Math. Soc. – 1989. – 312, No 2. – P. 487–538.
5. Nekrashevych V. Self-similar groups. AMS: Mathematical Surveys and Monographs. – 2005. – Vol. 117. –
231 p.
Надiйшло до редакцiї 13.09.2006Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
УДК 512.4
© 2007
Ю.Г. Леонов
Критерий промежуточного роста самоподобных групп
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Ю.С. Самойленко)
A new method for the upper estimation of growth for some infinite groups of the automorphisms
of trees is investigated. A criterion which distinguishes when a group has exponential growth
or subexponential is established.
В 1968 г. Дж. Милнор [1] поставил вопрос о существовании групп, у которых функция
роста растет быстрее любой степенной функции и медленнее показательной. Такие группы
называются группами промежуточного роста.
Напомним, что функция роста конечно порожденной группы G с системой порождаю-
щих S определяется соотношением
γ(n) = #{g ∈ G; l(g) 6 n},
где l(g) — длина элемента g относительно S.
Будем говорить, что функция f1(n) растет не быстрее, чем f2(n): f1(n) � f2(n), если най-
дется c > 0 такое, что f1(n) 6 f2(cn), для любых n ∈ N. Если f1(n) � f2(n) и f2(n) � f1(n),
то функции эквивалентны: f1(n) ∼ f2(n). Функции роста одной и той же конечно порож-
денной группы при различных конечных системах порождающих эквивалентны.
В работе [2] Р.И. Григорчук показал, что группа из [3] Gr имеет промежуточный рост,
тем самым ответив на вопрос Милнора. Исследуя функции роста группы, мы часто можем
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 25
узнать другие важнейшие ее характеристики. Так, если группа G растет медленнее, чем
экспоненциальная функция (растет субэкспоненциально), т. е. выполняется
lim
n→∞
n
√
γG(n) = 1,
то G является аменабельной, а если медленнее какой-либо степенной функции, то G почти
нильпотентна [4]. Таким образом, при исследовании роста бесконечных не почти нильпо-
тентных групп наиболее важным является вопрос: растет ли группа экспоненциально или
субэкспоненциально.
В данной работе мы устанавливаем критерий субэкспоненциального роста самоподобных
групп. Полученные результаты применяются к известным группам. Прежде чем формули-
ровать основной результат, сделаем ряд определений.
Группа G, действующая на бесконечном регулярном корневом d-дереве Td (от каждой
вершины вниз исходит ровно d ребер), называется самоподобной, если множество ограни-
чений действий ее элементов на каждом поддереве совпадает с G.
Класс самоподобных групп изучается не так давно (см., напр., [5]). Однако и на сегод-
няшний день среди самоподобных групп известно много групп с уникальными свойства-
ми. Так, среди таких групп находятся наиболее простые примеры групп Бернсайдова типа
(периодических бесконечных конечно порожденных групп). Таковыми являются и группа
Григорчука Gr и известные p-группы Гупты–Сидки [6].
Будем говорить, что вершина v дерева T = Td находится на уровне n > 0, если эта
вершина удалена от корневой вершины на расстоянии n. Регулярное корневое дерево Tv
с корневой вершиной v является поддеревом дерева T и совпадает с ним после отождеств-
ления корневых вершин этих деревьев. Ясно, что число деревьев с корневой вершиной
уровня n равно dn. Множество вершин уровня n обозначим V (n).
Пусть g ∈ G. Сужение действия элемента g на поддерево дерева T с корневой вершиной v
назовем проекцией элемента g и обозначим gv . Будем говорить, что конечно порожденная
самоподобная группа G не имеет растягивания, если для некоторой системы порождаю-
щих S выполняется неравенство
l(g) >
∑
v∈V (1)
l(gv), (1)
для всех g ∈ G. Большинство известных самоподобных групп не имеют растягивания.
Предметом нашего исследования является изучение роста множества
ΓG(n) = {g | l(g) 6 n}.
Рассмотрим граничное множество элементов длины 6 n для некоторого натурального k:
Γ
{k}
G (n) =
{
g ∈ ΓG(n) | l(g) =
∑
v∈V (k)
l(gv)
}
.
Его мощность обозначим f
{k}
G (n) и назовем функцией роста граничного множества. Ока-
зывается рост граничного множества очень тесно связан с ростом самой группы G.
Теорема 1. Пусть G — самоподобная группа, которая не имеет растягивания
и f
{k}
G (n) — функция роста граничного множества. Если lim
n→∞
n
√
f
{k}
G (n) = 1, для неко-
торого k, то группа G растет субэкспоненциально.
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
Фактически эта теорема является критерием, так как в обратную сторону утверждение
очевидно для любого k.
Зафиксируем α ∈ (0, 1) и рассмотрим разбиение множества ΓG(n) на два дизъюнктных
подмножества:
Γ
{k}
1 (α, n) =
{
g ∈ ΓG(n) | (1 − α)l(g) >
∑
v∈V (k)
l(gv)
}
,
Γ
{k}
2 (α, n) = ΓG(n) \ Γ
{k}
1 (α, n).
Если в группе G при некоторых k и α > 0 множество Γ
{k}
2 (α, n) ограничено с ростом n,
то говорят, что группа G имеет стягивание. В частности, группа Григорчука Gr имеет
стягивание. Для групп со стягиванием хорошо известен метод оценки роста сверху, который
впервые был указан в [2]. Простое доказательство субэкспоненциального роста групп со
стягиванием получено в [7]. А именно, пусть для группы G найдется λ ∈ (0, 1), для которого
выполняется неравенство
∑
v∈V (k)
l(gv) 6 λl(g) + const.
Тогда группа G имеет субэкспоненциальный рост с оценкой
γG(n) 6 enδ
, где δ = logd/λ1/k d.
Для доказательства нашей теоремы необходимо обобщить полученный метод для неогра-
ниченно растущего множества Γ
{k}
2 (α, n) с ростом n. Основным техническим результатом
можно считать следующий:
Лемма 1. Для каждого α ∈ (0, 1) и самоподобной группы G 6 Aut Td со свойством (1)
верна оценка
γG(n) 6 max
{
Rnδ
1 ,
(
R2 · f
{k}
G
(
1
α
))α·n}
, (2)
где δ = log
d/(1−α)1/k d и R1, R2 — некоторые константы > 1.
Далее, мы имеем возможность рассматривать разбиение множества ΓG(n) =
= Γ
{k}
1 (αn, n)
⋃
Γ
{k}
2 (αn, n) при различных αn ∈ (0, 1) с ростом n, переразбивая с каждым n
наше множество.
Лемма 2. Пусть последовательность {αn} монотонно стремится к 0 и выполняется
условие теоремы о росте функции f
{k}
G (n). Тогда функция
(
R2 · f
{k}
G
(
1
αn
))αn·n
растет субэкспоненциально. Если, кроме этого, {αn} стремится к 0 так медленно, что
lim
n→∞
(αn · log n) = ∞,
то и функция Rnδn
1 растет субэкспоненциально, при δn = log
d/(1−αn)1/k d.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 27
Выбирая необходимую последовательность αn, мы можем добиться выполнения пре-
дыдущей леммы. Отсюда и из леммы 1 получаем, что функция γG(n) растет субэкспонен-
циально. Последнее доказывает нашу теорему.
Исследовать граничное множество самоподобной группы гораздо легче самой группы.
В качестве приложения нашей теоремы для группы с бесконечным граничным множеством
отметим следующий результат.
Лемма 3. Пусть G3 — 3-группа, построенная в работе [6]. Тогда функция роста гра-
ничного множества этой группы растет субэкспоненциально уже при k = 2:
f
{2}
G3
(n) 6 en8/9
.
Аналогичного вида оценку f
{k}
G (n) 6 enθ
при θ < 1 можно получить и для некоторых
других известных групп. В частности, для известной группы Гупты, действующей на де-
реве T4, можно выбрать θ = 1/2 при k = 1.
Заметим, что для самоподобных групп экспоненциального роста, как правило, легко
доказать экспоненциальный рост ее граничного множества.
1. Milnor J. Problem 5603 // Amer. Math. Mon. – 1968. – 75, No 6. – P. 685–686.
2. Григорчук Р.И. Степени роста конечно-порожденных групп и теория инвариантных средних // Изв.
АН СССР. Сер. мат. – 1984. – № 5. – С. 939–985.
3. Григорчук Р.И. К проблеме Бернсайда о периодических группах // Функц. анализ и его приложе-
ния. – 1980. – 14, вып. 1. – С. 53–54.
4. Gromov M. Groups of polynomial growth and expanding maps // Publ. Math. IHES. – 1981. – 53. –
P. 53–73.
5. Григорчук Р.И., Некрашевич В. В., Сущанский В.И. Автоматы, динамические системы и группы //
Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. – 2000. – 231. – С. 134–214.
6. Гупта Н., Сидки С. Some infinite p-groups // Алгебра и логика. – 1983. – 22, № 5. – С. 584–589.
7. Леонов Ю.Г. Про оцiнку функцii росту для деяких самоподiбних груп // Вiсн. Київ. ун-ту. Сер.
фiз.-мат. науки. – 2004. – № 3. – С. 32–34.
Поступило в редакцию 03.10.2006Одесская национальная академия связи
им. А.С. Попова
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
|