Подвійне укрупнення фазового простору для диференціальних рівнянь зі стохастичними малими добавками в умовах пуассонової апроксимації

Проведено двойное укрупнение фазового пространства состояний для стохастической эволюционной системы. Рассмотрен случай, когда возмущения системы определяются импульсным процессом в схеме пуассоновой аппроксимации. Предельный процесс при таких условиях имеет две составляющие: детерминированный снос...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2019
Автори:	Самойленко, І.В., Нікітін, А.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2019
Назва видання:	Кибернетика и системный анализ
Теми:	Системний аналіз
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/180853
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Подвійне укрупнення фазового простору для диференціальних рівнянь зі стохастичними малими добавками в умовах пуассонової апроксимації / І.В. Самойленко, А.В. Нікітін // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 2. — С. 108-116. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-180853
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1808532021-10-29T21:40:05Z Подвійне укрупнення фазового простору для диференціальних рівнянь зі стохастичними малими добавками в умовах пуассонової апроксимації Самойленко, І.В. Нікітін, А.В. Системний аналіз Проведено двойное укрупнение фазового пространства состояний для стохастической эволюционной системы. Рассмотрен случай, когда возмущения системы определяются импульсным процессом в схеме пуассоновой аппроксимации. Предельный процесс при таких условиях имеет две составляющие: детерминированный снос и пуассонову скачковую добавку. Проведено подвійне укрупнення фазового простору станів для стохастичної еволюційної системи. Розглянуто випадок, коли збурення системи визначаються імпульсним процесом у схемі пуассонової апроксимації. Граничний процес за таких умов має дві складові: детермінований зсув та пуассонову стрибкову частину. Double merging of phase space for the stochastic evolutionary system is carried out. The case is considered where the system’s perturbations are determined by the impulse process at the Poisson approximation scheme. The limiting process under such conditions has two components: deterministic shift and Poisson jump addition. 2019 Article Подвійне укрупнення фазового простору для диференціальних рівнянь зі стохастичними малими добавками в умовах пуассонової апроксимації / І.В. Самойленко, А.В. Нікітін // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 2. — С. 108-116. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/180853 519.21+62 uk Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Системний аналіз Системний аналіз
spellingShingle	Системний аналіз Системний аналіз Самойленко, І.В. Нікітін, А.В. Подвійне укрупнення фазового простору для диференціальних рівнянь зі стохастичними малими добавками в умовах пуассонової апроксимації Кибернетика и системный анализ
description	Проведено двойное укрупнение фазового пространства состояний для стохастической эволюционной системы. Рассмотрен случай, когда возмущения системы определяются импульсным процессом в схеме пуассоновой аппроксимации. Предельный процесс при таких условиях имеет две составляющие: детерминированный снос и пуассонову скачковую добавку.
format	Article
author	Самойленко, І.В. Нікітін, А.В.
author_facet	Самойленко, І.В. Нікітін, А.В.
author_sort	Самойленко, І.В.
title	Подвійне укрупнення фазового простору для диференціальних рівнянь зі стохастичними малими добавками в умовах пуассонової апроксимації
title_short	Подвійне укрупнення фазового простору для диференціальних рівнянь зі стохастичними малими добавками в умовах пуассонової апроксимації
title_full	Подвійне укрупнення фазового простору для диференціальних рівнянь зі стохастичними малими добавками в умовах пуассонової апроксимації
title_fullStr	Подвійне укрупнення фазового простору для диференціальних рівнянь зі стохастичними малими добавками в умовах пуассонової апроксимації
title_full_unstemmed	Подвійне укрупнення фазового простору для диференціальних рівнянь зі стохастичними малими добавками в умовах пуассонової апроксимації
title_sort	подвійне укрупнення фазового простору для диференціальних рівнянь зі стохастичними малими добавками в умовах пуассонової апроксимації
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2019
topic_facet	Системний аналіз
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/180853
citation_txt	Подвійне укрупнення фазового простору для диференціальних рівнянь зі стохастичними малими добавками в умовах пуассонової апроксимації / І.В. Самойленко, А.В. Нікітін // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 2. — С. 108-116. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT samojlenkoív podvíjneukrupnennâfazovogoprostorudlâdiferencíalʹnihrívnânʹzístohastičnimimalimidobavkamivumovahpuassonovoíaproksimacíí AT níkítínav podvíjneukrupnennâfazovogoprostorudlâdiferencíalʹnihrívnânʹzístohastičnimimalimidobavkamivumovahpuassonovoíaproksimacíí
first_indexed	2025-07-15T21:11:54Z
last_indexed	2025-07-15T21:11:54Z
_version_	1837748888142872576
fulltext	ÓÄÊ 519.21+62 ².Â. ÑÀÌÎÉËÅÍÊÎ, À.Â. Í²Ê²Ò²Í ÏÎÄÂ²ÉÍÅ ÓÊÐÓÏÍÅÍÍß ÔÀÇÎÂÎÃÎ ÏÐÎÑÒÎÐÓ ÄËß ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜÍÈÕ Ð²ÂÍßÍÜ Ç² ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÍÈÌÈ ÌÀËÈÌÈ ÄÎÁÀÂÊÀÌÈ Â ÓÌÎÂÀÕ ÏÓÀÑÑÎÍÎÂÎ¯ ÀÏÐÎÊÑÈÌÀÖ²¯ Àíîòàö³ÿ. Ïðîâåäåíî ïîäâ³éíå óêðóïíåííÿ ôàçîâîãî ïðîñòîðó ñòàí³â äëÿ ñòîõàñòè÷íî¿ åâîëþö³éíî¿ ñèñòåìè. Ðîçãëÿíóòî âèïàäîê, êîëè çáóðåííÿ ñèñ- òåìè âèçíà÷àþòüñÿ ³ìïóëüñíèì ïðîöåñîì ó ñõåì³ ïóàññîíîâî¿ àïðîêñèìàö³¿. Ãðàíè÷íèé ïðîöåñ çà òàêèõ óìîâ ìàº äâ³ ñêëàäîâ³: äåòåðì³íîâàíèé çñóâ òà ïóàññîíîâó ñòðèáêîâó ÷àñòèíó. Këþ÷îâ³ ñëîâà: ñòîõàñòè÷íà åâîëþö³éíà ñèñòåìà, ïîäâ³éíå óêðóïíåííÿ ôà- çîâîãî ïðîñòîðó, ñõåìà ïóàññîíîâî¿ àïðîêñèìàö³¿. ÂÑÒÓÏ Ó áàãàòüîõ âèïàäêàõ ï³ä ÷àñ àíàë³çó ñêëàäíèõ ñèñòåì âèíèêàþòü òðóäíîù³, ÿê³ ïîëÿãàþòü ó ñóòòºâîìó óñêëàäíåíí³ ôàçîâîãî ïðîñòîðó ñèñòåìè. Öå ÷àñòî ïðè- çâîäèòü äî ïðàêòè÷íî¿ íåìîæëèâîñò³ íàî÷íîãî ïðåäñòàâëåííÿ ìîäåë³. Àêòóàëüíà ïðîáëåìà ñó÷àñíî¿ òåîð³¿ ñèñòåì — öå ðîçâèòîê ìàòåìàòè÷íî îá´ðóíòîâàíèõ ìåòîä³â ïîáóäîâè ñïðîùåíèõ ìîäåëåé, àíàë³ç ÿêèõ íå âèêëèêàº çíà÷íèõ òðóäíîù³â ³ ïðè öüîìó ¿õí³ â³äïîâ³äí³ õàðàêòåðèñòèêè ìîæóòü áóòè ïðèéíÿò³ ÿê â³äïîâ³äí³ õàðàêòåðèñòèêè ðåàëüíèõ ìîäåëåé. ²äå¿ âèâ÷åííÿ âëàñòèâîñòåé ñêëàäíèõ ñèñòåì íà îñíîâ³ äîñë³äæåííÿ âëàñòèâîñòåé ¿õí³õ ÷àñòèí ç ïîäàëüøèì ïåðåõîäîì äî çàãàëüíî¿ ñèñòåìè º îñíîâîþ áàãàòüîõ ìå- òîä³â ñèñòåìíîãî àíàë³çó. Âïåðøå àëãîðèòì ôàçîâîãî óêðóïíåííÿ ñòàí³â ñèñòåìè çà- ïðîïîíóâàëè ³ îïèñàëè Â.Ñ. Êîðîëþê òà À.Ô. Òóðá³í ó ðîáîòàõ [1, 7]. Àíàë³ç óêðóïíå- íî¿ ñèñòåìè çíà÷íî ñïðîùóºòüñÿ, àëå ðàçîì ç òèì, ó âèïàäêó âäàëîãî ðîçùåïëåííÿ ôà- çîâîãî ïðîñòîðó, îñíîâí³ õàðàêòåðèñòèêè ñïðîùåíî¿ ñèñòåìè ìîæóòü äîñèòü òî÷íî â³äîáðàæàòè â³äïîâ³äí³ õàðàêòåðèñòèêè âèõ³äíî¿. Ñâîºþ ÷åðãîþ, áëèçüê³ñòü ðåàëüíî¿ òà óêðóïíåíî¿ ñèñòåì îçíà÷àº áëèçüê³ñòü ãëîáàëüíèõ õàðàêòåðèñòèê, ùî âèçíà÷àþòüñÿ íà çðîñòàþ÷èõ ³íòåðâàëàõ ÷àñó. Âàæëèâîþ âëàñòèâ³ñòþ àëãîðèòì³â ôàçîâîãî óêðóï- íåííÿ º ìîæëèâ³ñòü ïîáóäîâè ³ºðàðõ³¿ óêðóïíåíèõ ñèñòåì �, ��,S S � Âèïàäêîâà åâîëþö³ÿ ó âèãëÿä³ äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ ç³ ñòîõàñòè÷íèìè äîäàíêàìè âèêîðèñòîâóºòüñÿ äëÿ îïèñó øèðîêîãî êëàñó ïðèðîäíèõ ïðîöåñ³â ó áà- ãàòüîõ ãàëóçÿõ íàóêè. Âèíÿòêîâî âàæëèâèì âèïàäêîì º àíàë³ç ïîâåä³íêè ïîä³áíèõ åâîëþö³éíèõ ñèñòåì ó âèïàäêîâîìó ñåðåäîâèù³. Ö³ ñèñòåìè äîñë³äæåíî ó áàãàòüîõ ðîáîòàõ À.Â. Ñêîðîõîäà, Ì.É. Ã³õìàíà, Ì.Ì. Áîãîëþáîâà òà ³í. Äåòàëüíó á³áë³îãðàô³þ ç ö³º¿ ïðîáëåìàòèêè ìîæíà çíàéòè, ïðèì³ðîì, ó ìîíîãðàô³ÿõ Â.Ñ. Êî- ðîëþêà [2, 3, 4]. Îñîáëèâó óâàãó âàðòî çâåðíóòè íà ðîáîòè [5, 6, 8, 9], ó ÿêèõ çàïî- ÷àòêîâàíî ï³äõîäè, çàñòîñîâàí³ â ö³é ñòàòò³, çîêðåìà, äî âèâ÷åííÿ àñèìïòîòè÷íèõ âëàñòèâîñòåé åâîëþö³éíî¿ ñèñòåìè â óìîâàõ ïóàññîíîâî¿ àïðîêñèìàö³¿. Ó ö³é ðîáîò³ ïðîàíàë³çîâàíî âèïàäîê, êîëè çáóðåííÿ ñèñòåìè âèçíà÷àþòüñÿ ñòðèáêîïîä³áíèì ïðîöåñîì ó ñõåì³ ïóàññîíîâî¿ àïðîêñèìàö³¿. Íàñàìïåðåä, ðîç- ãëÿíóòî ïîäâ³éíå ôàçîâå óêðóïíåííÿ ïðîñòîðó ñòàí³â öèõ åâîëþö³éíèõ ìîäåëåé. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×² Ñòîõàñòè÷íó åâîëþö³éíó ñèñòåìó â åðãîäè÷íîìó ìàðêîâñüêîìó ñåðåäîâèù³ çà- äàþòü ñòîõàñòè÷íèì äèôåðåíö³àëüíèì ð³âíÿííÿì du t C u t x t dt d t� � �� ( ) ( ( ), ( / )) ( )� �2 , u t� ( ) �R, (1) 108 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 © ².Â. Ñàìîéëåíêî, À.Â. H³ê³ò³í, 2019 äå ìàðêîâñüêèé ïðîöåñ x t t( / ),�2 0� , âèçíà÷àºòüñÿ íà ñòàíäàðòíîìó ôàçîâîìó ïðîñòîð³ ( , )Å � ç ðîçùåïëåííÿì E Ek k N � �1 � , E Ek k� � �� , k k �, ó ñõåì³ ñåð³é ç ìàëèì ïàðàìåòðîì ñåð³¿ � 0, � � 0. Ìàðêîâñüêå ÿäðî ìàº âèãëÿä Q x B t P x B q x t� �( , , ) ( , )[ exp{ ( ) }]� � �1 , x E� , B � �, t � 0 . Íåõàé ïðè öüîìó âèêîíóþòüñÿ òàê³ óìîâè [2]. ÌÅ1. ßäðî, ùî îïèñóº ïåðåõ³äí³ ³ìîâ³ðíîñò³ âêëàäåíîãî ëàíöþãà Ìàðêîâà x nn � , � 0 , ìàº òàêå ïðåäñòàâëåííÿ: P x B P x B P x B� �( , ) ( , ) ( , )� � 1 . Ñòîõàñòè÷íå ÿäðî P x B( , ) íà ðîçùåïëåíîìó ôàçîâîìó ïðîñòîð³ âèçíà÷àºòüñÿ òàê: P x E x x E x Ek k k k ( , ) ( ) , , , . � � � � � � 1 1 0 Ñòîõàñòè÷íå ÿäðî P x B( , ) âèçíà÷àº ñóïðîâîäæóâàëüíèé ëàíöþã Ìàðêîâà x nn , � 0, íà êëàñàõ E k Nk , 1 � � . Êð³ì òîãî, çáóðþâàëüíå ÿäðî P x B1 ( , ) çàäîâîëüíÿº óìîâó P x E1 0( , ) � , ùî º ïðÿìèì íàñë³äêîì ð³âíîñò³ P x E P x E� ( , ) ( , )� �1. ÌÅ2. Àñîö³éîâàíèé ìàðêîâñüêèé ïðîöåñ x t t0 0( ), � , çàäàíèé ãåíåðàòîðîì Q x q x P x dy y x E � � �( ) ( ) ( , )[ ( ) ( )]� �� º ð³âíîì³ðíî åðãîäè÷íèì íà êîæíîìó ç êëàñ³â E k Nk , 1 � � , ç³ ñòàö³îíàðíèìè ðîçïîä³ëàìè � k dx k N( ), 1 � � , ÿê³ çàäîâîëüíÿþòü ñï³ââ³äíîøåííÿ: � �k k kdx q x q dx( ) ( ) ( )� , q dx q xk k Ek : ( ) ( )� � � , äå �( )dx — ñòàö³îíàðíèé ðîçïîä³ë âêëàäåíîãî ëàíöþãà Ìàðêîâà. ÌÅ3. Óñåðåäíåí³ éìîâ³ðíîñò³ âèõîäó � : ( ) ( ) ( , \ )p q x dx P x E Ek k k Ek � �� 1 0 , 1 � �k N . Òàêèì ÷èíîì, çáóðþâàëüíå ÿäðî P x B1 ( , ) âèçíà÷àº ïåðåõ³äí³ éìîâ³ðíîñò³ ì³æ êëàñàìè E k Nk , 1 � � . Îòæå, ð³âí³ñòü P x B P x B P x B� �( , ) ( , ) ( , )� � 1 îçíà÷àº, ùî âêëàäåíèé ëàíöþã Ìàðêîâà x nn � , � 0, ïåðåáóâàº ïðîòÿãîì òðèâàëîãî ïðîì³æêó ÷àñó â êîæíîìó ç êëàñ³â Ek òà ïåðåñòðèáóº ì³æ êëàñàìè ç ìàëèìè éìîâ³ðíîñòÿìè �P x E Ek1 ( , \ ) . Çà óìîâ ÌÅ1–ÌÅ3 ìàº ì³ñöå ñëàáêà çá³æí³ñòü [3] � �( ( )) � ( )x t x t� , � 0, �( ) � , ...,x k E N� � �1 , x E k Nk� � �, 1 . Ãðàíè÷íèé ìàðêîâñüêèé ïðîöåñ � ( ),x t t � 0 , íà óêðóïíåíîìó ôàçîâîìó ïðî- ñòîð³ � { , ..., }E N� 1 âèçíà÷àºòüñÿ ãåíåðóâàëüíîþ ìàòðèöåþ � ( � , , )Q q k r Nkr1 1� � � , ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 109 äå � � � , , � � ,q q p k r q q p k Nkr k kr k k k� � � �1 , � / �p p pkr kr k� , p dx P x E k r N k rkr k E r k � � � � � ( ) ( , ), , ,1 1 , � ( ) ( , )p dx P x Ek k k Ek � � � � 1 . ÌÅ4. Óêðóïíåíèé ìàðêîâñüêèé ïðîöåñ � ( ),x t t � 0, º åðãîäè÷íèì ç³ ñòàö³îíàðíèì ðîçïîä³ëîì � ( , � )� �� k k E . Òàêèì ÷èíîì, îïåðàòîð Q � ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿä³ Q Q Q� �� 1, Q x q x P x dy y x E ( ) ( ) ( , )[ ( ) ( )]� �� , Q x q x P x dy y E 1 1( ) ( ) ( , ) ( )� � � . Íåõàé � — ïðîåêòîð íà íóëü-ï³äïðîñò³ð çâåäåíî-îáîðîòíîãî îïåðàòîðà Q. Éîãî ä³ÿ íà òåñò-ôóíêö³¿ âèçíà÷àºòüñÿ òàê: �� ( ) � ( )x xk k k N � � � 1 1 , � : ( ) ( )� � �k k E dx dx k � � . Çâåäåíèé îïåðàòîð �Q1 âèçíà÷èìî çà äîïîìîãîþ ñï³ââ³äíîøåííÿ �Q Q1 1� � �� . Íåõàé �� — ïðîåêòîð íà íóëü-ï³äïðîñò³ð çâåäåíî-îáîðîòíîãî îïåðàòîðà �Q1: � � : ( ) � � � �� q x k k k E . Ïîòåíö³àëüíà ìàòðèöÿ � [ � ; , ]R R k l N kl0 0 1� � � âèçíà÷àºòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿìè � � � � �Q R R Q I1 0 0 1� � �� . ²ÌÏÓËÜÑÍÈÉ ÏÐÎÖÅÑ ÇÁÓÐÅÍÜ ²ìïóëüñíèé ïðîöåñ çáóðåíü (²ÏÇ) � � ( ),t t � 0, ó ñõåì³ ïóàññîíîâî¿ àïðîêñèìàö³¿ çàäàºòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿì � � �� ( ) ( , ( / ))t ds x s t � � 2 0 ; (2) äå ñóêóïí³ñòü ïðîöåñ³â ç íåçàëåæíèìè ïðèðîñòàìè � � ( , ), ,t x t x X� �0 , âèçíà- ÷àºòüñÿ ãåíåðàòîðàìè Ã� �� ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( , ),x w w w d x x X R � � � �� 1 � , (3) ³ çàäîâîëüíÿº òàê³ óìîâè ïóàññîíîâî¿ àïðîêñèìàö³¿ [2, 8, 9]. Ð1. Àïðîêñèìàö³ÿ ñåðåäí³õ: � � � �� ( , ) ( ( ) ( )),d x a x x R a� � � � �a x( ) , , 0 0 110 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 òà � � � ��2� ( , ) ( ( ) ( )),d x b x x R b� � � � �b x( ) , . 0 0 Ð2. Óìîâà íà ôóíêö³þ ðîçïîä³ëó: g d x x x R g g( ) ( , ) ( ( ) ( )),� � � �� g x( ) , 0 0, äëÿ âñ³õ g C R( ) ( )� � 2 . Òóò ì³ðà �g x( ) îáìåæåíà äëÿ âñ³õ g C R( ) ( )� � 2 òà âèç- íà÷àºòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿì � �g R x g d x( ) ( ) ( , ),� � � �0 g C R( ) ( )� � 2 . Ð3. Ð³âíîì³ðíà êâàäðàòè÷íà ³íòåãðîâí³ñòü: sup lim ( , ) \| \| \| c c d x � � � �� 2 0 0� . Ð4. Â³äñóòí³ñòü äèôóç³éíî¿ ñêëàäîâî¿: b x d x R ( ) ( , )� � � �2 0� . Ââåäåìî ïîçíà÷åííÿ � �1 0( ) ( ) ( ) ' ( ) [ ( ) ( ) ' ( )] ( , )x w a x w w w d x R � � � � � � �� . Ðîçãëÿíåìî àñèìïòîòè÷í³ âëàñòèâîñò³ ïðîöåñó çáóðåííÿ. Òåîðåìà 1. Çà âèêîíàííÿ óìîâ Ð1–Ð4 äëÿ ²ÏÇ (2) ñïðàâäæóºòüñÿ ñëàáêà çá³æí³ñòü ó ñåíñ³ çá³æíîñò³ â³äïîâ³äíèõ ãåíåðàòîð³â � �� ( ) ( )t t 0 , � 0 . Ãðàíè÷íèé ïðîöåñ � 0 ( )t âèçíà÷àºòüñÿ ãåíåðàòîðîì �� ( ) � � ( ) ( ) �� ' ( ) [ ( ) ( ) ' ( )]� �� w x w a w w w w� � � � � �1 �� ( )�0 d R �� , äå �� ( ) ( ), � a dx a xk k Ek E k � �� ( ) � ( ) ( , ) � � � �0 0� � � �� k k E Ek dx x , ³ º ïðîöåñîì ç íåçà- ëåæíèìè ïðèðîñòàìè, ÿêèé ìàº äåòåðì³íîâàíèé çñóâ òà ïóàññîíîâó ñòðèáêîâó ÷àñòèíó. Äîâåäåííÿ òåîðåìè 1. Ëåìà 1. Ãåíåðàòîðè ïðîöåñ³â ç íåçàëåæíèìè ïðèðîñòàìè � � ( , )t x , t � 0, x X� , íà òåñò-ôóíêö³ÿõ �( ) ( )w C R� 2 çà óìîâ Ð1–Ð4 äîïóñêàþòü àñèìïòîòè÷íå ïðåäñòàâëåííÿ Ã� �� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x w x w x w� ��1 , (4) äå � �1 0( ) ( ) ( ) ' ( ) [ ( ) ( ) ' ( )] ( , )x w a x w w w d x R � � � � � � �� , à çàëèøêîâèé ÷ëåí \|\| ( ) ( ) \|\| �� x w 0 äëÿ � 0, �( , ) ( )w C R� � 2 . Äîâåäåííÿ. Âèêîðèñòîâóþ÷è ðîçêëàä ôóíêö³¿ �1 ( ) ( )x w� ó ðÿä Òåéëîðà, çä³éñíèìî ïåðåòâîðåííÿ ãåíåðàòîðà (3): ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 111 Ã� �� ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( , )x w w w d x R � � � �� 1 � � � � � � � �� 1 21 2 ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( , )w w w w d x R � � � � �� 1 1 2 2 ( ) ( , ) ( ) ( , )w d x w d x R R � � � � � � � � �� ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( , )� � � �� w w w w d x R 1 2 2 0� � � � �� a x w b x w x w( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � ��1 2 � � � � � �� ( ( ) ( ) ' ( )) ( , ) ( ) ' ( ) ( ) (� � � �� w w w d x a x w w w R �0 ) , äå ïåðåäîñòàííÿ ð³âí³ñòü âèïëèâàº ç óìîâ P1–P3 (çàóâàæèìî, ùî ôóíêö³ÿ � �( )w � � �( )w � � � �� ( ) ( ) ( )w w Ñ 1 2 2 2 R , îñê³ëüêè º îáìåæåíîþ íà ï³äñòàâ³ îáìåæåíîñò³ �( )w ðàçîì ç ¿¿ ïîõ³äíèìè, ³ [ ( )� �w � � � ��( ) ( )w w� � � � �� 1 2 0 02 2� � � �( )] / \| \| , \| \|w ). Ïàì’ÿòàþ÷è, ùî � � �� ( ) ( ) ( ), ( ) ( )w w O w C� �2 2 R , îòðèìàºìî ïðåäñòàâëåí- íÿ (4). Ëåìà 2. Ãåíåðàòîð äâîêîìïîíåíòíîãî ìàðêîâñüêîãî ïðîöåñó ( , ( / )),� �� x t t2 0� , ìàº âèãëÿä � ( ) ( , , ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) (� �� x u w x Q u w x x u w x x� � ��2 1 u w x, , ) , (5) äå îïåðàòîð �1 ( )x âèçíà÷åíî ó ëåì³ 1, à çàëèøêîâèé ÷ëåí \|\| ( ) ( , , ) \|\| �� x u w x 0 äëÿ � � � �0 2, ( , , ) ( )u w C R . Äîâåäåííÿ. Ïðåäñòàâëåííÿ ãåíåðàòîðà (5) îòðèìàºìî, ÿêùî âèêîðèñòàòè îçíà÷åííÿ ãåíåðàòîðà ìàðêîâñüêîãî ïðîöåñó òà âèãëÿä â³äïîâ³äíèõ ãåíåðàòîð³â ïðîöåñ³â � � ( , )t x ³ x t( / )�2 . Çð³çàíèé îïåðàòîð ìàº òàêó ñòðóêòóðó [6]: L� �� ( , , ) ( , , ) ( ) ( , , )u w x Q u w x x u w x� ��2 1� (6) Ëåìà 3. Ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ ñèíãóëÿðíîãî çáóðåííÿ äëÿ çð³çàíîãî îïåðàòîðà (6) íà òåñò-ôóíêö³ÿõ � � �� ( , , ) ( , ) ( , , ) ( , , )u w x u w u w x u w x� � �1 2 2 ðåàë³çóºòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿì �0 � � � �� ( ) ( , ) �� ( ) ( ) ( )x u x L u x u� � , (7) äå çàëèøêîâèé ÷ëåí º ð³âíîì³ðíî îáìåæåíèì ïî õ. Ãðàíè÷íèé îïåðàòîð ��L ç (7) âèçíà÷àºòüñÿ ôîðìóëîþ �� L � �� 1 , (8) 112 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 Äîâåäåííÿ. Îá÷èñëèìî ( )( )� � � �� 2 1 1 1 1 2 2Q Q � � � � � � � �� 2 1 1 1 2 1 1 1Q Q Q Q Q( ) ( ) ( )� . Çâ³äñè îòðèìóºìî òðè ñï³ââ³äíîøåííÿ: Q w�( ) � 0, (9) Q Q� �1 1 0� � , (10) Q Q L� � � �2 1 1 1� � �� . (11) Âñòàíîâèìî, ÿêèé âèãëÿä ìàº ��L. Ç (9) âèïëèâàº, ùî � � NQ . Îñê³ëüêè � � NQ , ³ç ñï³ââ³äíîøåííÿ (10) òà óìîâè ðîçâ’ÿçíîñò³ ìàòèìåìî � �Q1 0� � . Óâåäåìî ïîçíà÷åííÿ �Q Q1 1� � , �� . Òîä³ � �Q1 0� � , çâ³äêè � �� NQ1 . Ïåðåéäåìî äî (11) ³ ç óìîâè ðîçâ’ÿçíîñò³ äëÿ Q îòðèìàºìî � � �� Q L1 1 1� � �� . (12) Òîä³ ìàòèìåìî � � � � �� Q L1 1 1� � �� . Ñâîºþ ÷åðãîþ, ç óìîâè ðîçâ’ÿçíîñò³ äëÿ ��2 ³ ôîðìóëè (12) � � � � �� 1 � �� L , çâ³äêè ìàºìî ïðåäñòàâëåííÿ (8) �� L � �� 1 , à òàêîæ � � [ � �� ]�� 1 0 1� �R L� , � ( �� )� � � �2 0 1 1 1� � �R Q L� . Îáìåæåí³ñòü � � �� ( ) ( )x âèïëèâàº ç âèãëÿäó îïåðàòîð³â �1 òà R0 . Äîâåäåííÿ òåîðåìè çàâåðøóþòü ç âèêîðèñòàííÿì ëåìè 3 ³ òåîðåìè 4.2 ³ç [3]. ÏÎÂÅÄ²ÍÊÀ ÄÈÍÀÌ²×ÍÎ¯ ÑÈÑÒÅÌÈ Ðîçãëÿíåìî àñèìïòîòè÷í³ âëàñòèâîñò³ âèõ³äíî¿ åâîëþö³éíî¿ ñèñòåìè (1). Òåîðåìà 2. Çà âèêîíàííÿ óìîâ Ð1–Ð4 ñïðàâåäëèâà ñëàáêà çá³æí³ñòü ( ( ), ( )) ( �� ( ), ( ))u t t u t t� �� 0 , � 0 . Ãðàíè÷íèé ïðîöåñ ( �� ( ), ( ))u t t� 0 âèçíà÷àºòüñÿ ãåíåðàòîðîì L � � �( , ) �� ( ) ( , ) �� ( , )u w C u u w wu w� � � �� , (13) ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 113 äå �� ( ) ( ) � ( ) ( , ) � � C u x dx C u xk k E Ek � � � � ��C � � , à ãåíåðàòîð �� w âèçíà÷åíèé ó òåîðåì³ 1, àëå ä³º çà çì³ííîþ w. Çàóâàæåííÿ 1. Ñëàáêà çá³æí³ñòü ïðîöåñ³â u t u t� ( ) �� ( )� , � 0, áóäå âèïëèâà- òè ç³ çá³æíîñò³ â³äïîâ³äíèõ ãåíåðàòîð³â çà óìîâè êîìïàêòíîñò³ äîãðàíè÷íî¿ ñóêóï- íîñò³ ïðîöåñ³â u t� ( ). Â³äïîâ³äí³ òåîðåìè ïðî êîìïàêòí³ñòü ïðîöåñ³â ç íåçàëåæíèìè ïðèðîñòàìè â ñõåì³ ïóàññîíîâî¿ àïðîêñèìàö³¿ áóëî äîâåäåíî, çîêðåìà, â [4]. Äîâåäåííÿ òåîðåìè 2. Ëåìà 4. Ãåíåðàòîð òðèêîìïîíåíòíîãî ìàðêîâñüêîãî ïðîöåñó ( ( ), ( , ),u t x t� �� x t t� �( / )),2 0� , ìàº ïðåäñòàâëåííÿ L� � � �� ( ) ( , , ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( )x u w x Q u w x x u x xu w� � �� 2 � � �( , , )� w x � �C( ) ( , , ) ( , , )x u w x u w x� � �� , (14) äå �� ( )x — ãåíåðàòîð ñóêóïíîñò³ ²ÏÇ (3), C( ) ( , , ) ( , ) ( , , )x u w x C u x u w xu� �� . Çàëèøêîâèé ÷ëåí \|\| ( ) ( , ) \|\|� �� x w x 0 äëÿ � 0. Äîâåäåííÿ ëåìè ³ âèãëÿä ãåíåðàòîðà (14) ìîæíà çíàéòè â [7]. Ëåìà 5. Ãåíåðàòîð L� ( )x ó âèïàäêó ³ìïóëüñíîãî ïðîöåñó çáóðåíü äîïóñêàº àñèìïòîòè÷íå ïðåäñòàâëåííÿ L� �� ( ) ( , , ) ( , , ) ( ) ( , , )x u w x Q u w x x u w xu� � ��2 1� (15) � � ��1 w wx u w x x u w x u w x( ) ( , , ) ( ) ( , , ) � ( , , )� � � ��C , äå � ( ) ( )� �� w wx x� � , �1 �( )x âèçíà÷åíî ó ëåì³ 1. Çàëèøêîâèé ÷ëåí \|\| � ( ) ( , ) \|\|� �� w x w x 0, ÿêùî � 0. Âèêîðèñòîâóþ÷è ïðåäñòàâëåííÿ îïåðàòîðà (4) òà ðåçóëüòàòè ëåìè 4, îòðè- ìàºìî ñï³ââ³äíîøåííÿ (15). Çð³çàíèé îïåðàòîð ìàº âèãëÿä L Ñ0 2 1 � �� ( ) ( ) ( )x Q x xw� � �� . (16) Ëåìà 6. Ðîçâ’ÿçàííÿ ïðîáëåìè ñèíãóëÿðíîãî çáóðåííÿ äëÿ çð³çàíîãî îïåðà- òîðà (16) íà òåñò-ôóíêö³ÿõ � � �� ( , ) ( ) ( , ) ( , )w x w w x w x� � �1 2 2 çä³éñíþºòüñÿ ç³ ñï³ââ³äíîøåííÿ L L0 3� � � �� ( ) ( , ) ( ) ( ) ( )x w x w x w� � , (17) äå çàëèøêîâèé ÷ëåí �� ( )x º ð³âíîì³ðíî îáìåæåíèì ïî x. Ãðàíè÷íèé îïåðàòîð L çàäàºòüñÿ ôîðìóëîþ L Ñ� �� 1 w. (18) 114 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 Äîâåäåííÿ. Äëÿ âèêîíàííÿ ð³âíîñò³ (17) íåîáõ³äíî, ùîá êîåô³ö³ºíòè ïðè îäíàêîâèõ ñòåïåíÿõ � çë³âà òà ñïðàâà áóëè îäíàêîâèìè. Ç ö³ºþ ìåòîþ îá÷èñëèìî ( )( )� � � �� 2 1 1 1 1 2 2Q Q w� Ñ � � � � � � � �� 2 1 1 1 2 1 1 1Q Q Q Q Q w( ) ( ) ( )� Ñ . Çíîâó îòðèìàºìî òðè ñï³ââ³äíîøåííÿ: Q� � 0 , (19) Q Q� �1 1 0� � , (20) Q Q Lw� � � �2 1 1 1� � �� . (21) Âñòàíîâèìî âèãëÿä ��L. Ç (19) âèïëèâàº, ùî � � NQ . Îñê³ëüêè � � NQ , ³ç (20) ³ óìîâè ðîçâ’ÿçíîñò³ ìàòèìåìî � �Q1 0� � . Óâåäåìî ïîçíà÷åííÿ �Q Q1 1� � , �� . Òîä³ � �Q1 0� � , çâ³äêè � �� NQ1 . Ðîçãëÿíåìî (21). Ç óìîâè ðîçâ’ÿçíîñò³ äëÿ Q ìàòèìåìî � � �� Q Lw 1 1 1� � � �� Ñ �� , (22) çâ³äêè � � � � � � �� Q Lw 1 1 1� � � �� Ñ . Ñâîºþ ÷åðãîþ, ç óìîâè ðîçâ’ÿçíîñò³ äëÿ ��2 ìàºìî � � � � � � � � �� Ñ � � �� 1 w L , çâ³äêè âèò³êàº ïðåäñòàâëåííÿ (18) �� L w� �� Ñ 1 , � � [ �� ] �� 1 0 1� � �R L w� Ñ , � ( �� )� � � � �2 0 1 1 1� � � �R L Q w� Ñ . Îáìåæåí³ñòü � � �� ( ) ( )x âèïëèâàº ç âèãëÿäó îïåðàòîð³â �1 òà R0 . Çàâåðøåííÿ äîâåäåííÿ òåîðåìè òà îòðèìàííÿ âèãëÿäó ãåíåðàòîðà (13) çä³éñíþºòüñÿ ç âèêîðèñòàííÿì ëåìè 3 ³ òåîðåìè 6.3 ç [3]. ÂÈÑÍÎÂÊÈ Óêðóïíåííÿ ôàçîâîãî ïðîñòîðó ñòàí³â åâîëþö³éíî¿ ñèñòåìè çä³éñíåíî ó äâà åòàïè. Íà ïåðøîìó óêðóïíåíî êîæíó ç ï³äìíîæèí ñòàí³â, ó ÿêèõ ìàðêîâñüêèé ïðîöåñ ïåðåáóâàº ïðîòÿãîì âåëèêîãî ³íòåðâàëó ÷àñó, çà â³äïîâ³äíîþ ñòàö³îíàð- íîþ ì³ðîþ, ³ òàêèì ÷èíîì, ¿õ çâåäåíî äî ð³âíÿ îäíîãî ñòàíó. Íà äðóãîìó åòàï³ âèêîíàíî óñåðåäíåííÿ çà ñòàö³îíàðíîþ ì³ðîþ ð³äê³ñíèõ ñòðèáê³â ì³æ îò- ðèìàíèìè óêðóïíåíèìè ï³äìíîæèíàìè ìàðêîâñüêîãî ïðîöåñó. Öå äàº çìîãó ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 115 îòðèìàòè ãðàíè÷í³ ãåíåðàòîðè äëÿ óêðóïíåíèõ ñèñòåì, ùî óçàãàëüíþþòü ìî- äåë³ ç ð³âíîïðàâíèì íàáîðîì ñòàí³â ïåðåìèêàëüíîãî ïðîöåñó, òà äîñë³äèòè óìîâè ¿õíüî¿ àñèìïòîòè÷íî¿ ïîâåä³íêè. ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ 1. Êîðîëþê Â.Ñ., Òóðá³í À.Ô. Ïîëóìàðêîâñêèå ïðîöåññû è èõ ïðèëîæåíèÿ. Êè¿â: Íàóê. äóìêà, 1976. 184 ñ. 2. Korolyuk V.S., Korolyuk V.V. Stochastic models of systems. Dordrecht: Kluwer. 1999. 185 ñ. 3. Korolyuk V.S., Limnios N. Stochastic systems in merging phase space. Singapore: World Scientific, 2005. 330 ñ. 4. Korolyuk V.S., Limnios N., Samoilenko I.V. L�vy and Poisson approximations of switched stochastic systems by a semimartingale approach. Comptes Rendus Math�matique. 2016. Vol. 354, Iss. 7. P. 723–728. 5. Samoilenko I.V., Nikitin A.V. Differential equations with small stochastic terms under the L�vy approximation conditions. Ukrainian Mathematical Journal. 2018. Vol. 69, N 9, P. 1445–1454. 6. Samoilenko A.M., Stanzhytskyi O.M. Qualitative and asymptotic analysis of differential equations with random perturbations. Singapore: World Scientific, 2011. 323 p. 7. Êîðîëþê Â.Ñ., Òóðáèí À.Ô. Ïðîöåññû ìàðêîâñêîãî âîññòàíîâëåíèÿ â çàäà÷àõ íàäåæíîñòè ñèñòåì. Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1982. 236 c. 8. Samoilenko I.V., Chabanyuk Y.M., Nikitin A.V., Khimka U.T. Differential equations with small stochastic additions under Poisson approximation conditions. Cybernetics and Systems Analysis. 2017. Vol. 53, N 3. P. 410–416. 9. Samoilenko I.V., Chabanyuk Y.M., Nikitin A.V. Asymptotic dissipativity of random processes with impulse perturbation in the Poisson approximation scheme. Cybernetics and Systems Analysis. 2018. Vol. 54, N 2. P. 205–211. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 14.03.2018 È.Â. Ñàìîéëåíêî, A.Â. Íèêèòèí ÄÂÎÉÍÎÅ ÓÊÐÓÏÍÅÍÈÅ ÔÀÇÎÂÎÃÎ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ ÄËß ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÑÎ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈ ÌÀËÛÌÈ ÄÎÁÀÂÊÀÌÈ Â ÓÑËÎÂÈßÕ ÏÓÀÑÑÎÍÎÂÎÉ ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈÈ Àííîòàöèÿ. Ïðîâåäåíî äâîéíîå óêðóïíåíèå ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿ- íèé äëÿ ñòîõàñòè÷åñêîé ýâîëþöèîííîé ñèñòåìû. Ðàññìîòðåí ñëó÷àé, êîãäà âîçìóùåíèÿ ñèñòåìû îïðåäåëÿþòñÿ èìïóëüñíûì ïðîöåññîì â ñõåìå ïóàññî- íîâîé àïïðîêñèìàöèè. Ïðåäåëüíûé ïðîöåññ ïðè òàêèõ óñëîâèÿõ èìååò äâå ñîñòàâëÿþùèå: äåòåðìèíèðîâàííûé ñíîñ è ïóàññîíîâó ñêà÷êîâóþ äîáàâêó. Këþ÷åâûå ñëîâà: ñòîõàñòè÷åñêàÿ ýâîëþöèîííàÿ ñèñòåìà, äâîéíîå óêðóïíå- íèå ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, ñõåìà ïóàññîíîâîé àïïðîêñèìàöèè. I.V. Samoilenko, A.V. Nikitin DOUBLE MERGING OF THE PHASE SPACE FOR STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH SMALL ADDITIONS IN POISSON APPROXIMATING CONDITIONS Abstract. Double merging of phase space for the stochastic evolutionary system is carried out. The case is considered where the system’s perturbations are determined by the impulse process at the Poisson approximation scheme. The limiting process under such conditions has two components: deterministic shift and Poisson jump addition. Keywords: stochastic evolutionary system, double merging of phase space, Poisson approximation scheme. Ñàìîéëåíêî ²ãîð Âàëåð³éîâè÷, äîêòîð ô³ç.-ìàò. íàóê, äîöåíò, äîöåíò êàôåäðè Êè¿âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Òàðàñà Øåâ÷åíêà, e-mail: isamoil@i.ua Í³ê³ò³í Àíàòîë³é Âîëîäèìèðîâè÷, êàíäèäàò ô³ç.-ìàò. íàóê, äîöåíò, çàâ³äóâà÷ íàóêîâî-äîñë³äíî¿ ëàáîðàòîð³¿ Êè¿âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Òàðàñà Øåâ÷åíêà, e-mail: nikitin2505@gmail.com 116 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2

Подвійне укрупнення фазового простору для диференціальних рівнянь зі стохастичними малими добавками в умовах пуассонової апроксимації

Репозитарії

Схожі ресурси