Геометрический и вариационные методы редукции порядка модели. Сравнительный анализ

Рассмотрены и исследованы численные методы решения задачи редукции порядка модели сложной системы большой размерности на основе геометрического и вариационных подходов. Проведен сравнительный анализ методов и даны рекомендации по их практическому применению...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2018
Автори:	Губарев, В.Ф., Фатенко, В.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Методы идентификации и адаптивного управления
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/180538
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Геометрический и вариационные методы редукции порядка модели. Сравнительный анализ / В.Ф. Губарев, В.В. Фатенко // Проблемы управления и информатики. — 2018. № 1. — С. 38-52. — Бібліогр.: 5 назв. — рос..

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-180538
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1805382021-10-03T01:26:13Z Геометрический и вариационные методы редукции порядка модели. Сравнительный анализ Губарев, В.Ф. Фатенко, В.В. Методы идентификации и адаптивного управления Рассмотрены и исследованы численные методы решения задачи редукции порядка модели сложной системы большой размерности на основе геометрического и вариационных подходов. Проведен сравнительный анализ методов и даны рекомендации по их практическому применению Розглянуто та досліджено чисельні методи вирішення задачі редукції порядку моделі складної системи великої розмірності на основі геометричного та варіаційних підходів. Здійснено порівняльний аналіз методів та надано рекомендації щодо їх практичного застосування. Numerical methods for solving model order reduction problem of complex system having large-scale dimention on the base of geometric and variational approaches are considered and studied. Methods comparative analysis and recommendation according to practical application are delivered. 2018 Article Геометрический и вариационные методы редукции порядка модели. Сравнительный анализ / В.Ф. Губарев, В.В. Фатенко // Проблемы управления и информатики. — 2018. № 1. — С. 38-52. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.. 0572-2691 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/180538 519.71 ru Проблемы управления и информатики Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления
spellingShingle	Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления Губарев, В.Ф. Фатенко, В.В. Геометрический и вариационные методы редукции порядка модели. Сравнительный анализ Проблемы управления и информатики
description	Рассмотрены и исследованы численные методы решения задачи редукции порядка модели сложной системы большой размерности на основе геометрического и вариационных подходов. Проведен сравнительный анализ методов и даны рекомендации по их практическому применению
format	Article
author	Губарев, В.Ф. Фатенко, В.В.
author_facet	Губарев, В.Ф. Фатенко, В.В.
author_sort	Губарев, В.Ф.
title	Геометрический и вариационные методы редукции порядка модели. Сравнительный анализ
title_short	Геометрический и вариационные методы редукции порядка модели. Сравнительный анализ
title_full	Геометрический и вариационные методы редукции порядка модели. Сравнительный анализ
title_fullStr	Геометрический и вариационные методы редукции порядка модели. Сравнительный анализ
title_full_unstemmed	Геометрический и вариационные методы редукции порядка модели. Сравнительный анализ
title_sort	геометрический и вариационные методы редукции порядка модели. сравнительный анализ
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2018
topic_facet	Методы идентификации и адаптивного управления
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/180538
citation_txt	Геометрический и вариационные методы редукции порядка модели. Сравнительный анализ / В.Ф. Губарев, В.В. Фатенко // Проблемы управления и информатики. — 2018. № 1. — С. 38-52. — Бібліогр.: 5 назв. — рос..
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT gubarevvf geometričeskijivariacionnyemetodyredukciiporâdkamodelisravnitelʹnyjanaliz AT fatenkovv geometričeskijivariacionnyemetodyredukciiporâdkamodelisravnitelʹnyjanaliz
first_indexed	2025-07-15T20:39:09Z
last_indexed	2025-07-15T20:39:09Z
_version_	1837746827826298880
fulltext	© В.Ф. ГУБАРЕВ, В.В. ФАТЕНКО, 2018 38 ISSN 0572-2691 МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ УДК 519.71 В.Ф. Губарев, В.В. Фатенко ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕДУКЦИИ ПОРЯДКА МОДЕЛИ. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ Введение В работе [1] рассмотрена проблема редукции порядка модели наблюдаемой и управляемой линейной стационарной системы большой размерности с описанием ее в пространстве состояний. Решение такой задачи особенно востребовано, когда размерность переменных наблюдения существенно меньше размерности вектора внутреннего состояния системы. Например, в скалярном случае с одним выходом удается построить аппроксимирующую модель третьего-четвертого порядков, от- клик которой на любое ограниченное входное воздействие достаточно мало отли- чается от реакции реальной системы. В результате на основе достаточно простой системы уравнений можно прогнозировать поведение выходной переменной при разных входных воздействиях, в том числе управляемых. Краткий обзор методов решения задачи редукции порядка модели сложной ли- нейной системы дается также в [1]. В данной работе проведен сравнительный ана- лиз вариационных и геометрического методов построения редуцированных при- ближенных моделей, описанных в работе [1], на основе численного моделирования. Постановка задачи Допустим, имеем исходную математическую модель линейной стационарной наблюдаемой системы большой размерности с описанием в пространстве состояний ,, CxyBuAxx  (1) где, как обычно, вектор состояния x имеет достаточно большую размерность ,N входное воздействие представляется вектором u размерности ,R измеряемый выход y имеет размерность ,M а матрицы ,A ,B C заданы для некоторой реа- лизации и имеют соответствующую размерность. Предполагается, что размерно- сти R и M существенно меньше .N Ставится задача для тех же входов и выхо- дов системы построить модель, в которой вектор внутреннего состояния имел бы существенно меньшую размерность, т.е. получить ее в виде ,, xCyuBxAx  (2) где x имеет размерность ,Q матрицы ,A ,B C соответствующей усеченной размерности подлежат определению так, чтобы выход редуцированной модели y той же размерности ,M что и у исходной, удовлетворял условию Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 1 39 , yy (3) где  — заданная малая величина. Неравенство (3) должно выполняться при до- статочно произвольном, но ограниченном входном воздействии .u Норма в (3) устанавливается в каждой конкретной задаче. Здесь же будет рассмотрен доста- точно общий и в то же время вполне естественный случай, когда условию (3) должна удовлетворять каждая компонента векторов y и ,y т.е. , ii yy .,1 Mi (4) Однако решить задачу редукции в такой постановке не так просто. Поэтому предлагается перейти к несколько иной ее трактовке. Вместо (4) используем дру- гое условие, позволяющее находить приближенную модель, характеристики ко- торой мало отличаются от соответствующих точной. Оценку их отклонения зада- дим аналогичным (4) неравенством. При этом ограничение  в (4) может быть выражено через ограничения, налагаемые на соответствующие отклонения при- ближенной модели от точной. В качестве указанных характеристик можно брать, например, передаточные функции, являющиеся элементами передаточных матриц, или фундаментальные решения, из которых формируется переходная матрица системы. Из теории ли- нейных систем хорошо известно, что описание (1) при нулевых начальных усло- виях эквивалентно следующему соотношению вход-выход: ,)()()( 0   t dButCty (5) где )( — переходная матрица, элементы которой формируются из независи- мых фундаментальных решений. Если возбуждающие воздействия подаются отдельно на каждый вход ru при нулевых остальных, то отклик системы (5) на m-м выходе можно записать в виде   t rrmm dubtcty 0 T ,)()()( (6) где T mc — m-я вектор-строка ;C rb — r-й вектор-столбец ;B ,,1 Mm ,,1 Rr а )(tym и )(tur — скалярные функции. Декомпозиция многосвязной системы (5) на отдельные подсистемы в форме (6) позволяет проводить редук- цию модели независимо по каждой из них. Фактически многосвязная система представлена в виде совокупности односвязных подсистем, в каждой из кото- рых скалярная функция rm bc )(T  — импульсная переходная функция, опреде- ляющая отклик системы на m-м выходе при воздействии на нее на r-м входе. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только скалярный случай одно- связной системы, представленной соотношением (6). При этом для удобства опустим индексы m и r и будем считать ),(ty )(tu и импульсную реакцию ска- лярными функциями. Для матрицы ,A записанной в блочно-диагональной жордановой форме, можно получить аналитическое выражение импульсной функции, например, с помощью подхода, описанного в [2, 3]. При отсутствии кратных корней (6) будет записано как 40 ISSN 0572-2691   t duthty 0 ,)()()( (7) где ,]sincos[)( 1     peffh p s pp с p P p ,s rp s mp с rp с mp с p bсbсf  .s rp с mp с rp s mp s p bсbсf  При получении (7) было использовано, что ),,,,(diag 21 PJJJA  PJ            PP PP , а ,с mpс ,s mpс ,с rpb s rpb — соответствующие этим блокам элементы матриц C и .B Кроме того, здесь принята унифицированная форма записи, объ- единяющая действительные и комплексно-сопряженные собственные значения. Действительным соответствуют параметры ,0 p 0 s rp с mp bс с вытекающим из этого удалением некоторых столбцов и строк у матриц ,A ,B C для жордано- вой реализации. Собственные значения и параметры ,с pf s pf являются инвариан- тами системы, не зависящими от конкретной реализации. Для устойчивых систем функция )(h определена от 0 до  . Описание (7) полностью эквивалентно ис- ходному (1), т.е. существует преобразование, однозначно переводящее (1) в (7) и наоборот. Аппроксимируем функцию )(h на интервале ее определения другой функ- цией ),(h имеющей аналогичное разложение по базовым функциям ,cos q ,sin q ,  qe ,,1 Qq  но гораздо меньшим числом членов ряда .PQ  При этом речь идет не об усечении разложения ),(h а о нахождении таких парамет- ров ,q ,q ,,1 Qq  которые могут быть отличными от ,p ,p .,1 Pp  В пользу именно такой постановки задачи свидетельствуют результаты численно- го моделирования самых разнообразных линейных систем большой размерности. С помощью небольшого числа членов ряда )(h их удается хорошо аппроксими- ровать. Объясняется это тем, что выход одной моды редуцированной модели может достаточно корректно представлять выход целого кластера исходной, собственные значения которой расположены в окрестности некоторого значения ,q q реду- цированной модели с учетом весовых коэффициентов ,с pf .s pf Вариационный подход Параметры усеченной модели при заданной размерности Q определим из решения оптимизационной задачи min, hh (8) а размерность Q находится итеративно — решением последовательности за- дач (8). Начинать итерации следует с ,1Q а во всех последующих Q каждый раз увеличивается на единицу. На каждой итерации проверяется выполнимость условия Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 1 41 ,Mhh  (9) где M при заданном ограничении на входное воздействие можно оценить так, чтобы гарантированно выполнялось (3) или (4). Итерации прекращаются, когда получим выполнение (9). Соответствующее значение Q принимается за размер- ность редуцированной модели. Выбор нормы в (8), (9) зависит от конкретно рассматриваемой задачи. Для интегрируемых непрерывных функций наиболее распространены на практике нормы 2  и .   Подход, основанный на сингулярном разложении Эффективность вариационного подхода падает с увеличением ,Q поскольку приходится решать оптимизационные задачи большой размерности. В этом слу- чае предлагается иной путь формулировки задачи, в которой вместо исходной не- прерывной модели (1) используем ее дискретную аппроксимацию, которую запи- шем как ,,1 kkkkk CxyBuAxx  (10) где k определяет дискретные моменты времени. Описание (10) можно рассмат- ривать также как исходное в том случае, когда сама система по своей природе яв- ляется дискретной. Дискретной системе (10) при нулевых начальных условиях соответствует эк- вивалентное описание в форме, аналогичной (5), а именно, как соотношение вход- выход ,2,1, 1 0      kuhy iik k i k , (11) где sh — дискретная функция импульсной реакции. Переход от (10) к (11) осу- ществляется по формуле ,2,1,1T   kbAch k k . (12) Здесь и в (11) Tc представляет одну из вектор-строк матрицы ,C а b — один из вектор-столбцов матрицы .B Тогда ky и iu являются дискретными функциями, соответствующими определенным входу и выходу многосвязной системы. Из значений kh на интервале Kk 2,1 формируем матрицу Ганкеля следующего вида:                  KKK K K hhh hhh hhh H 21 132 21     . (13) Значение K в (13) выбираем так, чтобы искомый порядок Q редуцирован- ной модели удовлетворял условию .KQ  Например, можно положить .NK  Формула (12) позволяет провести факторизацию матрицы H и представить ее в виде произведения матриц наблюдаемости K и управляемости ,K а именно, ,KKH  (14) 42 ISSN 0572-2691 где                  1T T T K K Ac Ac c  , ].[ 1bAAbb K K   Осуществим сингулярное разложение (SVD — singular value decomposition) матрицы H ,TVUH  (15) где U и V — ортогональные матрицы, а  — диагональная матрица с сингу- лярными числами, расположенными в невозрастающем порядке на диагонали. Если исходная система (1) и ее дискретный аналог являются управляемыми и наблюдаемыми, то при любых размерностях K вплоть до NK  матрицы K и K будут невырожденными, а все сингулярные числа матрицы  — строго по- ложительными числами. Представим матрицы ,U  , ,V входящие в разложение (15), в виде следу- ющих блоков: ],,[ 21 UUU             2 1 0 0 , ].,[ 21 QVV  (16) Разбиение (16) произведем так, чтобы выполнялось условие ,1 kMk (17) где k — последнее сингулярное число матрицы ,1 а 1k — первое сингуляр- ное число матрицы .2 Согласно (16) матрицу Ганкеля H можно записать как .21 T 222 T 111 HHVUVUH  (18) Фактически (18) позволяет вместо исходной полноранговой матрицы H рас- сматривать матрицы неполного ранга, которые по 2-норме близки к исходной, т.е. некоторым «оптимальным» образом производить усечение .H Неполноранговая матрица 1H при этом будет представлять, исходя из (18), усеченную модель ви- да (10) с размерностью k вектора состояния. Чтобы найти такую модель, необхо- димо из 1H выделить матрицы наблюдаемости и управляемости. Сделать это можно, применяя известную из теории реализаций [4] процедуру факторизации матрицы 1H и используя уже найденное ее сингулярное разложение. В результа- те для некоторой реализации в пространстве состояний расширенные матрицы наблюдаемости и управляемости будут записаны как ,2/1 11  Uk ,T 1 2/1 1 Vk  (19) где k и k — расширенные матрицы наблюдаемости и управляемости усеченной системы. Из выражений этих матриц через ,Tc ,A ,b приведенных в (14), следует, что первая строка матрицы k будет ,Tc а первый столбец матрицы k — .b Мат- рица A находится из переопределенной системы уравнений, которая получается из выражения k с учетом сдвиговой инвариантности Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 1 43 ,1:1:2 Akk   (20) где k:2 получается вычеркиванием из k первой строки, а 1:1  k — последней. Решение (20) следует находить методом наименьших квадратов (МНК) или с по- мощью общей задачи МНК [5]. Найденные таким образом ,Tc ,b A соответ- ствуют так называемой балансной реализации в том смысле, что благодаря орто- гональности матриц 1U и V выполняется соотношение .1 T  kkk T k Для полученной таким образом редуцированной модели следует проверить выполнимость (9) или, возможно, (4) с помощью численного моделирования. По результатам этих оценок либо устанавливается соответствие k искомой размерно- сти Q , либо нет. В последнем случае в зависимости от результата увеличиваем k или уменьшаем его на единицу. Для нового разбиения на блоки повторяются опи- санные выше действия вплоть до выполнимости ограничений. Либо получаем решение задачи редукции, либо продолжаем поиск подходящей размерности .Q В принципе описанный метод позволяет решать задачу редукции модели сра- зу для многосвязной системы без разбиения ее на множество односвязных задач. Однако это потребует оценивать качество аппроксимирующих моделей в матрич- ных нормах, которые могут определяться по-разному, в том числе через вектор- ные нормы, что должно следовать из конкретной постановки задачи. Поэтому с практической точки зрения подход, основанный на односвязном представлении, более предпочтителен. Методы решения, моделирование и анализ результатов Вариационные методы. Рассмотрим сначала решение задачи построения редуцированной модели вариационным методом. Он заключается в решении оп- тимизационной задачи (8), в которой .]sincos[)( 1     qeffh q s qq с q Q q В результате ее решения должны быть найдены Q и параметры ),,,( qq s q c q ff  для .,1 Qq  Фактически это сводится к аппроксимации сложной импульсной функции в (7) более простой. Для удобства численной реализации методов редук- ции исходную функцию возьмем в дискретном виде с таким шагом квантования, чтобы все ее особенности были учтены. Шаг квантования  полагаем одинаковым на всем интервале определения, где она принимает существенное значение. Исходя из этого запишем невязку аппроксимации в виде среднеквадратиче- ского отклонения как 2 1 1 )(]sincos[),,,(                N k k Q q q s qq c q sc khekfkfffJ q  (21) и в случае чебышевской аппроксимации как )(]sincos[( 1,1 max),,, khekfkfffJ k Q q q s qq с q Nk sc q      . (22) 44 ISSN 0572-2691 На  и  в устойчивом случае накладывается условие их неотрицательно- сти. Оценка качества аппроксимации в форме (21) задается непрерывной функци- ей. Однако она, как и в случае (22), является мультимодальной со множеством ло- кальных минимумов и максимумов. Поэтому предприняты специальные меры нахождения на их фоне глобального минимума. С этой целью использовался ал- горитм «basinhopping», который эффективно справляется с задачей минимизации мультимодальных функций и функционалов с большими барьерами между мини- мумами [2]. Критерий (22) не является дифференцируемым, поэтому при построении ми- нимизирующей последовательности необходим метод, который эффективно рабо- тает без использования якобиана. В работе применялись методы дифференциаль- ной эволюции, являющиеся разновидностью генетического алгоритма, а также метод перебора на сетке с локальным запуском градиентного спуска для уточне- ния решения. Далее приводятся результаты построения редуцированных моделей. Для это- го исходная система наблюдалась в 250 точках носителя функции. Шаг квантова- ния выбирался как           maxmax 5 2 , 5 min , где max и max — предельные значе- ния  и  исходной модели. Метод дифференциальной эволюции Одним из методов эволюционного моделирования, предназначенного для решения задачи многомерной оптимизации, является метод дифференциальной эволюции. По классификации оптимизационных методов он относится к классу стохастических, так как использует в процессе поиска решения генератор случай- ных чисел. Кроме того, он использует и некоторые идеи генетических алгоритмов, но, в отличие от них, не требует работы с переменными в бинарном коде. Метод дифференциальной эволюции — прямой метод оптимизации, так как в ходе его работы требуется вычислять только значения целевой функции (крите- рия оптимизации), а производные не вычисляются. В общем случае целевые функции, оптимизируемые с помощью данного метода, могут быть недифферен- цируемыми, нелинейными, многоэкстремальными и с очень большим количе- ством переменных. Метод прост в реализации и при его использовании легко реа- лизовать распараллеливание вычислительного процесса [3]. Рассмотрим алгоритм метода дифференциальной эволюции согласно [3]. 1. Инициализируется множество случайных векторов, называемых поколени- ем, представляющих собой возможные решения задачи оптимизации. Число век- торов в каждом поколении одно и то же и является одним из параметров настрой- ки метода. 2. На каждой эпохе эволюционного процесса алгоритм генерирует новое по- коление векторов, случайным образом комбинируя между собой векторы преды- дущего поколения. 3. Над мутантным вектором выполняется операция кроссовера (скрещива- ния), в ходе которой некоторые координаты мутантного вектора замещаются со- ответствующими координатами из базового вектора. Каждая координата замеща- ется с некоторой вероятностью ρ, которая также является параметром настройки метода дифференциальной эволюции. Полученный после скрещивания вектор называется пробным. Если он оказывается лучше базового (значение целевой функции улучшилось), то в новом поколении базовый вектор заменяется на проб- ный, в противном случае базовый вектор сохраняется в новом поколении. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 1 45 4. На каждой эпохе эволюционного процесса или с заданной периодичностью определяется лучший вектор поколения в целях контроля скорости поиска опти- мального решения. Условия окончания итераций процесса моделирования могут быть следующие: — исчерпано заданное предельное количество эпох эволюции; — исчерпано заданное предельное физическое расчетное время; — значение критерия оптимизации лучшего вектора поколения не изменяет- ся на протяжении заданного предельного количества эпох эволюции; — достигнуто удовлетворительное значение критерия оптимальности. На рис. 1 показано сравнение импульсной функции исходной системы 30 по- рядка (сплошная кривая) и ее аппроксимации (пунктирная) при .14Q – 4 – 2 0 2 4 6 0 50 100 150 200 250 kh kh ~ Рис. 1 На рис. 2 представлено расположение на комплексной плоскости (устойчи- вой области) собственных значений исходной системы (кружочки) и усеченной модели (крестики). Графики на рис. 3 показывают сходимость итерации метода дифференциаль- ной эволюции по нормам 2  и .   – 4 – 2 0 2 4 6 input 8 – 8 – 6 – 8 – 6 – 4 – 2 0 output Рис. 2 46 ISSN 0572-2691 0 2 4 0 10 1 3 20 30 Q 2 4 6 8 10 Q 2    er ro r er ro r Рис. 3 Метод перебора Тривиальным методом оптимизации, при котором перебираются возмож- ные значения аргумента функционала по сетке с фиксированным шагом внутри некоторой ограниченной области, является метод перебора. Часто оптимизаци- онные пакеты содержат такой метод с небольшим улучшением, а именно: вме- сто подстановки точки из сетки перебора в функцию и проверки улучшения значения, запускается один из методов нестохастического градиентного спуска, который «доводит» аргумент до локального минимума функционала вблизи те- кущего элемента сетки. Результаты работы такого метода при тех же исходных данных, что и в предыдущем методе, представлены на рис. 4, 5. – 4 – 2 0 2 4 6 0 50 100 150 200 250 kh kh ~ Рис. 4 На рис. 4 показана импульсная функция исходной, сложной, (сплошная) и усеченной (пунктирная) систем, а на рис. 5 представлено расположение собствен- ных значений для исходной (кружочки) и усеченной (крестики) систем. Сходи- мость метода по нормам 2  и   иллюстрируется на рис. 6. Видно, что дан- ный метод дает худшую аппроксимацию по сравнению с методом дифференци- альной эволюции при тех же параметрах. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 1 47 – 4 – 2 0 2 4 6 input 8 – 8 – 6 – 8 – 6 – 4 – 2 0 output Рис. 5 0 2 4 0 10 1 3 20 30 Q 2 4 6 8 10 Q 2    er ro r er ro r Рис. 6 Метод «basin-hopping» Данный алгоритм по своей сути схож с алгоритмом дифференциальной эволюции, однако ключевой особенностью этого метода является использова- ние локальной минимизации после мутирования вектора. При этом для глад- кой минимизирующей функции можно использовать аналитическое вычисле- ние якобиана, что улучшит качество локальной оптимизации и уменьшит за- траты на машинное вычисление якобиана конечными разностями. Именно поэтому в качестве критерия соответствия использовалось среднеквадратиче- ское отклонение. На рис. 7 показана импульсная функция исходной, сложной, (сплошная) и усеченной (пунктирная) систем, а на рис. 8 дано расположение собственных значений для исходной (кружочки) и усеченной (крестики) систем. Сходи- мость метода по нормам 2  и   иллюстрируется рис. 9. Видно, что дан- ный метод дает лучшую аппроксимацию по сравнению с методом дифферен- циальной эволюции при тех же параметрах. 48 ISSN 0572-2691 – 4 – 2 0 2 4 6 0 50 100 150 200 250 kh kh ~ Рис. 7 – 4 0 2 4 6 input 8 – 8 – 6 – 8 – 6 – 4 – 2 0 output Рис. 8 0 2 4 0 10 1 3 20 30 Q 2 4 6 8 10 Q 2    er ro r er ro r 5 Рис. 9 Сравнительный анализ По результатам моделирования данными методами проведен их сравнитель- ный анализ. Методы сравнивались по следующим показателям: Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 1 49  коэффициент детерминации , )( )ˆ( 1 2 2 2      i i i ii hh hh R где  i ih n h ; 1ˆ ih — отклики исходной системы (1) в дискретные моменты времени; iĥ — отклики реду- цированной системы (2) в тех же точках. Эталонное значение — 1;  средняя абсолютная ошибка   i ii hh n MAE ˆ1 ;  средняя квадратичная ошибка ;)ˆ( 1 2   i ii hh n MSE  среднее время работы на тестирующей машине. Каждый метод на вход принимал отклик исходной системы на первых 250 шагах дискретизации. Исходная система имела 30 корней, из которых 26 бы- ли комплексно-сопряженными и четыре действительными. Редукторы строили системы порядка 14. Таблица 1 Алгоритм R2 MAE MSE Время работы, С Дифференциальной эволюции 0,93494 0,45676 0,34086 18,0544 Перебора 0,43323 1,45995 2,96958 98,9153 Basin-hopping 0,98600 0,20591 0,07335 79,1869 Нетрудно заметить (табл. 1), что метод перебора, несмотря на комбинацию с локальной оптимизацией, оказался наименее эффективным. Методы дифференци- альной эволюции и «basin-hopping» имеют приблизительно одинаковые результа- ты, причем метод дифференциальной эволюции оказался более быстродействую- щим, в то время как «basin-hopping» гарантировал лучшую сходимость. Метод, основанный на сингулярном разложении. Рассмотрим решение за- дачи построения редуцированной модели методом, основанным на сингулярном разложении. Для практической реализации подхода разработан алгоритм, который ис- пользует SVD, метод наименьших квадратов для решения системы (20), алгоритм нахождения собственных чисел и соответствующих собственных векторов и пе- реход к жордановой реализации. Результаты вычислительных экспериментов представлены на рис. 10 (ап- проксимация отклика) и рис. 11 (расположение собственных значений). На рис. 12 представлена зависимость точности воспроизведения отклика редуцированной системы в зависимости от ее размерности. – 4 – 2 0 2 4 6 0 50 100 150 200 250 kh kh ~ Рис. 10 50 ISSN 0572-2691 0 5 10 input – 10 – 5 – 8 – 6 – 4 – 2 0 output Рис. 11 0 2 4 0 10 20 30 Q 2 4 6 8 10 Q 2    er ro r er ro r 6 Рис. 12 Для оценки свойств метода в качестве критериев качества аппроксимации использовались те же показатели, что и в случае с вариационным методом. От- клик исходной системы рассматривался на первых 250 шагах дискретизации раз- мерности 30, а редуцированная модель имела порядок 14. Таблица 2 Алгоритм R2 MAE MSE Время работы, с SVD 0,85201 0,71528 0,76917 0,0222 Несмотря на то что внешне отклик редуцированной системы практически идеально накладывается на отклик исходной, во второй половине симуляции по- является расхождение в виде смещения, что влечет за собой понижение соответ- ствующих метрик. С другой стороны, последний метод (табл. 1, 2) отработал гораздо быстрее алгоритмов, основанных на вариационном методе. Заключение Как следует из рис. 3, 6, 9 и 11, рассмотренные методы дают схожую оценку сходимости итераций. Заметное улучшение качества аппроксимации происходит до значений 64 Q . Дальнейшее увеличение Q не имеет смысла, поскольку погрешность оценивания практически не уменьшается. Многочисленные экспе- рименты с разнообразным распределением собственных значений в устойчивой области комплексной плоскости показывают, что такое свойство сходимости со- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 1 51 храняется практически в каждом из них. Более того, проиллюстрированные ре- зультаты соответствуют системам, у которых достаточно много чисто колеба- тельных мод. Поэтому большинство собственных значений редуцированной мо- дели сосредоточено вблизи мнимой оси, и только в случае более эффективного метода basinhopping соответственные значения представлены и в других частях комплексной области. Когда же собственные значения только действительные или комплексные, но с существенным коэффициентом затухания, вполне каче- ственные модели получаются при меньших размерностях. Теперь рассмотрим инварианты c pf и .s pf Опишем ситуацию, когда ].1,1[, s p c p ff Если их значения по модулю больше единицы, в силу линейно- сти они сводятся к рассмотренному случаю. Это достигается с помощью норми- рующего множителя ],[max s p c p ff , на который надо поделить соотношение (7). При заданных собственных значениях наиболее неблагоприятная ситуация для редукции возникает, когда все c pf и s pf равны +1 или –1, поскольку вклад каж- дой моды в выход определяется весовыми коэффициентами c pf и .s pf Именно этот неблагоприятный для редукции случай представлен полученными результа- тами моделирования. Из результатов и анализа непосредственно следует упрощенный способ ре- дукции порядка модели очень большой или бесконечной размерности. На ком- плексной плоскости задаются собственные значения исходной системы и анали- зируется их расположение. Если оно имеет вырожденную кластерную структуру, то с учетом весовых коэффициентов c pf и s pf вычисляется центр тяжести каждо- го кластера, который возьмем в качестве собственного значения редуцированной системы. Количество кластеров будет определять размерность усеченной модели, а центры тяжести — соответствующие ей собственные значения. На основе МНК или его различных модификаций решается задача о наилучшей аппроксимации исходной импульсной функции с помощью коэффициентов c qf и s qf при извест- ных базисных функциях усеченной модели. При расположении собственных зна- чений, близком к равномерному, кластеры, их количество и соответствующие им усредненные собственные значения определяются по весовым коэффициен- там c pf и .s pf Возможны также и другие способы обоснованного результатами моделированного задания собственных значений редуцированной системы. Одним из результатов проведенного анализа можно считать определение соотношения между  и . Наиболее адекватно связь  и  выражается соотношением , 0U   (23) где 0U — максимально допустимое по величине входное воздействие, а  — не- которая нормирующая константа. Именно из (23) должна определяться подходя- щая размерность редуцированной модели. Неотрицательная величина  меньше единицы; ее значение зависит от распределения погрешности ,ii hh  ,,1 ni на интервале наблюдения. 52 ISSN 0572-2691 В.Ф. Губарев, В.В. Фатенко ГЕОМЕТРИЧНИЙ ТА ВАРІАЦІЙНІ МЕТОДИ РЕДУКЦІЇ ПОРЯДКУ МОДЕЛІ. ПОРІВНЯЛЬНИЙ АНАЛІЗ Розглянуто та досліджено чисельні методи вирішення задачі редукції порядку моделі складної системи великої розмірності на основі геометричного та варіа- ційних підходів. Здійснено порівняльний аналіз методів та надано рекомендації щодо їх практичного застосування. V.F. Gubarev, V.V. Fatenko GEOMETRIC AND VARIATIONAL MODEL ORDER REDUCTION METHODS. COMPARATIVE ANALYSIS Numerical methods for solving model order reduction problem of complex system having large-scale dimention on the base of geometric and variational approaches are considered and studied. Methods comparative analysis and recommendation accord- ing to practical application are delivered. 1. Губарев В.Ф. Проблема редукции порядка модели линейной стационарной системы боль- шой размерности // Кибернетика и вычислительная техника. — 2016. — Вып. 186. — С. 30–45. 2. Wales D.J., Doye J.P.K. Global optimization by basin-hopping and the lowest energy structures of Lennard–Jones clusters containing up to 110 atoms // Journal of Physical Chemistry A. — 1997. — 101, N 28. — P. 5111–5116. 3. Портал искусственного интеллекта: теоретические основы метода дифференциальной эво- люции. — http://neuronus.com/em/19-theory/33 4. Viberg M. Subspace methods in system identification // Proc. 10th IFAC Symposium on System Identification. — Denmark : Copenhagen. — 1994. — 1. — P. 1–12. 5. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. — М. : Мир, 1999. — 548 с. Получено 11.07.2017 http://www.irbis-nbuv.gov.ua/cgi-bin/irbis_nbuv/cgiirbis_64.exe?Z21ID=&I21DBN=UJRN&P21DBN=UJRN&S21STN=1&S21REF=10&S21FMT=JUU_all&C21COM=S&S21CNR=20&S21P01=0&S21P02=0&S21P03=IJ=&S21COLORTERMS=1&S21STR=%D0%9662212 http://neuronus.com/em/19-theory/33

Геометрический и вариационные методы редукции порядка модели. Сравнительный анализ

Репозитарії

Схожі ресурси