Метод композиции для систем с распределенными параметрами

Обоснован метод решения задачи Коши для систем уравнений типа реакция-диффузия, представляющий собой нелинейную версию формулы Троттера-Далецкого. Предложенный метод композиции способствует выбору адекватной математической модели для объекта с распределенными параметрами....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2018
Автор:	Бондаренко, В.Г.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Технические средства для измерений и управления
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/180603
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Метод композиции для систем с распределенными параметрами / В.Г. Бондаренко // Проблемы управления и информатики. — 2018. — № 4. — С. 111-119. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-180603
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1806032021-10-06T01:26:21Z Метод композиции для систем с распределенными параметрами Бондаренко, В.Г. Технические средства для измерений и управления Обоснован метод решения задачи Коши для систем уравнений типа реакция-диффузия, представляющий собой нелинейную версию формулы Троттера-Далецкого. Предложенный метод композиции способствует выбору адекватной математической модели для объекта с распределенными параметрами. Обґрунтовано метод розв’язування задачі Коші для систем рівнянь типу реакція–дифузія, що являє собою нелінійну версію формули Троттера–Далецького. Запропонований метод композиції сприяє вибору адекватної математичної моделі для об’єкта із розподіленими параметрами. The method for a solution of reaction-diffusion equations, which is representing a nonlinear version of formula Trotter–Daletski, has been justified. The proposed method of composition contributes to the selection of an adequate mathematical model for an object with distributed parameters. 2018 Article Метод композиции для систем с распределенными параметрами / В.Г. Бондаренко // Проблемы управления и информатики. — 2018. — № 4. — С. 111-119. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0572-2691 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/180603 517.9 ru Проблемы управления и информатики Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Технические средства для измерений и управления Технические средства для измерений и управления
spellingShingle	Технические средства для измерений и управления Технические средства для измерений и управления Бондаренко, В.Г. Метод композиции для систем с распределенными параметрами Проблемы управления и информатики
description	Обоснован метод решения задачи Коши для систем уравнений типа реакция-диффузия, представляющий собой нелинейную версию формулы Троттера-Далецкого. Предложенный метод композиции способствует выбору адекватной математической модели для объекта с распределенными параметрами.
format	Article
author	Бондаренко, В.Г.
author_facet	Бондаренко, В.Г.
author_sort	Бондаренко, В.Г.
title	Метод композиции для систем с распределенными параметрами
title_short	Метод композиции для систем с распределенными параметрами
title_full	Метод композиции для систем с распределенными параметрами
title_fullStr	Метод композиции для систем с распределенными параметрами
title_full_unstemmed	Метод композиции для систем с распределенными параметрами
title_sort	метод композиции для систем с распределенными параметрами
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2018
topic_facet	Технические средства для измерений и управления
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/180603
citation_txt	Метод композиции для систем с распределенными параметрами / В.Г. Бондаренко // Проблемы управления и информатики. — 2018. — № 4. — С. 111-119. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT bondarenkovg metodkompoziciidlâsistemsraspredelennymiparametrami
first_indexed	2025-07-15T20:45:52Z
last_indexed	2025-07-15T20:45:52Z
_version_	1837747262522916864
fulltext	© В.Г. БОНДАРЕНКО, 2018 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 4 111 ТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЙ И УПРАВЛЕНИЯ УДК 517.9 В.Г. Бондаренко МЕТОД КОМПОЗИЦИИ ДЛЯ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 1. Постановка задачи и предварительные сведения Эволюция объектов с сосредоточенными параметрами в ряде случаев описы- вается автономной системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) ),(rf dt dr  где решение — векторная функция ))(...,),(()( 1 trtrtr N является ха- рактеристикой объекта. Примерами таких объектов выступают технические, био- логические и другие системы. Пусть ),( atr — решение задачи Коши: ),(rf dt dr  ,),0( aar  ,),( aGatr t (1) tG — фазовый поток. Характеристикой объекта с распределенными параметрами является вектор- ная функция )),,(...,),,((),( 1 xtuxtuxtu N где x — пространственная перемен- ная, .dRx Постулируется (строгое обоснование, как правило, отсутствует), что переход от сосредоточенных к распределенным параметрам приводит к математической модели в виде системы полулинейных параболических уравнений (система реак- ция–диффузия): ),(ufuL t u iii i    ),...,,( 1 Nuuu  ),(),0( xxu  ,dRx (2) где iL — эллиптический оператор второго порядка: k kik kj jkikji x xb xx xaL       )()( , 2 ,. с гладкими коэффициентами, а матрицы )()( , xaxA jkii  удовлетворяют нера- венствам ,)( IxAi  ,0 ....,,1 Ni  Приведенные условия гарантируют суще- ствование фундаментального решения )),,(...,),,,((),,( 1 yxtpyxtpyxtp N соот- ветствующей линейной системы: ,ii i qL t q    112 ISSN 0572-2691  .),,(),0()))(,0((),( dyyxtpyqxqextq iii tL i i (3) Иначе введение пространственной переменной в системе (2) учитывается диффузионным слагаемым .Lu Классический пример применения модели (2) — плотность популяций биологических особей с учетом их движения в ареале [1, 2]. Численное решение задачи Коши (2) выполнено для некоторых вариантов функ- ции :f результат — некоторые свойства решений соответствующей системы (1) сохраняются (например, наличие предельных циклов). Объектом исследования данной работы являются свойства функции ),( xtu решения — задачи Коши (2). Слагаемое )(uf назовем возмущением линейной системы (3). Некоторые свойства систем (2) рассмотрены в работах [3–5]. Введем обозначения для композиции решений задач (1), (3): ),,()),(,(),( xtqGxtqtrxtv t .),,())(,(),( ydyxtpytrxtw   Функция f предполагается гладкой и ограниченной (точные условия приведе- ны ниже). Отсюда следует существование, единственность и ограниченность класси- ческого решения задачи Коши (2), т.е. для ];0( 0Tt функции ),( xtu j обладают не- прерывными производными , t u j   , k j x u   , 2 ki j xx u   ,),( Dxtq  ,),( Dxtu  ,)( Dtr  где ,NRD .)(diam KD  Цель работы — установить зависимость между ),,( xtu ),,( xtv ).,( xtw Моти- вацию поставленной задачи можно объяснить следующим. В работах [6, 7] исследо- вана пространственно-временная динамика водного сообщества в терминах двухви- довой системы «хищник–жертва» (зоопланктон–фитопланктон). Пусть ),,,(1 yxtu ),,(2 yxtu — плотность фитопланктона и зоопланктона соответственно. Предпо- лагается, что система описывается математической моделью: ,)1( 2 1 1 1111 1 u hu u uuuD t u     ,22 1 1 22 2 muu hu u kuD t u      полученной из соответствующей системы ОДУ Лотки–Вольтерра. В результате численного эксперимента установлено, что решение },{ 21 uu образует некоторую пространственную структуру. Но такому же свойству удовлетворяет компози- ция v , также претендующая на роль модели. В частности, рассмотрена следующая задача теории возмущений. Пусть ,A ,B BA — генераторы сжимающих 0C -полугрупп ,tAe ,tBe )( BAte  в некотором банаховом пространстве. В работах [8, 9] (при различных условиях и разными методами) доказана формула, устанавливающая связь между введенны- ми полугруппами. В [10] эта формула представлена в следующем виде: ,lim)( n B n T A n T n BAT eese            (4) где       T n kT n T ...,..., — разбиение отрезка ],;0[ T .0T В дальнейшем (4) будем называть формулой Троттера–Далецкого. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 4 113 Задача — обобщить этот результат для нелинейного возмущения f операто- ра ),...,,( 1 NLLL т.е. для полулинейного уравнения (2). Обозначим )(tH нели- нейную полугруппу, порожденную генератором ,fL  ).,())()(( xtuxtH  При некоторых условиях для функции f доказывается аналог формулы Трот- тера–Далецкого: ,lim)( n L n T n Tn eGsTH          где сходимость имеет место в норме пространства ).( dRC Замечание 1. В [11, c. 307–315] нелинейная формула Троттера–Далецкого для const)(  AxAi доказана в следующей версии. Для последовательности  ),(Tn           n n T L n T Ge получена оценка ,),(),(  nCTuT VVn где V — неко- торое банахово пространство; приведен ряд примеров, ),( dRCV  и сходимость ),(  Tn требует дополнительных условий на начальную функцию. В настоящей работе задача (1) рассмотрена для скалярного уравнения и для системы. В скалярном случае при условии выпуклости функции f доказывается, что ),( xtv и ),( xtw являются суб- и суперрешениями. 2. Скалярное уравнение Для одномерной задачи Коши )1( N запишем уравнение в бескоординат- ной форме: ),()),(()(tr 2 ufuxbuxA t u    ),(),0( xxu  ,0t (5)              Nx u x u u ...; 1 , коэффициенты ),(xA )(xb — ограниченные и гладкие функции. Изучим свойства решения задачи Коши (5), предполагая, что функция f со- храняет постоянный знак на области значений ( , )u t x , ограничена на этой обла- сти и удовлетворяет некоторым условиям гладкости. Полагая    z dssfz ,)()( где выбор числа  гарантирует сходимость инте- грала, получаем явное представление: )).((),( 1 atatr   (6) Доказанные ниже соотношения базируются на следующей теореме срав- нения [12]. Пусть ),,(1 xtu ),(2 xtu — решения задачи Коши: ),,()( 11 1 xtmufLu t u    114 ISSN 0572-2691 ),( 22 2 ufLu t u    ,0t ,dRx ),,0(),0( 21 xuxu  ,0),( xtm .),( Dxtuk  Если ,)( Mzf  ,Dz (7) то имеют место неравенства:  оценка снизу:    dyyxtpyuyuextuxtu Mt ),,()),0(),0((),(),( 2121    ;),,(),()( 0 ydyxtpymed tM t  оценка сверху:   ydyxtpyuyuextuxtu Mt ),,()),0(),0((),(),( 2121    .),,(),()( 0 ydyxtpymed tM t (8) Определим невязки для функций ),,( xtv :),( xtw ),(vfLv t v m     ).(wfLw t w     Лемма 1. Невязки ),,( xtm ),( xt задаются равенствами )),()()(,)(( )( )( 2 vfqfqqxA qf vf m    )).,((),,()))(,(( xtwfydyxtpytrf Если выполнено условие (7) и ,)( 1Mzf  ,Dz то невязка m удовлетво- ряет оценке ,),(),( 22 1 xtqtecMxtm Mt  )(sup xAc  . Доказательство основано на представлении (6). Следствие 1. Пусть в задаче (5) начальное условие ,0)(  x функция f удовлетворяет условию (7) и выпукла вниз на .D Тогда справедливо неравенство ),,(),(),( xtwxtuxtv  ,0t .dRx Для функции ,f выпуклой вверх, имеет место противоположное неравенство: ),,(),(),( xtvxtuxtw  ,0t .dRx Доказательство. Пусть f выпукла вверх. Для 0)( uf справедливо нера- венство ),,(),( xtqxtv  и в силу убывания производной f  невязка ;0m непо- ложительность невязки  следует из неравенства Йенсена. Аналогично рассмат- риваются варианты ,0)( uf а также выпуклость f вниз. ■ Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 4 115 Пример. Для задачи Коши ,uLu t u    ,0)(),0(  xxu справедливо не- равенство .),( 2 ),(),,()( 2 22              xtq t xtuydyxtpy t Замечание 2. Приведенные неравенства доказаны в работе [13] при других условиях. ■ Следствие 2. Если производная ),( xtq ограничена, то .),( 2MtCtextm  ■ При обобщении формулы Троттера–Далецкого для нелинейного скалярного возмущения f оператора ,L т.е. для полулинейного уравнения (5) преобразуем выражение . n L n T n T eG         Построим последовательности функций        n T t0 :  ,),,()(),(0 ydyxtpyxtq ));,(,(),( 01 xtqtrxtv          ,),,(,),( 11 ydyxtpy n T vxtq ));,(,(, 12 xtqtrx n T tv                ,),,(,),( ydyxtpy n T kvxtq kk )),,(,(,1 xtqtrx n T ktv kk        .10  nk В терминах эволюционных операторов построенную последовательность можно записать в виде              n kT veG n kT tv k tL tk 1 . Теорема 1. Пусть выполнены условия леммы 1. Если производные  ),( xtqk ,1c то последовательность ),,(),( xTuxTvn  n , равномерно по .dRx Доказательство. Обозначим ; n T kts         n T k n T kk )1(; . Для разности ),,(),(),( 11 xsuxsvxth kk   ks  справедливо неравенство ),()12( 22 1 2 1 2 1 xtmhMLh t h kkk k      и оценка (8) принимает вид:       ydyxtpytmedydyxtpyhexth k tM t k tM k ),,(),(),,(),0(),( 2))(12( 0 2 1 )12(2 1 . По лемме 1 и условию теоремы 1 ,),(),( 424422 1 2 Mt k Mt k eCtxtqetcMxtm  отсюда      .),,(),0(),( 43 1 2 1 )12(2 1 Mt k tM k etCydyxtpyhexth Для ,0 ts ,0),0(1 xh ,),( 43 1 2 1 MtetCxth  т.е. начальное условие для ин- тервала 1 удовлетворяет оценке .),0( 43 1 2 2 n T M e n T Cxh        116 ISSN 0572-2691 Итерируя это неравенство, приходим к оценке        1 2 1 )1(, Ckx n T hk , )42(3 n T kMkM e n T         т.е. ,0 1 )),(),((, 3 23 22         TC n n xTuxTvx n T h nn n . ■ Если в операторе )(tr 2 AL A не зависит от ,x то достаточное условие неравенства 1),( cxtqk  можно сформулировать в терминах начальной функции ).(x Утверждение. Производные функций ),( xtqk удовлетворяют неравенству   ,),,()(),( 2 ydyxtpyextq MT k .Tt  Доказательство. Функция  ydyxtpyqxtq ),,(),0(),( является решением за- дачи Коши для уравнения .Lq t q    Заметим, что функция )),((),( hxtqxtz  удо- влетворяет уравнению ),,(2)(tr)( 222 zzAzAz t    откуда следует неравенство ),),((tr),( 222 xtqAxtq t    т.е.   .),,(),0(),( 22 ydyxtpyqxtq Для введенной последовательности функций                ,),,(,,),( 1 ydyxtpy n T q n T rxtq kk               x n T q n T rxq kk ,,),0( 1 по лемме 1 имеет место оценка                             x n T qex n T qx n T q n T a r xq k n T M kkk ,,,,),0( 111 . (9) Поскольку ),(),0(0 xxq  то .),,()(, 0 2 0         ydyxtpyx n T q Итерируя неравенство (9), приходим к оценке ,),0( 00  MTn kT M k eexq откуда .),,(),0(),( 10 2 ceydyxtpxqxtq MT kk   ■ Следствие (уточнение области определения операторов в теореме 1). Если началь- ная функция )(x удовлетворяет неравенству ,),,()( 2  Cydyxtpy ,Tt  то ,0)(lim            THeG L n T n Tn  — норма в ).( dRC Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 4 117 3. Система уравнений Рассмотрим частный случай системы (1): ),(ufu t u jj j    ),(),0( xxu  ,dRx (10) и обозначим )),(...,),,((),( 1 xtuxtuxtu N классическое решение задачи Коши этой системы. Фундаментальная матрица решений невозмущенной линейной си- стемы имеет вид ,),,(),,( Iyxtpyxtp             t yx tyxtp n 4 exp)4(),,( 2 2 . Условия на функцию 2: Cff  и ее производные удовлетворяют оценкам ,))((2 Mf  cbMcb f bcf N kj kj kj i       1 1, 2 )()( , (11) где 2 — операторная норма Гильберта–Шмидта. Пусть )),(...,),,((),( 1 xtqxtqxtq N удовлетворяет системе j j q t q    с начальными условиями ).,0( xq Тогда функция )),(,(),( xtqtrxtv  является ре- шением задачи Коши для системы ),,()( xtmvfv t v jjj j    ),,0(),0( xqxv  где координаты ),( xtm j невязки     )(),( vfv t v xtm jj j j ),)()(,(1 2 ,, qqqtr x q aa r x q iij d i i l sl j i s lsi          ).,( xtqq  Из этого представления при выполнении условия (11) следует оценка  2 ),( xtm .),()),(( 4 1 422 1 2 1 xtqetdMxtm i d i Mt j N j   Положим ),,(),(),( 0 xttuxtvxth  . 2 h Как и в утверждении 1, функцию  можно оценить через начальное условие. Лемма 2. Пусть выполнены следующие условия: 1) производные начальной функции ),0( xq удовлетворяют оценке   ,),,(),0( 3 2 cydyxtpyqi ;1tt  2) .),(),0(),0( 2 0  xtuxqx Тогда для 1tt  справедливо неравенство ,)( 3 1 ),( 22 32 13 tctc etMdcext  где .122  MNc Доказательство. Из представления         N s v u skssj s jj s s dvvufufvf 1 11 )...,,,...,,()()( 118 ISSN 0572-2691 следует, что разность ),( xth удовлетворяет системе уравнений      k s jsjsj j xtmhh t h 1 ),,( ,Mjs  отсюда следует неравенство для функции : .),( 2 2 xtmc t    По теореме сравнения для ),( xt справедлива оценка .),,(,(),( 2)( 0 22 ydyxtpymedext tc t tc    (12) Как и в скалярном случае, доказывается оценка для невязки  2 ),( xtm MtetMdc 422 13 )( и из (12) следует неравенство    t tsc dMtcMdcext 0 2 22 13 )( }4)({exp)(),( 02 .)( 3 1 22 32 13 tctc etMdce  ■ Аналогично скалярному случаю построим последовательность функций ),( xtvk , определенных для        n T t ;0 :  ,),,()(),(0 ydyxtpyxtq ));,(,(),( 01 xtqtrxtv          ,),,(,),( ydyxtpy n T kvxtq kk )),,(,(),(1 xtqtrxtv kk  ;1...,,0  nk );,0(),0(, 1 xqxvx n T v kkk        ),,(,),( 1 xsux n T ksvxsh k                n T k n T ks k )1(; ; ,),(),( 2 xshxs  где ),( xsu — решение задачи Коши (10), . n T kst  Теорема 2. Пусть выполнены условия (11) и .),,())(( 4 2 cydyxtpyi  Тогда справедливо неравенство ,),( 2 3 n T CxT  т.е. ,0),(),(sup  xTuxTvnx n . Доказательство проводится по той же схеме, что и в теореме 1. На каждом ин- тервале k по лемме 2 функция ),( xs удовлетворяет неравенству (12) для :0 n kT t  ,)( 3 1 ),( 22 3 2 13                     n kT sc k n kT sc k e n kT sMdcexs Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2018, № 4 119 где ,),,(),0( 3 2 kki cydyxtpyq  , n T t  .,),0( 2 kk x n kT uxq        Отсюда следует оценка n T ck MT e n T MedckxT n k 2)1(3 2 14 ))(1( 3 2 , 1                и для 1 nk получаем утверждение теоремы: .),( 2 3 n T CxT  ■ В.Г. Бондаренко МЕТОД КОМПОЗИЦІЇ ДЛЯ СИСТЕМ ІЗ РОЗПОДІЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ Обгрунтовано метод розв’язування задачі Коші для систем рівнянь типу реак- ція–дифузія, що являє собою нелінійну версію формули Троттера–Далецького. Запропонований метод композиції сприяє вибору адекватної математичної моделі для об’єкта із розподіленими параметрами. V.G. Bondarenko METHOD OF COMPOSITION FOR SYSTEMS WITH DISTRIBUTED PARAMETERS The method for a solution of reaction-diffusion equations, which is representing a nonlinear version of formula Trotter–Daletski, has been justified. The proposed method of composition contributes to the selection of an adequate mathematical model for an object with distributed parameters. 1. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. — М. : Наука, 1987. — 368 с. 2. Murray J.D. Mathematical Biology. — New York: Springer-Verlag, 2002. — 1. — 551 p.; — 2. — 811 p. 3. Conway E., Smoller J. A comparison technique for systems of reaction–diffusion equations // Communications in Partial Differential Equations. — 1977. — 2(7). — P. 679–697. 4. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. — М. : Мир, 1985. — 376 с. 5. Amann H. Dynamic theory of quasilinear parabolic equations. II. Reaction-diffusion systems // Differential Integral Equations. — 1990. — 3, N 1. — P. 13–75. 6. Формирование пространственно-временных структур, фракталы и хаос в концептуальных экологических моделях на примере динамики взаимодействующих популяций планктона и рыбы / А.Б. Медвинский, С.В. Петровский, И.А. Тихонова, Д.А. Тихонов и др. // Успехи физических наук. — 2002. — 172, № 1. — C. 31–66. 7. Spatiotemporal complexity of plankton and fish dynamics / A.B. Medvinsky, S.V. Petrovskii, I.A. Tikhonova, H. Malchow // SIAM Review. — 2002. — 44, N 3. — P. 311–370. 8. Trotter T.F. Of the Product of Semi-Groups of Operators // Pros. Am. Math. Soc. — 1959. — 10. — P. 545–551. 9. Далецкий Ю.Л. Континуальные интегралы, связанные с операторными эволюционными уравнениями // Успехи математических наук. — 1962. — 17, № 5. — С. 3–115. 10. Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения. — Киев : Вища шк., 1989. — 347с. 11. Taylor M.E. Partial Differential Equations III. — New York : Springer–Verlag, 1997. — 610 p. 12. Aronson D.G., Weinberger H.F. Multidimensional Nonlinear Diffusion Arising in Population // Advances Mathematics. — 1978. — 30.— P. 33–76. 13. Бондаренко В.Г., Прокопенко Ю.Ю. Барьерные функции для одного класса полулинейных параболических уравнений // Укр. мат. журнал. — 2008. — 60, № 11. — С. 1449–1456. Получено 09.02.2018 https://projecteuclid.org/euclid.die http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/S0036144502404442 https://scholar.google.com.ua/citations?user=m7-QukUAAAAJ&hl=uk&oi=sra https://scholar.google.com.ua/citations?user=VuD_H5gAAAAJ&hl=uk&oi=sra

Метод композиции для систем с распределенными параметрами

Репозитарії

Схожі ресурси