Оптимизация размещения сосредоточенных источников и точек контроля процесса нагрева пластины
На примере управления процессом нагрева тонкой пластины предложен подход для синтеза сосредоточенных управлений объектами с распределенными параметрами. Одновременно оптимизируются места расположения как управляющих сосредоточенных воздействий, так и точек контроля. Получены формулы для компонент гр...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2019
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/181014 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оптимизация размещения сосредоточенных источников и точек контроля процесса нагрева пластины / К.Р. Айда-Заде, В.А. Гашимов // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 56, № 4. — С. 97-108. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-181014 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1810142021-10-27T01:26:49Z Оптимизация размещения сосредоточенных источников и точек контроля процесса нагрева пластины Айда-Заде, К.Р. Гашимов, В.А. Системний аналіз На примере управления процессом нагрева тонкой пластины предложен подход для синтеза сосредоточенных управлений объектами с распределенными параметрами. Одновременно оптимизируются места расположения как управляющих сосредоточенных воздействий, так и точек контроля. Получены формулы для компонент градиента функционала по оптимизируемым параметрам, позволяющие использовать методы оптимизации первого порядка для численного решения задачи. На прикладі керування процесом нагрівання тонкої пластини запропоновано підхід до синтезу зосереджених керувань об'єктами з розподіленими параметрами. Одночасно оптимізуються місця розміщення як керувальних зосереджених впливів, так і точок контролю. Отримано формули для компонентів градієнта функціоналу за оптимізовними параметрами, що дають змогу використовувати методи оптимізації першого порядку для чисельного розв'язання задачі Using the example of control of the heating process of a thin plate, the authors propose an approach for the synthesis of lumped controls of objects with distributed parameters. At the same time, the locations of both lumped controls and control points are optimized. Formulas for the components of the functional gradient are obtained for the optimized parameters. They allow using first-order optimization methods for numerical solution of the problem. 2019 Article Оптимизация размещения сосредоточенных источников и точек контроля процесса нагрева пластины / К.Р. Айда-Заде, В.А. Гашимов // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 56, № 4. — С. 97-108. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/181014 519.622 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системний аналіз Системний аналіз |
| spellingShingle |
Системний аналіз Системний аналіз Айда-Заде, К.Р. Гашимов, В.А. Оптимизация размещения сосредоточенных источников и точек контроля процесса нагрева пластины Кибернетика и системный анализ |
| description |
На примере управления процессом нагрева тонкой пластины предложен подход для синтеза сосредоточенных управлений объектами с распределенными параметрами. Одновременно оптимизируются места расположения как управляющих сосредоточенных воздействий, так и точек контроля. Получены формулы для компонент градиента функционала по оптимизируемым параметрам, позволяющие использовать методы оптимизации первого порядка для численного решения задачи. |
| format |
Article |
| author |
Айда-Заде, К.Р. Гашимов, В.А. |
| author_facet |
Айда-Заде, К.Р. Гашимов, В.А. |
| author_sort |
Айда-Заде, К.Р. |
| title |
Оптимизация размещения сосредоточенных источников и точек контроля процесса нагрева пластины |
| title_short |
Оптимизация размещения сосредоточенных источников и точек контроля процесса нагрева пластины |
| title_full |
Оптимизация размещения сосредоточенных источников и точек контроля процесса нагрева пластины |
| title_fullStr |
Оптимизация размещения сосредоточенных источников и точек контроля процесса нагрева пластины |
| title_full_unstemmed |
Оптимизация размещения сосредоточенных источников и точек контроля процесса нагрева пластины |
| title_sort |
оптимизация размещения сосредоточенных источников и точек контроля процесса нагрева пластины |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2019 |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/181014 |
| citation_txt |
Оптимизация размещения сосредоточенных источников и точек контроля процесса нагрева пластины / К.Р. Айда-Заде, В.А. Гашимов // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 56, № 4. — С. 97-108. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT ajdazadekr optimizaciârazmeŝeniâsosredotočennyhistočnikovitočekkontrolâprocessanagrevaplastiny AT gašimovva optimizaciârazmeŝeniâsosredotočennyhistočnikovitočekkontrolâprocessanagrevaplastiny |
| first_indexed |
2025-07-15T21:31:52Z |
| last_indexed |
2025-07-15T21:31:52Z |
| _version_ |
1837750146492792832 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.622
Ê.Ð. ÀÉÄÀ-ÇÀÄÅ, Â.À. ÃÀØÈÌÎÂ
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÐÀÇÌÅÙÅÍÈß ÑÎÑÐÅÄÎÒÎ×ÅÍÍÛÕ ÈÑÒÎ×ÍÈÊÎÂ
È ÒÎ×ÅÊ ÊÎÍÒÐÎËß ÏÐÎÖÅÑÑÀ ÍÀÃÐÅÂÀ ÏËÀÑÒÈÍÛ
Àííîòàöèÿ. Íà ïðèìåðå óïðàâëåíèÿ ïðîöåññîì íàãðåâà òîíêîé ïëàñòèíû
ïðåäëîæåí ïîäõîä äëÿ ñèíòåçà ñîñðåäîòî÷åííûõ óïðàâëåíèé îáúåêòàìè
ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè. Îäíîâðåìåííî îïòèìèçèðóþòñÿ ìåñòà ðàñ-
ïîëîæåíèÿ êàê óïðàâëÿþùèõ ñîñðåäîòî÷åííûõ âîçäåéñòâèé, òàê è òî÷åê
êîíòðîëÿ. Ïîëó÷åíû ôîðìóëû äëÿ êîìïîíåíò ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà ïî
îïòèìèçèðóåìûì ïàðàìåòðàì, ïîçâîëÿþùèå èñïîëüçîâàòü ìåòîäû îïòèìèçà-
öèè ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïðîöåññ íàãðåâà, òîíêàÿ ïëàñòèíà, ñèíòåç óïðàâëåíèÿ, òî÷å÷-
íûé èñòî÷íèê, òî÷êà çàìåðà, íåëîêàëüíîå óñëîâèå, ìåòîä ïðîåêöèè ãðàäèåíòà.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 ðàáîòå èññëåäîâàíà çàäà÷à ñèíòåçà óïðàâëåíèÿ îáúåêòàìè ñ ðàñïðåäåëåííûìè
ïàðàìåòðàìè ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ ñ îäíîâðåìåííîé îïòèìèçàöèåé ìåñò ðàçìåùå-
íèÿ òî÷å÷íî ñîñðåäîòî÷åííûõ óïðàâëåíèé è òî÷åê êîíòðîëÿ ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà.
 êà÷åñòâå îáúåêòà âûáðàí ïðîöåññ óïðàâëåíèÿ íàãðåâîì òî÷å÷íûìè èñòî÷íèêà-
ìè òåïëà òîíêîé ïëàñòèíû, íà êîòîðîé óñòàíîâëåíû äàò÷èêè òåìïåðàòóðû. Ðå-
çóëüòàòû çàìåðîâ òåìïåðàòóðû â òî÷êàõ êîíòðîëÿ èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ôîðìèðîâà-
íèÿ òåêóùèõ çíà÷åíèé óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé — ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ.
Ñîâðåìåííûé óðîâåíü ñîñòîÿíèÿ ñðåäñòâ òåëåìåõàíèêè, èçìåðèòåëüíîé è
ìèêðîïðîöåññîðíîé òåõíèêè ïîçâîëÿåò ïðîåêòèðîâàòü è ñîçäàâàòü ñèñòåìû àâòî-
ìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ è ðåãóëèðîâàíèÿ äëÿ îáúåêòîâ ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè
è ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè, ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè êîòîðûõ îïèñûâàþòñÿ
ðàçëè÷íûìè âèäàìè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé [1–8].
Ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ äëÿ îáúåêòîâ ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè
ïàðàìåòðàìè íàøëè øèðîêîå ïðèìåíåíèå íà ïðàêòèêå â àâòîìàòè÷åñêèõ ñèñòå-
ìàõ óïðàâëåíèÿ è ðåãóëèðîâàíèÿ ìíîãèõ ðåàëüíûõ îáúåêòîâ è ïðîöåññîâ. Ïîäîá-
íûå ñèñòåìû äëÿ îáúåêòîâ ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè ïîêà íå ïîëó÷èëè
äîñòàòî÷íî øèðîêîãî ïðèìåíåíèÿ, ÷òî ñâÿçàíî êàê ñ ïðîáëåìàìè òåîðåòè÷åñêîãî
õàðàêòåðà, òàê è ñ ïðîáëåìàìè òåõíè÷åñêîé ðåàëèçàöèè ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ñ îá-
ðàòíîé ñâÿçüþ. Ýòî îáóñëîâëåíî áîëüøîé ïðîñòðàíñòâåííîé ïðîòÿæåííîñòüþ, íå-
âîçìîæíîñòüþ ïîëó÷åíèÿ îïåðàòèâíîé è äîñòàòî÷íî òî÷íîé èíôîðìàöèè î òåêó-
ùåì ñîñòîÿíèè îò âñåõ òî÷åê îáúåêòà, ñâîåâðåìåííîé ðåàëèçàöèè óïðàâëÿþùèõ
âîçäåéñòâèé, ðàñïðåäåëåííûõ âî âñåõ èëè â íåêîòîðûõ òî÷êàõ îáúåêòà, è äðóãèìè
ïðè÷èíàìè. Òåì íå ìåíåå, ðàáîòû â ýòîì íàïðàâëåíèè àêòóàëüíû, è äëÿ ìíîãèõ
òåõíè÷åñêèõ îáúåêòîâ è òåõíîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåò-
ðàìè ðåàëèçîâàíû ñèñòåìû àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ è ðåãóëèðîâàíèÿ [3–5].
Îñîáåííîñòè ðàññìîòðåííîé â äàííîé ñòàòüå çàäà÷è ñèíòåçà óïðàâëÿþùèõ âîçäåé-
ñòâèé òàêîâû: 1) ïðîöåññ íàãðåâà ïëàñòèíû îñóùåñòâëÿåòñÿ ñîñðåäîòî÷åííûìè èñ-
òî÷íèêàìè òåïëà, ìåñòà ðàçìåùåíèÿ êîòîðûõ òðåáóåòñÿ îïòèìèçèðîâàòü; 2) ïðîâî-
äèòñÿ îïòèìèçàöèÿ ìåñò ðàçìåùåíèÿ òî÷åê êîíòðîëÿ ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà; 3) íåêîòî-
ðûå ïàðàìåòðû ïðîöåññà (íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ïëàñòèíû è òåìïåðàòóðà âíåøíåé
ñðåäû) òî÷íî íå èçâåñòíû, à çàäàíû ìíîæåñòâà èõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé; 4) ñ ïî-
ìîùüþ ëèíåéíîé îáðàòíîé ñâÿçè çàäà÷à ñèíòåçà óïðàâëåíèÿ ñîñðåäîòî÷åííûìè
èñòî÷íèêàìè ïðèâåäåíà ê çàäà÷å ïàðàìåòðè÷åñêîãî îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ.
 ðàáîòå ïîëó÷åíû ôîðìóëû ãðàäèåíòà öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà ïî êîîðäèíà-
òàì ìåñò ðàñïîëîæåíèÿ ñîñðåäîòî÷åííûõ âîçäåéñòâèé è êîíòðîëÿ (îáðàòíîé ñâÿ-
çè), à òàêæå ïàðàìåòðàì îáðàòíîé ñâÿçè. Ýòè ôîðìóëû ïîçâîëèëè èñïîëüçîâàòü
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 97
© Ê.Ð. Àéäà-çàäå, Â.À. Ãàøèìîâ, 2019
èçâåñòíûå ýôôåêòèâíûå ÷èñëåííûå ìåòîäû îïòèìèçàöèè ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ
÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è.
Ïðåäëàãàåìûé ïîäõîä ê ïîñòðîåíèþ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ñîñðåäîòî÷åííûìè
óïðàâëÿþùèìè âîçäåéñòâèÿìè ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ ìîæåò áûòü ïðèìåíåí â óïðàâ-
ëåíèè ìíîãèìè äðóãèìè òåõíîëîãè÷åñêèìè ïðîöåññàìè è òåõíè÷åñêèìè îáúåêòà-
ìè ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó óïðàâëåíèÿ ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ ïðîöåññîì íàãðåâà òîíêîé
ïëàñòèíû çà ñ÷åò âíåøíèõ òî÷å÷íî-ñîñðåäîòî÷åííûõ èñòî÷íèêîâ. Ïðîöåññ ìî-
æåò áûòü îïèñàí ñëåäóþùåé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷åé [9]:
u x t a u x t u x t t xt i
i( , ) ( ( , )) [ ( , ) ] ( ) (� � � � �2
0div grad � � � � � )
i
N c
�
�
1
, (1)
( , ) ( , ): ( , ) , [ , ]x t Q x t x x x t T� � � � � �{ R }1 2
2 0� , u x x( , ) ( )0 � � �� const , x �� , (2)
� �
u x t
u x t
( , )
[ ( , ) ]
n
� � , x ��, t T�[ , ]0 . (3)
Çäåñü ôóíêöèÿ u x t( , ) — íåïðåðûâíàÿ è ïî÷òè âñþäó äâàæäû íåïðåðûâíî-äèô-
ôåðåíöèðóåìàÿ ïî x , êðîìå òî÷åê x i� � , i N c�1, ,� , è ïî÷òè âñþäó íåïðåðûâ-
íî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ïî t ; n — âíåøíÿÿ íîðìàëü ê ãðàíèöå �. Ôóíêöèÿ u x t( , )
îïðåäåëÿåò çíà÷åíèå òåìïåðàòóðû ïëàñòèíû â òî÷êå x �� â ìîìåíò âðåìåíè t ;
a , � 0 , � — ïàðàìåòðû ïðîöåññà, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ çàäàíû; � — îáëàñòü, çà-
íèìàåìàÿ ïëàñòèíîé ñ ãðàíèöåé �, â ÷àñòíîñòè ïóñòü îíà èìååò ïðÿìîóãîëü-
íóþ ôîðìó
� � � � � � �{ R }x a x a a x a2
1 1 1 2 2 2: , ,
ai , ai , i �1 2, , çàäàíû.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ïëàñòèíû âî âñåõ òî÷êàõ îäèíà-
êîâà, íî òî÷íî íåèçâåñòíà. Èçâåñòíî ìíîæåñòâî (äèàïàçîí) � R âîçìîæíûõ íà-
÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé è ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè � � ( ) òàêàÿ, ÷òî
� � ( )
0, � � , � �
( ) �� 1.
Àíàëîãè÷íî, òåìïåðàòóðà âíåøíåé ñðåäû � � const òî÷íî íåèçâåñòíà, à çàäà-
íî ìíîæåñòâî åå âîçìîæíûõ çíà÷åíèé � � R è ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôóíêöèÿ ïëîò-
íîñòè � �� ( ) òàêàÿ, ÷òî
� �� ( )
0, � ��, � ��
�
( ) �� 1.
Ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ çíà÷åíèé íà÷àëüíîé òåìïåðàòóðû è âíåøíåé ñðåäû
ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû êîíå÷íûì ÷èñëîì èõ äèñêðåòíûõ çíà÷åíèé
� �{ }� �i i N, , ,1 � , � � �{ }� �j j N, , ,1 � (4)
ñ çàäàííûìè çíà÷åíèÿìè âåðîÿòíîñòè
p Pi i
� � �� � �( ) [ , ]0 1 , i N�1, ,� � ,
p Pj j
� � �� � �( ) [ , ]0 1 , j N�1, ,� � .
Êóñî÷íî-íåïðåðûâíûå ôóíêöèè � i t( ) îïðåäåëÿþò ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ,
ñîñðåäîòî÷åííûõ â òî÷êàõ ïëàñòèíû � � �i i i� �( , )
1 2
� , i N c�1, ,� , îñóùåñòâëÿ-
þùèõ åå íàãðåâ. Äëÿ îïðåäåëåííîé â îáëàñòè � äâóìåðíîé ôóíêöèè Äèðàêà �( )x
è ïðîèçâîëüíûõ èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèè f x( ) è òî÷êè x �� èìååò ìåñòî
�
�� � �f x x x dx f x( ) ( ) ( )� ,
�
�� ��( )x dx 1.
98 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4
Ïóñòü äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé îïðåäåëåíû, íàïðè-
ìåð, ñëåäóþùèì îáðàçîì:
� � �i i it� �( ) , i N c�1, ,� , t T�[ , ]0 , (5)
ãäå � i , � i — çàäàííûå âåëè÷èíû, i N c�1, ,� .
Òî÷êè ðàçìåùåíèÿ � � �� ( , , )1
�
N c èñòî÷íèêîâ òåïëà äîëæíû óäîâëåòâî-
ðÿòü åñòåñòâåííîìó óñëîâèþ:
� � �i i i� �( , )
1 2
� , a ai
1 1 1� �� , a ai
2 2 2� �� , i N c�1, ,� . (6)
Êðèòåðèé êà÷åñòâà óïðàâëåíèÿ îïðåäåëèì ôóíêöèîíàëîì
J I d d( , ) ( , ; , ) ( ) ( )� � � � � � � � � � � �� �� �
�
, (7)
I x u x T U x dx t( , ; , ) ( )[ ( , ; , , , ) ( )] | | ( )� � � � � � � �
�� � ���
�
2 � � ( ) | | .
[ , ]
� t
L T
Nc
2
0
2 (8)
Çäåñü ( )x
0, x ��, — çàäàííàÿ âåñîâàÿ ôóíêöèÿ.  ôîðìóëå (8)
� 0, � ( )� t —
ïàðàìåòðû ðåãóëÿðèçàöèè, íàçíà÷àåìûå ñîãëàñíî èçâåñòíûì ñõåìàì [7].
Ôóíêöèîíàë (7), (8) õàðàêòåðèçóåò êà÷åñòâî óïðàâëåíèÿ ïðîöåññîì íàãðåâà
â ñðåäíåì ïî âñåì âîçìîæíûì íà÷àëüíûì òåìïåðàòóðàì ïëàñòèíû è òåìïåðàòóðàì
âíåøíåé ñðåäû, u x T( , ; , , , )� � � � — ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (1)–(3) ïðè
òî÷å÷íûõ óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèÿõ � � �( ) ( ( ), , ( ))t t tN c
� 1 � , ðàçìåùåííûõ ñî-
îòâåòñòâåííî â òî÷êàõ � � �i i i� ( , )
1 2
, i N c�1, ,� , ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì
u x( , )0 � �, x �� , ïðè òåìïåðàòóðå âíåøíåé ñðåäû, ðàâíîé �.
Çàäà÷à óïðàâëåíèÿ ïðîöåññîì íàãðåâà ïëàñòèíû çàêëþ÷àåòñÿ â îïðåäåëåíèè
îïòèìàëüíûõ îòíîñèòåëüíî ôóíêöèîíàëà (7) äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé óïðàâëÿþ-
ùèõ âîçäåéñòâèé � � �( ) ( ( ), , ( ))t t tN c
� 1 � — ïëîòíîñòè ñîñðåäîòî÷åííûõ (òî-
÷å÷íûõ) èñòî÷íèêîâ è ìåñò èõ ðàñïîëîæåíèÿ � � �� ( , , )1
�
N c .
Îáîçíà÷èì W x t( , ; , )� � ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è
(1)–(3) ïðè âñåâîçìîæíûõ äîïóñòèìûõ íà÷àëüíûõ òåìïåðàòóðàõ � � è çíà÷å-
íèé âíåøíèõ òåìïåðàòóð � ��. Òîãäà W x t( , ; , )� � ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé «ïó÷îê»
ðåøåíèé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (1)–(3), ïîëó÷åííûõ ïðè èñïîëüçîâàíèè òî÷å÷-
íûõ óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé � ( )t , ðàçìåùåííûõ â òî÷êàõ � ïðè âñåâîçìîæíûõ
� � è � ��.  òàêîì ñëó÷àå ôóíêöèîíàë (7) õàðàêòåðèçóåò êà÷åñòâî âûáîðà
îïòèìèçèðóåìûõ ( , )� � ïðè îäíîâðåìåííîì óïðàâëåíèè âñåì ïó÷êîì òðàåêòîðèé
ðåøåíèé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (1)–(3).
 ñëó÷àå äèñêðåòíî çàäàííûõ ìíîæåñòâ âîçìîæíûõ íà÷àëüíûõ è âíåøíèõ
òåìïåðàòóð (4) öåëåâîé ôóíêöèîíàë ïðèìåò âèä
J I p p
NN
( , ) ( , ; , )� � � � � �� � �
�
�
�
��
��
�
��
�� 1 2 1 2
21 11
. (9)
Ïóñòü óïðàâëåíèå ïðîöåññîì íàãðåâà ïëàñòèíû îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ó÷åòîì
òîãî, ÷òî â N o òî÷êàõ � j ïëàñòèíû
� � �j j j� �( , )
1 2
� , a aj
1 1 1� �� , a aj
2 2 2� �� , j N o�1, ,� , (10)
íåïðåðûâíî âî âðåìåíè ïðîâîäÿòñÿ çàìåðû òåêóùåé òåìïåðàòóðû:
u t u tj
j
�
�( ) ( , )� , � j �� , t T�[ , ]0 , j N o�1, ,� , (11)
Ôîðìèðîâàíèå òåêóùèõ çíà÷åíèé òåìïåðàòóðû òî÷å÷íûõ óïðàâëÿþùèõ âîç-
äåéñòâèé � i t( ), i N c�1, ,� , ïðè íàáëþäåíèè âèäà (11) áóäåì îñóùåñòâëÿòü ïî
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 99
çàêîíó ëèíåéíîé îáðàòíîé ñâÿçè â ñëåäóþùåì âèäå:
� �i i
j j
i
j
j
N
t k u t z
o
( ) [ ( , ) ]� �
�
�
1
, t T�[ , ]0 , i N c�1, ,� . (12)
Çäåñü k i
j — êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ äëÿ i-ãî èñòî÷íèêà ñ ó÷åòîì çàìåðåííîãî
çíà÷åíèÿ òåìïåðàòóðû â j-é òî÷êå çàìåðà; zi
j — íîìèíàëüíîå çíà÷åíèå òåì-
ïåðàòóðû ïëàñòèíû â j-é òî÷êå çàìåðà, êîòîðîå äîëæíî ïîääåðæèâàòüñÿ i-ì
èñòî÷íèêîì. Èñïîëüçóåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ìàòðèö: K ki
j� (( )),
Z zi
j� (( )), i N c�1, ,� , j N o�1, ,� .
Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ óïðàâëåíèÿ (12) ïðè íåïðåðûâíîì íàáëþäå-
íèè (11) â äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (1):
u x t a u x t u x t k u tt i
j j( , ) ( ( , )) [ ( , ) ] [ ( , )� � � �2
0div grad � � � � �
��
�� z xi
j
j
N
i
i
N oc
] ( )
11
� � , (13)
( , )x t Q� .
Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå (13) (èç-çà íàëè÷èÿ â ïðàâîé åãî ÷àñòè íåèçâåñòíûõ
çíà÷åíèé ôàçîâîé ïåðåìåííîé â íåêîòîðûõ çàäàííûõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâåííîé
ïåðåìåííîé) îòíîñèòñÿ ê êëàññó íåëîêàëüíûõ òî÷å÷íî íàãðóæåííûõ ïî ïðî-
ñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ðàçëè÷íûå àñïåêòû
êîòîðûõ èññëåäîâàíû â ðàáîòàõ [8, 10–13].
Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì ðàññìàòðèâàåìóþ â äàííîé ðàáîòå çàäà÷ó.
Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü îïòèìàëüíûå â ñìûñëå ôóíêöèîíàëà (7), (8) (èëè (9), (8)
â ñëó÷àå äèñêðåòíî çàäàííûõ ìíîæåñòâ âîçìîæíûõ íà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé ïëàñòèíû
è âíåøíåé òåìïåðàòóðû) äîïóñòèìûå ìåñòà ðàçìåùåíèÿ ñîñðåäîòî÷åííûõ óïðàâëÿ-
þùèõ èñòî÷íèêîâ òåïëà � i , i N c�1, ,� , è òî÷åê îáðàòíîé ñâÿçè-çàìåðîâ ñîñòîÿíèÿ
� � �� ( , , )1
�
N o , óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì (6), (10), è äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ ïà-
ðàìåòðîâ îáðàòíîé ñâÿçè K , Z , ïðè êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿþòñÿ óñëîâèÿ (5).
Òàêèì îáðàçîì, â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å îïòèìèçèðóåìûìè ïàðàìåòðàìè
ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûå ïàðàìåòðû � �R
2 N c , � �R
2 N o , K Z
N Nc o, � �
R , îáùåå ÷èñ-
ëî êîòîðûõ ñîñòàâëÿåò n N N N Nc o o c� � �2( ). Îáúåäèíèì âñå îïòèìèçèðóåìûå
â çàäà÷å âåêòîðû ïàðàìåòðîâ â îäèí, ââåäÿ îáîçíà÷åíèå y K Z n� �( , , , )� � R .
Òîãäà ôóíêöèîíàë (7), (8) ïðèìåò âèä
J y I y d d( ) ( ; , ) ( ) ( )� �� � � � � � � � ��
�
, (14)
I y x u x T y U x dx y y
n
( ; , ) ( )[ ( , ; , , ) ( )] | | � | |� � � �
� � � ���
�
2
R
2 . (15)
Ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (13), (2), (3) ïðè äîïóñòèìûõ âåêòîðå ïàðà-
ìåòðîâ y, íà÷àëüíîì óñëîâèè � è òåìïåðàòóðå âíåøíåé ñðåäû � îáîçíà÷èì
u x t y( , ; , , )� � . Çäåñü �y,
� 0 — ïàðàìåòðû ðåãóëÿðèçàöèè.
Ïîñòàâëåííóþ çàäà÷ó ñèíòåçà óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé ìîæíî îòíåñòè ê
êëàññó ïàðàìåòðè÷åñêèõ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ îáúåêòàìè ñ ðàñïðåäåëåí-
íûìè ïàðàìåòðàìè. Îñîáåííîñòÿìè çàäà÷è óïðàâëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ: 1) íàãðóæåííûå
äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè; 2) ôóíêöèîíàë, õàðàêòå-
ðèçóþùèé ïîâåäåíèå ïó÷êà ðåøåíèé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (13), (2), (3) ñ çàäàí-
íûìè ìíîæåñòâàìè âîçìîæíûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé è ïàðàìåòðîâ âíåøíåé ñðåäû;
3) íàëè÷èå â äèôôåðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè ôóíêöèè Äèðàêà; 4) îïòèìèçèðóåìûì
â çàäà÷å îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîìåðíûé âåêòîð.
Âàæíî îòìåòèòü åùå îäíó îñîáåííîñòü ïîëó÷åííîé çàäà÷è ñèíòåçà óïðàâëÿ-
þùèõ ïðîöåññîì ïàðàìåòðîâ. Êàê âèäíî èç äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (13),
îïòèìèçèðóåìûå ïàðàìåòðû ó÷àñòâóþò â íèõ íåëèíåéíî. Îòñþäà ñëåäóåò íåëè-
100 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4
íåéíîñòü çàâèñèìîñòè u x t y( , ; , , )� � îò ïàðàìåòðîâ y, à ñëåäîâàòåëüíî öåëåâûå
ôóíêöèîíàëû (7), (8), (9) íå ÿâëÿþòñÿ êâàäðàòè÷íûìè ïî ñèíòåçèðóåìûì ïàðà-
ìåòðàì. Ïîýòîìó, íåñìîòðÿ íà âûïóêëîñòü ôóíêöèîíàëà èñõîäíîé ïåðâîíà÷àëü-
íîé çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ïî � i t( ), i N c�1, ,� , ðàññìàòðèâàåìàÿ çà-
äà÷à â îáùåì ñëó÷àå ìîæåò áûòü íå âûïóêëîé, ìíîãîýêñòðåìàëüíîé ïî y.  ñâÿ-
çè ñ ýòèì ïðè ðåøåíèè çàäà÷è íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü êàêèå-ëèáî ñòðàòåãèè
îòûñêàíèÿ ãëîáàëüíîãî îïòèìóìà. Íàïðèìåð, ïðîâîäèòü ìíîãîêðàòíîå ðåøåíèå
îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è ñ ðàçëè÷íûìè íà÷àëüíûìè çíà÷åíèÿìè ñèíòåçèðóåìûõ
ïàðàìåòðîâ èëè æå, â ñëó÷àå ïðèìåíåíèÿ ëîêàëüíûõ ìåòîäîâ îïòèìèçàöèè,
èñõîäÿ èç ýêñïåðòíîé èíôîðìàöèè, èñïîëüçîâàòü «õîðîøèå» íà÷àëüíûå
ïðèáëèæåíèÿ äëÿ îïòèìèçèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ.
ÏÎËÓ×ÅÍÈÅ ÔÎÐÌÓË ÄËß ÃÐÀÄÈÅÍÒÀ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÀ
Îãðàíè÷åíèÿ (5) íà óïðàâëÿþùèå âîçäåéñòâèÿ, èñïîëüçóÿ (12), çàïèøåì â âèäå:
g t yi ( ; ) � 0, t T�[ , ]0 , i N c�1, ,� , (16)
ãäå
g t y g t yi i
i i
( ; ) | ( ; ) |� �
�
0
2
� �
,
g t y k u t zi
i i
i
j j
i
j
j
N o
0
12
( ; ) [ ( , ) ]�
�
� �
�
�
� �
� , t T�[ , ]0 , i N c�1, ,� .
Äëÿ ó÷åòà îãðàíè÷åíèé (16) â çàäà÷å ñèíòåçà ïàðàìåòðîâ y èñïîëüçóåì ìåòîä
âíåøíåãî øòðàôà, äîáàâèâ ê ôóíêöèîíàëó (14), (15) øòðàô çà íàðóøåíèå îãðàíè-
÷åíèé (16):
~
( )
~
( ; , ) ( ) ( )J y I y d d� �� � � � � � � � ��
�
, (17)
~
( ; , ) ( ; , ) ( )I y I y I y� � � �� �� øòð , (18)
I y g t y dti
T
i
N c
øòð ( ) [ ( ; )]� �
�
�� 2
01
,
ïðè ýòîì êîýôôèöèåíò øòðàôà � ñòðåìèòñÿ ê �� , g � �( ) îçíà÷àåò, ÷òî
g g� � � �( ) ( ), åñëè g( )� � 0, è g � � �( ) 0, åñëè g( )� � 0.
Ó÷åò ïîçèöèîííûõ îãðàíè÷åíèé (6), (10) ïðè ìèíèìèçàöèè øòðàôíîãî
ôóíêöèîíàëà (18) ïðîâîäÿò ñ èñïîëüçîâàíèåì îïåðàòîðà ïðîåêòèðîâàíèÿ íà ìíî-
æåñòâî, çàäàííîå ýòèìè îãðàíè÷åíèÿìè [7].
Êîìïîíåíòû ãðàäèåíòà øòðàôíîãî ôóíêöèîíàëà ïî ïàðàìåòðàì îáðàòíîé
ñâÿçè â ñëó÷àå íåïðåðûâíûõ ìíîæåñòâ âîçìîæíûõ íà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé
è òåìïåðàòóð âíåøíåé ñðåäû � îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùåé òåîðåìîé.
Òåîðåìà 1.  çàäà÷å (13), (2), (3), (6), (10) êîìïîíåíòû ãðàäèåíòà øòðàôíîãî
ôóíêöèîíàëà (17), (18) ïî ñèíòåçèðóåìûì ïàðàìåòðàì ïðè îáðàòíîé ñâÿçè (11)
îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè ôîðìóëàìè:
�
�
�
�
��
� � ��
�
~
( )
( ( , ) ( ; ) ( ( ;
J y
k
t g t y g t y
i
j
T
i
i i
0
02
� sgn )))[ ( , ) ]u t z dtj
i
j� � ���
�
� �
�
�
�
��
2
� � � � � �( � ) ( ) ( )k k d di
j
i
j
� , (19)
�
�
�
�
��
� � �
~
( )
( ( , ) ( ; ) ( ( ; ))
J y
z
t g t y g t y
i
j
i
i i
T
� 2 0
0
sgn��� �)k dti
j
�
� �
�
�
�
��
2
� � � � � �( � ) ( ) ( )z z d di
j
i
j
� , (20)
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 101
�
�
�
�
��
�
� �
�
�
~
( ) ( , )
( ( , )
J y u t
x
k t g
j
j
i
j
i
N
i
i
c
�
�
�
� � 1
2 �
��� �( ; ) ( ( ; )))t y g t y dti
T
sgn 0
0�
� �
�
�
�
��
2
� � � � � � � �� �( � ) ( ) ( )j j d d� , (21)
�
�
�
�
��
�
�
�
�
~
( ) ( , )
[ ( , ) ]
J y t
x
k u t z
i
i
i
j
j
N
j
i
j
o
�
�
�
� � 1
dt
T
0
��� �
�
� �
�
�
�
��
2
� � � � � � � �� �( � ) ( ) ( )i i d d� , (22)
i N c�1, ,� , j N o�1, ,� , � �1 2, . Íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ïî îáîèì àð-
ãóìåíòàì, äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ïî x âñþäó íà �, êðîìå òî÷åê
x j� � , j N o�1, ,� , ôóíêöèÿ
� �( , ) ( , ; , , )x t x t y� ïðè òåêóùåì âåêòîðå ïà-
ðàìåòðîâ y, âûáðàííûõ íà÷àëüíîì óñëîâèè � è òåìïåðàòóðå âíåøíåé ñðåäû �,
ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé ñîïðÿæåííîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è:
�
t x t a x t x t( , ) ( ( , )) ( , )� � � �2
0div grad
� � � �
��
�� k t g t y g t yi
j j
i i
i
N
j
N co
( ( , ) ( ; ) ( ( ; )))
� �2 0
11
sgn ( )x j� � , ( , )x t Q� , (23)
( , ) ( )[ ( , ; ) ( )]x T x u x T y U x� � �2 , x ��, (24)
�
�
( , )
( , )
x t
x t
n
, x �� , t T�[ , ]0 . (25)
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç íåçàâèñèìîñòè íà÷àëüíîé òåìïåðàòóðû ïëàñòèíû � è
òåìïåðàòóðû âíåøíåé ñðåäû � îò ñèíòåçèðóåìûõ óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ y
ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùåãî ñîîòíîøåíèÿ:
grad grady yJ y I y d d
~
( )
~
( ; , ) ( ) ( )� ��� � � � � � � � ��
�
� �� grad yI y d d
~
( ; , ) ( ) ( )� � � � � � � ��
�
. (26)
Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ïîëó÷èòü ôîðìóëû äëÿ êîìïîíåíò ãðàäèåíòà ôóíêöèî-
íàëà
~
( ; , )I y � � , îïðåäåëåííîãî èç (18), ïðè êàêèõ-ëèáî ïðîèçâîëüíî âûáðàííûõ
äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ � � è � ��.
 óðàâíåíèè (13) ââåäåì îáîçíà÷åíèå äëÿ óïðàâëÿþùåãî ÷ëåíà
V x t y k u t z xi
j j
i
j
j
N
i
i
N oc
( , ; ) [ ( , ) ] ( )� � �
��
�� � � �
11
.
Òîãäà óðàâíåíèå (13) áóäåò èìåòü âèä
u x t a u x t u x t V x t yt ( , ) ( ( , )) [ ( , ) ] ( , ; )� � � �2
0div grad � � , ( , )x t Q� . (27)
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôîðìóë äëÿ êîìïîíåíò ãðàäèåíòà
~
( ; , )I y � � èñïîëüçóåì ìå-
òîä ïðèðàùåíèÿ àðãóìåíòîâ [7].
Ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (27) ïåðåíåñåì âëåâî è ïîëó÷èì ðàâíîå íóëþ ðàâåí-
ñòâî. Ëåâóþ ÷àñòü ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà óìíîæèì íà ïîêà ïðîèçâîëüíóþ ôóíê-
öèþ
( , )x t è, ïðîèíòåãðèðîâàâ ïî îáëàñòè � è t T�[ , ]0 , ïðèáàâèì ê ôóíêöèîíà-
ëó
~
( ; , )I y � � , çíà÷åíèå êîòîðîãî íå èçìåíèòñÿ:
102 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4
~
( ; , )
~
( ; , ) ( , )( ( , ) ( (I y I y x t u x t a u
Q
t� � � �
� � ���
2div grad x t, )) �
� � �� �0 [ ( , ) ] ( , ; ))u x t V x t y dxdt. (28)
Ïóñòü óïðàâëåíèå V x t y( , ; ) çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ âåêòîðà ñèíòåçèðóåìûõ ïàðà-
ìåòðîâ y ïîëó÷èëî ïðèðàùåíèå � �V x t y V x t y y V x t y( , ; ) ( , ; ) ( , ; )� � � . Ñîîòâåò-
ñòâåííî íåêîòîðîå ïðèðàùåíèå �u x t( , ) ïîëó÷èò è ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé
çàäà÷è (27), (2), (3):
� �u x t u x t y y u x t y( , ) ( , ; ) ( , ; )� � � .
ßñíî, ÷òî ôóíêöèÿ �u x t( , ) äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì ñëåäóþùåé íà-
÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è:
� � � �u x t a u x t u x t V x t yt ( , ) ( ( , )) ( , ) ( , ; )� � �2
0div grad � , ( , )x t Q� , (29)
�u x( , )0 0� , x �� , (30)
�
�
�
u x t
u x t
( , )
( , )
n
� , x ��, t T�[ , ]0 . (31)
Òîãäà ôóíêöèîíàë
~
( ; , )I y � � ïîëó÷èò ïðèðàùåíèå, êîòîðîå ïîñëå èíòåãðèðî-
âàíèÿ ïî ÷àñòÿì ñ ó÷åòîì (28)–(31), íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé è ãðóïïèðîâêè
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
~
( ; , ) ( ( , ) ( )[ ( , ; ) ( )]) ( , ;I y x T x u x T y U x u x T y� �
� � ���
�
�2 ) dx �
� �
�
�
�
!
" ���a x t
x t
u x t y dxdt
T
2
0
�
( , )
( , )
( , ; )
n
�
�
�
�
�
�
�
� � ����
Q
t x t a x t x t
�
( , ) ( ( , )) ( , )2
0div grad
� � � �
��
�� ( ( , ) ( ; ) ( ( ; )))
� �i
i i
i
N
i
j
j
N
t g t y g t y k
co
2 0
11
sgn ( ) ( , ; )x u x t y dxdtj�
!
"
"
�� �
� � � � ��
� ( ( , ) ( ; ) ( ( ; ))) (
�
i
i i
T
i
j
i
jt g t y g t y k dt z2 20
0
sgn � )z zi
j
j
N
i
j
i
N oc �
�
�
�
!
"
"
�
��
��
11
�
� � � � ��
� ( ( , ) ( ; ) ( ( ; )))[ ( , )
� �i
i i
T
j
i
j
t g t y g t y u t z2 0
0
sgn ] ( � )dt k k k
i
j
i
j
j
N
i
j
i
N oc
� �
�
�
�
�
!
"
"
�
��
�� 2
11
�
� �
� � �
�
u t
x
t g t y g t y
j
i
i i
i
N c( , )
( ( , ) ( ; ) ( ( ; ))
�
�
�
2 0
1
sgn���� � �
�
�
�
�
!
"
"
�
��
) ( � )k dti
j
T
j j
j
N
j
o
011
2
2
� � �� �
�
��
� �
� � �
�
��
�
�
� �
�
�
( , )
[ ( , ) ] ( �
i
i
j j
i
j
j
NT
it
x
k u t z dt
o
10
2 �
�
��i
i
N
i
c
)
�
�
�
�
!
"
"
�
��
��
11
2
�
� �o u x t o yL Q R n(| | ( , ) | | ) (| | | | )( )� �
2
.
Ó÷èòûâàÿ ïðîèçâîëüíîñòü ôóíêöèè
( , )x t , ïîòðåáóåì îò íåå, ÷òîáû îíà
áûëà ðåøåíèåì ñîïðÿæåííîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (23)–(25). Òîãäà ãëàâíûå
÷àñòè ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèîíàëà ïðè ïðèðàùåíèÿõ êîìïîíåíò âåêòîðà y áóäóò
èñêîìûìè êîìïîíåíòàìè ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèîíàëà [7].
Îòñþäà ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü ôîðìóë (19)–(22).
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 103
 ñëó÷àå äèñêðåòíûõ ìíîæåñòâ (4) äëÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé � è òåìïåðàòóð
âíåøíåé ñðåäû � øòðàôíîé ôóíêöèîíàë çàïèøåì â âèäå
~
( )
~
( ; , )J y I y p p
NN
�
��
�� � �� � �
�
�
�
��
��
1 2 1 2
21 11
. (32)
Âìåñòî ñîîòíîøåíèÿ (26) èìååò ìåñòî
grad grady y
NN
J y I y p p
~
( )
~
( ; , )�
��
� � �� � �
�
�
�
��
��
1 2 1 2
21 11
� ��� #
��
y
NN
I y p p
~
( ; , )� �� � �
�
�
�
��
��
1 2 1 2
21 11
.
Ïîëó÷åíèå ôîðìóë äëÿ êîìïîíåíò ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà (9) â çàäà÷å ñ
äèñêðåòíûìè ìíîæåñòâàìè íà÷àëüíûõ óñëîâèé è òåìïåðàòóðû âíåøíåé ñðåäû
ñóùåñòâåííî íå îòëè÷àåòñÿ îò ïðèâåäåííûõ â òåîðåìå 1 âûêëàäîê.  ýòîì ñëó-
÷àå, â îòëè÷èå îò ôîðìóë (19)–(22), âìåñòî èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ìíîæåñòâàì è �
â ïîëó÷àåìûõ ôîðìóëàõ áóäåò ó÷àñòâîâàòü îïåðàöèÿ ñóììèðîâàíèÿ. Ïîýòîìó
ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùóþ òåîðåìó.
Òåîðåìà 2.  çàäà÷å (13), (2), (3), (6), (10) êîìïîíåíòû ãðàäèåíòà øòðàôíîãî
ôóíêöèîíàëà (32), (18) ïî ñèíòåçèðóåìûì ïàðàìåòðàì ïðè äèñêðåòíûõ ìíîæåñò-
âàõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé è òåìïåðàòóðû âíåøíåé ñðåäû (4) è îáðàòíîé ñâÿçè (11)
îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè:
�
�
�
�
��
� � � �
~
( )
( ( , ) ( ; ) ( ( ; ))
J y
k
t g t y g t y
i
j
i
i i
� 2 0
0
sgn
T
j
i
j
NN
u t z dt��� � �
��
)[ ( , ) ]�
��
��
21 11
� �
�
�
�
��
2
1 2
�
�
�
�( � )k k p pi
j
i
j ,
� � � �
�
~
( )
( ( , ) ( ; ) ( ( ; )))
J y
z
t g t y g t y k
i
j
i
i i
T
i
j
� 2 0
0
sgn dt z z p p
i
j
i
j
NN
� �
�
�
�
��
�
�
�
����
�� 2
2
1 2
1 11
�
�
�
�
�
�
��
( � ) ,
�
�
�
�
��
�
� �
�
�
~
( ) ( , )
( ( , )
J y u t
x
k t g
j
j
i
N
i
j i
i
c
�
�
�
� � 1
2 �
��
��� �( ; ) ( ( ; )))t y g t y dti
TNN
sgn 0
011 21 ��
��
� �
�
�
�
��
2
1 2
� �� � �
�
�
�( � )j j p p ,
� �
�
�
��
~
( ) ( , )
[ ( , ) ]
J y t
x
k u t z dt
i
i
i
j
j
N
j
i
j
T
o
�
�
�
� � 10
� �
�
�
�
��
�
�
�
����
�� 2
1 2
21 11
� �� � �
�
�
�
��
��
( � )i i
NN
p p ,
ãäå i N c�1, ,� , j N o�1, ,� , � �1 2, ,
( , )x t — ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çà-
äà÷è (23)–(25).
×ÈÑËÅÍÍÛÅ ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ È ÈÕ ÀÍÀËÈÇ
Ïðèâåäåì ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ñëåäóþùåé çàäà÷è óïðàâëåíèÿ ïðî-
öåññîì íàãðåâà ïëàñòèíû ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ.  çàäà÷å èñïîëüçîâàíû ñëåäóþ-
ùèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ:
a 2 1� , T �1, � 0 � 0.01, � � 0.01, a1 0� , a1 1� , a2 0� , a2 1� ,
( )x $1, U x( ) $10, x �� ,
N � � 3, N � � 3, � { }0 2 0 3 0 5. , . , . , � � { }6 2 6 3 6 5. , . , . ,
P i( )� �� �
1
3
, P j( )� �� �
1
3
, i j, , ,�1 2 3,
N o � 2, N c � 2, n �16, � i � �5, � i � 20, i N c�1, ,� .
104 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4
Ïðèâåäåì îáùåå îïèñàíèå àëãîðèòìà ðåøåíèÿ çàäà÷è ñèíòåçà ïàðàìåòðîâ ó.
Ïðè âûáðàííûõ çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòà øòðàôà � è ïàðàìåòðîâ ðåãóëÿðèçàöèè
, �y íà êàæäîé èòåðàöèè ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà ïðè òåêóùèõ çíà÷åíèÿõ ïàðà-
ìåòðîâ ym äëÿ âñåõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé � i , � j , i j, , ,�1 2 3, âûïîëíÿþòñÿ ñëåäó-
þùèå øàãè: 1) ðåøàåòñÿ ïðÿìàÿ íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à (13), (2), (3); 2) ðåøàåòñÿ
ñîïðÿæåííàÿ çàäà÷à (23)–(25); 3) âû÷èñëÿþòñÿ êîìïîíåíòû (19)–(22) ãðàäèåíòà
øòðàôíîé ôóíêöèè; 4) â íàïðàâëåíèè ñïðîåêòèðîâàííîãî àíòèãðàäèåíòà ôóíêöèî-
íàëà íà ïîçèöèîííûå îãðàíè÷åíèÿ (6), (10) ïðîâîäèòñÿ îäíîìåðíàÿ ìèíèìèçàöèÿ:
� �
�
m
m
y
mJ P y J y� � �
min
~
( [
~
( )])( ), ( )
0
6 10 grad , m � 0 1, ,�
Çäåñü P y( ),( ) [ ]6 10 — îïåðàòîð ïðîåêòèðîâàíèÿ êîìïîíåíò âåêòîðà y íà ïîçèöè-
îííûå îãðàíè÷åíèÿ (6), (10), èìåþùèé î÷åâèäíûé è êîíñòðóêòèâíûé âèä [7].
Óêàçàííûå øàãè ñîâåðøàþòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà íè áóäåò âûïîëíåí êà-
êîé-ëèáî êðèòåðèé îñòàíîâà, íàïðèìåð øàã � m , èëè èçìåíåíèå çíà÷åíèÿ ôóíê-
öèîíàëà íà äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ èòåðàöèÿõ ìåíüøå çàäàííîé ìàëîé âåëè÷è-
íû. Äàëåå, ñîãëàñíî èçâåñòíûì ïîäõîäàì ïðè èñïîëüçîâàíèè ïîëó÷åííûõ çíà÷å-
íèé ïàðàìåòðîâ y* èçìåíÿþòñÿ ïàðàìåòðû ðåãóëÿðèçàöèè
, �y [7] (â ÷àñòíîñòè,
óìåíüøàåòñÿ (äåëèòñÿ íà 5)
, à çà �y ïðèíèìàåòñÿ ïîëó÷åííîå îïòèìàëüíîå çíà÷å-
íèå âåêòîðà y*) è ïðîâîäèòñÿ ïðîöåäóðà ìèíèìèçàöèè äî âûïîëíåíèÿ êðèòåðèÿ
îñòàíîâà. Ïîñëå òðåõ êîððåêòèðîâîê ïàðàìåòðîâ ðåãóëÿðèçàöèè êîýôôèöèåíò
øòðàôà �, íà÷èíàÿ ñî çíà÷åíèÿ, ðàâíîãî 10, óâåëè÷èâàåòñÿ â ïÿòü ðàç è ïîâòîðÿ-
þòñÿ âñå âûøåïðèâåäåííûå îïåðàöèè. Êîýôôèöèåíò øòðàôà óâåëè÷èâàåòñÿ äî
òåõ ïîð, ïîêà îïòèìèçèðóåìûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ y, ïîëó÷åííûå äëÿ äâóõ ïî-
ñëåäîâàòåëüíûõ çíà÷åíèé êîýôôèöèåíòà øòðàôà, èçìåíÿþòñÿ íà âåëè÷èíó,
á�ëüøóþ, ÷åì çàäàííàÿ òðåáóåìàÿ òî÷íîñòü ðåøåíèÿ âñåé çàäà÷è.
Äëÿ ðåøåíèÿ äâóõìåðíûõ ïðÿìîé (13), (2), (3) è ñîïðÿæåííîé (23)–(25) íå-
ëîêàëüíûõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ èñïîëüçîâàíà ñõåìà ìåòîäà ïåðåìåííûõ íà-
ïðàâëåíèé ñ øàãàìè ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì h hx x1 2
� � 0.01, à ïî âðå-
ìåííîé ïåðåìåííîé — ht � 0.005 [14]. Äëÿ àïïðîêñèìàöèè äâóõìåðíîé �-ôóíê-
öèè Äèðàêà èñïîëüçîâàíà ñëåäóþùàÿ ôóíêöèÿ òèïà Ãàóññà [15]:
�
� �
�� � �
� x
x x
x x
x x
x
x x
�
� �
� �
0
1
2 2 2
1 2
1
2
2
1
2
1 2
1 2
, | | | |
exp
èëè
2 1 21 2
%
&
'
'
'
(
)
*
*
*
%
&
'
'
'
(
)
*
*
*
� �
�
�
�
�
�
�
�
, | | | | ,x xx x� �è
ãäå
�
� � ��
�
x
x x
x
dx
x
x
x
� �
%
&
'
'
'
(
)
*
*
*
�
�
�
1
2 2 2
1
2
2 1
1
2
211
1
exp exp
2 2
2
2 %
&
'
'
(
)
*
*
�
�
�
�
x
x
dx .
Íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî èìååò ìåñòî
��
�� �
�
�
�
�
�
�
x
x
x
x
x
x dx dx
2
2
1
1
1 2 1( ) .
Ïðè ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòàõ âåëè÷èíó � xi
âûáèðàëè ðàâíîé 3hxi
, i �1 2, (ò.å. çíà-
÷åíèå �-ôóíêöèè «ðàçìàçûâàëîñü» ïî äåâÿòè ñîñåäíèì êâàäðàòàì). Òàêàÿ àï-
ïðîêñèìàöèÿ �-ôóíêöèè Äèðàêà, êàê èçâåñòíî [15], ñãëàæèâàåò çàâèñèìîñòü öåëå-
âîãî ôóíêöèîíàëà
~
( )J y îò îïòèìèçèðóåìûõ êîîðäèíàò òî÷åê ðàñïîëîæåíèÿ èñ-
òî÷íèêîâ è ïàðàìåòðîâ îáðàòíîé ñâÿçè (êîíòðîëÿ), � � �i i i� ( , )
1 2
, i N c�1, ,� ,
� � �j j j� ( , )
1 2
, j N o�1, ,� , ÿâëÿþùèõñÿ àðãóìåíòàìè �-ôóíêöèé â ïðÿìîé è
ñîïðÿæåííîé íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷àõ [15].
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 105
 òàáë. 1 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ çàäà÷è, ïîëó÷åííûå íà ðàçëè÷íûõ
èòåðàöèÿõ èç äâóõ íà÷àëüíûõ òî÷åê y
1
0 � ((� 5.85, � 3.48, � 4.74,� 6.15), (14.91,
11.45, 16.84, 12.38), (0.69, 0.65, 0.42, 0.47), (0.85, 0.86, 0.23, 0.23)) è y
2
0 � ((� 2.12,
1.24, 2.38, 2.58), (8.50, 7.40, 7.70, 9.50), (0.63, 0.52, 0.84, 0.68), (0.46, 0.85, 0.24,
0.24)), ïðè çíà÷åíèè êîýôôèöèåíòà øòðàôà, ðàâíîì �� 50, è çíà÷åíèÿõ ïàðàìåò-
ðîâ ðåãóëÿðèçàöèè
� 0.01, �y � ((� 2.0, 0.7, 0.71, � 2.38), (7.96, 5.83, 7.68, 9.72),
(0.50, 0.05, 0.95, 0.08), (0.42, 0.76, 0.41, 0.71)) (â òàáëèöå ýëåìåíòû ìàòðèö K, Z
ðàçìåðà 2 2� ïðèâåäåíû ïî ñòîëáöàì).
Íà ðèñ. 1 ïðèâåäåíû ãðàôèêè ôóíêöèè
� ( ) ( )[ ( , ; , , ) ( )] (*J t x u x t y U x dx� �
�
�
�
��
�
�
�
��
��
�
� � � � �2 ) ( )� � � �
�
d d�� , (33)
ãäå u x t y( , ; , , )* � � — ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (13), (2), (3) ïðè îïòè-
ìàëüíûõ ïàðàìåòðàõ îáðàòíîé ñâÿçè y1
* , ïîëó÷åííûõ èç ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ
çàäà÷è. Ðàñ÷åòû ôóíêöèè (33) ïðîâîäèëèñü â ïðåäïîëîæåíèè íàëè÷èÿ ïîãðåø-
íîñòè â çàìåðàõ ñîñòîÿíèÿ â òî÷êàõ êîíòðîëÿ. Çàìåðû ñ ïîãðåøíîñòÿìè çàäà-
âàëèñü ïî ôîðìóëå
~ ( ) ( )[ ( )]u t u t tj j
j
� �
�� �1 , j N o�1, ,� ,
ãäå çíà÷åíèÿ � � �j t( ) [ , ]� � ãåíåðèðîâàëèñü äàò÷èêîì ñëó÷àéíûõ ÷èñåë, ðàñ-
ïðåäåëåííûõ ïî ðàâíîìåðíîìó çàêîíó, çíà÷åíèå � ñîîòâåòñòâóåò óðîâíþ ïî-
ìåõ (� � 0 îçíà÷àåò, ÷òî çàìåðû ïðîâîäèëèñü òî÷íî). Çíà÷åíèÿ � â ýêñïåðèìåí-
òàõ ïðèíèìàëè ðàâíûì 0.01, ÷òî ñîîòâåòñòâîâàëî âåëè÷èíå ïîãðåøíîñòè çàìå-
ðîâ â 1 %, à òàêæå èñïîëüçîâàëè çíà÷åíèÿ ïîãðåøíîñòè çàìåðîâ â 2 %, 5 %.
Êàê âèäíî èç ðèñ. 1, á, òðàåêòîðèÿ � ( )J t , à ñëåäîâàòåëüíî ñàì ïðîöåññ íàãðåâà,
äîñòàòî÷íî óñòîé÷èâ ê ïîãðåøíîñòÿì çàìåðà, ïðè÷åì ýòà óñòîé÷èâîñòü ñîõðà-
106 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4
Ò à á ë è ö à 1 . Ðåçóëüòàòû íåêîòîðûõ èòåðàöèé ðåøåíèÿ çàäà÷è ñ íà÷àëüíû-
ìè ïðèáëèæåíèÿìè y
1
0 è y
2
0 ïðè �� 50
y m K Z �1 �2 �1 �2 ~
( )J y
y1
0
0
�
�
%
&
'
(
)
*
2 28 0 03
2 37 3 65
. .
. .
10 01 9 24
15 12 13 53
. .
. .
%
&
'
(
)
*
0 8049
0 9264
.
.
%
&
'
(
)
*
0 6182
0 6375
.
.
%
&
'
(
)
*
0 8849
0 8464
.
.
%
&
'
(
)
*
0 3332
0 3407
.
.
%
&
'
(
)
* 0.0218
5
2 26 0 05
2 37 3 65
. .
. .�
%
&
'
(
)
*
10 10 9 24
15 11 13 55
. .
. .
%
&
'
(
)
*
0 8046
0 9267
.
.
%
&
'
(
)
*
0 6430
0 6641
.
.
%
&
'
(
)
*
0 8846
0 8467
.
.
%
&
'
(
)
*
0 3332
0 3407
.
.
%
&
'
(
)
* 0.0173
15
2 12 0 18
2 44 3 59
. .
. .�
%
&
'
(
)
*
10 13 9 24
15 07 13 62
. .
. .
%
&
'
(
)
*
0 8017
0 9336
.
.
%
&
'
(
)
*
0 6008
0 6374
.
.
%
&
'
(
)
*
0 8817
0 8536
.
.
%
&
'
(
)
*
0 3310
0 3386
.
.
%
&
'
(
)
* 0.0136
20
2 09 0 20
2 46 3 59
. .
. .
%
&
'
(
)
*
10 15 9 231
5 03 13 67
. .
. .
%
&
'
(
)
*
0 8005
0 9363
.
.
%
&
'
(
)
*
0 5835
0 6265
.
.
%
&
'
(
)
*
0 8805
0 8563
.
.
%
&
'
(
)
*
0 3302
0 3377
.
.
%
&
'
(
)
* 0.0093
22
2 09 0 21
2 46 3 58
. .
. .
�
�
%
&
'
(
)
*
10 16 9 23
15 02 13 68
. .
. .
%
&
'
(
)
*
0 7935
0 9400
.
.
%
&
'
(
)
*
0 5650
0 6197
.
.
%
&
'
(
)
*
0 8827
0 8579
.
.
%
&
'
(
)
*
0 3493
0 3284
.
.
%
&
'
(
)
* 0.0092
y2
0
0
�
�
%
&
'
(
)
*
1 82 0 05
0 39 1 42
. .
. .
9 86 7 30
7 10 7 58
. .
. .
%
&
'
(
)
*
0 6034
0 3506
.
.
%
&
'
(
)
*
0 9474
0 9496
.
.
%
&
'
(
)
*
0 8674
0 8696
.
.
%
&
'
(
)
*
0 3770
0 4757
.
.
%
&
'
(
)
* 0.0544
10
�
�
%
&
'
(
)
*
1 83 0 22
0 66 1 17
. .
. .
9 71 7 30
7 06 7 69
. .
. .
%
&
'
(
)
*
0 5779
0 3353
.
.
%
&
'
(
)
*
0 9478
0 9498
.
.
%
&
'
(
)
*
0 8678
0 8698
.
.
%
&
'
(
)
*
0 3772
0 4743
.
.
%
&
'
(
)
* 0.0051
25
�
�
%
&
'
(
)
*
1 85 0 23
0 68 1 16
. .
. .
9 61 7 31
7 00 7 80
. .
. .
%
&
'
(
)
*
0 4854
0 2517
.
.
%
&
'
(
)
*
0 9485
0 9485
.
.
%
&
'
(
)
*
0 8685
0 8685
.
.
%
&
'
(
)
*
0 3802
0 4633
.
.
%
&
'
(
)
* 0.0016
45
�
�
%
&
'
(
)
*
1 87 0 30
0 77 1 10
. .
. .
9 49 7 33
6 99 7 82
. .
. .
%
&
'
(
)
*
0 4911
0 2250
.
.
%
&
'
(
)
*
0 9485
0 9482
.
.
%
&
'
(
)
*
0 8683
0 8682
.
.
%
&
'
(
)
*
0 3825
0 4637
.
.
%
&
'
(
)
* 0.0004
50
�
�
%
&
'
(
)
*
1 87 0 30
0 77 1 10
. .
. .
9 53 7 32
6 98 7 83
. .
. .
%
&
'
(
)
*
0 4915
0 2350
.
.
%
&
'
(
)
*
0 9487
0 9482
.
.
%
&
'
(
)
*
0 8682
0 8680
.
.
%
&
'
(
)
*
0 3825
0 4634
.
.
%
&
'
(
)
* 0.0003
íÿåòñÿ ïðè óïðàâëåíèè ïðîöåññîì ïðè t T
. Íà ðèñ. 1, a èç-çà ìàëîãî ìàñøòà-
áà çíà÷åíèÿ ôóíêöèè � ( )J t ïðè t �[ , ]0 2 ïðè ðàçíûõ óðîâíÿõ ïîìåõ ïðàêòè÷åñêè
íå ðàçëè÷àþòñÿ, ïîýòîìó íà ðèñ. 1, á ïðè t
2 ìàñøòàá äëÿ îñè çíà÷åíèé
ôóíêöèè � ( )J t óâåëè÷åí.
Íåîáõîäèìî îòìåòèòü ñëåäóþùåå. Èñõîäíàÿ çàäà÷à ñèíòåçà óïðàâëåíèÿ ðå-
øåíà ïðè T �1, ò.å. äëÿ âðåìåííîãî èíòåðâàëà [ , ]0 1 . Òåì íå ìåíåå, íàéäåííûå
îïòèìàëüíûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ îáðàòíîé ñâÿçè y1
+ òàêîâû, ÷òî òåìïåðàòóðà
U x( ), x �� , êàê ýòî âèäíî èç ðèñ. 1, a, äîñòàòî÷íî òî÷íî ïîääåðæèâàåòñÿ è ïðè
t T� . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè t T� ñèíòåçèðîâàííîå óïðàâëåíèå ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ
ôóíêöèîíèðóåò â ðåæèìå àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëèðîâàíèÿ ïðîöåññîì íàãðåâà.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ðàáîòå äëÿ îáúåêòîâ ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè èññëåäîâàí ïðåäëî-
æåííûé ïîäõîä ê ñèíòåçó óïðàâëåíèÿ è îïòèìàëüíîìó ðàçìåùåíèþ êàê òî÷å÷-
íî ñîñðåäîòî÷åííûõ óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé, òàê è òî÷åê êîíòðîëÿ (îáðàò-
íîé ñâÿçè) ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî çíà÷åíèÿ íåêîòîðûõ ïàðà-
ìåòðîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè îáúåêòà ìîãóò áûòü çàäàíû íå òî÷íî,
à îïðåäåëÿòüñÿ ìíîæåñòâîì èõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé.
Äëÿ èëëþñòðàöèè ïîäõîäà â êà÷åñòâå îáúåêòà èññëåäîâàíèÿ âûáðàí ïðîöåññ
óïðàâëåíèÿ íàãðåâîì òîíêîé ïëàñòèíû çàäàííûì ÷èñëîì òî÷å÷íûõ èñòî÷íèêîâ
òåïëà. Ñèíòåçèðóåìîå óïðàâëåíèå â òåêóùèé ìîìåíò âðåìåíè îïðåäåëÿþò â âèäå
ëèíåéíîé êîìáèíàöèè îò çàìåðåííûõ çíà÷åíèé òåìïåðàòóðû â òî÷êàõ êîíòðîëÿ,
êîëè÷åñòâî êîòîðûõ çàäàíî.
Ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à ïðèâåäåíà ê ïàðàìåòðè÷åñêîé çàäà÷å îïòèìàëüíîãî
óïðàâëåíèÿ.  çàäà÷å îïòèìèçèðóåìûìè ÿâëÿþòñÿ êîîðäèíàòû ðàçìåùåíèÿ íà
ïëàñòèíå òî÷å÷íûõ èñòî÷íèêîâ, òî÷åê êîíòðîëÿ, êîýôôèöèåíòû óñèëåíèÿ è
íîìèíàëüíûå çíà÷åíèÿ òåìïåðàòóðû â òî÷êàõ êîíòðîëÿ.
Äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è ñ èñïîëüçîâàíèåì èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ
îïòèìèçàöèè ïåðâîãî ïîðÿäêà ïîëó÷åíû ôîðìóëû äëÿ êîìïîíåíò ãðàäèåíòà îïòè-
ìèçèðóåìîãî ôóíêöèîíàëà. Ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ íà
òåñòîâîé çàäà÷å, èññëåäîâàíî âëèÿíèå ïîãðåøíîñòåé â èçìåðåíèÿõ òåêóùåãî ñîñòîÿ-
íèÿ â òî÷êàõ îáðàòíîé ñâÿçè íà êà÷åñòâî óïðàâëåíèÿ ïðîöåññîì.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Óòêèí Â.È. Ñêîëüçÿùèå ðåæèìû â çàäà÷àõ îïòèìèçàöèè è óïðàâëåíèÿ. Ìîñêâà: Íàóêà, 1981. 368 c.
2. Êóëèåâ Ñ.Ç. Ñèíòåç çîíàëüíûõ óïðàâëåíèé äëÿ îäíîé çàäà÷è íàãðåâà ñ çàïàçäûâàíèåì â íåðàç-
äåëåííûõ êðàåâûõ óñëîâèÿõ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2018. Ò. 54, ¹ 1. Ñ. 124–136.
3. Ray W.H. Advanced process control. McGraw-Hill Book Company, 1980. 376 p.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 107
Ðèñ. 1. Ãðàôèêè ôóíêöèè îòêëîíåíèÿ �( )J t : ïðè òî÷íûõ çàìåðàõ ñîñòîÿíèÿ (à); ïðè íàëè÷èè
ïîãðåøíîñòè: 0 % (1) 2 % (2), 5% (3) â çàìåðàõ ñîñòîÿíèÿ (á)
à á
t t
�( )J t �( )J t
1
2
3
4. Áóòêîâñêèé À.Ã. Ìåòîäû óïðàâëåíèÿ ñèñòåìàìè ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè. Ìîñêâà:
Íàóêà, 1975. 568 c.
5. Åãîðîâ À.È. Îñíîâû òåîðèè óïðàâëåíèÿ. Ìîñêâà: Ôèçìàòëèò, 2004. 504 c.
6. Sergienko I.V., Deineka V.S. Optimal control of distributed systems with conjugation conditions.
New York: Kluwer Acad. Publ., 2005. 383 p.
7. Âàñèëüåâ Ô.Ï. Ìåòîäû îïòèìèçàöèè. Ìîñêâà: Ôàêòîðèàë Ïðåññ, 2002. 824 ñ.
8. Àéäà-çàäå Ê.Ð., Àáäóëëàåâ Â.Ì. Îá îäíîì ïîäõîäå ê ñèíòåçó óïðàâëåíèÿ ïðîöåññàìè ñ ðàñ-
ïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè. Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. 2012. ¹ 9. Ñ. 3–19.
9. Òèõîíîâ À.Í., Ñàìàðñêèé À.À. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ìîñêâà: Íàóêà, 1977. 735 c.
10. Íàõóøåâ À.Ì. Íàãðóæåííûå óðàâíåíèÿ è èõ ïðèìåíåíèå. Ìîñêâà: Íàóêà, 2012. 232 ñ.
11. Àáäóëëàåâ Â.Ì., Àéäà-çàäå Ê.Ð. ×èñëåííûé ìåòîä ðåøåíèÿ íàãðóæåííûõ íåëîêàëüíûõ ãðà-
íè÷íûõ çàäà÷ äëÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè
è ìàò. ôèçèêè. 2014. Ò. 54, ¹ 7. Ñ. 1096–1109.
12. Aida-zade K.R. An approach for solving nonlinearly loaded problems for linear ordinary differential
equations. Proceeding of the Institute Mathematics and Mechanics NAS Azerbaijan. 2018. Vol. 4, N 2.
P. 338–350.
13. Àëèõàíîâ À.À., Áåðåçãîâ À.Ì., Øõàíóêîâ-Ëàôèøåâ Ì.Õ. Êðàåâûå çàäà÷è äëÿ íåêîòîðûõ
êëàññîâ íàãðóæåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è ðàçíîñòíûå ìåòîäû èõ ÷èñëåííîé ðåà-
ëèçàöèè. Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. 2008. Ò. 48, ¹ 9. Ñ. 1619–1628.
14. Ñàìàðñêèé À.À. Òåîðèÿ ðàçíîñòíûõ ñõåì. Ìîñêâà: Íàóêà, 1989. 616 c.
15. Àéäà-çàäå Ê.Ð., Áàãèðîâ À.Ã. Î çàäà÷å ðàçìåùåíèÿ íåôòÿíûõ ñêâàæèí è óïðàâëåíèÿ èõ äåáè-
òàìè. Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. 2006. ¹ 1. Ñ. 52–62.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 30.10.2018
Ê.Ð. Àéäà-çàäå, Â.À. Ãàøèìîâ
ÎÏÒÈ̲ÇÀÖ²ß ÐÎÇ̲ÙÅÍÍß ÇÎÑÅÐÅÄÆÅÍÈÕ ÄÆÅÐÅË ² ÒÎ×ÎÊ ÊÎÍÒÐÎËÞ
ÇÀ ÏÐÎÖÅÑÎÌ ÍÀÃвÂÀÍÍß ÏËÀÑÒÈÍÈ
Àíîòàö³ÿ. Íà ïðèêëàä³ êåðóâàííÿ ïðîöåñîì íàãð³âàííÿ òîíêî¿ ïëàñòèíè çà-
ïðîïîíîâàíî ï³äõ³ä äî ñèíòåçó çîñåðåäæåíèõ êåðóâàíü îá’ºêòàìè ç ðîç-
ïîä³ëåíèìè ïàðàìåòðàìè. Îäíî÷àñíî îïòèì³çóþòüñÿ ì³ñöÿ ðîçì³ùåííÿ ÿê
êåðóâàëüíèõ çîñåðåäæåíèõ âïëèâ³â, òàê ³ òî÷îê êîíòðîëþ. Îòðèìàíî ôîðìó-
ëè äëÿ êîìïîíåíò³â ãðà䳺íòà ôóíêö³îíàëó çà îïòèì³çîâíèìè ïàðàìåòðàìè,
ùî äàþòü çìîãó âèêîðèñòîâóâàòè ìåòîäè îïòèì³çàö³¿ ïåðøîãî ïîðÿäêó äëÿ
÷èñåëüíîãî ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ïðîöåñ íàãð³âàííÿ, òîíêà ïëàñòèíà, ñèíòåç êåðóâàííÿ, òî÷êî-
âå äæåðåëî, òî÷êà âèì³ðþâàííÿ, íåëîêàëüíà óìîâà, ìåòîä ïðîåêö³¿ ãðà䳺íòà.
K.R. Aida-zade, V.A. Hashimov
OPTIMIZING THE ARRANGEMENT OF LUMPED SOURCES AND MEASUREMENT
POINTS OF PLATE HEATING PROCESS
Abstract. Using the example of control of the heating process of a thin plate,
the authors propose an approach for the synthesis of lumped controls of objects
with distributed parameters. At the same time, the locations of both lumped
controls and control points are optimized. Formulas for the components of the
functional gradient are obtained for the optimized parameters. They allow using
first-order optimization methods for numerical solution of the problem.
Keywords: heating, thin plate, synthesis of control, point source, measurement
point, non-local condition, gradient projection method.
Àéäà-çàäå Êàìèëü Ðàäæàáîâè÷,
÷ë.-êîð. ÍÀÍ Àçåðáàéäæàíà, äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð, çàâåäóþùèé ëàáîðàòîðèåé Èíñòèòóòà
ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ÍÀÍ Àçåðáàéäæàíà, Áàêó, Àçåðáàéäæàí,
e-mail: kamil_aydazade@rambler.ru.
Ãàøèìîâ Âóãàð Àäàì îãëû,
íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ÍÀÍ Àçåðáàéäæàíà, Áàêó, Àçåðáàéäæàí,
e-mail: vugarhashimov@gmail.com.
108 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4
|