Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса над простым полем. I. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса с j-инвариантами, равными нулю и 12³
Дан анализ условий существования суперсингулярных скрученных кривых Эдвардса над простым полем. Cформулированы и доказаны теоремы об условиях существования суперсингулярных кривых с j-инвариантами, равными нулю и 12³, в разных классах кривых. На основании этих результатов получены конкретные парамет...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2019
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/180863 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса над простым полем. I. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса с j-инвариантами, равными нулю и 12³ / А.В. Бессалов, Л.В. Ковальчук // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 56, № 3. — С. 3-10. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-180863 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1808632021-10-24T01:25:58Z Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса над простым полем. I. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса с j-инвариантами, равными нулю и 12³ Бессалов, А.В. Ковальчук, Л.В. Кібернетика Дан анализ условий существования суперсингулярных скрученных кривых Эдвардса над простым полем. Cформулированы и доказаны теоремы об условиях существования суперсингулярных кривых с j-инвариантами, равными нулю и 12³, в разных классах кривых. На основании этих результатов получены конкретные параметры для некоторых суперсингулярных кривых. Приведено обобщение полученных ранее результатов, использующее изоморфизм кривых в формах Вейерштрасса и Эдвардса. Проаналізовано умови існування суперсингулярних скручених кривих Едвардса над простим полем. Cформульовано та доведено теореми про умови існування суперсингулярних кривих з j-інваріантами, які дорівнюють нулю та 12³, в різних класах кривих. На основі цих результатів отримано конкретні параметри для деяких суперсингулярних кривих. Наведено узагальнення отриманих раніше результатів, що використовує ізоморфізм кривих у формах Вейєрштраса та Едвардса. The analysis is given of the conditions of the existence of supersingular twisted Edwards curves over prime fields. Theorems are formulated and proved about these conditions for supersingular twisted Edwards curves with j-invariants 0 and 12³, for different classes of curves. Parameters for some supersingular curves are obtained using these results. Generalization of some previously obtained results is given, using isomorphism of curves in Weierstrass form and Edwards form. 2019 Article Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса над простым полем. I. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса с j-инвариантами, равными нулю и 12³ / А.В. Бессалов, Л.В. Ковальчук // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 56, № 3. — С. 3-10. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/180863 621.391.15 : 519.7 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Кібернетика Кібернетика |
| spellingShingle |
Кібернетика Кібернетика Бессалов, А.В. Ковальчук, Л.В. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса над простым полем. I. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса с j-инвариантами, равными нулю и 12³ Кибернетика и системный анализ |
| description |
Дан анализ условий существования суперсингулярных скрученных кривых Эдвардса над простым полем. Cформулированы и доказаны теоремы об условиях существования суперсингулярных кривых с j-инвариантами, равными нулю и 12³, в разных классах кривых. На основании этих результатов получены конкретные параметры для некоторых суперсингулярных кривых. Приведено обобщение полученных ранее результатов, использующее изоморфизм кривых в формах Вейерштрасса и Эдвардса. |
| format |
Article |
| author |
Бессалов, А.В. Ковальчук, Л.В. |
| author_facet |
Бессалов, А.В. Ковальчук, Л.В. |
| author_sort |
Бессалов, А.В. |
| title |
Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса над простым полем. I. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса с j-инвариантами, равными нулю и 12³ |
| title_short |
Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса над простым полем. I. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса с j-инвариантами, равными нулю и 12³ |
| title_full |
Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса над простым полем. I. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса с j-инвариантами, равными нулю и 12³ |
| title_fullStr |
Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса над простым полем. I. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса с j-инвариантами, равными нулю и 12³ |
| title_full_unstemmed |
Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса над простым полем. I. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса с j-инвариантами, равными нулю и 12³ |
| title_sort |
суперсингулярные скрученные кривые эдвардса над простым полем. i. суперсингулярные скрученные кривые эдвардса с j-инвариантами, равными нулю и 12³ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2019 |
| topic_facet |
Кібернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/180863 |
| citation_txt |
Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса над простым полем. I. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса с j-инвариантами, равными нулю и 12³ / А.В. Бессалов, Л.В. Ковальчук // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 56, № 3. — С. 3-10. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT bessalovav supersingulârnyeskručennyekrivyeédvardsanadprostympolemisupersingulârnyeskručennyekrivyeédvardsasjinvariantamiravnyminulûi123 AT kovalʹčuklv supersingulârnyeskručennyekrivyeédvardsanadprostympolemisupersingulârnyeskručennyekrivyeédvardsasjinvariantamiravnyminulûi123 |
| first_indexed |
2025-07-15T21:12:34Z |
| last_indexed |
2025-07-15T21:12:34Z |
| _version_ |
1837748932029972480 |
| fulltext |
À.Â. ÁÅÑÑÀËÎÂ, Ë.Â. ÊÎÂÀËÜ×ÓÊ
ÓÄÊ 621.391.15 : 519.7 ÑÓÏÅÐÑÈÍÃÓËßÐÍÛÅ ÑÊÐÓ×ÅÍÍÛÅ ÊÐÈÂÛÅ
ÝÄÂÀÐÄÑÀ ÍÀÄ ÏÐÎÑÒÛÌ ÏÎËÅÌ.
I. ÑÓÏÅÐÑÈÍÃÓËßÐÍÛÅ ÑÊÐÓ×ÅÍÍÛÅ ÊÐÈÂÛÅ
ÝÄÂÀÐÄÑÀ Ñ j-ÈÍÂÀÐÈÀÍÒÀÌÈ, ÐÀÂÍÛÌÈ
ÍÓËÞ È 123
Àííîòàöèÿ. Äàí àíàëèç óñëîâèé ñóùåñòâîâàíèÿ ñóïåðñèíãóëÿðíûõ ñêðó÷åí-
íûõ êðèâûõ Ýäâàðäñà íàä ïðîñòûì ïîëåì. Côîðìóëèðîâàíû è äîêàçàíû òå-
îðåìû îá óñëîâèÿõ ñóùåñòâîâàíèÿ ñóïåðñèíãóëÿðíûõ êðèâûõ ñ j-èíâàðèàí-
òàìè, ðàâíûìè íóëþ è 123, â ðàçíûõ êëàññàõ êðèâûõ. Íà îñíîâàíèè ýòèõ
ðåçóëüòàòîâ ïîëó÷åíû êîíêðåòíûå ïàðàìåòðû äëÿ íåêîòîðûõ ñóïåðñèíãó-
ëÿðíûõ êðèâûõ. Ïðèâåäåíî îáîáùåíèå ïîëó÷åííûõ ðàíåå ðåçóëüòàòîâ, èñ-
ïîëüçóþùåå èçîìîðôèçì êðèâûõ â ôîðìàõ Âåéåðøòðàññà è Ýäâàðäñà.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñóïåðñèíãóëÿðíàÿ êðèâàÿ, ïîëíàÿ êðèâàÿ Ýäâàðäñà, ñêðó-
÷åííàÿ êðèâàÿ Ýäâàðäñà, êâàäðàòè÷íàÿ êðèâàÿ Ýäâàðäñà, ïàðà êðó÷åíèÿ, ïîðÿ-
äîê òî÷êè, ñèìâîë Ëåæàíäðà, êâàäðàòè÷íûé âû÷åò, êâàäðàòè÷íûé íåâû÷åò.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûå â ôîðìå Ýäâàðäñà íàä ïðîñòûì ïîëåì íàèáîëåå ïåð-
ñïåêòèâíû äëÿ ñîâðåìåííûõ êðèïòîñèñòåì. Ïðîèçâîäèòåëüíîñòü îïåðàöèè ýêñ-
ïîíåíöèðîâàíèÿ òî÷êè òàêîé êðèâîé â ñðåäíåì áîëåå ÷åì â 1.5 ðàçà âûøå,
÷åì äëÿ êðèâîé â ôîðìå Âåéåðøòðàññà [1]. Ïðîãðàììèðîâàíèå àðèôìåòèêè
ýòèõ êðèâûõ ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ â ñâÿçè ñ òåì, ÷òî íåéòðàëüíûé ýëåìåíò
ýòîé ãðóïïû ÿâëÿåòñÿ àôôèííîé òî÷êîé O � ( , )1 0 . Óíèâåðñàëüíîñòü çàêîíà ñëî-
æåíèÿ òî÷åê äåëàåò èõ áîëåå áåçîïàñíûìè ê àòàêàì îòâîäíîãî êàíàëà [2].
Ñóïåðñèíãóëÿðíûå ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûå, èíòåðåñ ê êîòîðûì îñëàá â 90-å
ãîäû â ñâÿçè ñ óÿçâèìîñòüþ ê MOV-àòàêå èçîìîðôèçìà [3], â íà÷àëå íûíåøíåãî
ñòîëåòèÿ ñòàëè îñíîâîé êðèïòîãðàôèè íà ñïàðèâàíèè òî÷åê ýëëèïòè÷åñêîé êðè-
âîé [4]. Êðîìå òîãî, èçîãåíèè òàêèõ êðèâûõ ìîãóò áûòü ïåðñïåêòèâíû äëÿ çàäà÷
ïîñòêâàíòîâîé êðèïòîãðàôèè [5–7]. Òåõíîëîãè÷åñêèå ïðåèìóùåñòâà êðèâûõ
â ôîðìå Ýäâàðäñà äåëàþò àêòóàëüíîé çàäà÷ó èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ ñóïåðñèíãó-
ëÿðíûõ êðèâûõ ýòîãî òèïà.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðîâåäåí àíàëèç ñâîéñòâ ñóïåðñèíãóëÿðíûõ êðèâûõ
â îáîáùåííîé ôîðìå Ýäâàðäñà [1] íàä ïðîñòûì ïîëåì. Ñòàòüÿ ñîñòîèò èç òðåõ
ðàçäåëîâ.  ðàçä. 1 ââîäÿòñÿ îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ, à òàêæå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëå-
íèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ íîâîé êëàññèôèêàöèåé êðèâûõ Ýäâàðäñà [1]. Â ðàçä. 2 è 3
äîêàçàíû òåîðåìû îá óñëîâèÿõ ñóùåñòâîâàíèÿ ñóïåðñèíãóëÿðíûõ êðèâûõ
Ýäâàðäñà ñ j-èíâàðèàíòàìè, ðàâíûìè íóëþ è 123 .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3 3
© À.Â. Áåññàëîâ, Ë.Â. Êîâàëü÷óê, 2019
1. ÊÐÈÂÛÅ Â ÎÁÎÁÙÅÍÍÎÉ ÔÎÐÌÅ ÝÄÂÀÐÄÑÀ È ÑÓÏÅÐÑÈÍÃÓËßÐÍÛÅ ÊÐÈÂÛÅ
 ðàáîòå [8] ñêðó÷åííûå êðèâûå Ýäâàðäñà (twisted Edwards curves) îïðåäåëåíû
êàê îáîáùåíèå êðèâûõ Ýäâàðäñà x y dx y2 2 2 21� � � [2] ïóòåì ââîäà íîâîãî
ïàðàìåòðà a â óðàâíåíèå:
Ea d, : ax y dx y2 2 2 21� � � , a d Fp, *� , d �1 , a d� , p � 2.
Íàðÿäó ñ ââîäîì ïàðàìåòðà a â [8] áûëè ñíÿòû îãðàíè÷åíèÿ íà ïàðàìåòð d,
äîïóñêàÿ ëþáûå çíà÷åíèÿ
ad
p
�
�
��
�� � �1 (çäåñü
ad
p
�
�
��
�� — ñèìâîë Ëåæàíäðà ïðîèç-
âåäåíèÿ a d
[4]). Ïðè a �1 òàêàÿ êðèâàÿ ïîëó÷èëà â [8] íàçâàíèå êðèâîé
Ýäâàðäñà, à åñëè åå ïàðàìåòð d — êâàäðàòè÷íûé íåâû÷åò (ò.å.
d
p
�
�
��
�� � �1), òî
îíà íàçûâàåòñÿ ïîëíîé êðèâîé Ýäâàðäñà. Ýòîò òåðìèí áûë ïðåäëîæåí â ñâÿçè
ñ ïîëíîòîé çàêîíà ñëîæåíèÿ òî÷åê êðèâîé [2].  ðàáîòå [9] ïðåäëîæåíî ïîìå-
íÿòü ìåñòàìè êîîðäèíàòû x è y â ôîðìå êðèâîé Ýäâàðäñà â öåëÿõ ñîõðàíåíèÿ
ãîðèçîíòàëüíîé ñèììåòðèè îáðàòíûõ òî÷åê, ïðèíÿòîé â òåîðèè ýëëèïòè÷åñêèõ
êðèâûõ. Îïèðàÿñü íà ýòî ñâîéñòâî, îïðåäåëèì êðèâóþ â îáîáùåííîé ôîðìå
Ýäâàðäñà â âèäå óðàâíåíèÿ
Ea d, : x ay dx y2 2 2 21� � � , a d Fp, *� , d d a( )� � 0 , d �1, p � 2 . (1)
Òîãäà ìîäèôèöèðîâàííûé óíèâåðñàëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ òî÷åê èìååò âèä
( , ) ( , )
( )
,
(
x y x y
x x ay y
dx x y y
x y x y
1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 2 1
1
� �
�
�
�
1 1 2 1 2�
�
�
��
��dx x y y )
. (2)
Ïðè ñîâïàäåíèè äâóõ òî÷åê ïîëó÷èì èç (2) çàêîí óäâîåíèÿ òî÷åê:
2
1
2
1
1 1
1
2
1
2
1
2
1
2
1 1
1
2
1
2
( , )
( )
,
( )
x y
x ay
dx y
x y
dx y
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
. (3)
Îïðåäåëÿÿ òåïåðü îáðàòíóþ òî÷êó êàê — P x y� �( , )1 1 , ïîëó÷àåì ñîãëàñíî çàêî-
íó (2) êîîðäèíàòû íåéòðàëüíîãî ýëåìåíòà ãðóïïû: ( , ) ( , ) ( , )x y x y O1 1 1 1 1 0� � � � ,
êîòîðûé ëåæèò íà îñè OX , ãäå òàêæå âñåãäà ëåæèò òî÷êà D0 1 0� �( , ) âòîðîãî
ïîðÿäêà, äëÿ êîòîðîé 2 1 00D O� �( , ) ñîãëàñíî (3). Â çàâèñèìîñòè îò ñâîéñòâ
ïàðàìåòðîâ a è d ìîæíî ïîëó÷èòü åùå äâå îñîáûå òî÷êè âòîðîãî ïîðÿäêà è
äâå îñîáûå òî÷êè ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà. Êàê ñëåäóåò èç (1), íà îñè OY ìîãóò
òàêæå ëåæàòü íåîñîáûå òî÷êè ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà � � �F a0 0 1( , / ) , äëÿ êîòî-
ðûõ � � � �2 1 00 0F D ( , ) . Ýòè òî÷êè ñóùåñòâóþò íàä ïîëåì Fp , åñëè ïàðà-
ìåòð a ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íûì âû÷åòîì.
Ñîãëàñíî êëàññèôèêàöèè êðèâûõ â ôîðìå (1), îáîñíîâàííîé â ðàáîòàõ [1, 10, 11],
ñêðó÷åííàÿ êðèâàÿ èìååò ïàðàìåòðû a è d, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ êâàäðàòè÷íûìè íå-
âû÷åòàìè:
a
p
d
p
�
�
��
�� �
�
�
��
�� � �1. À ïðè a �1 îïðåäåëåíû ïîëíûå êðèâûå Ýäâàðäñà
ñ ïàðàìåòðîì d, ÿâëÿþùèìñÿ êâàäðàòè÷íûì íåâû÷åòîì:
d
p
�
�
��
�� � �1, è êâàäðàòè÷-
íûå êðèâûå Ýäâàðäñà, äëÿ êîòîðûõ
d
p
�
�
��
�� �1. Ïîëíûå êðèâûå Ýäâàðäñà ÿâëÿþòñÿ
öèêëè÷åñêèìè è íå ñîäåðæàò îñîáûõ òî÷åê, à íåöèêëè÷åñêèå ñêðó÷åííûå è êâàäðà-
4 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3
òè÷íûå êðèâûå èìåþò ïî òðè òî÷êè âòîðîãî ïîðÿäêà, äâå èç êîòîðûõ — îñîáûå.
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ñêðó÷åííûå è êâàäðàòè÷íûå êðèâûå Ýäâàðäñà îáðàçóþò
ïàðû êâàäðàòè÷íîãî êðó÷åíèÿ, ïàðàìåòðû êîòîðûõ ñâÿçàíû ëèíåéíûì ïðåîáðàçî-
âàíèåì a ca� � , d cd� � , ãäå
c
p
�
�
��
�� � �1 (ñì. [1, 11]). Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì ñâîéñòâîì
ïðè àíàëèçå ñóïåðñèíãóëÿðíûõ êðèâûõ òàêèõ êëàññîâ, äëÿ êîòîðûõ ïðèìåì a �1,
è îãðàíè÷èìñÿ îäíèì ïàðàìåòðîì d, äëÿ êîòîðîãî
d
p
�
�
��
�� �1, d �1. Äðóãèìè ñëîâà-
ìè, àíàëèç ñóïåðñèíãóëÿðíûõ êðèâûõ äâóõ êëàññîâ — ñêðó÷åííûõ è êâàäðàòè÷-
íûõ êðèâûõ Ýäâàðäñà ñâîäèòñÿ ê àíàëèçó ïîñëåäíèõ ñ îäíèì ïàðàìåòðîì d.
Ïîðÿäîê N E ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé íàä êîíå÷íûì ïîëåì Fq , q pm� , îïðåäå-
ëÿåòñÿ íà îñíîâå ñëåäà óðàâíåíèÿ Ôðîáåíèóñà t: N q tE � � �1 . Äëÿ êðèâîé êâàäðà-
òè÷íîãî êðó÷åíèÿ E t ñîîòâåòñòâóþùèé ïîðÿäîê îïðåäåëÿåòñÿ êàê N q t
E
t � � �1 .
Ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿ ÿâëÿåòñÿ ñóïåðñèíãóëÿðíîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íàä
ëþáûì ðàñøèðåíèåì ïðîñòîãî ïîëÿ Fp èìååì ñëåä t p� 0 mod [ 4]. Èíûìè ñëîâàìè,
â àëãåáðàè÷åñêîì çàìûêàíèè ïîëÿ Fp ñóïåðñèíãóëÿðíàÿ êðèâàÿ íå ñîäåðæèò òî÷åê
ïîðÿäêà p . Íàä ïðîñòûì ïîëåì Fp òàêàÿ êðèâàÿ âñåãäà èìååò ïîðÿäîê N pE � �1,
à íàä ëþáûì ðàñøèðåíèåì ýòîãî ïîëÿ N pE �1mod .
Äëÿ êðèâîé
E Y X AX B: 2 3� � � (4)
â êàíîíè÷åñêîé ôîðìå Âåéåðøòðàññà ñ j-èíâàðèàíòîì [4, 12]
j E
A
A B
( ) �
�
12 4
4 27
3 3
3 2
(5)
õàðàêòåðíûìè ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ j E( ) � 0 ïðè A � 0 è j E( ) �123 ïðè B � 0 .
Ýòè çíà÷åíèÿ j-èíâàðèàíòà ÷àñòî (ïðè âûïîëíåíèè èçâåñòíûõ óñëîâèé äëÿ ìî-
äóëÿ p) ïîðîæäàþò ñóïåðñèíãóëÿðíóþ êðèâóþ.
Èçîìîðôèçì êðèâûõ â ôîðìàõ (1) è (4) äîñòèãàåòñÿ ëèøü ïðèáëèçèòåëüíî äëÿ
÷åòâåðòîé ÷àñòè âñåõ êðèâûõ â ôîðìå Âåéåðøòðàññà, ñîäåðæàùèõ îäíó èëè òðè
òî÷êè âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïîðÿäîê N E òàêèõ êðèâûõ âñåãäà êðàòåí ÷åòûðåì. Íàèáî-
ëåå óäîáíîé ôîðìîé èõ ïðåäñòàâëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ êðèâàÿ â ôîðìå Ìîíòãîìåðè [5]:
EC D, : Dv u Cu u2 3 2� � � , C
a d
a d
�
�
�
2 ,
D
a d
�
�
4
, a
C
D
�
�2
, d
C
D
�
�2
, C 2 4� . (6)
Êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé êàíîíè÷åñêîé êðèâîé (4) â ôîðìå Âåéåðøòðàññà, óðàâíå-
íèå (6) ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ïðè àíàëèçå ñâîéñòâ êðèâîé â îáîáùåííîé ôîðìå
Ýäâàðäñà (1). Ïîñêîëüêó êðèâûå (1) è (6) èçîìîðôíû ( ~ ), ,E Ea d C D [1, 8],
óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ òàêèõ ñóïåðñèíãóëÿðíûõ êðèâûõ ýêâèâàëåíòíû.
Äëÿ êðèâîé (1) èìååì j-èíâàðèàíò [13]
j a d
a d ad
ad a d
( , )
( )
( )
�
� �
�
16 142 2 3
4
, ad a d( )� � 0 . (7)
Òàê êàê j-èíâàðèàíò ñîõðàíÿåò ñâîå çíà÷åíèå äëÿ âñåõ èçîìîðôíûõ êðèâûõ è
ïàð êâàäðàòè÷íîãî êðó÷åíèÿ [4], îí ÿâëÿåòñÿ ïîëåçíûì èíñòðóìåíòîì ïðè ïîèñ-
êå ñóïåðñèíãóëÿðíûõ êðèâûõ. Ïîýòîìó ïàðàìåòð a â (7) ÿâëÿåòñÿ èçáûòî÷íûì,
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3 5
ò.å. ìîæíî ïðèíÿòü a �1 è ðàññìàòðèâàòü ñâîéñòâà ëèøü ïîëíûõ è êâàäðàòè÷íûõ
êðèâûõ Ýäâàðäñà. Åñëè êâàäðàòè÷íàÿ êðèâàÿ — ñóïåðñèíãóëÿðíàÿ, òî è ñîîòâåò-
ñòâóþùàÿ åé ñêðó÷åííàÿ êðèâàÿ (êàê ïàðà êâàäðàòè÷íîãî êðó÷åíèÿ) òàêæå
ñóïåðñèíãóëÿðíàÿ. Èñõîäÿ èç ýòîãî â äàëüíåéøåì áóäåì èñïîëüçîâàòü
j-èíâàðèàíò j d( , )1 . Îäíèì èç åãî ñâîéñòâ ÿâëÿåòñÿ
j d j d( , ) ( , )1 1 1� � . (8)
×òîáû äîêàçàòü ýòî ñâîéñòâî, äîñòàòî÷íî ýëåìåíò d â (7) çàìåíèòü íà d �1 è
óìíîæèòü ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü íà d 6 .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ðàâåí-
ñòâî (8). Êàê èçâåñòíî, îáðàùåíèå ïàðàìåòðà d d� �1 äàåò êðèâóþ êâàäðàòè÷-
íîãî êðó÷åíèÿ äëÿ ïîëíîé êðèâîé Ýäâàðäñà [2] è èçîìîðôíóþ êðèâóþ — äëÿ
êâàäðàòè÷íîé êðèâîé Ýäâàðäñà [1].
Çàìå÷àíèå 1. Ïîñêîëüêó ïîðÿäîê N E êðèâîé Ýäâàðäñà E íàä ïîëåì Fp âñåãäà
äåëèòñÿ íà ÷åòûðå, òî ñóïåðñèíãóëÿðíûå êðèâûå â ôîðìå Ýäâàðäñà ñ ïîðÿäêîì
N pE � �1 ñóùåñòâóþò ëèøü ïðè p � 3 4( )mod . Äåéñòâèòåëüíî, èç óñëîâèÿ
p k� �1 4 ñëåäóåò óñëîâèå p k� �4 1 èëè p � 3 4( )mod . Ïîýòîìó â íàñòîÿùåé ñòàòüå
ðàññìàòðèâàåì ëèøü êðèâûå íàä ïîëÿìè Fp , ãäå p � 3 4( )mod , ïîñêîëüêó ýòî óñëî-
âèå ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ñóïåðñèíãóëÿðíûõ êðèâûõ Ýäâàðäñà.
Ñêðó÷åííàÿ êðèâàÿ Ýäâàðäñà îïðåäåëåíà â ðàáîòå [1] êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé
êðèâîé (1):
Ea d, : x ay dx y2 2 2 21� � � , d Fp� * , d d a( )� � 0 ,
a
p
d
p
�
�
��
�� �
�
�
��
�� � �1.
Äëÿ àíàëèçà óñëîâèé ñóùåñòâîâàíèÿ ñóïåðñèíãóëÿðíûõ êðèâûõ ýòîãî êëàññà
äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè òàêîé àíàëèç â êëàññå êâàäðàòè÷íûõ êðèâûõ Ýäâàðäñà:
E d1, : x y dx y2 2 2 21� � � , d Fp� * , d d( )� �1 0 ,
d
p
�
�
��
�� �1.
Õàðàêòåðíûìè ñâîéñòâàìè ýòîãî êëàññà êðèâûõ ÿâëÿþòñÿ íåöèêëè÷åñêàÿ
ñòðóêòóðà ïîäãðóïï òî÷åê ÷åòíîãî ïîðÿäêà è íàëè÷èå ÷åòûðåõ îñîáûõ òî÷åê âòî-
ðîãî è ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêîâ [8].
2. ÑÓÏÅÐÑÈÍÃÓËßÐÍÛÅ ÊÐÈÂÛÅ ÝÄÂÀÐÄÑÀ Ñ ÍÓËÅÂÛÌ j-ÈÍÂÀÐÈÀÍÒÎÌ
Ïîñêîëüêó ïðè èçîìîðôíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ çíà÷åíèå
j-èíâàðèàíòà íå èçìåíÿåòñÿ, òî êðèâûå Ýäâàðäñà ñ íóëåâûì j-èíâàðèàíòîì áó-
äóò èçîìîðôíû êðèâûì (4) â ôîðìå Âåéåðøòðàññà ñ j-èíâàðèàíòîì (5), ðàâ-
íûì íóëþ. Èç (5) ñëåäóåò, ÷òî ýòè êðèâûå èìåþò âèä Y X B2 3� � . Õîòÿ ëþ-
áàÿ êðèâàÿ ýòîãî âèäà èìååò íóëåâîé j-èíâàðèàíò, íå âñå îíè ñóïåðñèíãóëÿð-
íû. Êðîìå òîãî, íå ëþáàÿ èç ýòèõ êðèâûõ ñâîäèòñÿ ê ôîðìå Ìîíòãîìåðè (6)
è, ñëåäîâàòåëüíî, èçîìîðôíà êðèâîé â ôîðìå Ýäâàðäñà.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü êðèâàÿ (1) íàä ïîëåì Fp ñ ïàðàìåòðîì a �1 èìååò j-èíâà-
ðèàíò j d( , )1 0� . Òîãäà ïðè p � �1 12(mod ) îíà ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé ñóïåðñèíãóëÿð-
íîé êðèâîé Ýäâàðäñà ñ ïàðàìåòðîì d � � �( )2 3 2 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî (7) èç óñëîâèÿ j d( , )1 0� ñëåäóåò ðàâåíñòâî
d d2 14 1 0� � � . (9)
Ýòî âîçìîæíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äèñêðèìèíàíò ëåâîé ÷àñòè ÿâëÿåòñÿ
êâàäðàòè÷íûì âû÷åòîì ìíîæåñòâà Q p , ò.å. ïðè óñëîâèè
D Q p� � �
�14 4 3 82 2 ,
6 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3
÷òî ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ 3 �Q p . Ñîãëàñíî [14] ýòî âîçìîæíî ëèøü ïðè
p � �1 12( )mod . Íî ïðè p �1 12( )mod èìååò ìåñòî ñðàâíåíèå p �1 4( )mod ,
à òîãäà ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ 1 íå ñóùåñòâóåò ñóïåðñèíãóëÿðíûõ êðèâûõ
Ýäâàðäñà íàä ïîëåì Fp . Ïîýòîìó îñòàåòñÿ âîçìîæíûì òîëüêî óñëîâèå
p � �1 12( )mod ; îäíî èç óòâåðæäåíèé òåîðåìû äîêàçàíî. Çàìåòèì, ÷òî â ýòîì
ñëó÷àå èìååì ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (9):
d1 2 7 4 3, � � � .
Äàëåå, ïîñêîëüêó j-èíâàðèàíò íå èçìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ôîðìû
êðèâîé ê äðóãîé, òî j-èíâàðèàíò (5) ýòîé êðèâîé â ôîðìå Âåéåðøòðàññà
y x Ax B2 3� � � òîæå áóäåò ðàâåí íóëþ, ò.å. âûïîëíåíî ðàâåíñòâî A � 0 , è ýòà
êðèâàÿ â ôîðìå Âåéåðøòðàññà áóäåò èìåòü âèä
y x B2 3� � . (10)
Èç óñëîâèÿ p � �1 12( )mod ñëåäóåò p � �1 3( )mod , îòêóäà âûòåêàåò, ÷òî
| |*F pp � �1 íå äåëèòñÿ íà òðè. Ñëåäîâàòåëüíî, îòîáðàæåíèå �: F Fp p� ,
�( )x x� 3 , ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé. Ïîýòîìó, êîãäà x ïðîáåãàåò âñå çíà÷åíèÿ èç Fp
* ,
ïðàâàÿ ÷àñòü (10) òàêæå ïðîáåãàåò âñå ýòè çíà÷åíèÿ. Ñðåäè ýòèõ çíà÷åíèé
ñóùåñòâóåò òî÷íî
p �1
2
êâàäðàòè÷íûõ âû÷åòîâ, äëÿ êàæäîãî èç íèõ èìååì äâà
çíà÷åíèÿ y-êîîðäèíàòû òî÷êè êðèâîé. Òàêèì îáðàçîì, ñ ó÷åòîì òî÷êè ( , )B3 0 è
òî÷êè íà áåñêîíå÷íîñòè ïîëó÷àåì, ÷òî êîëè÷åñòâî òî÷åê êðèâîé ðàâíî
2
1
2
1 1 1
�
� � � �
p
p , ò.å. N pE � �1 è êðèâàÿ ÿâëÿåòñÿ ñóïåðñèíãóëÿðíîé.
Äîêàæåì, ÷òî E d1, — ïîëíàÿ êðèâàÿ Ýäâàðäñà. Çàìåòèì, ÷òî ïðè
p � 3 4( )mod ýëåìåíò �1 ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íûì íåâû÷åòîì. Ñîãëàñíî (9) ïàðà-
ìåòð ýòîé êðèâîé îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
d1 2
2 2 27 4 3 2 2 2 3 3 2 3, ( ) ( ( ) ) ( )� � � � � � � � �� � � . (11)
Ïîñêîëüêó âûðàæåíèÿ â ïðàâîé ÷àñòè (11) ÿâëÿþòñÿ êâàäðàòè÷íûìè íåâû÷å-
òàìè, ò.å. d Q p1 2, � , òî êðèâàÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé êðèâîé Ýäâàðäñà.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ñëåäñòâèå 1. Ñðåäè êðèâûõ Ýäâàðäñà ñ íóëåâûì j-èíâàðèàíòîì íå ñóùåñò-
âóåò ñêðó÷åííûõ è êâàäðàòè÷íûõ êðèâûõ.
Äåéñòâèòåëüíî, êàê äîêàçàíî â òåîðåìå 1, ëþáàÿ êðèâàÿ Ýäâàðäñà ñ íóëåâûì
j-èíâàðèàíòîì ïðè p � 3 4( )bmod ñîãëàñíî (11) ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé.
3. ÑÓÏÅÐÑÈÍÃÓËßÐÍÛÅ ÑÊÐÓ×ÅÍÍÛÅ ÊÐÈÂÛÅ ÝÄÂÀÐÄÑÀ
Ñ j-ÈÍÂÀÐÈÀÍÒÎÌ, ÐÀÂÍÛÌ 123
Ðàññìîòðèì óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ñóïåðñèíãóëÿðíûõ êðèâûõ ñ j-èíâàðèàí-
òîì, ðàâíûì 123 . Äëÿ äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùåå
óòâåðæäåíèå, äîêàçàííîå â [12].
Óòâåðæäåíèå 1 [12]. Ïóñòü p — ïðîñòîå, p � 3 4( )mod , E — ýëëèïòè÷åñêàÿ
êðèâàÿ íàä Fp , çàäàííàÿ óðàâíåíèåì y x Ax2 3� � , äëÿ íåêîòîðîãî A Fp� . Òîãäà
N pE � �1, ò.å. E ÿâëÿåòñÿ ñóïåðñèíãóëÿðíîé êðèâîé.
Ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ïîëó÷èì äâà ñëåäóþùèõ ðåçóëüòàòà.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3 7
Óòâåðæäåíèå 2. Ïóñòü p — ïðîñòîå, p � 3 4( )mod , Ea d, — êðèâàÿ Ýäâàðäñà
íàä Fp ñ ïàðàìåòðàìè a è d, çàäàííàÿ óðàâíåíèåì x ay dx y2 2 2 21� � � , ïðè÷åì
j a d( , ) �123 . Òîãäà êðèâàÿ Ea d, — ñóïåðñèíãóëÿðíàÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ëþáîé êðèâîé E â ôîðìå Ýäâàðäñà ñóùåñòâóåò
êðèâàÿ E� â ôîðìå Âåéåðøòðàññà, åé èçîìîðôíàÿ è çàäàííàÿ óðàâíåíèåì (4).
Ïðè ýòîì j-èíâàðèàíòû èçîìîðôíûõ êðèâûõ ñîõðàíÿþò ñâîå çíà÷åíèå, ïîýòîìó
èíâàðèàíò êðèâîé E�, çàäàííûé ñîãëàñíî (5), òàêæå ðàâåí 123 :
j
A
A B
�
�
�
12 4
4 27
12
3 3
3 2
3 .
Îòñþäà ïîëó÷àåì 4 4 273 3 2A A B� � , ò.å. B � 0 , è êðèâàÿ E� çàäàíà óðàâíåíè-
åì y x Ax2 3� � , à òàêàÿ êðèâàÿ ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 1 ÿâëÿåòñÿ ñóïåðñèíãó-
ëÿðíîé.
Óòâåðæäåíèå 2 äîêàçàíî.
 ñëåäóþùåé òåîðåìå ïðèâîäÿòñÿ íåêîòîðûå ñóïåðñèíãóëÿðíûå êðèâûå â
êëàññå ñêðó÷åííûõ êðèâûõ Ýäâàðäñà.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü p � 7 8( )mod . Òîãäà ñêðó÷åííàÿ êðèâàÿ Ýäâàðäñà íàä ïî-
ëåì Fp ñ ïàðàìåòðàìè a � �1 è d1 2
23 2 2, ( )� � � èìååò j-èíâàðèàíò, ðàâíûé 123 ,
è ÿâëÿåòñÿ ñóïåðñèíãóëÿðíîé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Âíà÷àëå ïîêàæåì, ÷òî òåîðåìà ñôîðìóëèðîâàíà êîððåêò-
íî, ò.å. óêàçàííûå ïàðàìåòðû d1 2, äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè ïîëÿ Fp è
êðèâàÿ ñ òàêèìè ïàðàìåòðàìè ÿâëÿåòñÿ ñêðó÷åííîé.
Òàê, ïðè p � 7 8( )mod ýëåìåíò 2 ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íûì âû÷åòîì, ïîñêîëüêó
â ýòîì ñëó÷àå p k� �8 7 äëÿ íåêîòîðîãî k N� è ñîãëàñíî êâàäðàòè÷íîìó çàêîíó
âçàèìíîñòè Ãàóññà
2
1 1
8 6 8 8
8
p
k k
�
�
��
�� � � �
� �
( )
( )( )
.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïàðàìåòðû d1 2, îïðåäåëåíû êîððåêòíî.
Äàëåå, åñëè p � 7 8( )mod , òî p � 3 4( )mod , îòêóäà � �1 Q p . Ïîýòîìó a Q p� ,
d Q p1 2, � è êðèâûå ñ ýòèìè ïàðàìåòðàìè ÿâëÿþòñÿ ñêðó÷åííûìè ñîãëàñíî êëàñ-
ñèôèêàöèè â [1, 10, 11].
Äîêàæåì ñóïåðñèíãóëÿðíîñòü òàêèõ êðèâûõ. Äëÿ ýòîãî ñîãëàñíî óòâåðæäå-
íèÿì 1 è 2 äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî j-èíâàðèàíòû òàêèõ êðèâûõ ðàâíû123 .
Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó èçîìîðôèçìà ñîîòâåòñòâóþùèõ êðèâûõ
j a d j a d( , ) ( , )� � � , a d Fp, � .
Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü èíâàðèàíòû j d( , ),1 1 2� .
Ïóñòü d1
23 2 2� � �( ) , d2
23 2 2� � �( ) . Îáîçíà÷èì t d1 1
23 2 2� � � �( ) ,
t d2 2
23 2 2� � � �( ) è âû÷èñëèì èíâàðèàíòû j t( , )1 1 , j t( , )1 2 .
Ïóòåì íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì ðàâåíñòâà
t1
23 2 2 17 12 2� � � �( ) , t t1 11 18 12 2 6 3 2 2 6� � � � � �( ) ,
îòêóäà ( )t t1
2
11 36� � .
Àíàëîãè÷íî t t1 1 6 2� � � , îòêóäà
( ) ( )t t t t t t1
2
1 1 1 11 36 24 4 36 4 4 1 32� � � � � � � � � .
8 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3
Òîãäà
j t
t t
t t
t t
t
( , )
(( ) )
( )
( )
1
16 1 12
1
16 36 12
1
1
2
1
3
1 1
4
1 1
2
�
� �
�
�
�
1 1
2
3
2
3
32
16 48
32
12
( )t
�
� .
Àíàëîãè÷íûìè ðàñ÷åòàìè ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî j t( , )1 122
3� . Ñëåäîâàòåëüíî,
j d j d( , ) ( , )� � � �1 1 121 2
3 è êðèâûå ñ ïàðàìåòðàìè a � �1 è d d� 1 2, ÿâëÿþòñÿ ñó-
ïåðñèíãóëÿðíûìè. Òåîðåìà äîêàçàíà.
Çàìåòèì, ÷òî â êëàññå ïîëíûõ êðèâûõ Ýäâàðäñà j-èíâàðèàíò j d( , )1 123� ïî-
ðîæäàåòñÿ åäèíñòâåííûì çíà÷åíèåì ïàðàìåòðà d � �1 ïðè p � 3 8( )mod [ñì. 15].
Òàêèì îáðàçîì, âñåãî èìååòñÿ øåñòü êîðíåé óðàâíåíèÿ j d( , )1 123� (cì. (7)): ïî
äâà êîðíÿ äëÿ êâàäðàòè÷íûõ è ñêðó÷åííûõ êðèâûõ è ïî îäíîìó êîðíþ d � �1
êðàòíîñòè 2 äëÿ ïîëíûõ êðèâûõ Ýäâàðäñà.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ñòàòüå ñôîðìóëèðîâàíû è äîêàçàíû óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ñóïåðñèíãóëÿð-
íûõ êðèâûõ Ýäâàðäñà ïðè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ äëÿ j-èíâàðè-
àíòà êðèâîé. Ýòè óñëîâèÿ ïîçâîëÿþò ïîëó÷àòü âñå ñóïåðñèíãóëÿðíûå êðèâûå ñ
ôèêñèðîâàííûì çíà÷åíèåì j-èíâàðèàíòà. Îòìåòèì, ÷òî çíà÷åíèÿìè j d( , )1 0� è
j d( , )1 123� íå èñ÷åðïûâàþòñÿ âñå ñóïåðñèíãóëÿðíûå êðèâûå Ýäâàðäñà.
 ÷àñòíîñòè, â ðàáîòàõ [1, 12] áûëè îáíàðóæåíû ïîëíûå ñóïåðñèíãóëÿðíûå
êðèâûå ñ j-èíâàðèàíòîì, ðàâíûì 663 , à òàêæå ïðèâåäåíû îñíîâíûå òåçèñû äî-
êàçàòåëüñòâà òåîðåìû î ñóïåðñèíãóëÿðíîñòè òàêèõ êðèâûõ ñ ïàðàìåòðàìè
d � �2 1.  ïðîäîëæåíèå ýòîé ðàáîòû (÷àñòü 2, ðàçä. 4) áóäåò ïðèâåäåíî áîëåå
ïîëíîå äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ ñêðó÷åííûõ è êâàäðàòè÷íûõ ñóïåðñèí-
ãóëÿðíûõ êðèâûõ Ýäâàðäñà ñ j-èíâàðèàíòîì, ðàâíûì 663 .
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Áåññàëîâ À.Â. Ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûå â ôîðìå Ýäâàðäñà è êðèïòîãðàôèÿ. Êèåâ: ÊÏÈ èìåíè
Èãîðÿ Ñèêîðñêîãî. Èçä-âî «Ïîëèòåõíèêà», 2017. 272 ñ.
2. Bernstein D.J., Lange T. Faster addition and doubling on elliptic curves. In: Advances in
Cryptology — ASIACRYPT’2007 (Proc. 13th Int. Conf. on the Theory and Application of Cryptology
and Information Security. Kuching, Malaysia (December 2–6, 2007)). Lect. Notes Comp. Sci.
V. 4833. Berlin: Springer, 2007. P. 29–50.
3. Menezes A.J, Okamoto T., Vanstone S.A. Reducing elliptic curve logarithms to logarithms in a finite
field. University of Waterloo. Sep. 1990. And IEEE Transactions on Information Theory. 1993.
Vol. 39. P. 1639–1646.
4. Washington L.C. Elliptic curvres. Number theory and cryptography. Second Edition. CRC Press.
Tailor and Francis Group. A Chapman and Hall Book, 2008. 513 p.
5. Tanushree Banerjee, Anwar Hasan M. Energy efficiency analysis of elliptic curve based
cryptosystems. URL: http://cacr2018-04 DH-Isogenies.
6. Adj G., Cervantes-Vazquez D., Chi-Dominguez J.-J., Menezes A., Rodriguez-Henriquez F. On the
cost of computing isogenies between supersingular elliptic curves. URL: http://cacr2018-03 Menezes
Isogenies on SSC.
7. Youngho Y., Azarderakhsh R., Jalali A., Jao D., Soukharev V. A post-quantum digital signature
scheme based on supersingular isogenies. Cryptology ePrint Archive, Report 2017/186, 2017.
URL: http://eprint.iacr.org/2017/186. 18 p.
8. Bernstein D.J., Birkner P., Joye M., Lange T., Peters Ch. Twisted Edwards curves. IST Programme
under Contract IST-2002-507932 ECRYPT, and in part by the National Science Foundation under
grant ITR-0716498, 2008. Ð. 1–17.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3 9
9. Áåññàëîâ À.Â., Öûãàíêîâà Î.Â. Âçàèìîñâÿçü ñåìåéñòâ òî÷åê áîëüøèõ ïîðÿäêîâ êðèâîé
Ýäâàðäñà íàä ïðîñòûì ïîëåì. Ïðîáëåìû ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè. 2015. Ò. 51, âûï. 4. C. 92–98.
10. Áåññàëîâ À.Â., Öûãàíêîâà Î.Â. Êëàññèôèêàöèÿ êðèâûõ â ôîðìå Ýäâàðäñà íàä ïðîñòûì ïîëåì.
Ïðèêëàäíàÿ ðàäèîýëåêòðîíèêà. 2015. Ò. 14, ¹ 4. Ñ. 277–283.
11. Áåññàëîâ À.Â., Öûãàíêîâà Î.Â. ×èñëî êðèâûõ â îáîáùåííîé ôîðìå Ýäâàðäñà ñ ìèíèìàëüíûì
÷åòíûì êîôàêòîðîì ïîðÿäêà êðèâîé. Ïðîáëåìû ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè. 2017. Ò. 53, âûï 1.
Ñ. 101–111.
12. Áåññàëîâ À.Â., Òåëèæåíêî À.Á. Êðèïòîñèñòåìû íà ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ. Êèåâ: ²ÂÖ
«Ïîë³òåõí³êà», 2004. 224 ñ.
13. Morain F. Edwards curves and CM curves. ArXiv 0904/2243v1 [Math.NT] Apr. 15, 2009. 15 p.
14. Äýâåíïîðò Ã. Âûñøàÿ àðèôìåòèêà: ââåäåíèå â òåîðèþ ÷èñåë. Ïåð. ñ àíãë. (ïîä ðåä. Ëèí-
íèêà Þ.Â.). Ìîñêâà: Íàóêà, 1965. 176 ñ.
15. Áåññàëîâ À.Â., Öûãàíêîâà Î.Â. Ñóïåðñèíãóëÿðíûå ïîëíûå êðèâûå Ýäâàðäñà íàä ïðîñòûì ïî-
ëåì. Ðàäèîòåõíèêà. 2017. ¹ 191. Ñ. 88–98.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 15.05.2018
À.Â. Áåññàëîâ, Ë.Â. Êîâàëü÷óê
ÑÓÏÅÐÑÈÍÃÓËßÐͲ ÑÊÐÓ×ÅͲ ÊÐȲ ÅÄÂÀÐÄÑÀ ÍÀÄ ÏÐÎÑÒÈÌ ÏÎËÅÌ.
I. ÑÓÏÅÐÑÈÍÃÓËßÐͲ ÑÊÐÓ×ÅͲ ÊÐȲ ÅÄÂÀÐÄÑÀ
Ç j-²ÍÂÀвÀÍÒÀÌÈ, ßʲ ÄÎвÂÍÞÞÒÜ ÍÓËÞ ÒÀ 123
Àíîòàö³ÿ. Ïðîàíàë³çîâàíî óìîâè ³ñíóâàííÿ ñóïåðñèíãóëÿðíèõ ñêðó÷åíèõ
êðèâèõ Åäâàðäñà íàä ïðîñòèì ïîëåì. Côîðìóëüîâàíî òà äîâåäåíî òåîðåìè
ïðî óìîâè ³ñíóâàííÿ ñóïåðñèíãóëÿðíèõ êðèâèõ ç j-³íâàð³àíòàìè, ÿê³
äîð³âíþþòü íóëþ òà 123, â ð³çíèõ êëàñàõ êðèâèõ. Íà áàç³ öèõ ðåçóëüòàò³â
îòðèìàíî êîíêðåòí³ ïàðàìåòðè äëÿ äåÿêèõ ñóïåðñèíãóëÿðíèõ êðèâèõ. Íàâå-
äåíî óçàãàëüíåííÿ îòðèìàíèõ ðàí³øå ðàçóëüòàò³â, ùî âèêîðèñòîâóº ³çî-
ìîðô³çì êðèâèõ ó ôîðìàõ Âåéºðøòðàññà òà Åäâàðäñà.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ñóïåðñèíãóëÿðíà êðèâà, ïîâíà êðèâà Åäâàðäñà, ñêðó÷åíà
êðèâà Åäâàðäñà, êâàäðàòè÷íà êðèâà Åäâàðäñà, ïàðà êðó÷åííÿ, ïîðÿäîê òî÷-
êè, ñèìâîë Ëåæàíäðà, êâàäðàòè÷íèé ëèøîê, êâàäðàòè÷íèé íåëèøîê.
A.V. Bessalov, L.V. Kovalchuk
SUPERSINGULAR TWISTED EDWARDS CURVES OVER PRIME FIELDS.
I. SUPERSINGULAR TWISTED EDWARDS CURVES WITH ¼-INVARIANTS 0 AND 123
Àbstract. The analysis is given of the conditions of the existence of
supersingular twisted Edwards curves over prime fields. Theorems are
formulated and proved about these conditions for supersingular twisted Edwards
curves with j-invariants 0 and 123, for different classes of curves. Parameters
for some supersingular curves are obtained using these results. Generalization of
some previously obtained results is given, using isomorphism of curves in
Weierstrass form and Edwards form.
Keywords: supersingular curve, complete Edwards curve, twisted Edwards
curve, quadratic Edwards curve, twisted pair, order of point, Legendre symbol,
quadratic residue, quadratic non-residue.
Áåññàëîâ Àíàòîëèé Âëàäèìèðîâè÷,
äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð, ïðîôåññîð êàôåäðû Ôèçèêî-òåõíè÷åñêîãî èíñòèòóòà ÍÒÓÓ «ÊÏÈ
èìåíè Èãîðÿ Ñèêîðñêîãî», Êèåâ, e-mail: bessalov@ukr.net.
Êîâàëü÷óê Ëþäìèëà Âàñèëüåâíà,
äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð, ïðîôåññîð êàôåäðû Ôèçèêî-òåõíè÷åñêîãî èíñòèòóòà ÍÒÓÓ «ÊÏÈ
èìåíè Èãîðÿ Ñèêîðñêîãî», Êèåâ, e-mail: lusi.kovalchuk@gmail.com.
10 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3
|