Прапори підалгебр у контрактованих алгебрах Лі

Доведено теорему, що описує поведінку прапорів підалгебр при контракціях алгебр Лі та яку можна розглядати як новий критерій неіснування контракцій. Отримано також ослаблений аналог цієї теореми для прапорів підпросторів. За її допомогою показано неіснування контракцій для низки пар шестивимірних...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2021
Автор:	Попович, Д.Р.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2021
Назва видання:	Доповіді НАН України
Теми:	Математика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/180563
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Прапори підалгебр у контрактованих алгебрах Лі / Д.Р. Попович // Доповіді Національної академії наук України. — 2021. — № 4. — С. 9-17. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-180563
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1805632021-10-04T01:26:02Z Прапори підалгебр у контрактованих алгебрах Лі Попович, Д.Р. Математика Доведено теорему, що описує поведінку прапорів підалгебр при контракціях алгебр Лі та яку можна розглядати як новий критерій неіснування контракцій. Отримано також ослаблений аналог цієї теореми для прапорів підпросторів. За її допомогою показано неіснування контракцій для низки пар шестивимірних нільпотентних дійсних алгебр Лі, для яких не працюють раніше відомі критерії. We prove a theorem that describes the behavior of subalgebra flags of Lie algebras under contractions and can be applied as a new criterion for the non-existence of contractions. A weaker version of the theorem is ob tained for flags of subspaces. Using the theorem, we prove the non-existence of contractions for a number of pairs of sixdimensional nilpotent real Lie algebras, for which the earlier known criteria do not work. 2021 Article Прапори підалгебр у контрактованих алгебрах Лі / Д.Р. Попович // Доповіді Національної академії наук України. — 2021. — № 4. — С. 9-17. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2021.04.009 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/180563 512.812.4 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Попович, Д.Р. Прапори підалгебр у контрактованих алгебрах Лі Доповіді НАН України
description	Доведено теорему, що описує поведінку прапорів підалгебр при контракціях алгебр Лі та яку можна розглядати як новий критерій неіснування контракцій. Отримано також ослаблений аналог цієї теореми для прапорів підпросторів. За її допомогою показано неіснування контракцій для низки пар шестивимірних нільпотентних дійсних алгебр Лі, для яких не працюють раніше відомі критерії.
format	Article
author	Попович, Д.Р.
author_facet	Попович, Д.Р.
author_sort	Попович, Д.Р.
title	Прапори підалгебр у контрактованих алгебрах Лі
title_short	Прапори підалгебр у контрактованих алгебрах Лі
title_full	Прапори підалгебр у контрактованих алгебрах Лі
title_fullStr	Прапори підалгебр у контрактованих алгебрах Лі
title_full_unstemmed	Прапори підалгебр у контрактованих алгебрах Лі
title_sort	прапори підалгебр у контрактованих алгебрах лі
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2021
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/180563
citation_txt	Прапори підалгебр у контрактованих алгебрах Лі / Д.Р. Попович // Доповіді Національної академії наук України. — 2021. — № 4. — С. 9-17. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT popovičdr praporipídalgebrukontraktovanihalgebrahlí
first_indexed	2025-07-15T20:41:52Z
last_indexed	2025-07-15T20:41:52Z
_version_	1837747006716510208
fulltext	9ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 4: 9—17 Контракції є різновидом граничних переходів, що формально описують зв’язки між алгеб- раїчними структурами, зокрема тими, що лежать в основі фізичних теорій. Контракції роз- глядають для алгебр над дійсним або комплексним полем. Для більш загального випадку довільних алгебраїчно замкнених полів існує поняття вироджень алгебр Лі [1—3]. Не- зважаючи на інтенсивні дослідження, повного розуміння, які властивості зберігаються при контракціях, дотепер немає. У цій статті вивчено поведінку прапорів підалгебр і підпросторів при контракціях ал- гебр Лі. Отримані властивості можна використати як нові критерії неіснування контракцій у парах алгебр. Цю можливість продемонстровано доведенням неіснування контракцій для низки пар шестивимірних нільпотентних дійсних алгебр Лі, для яких не працюють відомі в літературі критерії, оскільки в парах відповідних комплексифікацій контракції існують. Розглянемо n -вимірний ( <n ) векторний простір V над полем   або   та визначену на V бінарну операцію [ , ] :V V V      . Якщо ця операція є білінійною, косо- си метричною та задовольняє тотожність Якобі, то простір з нею називають алгеброю Лі ( , )V g . У фіксованому базисі 1( , , )ne e простору V алгебру g можна визначити через дужку Лі базисних елементів: [ , ] k i j ij ke e c e , де k ijc називають структурними сталими алгеб- ри g у базисі 1( , , )ne e . Тут і далі індекси i , j , k пробігають від 1 до n , за повтореними індексами йде підсумовування. Многовид тензорів структурних сталих алгебр Лі на прос- торі V — це множина Ц и т у в а н н я: Попович Д.Р. Прапори підалгебр у контрактованих алгебрах Лі. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 4. С. 9—17. https://doi.org/10.15407/dopovidi2021.04.009 МАТЕМАТИКА MATHEMATICS https://doi.org/10.15407/dopovidi2021.04.009 УДК 512.812.4 Д.Р. Попович, https://orcid.org/0000-0001-5563-966X Інститут математики НАН України, Київ E-mail: deviuss@gmail.com Прапори підалгебр у контрактованих алгебрах Лі Представлено членом-кореспондентом НАН України А.Г. Нікітіним Доведено теорему, що описує поведінку прапорів підалгебр при контракціях алгебр Лі та яку можна роз- глядати як новий критерій неіснування контракцій. Отримано також ослаблений аналог цієї теореми для прапорів підпросторів. За її допомогою показано неіснування контракцій для низки пар шестивимірних нільпотентних дійсних алгебр Лі, для яких не працюють раніше відомі критерії. Ключові слова: контракції алгебр Лі, прапори підалгебр, прапори підпросторів у алгебрах Лі, шестивимір ні нільпотентні алгебри Лі. 10 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2021. № 4 Д. Р. Попович 3 {( ) \| 0, 0}.i k i k i kk n k k n ij ij ji ij i j i ii k ki jkc c c c c c c c c              Для матричнозначної функції : (0,1] GL( )U n , U , і кожного (0,1] визна- чимо перетворену дужку Лі [ , ] :U V V V          згідно з –1( , ) : ( , )x y U U x U y      , ,x y V . Якщо для довільних ,x y V існує границя 0 0( , ) : ( , )lim x y x y    , то 0 0: [ , ]    є добре визна че ною дужкою Лі. Алгебру Лі 0 0( , )V g називають неперервною контрак- цією (або просто контракцією) алгебри Лі g. Процедуру 0g g , за допомогою якої алгебру Лі 0g отри мують з алгебри g, також називають контракцією. Параметр  і матричнозначну функцію U називають відповідно параметром контракції та матрицею контракції. У фік- сованому базисі простору V оператор U задають матрицею, а означення контракції можна переписати в термінах структурних сталих. А саме: воно означає, що для всіх значень i, j, k існує границя 0 , 0,:lim k k ij i jc c      , де 1 , : ( ) ( ) ( )jk i k k ij i k ijjc U U U c      , а тому 0, k i jc    складають до- бре визначений тензор структурних сталих алгебри 0g . Аналогічно до неперервних контракцій можна визначити послідовні контракції, ви ко- ристовуючи послідовності матриць { , } GL( )pU p V  замість матричнозначних функцій. Для кожної дужки Лі з послідовності { [ , ] , }p p pU p        алгебра Лі ( , )p pV g ізо- морфна алгебрі ( , )V g . Якщо границя –1 0( , ) ( , ) : ( , )lim limp pp p p px y U U x U y x y      існує для довільних ,x y V , то 0 є добре визначеною дужкою Лі на просторі V . Алгебру Лі 0 0( , )V g називають послідовною контракцією алгебри Лі g. У фіксованому базисі кожній алгебрі pg відповідає тензор структурних сталих p pC C U  з компонентами , k p ijc  –1( ) ( ) ( ) .ji k k p i p p k i jjU U U c     Існування поточкової границі послідовності дужок Лі { , }p p  еквівалентне існуванню границі , 0,:lim k k p p ij ijc c  для всіх значень i , j , k , де 0, k ijc є компо- нентами тензора структурних сталих 0C алгебри Лі 0g . Існування неперервної контракції 0g g для пари алгебр 0( , )g g еквівалентне існуванню послідовної контракції для цієї пари. Добре відомою є така лема [4], на якій ґрунтується доведення основного результату цієї роботи: Лема 1. Алгебра Лі g допускає послідовну контракцію до алгебри Лі 0g тоді і лише тоді, коли у базисі 1( , , )ne e базового простору V існують послідовність невироджених нижньо- трикутних (або верхньотрикутних) n n матриць { , }pL p і ортогональна (відповідно, унітарна) n n матриця Q у дійсному (відповідно, комплексному) випадку такі, що 0pC L C Q  при p  . Основна теорема та її наслідки. Структура множин підалгебр та ідеалів алгебр Лі змі- нюється при контракціях. Водночас деякі їх властивості є стабільними. Теорема 1. Припустимо, що алгебра Лі 0g є (неперервною чи послідовною) контракцією алгебри Лі g , 0g g , і алгебра g містить прапор підалгебр 0 1 2 1{0} .m m      s s s s s g Тоді алгебра 0g містить прапор підалгебр 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0{0} m m      s s s s s g 11ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 4 Прапори підалгебр у контрактованих алгебрах Лі таких, що 0 0dim dim , 1, , .a a a aта a m   s s s s Якщо as є ідеалом у bs , 1 < 1a b m   , то 0 as можна обрати ідеалом у 0 bs , причому 0 0/ /b a b as s s s . Більш загально, якщо [ , ]a b cs s s для деяких , , {1, , }a b c m  , то також 0 0 0 0[ , ]a b cs s s . Крім того, 0 0 0dim[ , ] dim[ , ]a b a bs s s s для будь-яких , {1, , }a b m  . Аналогічні твердження справедливі для будь-якої композиції комутаторів на довільному розміщенні з повтореннями з підалгебр as . Доведення. Достатньо розглянути випадок послідовних контракцій. Виберемо уз- годжений з прапором підалгебр в алгебрі ( , )V g базис 1( , , )ne e простору V , тобто 1, ,a na e e  s , 1, ,a m  , де : dim a an  s . У цьому базисі комутаційні сталі алгебри g за- довольняють умову 0,k ijc  якщо , ai j n та > .ak n Оскільки алгебра 0 0( , )V g є контракцією алгебри g , то згідно з лемою 1 існують по- слідовність { , }pL p невироджених верхньотрикутних n n матриць і ортогональна (від- повідно, унітарна) n n матриця Q у дійсному (відповідно, комплексному) випадку такі, що 0:p pL Q     при p  . У кожній алгебрі з послідовності { : ( , ), }p pV p  g маємо прапор 0 1 2 1{0} : ( , ),m m p p p p p p pV        s s s s s g де 1: , ,a a p p na L e e   s s , 1, , 1a m  , а тому dim dima a p s s і a a ps s . Іншими словами, комутаційні сталі алгебр pg задовольняють умови , 0,k p ijc  якщо , ai j n та > ak n . У границі при p  маємо , 0, k k p ij ijc c , звідки 0, 0k ijc  , якщо , ai j n та > ak n . Це озна- чає, що 0 1, ,a na e e  s , 1, ,a m  , — підалгебри алгебри 0g , які утворюють прапор 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0{0} ,m m      s s s s s g де 0dim dim .a a an s s Крім того, обмеження , , 1, ,( )k ij i j k na c   тензора структурних сталих алгебри g є тензором струк- тур них сталих підалгебри as , лінійна оболонка 1, , na e e  інваріантна під дією опе рато- ра pL , а тому обмеження , , , 1, ,( )k p ij i j k na c   тензора структурних сталих алгебри pg є тензором структурних сталих підалгебри a ps . З існування границь , 0, k k p ij ijc c , , , 1, , ai j k n  , при p  випливає, що 0 a as s . Нехай для деяких , {1, , 1}a b m  підалгебра as є ідеалом підалгебри bs . Аналогіч- ними використаним вище міркуваннями отримаємо, що підалгебра a ps є ідеалом підалгебри b ps . У термінах структурних сталих зазначене еквівалентне умові , 0k k ij p ijc c  при , , >b ai j n k n та ( ai n або ).aj n 12 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2021. № 4 Д. Р. Попович Перехід до границі дає таку саму умову для структурних сталих 0, k ijc , тобто підалгебра 0 as — ідеал підалгебри 0 bs . Для кожного p фактор-алгебра /b a p ps s ізоморфна фактор-алгебрі /b as s . Структурні сталі , k p ijc , , , 1, ,a bi j k n n   , алгебри pg утворюють повну множину структурних сталих алгебри /b a p ps s . Аналогічно, підмножина структурних ста лих 0,{ , , , 1, , }k ij a bc i j k n n   алгебри 0g є повною множиною структурних сталих фак тор- алгебри 0 0/b as s . Обмеження умови , 0, k k p ij ijc c , p , що виконується для всіх , , 1, ,i j k n  , на значення , , 1, ,a bi j k n n   вказує на існування контракції 0 0/ /b a b as s s s між фактор-алгебрами. Доведемо твердження щодо комутаторів підалгебр. З умови [ , ]a b cs s s випливає, що [ , ]a b c p p p ps s s для кожного p . У термінах струк- турних сталих це означає умову , 0k k ij p ijc c  при ( ,a bi n j n  або , )b ai n j n  та > ,ck n (1) що в границі дає таку саму умову для структурних сталих 0, k ijc , звідки 0 0 0 0[ , ]a b cs s s . Зафіксуємо ранжування пар ( , ) {1, , } {1, , }a bi j n n   . Розмірності комутаторів [ , ]a bs s і [ , ]a b p p ps s збігаються між собою, а також з рангами допоміжних матриць A і pA , складених відповідно зі стовпчиків 1, ,( )k ij k nc   і , 1, ,( )k p ij k nc   , які занумеровані парами ( , )i j у зафік- сованому ранжуванні. Аналогічно, розмірність комутатора 0 0 0[ , ]a bs s збігається з рангом до- поміжної матриці 0A , складеної зі стовпчиків 0, 1, ,( )k ij k nc   з такою самою нумерацією, як вище. Очевидно, що 0pA A при p  . Ранг матриць не збільшується при граничному переході. Отже, 0 0 0dim[ , ] dim[ , ]a b a bs s s s . Для доведення більш загального твердження щодо композицій комутаторів на довіль- них розміщеннях з повтореннями з підалгебр as , для кожного такого розміщення побу ду- ємо аналоги умови (1) і матриць A , pA , 0A . Для цього структурні сталі потрібно замінити на їх поліноміальні комбінації та врахувати обмеження на індекси, що нумерують базисні елементи залучених підалгебр. Стовпчики у відповідних допоміжних матрицях нумеруємо наборами індексів 1( , , )Ni i у деякому фіксованому ранжуванні, де N — це кількість під- алгебр у розміщенні. Наслідок 1. Припустимо, що алгебра Лі 0g є (неперервною чи послідовною) контракцією алгебри Лі g , 0g g . Тоді для будь-якого повного прапору підпросторів 0 1 2{0} nV V V V V      базового простору V існує такий повний прапор підпросторів 0 1 2 0 0 0 0{0} nV V V V V      цього ж простору, що виконуються нерівності 0 00dim[ , ] dim[ , ]ji i jV V V V для будь-яких , {1, , }i j n  , а також аналогічні нерівності для будь-якої композиції комутаторів на до- вільному розміщенні з повтореннями з підпросторів 1, , nV V . Доведення. Замкненість підпросторів відносно дужки Лі не є суттєвою у двох останніх абзацах доведення теореми 1. Простий приклад контракцій до абелевої алгебри показує, що теорему 1 не можна поширити на характеристичні ідеали та мегаідеали. Дійсно, при контракції до абелевої ал- 13ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 4 Прапори підалгебр у контрактованих алгебрах Лі гебри центр збільшується до всієї алгебри, але похідна алгебра стискується до нуля. Більш того, в абелевій алгебрі немає власних характеристичних ідеалів та мегаідеалів. Низку необхідних критеріїв існування контракцій можна отримати як прості наслідки теореми 1. Так, властивості комутативності, нільпотентності, розв’язності та унімодуляр- ності зберігаються при контракціях, а тому алгебра 0 as успадковує відповідні властивості алгебри as . Наслідок 2. При контракціях алгебр Лі не зменшують розмірності такі структури:  максимальні абелеві підалгебри,  максимальні нільпотентні підалгебри,  максимальні розв’язні підалгебри,  максимальні абелеві ідеали,  максимальні нільпотентні ідеали (нільрадикали),  максимальні розв’язні ідеали (радикали). Наслідок 3. При контракціях алгебр Лі розмірності похідних алгебр і степенів алгебр не збільшуються. Зауваження 1. Наведене доведення теореми 1 та доведення подібних тверджень є до- статньо елементарними. Їх можна переписати з використанням розкладу Івасави, з якого випливає таке твердження: будь-яку контракцію між алгебрами Лі можна реалізувати три- кутними матрицями (див., наприклад, [3]). Зауваження 2. Теорему 1 і наслідок 1 можна легко узагальнити на довільні скінченно- ви мірні алгебри. Приклад застосування. Покажемо, що теорему 1 можна ефективно застосовувати для перевірки неіснування контракції в парі фіксованих алгебр у випадках, коли інші критерії такого неіснування не працюють. Для цього необхідно навести класифікації п’яти- і шести- вимірних нільпотентних алгебр Лі. Неізоморфні п’ятивимірні нільпотентні алгебри Лі над   або   вичерпують такі алгебри: 5.6 :g 1 2 3 1 3 4 1 4 5 2 3 5[ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e e e e    5.5 :g 1 2 3 1 3 4 1 4 5[ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e   5.4 :g 1 2 3 1 3 4 2 3 5[ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e   5.3 :g 1 2 3 1 4 5 2 3 5[ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e   5.2 :g 1 2 4 1 3 5[ , ] , [ , ] ;e e e e e e  5.1 :g 1 2 5 3 4 5[ , ] , [ , ] ;e e e e e e  4 1 :g g 1 2 3 1 3 4[ , ] , [ , ] ;e e e e e e  3 12 :g g 1 2 3[ , ] ;e e e 15 .g У цьому переліку кожну алгебру представлено її ненульовими комутаційними співвідно- шеннями з точністю до антисиметричності дужки Лі в базисі 1 2 3 4 5( , , , , )e e e e e . Алгебри 1g , 3g , 4g є відповідно одновимірною (абелевою) алгеброю, тривимірною (єдиною з точністю до ізоморфізмів нерозкладною нільпотентною) алгеброю Гейзенберга та єдиною з точністю до ізоморфізмів чотиривимірною нерозкладною нільпотентною алгеброю, а 1mg позначає пряму суму m копій алгебри 1g . 14 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2021. № 4 Д. Р. Попович У [3] доведено, що є такі й лише такі власні контракції між п’ятивимірними нільпотент- ними алгебрами Лі: 5.6 5.5 5.6 5.4 5.6 5.3 5.6 5.2 5.6 5.1 5.6 4 1, , , , , ,      g g g g g g g g g g g g g 5.6 3 1 5.5 5.2 5.5 4 1 5.5 3 12 , , , 2 ,      g g g g g g g g g g g 5.4 5.2 5.4 4 1 5.4 3 1, , 2 ,    g g g g g g g g 5.3 5.2 5.3 5.1 5.3 4 1 5.3 3 1, , , 2 ,     g g g g g g g g g g 5.2 3 1 5.1 3 1 4 1 5.2 4 1 3 1 12 , 2 , , 2 , * 5 ,         g g g g g g g g g g g g g g де остання формула позначає сукупність тривіальних контракцій п’ятивимірних нільпо- тентних алгебр Лі до п’ятивимірної абелевої алгебри 15g . У літературі існує багато класифікацій шестивимірних нільпотентних алгебр Лі над різними полями. Зокрема, шестивимірні нільпотентні алгебри Лі над  вперше прокла- сифікував ще К.А. Умлауф [5], а над довільним полем характеристики 0 — В.В. Морозов [6]. У цій статті використаємо пізнішу класифікацію Л. Магніна [7] шестивимірних нільпо- тентних алгебр над  з незначною модифікацією комутаційних співвідношень алгебри 5.3 1g g . Отже, неізоморфні шестивимірні комплексні нільпотентні алгебри Лі вичерпують такі алгебри: 6.20 :g 1 2 3 1 3 4 1 4 5 2 3 5 2 5 6 3 4 6[ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] – ;e e e e e e e e e e e e e e e e e e      6.19 :g 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 5 6 2 3 5 2 4 6[ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e e e e e e e e e e      6.18 :g 1 2 3 1 3 4 1 4 5 2 5 6 3 4 6[ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] – ;e e e e e e e e e e e e e e e     6.17 :g 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 5 6 2 3 6[ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e e e e e e e     6.16 :g 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 5 6[ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e e e e    6.15 :g 1 2 3 1 3 4 1 5 6 2 3 5 2 4 6[ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e e e e e e e     6.14 :g 1 2 3 1 3 4 1 4 5 2 3 6[ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e e e e    6.13 :g 1 2 4 1 4 5 1 5 6 2 3 5 3 4 6[ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] – ;e e e e e e e e e e e e e e e     6.12 :g 1 2 4 1 4 5 1 5 6 2 3 6 2 4 6[ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e e e e e e e     6.11 :g 1 2 4 1 4 5 1 5 6 2 3 6[ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e e e e    6.10 :g 1 2 4 1 3 5 1 4 6 3 5 6[ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e e e e    6.9 :g 1 2 4 1 3 5 2 5 6 3 4 6[ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e e e e    6.8 :g 1 2 4 1 4 5 2 3 5 2 4 6[ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e e e e    6.7 :g 1 2 4 1 3 5 1 4 6 2 3 6[ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] – ;e e e e e e e e e e e e    6.6 :g 1 2 4 2 3 6 2 4 5[ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e   6.5 :g 1 2 4 1 4 5 2 3 6 2 4 6[ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e e e e    6.4 :g 1 2 4 1 3 6 2 4 5[ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e   6.3 :g 1 2 4 1 3 5 2 3 6[ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e   6.2 :g 1 2 5 1 5 6 3 4 6[ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e   6.1 :g 1 2 5 1 4 6 2 3 6[ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e   5.6 1 :g g 1 2 3 1 3 4 1 4 5 2 3 5[ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e e e e    5.5 1 :g g 1 2 3 1 3 4 1 4 5[ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e   5.4 1 :g g 1 2 3 1 3 4 2 3 5[ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e   15ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 4 Прапори підалгебр у контрактованих алгебрах Лі 5.3 1 :g g 1 2 3 1 4 5 2 3 5[ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e   5.2 1 :g g 1 2 4 1 3 5[ , ] , [ , ] ;e e e e e e  5.1 1 :g g 1 2 5 3 4 5[ , ] , [ , ] ;e e e e e e  4 12 :g g 1 2 3 1 3 4[ , ] , [ , ] ;e e e e e e  3 3 :g g 1 2 3 4 5 6[ , ] , [ , ] ;e e e e e e  3 13 :g g 1 2 3[ , ] ;e e e 16 .g Згідно з [6], над дійсним полем на додаток до наведених вище існують ще чотири не- ізоморфні структури: 6.15 :g 1 2 3 1 3 4 1 4 6 2 3 5 2 5 6[ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e e e e e e e     6.9 :g 1 3 4 1 4 6 2 3 5 2 5 6[ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] ;e e e e e e e e e e e e    6.5 :g 1 2 3 1 3 5 1 4 6 2 4 5 2 3 6[ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] – ;e e e e e e e e e e e e e e e     3(2 ) :g 1 3 5 1 4 6 2 4 5 2 3 6[ , ] , [ , ] , [ , ] , [ , ] – .e e e e e e e e e e e e    Тут позначення a вказує, що комплексифікація дійсної алгебри Лі a ізоморфна комплексифікації дійсної алгебри Лі a , хоча самі алгебри a і a неізоморфні. Лема 2. (i) Не існує контракцій дійсних алгебр 6.2g , 6.4g , 6.5g , 6.9g , 6.9 g , 6.10g , 6.11g , 6.12g , 6.14g , 6.17g , 6.18g до алгебри 3(2 )g . (ii) Не існує контракцій дійсних алгебр 6.12g , 6.14g , 6.17g , 6.18g до алгебри 6.5 g . Доведення. Складність доведення цього твердження полягає в тому, що між відпо- відними комплексифікаціями наведених алгебр контракції існують. Оскільки стандартні критерії неіснування контракції, зокрема наведені в наслідках 2 і 3, використовують ха- рактеристики, які однакові для дійсних алгебр та їх комплексифікацій, вони не працюють у цій ситуації. Щоб застосувати теорему 1, розглянемо п’ятивимірні підалгебри всіх зазначених алгебр. Нехай 1 2 3 4 5 6, , , , ,V e e e e e e   — шестивимірний базовий простір, на якому визначено всі ці алгебри. П’ятивимірні підпростори простору V можна розбити на такі сім’ї: 1 2 3 4 5 6{ , , , , },e e e e e   2 1 2 3 4 5 6{ , , , , \| },e e e e e e     3 1 3 2 3 4 5 6{ , , , , \| , },e e e e e e e       4 1 4 2 4 3 4 5 6{ , , , , \| , , },e e e e e e e e          5 1 5 2 5 3 5 4 5 6{ , , , , \| , , , },e e e e e e e e e             6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6{ , , , , \| , , , , }.e e e e e e e e e e                Доведемо, що всі п’ятивимірні підалгебри алгебри 3(2 )g ізоморфні алгебрі 5.2g . З на- ве деної класифікації п’ятивимірних нільпотентних алгебр Лі легко бачити, що характе- ристичними властивостями алгебри 5.2g g є дві рівності: 2dim 2g і 3dim 0g , де kg позначає k -й степінь алгебри g . Друга рівність виконується для будь-якої підалгебри ал гебри 5.2g , бо вона виконується для самої алгебри. Оскільки 2 5 4 5 5[ , ]e e e e e    і 1 6 4 6 6[ , ]e e e e e    , то підпростори з сімей 5 і 6 не замкнені відносно дужки Лі, а тому 16 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2021. № 4 Д. Р. Попович не є підалгебрами. Підпростори, що містять похідну 3((2 ) )g , тобто всі підпростори з сі мей 1 — 4 , є підалгебрами (навіть ідеалами) в 3(2 )g . Прокомутувавши базисні еле- менти кожної з цих підалгебр, отримаємо, що їх похідні збігаються з 5 6,e e  , тобто вони ізоморфні алгебрі 5.2 –1g . Аналогічно покажемо, що всі п’ятивимірні підалгебри алгебри 6.5 g ізоморфні або ал геб рі 5.2g , або алгебрі 5.4g . Підпростори з сімей 3 , 5 , 6 та з сім’ї 4 з 0  не замкнені відносно дужки Лі, оскільки 1 3 2 3 3 5 6[ , ]e e e e e e e     , 1 5 3 5 5[ , ]e e e e e    , 1 6 4 6 6[ , ]e e e e e   , 1 4 2 4 3 6 5[ , ] –e e e e e e e     . Усі інші підпростори є підалгебрами і, більш того, ідеалами в 6.5 g , причому підпростори з сімей 1 , 4 знову ізоморфні алгебрі 5.2g , а підпростори з сім’ї 4 з 0  ізоморфні алгебрі 5.4g . Стандартні комутаційні співвідношення алгебри 5.4g отримаємо в базисі 1 1 4e e e  , 2 2 4e e e  , 3 3 5 6–e e e e   , 4 5e e , 5 6–e e . Щоб довести відсутність контракцій у зазначених у лемі парах алгебр, достатньо вка- зати в кожній з початкових алгебр підалгебру, що не контрактує до алгебри 5.2g , а отже, i до алгебри 5.4g . Така підалгебра має бути ізоморфною одній з алгебр 5.1g , 3 12g g , 15g . Ліній- ні оболонки 2 3 4 5 6, , , ,e e e e e  і 1 3 4 5 6, , , ,e e e e e  відповідно в кожній з алгебр 6.17g , 6.11g , 6.14g , 6.12g , 6.10g , 6.4g , 6.2g і в алгебрі 6.5g є підалгебрами, ізоморфними алгебрі 3 12g g , а лінійні оболонки 2 3 4 5 6, , , ,e e e e e  і 1 2 4 5 6, , , ,e e e e e  відповідно в кожній з алгебр 6.9g , 6.18g і в алгебрі 6.9 g є підалгебрами, ізоморфними алгебрі 5.1g , що завершує доведення леми. Зауваження 3. З доведення леми 2 очевидно, що не існує також контракцій алгебр 6.2g , 6.4g , 6.5g , 6.9g , 6.9 g , 6.10g , 6.11g , 6.12g , 6.14g до алгебри 6.5 g . Водночас, ці алгебри відрізня- ються від наведених у пункті (ii) леми 2 тим, що контракцій не існує і між відповідними комплексифікаціями, а їх відсутність можна довести з використанням стандартних критері- їв, які однаково працюють у дійсному і комплексному випадках, як-то розмірності алгебри диференціювань, похідної чи центру [8]. Зауваження 4. Як випливає з розгляду в [9], а також неопублікованих результатів М.О. Нестеренко та Р.О. Поповича, алгебра 6.18g контрактує до алгебр 6.2g , 6.4g , 6.5g , 6.9g , 6.9 g , 6.10g , 6.11g , 6.12g , 6.14g . Тому в лемі 2 достатньо довести відсутність контракцій 6.18g до 6.5 g і 3(2 )g . ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА. 1. Burde D. Degenerations of nilpotent Lie algebras. J. Lie Theory. 1999. 9, № 1. P. 193—202. 2. Gorbatsevich V.V., Onishchik A.L., Vinberg E.B. Lie groups and Lie algebras. III. Structure of Lie groups and Lie algebras. Berlin: Springer, 1997. xx+328 pp. 3. Grunewald F., O’Halloran J. Varieties of nilpotent Lie algebras of dimension less than six. J. Algebra. 1988. 112, № 2. P. 315—325. https://doi.org/10.1016/0021-8693(88)90093-2 4. Popovych D.R. Contractions with necessarily unbounded matrices. Linear Algebra Appl. 2014. 458. P. 689— 698. https://doi.org/10.1016/j.laa.2014.06.017 5. Umlauf K.A. Über die Zusammensetzung der endlichen continuierlichen Transformations gruppen, insbeson- dere der Gruppen von Range Null: Ph.D. thesis / University of Leipzig, 1891. 6. Морозов В.В. Классификация нильпотентных алгебр Ли шестого порядка. Изв. вузов. Матем. 1958. № 4. С. 161—171. 7. Magnin L. Sur les algebres de Lie nilpotentes de dimension 7. J. Geom. Phys. 1986. 3, № 1. P. 119—144. https://doi.org/10.1016/0393-0440(86)90005-7 8. Nesterenko M., Popovych R.O. Contractions of low-dimensional Lie algebras. J. Math. Phys. 2006. 47, № 12. 123515. https://doi.org/10.1063/1.2400834 https://doi.org/10.1016/0021-8693(88)90093-2 https://doi.org/10.1016/0393-0440(86)90005-7 17ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 4 Прапори підалгебр у контрактованих алгебрах Лі 9. Seeley C. Degenerations of 6-dimensional nilpotent Lie algebras over  . Arch. Math. 1990. 56, № 10. P. 236—241. https://doi.org/10.1080/00927879008824088 Надійшло до редакції 29.06.2021 REFERENCES 1. Burde, D. (1999). Degenerations of nilpotent Lie algebras. J. Lie Theory, 9, No. 1, pp. 193-202. 2. Gorbatsevich, V. V., Onishchik, A. L. & Vinberg, E. B. (1997). Lie groups and Lie algebras. III. Structure of Lie groups and Lie algebras. Berlin: Springer. 3. Grunewald, F. & O’Halloran, J. (1988). Varieties of nilpotent Lie algebras of dimension less than six. J. Algebra, 112, No. 2, pp. 315-325. https://doi.org/10.1016/0021-8693(88)90093-2 4. Popovych, D. R. (2014). Contractions with necessarily unbounded matrices. Linear Algebra Appl., 458, pp. 689-698. https://doi.org/10.1016/j.laa.2014.06.017 5. Umlauf, K. A. (1891). Über die Zusammensetzung der endlichen continuierlichen Transformationsgrup- pen, insbesondere der Gruppen von Range Null. (Unpublished Ph.D. thesis). University of Leipzig, Leipzig, Germany. 6. Morozov, V. V. (1958). Classification of nilpotent Lie algebras of sixth order. Izvestiya VUZ. Matematika, No. 4, pp. 161-171 (in Russian). 7. Magnin, L. (1986). Sur les algebres de Lie nilpotentes de dimension 7. J. Geom. Phys., 3, No. 1, pp. 119-144. https://doi.org/10.1016/0393-0440(86)90005-7 8. Nesterenko, M. & Popovych, R. O. (2006). Contractions of low-dimensional Lie algebras. J. Math. Phys., 47, No. 12, 123515. https://doi.org/10.1063/1.2400834 9. Seeley, C. (1990). Degenerations of 6-dimensional nilpotent Lie algebras over  . Arch. Math., 56, No. 10, pp. 236-241. https://doi.org/10.1080/00927879008824088 Received 29.06.2021 D. R. Popovych Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kyiv E-mail: deviuss@gmail.com FLAGS OF SUBALGEBRAS IN CONTRACTED LIE ALGEBRAS We prove a theorem that describes the behavior of subalgebra flags of Lie algebras under contractions and can be applied as a new criterion for the non-existence of contractions. A weaker version of the theorem is ob tained for flags of subspaces. Using the theorem, we prove the non-existence of contractions for a number of pairs of six- dimensional nilpotent real Lie algebras, for which the earlier known criteria do not work. Keywords: contractions of Lie algebras, flags of subalgebras, flags of subspaces in Lie algebras, six-dimensional nilpotent Lie algebras. https://doi.org/10.1016/0021-8693(88)90093-2 https://doi.org/10.1016/0393-0440(86)90005-7

Прапори підалгебр у контрактованих алгебрах Лі

Репозитарії

Схожі ресурси