Деякі особливості побудови узагальненого реологічного тіла

Проанализирована структура реологических тел с произвольным числом элементов. Сформулированы условия невырожденности реологических тел. Показано, что реологические тела делятся на два типа - квазиупругие и квазивязкие....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автор:	Бицань, Є.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Український науково-дослідницький і проектно-конструкторський інститут гірничої геології, геомеханіки і маркшейдерської справи НАН України 2009
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18042
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Деякі особливості побудови узагальненого реологічного тіла / Є.М. Бицань // Наукові праці УкрНДМІ НАН України. — 2009. — № 5, ч. 1. — С. 182-190. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-18042
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-180422013-02-13T02:57:35Z Деякі особливості побудови узагальненого реологічного тіла Бицань, Є.М. Проанализирована структура реологических тел с произвольным числом элементов. Сформулированы условия невырожденности реологических тел. Показано, что реологические тела делятся на два типа - квазиупругие и квазивязкие. Structure of rheological bodies with arbitrary quantity of elements was analyzed. Conditions of rheological bodies' nonsingularity were formulated. It was shown rheological bodies of a certain class are subdivided into two types - quasi-elastic and quasi-viscous. 2009 Article Деякі особливості побудови узагальненого реологічного тіла / Є.М. Бицань // Наукові праці УкрНДМІ НАН України. — 2009. — № 5, ч. 1. — С. 182-190. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1996-885X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18042 530.3+550 uk Український науково-дослідницький і проектно-конструкторський інститут гірничої геології, геомеханіки і маркшейдерської справи НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Проанализирована структура реологических тел с произвольным числом элементов. Сформулированы условия невырожденности реологических тел. Показано, что реологические тела делятся на два типа - квазиупругие и квазивязкие.
format	Article
author	Бицань, Є.М.
spellingShingle	Бицань, Є.М. Деякі особливості побудови узагальненого реологічного тіла
author_facet	Бицань, Є.М.
author_sort	Бицань, Є.М.
title	Деякі особливості побудови узагальненого реологічного тіла
title_short	Деякі особливості побудови узагальненого реологічного тіла
title_full	Деякі особливості побудови узагальненого реологічного тіла
title_fullStr	Деякі особливості побудови узагальненого реологічного тіла
title_full_unstemmed	Деякі особливості побудови узагальненого реологічного тіла
title_sort	деякі особливості побудови узагальненого реологічного тіла
publisher	Український науково-дослідницький і проектно-конструкторський інститут гірничої геології, геомеханіки і маркшейдерської справи НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18042
citation_txt	Деякі особливості побудови узагальненого реологічного тіла / Є.М. Бицань // Наукові праці УкрНДМІ НАН України. — 2009. — № 5, ч. 1. — С. 182-190. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT bicanʹêm deâkíosoblivostípobudoviuzagalʹnenogoreologíčnogotíla
first_indexed	2025-07-02T19:12:09Z
last_indexed	2025-07-02T19:12:09Z
_version_	1836563593976348672
fulltext	Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 5 (частина I), 2009 Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 5 (part I), 2009 182 УДК 530.3+550 ДЕЯКІ ОСОБЛИВОСТІ ПОБУДОВИ УЗАГАЛЬНЕНОГО РЕОЛОГІЧНОГО ТІЛА Бицань Є. М. (Інститут геофізики НАН України, м. Київ, Україна) Проанализирована структура реологических тел с произ- вольным числом элементов. Сформулированы условия невырож- денности реологических тел. Показано, что реологические тела делятся на два типа - квазиупругие и квазивязкие. Structure of rheological bodies with arbitrary quantity of ele- ments was analyzed. Conditions of rheological bodies' nonsingularity were formulated. It was shown rheological bodies of a certain class are subdivided into two types - quasi-elastic and quasi-viscous. Коливальні процеси в фізичних середовищах являються за- тухаючими, тому що останні являються непружними, тобто не задовольняють закону Гука. Непружність фізичних середовищ враховується за допомогою математичних моделей в’язкопружних деформованих середовищ. В повідомленні роз- глядаються реологічні тіла (РТ), які складаються з пружних (ПЕ) та в'язких (ВЕ) елементів, та з’єднаних між собою паралельно або послідовно в різних комбінаціях. Зв'язок між напругою і дефор- мацією визначається за допомогою реологічного рівняння (РР), яке є певним узагальненням закону Гука і записується в узагаль- неному вигляді таким чином: .εσ QP = (1) Розглянемо з’єднання двох РТ, РР яких мають такий вигляд: ., 22221111 εσεσ QPQP == (2) Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 5 (частина I), 2009 Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 5 (part I), 2009 183 При паралельному з’єднанні деформації і напруження бу- дуть задовольняти такому РР: ( ) ,122121 εσ QPQPPP += (3) а при послідовному з’єднанні РР набудуть такого вигляду: ( )P Q P Q Q Q1 2 2 1 1 2+ =σ ε. (4) Рівняння (3, 4) являються основою для дослідження власти- востей РТ з довільним числом елементів. РТ можна утворювати рекурсивним шляхом, приєднуючи до певного РТ окремі елемен- ти або РТ. За допомогою рівнянь (3, 4) можна проаналізувати процес утворення нових РТ і виявити їхні особливості. Структура РТ визначається характером їхніх РР: порядками та особливістю ЛДВ Р і Q . Ці характеристики залежать від кі- лькості елементів та з’єднань певних типів та від співвідношення між ними. Особливості РТ можна встановити, аналізуючи процес його утворення за допомогою співвідношень (3 - 4). Проаналізу- ємо РТ, які вивчає реологія. Випишемо в таблицю інформацію про них, додавши до них для симетрії ще п’ятиелементні РТ. Аналізуючи цю таблицю, можна замітити, що РТ рангу k=1, 2 відповідають чотири різних типів їхніх РР, які поділяють РТ певного рангу в залежності від порядку коефіцієнтів РР на два типи - квазіпружні (порядки коефіцієнтів при напрузі і деформа- ції однакові) і квазів’язкі (порядки коефіцієнтів при напрузі на одиницю менше порядку коефіцієнта при деформації), кожен з яких поділяється на два роди в залежності від того, має ЛДВ Q в РР адитивну константу (АК) чи ні. Переконаємось, що вказані особливості РТ мають місце для РТ з довільним рангом. Для цьо- го доведемо методом математичної індукції наступну теорему: Теорема 1: Для кожного натурального числа n існують чотири різних види РР РТ рангу n, за допомогою яких останні поділяються на два типи - квазіпружні та квазів’язкі, кожен з яких має два роди в залежності від того, має ЛДВ Q в РР АК, або ні. РР для РТ з цих сукупностей мають такий вигляд: Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 5 (частина I), 2009 Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 5 (part I), 2009 184 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 , i R n i n n n i R n i n n n n R n n n n n i R i i n i n a D a D D b D b D N a D a D D b D b D H a D a D E D b D b D N a D a D E D b D b D H σ ε σ ε σ ε σ ε − − − − − − − − − + + + ⋅⋅⋅ = Η + + ⋅⋅⋅ + + ⋅⋅⋅ = Η + + ⋅⋅⋅ + + ⋅⋅⋅ = + + ⋅⋅⋅ + + ⋅⋅⋅ = + + ⋅⋅⋅ (5) де N – квазів’язкі, а H – квазіпружні РТ; нижній індекс при них позначає число елементів в цих РТ, а n − їхній ранг. Таблиця 1 Список РТ (реологічне древо) В тому числі В тому числі Чи сл о ел ем ен ті в пр уж ни х в’ яз ки х δе Ра нг АК Ім ’я К іл ьк іс ть з’ єд на нь П ар ал ел ьн их П ос лі до вн их δс Чи сл о ре ал із ац ій δ Р Q Ти п Рі д 1 1 0 1 0 + Н 0 0 0 0 1 1 1 Е КП І 1 0 1 1 1 - N 0 0 0 0 1 1 1 Dη КВ ІІ 2 1 1 0 1 - М 1 0 1 1 1 1 1+Dτ Dη КП ІІ 2 1 1 0 1 + V 1 1 0 1 1 1 1 E(1+ Dτ) КВ І 3 2 1 1 1 + K, PT 2 1 1 0 2 1 1+ Dτ E(1+ Dτ) КП І 3 1 2 1 2 - L,J 2 1 1 0 2 1 1+ Dτ ηD(1+ Dτ) КВ ІІ 4 2 2 0 2 - Bu 3 2 2 1 4 1 ∑ = 2 0k k k Da ηD(1+ Dτ) КП ІІ 4 2 2 0 2 + А 3 2 1 1 4 1 1+ Dτ E∑ = 2 0k k k Db КВ І 5 3 2 1 2 + 4 2 2 0 8 1 ∑ = 2 0k k k Da E∑ = 2 0k k k Db КП І 5 2 3 1 3 - 4 2 2 0 8 1 ∑ = 2 0k k k Da ηD ∑ = 2 0k k k Db КВ ІІ nH – число пружних, а nN – число в’язких елементів, δe = ⎢nN – nH⎥ різниця між числом пружних і в’язких елементів; nI і n_ – число паралельних та послідовних при- єднань в РТ відповідно, а δc = ⎢nI – n_⎥ - різниця між ними; E і η – релаксуючі пружні та в’язкі модулі; δ = δe + δc – баланс РТ; τ – час релаксації напруження при постійній деформації; ν –час релаксації деформації при постійному напруженні. Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 5 (частина I), 2009 Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 5 (part I), 2009 185 1. Це твердження справедливе при n=1 - це дві сукупності КПРТ - ВЕ і РТ Фойгта. У РР перших в коефіцієнті при деформа- ції відсутня АК, а у РТ Фойгта є, а їхні РР записуються в стандар- тній формі як ,, 21 NN і дві сукупності КВРТ - тіла Максвелла, в РР яких коефіцієнт при деформації без АК, і РТ Кельвіна та По- йнтінга-Томпсона, в РР яких коефіцієнт при деформації має АК, а їхні РР записуються в стандартній формі як 2H і 3H відповідно. 2. Якщо при n=k маємо чотири різних за структурою РР для РТ рангу k, які в стандартній формі запишуться згідно системи (5) при n=k, і за їхньою допомогою РТ k - го рангу поділяються на чотири сукупності: ( ) { }121 −= k k NR , ( ) { },22 k k HR = ( ) { },23 k k NR = ( ) { },124 += k k HR то при n=k+1 згідно системи (5) матимемо чотири різних за структурою РР для РТ рангу k+1, РР які утворюються за допомогою формул (3, 4) таким чином: ( ) ( ) ( ),, ,, 12321212 1212212 ++++ +++ == −== kkkk kkkk NHHHNN HNHHNN (6) і які поділяють РР k+1 го рангу на чотири сукупності РТ: ( ) { }1 1 2 1 k kR N+ += , ( ) ( ){ },12 1 2 + + = k k HR ( ) ( ){ },12 1 3 + + = k k NR ( ) { }32 1 4 + + = k k HR . Такий розподіл РТ можна покласти в основу класифікації РТ: тип тіла - КПРТ або КВРТ, і рід - І - з АК і ІІ - без АК в ЛДВ Q . Форму запису РР згідно формул (5) назвемо стандартною (приведеною). Кожна з стандартних форм запису РР РТ, число елементів в яких більше двох, має кілька невироджених реалізацій, які утво- рюють клас механічно (реологічно) еквівалентних реологічних тіл. Механічно еквівалентними, або подібними РТ, назвемо РТ, РР яких відрізняються величиною коефіцієнтів. Якщо ж коефіці- єнти РР однакові за величиною, то такі РТ назвемо реологічно еквівалентними, тому що в цьому випадку співпадають їхні рео- логічні параметри - часи релаксації і часи післядії. Виникає питання: чим відрізняються вироджені приєднання від невироджених. Виявляється, що воно тісно пов’язане з різни- Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 5 (частина I), 2009 Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 5 (part I), 2009 186 цею між числом пружних і в’язких елементів δe = ⎢nN – nH⎥ і різ- ницею між кількістю паралельних та послідовних включень δc = ⎢nI – n_⎥. Назвемо балансом приєднання суму різниць δ = δe + δc. Якщо підрахувати баланс для РТ, які застосовуються в реології, то виявиться, що для них він дорівнює одиниці: 1=+= ce δδδ . (7) Такі тіла назвемо збалансованими. Вияснимо роль балансу при побудові РТ. Приєднання певного елементу до РТ назвемо виродженим, якщо в результаті об’єднання одержимо РТ, РР яко- го відрізняються лише величиною коефіцієнтів, а ранг, тобто но- воутворене РТ являється механічно еквівалентним базовому [1, 4]. Прослідкуємо виконання балансу при утворенні нових РТ. Приєднаємо ПЕ послідовно та паралельно до РТ k - го рангу, і побачимо, що з восьми варіантів ми маємо чотири вироджених і чотири невироджених випадки. Невиродженими, являються тіль- ки такі приєднання, які виконуються з дотриманням умови бала- нсу. Зауважимо, що характерною особливістю приєднання ПЕ до РТ є те, що в результаті приєднання ранг нового РТ не змінюєть- ся, причому при паралельному приєднанні тип РТ зберігається, а рід змінюється, а при послідовному з’єднанні навпаки - тип РТ змінюється, а рід залишається без змін. Далі розглянемо приєднання ВЕ до всіх чотирьох варіантів збалансованих РТ k - го рангу, і побачимо, що в підсумку мати- мемо по чотири вироджених і невироджених випадки, причому невироджені випадки виконуються з виконанням умови (7), звід- ки робимо висновок, що невироджене приєднання ВЕ до РТ під- вищує його ранг, причому послідовне приєднання зберігає тип базового РТ, змінюючи рід, а паралельне зберігає рід РТ і змінює його тип. Одержаний результат можна сформулювати як лему: Лема 1. Приєднання одиночного реологічного елементу до збалансованого РТ буде невиродженим в випадку, коли воно виконується з дотриманням умови балансу (7). Розглянемо далі об’єднання окремих РТ. Проаналізуємо вплив структури окремих РТ і типу об’єднання на структуру Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 5 (частина I), 2009 Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 5 (part I), 2009 187 об’єднаного РТ. Будемо вважати, що РТ - доданки являються не- виродженими (поліноми iP і iQ не мають спільних коренів), і ЛДВ обох доданків P при паралельному і Q при послідовному об’єднанні не мають спільних коренів. Всього налічується два- дцять різних варіантів. з них половина буде виродженими, і по- ловина невиродженими. Випишемо окремо невироджені випадки: ( ) ( ) ( ) ,,, 212121221212212 lklklklklklk NHNNNNHHN ++−−+−−+− ==−= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ,,, ,,, 12122 22212122222 22222221212 +++ +++++ ++++− =− =−==− ===− lklk lklklklklklk lklklklklklk HHN NNNHHHHNH NHNHHHHHN (8) Характерною особливістю невироджених об’єднань є те, що вони виконується з дотриманням умови балансу (7). Звідси ви- пливає, що має місце наступна теорема: Теорема 2: Об’єднання двох невироджених РТ буде невиро- дженим в випадку, коли воно виконується з дотриманням умови балансу (7). З формул (8) можна зробити висновок, що при паралельно- му з’єднанні КПРТ і КВРТ сумарне РТ є КВРТ, а якщо один з до- данків має АК при деформації, а інший - ні, то результуюче РТ матиме АК при деформації. При послідовному з’єднанні КПРТ і КВРТ матимемо дзеркальне відбиття - сумарне РТ буде КПРТ, а коефіцієнт при деформації буде без АК, якщо хоча би один з РТ - доданків не матиме її. Систему (5) можна представити в іншій формі через часи релаксації. ЛДВ P і Q являються поліномами від параметру ,D і їх можна розкласти на множники і представити в такому вигляді: ( ) ( )∏∏ − = − = −=−= jk i iR j k lk i ik DMDQDP 11 ,, λµ (9) де j=0, коли ЛДВ Q має АК, і j=1 в протилежному випадку; 1=l в випадку, коли РТ є квазів’язким, і 0=l , коли РТ буде квазіпруж- ним µλ і µµ – корені характеристичних поліномів P і Q відпові- дно, які виражаються через часи релаксацій таким чином: Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 5 (частина I), 2009 Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 5 (part I), 2009 188 ,, 1 µµ 1 µµ −− −=−= νµτλ де −µτ часи релаксації напруг при постійній деформації (часи релаксацій), а −µν часи релаксації деформацій при постійній напрузі (часи післядії, часи повзучості)), −RM ре- лаксуючий модуль (пружний, коли в ЛДВ Q є АК, і в’язкий в протилежному випадку). Виразимо далі корені характеристичних поліномів через ча- си релаксації, і прийдемо в підсумку до такої форми запису РР системи (5) через часи релаксації: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, ,, 2 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 1 k k i ik R k k i ik k k i ik R k k i ik HDDbDa NDDbDa ελσµ ελσµ ∏∏ ∏∏ − = − = − − = − − = − +Η=+ +Η=+ (10) ( ) ( ) ( ),, 2 1 µ 1 1 µ1 k k i k R k k i k NDbEDa ελσµ ∏∏ = − = − +=+ ( ) ( ) ( )., 12 1 µ 1 µ + == ∏∏ +=+ k k i k R k k i k HDbEDa ελσµ Представлення РТ в формі (10) дозволяє провести порівнян- ня з розбиттям РТ за Блендом [6]: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, ,, ,, 3 11 2 11 1 1 1 1 BDDD BDED BDDED N j j N i i N j j N i i N j j N i i ελησµ ελσµ ελσµ ∏∏ ∏∏ ∏∏ == == = + = +′=+ +=+ +=+ (11) ( ) ( ) ( ),, 4 1 1 1 BDD N j j N i i ελησµ ∏∏ = − = +′=+ де N – число нормальних координат, за допомогою яких описується деформація в РТ. Зауважимо, що в формулі 4B (формула (85) на стор. 62 в [5]) показники над добутками треба взяти на одиницю менше, тому що вираз для деформації Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 5 (частина I), 2009 Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 5 (part I), 2009 189 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ++= ∑ = N i i ii D B DE 1 11 λ λ η ε , (12) а сталі iB мають розмірність оберненого пружного модуля, при 0/1/1 == ηE зводиться до такого рівняння: ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 1 1 0 1 1 1 σµησλλελ ∏∏ ∑ ∏ − = − = = ≠ = +=+=+ N i i N i N i N ij j jiii DDBD (13) де −′=⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛= − = ∑ ηλη 1 1 0 N i ii B в’язкий модуль. Таке представлення певним чином пов’язується з стандарт- ною формою РТ k - го рангу (5): .~,~,~,~ 2412312221 kkkk NBNBHBHB −+ Знайдемо зв’язок між кількістю нормальних координат в РТ N і його рангом k , а також між релаксуючими модулями R kE і R kΗ та параметрами η′ і E , враховуючи, що за теоремою Вієта ( ) ∏∏ = − = =−= n i i n i i i na 1 1 1 1/1 τµ і ( )∏ ∏ = = −=−= n i n i ii i nb 1 1 11/1 νλ . Система рів- нянь (10) набуде такого виду: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, ,, 2 1 1 1 111 12 1 1 1 1 1 1 1 1 k k i i k i i R k k i i k i i k k i i k i i R k k i i k i i HDDD NDDD ∏∏∏∏ ∏∏∏∏ − = − === − − = − = − = − = +Η=+ +Η=+ ελνσµτ ελνσµτ (14) ( ) ( ) ( ),, 2 11 1 1 µ 1 1 k k i i k i i R k k i k i i NDED ελνσµτ ∏∏∏∏ == − = − = +=+ ( ) ( ) ( )., 12 111 µ 1 + ==== ∏∏∏∏ +=+ k k i i k i i R k k i k i i HDED ελνσµτ звідки, порівнюючи системи (10) і (11), знаходимо, що k=N+1 для перших двох рівнянь систем (14), і k=N для інших, а для непруж- них модулів E і η′ одержимо такі вирази: ( ) ( ) ( ) ( ),,// ,,// 1 21 1 1111 ∏ ∏ = + = +++ == Η=Η= N i ii R NNN R N N i iiN R NNN R N BEabEE BabE ντ ντν Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 5 (частина I), 2009 Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 5 (part I), 2009 190 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).,/// ,,// 1 41 1 311 ∏ ∏ = − = ++ ==′ Η=Η=′ N i iin R NNN R N N i ii R NNN R N BEabE Bab νττη ντη (15) Якщо ввести за Зінером [1] нерелаксуючі модулі для РТ з довільним рангом за формулою ,/ mnRU abMM = (16) де m i n - порядки ЛДВ P і Q , то можна зробити висновок, що модулі E і η′ в формулах (11) являються нерелаксуючими пружними та в’язкими модулями відповідно. Прив’язка до нормальних координат не дозволяє впорядку- вати РТ за рангом. Для того, щоб досягти відповідності між пред- ставленням РР в формі (10) і (11), треба для випадків, коли в ви- разі для деформації (12) константа ,01 =−η збільшити на одиницю число нормальних координат. Ще треба зауважити, що викорис- тання нормальних координат пов’язане з значними математични- ми труднощами, чого позбавлений пропонований метод розбиття РТ на класи і побудови РТ високого рангу. Використання пропо- нованого алгоритму дозволяє одержати РТ високого рангу і по- збавитись виродження за допомогою рівняння балансу (7). ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ 1. Зинер К. М. Упругость и неупругость металлов. - М.: ИЛ, 1954. - 396 с. 2. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. - М.: Изд-во иностр. лит., 1955. – 192 с. 3. Постников В. С. Внутреннее трение в металлах. - М.: Метал- лургия, 1974. – 352 с. 4. Рейнер М. Реология. - М.: Наука, 1965. – 294 с. 5. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. - М.; Мир, 1965. – 200 с.

Деякі особливості побудови узагальненого реологічного тіла

Репозитарії

Схожі ресурси