Застосування нового аналітично-числового методу Остроградського до розв'язування плоскої задачі теорії пружності
A boundary-value problem for the biharmonic equation is solved, and the stress-strain state (SSS) of a rectangular plate loaded on the sides by forces is defined. The SSS is presented in the form of a series in specially constructed Saint-Venant functions. The series coefficients are found from the...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1794 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Застосування нового аналітично-числового методу Остроградського до розв'язування плоскої задачі теорії пружності / В.П. Ревенко // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 72-77. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-1794 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-17942008-09-03T12:01:23Z Застосування нового аналітично-числового методу Остроградського до розв'язування плоскої задачі теорії пружності Ревенко, В.П. Механіка A boundary-value problem for the biharmonic equation is solved, and the stress-strain state (SSS) of a rectangular plate loaded on the sides by forces is defined. The SSS is presented in the form of a series in specially constructed Saint-Venant functions. The series coefficients are found from the condition of minimum of the deviation square integral of a solution from the given boundary conditions on the plate sides. The Bessel inequality is proved, and the effective valuation of the exactness of the general solution is given. The results of numerical analysis of the stresses are presented. 2007 Article Застосування нового аналітично-числового методу Остроградського до розв'язування плоскої задачі теорії пружності / В.П. Ревенко // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 72-77. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1794 539.3 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Ревенко, В.П. Застосування нового аналітично-числового методу Остроградського до розв'язування плоскої задачі теорії пружності |
| description |
A boundary-value problem for the biharmonic equation is solved, and the stress-strain state (SSS) of a rectangular plate loaded on the sides by forces is defined. The SSS is presented in the form of a series in specially constructed Saint-Venant functions. The series coefficients are found from the condition of minimum of the deviation square integral of a solution from the given boundary conditions on the plate sides. The Bessel inequality is proved, and the effective valuation of the exactness of the general solution is given. The results of numerical analysis of the stresses are presented. |
| format |
Article |
| author |
Ревенко, В.П. |
| author_facet |
Ревенко, В.П. |
| author_sort |
Ревенко, В.П. |
| title |
Застосування нового аналітично-числового методу Остроградського до розв'язування плоскої задачі теорії пружності |
| title_short |
Застосування нового аналітично-числового методу Остроградського до розв'язування плоскої задачі теорії пружності |
| title_full |
Застосування нового аналітично-числового методу Остроградського до розв'язування плоскої задачі теорії пружності |
| title_fullStr |
Застосування нового аналітично-числового методу Остроградського до розв'язування плоскої задачі теорії пружності |
| title_full_unstemmed |
Застосування нового аналітично-числового методу Остроградського до розв'язування плоскої задачі теорії пружності |
| title_sort |
застосування нового аналітично-числового методу остроградського до розв'язування плоскої задачі теорії пружності |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1794 |
| citation_txt |
Застосування нового аналітично-числового методу Остроградського до розв'язування плоскої задачі теорії пружності / В.П. Ревенко // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 72-77. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT revenkovp zastosuvannânovogoanalítičnočislovogometoduostrogradsʹkogodorozvâzuvannâploskoízadačíteoríípružností |
| first_indexed |
2025-07-02T05:16:08Z |
| last_indexed |
2025-07-02T05:16:08Z |
| _version_ |
1836510995714932736 |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2007
В.П. Ревенко
Застосування нового аналiтично-числового методу
Остроградського до розв’язування плоскої задачi теорiї
пружностi
(Представлено академiком НАН України Я.М. Григоренком)
A boundary-value problem for the biharmonic equation is solved, and the stress-strain state
(SSS) of a rectangular plate loaded on the sides by forces is defined. The SSS is presented in
the form of a series in specially constructed Saint-Venant functions. The series coefficients are
found from the condition of minimum of the deviation square integral of a solution from the
given boundary conditions on the plate sides. The Bessel inequality is proved, and the effective
valuation of the exactness of the general solution is given. The results of numerical analysis
of the stresses are presented.
У роботах [1–3] розробленi математичнi основи нового аналiтично-числового спектрального
методу розв’язування двовимiрних задач теорiї пружностi, показано його повноту i збiж-
нiсть. В [4] вказано, що iдеї спектрального методу розв’язування крайових задач для рiв-
нянь в частинних похiдних були вперше висловленi та опублiкованi в [5]. Тому пропонуємо
спектральний метод розв’язування крайових задач для рiвнянь порядку бiльше двох на-
зивати iменем видатного українського математика i механiка М.В. Остроградського. В [6]
цей метод розвинуто для розв’язування тривимiрних задач теорiї пружностi.
Розв’язування крайової задачi цим методом проводиться в декiлька етапiв: 1) видiлен-
ня основного напружено-деформованого стану (НДС); 2) побудова нескiнченної системи
власних функцiй; 3) використання iнтегрального методу моментiв для знаходження коефi-
цiєнтiв розкладу. Метод iнтегральних моментiв оснований на мiнiмiзацiї iнтеграла вiд суми
квадратiв вiдхилення знайденого розв’язку вiд заданих граничних умов на границi областi.
В данiй роботi цей метод реалiзовано для знаходження НДС прямокутної пластини при
довiльному навантаженнi i дослiджено деякi аспекти числової реалiзацiї: точнiсть задово-
лення граничних умов, збiжнiсть, швидкодiя.
1. Знаходження НДС прямокутної пластини. Розглянемо плоску статичну задачу
для тонкої прямокутної пластини сталої товщини h, яка займає прямокутну область D =
= {(x, y) ∈ [0, a]× [−b, b]}, за вiдсутностi масових сил [3, 7, 8]. На контурi L прямокутника D
заданi граничнi умови в напруженнях
σn(x, y)|L = σg|L,
τn(x, y)|L = τg|L,
(1)
де зовнiшнi нормальнi та дотичнi навантаження σg, τg є кусково-неперервними функцiями
на контурi прямокутника L. Позначимо вершини прямокутника проти годинникової стрiл-
ки, починаючи iз точки (a, b), лiтерами A, B, C, D. Сторони мiж вершинами B i C; C i D
i т. д. позначимо цифрами 1, 2, 3, 4. В роботi [9] дано розв’язок цiєї задачi для часткового
симетричного випадку навантаження: σg(y)|L1
= σg(y)|L3
, σg(x)|L2
= σg(x)|L4
, τg(x, y)|L = 0.
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
В [10] наведено огляд лiтератури з проблеми розв’язування крайової задачi для бiгармо-
нiчного рiвняння.
Розподiленi нормальнi та дотичнi зовнiшнi навантаження σg, τg створюють на сторонах
пластини вiдповiднi нормальнi Tj та дотичнi Qj зусилля i моменти Mj , j = 1, 4, вiдносно
їх середин [7]. Пошук бiгармонiчної функцiї напружень Φ(x, y), яка задовольняє граничнi
умови (1), будемо послiдовно зводити до розв’язування простiших задач. Перше спрощення
випливає iз симетричностi бiгармонiчного рiвняння i прямокутної областi вiдносно змiнної y.
Розглянемо граничнi навантаження (1) як суму двох частин а i б : а) парнi вiдносно змiнної y
нормальнi напруження, непарнi — дотичнi напруження, б) навпаки, непарнi — нормальнi,
парнi — дотичнi напруження. Надалi шукатимемо розв’язок в цiлому самозрiвноваженої
задачi а.
Роздiлення НДС на основний i збурений. Для задачi а виконуються залежностi
Q1 = Q3 = 0, M1 = M3 = 0. Вiсiм ненульових силових факторiв, якi залишилися, пов’язанi
трьома рiвняннями рiвноваги. Полiномiнальна функцiя напружень, яка вiдповiдає такому
узагальненому головному вектору, залежить вiд п’ятьох факторiв i має вигляд:
Φ0(x, y) =
T2
2ha
x2 +
T1
4hb
y2+
T3−T1
4ha3b
[
y2(3ax2 − 2x3)+
2
5
(
x−
a
2
)5
+ 2a1
(
x−
a
2
)3]
+
+
2M2
ha3
(
x−
a
2
)3
+
M4 −M2
ha3b
[(
x−
a
2
)2
−
3
4
a2
](
x−
a
2
)
(y + b), (2)
де a1 = b2 − a2/10. Функцiя Φ0(x, y) задовольняє бiгармонiчне рiвняння i створює зада-
нi узагальненi силовi зусилля по сторонах пластини. Пiсля видiлення зусиль, якi створює
функцiя напружень (2), iз граничних умов (1) залишається збурене (самозрiвноважене)
вiдносно кожної сторони пластини зовнiшнє навантаження. Подальше спрощення знову по-
лягає у роздiленнi НДС на двi частини. Розглянемо граничнi навантаження (1) як суму двох
частин А i Б: А) на сторонах y = ±b прямокутної пластини вiдсутнi зовнiшнi навантаження
σy(x,±b) = 0, τ(x,±b) = 0, x ∈ [0, a], (3)
а на сторонах x = 0, x = a дiють граничнi навантаження (1); Б) навпаки, на сторонах 1,
3 прямокутника вiдсутнi зовнiшнi навантаження, а на сторонах 2, 4 дiють граничнi наван-
таження (1).
Враховуючи iдентичнiсть задач А i Б, нижче будемо шукати розв’язок сомозрiвнова-
женої задачi А. Розглянемо пластину, для якої a ≫ b, i чисельно встановимо, коли самов-
рiвноваженi навантаження, прикладенi на сторонi 1, не впливають на розподiл НДС бiля
сторони 3. Зовнiшнi навантаження в цiй задачi також роздiлимо на двi частини:
1) навантаження задане тiльки на сторонi 1:
σx(0, y) = σ1(y), τ(0, y) = τ1(y), σx(a, y) = 0, τ(a, y) = 0, (4)
2) навантаження — на сторонi 3:
σx(0, y) = 0, τ(0, y) = 0, σx(a, y) = σ2(y), τ(a, y) = τ2(y),
де σj(y), τj(y) ∈ L2[−b, b] i задовольняють коректнi фiзичнi умови
τj(±b) = 0, |σj(y)| < σt, |τj(y)| < τt, j = 1, 2. (5)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 73
В роботах [2, 3] показано, що розв’язок задачi 1 для a≫ b можна подати у виглядi ряду
за власними сен-венанiвськими функцiями
Φ(x, γ) = b2
∞
∑
k=1
Re{gkϕ(zkγ) exp(−βkx)}, (6)
де γ = y/b — безрозмiрна змiнна; gk — комплекснi коефiцiєнти; ϕ(zkγ) = γ sin(zkγ) −
− tg(zk) cos(zkγ) — власнi функцiї; Re(βk) > 0; zk = bβk — комплекснi безрозмiрнi спект-
ральнi числа, ненульовi коренi характеристичного рiвняння [11, 2, 3]
F (z) ≡ sin(2z) + 2z = 0. (7)
Комплексний коефiцiєнт gk має двi незалежнi невiдомi — дiйсну i уявну частини, що дає
змогу одночасно задовольнити двi граничнi умови.
Згiдно з [3], першi двi граничнi умови (4) набувають вигляду
σ1(bγ) =
∞
∑
k=1
Re{(xk + iyk)χk(γ)}, τ1(bγ) =
∞
∑
k=1
Re{(xk + iyk)ψk(γ)}, (8)
де xk + iyk = ck = z2
kgk, xk, yk — дiйсна i уявна частини довiльного комплексного коефiцi-
єнта ck; χk(γ) = mk cos(zkγ) − γ sin(zkγ), mk = 1/zk − ctg(zk); ψk(γ) = − ctg(zk) sin(zkγ) +
+ γ cos(zkγ). Легко перевiрити залежностi ψ′
k(γ) = zkχk(γ), ψk(1) = ψk(0) = ψk(−1) = 0.
Вiдзначимо, що двi останнi граничнi умови (4) вибором довжини a можна задовольнити
з високою точнiстю, оскiльки величину ‖ exp(−βka)‖ можна зробити як завгодно малою.
В роботах [2, 3] розроблено метод розрахунку пластини при довiльному значеннi довжини a.
Вкажемо на те, що умови (8) задають важливу математичну задачу розкладу на про-
мiжку [0, 1] двох самозрiвноважених функцiй σ1(bγ), τ1(bγ) за системою функцiй {χk(γ),
ψk(γ)}.
Проблема. Дослiдити, при яких умовах подання (8) є точним i побудувати конструк-
тивний алгоритм знаходження коефiцiєнтiв xk, yk. Не зупиняючись на строгому доведеннi
першої частини цiєї проблеми, розробимо чисельний метод, який дозволяє встановити вiр-
нiсть розкладу (8).
2. Мiнiмiзацiя мiри вiдхилення розв’язку вiд заданих граничних умов. Для
знаходження невiдомих дiйсних коефiцiєнтiв xk, yk, а отже i комплексних коефiцiєнтiв gk,
в [2, 3] розроблено метод iнтегральних моментiв. Обмежимося у спiввiдношеннях (6), (8)
скiнченною кiлькiстю N членiв ряду. Оскiльки окремi члени ряду (6) є розв’язками бiгар-
монiчного рiвняння, а отже i плоскої задачi, то нам достатньо знайти невiдомi коефiцiєнти
iз умови мiнiмуму граничного вiдхилення напружень, якi задаються функцiями (8) вiд зов-
нiшнiх граничних навантажень. Видiлимо у функцiй χk(γ), ψk(γ) дiйсну i уявну частини
χk(γ) = χrk(γ)+iχyk(γ), ψk(γ) = ψrk(γ)+iψyk(γ). Мiрою наближення розв’язку (6) до зада-
них граничних навантажень є iнтеграл квадратичного вiдхилення знайдених напружень (8)
вiд заданих зовнiшнiх зусиль на бокових сторонах (4)
Ψ{x1, . . . xN , y1, . . . , yN} =
1
∫
0
{{
N
∑
k=1
[xkχrk(γ) − ykχyk(γ)] − σ1(bγ)
}2
+
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
+
{
N
∑
k=1
[xkψrk(γ) − ykψyk(γ)] − τ1(bγ)
}2}
dγ =
=
N
∑
k,j=1
{xkxjB
1
k,j − 2xjykB
2
k,j + yjykB
4
k,j} − 2
N
∑
k=1
{xkPr,k − ykPy,k} + P 2, (9)
де коефiцiєнти Bm
k,j знайденi в явному виглядi [2, 3]; Pr,k = RePk, Py,k = ImPk, Pk =
=
1
∫
0
[σ1(γ)χk(γ) + τ1(γ)ψk(γ)]dγ, P 2 =
1
∫
0
[σ1(γ)
2 + τ1(γ)
2]dγ. Дiйснi xk i уявнi yk частини
комплексних коефiцiєнтiв ck визначимо iз умови мiнiмуму функцiоналу (9), який є додатно
визначеною квадратичною формою. Для цього знайдемо частиннi похiднi
∂Ψ{x1, . . . , xN , y1, . . . , yN}
∂xj
,
∂Ψ{x1, . . . , xN , y1, . . . , yN}
∂yj
, j = 1, N,
прирiвняємо їх до нуля i одержимо систему 2N лiнiйних рiвнянь для визначення 2N невi-
домих xk, yk, k = 1, N ,
N
∑
k=1
{xkB
1
k,j − ykB
2
k,j} = Pr,j ,
N
∑
k=1
{−xkB
2
j,k + ykB
4
k,j} = −Py,j , j = 1, N. (10)
Розв’яжемо систему лiнiйних рiвнянь (10) чисельно i знайдемо дiйснi коефiцiєнти xk,
yk, а отже i комплекснi коефiцiєнти gk, k = 1, N . Покажемо, що на розв’язках системи (10)
має мiсце
Нерiвнiсть Бесселя. Для будь-яких квадратично iнтегрованих на промiжку [0, 1]
функцiй σ1(bγ), τ1(bγ) виконується нерiвнiсть Бесселя
MinFnz =
1
∫
0
[σ1(bγ)
2 + τ1(bγ)
2]dγ −
N
∑
k=1
{xkPr,k − ykPy,k} > 0. (11)
Якщо в (11) має мiсце знак рiвностi, то граничнi умови (8) задовольняються точно за
метрикою простору L2.
Доведення. Оскiльки функцiонал (9) є невiд’ємним, то з нього пiсля врахування рiв-
нянь (10) випливає нерiвнiсть (11). Якщо в (11) має мiсце знак рiвностi, то iз функцiона-
лу (9) одержимо
1
∫
0
{
N
∑
k=1
[xkχrk(γ) − ykχyk(γ)] − σ1(bγ)
}2
dγ = 0,
1
∫
0
{
N
∑
k=1
[xkψrk(γ) − ykψyk(γ)] − τ1(bγ)
}2
dγ = 0,
що доводить останню частину твердження.
Вiдзначимо, що знайдений розв’язок системи рiвнянь (10) має, згiдно з енергетичною
нерiвнiстю Бесселя, стiйкiсть. Крiм того, мiнiмум функцiоналу (9) у випадку, якщо система
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 75
вибраних власних функцiй повна, наближається до нуля, а якщо вона не повна, то до
фiксованого числа.
Визначимо чисельно вiдношення MinFnz/P 2; якщо воно буде менше, нiж 10−6, то розв’я-
зок знайдено iз вiдносною точнiстю не менше 0,01. Якщо воно буде бiльше, нiж 10−6, то
збiльшуємо кiлькiсть членiв ряду N i вдруге проводимо обчислення. Тобто, цей метод по-
будований на iнтегральному контролi точностi задоволення граничних умов. Крiм того,
ми безпосередньо по точках контролюємо максимальне вiдхилення знайдених напружень
вiд заданих граничних навантажень. Далi за знайденою функцiєю напружень визначаємо
НДС пластини.
3. Числовий аналiз. Запропонований алгоритм реалiзований при знаходженнi НДС
пластини. Числовi розрахунки показали, що нульовi граничнi умови на горизонтальних
сторонах пластини 2, 4 задовольняються з точнiстю 10−18 i залежать тiльки вiд точностi
знаходження комплексних коренiв рiвняння (7), що характеризує високу точнiсть запро-
понованого методу.
В роботi дослiджувався вплив навантажень, заданих на сторонi пластини 1 на розподiл
напружень бiля сторони 3. Чисельним експериментом встановлено, що вже при a > 2,5b
вiдносний вплив навантаження не перевищує 0,01, що пiдтверджує теоретичнi висновки,
одержанi в [2, 3]. Тобто, якщо вiдношення сторiн прямокутника бiльш, нiж 1,3, то при
технiчних розрахунках збуреного НДС взаємним впливом навантажень, прикладених до
менших сторiн, можна знехтувати.
Параболiчний розподiл зовнiшнього навантаження. Розглянемо приклад Тимо-
шенка [12] про розтяг прямокутника нормальними зусиллями, розподiленими по сторонах
x = 0, x = a нормальним σ1(γ) = 1,5σ0(1 − γ2), де σ0 має розмiрнiсть напруження, i до-
тичним τ1(bγ) = 0 напруженнями. Для цього навантаження основний напружений стан
задається T1 = T3 = Sσ0, де S = 2hb — площа перерiзу пластини, σ0 — постiйне напружен-
ня в напрямку осi x, а всi iншi зусилля i моменти дорiвнюють нулю. Права частина системи
рiвнянь (10) для параболiчного розподiлу нормальних напружень визначається
Pk = 1,5σ0
(mkzk − 3)Fk + cos(zk)
zk
,
де Fk = [(z2
k − 2) sin(zk)+2 cos(zk)]/z3
k. Внаслiдок плавностi розподiлу зовнiшнього наванта-
ження вже при N = 5, MinFnz = 6,5 · 10−6, а граничнi умови задовольняються з точнiстю
10−2; при N = 10, MinFnz = 4 · 10−7 граничнi умови задовольняються з точнiстю 10−3.
Збiльшуючи значення N , ми наближуємо мiнiмум функцiоналу до нуля. Так при N = 20
вiн дорiвнює 1,8 · 10−8; при N = 40 — 7,4 · 10−10; а при N = 100 — 7,4 · 10−10. Точнiсть
задоволення граничних умов постiйно зростає i прямує до нуля.
Повний час розв’язування цiєї задачi на комп’ютерi Pentimum-3 для N = 10 не пере-
вищує однiєї секунди.
В табл. 1 наведено розподiл напружень в прямокутнiй пластинi σ0 = 1, a/b = 5. Нор-
мальнi i дотичнi напруження поданi залежно вiд бiзрозмiрної змiнної γ, σ1(γ) задає зовнi-
шнє нормальне напруження. Як показує аналiз числових даних, вже на вiдстанi ширини
пластини 2b компоненти напруженого стану в пластинi вiдрiзняються вiд основного НДС
менше, нiж на один вiдсоток.
На закiнчення зробимо такi висновки.
1. Чисельно доведено ефективнiсть, швидкодiю i високу точнiсть нового аналiтично-чис-
лового методу розв’язування двовимiрних крайових задач теорiї пружностi. Метод основа-
76 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
Таблиця 1
γ 0 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9 1
σ1(γ) 1,500 1,485 1,440 1,260 0,960 0,540 0,285 0
σy(0, γ) 0,682 0,671 0,637 0,506 0,309 0,095 0,018 0
σx(0, 2b, γ) 1,463 1,449 1,406 1,235 0,955 0,577 0,352 0,094
σy(0, 2b, γ) 0,258 0,253 0,247 0,184 0,109 0,037 0,011 0,0
τ (0, 2b, γ) 0,000 0,031 0,062 0,113 0,139 0,114 0,072 0,000
σx(b, γ) 1,149 1,143 1,126 1,060 0,967 0,868 0,827 0,800
σy(b, γ) −0,107 −0,105 −0,099 −0,077 −0,046 −0,015 −0,004 0,000
τ (b, γ) 0,000 0,029 0,056 0,097 0,108 0,077 0,044 0,000
σx(2b, γ) 1,009 1,009 1,007 1,001 0,995 0,992 0,993 0,997
ний на аналiтичному розв’язаннi крайової граничної проблеми, побудовi власних функцiй
i числовiй мiнiмiзацiї квадратичної форми, яка є iнтегральною мiрою наближення шукано-
го розв’язку до заданих граничних умов.
2. Чисельно встановлена збiжнiсть запропонованого методу, яка випливає iз доведеної
нерiвностi Бесселя. Введена iнтегральна мiра, яка дає змогу оцiнити точнiсть задоволення
граничних умов на контурi пластини.
3. Встановлено, що вже при a > 2,5b вiдносний вплив самозрiвноважених навантажень,
прикладених на сторонi 1 на розподiл напружень бiля сторони 3, не перевищує 0,01.
4. Надалi необхiдно застосовувати запропонований метод до розв’язування двовимiрних
та тривимiрних змiшаних крайових задач.
1. Ревенко В.П. Спектральна задача осесиметричної теорiї пружностi // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-
мат. – 2003. – Вип. 61. – С. 249–258.
2. Ревенко В.П. Побудова розв’язку плоскої задачi теорiї пружностi для прямокутної пластини методом
iнтегральних моментiв // Доп. НАН України. – 2004. – № 8. – С. 59–65.
3. Ревенко В.П. Розвиток спектрального методу Штурма–Лiувiлля розв’язування крайової задачi для
бiгармонiчного рiвняння // Нелiнiйнi коливання. – 2003. – 6, № 3. – С. 368–377.
4. Ревенко В.П. Розвиток спектрального методу Остроградського для розв’язування плоскої задачi
теорiї пружностi в прямокутнiй областi // Математ. вiсн. Наук. товариства iм. Шевченка. – 2004. –
1. – С. 105–119.
5. Остроградский М.В. Мемуар о распространении волн в цилиндрическом бассейне. (Доклад в Па-
рижской Академии 6 ноября 1826 г.) // Полное собр. тр. – Киев: Изд-во АН УССР. – 1959. – Т. 1. –
С. 7–22.
6. Ревенко В.П. Спектральний метод розв’язання задачi Кiрша у тривимiрнiй постановцi // Доп. НАН
України. – 2006. – № 1. – С. 59–66.
7. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. – Москва: Наука, 1975. – 576 с.
8. Гринченко В. Т., Улитко А.Ф. Пространственные задачи теории упругости и пластичности // Рав-
новесие упругих тел канонической формы. – Киев: Наук. думка, 1985. – Т. 3. – 280 с.
9. Meleshko V.V. Gomilko A.M. Infinite systems for a biharmonic problem in a rectangle // Proc. Roy. Soc.
London. – 1997. – A 453. – P. 2139–2160.
10. Мелешко В. В. Бигармоническая задача для прямоугольника: история и современность // Мат. ме-
тоди та фiз.-мех. поля. – 2004. – 47, № 3. – С. 45–68.
11. Космодамианский А.С., Шалдырван В.А. Толстые многосвязные пластины. – Киев: Наук. думка,
1978. – 240 с.
12. Тимошенко С.П. Теория упругости. – Ленинград–Москва: Гостехтеоретиздат, 1975. – 451 с.
Надiйшло до редакцiї 06.09.2006Iнститут прикладних проблем механiки
i математики iм. Я.С. Пiдстригача
НАН України, Львiв
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 77
|