Качественный и количественный анализ слабых решений энергобалансных климатологических моделей

Проведен качественный анализ динамики решений климатологической модели энергетического баланса Будыко–Селлерса, рассмотренной на римановом многообразии без края. Установлено глобальное существование слабого решения исследуемой задачи с произвольными начальными данными из фазового пространства, изуче...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2019
Автори:	Згуровский, М.З., Касьянов, П.О., Горбань, Н.В., Палийчук, Л.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2019
Назва видання:	Кибернетика и системный анализ
Теми:	Системний аналіз
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/181009
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Качественный и количественный анализ слабых решений энергобалансных климатологических моделей / М.З. Згуровский, П.О. Касьянов, Н.В. Горбань, Л.С. Палийчук // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 56, № 4. — С. 39-49. — Бібліогр.: 30 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-181009
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1810092021-10-27T01:26:39Z Качественный и количественный анализ слабых решений энергобалансных климатологических моделей Згуровский, М.З. Касьянов, П.О. Горбань, Н.В. Палийчук, Л.С. Системний аналіз Проведен качественный анализ динамики решений климатологической модели энергетического баланса Будыко–Селлерса, рассмотренной на римановом многообразии без края. Установлено глобальное существование слабого решения исследуемой задачи с произвольными начальными данными из фазового пространства, изучены его свойства и регулярность. Доказаны теоремы существования глобального и траекторного аттракторов для многозначного полупотока, порожденного всемислабыми решениями задачи. Изучены свойства аттракторов, установлена взаимосвязь между ними и пространством полных траекторий задачи. Исследованы характер притяжения решений к глобальному и траекторному аттракторам и структура аттракторов. Установлена конечномерность с точностью до малого параметра динамики решений задачи. Проведено якісний аналіз динаміки розв’язків кліматологічної моделі енергетичного балансу Будико–Селлерса, яка розглянута на рімановому многовиді без краю. Встановлено глобальне існування слабкого розв’язку досліджуваної задачі з довільними початковими даними з фазового простору, вивчено його властивості та регулярність. Доведено теореми існування глобального та траєкторного атракторів для багатозначного напівпотоку, породженого всіма слабкими розв’язками задачі. Вивчено властивості атракторів, встановлено взаємозв’язок між ними та простором повних траєкторій задачі. Досліджено характер притягнення розв’язків до глобального і траєкторного атракторів та їхню структуру. Встановлено скінченновимірність з точністю до малого параметра динаміки розв’язків задачі. A qualitative analysis of the solutions behavior for the Budyko–Sellers energy balance climate model, considered on the Riemannian manifold without boundary is carried out. The global existence of the weak solution for the investigated problem with arbitrary initial data from the phase space is established. Solutions’ properties and regularity are analyzed. The theorems on the existence of global and trajectory attractors for multi-valued semi-flow generated by all weak solutions of the problem are proved. The properties of attractors are analyzed. The relationship between attractors and the space of complete trajectories for the problem is established. The character of attraction of solutions to global and trajectory attractors and their structure are investigated. The finite-dimensionality up to a small parameter of the solutions dynamics is obtained. 2019 Article Качественный и количественный анализ слабых решений энергобалансных климатологических моделей / М.З. Згуровский, П.О. Касьянов, Н.В. Горбань, Л.С. Палийчук // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 56, № 4. — С. 39-49. — Бібліогр.: 30 назв. — рос. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/181009 517.9 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системний аналіз Системний аналіз
spellingShingle	Системний аналіз Системний аналіз Згуровский, М.З. Касьянов, П.О. Горбань, Н.В. Палийчук, Л.С. Качественный и количественный анализ слабых решений энергобалансных климатологических моделей Кибернетика и системный анализ
description	Проведен качественный анализ динамики решений климатологической модели энергетического баланса Будыко–Селлерса, рассмотренной на римановом многообразии без края. Установлено глобальное существование слабого решения исследуемой задачи с произвольными начальными данными из фазового пространства, изучены его свойства и регулярность. Доказаны теоремы существования глобального и траекторного аттракторов для многозначного полупотока, порожденного всемислабыми решениями задачи. Изучены свойства аттракторов, установлена взаимосвязь между ними и пространством полных траекторий задачи. Исследованы характер притяжения решений к глобальному и траекторному аттракторам и структура аттракторов. Установлена конечномерность с точностью до малого параметра динамики решений задачи.
format	Article
author	Згуровский, М.З. Касьянов, П.О. Горбань, Н.В. Палийчук, Л.С.
author_facet	Згуровский, М.З. Касьянов, П.О. Горбань, Н.В. Палийчук, Л.С.
author_sort	Згуровский, М.З.
title	Качественный и количественный анализ слабых решений энергобалансных климатологических моделей
title_short	Качественный и количественный анализ слабых решений энергобалансных климатологических моделей
title_full	Качественный и количественный анализ слабых решений энергобалансных климатологических моделей
title_fullStr	Качественный и количественный анализ слабых решений энергобалансных климатологических моделей
title_full_unstemmed	Качественный и количественный анализ слабых решений энергобалансных климатологических моделей
title_sort	качественный и количественный анализ слабых решений энергобалансных климатологических моделей
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2019
topic_facet	Системний аналіз
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/181009
citation_txt	Качественный и количественный анализ слабых решений энергобалансных климатологических моделей / М.З. Згуровский, П.О. Касьянов, Н.В. Горбань, Л.С. Палийчук // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 56, № 4. — С. 39-49. — Бібліогр.: 30 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT zgurovskijmz kačestvennyjikoličestvennyjanalizslabyhrešenijénergobalansnyhklimatologičeskihmodelej AT kasʹânovpo kačestvennyjikoličestvennyjanalizslabyhrešenijénergobalansnyhklimatologičeskihmodelej AT gorbanʹnv kačestvennyjikoličestvennyjanalizslabyhrešenijénergobalansnyhklimatologičeskihmodelej AT palijčukls kačestvennyjikoličestvennyjanalizslabyhrešenijénergobalansnyhklimatologičeskihmodelej
first_indexed	2025-07-15T21:31:02Z
last_indexed	2025-07-15T21:31:02Z
_version_	1837750094915436544
fulltext	Ì.Ç. ÇÃÓÐÎÂÑÊÈÉ, Ï.Î. ÊÀÑÜßÍÎÂ, Í.Â. ÃÎÐÁÀÍÜ, Ë.Ñ. ÏÀËÈÉ×ÓÊ ÓÄÊ 517.9 ÊÀ×ÅÑÒÂÅÍÍÛÉ È ÊÎËÈ×ÅÑÒÂÅÍÍÛÉ ÀÍÀËÈÇ ÑËÀÁÛÕ ÐÅØÅÍÈÉ ÝÍÅÐÃÎÁÀËÀÍÑÍÛÕ ÊËÈÌÀÒÎËÎÃÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ Àííîòàöèÿ. Ïðîâåäåí êà÷åñòâåííûé àíàëèç äèíàìèêè ðåøåíèé êëèìàòîëî- ãè÷åñêîé ìîäåëè ýíåðãåòè÷åñêîãî áàëàíñà Áóäûêî–Ñåëëåðñà, ðàññìîòðåííîé íà ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè áåç êðàÿ. Äîêàçàíî ãëîáàëüíîå ñóùåñòâîâàíèå ñëàáîãî ðåøåíèÿ èññëåäóåìîé çàäà÷è ñ ïðîèçâîëüíûìè íà÷àëüíûìè äàííû- ìè èç ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, èçó÷åíû åãî ñâîéñòâà è ðåãóëÿðíîñòü. Äîêàçà- íû òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ ãëîáàëüíîãî è òðàåêòîðíîãî àòòðàêòîðîâ äëÿ ìíîãîçíà÷íîãî ïîëóïîòîêà, ïîðîæäåííîãî âñåìè ñëàáûìè ðåøåíèÿìè çàäà- ÷è. Èçó÷åíû ñâîéñòâà àòòðàêòîðîâ, óñòàíîâëåíà âçàèìîñâÿçü ìåæäó íèìè è ïðîñòðàíñòâîì ïîëíûõ òðàåêòîðèé çàäà÷è. Èññëåäîâàíû õàðàêòåð ïðèòÿæå- íèÿ ðåøåíèé ê ãëîáàëüíîìó è òðàåêòîðíîìó àòòðàêòîðàì è ñòðóêòóðà àò- òðàêòîðîâ. Óñòàíîâëåíà êîíå÷íîìåðíîñòü ñ òî÷íîñòüþ äî ìàëîãî ïàðàìåòðà äèíàìèêè ðåøåíèé çàäà÷è. Êëþ÷åâûå ñëîâà: êëèìàòîëîãè÷åñêàÿ ìîäåëü ýíåðãåòè÷åñêîãî áàëàíñà Áóäûêî–Ñåëëåðñà, ãëîáàëüíûé àòòðàêòîð, òðàåêòîðíûé àòòðàêòîð, êîíå÷íî- ìåðíîñòü ñ òî÷íîñòüþ äî ìàëîãî ïàðàìåòðà, ìíîãîçíà÷íûé ïîëóïîòîê, ñëà- áîå ðåøåíèå, óðàâíåíèå ðåàêöèè–äèôôóçèè. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Èññëåäîâàíèå êëèìàòîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé ïðîáëåìîé ñî- âðåìåííîé íàóêè. Îñîáûé ìàòåìàòè÷åñêèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò èññëåäîâàíèå êëèìàòîëîãè÷åñêîé ìîäåëè ýíåðãåòè÷åñêîãî áàëàíñà, â êîòîðîé â êà÷åñòâå íåèç- âåñòíîé âåëè÷èíû âûñòóïàåò òåìïåðàòóðà çåìíîé ïîâåðõíîñòè. Ìîäåëè òàêîãî òèïà äåìîíñòðèðóþò ýôôåêòèâíîñòü îáðàòíîé ñâÿçè òåðìè÷åñêîãî ðåæèìà è àëüáåäî ïîâåðõíîñòè. Âïåðâûå òàêàÿ ìîäåëü ïðåäëîæåíà â 1969 ã. â ðàáîòàõ Ì.È. Áóäûêî [1] è Â.Ä. Ñåëëåðñà [2]. Íà ñåãîäíÿøíèé äåíü ïðèíÿòî íàçûâàòü ýíåðãîáàëàíñíûå ìîäåëè êëèìàòà ìîäåëÿìè Áóäûêî–Ñåëëåðñà. Ïîçäíåå òàêèå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè èçó÷àëèñü ìíîãèìè ó÷åíûìè. Òàê, â ðàáîòàõ [3–5] ðàññìàòðèâàëñÿ âîïðîñ î ðàçðåøèìîñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, èçó÷àëàñü èõ ÷óâñòâèòåëüíîñòü ê ìàëûì âîçìóùåíèÿì â îäíîì èç îïðåäåëÿþùèõ ïàðà- ìåòðîâ çàäà÷è, à òàêæå èçëàãàëàñü ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñòàöèîíàðíàÿ çàäà÷à. Ñëå- äóåò îòìåòèòü ðàáîòû [6–10], ïîñâÿùåííûå êà÷åñòâåííûì èññëåäîâàíèÿì ñëà- áûõ ðåøåíèé çàäà÷è. Â ñòàòüå [11] èçó÷åí âîïðîñ ñóùåñòâîâàíèÿ, êîëè÷åñòâà è ñâîéñòâ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé ìîäåëè Áóäûêî–Ñåëëåðñà. Â íàñòîÿùåé ðàáî- òå èññëåäóþòñÿ êà÷åñòâåííûå ñâîéñòâà è óñòàíîâëåíà êîíå÷íîìåðíîñòü ñ òî÷- íîñòüþ äî ìàëîãî ïàðàìåòðà äèíàìèêè ðåøåíèé êëèìàòîëîãè÷åñêîé ìîäåëè Áóäûêî–Ñåëëåðñà, ðàññìàòðèâàåìîé íà ìíîãîîáðàçèè áåç êðàÿ. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 39 © Ì.Ç. Çãóðîâñêèé, Ï.Î. Êàñüÿíîâ, Í.Â. Ãîðáàíü, Ë.Ñ. Ïàëèé÷óê, 2019 ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È Ïóñòü ( , )M g — C �-êîìïàêòíîå ñâÿçíîå îðèåíòèðîâàííîå äâóìåðíîå ðèìàíî- âî ìíîãîîáðàçèå áåç êðàÿ. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó u u f x u f x ut � �� 1 2 0( , ) ( , ) â M T� ( , )� . (1) Çäåñü �u uM M div ( ); M — ãðàäèåíò, çàäàííûé íà ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè ( , )M g ; �f x ui ( , ) — ñóáäèôôåðåíöèàë ôóíêöèè f xi ( , )� , i 1 2, , â òî÷êå u äëÿ ïî- ÷òè âñåõ (ï. â.) x M� [12]. Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à (1) — ýòî àâòîíîìíîå ïàðàáîëè- ÷åñêîå âêëþ÷åíèå ðåàêöèè–äèôôóçèè ñ ôóíêöèåé âçàèìîäåéñòâèÿ ñóáãðàäèåíòíîãî òèïà. Ñëåäóåò îòìåòèòü øèðîêîå ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå çàäà÷ òèïà ðåàê- öèè–äèôôóçèè, êîòîðûå âêëþ÷àþò â ñåáÿ ñèñòåìó ÔèòöÕüþ–Íàãóìî (òåîðèÿ ïåðå- äà÷è ñèãíàëîâ), ñèñòåìó óðàâíåíèé Ãèíçáóðãà–Ëàíäàó (òåîðèÿ ñâåðõïðîâîäíèêîâ), ñèñòåìó Ëîòêè–Âîëüòåððû ñ äèôôóçèåé (ýêîëîãè÷åñêèå ìîäåëè), ñèñòåìó Áåëîóñî- âà–Æàáîòèíñêîãî (õèìè÷åñêàÿ êèíåòèêà) è äð. [13]. Â íàñòîÿùåé ñòàòüå â êà÷åñòâå ïðèìåíåíèÿ áóäåò ðàññìîòðåíà êëèìàòîëîãè÷åñêàÿ ìîäåëü Áóäûêî–Ñåëëåðñà. Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå äåéñòâèòåëüíûå ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà H L M: ( ) 2 , V u L M u L TMM: ( ) : ( ) � �{ }2 2 ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè íîðìàìè \| \| \| \|� H , \| \| \| \|� V è ñêàëÿðíûìè ïðîèçâåäåíèÿìè ( , )� � H , ( , )� � V , ãäå TM — êàñà- òåëüíîå ðàññëàèâàíèå. Ïðîñòðàíñòâà L M2 ( ), L TM2 ( ) îïðåäåëåíû ñòàíäàðòíî [14]. Ïóñòü V — äóàëüíîå ïðîñòðàíñòâî ê V . Çàìåòèì, ÷òî V H V� � , ïðè÷åì âñå âëîæåíèÿ êîìïàêòíûå è ïëîòíûå [14, òåîðåìà 2.34]. Ôóíêöèÿ u L T V( ) ( , ; )� � 2 � — ñëàáîå ðåøåíèå çàäà÷è (1) íà [ , ]� T , �� T , åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ èç- ìåðèìàÿ ôóíêöèÿ d M T: ( , )� �� R, ÷òî: 1) d x t f x u x t f x u x t( , ) ( , ( , )) ( , ( , ))�� 1 2 äëÿ ï.â. ( , ) ( , )x t M T� � � ; 2) äëÿ âñåõ � �� C M T0 ( ( , )) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî � � � � � � �� T M T M T u t dt u dxdt d dxdt, ( , ) ( , ) 0, ãäå � � � �, — ñïàðèâàíèå â V [9]. Ïóñòü çäåñü è äàëåå âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ. Ïðåäïîëîæåíèå 1. Ñóùåñòâóþò òàêèå c L M0 1� ( ) è c x0 0( ) � äëÿ ï â. x M� è c1 0� , ÷òî \| \| ( ) \| \|u c x c ui � �2 0 1 2 äëÿ ï. â. x M� , äëÿ âñåõ u�R è u f x ui i �� ( , ), i 1 2, . Ïðåäïîëîæåíèå 2. Ñóùåñòâóåò òàêîå � �� 1, ãäå �1 — ïåðâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå îïåðàòîðà �� â H M1 ( ), è ñóùåñòâóåò òàêîå c L M2 1� ( ), c x2 0( ) � äëÿ ï. â. x M� , ÷òî ( ) ( )u u u u c x1 2 2 2 � � � �� äëÿ ï.â. x M� , äëÿ âñåõ u�R è u f x ui i �� ( , ), i 1 2, . Öåëü èññëåäîâàíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â èçó÷åíèè âîïðîñîâ ñóùåñòâîâàíèÿ, êà÷åñò- âåííûõ ñâîéñòâ è àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ñëàáûõ ðåøåíèé çàäà÷è (1), â ÷àñò- íîñòè ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû: 1) äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå ïî êðàéíåé ìåðå îäíîãî ñëàáîãî ðåøåíèÿ çàäà- ÷è (1) ñ ïðîèçâîëüíûìè íà÷àëüíûìè äàííûìè, ïðèíàäëåæàùèìè ôàçîâîìó ïðî- ñòðàíñòâó H , ðåãóëÿðíîñòü è àïðèîðíûå îöåíêè äëÿ êàæäîãî ñëàáîãî ðåøåíèÿ; 2) äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå ôóíêöèè òèïà Ëÿïóíîâà äëÿ çàäà÷è (1); 3) èçó÷åí âîïðîñ íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ðåøåíèé îò íà÷àëüíûõ äàííûõ; 4) äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå ãëîáàëüíîãî è òðàåêòîðíîãî àòòðàêòîðîâ äëÿ ñëàáûõ ðåøåíèé çàäà÷è (1) â ôàçîâîì è ñîîòâåòñòâåííî ðàñøèðåííîì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâàõ, èñëåäîâàíà èõ ñòðóêòóðà, õàðàêòåð ñõîäèìîñòè ê àòòðàêòîðàì; 40 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 5) ïîëó÷åíà êîíå÷íîìåðíîñòü äèíàìèêè ðåøåíèé çàäà÷è ñ òî÷íîñòüþ äî ìà- ëîãî ïàðàìåòðà �. Íàéäåííûå ðåçóëüòàòû áóäóò ïðèìåíÿòüñÿ ïðè èññëåäîâàíèè êëèìàòîëîãè- ÷åñêîé ìîäåëè ýíåðãåòè÷åñêîãî áàëàíñà Áóäûêî–Ñåëëåðñà. Çàìåòèì, ÷òî êðàåâàÿ çàäà÷à ñ óñëîâèÿìè òèïà Äèðèõëå è Íåéìàíà äëÿ âêëþ- ÷åíèÿ (1) â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà R N áûëà èññëåäîâàíà â [7, 8]. Âêëþ÷åíèå (1), çàäàííîå íà ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè áåç êðàÿ ( , )M g , ðàññìî- òðåíî â ðàáîòàõ [9, 10]. ÑÓÙÅÑÒÂÎÂÀÍÈÅ ÑËÀÁÛÕ ÐÅØÅÍÈÉ ÇÀÄÀ×È, ÈÕ ÐÅÃÓËßÐÍÎÑÒÜ, ÀÏÐÈÎÐÍÛÅ ÎÖÅÍÊÈ Èçó÷èì âîïðîñû êîíñòðóêòèâíîãî ñóùåñòâîâàíèÿ, äîïîëíèòåëüíîé ãëàäêîñòè è àïðèîðíûõ îöåíîê äëÿ âñåõ ñëàáûõ ðåøåíèé çàäà÷è (1). Çàìå÷àíèå 1. Îòìåòèì, ÷òî âûïîëíåíèå ïðåäïîëîæåíèÿ 1 è ïðåäïîëîæåíèÿ 2 ãàðàíòèðóåò äëÿ êàæäîãî ñëàáîãî ðåøåíèÿ u( )� çàäà÷è (1) íà [ , ]� T ñóùåñòâîâàíèå òàêèõ èçìåðèìûõ ôóíêöèèé d d M T1 2, : ( , )� �� R, ÷òî d x t f x u x ti i( , ) ( , ( , ))�� äëÿ ï. â. ( , ) ( , )x t M T� � � , i 1 2, , è d x t d x t d x t( , ) ( , ) ( , ) �1 2 äëÿ ï.â. ( , ) ( , )x t M T� � � [9, 12]. Çàìåòèì, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå ñëàáîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ âêëþ÷å- íèÿ (1) ñ ïðîèçâîëüíûìè íà÷àëüíûìè äàííûìè èç H áûëî äîêàçàíî â [15, ðàçä. 2]. Îòìåòèì, ÷òî êàæäîå ñëàáîå ðåøåíèå çàäà÷è (1) íà [ , ]� T ðåãóëÿðíî, ò.å. äëÿ ñëàáîãî ðåøåíèÿ u( )� çàäà÷è (1) íà [ , ]� T ñïðàâåäëèâî, ÷òî u C T V( ) ([ , ]; )� � � �� L T H M V2 2( , ; ( ) )� � , u L T Ht ( ) ( , ; )� � �2 � � � � �� ( , )0 T [16]. Â [15, c. 56] è [16, c. 274] ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ âñåõ �� T è äëÿ êàæäîãî ñëàáîãî ðåøåíèÿ u( )� çàäà÷è (1) íà [ , ]� T ïðè � � � �1 , a c x dx M � 2 ( ) ñïðàâåäëèâî íåðà- âåíñòâî \| \| ( ) \| \| \| \| ( ) \| \| ( )u t u s e a s t T H H t s2 2 2� � � � � �� . (2) Îïðåäåëèì íà V H M� 2 ( ) ýêâèâàëåíòíóþ íîðìó � �� \| \| \| \|� H [17, ðàçä. III]. Òåîðåìà 1. Ñóùåñòâóåò òàêîå c� 0, ÷òî � �� T è äëÿ êàæäîãî ñëàáîãî ðåøå- íèÿ u( )� çàäà÷è (1) íà [ , ]� T èìååì ( ) \| \| ( ) \| \| ( ) \| \| ( ) \| \| ( \| \| ( ) t u t s u s ds c u V t H M V � � � � �� 2 2 2 1 ( ) \| \| ( ) ) ( , ]� � � H t t T 2 2� � � � . Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1 ïîäîáíî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 2 â [16] (ñì. òàê- æå [7–9]), íî ïðè äðóãèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè âçàèìîäåéñòâèÿ. Çàìå÷àíèå 2. Èç àâòîíîìíîñòè çàäà÷è (1) ñëåäóåò, ÷òî ñäâèã è ñêëåéêà ñëàáûõ ðåøåíèé òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è, ÷òî ïîçâîëÿåò êàæäîå ñëàáîå ðåøåíèå ïðîäîëæèòü äî ãëîáàëüíîãî, îïðåäåëåííîãî íà èíòåðâàëå [ , )0 �� [15, c. 62]. Îáîçíà÷èì K� ñåìåéñòâî âñåõ ñëàáûõ ðåøåíèé çàäà÷è (1), îïðåäåëåííûõ íà èíòåðâàëå [ , )0 �� . Ïðîñòðàíñòâî K� — òðàíñëÿöèîííî èíâàðèàíòíîå, ò.å. u h K( )� � � � � � � �u K( ) è h � 0. Â ïðîñòðàíñòâå K� ââåäåì òîïîëîãèþ, èíäóöè- ðîâàííóþ èç ïðîñòðàíñòâà Ôðåøå C Hloc R( ; )� [18]. Çàìåòèì, ÷òî f fn ( ) ( )� � � â C Hloc R( ; )� òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà � �M 0 ñïðàâåäëèâî � �0 0, ,( ) ( )M n Mf f� � � â C M H([ , ]; )0 , ãäå �0,M — îïåðàòîð ñóæåíèÿ íà [ , ]0 M [18]. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó (1) íà âñåé ÷èñëîâîé îñè. Ïóñòü u L H� � ( ; )R — ïîëíàÿ òðàåêòîðèÿ çàäà÷è (1), ò.å. �� u h Kh ( ) äëÿ âñåõ h�R, ãäå �� — îïåðàòîð ñóæåíèÿ íà [ , )0 �� . Ïóñòü K — ñåìåéñòâî âñåõ ïîëíûõ òðàåêòîðèé çà- äà÷è (1). Â ñèëó ðåãóëÿðíîñòè âñåõ ñëàáûõ ðåøåíèé è óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû 1 ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ êàæäîé ïîëíîé òðàåêòîðèè u( )� çàäà÷è (1) ñïðàâåäëèâî, ÷òî ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 41 � � �, ( ) ([ , ]; )T u C T V� � �loc L T H M V2 2( , ; ( ) )� � , � � �, ( ) ( , ; )T tu L T H� � 2 äëÿ âñåõ �� T , ãäå � � ,T — îïåðàòîð ñóæåíèÿ íà [ , ]� T (ñì. [19, c. 18]). Áî- ëåå òîãî, � � ~ C 0 òàêîå, ÷òî � � �u K( ) âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà \| \| ( ) \| \|u t V 2 � � � � ~ ( \| \| ( ) \| \| )C u t H 1 1 2 � �t R [19]. Òàêèì îáðàçîì, êàæäàÿ îãðàíè÷åííàÿ â H ïîë- íàÿ òðàåêòîðèÿ îãðàíè÷åíà â V . ÑÓÙÅÑÒÂÎÂÀÍÈÅ ÔÓÍÊÖÈÈ ÒÈÏÀ ËßÏÓÍÎÂÀ ÄËß ÇÀÄÀ×È (1) Ïåðåéäåì ê âîïðîñó î ñóùåñòâîâàíèè ôóíêöèè òèïà Ëÿïóíîâà. Çàìåòèì, ÷òî ýòîò âîïðîñ áûë èññëåäîâàí òàêæå â ðàáîòàõ [16, 20–27]. Ïîëíàÿ òðàåêòîðèÿ u K( )� � ñòàöèîíàðíà, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò z H M V� �2 ( ) , ÷òî u t z( ) � �t R. Ýëåìåíò z íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ïîêîÿ. Îáîçíà÷èì Z ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê ïîêîÿ. Íàïîìíèì [15], ÷òî E V: � R ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òèïà Ëÿïó- íîâà äëÿ çàäà÷è (1) â ñëó÷àå, êîãäà: a) E íåïðåðûâíà â V ; á) E u t E u s( ( )) ( ( ))� ïðè u K� � è t s� � 0; â) åñëè E u( ( ))� � const äëÿ íåêîòîðîãî u K� , òî u — ñòàöèîíàðíà. Ïóñòü J u f x u x dxi i M ( ) ( , ( )) � , u H� , i 1 2, . Èç ïðåäïîëîæåíèÿ 1 � �c L M3 1 ( ), c x3 0( ) � äëÿ ï. â. x M� , � �c4 0 òàêèå, ÷òî \| ( , ) \| ( ) \| \|f x u c x c ui � �3 4 2 äëÿ ï.â. x M� è � �u R , i 1 2, . Òàêèì îáðàçîì, J u f x u x dxi i M ( ) ( , ( )) � , u H� , i 1 2, , îïðåäåëåíû êîððåêòíî. Ïîëîæèì E u u x dx J u J u u V M ( ) \| ( ) \| ( ) ( ), � � �� 1 2 2 1 2 . (3) Òåîðåìà 2. Îòîáðàæåíèå E V: � R, çàäàííîå ñîîòíîøåíèåì (3), ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òèïà Ëÿïóíîâà äëÿ çàäà÷è (1). Áîëåå òîãî, � � �u K , ��, T , 0� � � �� T , ñïðàâåäëèâî E u T E u u s ds T t H ( ( )) ( ( )) \| \| ( ) \| \|� � �� 2 . (4) Äîêàçàòåëüñòâî. Ôóíêöèÿ E íåïðåðûâíà â V , òàêèì îáðàçîì ï. à) îïðåäåëå- íèÿ ôóíêöèè òèïà Ëÿïóíîâà âûïîëíåí. Äîêàæåì ï. á) îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè òèïà Ëÿïóíîâà. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ u K( )� � � . Äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè îáîçíà÷èì ñóæåíèå íà îòðåçîê [ , ]� T òàêæå ÷åðåç u( )� . Çàìåòèì, ÷òî u C T V( ) ([ , ]; )� � �� L T H M V2 2( , ; ( ) )� � è u L T Ht ( ) ( , ; )� � 2 � (ïîñêîëüêó � � 0). Òîãäà îòîáðàæåíèå t u t u x t dx V M � \| \| ( ) \| \| \| ( , ) \|2 2 � àáñîëþòíî íåïðåðûâíî íà [ , ]� T è äëÿ ï. â. t T�( , )� âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (ñì. [18, ðàçä. IV]): d dt u t u x t t u x t dx V M \| \| ( ) \| \| ( , ) ( , )2 2 � � �� . (5) Ïóñòü d M T: ( , )� �� R — ôóíêöèÿ èç îïðåäåëåíèÿ ñëàáîãî ðåøåíèÿ çàäà- ÷è (1), à g g L T H1 2 2, ( , ; )� � ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ 1. Èç [28, ëåììà 2.1] ñëåäóåò, ÷òî J ui ( ( ))� — àáñîëþòíî íåïðåðûâíû íà [ , ]� T è äëÿ ï. â. t T�( , )� � � �� h t J si i s u t( , ) ( ) \| ( ) , i 1 2, , ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî d dt J u t h x t u x t t dxi i M ( ( )) ( , ) ( , ) � �� . (6) 42 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ E u( ( ))� — àáñîëþòíî íåïðåðûâíà íà [ , ]� T êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ íà [ , ]� T ôóíêöèé. Ñîãëàñíî (5) è (6) d dt E u t u tt H ( ( )) \| \| ( ) \| \| � 2 äëÿ ï.â. t T�( , )� . Îòñþäà ïîëó÷àåì (4). Â ÷àñòíîñòè, E u t E u s( ( )) ( ( ))� ïðè T t s� � � �� 0. Ïîñêîëüêó u K( )� � � è 0� � � �� T — ïðî- èçâîëüíûå, òî ï. á) îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè òèïà Ëÿïóíîâà è ýíåðãåòè÷åñêîå ðàâåí- ñòâî (4) âûïîëíåíû. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî åñëè E u( ( ))� � const äëÿ íåêîòîðîãî u K� , òî ñîãëàñíî ðàâåíñòâó (4) u — ñòàöèîíàðíàÿ òðàåêòîðèÿ. ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÜ ÐÅØÅÍÈÉ ÎÒ ÍÀ×ÀËÜÍÛÕ ÄÀÍÍÛÕ Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ íà÷àëüíûõ äàííûõ u H� � ïîëîæèì, ÷òî D u u L T V uT� � �, ( ) ( ) ( , ; ) \| ( ) � � �{ 2 — ñëàáîå ðåøåíèå çàäà÷è (1) è u u( )� � }. Òåîðåìà 3. Ïóñòü �� T , u un� �, � ñëàáî ñõîäèòñÿ â H , u D un T n( ) ( ), ,� � � � , n � 1. Òîãäà ñóùåñòâóþò òàêèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }nk k�1 è ýëåìåíò u D uT( ) ( ),� � � � , ÷òî � � �� ( , )0 T sup \| \| ( ) ( ) \| \| , [ , ]t T n Vu t u t k k � � � � � � � � 0 , (7) � �� T n t t H u t u t dt k k \| \| ( ) ( ) \| \| ,, 2 0 . (8) Äîêàçàòåëüñòâî. Èç òåîðåìû 2 íàñòîÿùåé ñòàòüè, ðàáîòû [16, òåîðåìà 3], òåîðåìû Áàíàõà–Àëàîãëó [18] äèàãîíàëüíûì ìåòîäîì Êàíòîðà ïîëó÷àåì ñëå- äóþùåå: ñóùåñòâóþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }nk k�1 è ýëåìåíò u D uT( ) ( ),� � � � òàêèå, ÷òî ñóæåíèÿ unk ( )� è u( )� íà îòðåçîê [ , ]� �� T ïðèíàäëåæàò C T V([ , ]; )� �� L T H M V2 2( , ; ( ) )� �� è u u L T Hn t tk , ( ), ( ) ( , ; )� � � �2 � � , à òàê- æå ñïðàâåäëèâû ñëàáûå ñõîäèìîñòè u unk ( ) ( )� � � â L T H M V2 2( , ; ( ) )� �� , u unk ( ) ( )� � � â C T V([ , ]; )� �� , (9) u un t tk , ( ) ( )� � � â L T H2 ( , ; )� �� ïðè k � � äëÿ âñåõ � �� ( , )0 T , îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå (7). Äîêàæåì ñõîäèìîñòü (8). Èç òåîðåìû 2 ñëåäóþò ýíåðãåòè÷åñêèå íåðàâåíñòâà � � � � � � � � T t H u t dt E u E u T\| \| ( ) \| \| ( ( )) ( ( ))2 , (10) � � � � � � � � T n t H n nu t dt E u E u T k k k \| \| ( ) \| \| ( ( )) ( ( )), 2 , (11) k � 1, � �� ( , )0 T . Â ñèëó íåïðåðûâíîñòè E â ïðîñòðàíñòâå V è ñõîäèìîñòè (7) ïîëó÷àåì E u E u T E u E u T mn nk k ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )),� � � �� . (12) Òàêèì îáðàçîì, èç ôîðìóë (10)–(12) ñëåäóåò, ÷òî � � �� ( , )0 T � � � �� T n t H T t H u t dt u t dt k k \| \| ( ) \| \| \| \| ( ) \| \| ,, 2 2 . (13) ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 43 Òàê êàê L T2 ( ; )� �� — ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, èç (9) è (13) âûòåêàåò (8). Ðàññìîòðèì W M M u C M M V u L M M Ht( , ) ( ) ([ , ]; ): ( ) ( , ; )1 2 1 2 2 1 2 � � � �{ } — äåéñòâèòåëüíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî ñ íîðìîé \| \| ( ) \| \| ( , )u W M M� 1 2 � � �\| \| ( ) \| \| \| \| ( ) \| \|([ , ]; ) ( , ; ) u uC M M V t L M M H1 2 2 1 2 , M1, M 2 �R, M M1 2� . Ñóùåñòâîâà- íèå ôóíêöèè òèïà Ëÿïóíîâà ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü òàêæå ñõîäèìîñòè â ñèëüíîé òî- ïîëîãèè ïðîñòðàíñòâà W T( , )� �� äëÿ âñåõ ñëàáûõ ðåøåíèé çàäà÷è (1) íà [ , ]� T , ÷òî áûëî äîêàçàíî â [8] äëÿ çàäà÷è (1), ðàññìîòðåííîé â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà R N . ÑÓÙÅÑÒÂÎÂÀÍÈÅ È ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÃËÎÁÀËÜÍÎÃÎ È ÒÐÀÅÊÒÎÐÍÎÃÎ ÀÒÒÐÀÊÒÎÐÎÂ Îïðåäåëèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå G H H: \R � � � �2 ñëåäóþùèì îáðàçîì: G t u u t u K u u( , ) ( ) \| ( ) , ( )0 00 � � �{ }. Òåîðåìà 4. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå G åñòü ñòðîãèé ìíîãîçíà÷íûé ïîëó- ïîòîê [15, îïðåäåëåíèå 1.1, ñ. 5], îáëàäàþùèé ñâîéñòâîì àñèìïòîòè÷åñêîé êîì- ïàêòíîñòè [29, ñ. 35]. Äîêàçàòåëüñòâî ïîâòîðÿåò ðàññóæäåíèÿ ðàáîòû [15, ëåììà 2.7, c. 55]. Êðîìå òîãî, àñèìïòîòè÷åñêàÿ êîìïàêòíîñòü ìíîãîçíà÷íîãî ïîëóïîòîêà G áûëà ïîëó÷åíà â [16] äëÿ ñëó÷àÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî âêëþ÷åíèÿ (1) â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïðîñòðàí- ñòâà R N . Êîìïàêòíîñòü è ïëîòíîñòü âëîæåíèé V H V� � ïîçâîëÿåò äîêàçàòü àñèìïòîòè÷åñêóþ êîìïàêòíîñòü ïîëóïîòîêà G , ñëåäóÿ àíàëîãè÷íûì ñóæäåíèÿì. Ïóñòü { }T h h( ) �0 — òðàíñëÿöèîííàÿ ïîëóãðóïïà íà K� , ò .å . T h u u h( ) ( ) ( )� � � , h � 0, u K( )� � � . Îáîçíà÷èì dist X c C d D XC D c d( , ) sup inf \| \| \| \| � � � ïîëóìåòðèêó Õàóñäîðôà ìåæäó íåïóñòûìè ïîäìíîæåñòâàìè C è D ïðîèçâîëüíî- ãî áàíàõîâîãî ïðîñòðàíñòâà X [15, ñ. 5]. Òåîðåìà 5. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: � äëÿ ñòðîãîãî ìíîãîçíà÷íîãî ïîëóïîòîêà G ñóùåñòâóåò â ôàçîâîì ïðîñòðàí- ñòâå H èíâàðèàíòíûé ãëîáàëüíûé àòòðàêòîð A [15]; � ñóùåñòâóåò òðàåêòîðíûé àòòðàêòîð U � �K [19] â ïðîñòðàíñòâå K� ; � ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå U { A R } � � � � � � � �� K u K u t t( ) \| ( ) � � ��{ A}u K u( ) \| ( )0 ; � A — êîìïàêòíîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà V ; � äëÿ êàæäîãî íåïóñòîãî îãðàíè÷åííîãî ïîäìíîæåñòâà C H� èìååì dist AV G t C( ( , ), ) � 0, t � � ; � U — îãðàíè÷åííîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà L V� �( ; )R è �0,M U — êîìïàêò â W M( , )0 äëÿ êàæäîãî M � 0; � äëÿ ëþáîãî îãðàíè÷åííîãî â L H� �( ; )R ìíîæåñòâà C K� � è ëþáîãî M � 0 èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü dist UW M M MT t C( , ) , ,( ( ) , )0 0 0 0� � � , t � �� ; � K — îãðàíè÷åííîå ïîäìíîæåñòâî L V� ( ; )R ; � äëÿ êàæäîãî u K� ãðàíè÷íûå ìíîæåñòâà �( ) \| ( )u z V u t zj � �{ â V äëÿ íåêîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè t j � ��}, �( ) \| ( )u z V u t zj � �{ â V äëÿ íåêîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè t j � ��} ÿâëÿþòñÿ ñâÿçíûìè ïîäìíîæåñòâàìè ìíîæåñòâà Z . Åñëè Z ïîëíîñòüþ íåñâÿç- íî (â ÷àñòíîñòè, Z — ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî), òî â ïðîñòðàíñòâå V ïðåäåëû z u t t � �� lim ( ), z u t t � �� lim ( ) ñóùåñòâóþò è z� , z� — òî÷êè ïîêîÿ; áîëåå òîãî, ðåøåíèå u t( ) ñòðåìèòñÿ â ïðîñòðàíñòâå V ê òî÷êå ïîêîÿ ïðè t � �� äëÿ êàæäîãî u K� � . 44 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 Äîêàçàòåëüñòâî íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç òåîðåì 1, 2, 3 è ðàáîòû [7, òåî- ðåìà 3.5]. Êðîìå òîãî, ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå âûòåêàåò èç òåîðåìû 1 è ðàáî- òû [28, òåîðåìà 2.7]. ÊÎÍÅ×ÍÎÌÅÐÍÎÑÒÜ ÄÈÍÀÌÈÊÈ ÐÅØÅÍÈÉ Ñ ÒÎ×ÍÎÑÒÜÞ ÄÎ ÌÀËÎÃÎ ÏÀÐÀÌÅÒÐÀ Ïóñòü X — áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî. Ìåðà íåêîìïàêòíîñòè Êóðàòîâñêîãî k C( ) äëÿ îãðàíè÷åííîãî â X ìíîæåñòâà C îïðåäåëÿåòñÿ êàê k C C( ) inf : �{ 0 èìå- åò êîíå÷íîå îòêðûòîå ïîêðûòèå ìíîæåñòâ äèàìåòðîì � } [25]. Ìíîãîçíà÷íûé ïîëóïîòîê G X X: ( )R B� � � ÿâëÿåòñÿ �-ãðàíè÷íî êîìïàêò- íûì, åñëè äëÿ êàæäîãî îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà C X� èìååò ìåñòî k G t C t � � ! " # � � ( , ) � � 0, � � � [25]. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà êîíå÷íîìåðíîñòè ñ òî÷íîñ- òüþ äî ìàëîãî ïàðàìåòðà äèíàìèêè ðåøåíèé çàäà÷è íåîáõîäèìû äâå âñïîìàãàòåëüíûå ëåììû. Ëåììà 1. Åñëè ìíîãîçíà÷íûé ïîëóïîòîê G â ïîëíîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàí- ñòâå X — àñèìïòîòè÷åñêè êîìïàêòíûé, òî îí ÿâëÿåòñÿ �-ãðàíè÷íî êîìïàêòíûì [25, ëåììà 2.4]. Ëåììà 2. Ïóñòü G — ìíîãîçíà÷íûé ïîëóïîòîê â ðàâíîìåðíî âûïóêëîì áàíà- õîâîì ïðîñòðàíñòâå X . Åñëè G — �-ãðàíè÷íî êîìïàêòíûé ïîëóïîòîê, òî äëÿ êàæ- äîãî îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà C X� è � �� 0 ñóùåñòâóþò t C0 ( , )� è êîíå÷íîìåð- íîå ïîäïðîñòðàíñòâî E â X òàêèå, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî ïðîåêòîðà P X: � E ìíî- æåñòâî P G t C t t � � ! " # � ( , ) 0 � îãðàíè÷åíî â X è ( ) ( , ) ( )I P G t C C t t � � � ! " # � � 0 0� � , ãäå I — òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå â X [25, ëåììà 2.6]. Òåîðåìà 6. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå G H H: \R � � � �2 , ïîðîæäåí- íîå ðåøåíèÿìè çàäà÷è (1), êîíå÷íîìåðíî ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîèçâîëüíî çàäàííîãî ïàðàìåòðà �, ò.å. äëÿ êàæäîãî îãðàíè÷åííîãî ïîäìíîæåñòâà C H� è �� 0 ñóùåñò- âóþò òàêèå t C0 ( , )� , êîíå÷íîìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî E â H è îãðàíè÷åííûé ïðî- åêòîð P H: � E, ÷òî ìíîæåñòâî P G t C t t � � ! " # � ( , ) 0 � îãðàíè÷åíî â H è ( )I P� � � � � ! " # � � G t C C t t ( , ) ( ) 0 0� � . Äîêàçàòåëüñòâî. Îñíîâûâàÿñü íà ñâîéñòâàõ ñëàáîé è ñèëüíîé ñõîäèìîñòè ñëàáûõ ðåøåíèé, àñèìïòîòè÷åñêîé êîìïàêòíîñòè ìíîãîçíà÷íîãî ïîëóïîòîêà G , ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ëåììû 1, 2 è ó÷èòûâàÿ ñåïàðàáåëüíîñòü ãèëüáåðòîâà ïðî- ñòðàíñòâà H , ïîëó÷àåì íåîáõîäèìîå óòâåðæäåíèå (ñì. [30]). ÊËÈÌÀÒÎËÎÃÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ ÝÍÅÐÃÅÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÁÀËÀÍÑÀ ÁÓÄÛÊÎ–ÑÅËËÅÐÑÀ Ïóñòü ( , )M g — C � -êîìïàêòíîå ñâÿçíîå îðèåíòèðîâàííîå äâóìåðíîå ðèìàíî- âî ìíîãîîáðàçèå áåç êðàÿ (íàïðèìåð, M S 2 — åäèíè÷íàÿ ñôåðà â R 3). Ðàñ- ñìîòðèì çàäà÷ó � � � � � � �� u t u R x u QS x u x t Me� ( , ) ( ) ( ), ( , ) R , (14) ãäå � u uM M div ( ); M — ãðàäèåíò, çàäàííûé íà ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè ( , )M g . Îòìåòèì, ÷òî âêëþ÷åíèå (14) — ýòî êëèìàòîëîãè÷åñêàÿ ìîäåëü ýíåðãå- òè÷åñêîãî áàëàíñà. Íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ u x t( , ) ïðåäñòàâëÿåò ñðåäíþþ òåìïåðà- òóðó çåìíîé ïîâåðõíîñòè. Â ðàáîòå [1] ýíåðãåòè÷åñêèé áàëàíñ âûðàæàåòñÿ êàê âàðèàöèÿ òåìïåðàòóðû � �R R Da e , (15) ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 45 ãäå R QS x ua ( ) ( ) , ïðè ýòîì Ra — ñîëíå÷íàÿ ýíåðãèÿ, êîòîðóþ ïîãëîùàåò Çåìëÿ; Q � 0 — ñîëíå÷íàÿ ïîñòîÿííàÿ (ñðåäíåå çíà÷åíèå çà ãîä è ïî çåìíîé ïî- âåðõíîñòè ïîãëîùåííîãî ñîëíå÷íîãî ðàäèàöèîííîãî ïîòîêà); S x( ) — ôóíêöèÿ èíñîëÿöèè, çàäàííàÿ ðàñïðåäåëåíèåì ñîëíå÷íîãî èçëó÷åíèÿ, ïàäàþùåãî íà âåðõ- íèå ñëîè àòìîñôåðû; — ôóíêöèÿ êî-àëüáåäî, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïîãëîùåííîé è èçëó÷àåìîé ñîëíå÷íîé ýíåðãèåé â òî÷êå x çåìíîé ïîâåðõ- íîñòè. Î÷åâèäíî, ÷òî ( ( , ))u x t çàâèñèò îò ïðèðîäû çåìíîé ïîâåðõíîñòè. Íàïðè- ìåð, íà ëåäíèêàõ çíà÷åíèå ( ( , ))u x t íàìíîãî ìåíüøå, ÷åì íà ïîâåðõíîñòè îêåà- íà, ïîñêîëüêó áåëûé öâåò ëüäà îòðàæàåò áîëüøåå êîëè÷åñòâî èçëó÷àåìîé ñîëíå÷- íîé ýíåðãèè, òîãäà êàê îêåàí áëàãîäàðÿ ñâîåìó òåìíîìó öâåòó è âûñîêîé òåïëîåìêîñòè ïîãëîùàåò áîëüøåå êîëè÷åñòâî èçëó÷àåìîé ñîëíå÷íîé ýíåðãèè. Ñî- îòâåòñòâåííî ôóíêöèÿ ( ( , ))u x t ìîæåò áûòü ðàçðûâíîé. Ñëàãàåìîå Re â (15) ðåïðåçåíòèðóåò ýíåðãèþ, èçëó÷àåìóþ Çåìëåé. Êàê ïðàâèëî, Re ïðåäñòàâëÿåò âîç- ðàñòàþùóþ ïî u ôóíêöèþ. Ñëàãàåìîå D — äèôôóçèÿ òåïëà. Â öåëÿõ óïðîùå- íèÿ ðàññóæäåíèé, íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ïðåäïîëîæèì, ÷òî îíà ïîñòîÿííàÿ. Ñëàãàåìîå Re âûáèðàåì ñîãëàñíî çàêîíó Íüþòîíà êàê ëèíåéíóþ ôóíêöèþ îò u, R Bu Ce � (çäåñü B, C — íåêîòîðûå ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû) [1], èëè ñîãëàñ- íî çàêîíó Ñòåôàíà–Áîëüöìàíà R ue � 4 [2]. Â äàííîì èññëåäîâàíèè, êàê è â [1], ìû ðàññìàòðèâàåì R Bue . Ïóñòü äëÿ ôóíêöèè S M: � R âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ: S L M� � ( ) è ñóùåñò- âóþò òàêèå ïîñòîÿííûå S S0 1 0, � , ÷òî 0 0 1� � �S S x S( ) . Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî — ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå â R 2, äëÿ êîòîðîãî ñóùåñòâóþò òàêèå m, M �R, ÷òî m z M� � äëÿ âñåõ s�R è z s� ( ). Çàìå÷àíèå 3. Çàäà÷à (14) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì âêëþ÷åíèÿ (1), è äëÿ íåå ñïðàâåäëèâû óñëîâèÿ ïðåäïîëîæåíèÿ 1 è ïðåäïîëîæåíèÿ 2. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå óòâåðæäåíèÿ òåîðåì 1–6 ñïðàâåäëèâû äëÿ âñåõ ñëàáûõ ðåøåíèé çàäà÷è (14). Çàìå÷àíèå 4. Â ðàáîòå [11] ðàññìîòðåí ÷àñòíûé ñëó÷àé çàäà÷è (14), ãäå íå- èçâåñòíîé âåëè÷èíîé áûëà ìåðèäèàëüíàÿ òåìïåðàòóðà çåìíîé ïîâåðõíîñòè, ò.å. ðàññìîòðåíà êðàåâàÿ çàäà÷à u u u u x t u t u t t t xx x � � � � � � � � 2 0 1 0 0 0 1 0 ( ), ( , ), , ( , ) , ( , ) , 0 0 0 10 , ( , ) ( ), ( , ),u x u x x � $ % & ' & ãäå � 2 — çàäàííûé ïàðàìåòð; — ìàêñèìàëüíî ìîíîòîííîå îòîáðàæåíèå â R 2; ( ) ( )r f r ïðè r ( �, �( ) [ , ] f 0 1 ; f f f H( ) ( ) ( )� � � � � �0 01 äëÿ íåêîòîðûõ �� 0 ïðè f 0 0 1�( , ); H s( ) — ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà: H s( ) 0 ïðè s� 0, H s( ) 1 ïðè s � 0. Áûëè èçó÷åíû ñâîéñòâà ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé ýòîé çàäà÷è. Êðîìå òîãî, áûëî äîêàçàíî, ÷òî â èññëåäóåìîì ñëó÷àå çàäà÷à èìååò òðè ðåãóëÿðíûõ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèÿ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñîëíå÷íàÿ ïîñòîÿííàÿ � ïðèíàä- ëåæèò ( , )� �1 2 , ãäå �1, � 2 — ïîðîãîâûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà � , îïðåäåëåííûå â [11]. Ïðè ýòîì äâà ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèÿ u, u ïîðîæäàþò ñâîáîäíóþ ãðà- íèöó (ò.å. äâå ñèììåòðè÷íûå ëåäíèêîâûå «øàïêè»: ïîëÿðíóþ þæíóþ è ïî- ëÿðíóþ ñåâåðíóþ) è òðåòüå ðåøåíèå u ñîîòâåòñòâóåò ïîëíîìó ïîêðûòèþ Çåìëè ëüäîì. Ñðåäè äâóõ áîëåå ðåàëèñòè÷íûõ ðåøåíèé óñòîé÷èâûì ÿâëÿåòñÿ òî, êîòîðîå îòâå÷àåò ìåíüøåé ïîëÿðíîé ëåäíèêîâîé øàïêå ( )u , à ðåøåíèå, ñî- îòâåòñòâóþùåå áîëüøåé ëåäíèêîâîé øàïêå ( )u , íåóñòîé÷èâî. Òàêèì îáðàçîì, ñëåäóÿ òåîðåìàì 5 è 6 ñîãëàñíî ìîäåëè Áóäûêî–Ñåëëåðñà àñèìïòîòè÷åñêè (ïðè âðåìåíè t � �) âîçìîæíû òîëüêî òðè îïèñàíûõ âûøå ñöåíàðèÿ, ñðåäè 46 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 êîòîðûõ äâà óñòîé÷èâû (ïîòðàåêòîðíîå ïðèòÿæåíèå ïðè ìàëîì èçìåíåíèè íà÷àëü- íûõ äàííûõ è óâåëè÷åíèè âðåìåíè) è îäèí íåóñòîé÷èâûé (ðàñõîæäåíèå òðàåê- òîðèé ïðè ìàëîì èçìåíåíèè íà÷àëüíûõ äàííûõ è óâåëè÷åíèè âðåìåíè). Â ðàáîòå [11] ïðèâåäåíî òàêæå ãðàôè- ÷åñêîå èçîáðàæåíèå íàéäåíûõ ñòàöèîíàð- íûõ ðåøåíèé u , u , u êðàåâîé çàäà÷è íà îò- ðåçêå [ , ]�1 1 (ðèñ. 1). ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Èññëåäîâàíà êëèìàòîëîãè÷åñêàÿ ìîäåëü íà îñíîâå èäåé, ìåòîäîâ è ïîäõîäîâ íåëè- íåéíîãî è ìíîãîçíà÷íîãî àíàëèçà, òåîðèè íåëèíåéíûõ ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé è âêëþ÷åíèé, òåîðèè ãëîáàëüíûõ è òðàåêòîð- íûõ àòòðàêòîðîâ ìíîãîçíà÷íûõ ïîëóïîòî- êîâ. Êëèìàòîëîãè÷åñêàÿ ìîäåëü ýíåðãåòè- ÷åñêîãî áàëàíñà Áóäûêî–Ñåëëåðñà ïðåä- ñòàâëÿåò íåëèíåéíîå ýâîëþöèîííîå âêëþ÷åíèå ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà íà ðèìà- íîâîì ìíîãîîáðàçèè áåç êðàÿ. Ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû: äîêàçàíî ñóùåñòâî- âàíèå ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ñ ïðî- èçâîëüíûìè íà÷àëüíûìè äàííûìè èç ôàçî- âîãî ïðîñòðàíñòâà, èçó÷åíû ñâîéñòâà è ðå- ãóëÿðíîñòü ðåøåíèÿ; íàéäåíà ôóíêöèÿ òèïà Ëÿïóíîâà; èçó÷åí õàðàêòåð çàâèñèìîñòè ðåøåíèé îò íà÷àëüíûõ äàííûõ; äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå ãëîáàëüíîãî è òðàåêòîðíîãî àòòðàêòîðîâ, óñòàíîâëåíû èõ òîïîëîãè- ÷åñêèå ñâîéñòâà è âçàèìîñâÿçü ìåæäó íèìè è ïðîñòðàíñòâîì ïîëíûõ òðàåêòîðèé çàäà÷è; èññëåäîâàíû õàðàêòåð ïðèòÿæåíèÿ ðåøåíèé ê ãëîáàëüíîìó è òðàåêòîðíîìó àòòðàêòîðàì è èõ ñòðóêòóðíûå ñâîéñòâà; óñòàíîâëåíà êîíå÷íîìåðíîñòü ðåøåíèé ñ òî÷íîñòüþ äî ìàëîãî ïàðàìåòðà. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû êà÷åñòâåííî è êîëè÷åñ- òâåííî ïîäòâåðæäàþò ãèïîòåçû Áóäûêî, Ñåëëåðñà è Äèàñà îòíîñèòåëüíî âîçìîæ- íûõ ñöåíàðèåâ äèíàìèêè òåìïåðàòóðû çåìíîé ïîâåðõíîñòè ïðè âðåìåíè t � �. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Budyko M.I. The effects of solar radiation variations on the climate of the Earth. Tellus. 1969. Vol. 21. P. 611–619. 2. Sellers W.D. A global climatic model based on the energy balance of the Earth-atmosphere system. J. Appl. Meteorol. 1969. Vol. 8. P. 392–400. 3. D�az H., D�az J.I. On a stochastic parabolic PDE arising in climatology. Rev. R. Acad. Cien. Serie A Mat. 2002. Vol. 96. P. 123–128. 4. D�az J.I., Hern�ndez J., Tello L. On the multiplicity of equilibrium solutions to a nonlinear diffusion equation on a manifold arising in climatology. J. Math. Anal. Appl. 1997. Vol. 216. P. 593–613. 5. D�az J.I., Hern�ndez J., Tello L. Some results about multiplicity and bifurcation of stationary solutions of a reaction diffusion climatological model. Rev. R. Acad. Cien. Serie A. Mat. 2002. Vol. 96. P. 357–366. 6. Gluzman M.O., Gorban N.V., Kasyanov P.O. Lyapunov type functions for classes of autonomous parabolic feedback control problems and applications. Applied Mathematics Letters. 2015. Vol. 39. P. 19–21. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 47 Ðèñ. 1. Ãðàôèê çàâèñèìîñòè òðåõ ðàâíî- âåñíûõ òåìïåðàòóð ïîâåðõíîñòè àòìî- ñôåðû îò ðàâíîøèðîòíûõ ïàðàëëåëüíûõ îêðóæíîñòåé ïðè x � �[ , ]1 1 x 1 x �1 � x� �, x� �, x 0 x� �, � x� �, u u u � 7. Gluzman M.O., Gorban N.V., Kasyanov P.O. Lyapunov functions for weak solutions of reaction–diffusion equations with discontinuous interaction functions and its applications. Nonautonomous Dyn. Syst. 2015. Vol. 2. P. 1–11. 8. Gluzman M.O., Gorban N.V., Kasyanov P.O. Lyapunov functions for differential inclusions and applications in physics, biology, and climatology. In: Continuous and distributed systems II. Series: Studies in Systems, Decision and Control. Sadovnichiy V.A., Zgurovsky M.Z. (Eds.). 2015. Vol. 30. P. 233–243. 9. Gorban N.V., Khomenko O.V., Paliichuk L.S., Tkachuk A.M. Long-time behavior of state functions for climate energy balance model. DCDS-B. 2017. Vol. 22, N 5. P. 1887–1897. 10. Gorban N.V., Gluzman M.O., Kasyanov P.O., Tkachuk A.M. Long-time behavior of state functions for Budyko models. In: Advances in Dynamical Systems and Control. Series: Studies in Systems, Decision and Control. Sadovnichiy V.A., Zgurovsky M.Z. (Eds.). Cham: Springer, 2016. Vol. 69. P. 351–359. 11. Bensid S., Diaz J.I. On the exact number of monotone solutions of a simplified Budyko climate model and their different stability. DCDS. 2019. Vol. 24, N 3. P. 1033–1047. 12. Clarke F.H. Optimization and nonsmooth analysis. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1983. 308 p. 13. Smoller J. Shock waves and reaction-diffusion equations. New York: Springer, 1983. 581p. 14. Aubin T. Nonlinear analysis on manifolds. Monge-Amp�re equations. Berlin: Springer, 1980. 204 p. 15. Zgurovsky M.Z., Kasyanov P.O., Kapustyan O.V., Valero J., Zadoianchuk N.V. Evolution inclusions and variation inequalities for Earth data processing. III. Heidelberg; New York; Dordreht; London: Springer, 2012. 330 p. 16. Kasyanov P.O., Toscano L., Zadoianchuk N.V. Regularity of weak solutions and their attractors for a parabolic feedback control problem. Set-Valued and Variational Analysis. 2013. Vol. 21, N 2. P. 271–282. 17. Temam R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. New York: Springer, 1988. 500 p. 18. Gajewski H., Groger K., Zacharias K. Nichtlineare Operatorleichngen und Operatordifferential-gleichungen. Berlin: Academie-Verlag, 1974. 281 p. 19. Chepyzhov V.V., Vishik M.I. Trajectory and global attractors for 3D Navier–Stokes system. Mathematical Notes. 2002. Vol. 71. P. 177–193. 20. Kasyanov P.O., Toscano L., Zadoianchuk N.V. Long-time behavior of solutions for autonomous evolution hemivariational inequality with multidimensional “reaction-displacemen” law. Abstract and Applied Analysis. 2012. Vol. 2012, Article ID 450984. 21 p. 21. Zgurovsky M.Z., Kasyanov P.O., Zadoianchuk N.V. Long-time behavior of solutions for quasilinear hyperbolic hemivariational inequalities with application to piezoelectricity problem. Applied Mathematics Letters. 2012. Vol. 25, N 10. P. 1569–1574. 22. Zadoianchuk N.V., Kasyanov P.O. Dynamics of solutions of a class of second-order autonomous evolution inclusions. Cybernetics and Systems Analysis. 2012. Vol. 48, N 3. P. 414–420. 23. Arrieta J.M., Rodr�guez-Bernal A., Valero J. Dynamics of a reaction–diffusion equation with a discontinuous nonlinearity. Int. J. Bifurcation and Chaos. 2006. Vol. 16. P. 2695–2984. 24. Valero J. Attractors of parabolic equations without uniqueness. Journal of Dynamics and Differential Equations. 2001. Vol. 13, N 4. P. 711–744. 25. Kalita P., Lukaszewicz G. Global attractors for multivalued semiflows with weak continuity properties. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 2014. Vol. 101. P. 124–143. 26. Kalita P., Lukaszewicz G. Attractors for Navier–Stokes flows with multivalued and nonmonotone subdifferential boundary conditions. Nonlinear Analysis: Real World Applications. 2014. Vol. 19. P. 75–88. 27. Gorban N.V., Kapustyan O.V., Kasyanov P.O., Paliichuk L.S. On global attractors for autonomous damped wave equation with discontinuous nonlinearity. In: Continuous and Distributed Systems. Series: Solid Mechanics and Its Applications. Zgurovsky M.Z., Sadovnichiy V.A. (Eds.). 2014. Vol. 211. P. 221–237. 28. Barbu V. Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces. Leyden: Noordhoff, 1974. 351 p. 29. Ball J.M. Global attractors for damped semilinear wave equations. DCDS. 2004. Vol. 10. P. 31–52. 30. Çãóðîâñüêèé Ì.Ç., Êàñüÿíîâ Ï.Î., Ãîðáàíü Í.Â., Ïàë³é÷óê Ë.Ñ. ßê³ñí³ âëàñòèâîñò³ òà ñê³í÷åííî- âèì³ðí³ñòü ç òî÷í³ñòþ äî ìàëîãî ïàðàìåòðà ñëàáêèõ ðîçâ’ÿçê³â êë³ìàòîëîã³÷íî¿ ìîäåë³ Áóäèêî– Ñåëëåðñà. Ñèñòåìí³ äîñë³äæåííÿ òà ³íôîðìàö³éí³ òåõíîëîã³¿. 2018. ¹ 4. Ñ. 7–18. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 05.02.2019 48 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 Ì.Ç. Çãóðîâñüêèé, Ï.Î. Êàñüÿíîâ, Í.Â. Ãîðáàíü, Ë.Ñ. Ïàë³é÷óê ßÊ²ÑÍÈÉ ² Ê²ËÜÊ²ÑÍÈÉ ÀÍÀË²Ç ÑËÀÁÊÈÕ ÐÎÇÂ’ßÇÊ²Â ÅÍÅÐÃÎÁÀËÀÍÑÍÈÕ ÊË²ÌÀÒÎËÎÃ²×ÍÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ Àíîòàö³ÿ. Ïðîâåäåíî ÿê³ñíèé àíàë³ç äèíàì³êè ðîçâ’ÿçê³â êë³ìàòîëîã³÷íî¿ ìîäåë³ åíåðãåòè÷íîãî áàëàíñó Áóäèêî–Ñåëëåðñà, ÿêà ðîçãëÿíóòà íà ð³ìàíî- âîìó ìíîãîâèä³ áåç êðàþ. Äîâåäåíî ãëîáàëüíå ³ñíóâàííÿ ñëàáêîãî ðîçâ’ÿçêó äîñë³äæóâàíî¿ çàäà÷³ ç äîâ³ëüíèìè ïî÷àòêîâèìè äàíèìè ç ôàçîâîãî ïðîñòî- ðó, âèâ÷åíî éîãî âëàñòèâîñò³ òà ðåãóëÿðí³ñòü. Äîâåäåíî òåîðåìè ³ñíóâàííÿ ãëîáàëüíîãî òà òðàºêòîðíîãî àòðàêòîð³â äëÿ áàãàòîçíà÷íîãî íàï³âïîòîêó, ïî- ðîäæåíîãî âñ³ìà ñëàáêèìè ðîçâ’ÿçêàìè çàäà÷³. Âèâ÷åíî âëàñòèâîñò³ àòðàê- òîð³â, âñòàíîâëåíî âçàºìîçâ’ÿçîê ì³æ íèìè òà ïðîñòîðîì ïîâíèõ òðàºêòîð³é çàäà÷³. Äîñë³äæåíî õàðàêòåð ïðèòÿãíåííÿ ðîçâ’ÿçê³â äî ãëîáàëüíîãî ³ òðàºêòîðíîãî àòðàêòîð³â òà ¿õíþ ñòðóêòóðó. Âñòàíîâëåíî ñê³í÷åííî- âèì³ðí³ñòü ç òî÷í³ñòþ äî ìàëîãî ïàðàìåòðà äèíàì³êè ðîçâ’ÿçê³â çàäà÷³. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: êë³ìàòîëîã³÷íà ìîäåëü åíåðãåòè÷íîãî áàëàíñó Áóäèêî–Ñåë- ëåðñà, ãëîáàëüíèé àòðàêòîð, òðàºêòîðíèé àòðàêòîð, ñê³í÷åííîâèì³ðí³ñòü ç òî÷í³ñòþ äî ìàëîãî ïàðàìåòðà, áàãàòîçíà÷íèé íàï³âïîò³ê, ñëàáêèé ðîçâ’ÿçîê, ð³âíÿííÿ ðåàêö³¿–äèôóç³¿. M.Z. Zgurovsky, P.O Kasyanov, N.V. Gorban, L.S. Paliichuk QUALITATIVE AND QUANTITATIVE ANALYSIS OF WEAK SOLUTIONS OF ENERGY-BALANCE CLIMATOLOGICAL MODELS Abstract. A qualitative analysis of the solutions behavior for the Budyko–Sellers energy balance climate model, considered on the Riemannian manifold without boundary is carried out. The global existence of the weak solution for the investigated problem with arbitrary initial data from the phase space is proved. Solutions’ properties and regularity are analyzed. The theorems on the existence of global and trajectory attractors for multi-valued semi-flow generated by all weak solutions of the problem are proved. The properties of attractors are analyzed. The relationship between attractors and the space of complete trajectories for the problem is established. The character of attraction of solutions to global and trajectory attractors and their structure are investigated. The finite-dimensionality up to a small parameter of the solutions dynamics is obtained. Keywords: Budyko–Sellers energy balance climate model, global attractor, trajectory attractor, finite-dimensionality up to a small parameter, multi-valued semi-flow, weak solution, reaction–diffusion equation. Çãóðîâñêèé Ìèõàèë Çàõàðîâè÷, àêàäåìèê ÍÀÍ Óêðàèíû, ïðîôåññîð, äîêòîð òåõí. íàóê, ðåêòîð Íàöèîíàëüíîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà Óêðàèíû «Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èíñòèòóò èìåíè Èãîðÿ Ñèêîðñêîãî», Êèåâ, e-mail: zgurovsm@hotmail.com; mzz@kpi.ua. Êàñüÿíîâ Ïàâåë Îëåãîâè÷, äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, äèðåêòîð Ó÷åáíî-íàó÷íîãî êîìïëåêñà «Èíñòèòóò ïðèêëàäíîãî ñèñòåìíîãî àíàëèçà» Íàöèîíàëüíîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà Óêðàèíû «Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èíñòèòóò èìåíè Èãîðÿ Ñèêîðñêîãî», Êèåâ, e-mail: p.o.kasyanov@gmail.com. Ãîðáàíü Íàòàëèÿ Âëàäèìèðîâíà, êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðû Èíñòèòóòà ïðèêëàäíîãî ñèñòåìíîãî àíàëèçà Íàöèîíàëüíîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà Óêðàèíû «Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èíñòèòóò èìåíè Èãîðÿ Ñèêîð- ñêîãî», Êèåâ, e-mail: nataliia.v.gorban@gmail.com. Ïàëèé÷óê Ëèëèÿ Ñåðãååâíà, êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, àññèñòåíò êàôåäðû Èíñòèòóòà ïðèêëàäíîãî ñèñòåìíîãî àíàëèçà Íàöèîíàëü- íîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà Óêðàèíû «Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èíñòèòóò èìåíè Èãîðÿ Ñèêîðñêîãî», Êèåâ, e-mail: lili262808@gmail.com. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 49

Качественный и количественный анализ слабых решений энергобалансных климатологических моделей

Репозитарії

Схожі ресурси