Методы нахождения регуляризированного решения при идентификации линейных многомерных многосвязных дискретных систем
Рассмотрена задача структурно-параметрической идентификации сложной многомерной многосвязной дискретной системы в классе моделей в пространстве состояний. Предполагается, что известны только входные и выходные координаты системы на некотором интервале времени и диапазон погрешности измерений. За осн...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2019
|
| Schriftenreihe: | Кибернетика и системный анализ |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/181433 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Методы нахождения регуляризированного решения при идентификации линейных многомерных многосвязных дискретных систе / В.Ф.,Губарев, В.Д. Романенко, Ю.Л. Милявский // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 6. — С. 3–16. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-181433 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1814332021-11-18T01:26:01Z Методы нахождения регуляризированного решения при идентификации линейных многомерных многосвязных дискретных систем Губарев, В.Ф. Романенко, В.Д. Милявский, Ю.Л. Системний аналіз Рассмотрена задача структурно-параметрической идентификации сложной многомерной многосвязной дискретной системы в классе моделей в пространстве состояний. Предполагается, что известны только входные и выходные координаты системы на некотором интервале времени и диапазон погрешности измерений. За основу принят метод выделяемого подпространства, который предполагает, что размерность системы (вектора состояния) известна. Однако это не всегда выполняется на практике. Кроме того, ввиду зависимости от уровня шума невозможно корректно идентифицировать систему большой размерности. Поэтому предложено рассматривать размерность в качестве регуляризирующего параметра. Разработаны три способа выбора приближенной размерности модели в зависимости от длительности интервала наблюдений и возможности активного эксперимента. Предлагаемые методы апробированы на примере задачи идентификации когнитивной карты коммерческого банка в импульсном процессе. Розглянуто задачу структурно-параметричної ідентифікації складної багатовимірної багатозв’язної дискретної системи в класі моделей у просторі станів за припущення, що відомі тільки вхідні і вихідні координати системи на деякому інтервалі часу та діапазон похибки вимірювань. За основу прийнято метод виділеного підпростору, який передбачає, що розмірність системи (вектора стану) відома. Проте це не завжди виконується на практиці. Крім того, залежно від рівня шуму буває неможливо коректно ідентифікувати систему великої розмірності. Тому запропоновано розглядати розмірність як параметр регуляризації. Розроблено три способи вибору наближеної розмірності моделі залежно від тривалості інтервалу спостережень та можливості реалізації активного експерименту. Запропоновані методи апробовано на прикладі задачі ідентифікації когнітивної карти комерційного банку в імпульсному процесі. The article deals with the problem of structural and parametric identification of a complex multivariable multi-input multi-output (MIMO) discrete system in state space model class. It is assumed that only the input and output coordinates of the system during certain time interval and range of measurement errors are known. The basis is the subspace (4SID) method, which, however, assumes that dimension of the system (state vector) is known, which is not always feasible in practice. Moreover, depending of the noise level, it is impossible to correctly identify a high-dimensional system. Therefore, it is proposed to use dimension as a regularizing parameter. Three methods for choosing of approximate model dimension are suggested depending on the length of the observation period and possibility of active experiment design. The proposed methods are verified on the example of identification problem of a commercial bank’s cognitive map in impulse process. 2019 Article Методы нахождения регуляризированного решения при идентификации линейных многомерных многосвязных дискретных систе / В.Ф.,Губарев, В.Д. Романенко, Ю.Л. Милявский // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 6. — С. 3–16. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/181433 519.711 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системний аналіз Системний аналіз |
| spellingShingle |
Системний аналіз Системний аналіз Губарев, В.Ф. Романенко, В.Д. Милявский, Ю.Л. Методы нахождения регуляризированного решения при идентификации линейных многомерных многосвязных дискретных систем Кибернетика и системный анализ |
| description |
Рассмотрена задача структурно-параметрической идентификации сложной многомерной многосвязной дискретной системы в классе моделей в пространстве состояний. Предполагается, что известны только входные и выходные координаты системы на некотором интервале времени и диапазон погрешности измерений. За основу принят метод выделяемого подпространства, который предполагает, что размерность системы (вектора состояния) известна. Однако это не всегда выполняется на практике. Кроме того, ввиду зависимости от уровня шума невозможно корректно идентифицировать систему большой размерности. Поэтому предложено рассматривать размерность в качестве регуляризирующего параметра. Разработаны три способа выбора приближенной размерности модели в зависимости от длительности интервала наблюдений и возможности активного эксперимента. Предлагаемые методы апробированы на примере задачи идентификации когнитивной карты коммерческого банка в импульсном процессе. |
| format |
Article |
| author |
Губарев, В.Ф. Романенко, В.Д. Милявский, Ю.Л. |
| author_facet |
Губарев, В.Ф. Романенко, В.Д. Милявский, Ю.Л. |
| author_sort |
Губарев, В.Ф. |
| title |
Методы нахождения регуляризированного решения при идентификации линейных многомерных многосвязных дискретных систем |
| title_short |
Методы нахождения регуляризированного решения при идентификации линейных многомерных многосвязных дискретных систем |
| title_full |
Методы нахождения регуляризированного решения при идентификации линейных многомерных многосвязных дискретных систем |
| title_fullStr |
Методы нахождения регуляризированного решения при идентификации линейных многомерных многосвязных дискретных систем |
| title_full_unstemmed |
Методы нахождения регуляризированного решения при идентификации линейных многомерных многосвязных дискретных систем |
| title_sort |
методы нахождения регуляризированного решения при идентификации линейных многомерных многосвязных дискретных систем |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2019 |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/181433 |
| citation_txt |
Методы нахождения регуляризированного решения при идентификации линейных многомерных многосвязных дискретных систе / В.Ф.,Губарев, В.Д. Романенко, Ю.Л. Милявский // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 6. — С. 3–16. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT gubarevvf metodynahoždeniâregulârizirovannogorešeniâpriidentifikaciilinejnyhmnogomernyhmnogosvâznyhdiskretnyhsistem AT romanenkovd metodynahoždeniâregulârizirovannogorešeniâpriidentifikaciilinejnyhmnogomernyhmnogosvâznyhdiskretnyhsistem AT milâvskijûl metodynahoždeniâregulârizirovannogorešeniâpriidentifikaciilinejnyhmnogomernyhmnogosvâznyhdiskretnyhsistem |
| first_indexed |
2025-07-15T22:31:22Z |
| last_indexed |
2025-07-15T22:31:22Z |
| _version_ |
1837754084879237120 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.711
Â.Ô. ÃÓÁÀÐÅÂ, Â.Ä. ÐÎÌÀÍÅÍÊÎ, Þ.Ë. ÌÈËßÂÑÊÈÉ
ÌÅÒÎÄÛ ÍÀÕÎÆÄÅÍÈß ÐÅÃÓËßÐÈÇÈÐÎÂÀÍÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß
ÏÐÈ ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈÈ ËÈÍÅÉÍÛÕ ÌÍÎÃÎÌÅÐÍÛÕ
ÌÍÎÃÎÑÂßÇÍÛÕ ÄÈÑÊÐÅÒÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíà çàäà÷à ñòðóêòóðíî-ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêà-
öèè ñëîæíîé ìíîãîìåðíîé ìíîãîñâÿçíîé äèñêðåòíîé ñèñòåìû â êëàññå ìî-
äåëåé â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èçâåñòíû òîëüêî âõîä-
íûå è âûõîäíûå êîîðäèíàòû ñèñòåìû íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå âðåìåíè è
äèàïàçîí ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé. Çà îñíîâó ïðèíÿò ìåòîä âûäåëÿåìîãî
ïîäïðîñòðàíñòâà, êîòîðûé ïðåäïîëàãàåò, ÷òî ðàçìåðíîñòü ñèñòåìû (âåêòîðà
ñîñòîÿíèÿ) èçâåñòíà. Îäíàêî ýòî íå âñåãäà âûïîëíÿåòñÿ íà ïðàêòèêå. Êðîìå
òîãî, ââèäó çàâèñèìîñòè îò óðîâíÿ øóìà íåâîçìîæíî êîððåêòíî èäåíòèôè-
öèðîâàòü ñèñòåìó áîëüøîé ðàçìåðíîñòè. Ïîýòîìó ïðåäëîæåíî ðàññìàòðè-
âàòü ðàçìåðíîñòü â êà÷åñòâå ðåãóëÿðèçèðóþùåãî ïàðàìåòðà. Ðàçðàáîòàíû
òðè ñïîñîáà âûáîðà ïðèáëèæåííîé ðàçìåðíîñòè ìîäåëè â çàâèñèìîñòè îò
äëèòåëüíîñòè èíòåðâàëà íàáëþäåíèé è âîçìîæíîñòè àêòèâíîãî ýêñïåðèìåí-
òà. Ïðåäëàãàåìûå ìåòîäû àïðîáèðîâàíû íà ïðèìåðå çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè
êîãíèòèâíîé êàðòû êîììåð÷åñêîãî áàíêà â èìïóëüñíîì ïðîöåññå.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñòðóêòóðíî-ïàðàìåòðè÷åñêàÿ èäåíòèôèêàöèÿ, àïïðîêñè-
ìèðóþùàÿ ìîäåëü, ìåòîä âûäåëÿåìîãî ïîäïðîñòðàíñòâà (4SID), ðåãóëÿðèçà-
öèÿ, ìíîãîñâÿçíàÿ ñèñòåìà, êîãíèòèâíàÿ êàðòà, èìïóëüñíûé ïðîöåññ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ñòàòüÿ ïîñâÿùåíà ïðîáëåìå èäåíòèôèêàöèè ëèíåéíûõ ìíîãîñâÿçíûõ äèñêðåòíûõ
ñèñòåì áîëüøîé ðàçìåðíîñòè, â òîì ÷èñëå òàêèõ, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïðåäñòàâ-
ëåíû â âèäå ðàçëîæåíèé, àñèìïòîòè÷åñêè ïðèáëèæàþùèõñÿ ê òî÷íîìó îïèñàíèþ
ñ óâåëè÷åíèåì èõ ðàçìåðíîñòè. Íàèáîëåå ïðèåìëåìûì ìîäåëüíûì êëàññîì äëÿ
ýòèõ ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ îïèñàíèå â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé, êîãäà êðîìå âõîäíûõ è
âûõîäíûõ ïåðåìåííûõ çàäàííûõ ðàçìåðíîñòåé èñïîëüçóþòñÿ âíóòðåííèå ïåðå-
ìåííûå, õàðàêòåðèçóþùèå òåêóùåå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû. Ðàçìåðíîñòü âíóòðåííèõ
ïåðåìåííûõ îïðåäåëÿåò ñòðóêòóðó è ñëîæíîñòü ñèñòåìû â êëàññå ìîäåëåé, êîòî-
ðûé äëÿ ëèíåéíîãî ñëó÷àÿ çàïèñûâàåòñÿ â âèäå âåêòîðíî-ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé.
Äëÿ ñèñòåì áîëüøîé ñëîæíîñòè ðàçìåðíîñòü, êàê ïðàâèëî, íåèçâåñòíà. Äàæå åñëè
îíà èçâåñòíà, òî íåò ãàðàíòèé, ÷òî ïî èñõîäíûì ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì
ìîæíî êîððåêòíî ïîñòðîèòü ìîäåëü èìåííî ýòîé ðàçìåðíîñòè. Ïîýòîìó â íàñòîÿ-
ùåé ñòàòüå ðàññìàòðèâàåòñÿ ñòðóêòóðíî-ïàðàìåòðè÷åñêàÿ èäåíòèôèêàöèÿ ñ îïðåäå-
ëåíèåì ðàçìåðíîñòè ìîäåëè è ñîîòâåòñòâóþùèõ åé îñíîâíûõ ìàòðèö A, B , C , D .
Ïðè ýòîì íàõîäèòñÿ ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè, ñîãëàñîâàí-
íîå ïî òî÷íîñòè ñ ïîãðåøíîñòüþ èñõîäíûõ äàííûõ.
Îñíîâàíèåì èìåííî òàêîãî ïîäõîäà ê ïðîáëåìå èäåíòèôèêàöèè ñèñòåì
áîëüøîé ðàçìåðíîñòè ïîñëóæèëè ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé êà÷åñòâà èäåíòèôè-
öèðóåìûõ ìîäåëåé, îïðåäåëÿåìîãî îøèáêàìè îöåíèâàíèÿ [1, 2]. Óñòàíîâëåíî,
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 6 3
© Â.Ô. Ãóáàðåâ, Â.Ä. Ðîìàíåíêî, Þ.Ë. Ìèëÿâñêèé, 2019
÷òî ñ óâåëè÷åíèåì ðàçìåðíîñòè ìîäåëè óìåíüøàåòñÿ îòêëîíåíèå èçìåðÿåìîãî âû-
õîäà îò ñîîòâåòñòâóþùåãî âûõîäíîãî ñèãíàëà ìîäåëè ïðè îäíîì è òîì æå âõîäå.
Îäíîâðåìåííî óâåëè÷åíèå ðàçìåðíîñòè èñêîìîé ìîäåëè ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ
÷óâñòâèòåëüíîñòè ðåøåíèÿ ê ïîãðåøíîñòÿì äàííûõ. Ïðè îïðåäåëåííîé ðàçìåð-
íîñòè íàñòóïàåò ðàâåíñòâî ïîãðåøíîñòåé, îáóñëîâëåííûõ óêàçàííûìè ôàêòîðàìè.
Èìåííî åå öåëåñîîáðàçíî ñ÷èòàòü îïòèìàëüíîé, ïîñêîëüêó äàëüíåéøåå óâåëè÷å-
íèå ðàçìåðíîñòè ïðèâåäåò ê áîëüøèì îøèáêàì âû÷èñëÿåìûõ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè.
Ââèäó ðàçíûõ ïðè÷èí ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî â ðåàëüíûõ óñëîâèÿõ îïðåäåëèòü
ýòó ýôôåêòèâíóþ ïî êà÷åñòâó ìîäåëè ðàçìåðíîñòü. Ïîýòîìó â äàííîé ñòàòüå ïðåä-
ëàãàåòñÿ èíîé ñïîñîá íàõîæäåíèÿ ðàçìåðíîñòè ïðèáëèæåííîé ìîäåëè, îñíîâó êîòî-
ðîãî ñîñòàâëÿåò ðåãóëÿðèçèðîâàííîå ðåøåíèå.  ýòîì ñëó÷àå ðàçìåðíîñòü ìîäåëè
áóäåì ñ÷èòàòü ðåãóëÿðèçèðóþùèì ïàðàìåòðîì, è òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ ìåòîäàìè
ðåãóëÿðèçàöèè íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûõ çàäà÷ ïîðÿäîê ìîäåëè îïðåäåëÿåòñÿ èñõî-
äÿ èç ïðèíöèïà ñîãëàñîâàííîñòè âûáðàííîãî ðåøåíèÿ ñ ïîãðåøíîñòüþ èñõîäíûõ
äàííûõ.  îïðåäåëåííûõ ñëó÷àÿõ äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî çàäàòü òàêóþ ðàçìåðíîñòü,
÷òîáû íåâÿçêà âûõîäíîãî ñèãíàëà ìîäåëè ïî îòíîøåíèþ ê èçìåðåííîìó áûëà ìåíü-
øåé èëè ðàâíîé îãðàíè÷åíèþ íà äîïóñòèìóþ ïîãðåøíîñòü èñõîäíûõ äàííûõ. Äëÿ
ðàçìåðíîñòè, íà åäèíèöó ìåíüøåé, ýòî óñëîâèå óæå íå äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ. Ïðè
òàêîì âûáîðå óäîâëåòâîðÿþòñÿ òðåáîâàíèÿ, ïðåäúÿâëÿåìûå ê ðåãóëÿðèçèðîâàííîìó
ðåøåíèþ. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ñòðåìëåíèè ïîãðåøíîñòè ê íóëþ è îáúåìà äàííûõ ê
áåñêîíå÷íîñòè îïðåäåëÿåìàÿ ðàçìåðíîñòü áóäåò âîçðàñòàòü, ïðèáëèæàÿñü ê òî÷íîìó
ðåøåíèþ. Êîãäà óìåíüøåíèå ïîãðåøíîñòè äîñòèãàåòñÿ ïðè ñòðåìëåíèè äëèòåëüíî-
ñòè ýêñïåðèìåíòà ê áåñêîíå÷íîñòè, ìîæíî ïðèáëèçèòüñÿ ê ñëó÷àþ, ïðè êîòîðîì ðàç-
ìåðíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ âû÷èñëèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå íà îñíîâå òåîðèè ðåàëèçàöèé â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿ-
íèé [3], îðèãèíàëüíîãî ìàòðè÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ìîäåëè ìíîãîñâÿçíîé ñèñòå-
ìû, ïðåäëîæåííîãî â [4], à òàêæå òåîðåòè÷åñêèõ ïîëîæåíèé, èñïîëüçóåìûõ â ìå-
òîäàõ ñòîõàñòè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè (N4SID, RobustN4SID, PO-MOESP è äðó-
ãèõ ìåòîäàõ), îïèñàííûõ, íàïðèìåð, â [5–8], ðàññìîòðåíû ðàçëè÷íûå ñïîñîáû
ïîñòðîåíèÿ ðåãóëÿðèçèðîâàííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè áåç
èñïîëüçîâàíèÿ ñòîõàñòè÷åñêîé òðàêòîâêè ïîãðåøíîñòè äàííûõ.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ïóñòü èññëåäóåìûé îáúåêò ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíîé ëèíåéíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñ-
òåìîé ñ r âõîäàìè è m âûõîäàìè. Âíóòðåííèå ïåðåìåííûå ñâÿçûâàþò âõîäíûå
âîçäåéñòâèÿ ñ èçìåðÿåìûìè âûõîäàìè è îïðåäåëÿþò òåêóùåå ñîñòîÿíèå ñèñòå-
ìû.  ñëîæíîì îáúåêòå âåêòîðû ñîñòîÿíèÿ ïðèíàäëåæàò êîíå÷íîìåðíîìó ïðî-
ñòðàíñòâó áîëüøîé ðàçìåðíîñòè èëè áåñêîíå÷íîìåðíîìó ïðîñòðàíñòâó. Ïðè
òàêèõ óñëîâèÿõ ïî äàííûì ñ ïîãðåøíîñòüþ ìîæåò áûòü íàéäåíî òîëüêî ïðè-
áëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè. Ïðèåìëåìûì êëàññîì ìîäåëåé,
îïèñûâàþùèì íàáëþäàåìûå äèíàìè÷åñêèå ïðîöåññû â òàêèõ îáúåêòàõ, ÿâëÿ-
åòñÿ ñëåäóþùàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé:
x k Ax k Bu k k( ) ( ) ( ) ( )� � � �1 � ,
(1)
y k Cx k Du k k( ) ( ) ( ) ( )� � � � ,
ãäå x — âåêòîð ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû ðàçìåðíîñòè n; y — âåêòîð èçìåðåíèé ðàç-
ìåðíîñòè m; u — âåêòîð âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ ðàçìåðíîñòè r; A — êâàäðàò-
íàÿ, à B , C , D — ïðÿìîóãîëüíûå ìàòðèöû ðàçìåðà n n� , n r� è m n� ñîîòâåò-
ñòâåííî. Äëÿ áîëüøîãî ÷èñëà ðàçëè÷íûõ ïî ñâîåé ïðèðîäå îáúåêòîâ, â òîì
÷èñëå íåïðåðûâíûõ, ñîãëàñíî [9] îïèñàíèå (1) áóäåò àñèìïòîòè÷åñêè ïðèáëè-
æàòüñÿ ê òî÷íîìó ïðè óâåëè÷åíèè ðàçìåðíîñòè n âåêòîðà x è ñòðåìëåíèè
ê íóëþ øàãà äèñêðåòèçàöèè. Â îïðåäåëåííûõ ñèòóàöèÿõ, êîãäà îïåðèðóåì
÷èñòî äèñêðåòíîé äèíàìèêîé, êàê, íàïðèìåð, â ñëó÷àå ñ èìïóëüñíûìè ïðîöåñ-
ñàìè â êîãíèòèâíûõ êàðòàõ, ñèñòåìà (1) ÿâëÿåòñÿ êëàññîì ìîäåëåé, â êîòîðîì
ìîæåò ñîäåðæàòüñÿ òî÷íîå îïèñàíèå.
4 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 6
Èñõîäíàÿ ñèñòåìà â êëàññå ìîäåëåé (1) áóäåò èäåíòèôèöèðîâàíà íà îñíîâå äàí-
íûõ, ïîëó÷àåìûõ â ýêñïåðèìåíòàõ, êîòîðûå ïðîâîäÿòñÿ íà èññëåäóåìîì îáúåêòå.
Ýòî ìîãóò áûòü àêòèâíûå ýêñïåðèìåíòû, êîãäà âõîäíîå âîçäåéñòâèå ôîðìèðóåòñÿ
ýêñïåðèìåíòàòîðîì, è ïàññèâíûå, êîãäà u k( ) ÿâëÿåòñÿ àïðèîðè íåèçâåñòíûì, íî èç-
ìåðÿåìûì âíåøíèì âîçäåéñòâèåì. Â ðåçóëüòàòå ïðîâåäåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ èìååì
âðåìåííûå âåêòîðíûå ðÿäû { }y k( ) è { }u k( ) , k N�1, , ãäå N — äëèòåëüíîñòü ýêñ-
ïåðèìåíòà. Â ðåàëüíûõ óñëîâèÿõ èçìåðåíèÿ îñóùåñòâëÿþòñÿ ñ ïîãðåøíîñòüþ. Êðîìå
òîãî, íà âõîäå ïîìèìî êîíòðîëèðóåìûõ âîçäåéñòâèé ìîãóò áûòü àääèòèâíûå âîçìóùå-
íèÿ. Ê íèì îòíîñÿò òàêæå íåìîäåëèðóåìóþ äèíàìèêó, ò.å. ðå÷ü èäåò î íàëè÷èè íåâÿçêè
âûõîäíûõ ïåðåìåííûõ ìîäåëè è ðåàëüíîé ñèñòåìû, îáóñëîâëåííîé ïðèáëèæåííûì
îïèñàíèåì, íàïðèìåð, çà ñ÷åò ìåíüøåé ïî ñðàâíåíèþ ñ îáúåêòîì ðàçìåðíîñòè ìîäåëè.
 äàííîé ñòàòüå ðàññìàòðèâàåòñÿ íåñòîõàñòè÷åñêàÿ èäåíòèôèêàöèÿ, êîãäà
ðåàëèçóåìûå ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèÿ �( )k è âîçìóùåíèÿ �( )k ìîãóò áûòü ïðîèç-
âîëüíûìè, íî îãðàíè÷åííûìè ïî âåëè÷èíå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàæäàÿ êîìïîíåí-
òà âåêòîðà �( )k îãðàíè÷åíà íåðàâåíñòâàìè:
| ( ) |� �i ik � , i m�1, . (2)
Îöåíèòü â ÿâíîì âèäå ïîãðåøíîñòè �( )k äîñòàòî÷íî ñëîæíî. Ïîýòîìó â
îñíîâíîì áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ ñëó÷àè, êîãäà âîçìóùåíèÿ îòñóòñòâóþò. Åñëè
èçâåñòíî, ÷òî ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèÿ è âîçìóùåíèÿ îãðàíè÷åíû, à çíà÷åíèÿ
îãðàíè÷åíèé íåèçâåñòíû, òî ïîä çíà÷åíèåì � i â (2) ìîæíî ïîíèìàòü ñóììó
ïîãðåøíîñòåé èçìåðåíèÿ è âêëàä âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ â âûõîäíîé ñèãíàë,
êîòîðûé îñòàåòñÿ ìàëûì è îãðàíè÷åííûì ïî âåëè÷èíå. Èìåííî äëÿ ýòîãî ñëó-
÷àÿ ïðåäëàãàåòñÿ íàõîäèòü ðåãóëÿðèçèðîâàííîå ðåøåíèå èç óñëîâèÿ åãî óñòîé-
÷èâîñòè ïðè òàêîé íåîïðåäåëåííîñòè.
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó. Ïî äàííûì (íåòî÷íûì), ïîëó÷åííûì íà
îñíîâàíèè ýêñïåðèìåíòîâ, íàéòè ðàçìåðíîñòü ìîäåëè è çíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþ-
ùèõ åé ýëåìåíòîâ ìàòðèö A, B , C , D, êîòîðûå íàèëó÷øèì îáðàçîì àïïðîêñèìè-
ðóþò ýòè äàííûå, ò.å. íà ëþáîå äîïóñòèìîå âõîäíîå âîçäåéñòâèå ìîäåëü è ñèñòå-
ìà äàþò íà âûõîäå áëèçêèå îòêëèêè. Áëèçîñòü îïðåäåëÿåòñÿ ïîãðåøíîñòüþ (2).
ÏÅÐÅÕÎÄ Ê ÑÎÎÒÍÎØÅÍÈßÌ ÂÕÎÄ–ÂÛÕÎÄ
 áîëüøèíñòâå 4SID-ìåòîäîâ (subspace-based state space system identification)
èñïîëüçóþòñÿ ïðåäñòàâëåíèÿ êëàññà ìîäåëåé (1) â âèäå ñîîòíîøåíèé âõîä–âû-
õîä. Äëÿ ýòîãî ñ ó÷åòîì èçìåðåííûõ çíà÷åíèé { }y k( ) , k N�1, , ôîðìèðóåòñÿ
îáîáùåííàÿ ìàòðèöà Ãàíêåëÿ
Y
y y y N
y y y N
y K y K y K
�
�
� �
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (
1 2
2 3 1
1
1
1
�
�
� � �
� N1 1�
�
�
�
�
�
�
�
)
, (3)
ãäå K N N� �1 , à çíà÷åíèå K äîëæíî ïðåâûøàòü ïðåäïîëàãàåìóþ ðàçìåðíîñòü
èñêîìîé ìîäåëè.
Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé Êîøè, çàïèñàííîé äëÿ äèñêðåòíîãî ñëó÷àÿ,
è ñ ïîìîùüþ åå è óðàâíåíèÿ íàáëþäåíèÿ â (1) ïåðåéòè ê âûõîäíûì ïåðåìåííûì,
òî ïîëó÷èì
y k
y k
y k K
x k
x k
x k
K
n
( )
( )
( )
( )
( )
(
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
1
2
� �
�
)
( )
( )
( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�K
u k
u k
u k K
1
1
�
, (4)
ãäå x ki ( ) — ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà x k( ); �K — ìàòðèöà íàáëþ-
äàåìîñòè; �K — íèæíåòðåóãîëüíàÿ òåïëèöåâà ìàòðèöà èìïóëüñíûõ îòêëèêîâ,
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 6 5
�K
K
C
CA
CA
�
�
�
�
�
�
�
��
�
1
, �K
K K
D
CB D
CA B CA B CB D
�
�
�
�
�
�
�
�� �
0 0 0
0 0
2 3
�
�
� � � �
�
. (5)
Ïîäñòàâëÿÿ (4) è (5) â (3), ïîëó÷àåì ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå
Y X UK K� �� � , (6)
ãäå
X x x N� [ ( ) ( )]1 1� , U
u u u N
u u u N
u K u K u N
�
�
�
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (
1 2
2 3 1
1
1
1
1
�
�
� � �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
K 1)
. (7)
Òàêèì îáðàçîì, ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå (6) ÿâëÿåòñÿ èñõîäíûì äëÿ èìåþùèõñÿ
è îïèñàííûõ â ëèòåðàòóðå ïðÿìûõ 4SID-ìåòîäîâ.
ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÎÑÍÎÂÛ ÌÅÒÎÄÀ
Ñóòü âñåõ 4SID-ìåòîäîâ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû íà îñíîâå (6) è ïîëîæåíèé òåî-
ðèè ðåàëèçàöèé ïîëó÷èòü îöåíêó ìàòðèö �K è �K , èñõîäÿ òîëüêî èç çíàíèÿ
ìàòðèö Y è U . Áûë ðàññìîòðåí ðÿä ñïîñîáîâ òðàíñôîðìàöèè ýòèõ ìàòðèö, ïî-
çâîëÿþùèõ âûäåëèòü ñèãíàëüíûå ïîäïðîñòðàíñòâà, êîòîðûì äëÿ íåêîòîðîé ðåà-
ëèçàöèè ïðèíàäëåæèò �K . Îïèøåì íåêîòîðûå èç íèõ ñ îðèåíòàöèåé íà íåñòî-
õàñòè÷åñêóþ èäåíòèôèêàöèþ, ò.å. êîãäà ïîãðåøíîñòü îïèñûâàåòñÿ â âèäå (2).
 ñëó÷àå, êîãäà êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà U U
T íå ÿâëÿåòñÿ âûðîæäåííîé èëè
ïëîõî îáóñëîâëåííîé, ìîæíî èñïîëüçîâàòü îðòîãîíàëüíóþ ïðîåêöèþ íà
íóëü-ïðîñòðàíñòâî ìàòðèöû U . Òàêîâîé áóäåò ìàòðèöà
�� �� �
I U U U UT T( ) 1 . (8)
Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî äëÿ ýòîé ìàòðèöû âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
U
��� 0.
Òîãäà åñëè óìíîæèòü óðàâíåíèå (6) ñïðàâà íà ìàòðèöó �� , òî ïîëó÷èì
Y X Y YK
�
�
� �� � � 1 2 , (9)
ãäå Y K1 � � , Y X2 �
�� .
Èçâåñòíî, ÷òî îïèñàíèå ñèñòåìû (1) íå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì. Ëþáîé íåâûðîæ-
äåííîé êâàäðàòíîé ìàòðèöå T ðàçìåðà, ñîâïàäàþùåãî ñ ðàçìåðíîñòüþ âåêòîðà x, ñî-
ãëàñíî òåîðèè ðåàëèçàöèé ñîîòâåòñòâóåò ïîëíîñòüþ ýêâèâàëåíòíîå ïî âõîäó è âûõî-
äó îïèñàíèå ñ ìàòðèöàìè �A , �B , �C òåõ æå ðàçìåðîâ, ÷òî è ìàòðèöû A, B , C . Ýòè ýê-
âèâàëåíòíûå îïèñàíèÿ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè
x T x� ��1 , � � �A TAT 1, � �B TB , � � �C CT 1, � �D D, � �
� �K K T ,
� � �X T X1 , det T � 0.
Òîãäà
Y Y Y Y Y
�
� �
��� 1 2 1 2 , (10)
ãäå � � �Y K1 � , � � �
�Y X2 � . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ëþáîì ðàçëîæåíèè (10) ñ ìàò-
ðèöåé Y2 , èìåþùåé ïîëíûé ðàíã, ðàâíûé n, ïåðâàÿ ìàòðèöà áóäåò ìàòðèöåé
íàáëþäàåìîñòè äëÿ íåêîòîðîé âîçìîæíîé ðåàëèçàöèè. Ïîýòîìó, ÷òîáû íàéòè �� ,
äîñòàòî÷íî âûïîëíèòü òàêîå ðàçëîæåíèå. Îáû÷íî â 4SID-ìåòîäå äëÿ ýòîé
öåëè èñïîëüçóåòñÿ SVD-ðàçëîæåíèå Y
�� , ò.å.
Y Q V
��� � T , (11)
6 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 6
ãäå Q è V — îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû, � — äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñèíãóëÿð-
íûõ ÷èñåë, ðàñïîëîæåííûõ â íåâîçðàñòàþùåì ïîðÿäêå íà äèàãîíàëè.
Åñëè ñèñòåìà, ãåíåðèðóþùàÿ äàííûå, èìååò ðàçìåðíîñòü n, à èñõîäíûå äàí-
íûå è ïðîâîäèìûå âû÷èñëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ òî÷íûìè, òî ìàòðèöà � áóäåò èìåòü íå
ðàâíûå íóëþ ïåðâûå n ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë, à îñòàëüíûå ÷èñëà áóäóò íóëåâûìè.
 ýòîì ñëó÷àå ÷èñëî íåíóëåâûõ ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë îïðåäåëÿåò ðàçìåðíîñòü ìî-
äåëè. Íàëè÷èå ëþáîé ïîãðåøíîñòè äåëàåò ìàòðèöó � ïîëíîðàíãîâîé ñ âåðîÿò-
íîñòüþ ïî÷òè åäèíèöà. Ïðè î÷åíü ìàëûõ ïîãðåøíîñòÿõ è íå î÷åíü áîëüøèõ ðàç-
ìåðíîñòÿõ èññëåäóåìîé ñèñòåìû â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ìîæíî çàìåòèòü ðàçðûâ
ìåæäó ñóùåñòâåííûìè (ïî âåëè÷èíå) ñèíãóëÿðíûìè ÷èñëàìè è ìàëîñóùåñòâåí-
íûìè. Îäíàêî â áîëüøèíñòâå ðåàëüíûõ ñèòóàöèé óñòàíîâèòü ãðàíèöó ìåæäó
ñèíãóëÿðíûìè ÷èñëàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè ñèñòåìå, è ïîðîæäàåìûìè ïîãðåø-
íîñòÿìè ïðàêòè÷åñêè íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì. Ïîýòîìó â äàííîé ñòàòüå
ïðåäëàãàåòñÿ íàõîäèòü â çàäà÷àõ èäåíòèôèêàöèè ïðèáëèæåííîå ðåãóëÿðèçèðî-
âàííîå ðåøåíèå, ñîãëàñîâàííîå ïî òî÷íîñòè ñ ïîãðåøíîñòüþ äàííûõ (2). Òàêîé
ïîäõîä îñíîâûâàåòñÿ íà èäåÿõ ðåãóëÿðèçàöèè [10] è îáåñïå÷èâàåò àñèìïòîòè÷åñ-
êîå ïðèáëèæåíèå ê òî÷íîìó ðåøåíèþ ïðè óìåíüøåíèè ïîãðåøíîñòè è óâåëè÷å-
íèè îáúåìà äàííûõ. Îïèñàíèå ìåòîäîâ íàõîæäåíèÿ ðåãóëÿðèçèðóþùèõ ðåøåíèé
äàíî â ïîñëåäóþùèõ ðàçäåëàõ.  êà÷åñòâå ðåãóëÿðèçèðóþùåãî ïàðàìåòðà çàäàåì
ðàçìåðíîñòü èñêîìîé ìîäåëè. Ïîñëå íàõîæäåíèÿ ðàçìåðíîñòè ïðèáëèæåííîé
ìîäåëè ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìàëèçìîì 4SID-ìåòîäîâ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñî-
îòâåòñòâóþùèõ ìàòðèö A, B , C , D . Äëÿ ýòîãî ïðåäñòàâèì ðàçëîæåíèå (11) â âèäå
Y Q V Q Vm m m e e e
� ��� � �T T , (12)
ãäå
Q Q Qm e� [ , ], V V Vm e� [ , ], �
�
�
�
�
�
�
�
m
e
0
0
,
Qm è Vm — ìàòðèöû, ÷èñëî ñòîëáöîâ êîòîðûõ ðàâíî óñòàíîâëåííîé ðàçìåð-
íîñòè ìîäåëè, à �m — êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ðàçìåðíîñòè ìîäåëè. Ñîãëàñíî èç-
ëîæåííîìó ïîëàãàåì
� ��K mQ . (13)
Òàêèì îáðàçîì, ïåðâîå ñëàãàåìîå â (12) ñîîòâåòñòâóåò ìîäåëè, à âòîðîå âêëþ-
÷àåò ïîãðåøíîñòè äàííûõ è íåó÷èòûâàåìóþ äèíàìèêó.
Ñîîòíîøåíèå (13) ïîçâîëÿåò äîñòàòî÷íî ëåãêî âû÷èñëèòü îöåíêè ìàòðèö �A
è �C äëÿ íåêîòîðîé ðåàëèçàöèè. Ìàòðèöà �C — ýòî ïåðâûå m ñòðîê ìàòðèöû Qm ,
à ìàòðèöó �A ìîæíî íàéòè, âîñïîëüçîâàâøèñü ñâîéñòâîì ñäâèãîâîé èíâàðèàíò-
íîñòè ìàòðèöû �K . Òîãäà îöåíêó �A ïîëó÷èì èç ñëåäóþùåãî ïðèáëèæåííîãî
ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ:
Q A Qm n m n, : , :1 2 1� � � , (14)
ãäå Qm n, :1 — ìàòðèöà, ïîëó÷åííàÿ èç Qm îòáðàñûâàíèåì ïîñëåäíèõ m ñòðîê,
à Qm n, :2 1� — îòáðàñûâàíèåì ïåðâûõ m ñòðîê.
Ñèñòåìà (14) ÿâëÿåòñÿ ïåðåîïðåäåëåííîé (K n� ), è åå ðåøåíèå íàõîäèòñÿ
ñ ïîìîùüþ îáû÷íîãî èëè îáîáùåííîãî ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ (ÌÍÊ).
Ïîñëå îïðåäåëåíèÿ �A ìîãóò áûòü íàéäåíû ìàòðèöû �B è �D èç óðàâíåíèÿ (6),
óìíîæåííîãî ñëåâà íà ìàòðèöó Qe
T èç (12). Ââèäó îðòîãîíàëüíîñòè ìàòðèöû Q
èìååì Q Qe n
T
� 0; òîãäà èç (6) ïîëó÷àåì ïåðåîïðåäåëåííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé
äëÿ íàõîæäåíèÿ �B è �D :
Q U Q Yn n
T T� � . (15)
Èç (15) ñ ïîìîùüþ ÌÍÊ íàõîäèì îöåíêó �B è �D . Áîëåå äåòàëüíî äàííûé
ïîäõîä ê èäåíòèôèêàöèè èçëîæåí â [11].
Äðóãîé áîëåå îáùèé è ýôôåêòèâíûé ïîäõîä ê èäåíòèôèêàöèè îïèñàí â [5].
Ñîãëàñíî òàêîìó ïîäõîäó èç Y è U ôîðìèðóåòñÿ ñîñòàâíàÿ ìàòðèöà
U
Y
�
�
�
� è îñó-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 6 7
ùåñòâëÿåòñÿ åå RQ-ðàçëîæåíèå, ò.å. îíà ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê
U
Y
R
R R
Q
Q
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
11
21 22
1
2
0
. (16)
Îäíîâðåìåííî ñ (6) ðàññìàòðèâàþòñÿ ìàòðèöà
U
X
�
�
�
� è åå RQ-ðàçëîæåíèå
U
X
R
R R
Q
Qx x x
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
11
1 2
10
. (17)
Î÷åâèäíî, ÷òî ìàòðèöû R11 è Q1 â ðàçëîæåíèÿõ (16), (17) îäèíàêîâûå. Íà
îñíîâå (16) è (17) ñ ó÷åòîì (6) â ðàáîòå [5] áûëî óñòàíîâëåíî ðàâåíñòâî
R Q Q RK x x22 2 2�
� T . (18)
Ñîãëàñíî òåîðèè ðåàëèçàöèé ìàòðèöó R22 ìîæíî çàïèñàòü â âèäå, àíàëîãè÷-
íîì (10). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ëþáîì ïðåäñòàâëåíèè ìàòðèöû R22 â (18), êî-
òîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì äâóõ ïîëíîðàíãîâûõ ìàòðèö, ìîæíî ïåðâóþ èç
íèõ âçÿòü çà ��K äëÿ íåêîòîðîé ðåàëèçàöèè. Ïðèíÿòî â êà÷åñòâå òàêîãî ðàçëî-
æåíèÿ èñïîëüçîâàòü SVD, à èìåííî
R Q V22 � � T , (19)
ãäå Q , �, V îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå (11).  ðåçóëüòàòå èìååì � ��K Q , è ïîñëå
îïðåäåëåíèÿ ðàçìåðíîñòè ðåãóëÿðèçèðîâàííîãî ðåøåíèÿ èçëîæåííûì â ïîñëåäóþ-
ùèõ ðàçäåëàõ ìåòîäîì çàïèñûâàåì ðàçëîæåíèå (12). Ìàòðèöû �A è �C äëÿ ñîîòâåò-
ñòâóþùåé ðåàëèçàöèè íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì, àíàëîãè÷íûì (13), (14). Äëÿ íàõîæäå-
íèÿ ìàòðèö �B è �D ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè, ïðèâåäåííûìè â [5].
Äëÿ ñòîõàñòè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè ðàçðàáîòàíû àëãîðèòìû 4SID-ìåòîäà,
îòëè÷àþùèåñÿ ñïîñîáàìè ôîðìèðîâàíèÿ èíôîðìàöèîííûõ ìàòðèö. Ìíîãèå èç
íèõ äîâåäåíû äî ïðàêòè÷åñêîé ðåàëèçàöèè äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ â ñðåäå Matlab;
ýòèì ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíûõ çàäà÷ [12].
Òðåòèé îðèãèíàëüíûé è áîëåå ïîäõîäÿùèé ïîäõîä ê íàõîæäåíèþ ðåøåíèÿ, ñîãëàñî-
âàííîãî ïî òî÷íîñòè ñ ïîãðåøíîñòüþ (2), ìîæíî ðåàëèçîâàòü â àêòèâíûõ ýêñïåðèìåíòàõ,
êîãäà èìååì âîçìîæíîñòü ôîðìèðîâàòü îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîå âõîäíîå âîçäåéñòâèå.
Ïóñòü äëèòåëüíîñòü ýêñïåðèìåíòà [ , ]0 N äîñòàòî÷íî âåëèêà è äîïóñêàþùàÿ âîç-
ìîæíîñòü åãî ðàçáèåíèÿ íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåðâàëîâ [ , ]k kj j�1 òàê, ÷òî k0 0�
( j � 0) ñîîòâåòñòâóåò ïåðâîìó èíòåðâàëó, à j K� 1 — ïîñëåäíåìó, ò.å. òî÷êà kK1 1�
ñîâïàäàåò ñ N . Âñå ÷åòíûå èíòåðâàëû ( j � 0 2 4, , , � ) ÿâëÿþòñÿ èíòåðâàëàìè âîçáóæ-
äåíèÿ ñ íåíóëåâûì âõîäíûì âîçäåéñòâèåì, à âñå íå÷åòíûå ÿâëÿþòñÿ èíòåðâàëàìè ðå-
ëàêñàöèè èëè ñâîáîäíîãî äâèæåíèÿ. ×èñëî òî÷åê äëÿ âñåõ j íà èíòåðâàëå ðåëàêñàöèè
âûáèðàåì îäèíàêîâûì è ðàâíûì N 2 . Èíòåðâàëû âîçáóæäåíèÿ ìîãóò èìåòü ðàçíóþ
äëèíó, â òîì ÷èñëå ñëó÷àéíóþ. Öåëåñîîáðàçíî âõîäíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íà èíòåð-
âàëàõ âîçáóæäåíèÿ ôîðìèðîâàòü òàê, ÷òîáû èìåòü áîëüøîå ðàçíîîáðàçèå íà÷àëüíûõ
ñîñòîÿíèé â ìîìåíòû k j�1, j � 0 2 4, , , �  ñëó÷àå, åñëè âåëè÷èíà âõîäíûõ ñèãíàëîâ
èìååò îãðàíè÷åíèÿ ïî àìïëèòóäå | ( ) |u k ui � 0 , i r�1, , äîñòàòî÷íî ïîäàâàòü ñëó÷àé-
íûì îáðàçîì ìèíèìàëüíîå è ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèÿ ñèãíàëà ïî êàæäîé êîîðäèíàòå
u k ui ( ) � � 0 ïðè óñëîâèè, ÷òî äëèòåëüíîñòü èíòåðâàëà âîçáóæäåíèÿ ñëó÷àéíà.
 êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè èçìåðÿþòñÿ âûõîäíûå ïåðåìåííûå, èç êîòîðûõ
ôîðìèðóåòñÿ âðåìåííàÿ âåêòîðíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }y k( ) . Êðîìå ñèãíàëà îò-
êëèêà ñèñòåìû êàæäîå çíà÷åíèå y k( ) ñîäåðæèò îøèáêè èçìåðåíèÿ. Èç çàøóìëåí-
íûõ èçìåðåíèé íà èíòåðâàëàõ ðåëàêñàöèè ôîðìèðóåì ìàòðèöó
Y
y y y
y y y
y N
K
K
relax �
1 3
1 3
1
2
1 1 1
2 2 2
1
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
(
�
�
� � � �
) ( ) ( )y N y N
K3
2 2
1�
�
�
�
�
�
�
�
�
, (20)
8 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 6
ãäå y ks ( ) — âåêòîð èçìåðåíèé â òî÷êå k äëÿ s-ãî èíòåðâàëà ðåëàêñàöèè ( , , )s �1 3 � ,
K1 ñîîòâåòñòâóåò ïîñëåäíåìó èíòåðâàëó ðåëàêñàöèè íà èíòåðâàëå [ , ]0 N .
Ìàòðèöå (20) ñîãëàñíî ôîðìóëå Êîøè äëÿ äèñêðåòíîãî ïðîöåññà ñîîòâåò-
ñòâóåò ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå
Y XNrelax �
�
2 0 , (21)
ãäå �N 2
— ìàòðèöà íàáëþäàåìîñòè,
X
x x x
x x x
x
K
K
n
0
1
1
1
3
1
2
1
2
3
2
1
1 1 1
1 1 1
1
1
�
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
�
�
� � � �
( ) ( ) ( )1 1 13 1x xn n
K
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé íà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé íà èíòåðâàëàõ ðåëàêñàöèè, n — ðàç-
ìåðíîñòü âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ.
Âíà÷àëå íåîáõîäèìî âîññòàíîâèòü ðàçìåðíîñòü ðåãóëÿðèçèðîâàííîãî ðåøå-
íèÿ. Îïèñàíèå ìåòîäîâ åãî íàõîæäåíèÿ äàíî â ñëåäóþùåì ðàçäåëå. Äàëåå ðåøà-
åòñÿ çàäà÷à ïàðàìåòðè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèö A, B , C , D . Äëÿ ýòî-
ãî, êàê è â îïèñàííûõ âûøå ñëó÷àÿõ, èñïîëüçóåòñÿ ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàò-
ðèöû Y relax è ðàçáèåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðèö SVD íà áëîêè:
Y Q V Q Vm m m e e erelax
T T� �� � , (22)
ãäå ïåðâîå ñëàãàåìîå åñòü àïïðîêñèìàöèÿ çàøóìëåííîé ìàòðèöû Y relax ìàòðè-
öåé íåïîëíîãî ðàíãà n. Îíà è áóäåò îïðåäåëÿòü ïðèáëèæåííóþ ìîäåëü ñèñòå-
ìû, ïî òî÷íîñòè ñîãëàñîâàííóþ ñ ïîãðåøíîñòüþ äàííûõ (1). (Îïðåäåëåíèå
äàíî â ñëåäóþùåì ðàçäåëå.)
Ïîñëå âûïîëíåíèÿ ðàçáèåíèÿ (22) ïîëàãàåì
� ��N mQ
2
, � �X Vm m0 � . (23)
Ïðåäñòàâëåíèå (23) ïîçâîëÿåò íàéòè ìàòðèöû �A , �B , �C , D äëÿ íåêîòîðîé ðåàëè-
çàöèè. Ìàòðèöû �A è �C íàõîäÿòñÿ èç ïåðâîãî ñîîòíîøåíèÿ â (23). Ìàòðèöà �C
ïðåäñòàâëÿåò ïåðâûå m ñòðîê Qm , à ìàòðèöà �A íàõîäèòñÿ èç óðàâíåíèÿ, àíàëî-
ãè÷íîãî óðàâíåíèþ (14).
×òîáû íàéòè ìàòðèöû �B è D (ìàòðèöà D èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî íåîñî-
áîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ), çàïèøåì àíàëîãè÷íîå (4) âåêòîðíî-ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå
äëÿ k-ãî èíòåðâàëà âîçáóæäåíèÿ:
y A x uk
N
N k
N
k
k k
� �� �� �
3
2
3
1 1 , k K� �2 4 11, , ,� , (24)
ãäå N k3
— êîëè÷åñòâî òî÷åê íà k-ì èíòåðâàëå âîçáóæäåíèÿ,
y
y
y
y N
k
k
k
k
k
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
( )
( )
( )
1
2
3
�
, x
x
x
x
k
k
k
n
k
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
1
2
1
1
1
1
1
( )
( )
( )
�
, u
u
u
u N
k
k
k
k
k
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
( )
( )
( )
1
2
3
�
,
y jk ( ), u jk ( ) — âûõîä è âõîä â j-é òî÷êå k-ãî èíòåðâàëà âîçáóæäåíèÿ, x k�1 —
( )k �1 -é ñòîëáåö ìàòðèöû X 0 ,
�N
N
k
k
C
CA
CA
3
3
1
�
�
�
�
�
�
�
��
�
, �N
N N
k
k k
D
CB D
CA B CA B CB D
3
3 3
0 0 0
0 0
2 3
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
� � � �
�
�
�
.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 6 9
Ïóñòü y A x yk
N
N k k
k
� �
�
� ��
3
2
1
1 1 , à ïîñêîëüêó ìàòðèöà X 0 îïðåäåëåíà
â (23), òî yk ÿâëÿåòñÿ èçâåñòíîé âåëè÷èíîé. Òîãäà ìàòðèöû B è D ìîæíî íàéòè èç
ïåðåîïðåäåëåííîé ñèñòåìû ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé
�N
k k
k
u y
3
� , (25)
èñïîëüçóÿ äëÿ ýòîãî îáû÷íûé èëè îáîáùåííûé ÌÍÊ.
 ëèòåðàòóðå îïèñàíû è äðóãèå ìîäèôèêàöèè ìåòîäà âûäåëÿåìîãî ïîä-
ïðîñòðàíñòâà; íåêîòîðûå èç íèõ ìîæíî íàéòè â [8, 11].
ÌÅÒÎÄÛ ÍÀÕÎÆÄÅÍÈß ÐÅÃÓËßÐÈÇÈÐÎÂÀÍÍÛÕ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÍÛÕ ÐÅØÅÍÈÉ
Êàê ñêàçàíî âûøå, âàæíåéøåé õàðàêòåðèñòèêîé, íåîáõîäèìîé äëÿ îïðåäåëå-
íèÿ â ïðîöåññå èäåíòèôèêàöèè ñèñòåìû, ÿâëÿåòñÿ åå ðàçìåðíîñòü, êîòîðàÿ â
òî æå âðåìÿ âûñòóïàåò è ðåãóëÿðèçèðóþùèì ïàðàìåòðîì â ïðåäëàãàåìîì ñïî-
ñîáå èäåíòèôèêàöèè. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïîäõîäîâ ê îïðåäåëåíèþ ðàçìåð-
íîñòè ñèñòåìû ñ ó÷åòîì èçëîæåííûõ âûøå âîçìîæíîñòåé.
Ðåãóëÿðèçèðîâàííîå ðåøåíèå íà êîðîòêîì èíòåðâàëå. Îïèøåì ìåòîä,
ïîçâîëÿþùèé íàõîäèòü ðåãóëÿðèçèðîâàííîå ðåøåíèå çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè
ìíîãîìåðíîé ìíîãîñâÿçíîé (MIMO) ëèíåéíîé ñèñòåìû ïî ýêñïåðèìåíòàëüíûì
äàííûì íà îòíîñèòåëüíî íåáîëüøîì èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ [ , ]0 N . Áóäåì íàõî-
äèòü ðàçìåðíîñòü, ñîîòâåòñòâóþùóþ ðåãóëÿðèçèðîâàííîìó ðåøåíèþ, ïóòåì èç-
ìåíåíèÿ åå â îïðåäåëåííûõ ïðåäåëàõ è âûáåðåì íåêîòîðóþ íà÷àëüíóþ ðàçìåð-
íîñòü n m0 � . Äëÿ âûáðàííîãî n0 ñ èñïîëüçîâàíèåì îäíîãî èç îïèñàííûõ ðàíåå
ïîäõîäîâ íàõîäèì ïîëíîå ðåøåíèå çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè, ò.å. âîññòàíàâëèâàåì
ïî èñõîäíûì äàííûì ìàòðèöû A, B , C . Äëÿ ïîñòðîåííîé òàêèì îáðàçîì ìîäåëè
ïðîâîäèì âû÷èñëèòåëüíûé ýêñïåðèìåíò. Ïîäàåì íà åå âõîä òî÷íî òàêîé æå ñèã-
íàë, êàê è ïðè ôîðìèðîâàíèè äàííûõ äëÿ èäåíòèôèêàöèè ñèñòåìû. Íàõîäèì îò-
êëèê ìîäåëè íà ýòîò ñèãíàë, ò.å. âû÷èñëÿåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }y km ( ) ,
k N�1, , ãäå y km ( ) — âûõîä ìîäåëè â ìîìåíò k . Ïîâòîðÿåì ýòó ïðîöåäóðó äëÿ
äðóãèõ n n� 0 . Äëÿ êàæäîãî n ïðîâîäèì ñðàâíåíèå âûõîäíûõ ñèãíàëîâ ìîäåëè è
èññëåäóåìîé ñèñòåìû, ò.å. íàõîäèì
| ~ ( ) ( ) |y k y ki i
m� , i m�1, , k N�1, . (26)
Ïî êàæäîìó âûõîäó îïðåäåëÿåì íàèáîëüøåå ðàññîãëàñîâàíèå ñèãíàëîâ, à èìåííî
íàõîäèì îöåíêó
max | ~ ( ) ( ) | ( )
k
i i
m
iy k y k n� � � 0 , i m�1, . (27)
Òåïåðü äëÿ êàæäîé êîìïîíåíòû âûõîäà ïðîâåðÿåì âûïîëíèìîñòü íåðàâåíñòâà
� �i in( )0 � . (28)
Çäåñü âîçìîæíû äâà ïîäõîäà. Â ïåðâîì íà ìíîæåñòâå ðåøåíèé ñ ðàçíûìè n íà-
õîäèòñÿ òàêîå n� , íà÷èíàÿ ñ êîòîðîãî íåðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ êîîð-
äèíàò.  òàêîì ñëó÷àå ðàçìåðíîñòü ðåãóëÿðèçèðîâàííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è èäåí-
òèôèêàöèè ðàâíà n� . Îäíàêî íà ïðàêòèêå ÷àñòî âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà (28)
äëÿ âñåõ âûõîäíûõ êîîðäèíàò ñ ðàçíûìè n íåâîçìîæíî.  òàêîì ñëó÷àå
ïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàòü äðóãîé ïîäõîä, â êîòîðîì ðàññìàòðèâàþòñÿ äâà ïîêà-
çàòåëÿ. Ïåðâûé ïîêàçàòåëü — ýòî ÷àñòü (ïðîöåíò) òàêèõ êîîðäèíàò � i n( )0 ñðåäè
âñåõ m, äëÿ êîòîðûõ íåðàâåíñòâî (28) íå âûïîëíÿåòñÿ, ò.å. ïðîöåíò çíà÷åíèé
íåâÿçîê (26), ïðåâûøàþùèõ ñîîòâåòñòâóþùèå � i . Âòîðîé ïîêàçàòåëü — ìàêñè-
ìàëüíîå çíà÷åíèå max ( )
i
i n� 0 ïî âñåì êîîðäèíàòàì. Ìîæíî ïîñòðîèòü çàâèñè-
ìîñòü ýòèõ ïîêàçàòåëåé îò âûáèðàåìîé ðàçìåðíîñòè ìîäåëè, íà÷èíàÿ ñî çíà÷å-
íèÿ, ðàâíîãî ðàçìåðíîñòè âåêòîðà èçìåðåíèé. Ñíà÷àëà íàáëþäàåòñÿ ñïàä îáîèõ
ïîêàçàòåëåé, à çàòåì, íà÷èíàÿ ñ îïðåäåëåííîãî çíà÷åíèÿ, îíè ïðàêòè÷åñêè íå
10 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 6
èçìåíÿþòñÿ, ò.å. íàñòóïàåò èõ ñòàáèëèçàöèÿ. Ðàçìåðíîñòü, ñ êîòîðîé íàñòóïàåò
íàñûùåíèå, áóäåì âûáèðàòü â êà÷åñòâå èñêîìîé. Çíà÷åíèÿ ìàòðèö A, B, C, åé
ñîîòâåòñòâóþùèå, äàþò ïîëíîå ðåøåíèå çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè.
Èäåíòèôèêàöèÿ ïðè ñïåöèàëüíîì âõîäíîì âîçäåéñòâèè. Ðàññìîòðèì àê-
òèâíûé ýêñïåðèìåíò, îïèñàííûé â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå. Ïðèìåíèì èòåðàòèâíóþ
ñõåìó íàõîæäåíèÿ ðàçìåðíîñòè ìîäåëè, îïðåäåëÿþùåé ðåãóëÿðèçèðîâàííîå ðå-
øåíèå. Äëÿ ýòîãî âûïîëíèì ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèöû Y relax (20) è äëÿ
íåêîòîðîãî íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ ðàçìåðíîñòè ïðåäïîëàãàåìîé ìîäåëè ïðîèçâå-
äåì äåêîìïîçèöèþ (22).
Çàïèøåì ïî àíàëîãèè ñ (20) ìàòðèöó ïîãðåøíîñòåé
�
� � �
� � �
� �
1 3
1 3
1
2
3
2
1 1
2 2 2
1
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) (
1 �
�
� � �
K
K
N N ) ( )� � K
N1
2
�
�
�
�
�
�
�
�
. (29)
Ïðèìåì ñëåäóþùåå ñîãëàøåíèå. Ïóñòü èìååì ìàòðèöû S è M ðàçìåðà m n� .
Òîãäà ïîëàãàåì
S M s m i m j nij ij� ! � " � " �| | | | , , ,1 1 ,
S M s m i m j nij ij� ! � " � " �| | | | , , ,1 1 ,
ãäå | |M — ìàòðèöà àáñîëþòíûõ çíà÷åíèé. Òîãäà ñ ó÷åòîì (2) ìîæåì çàïèñàòü
| | � E , (30)
ãäå E — ìàòðèöà, â êîòîðîé ýëåìåíòû � i k( ) ìàòðèöû (29) çàìåíåíû íà � i èç (2).
Ñ ó÷åòîì (22) è (30) çàïèøåì íåðàâåíñòâî
| | | |Y Q V Ee e e e� �� T . (31)
Äëÿ âûáðàííîãî íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ ðàçìåðíîñòè ìîäåëè ïðîâåðÿåì âûïîëíè-
ìîñòü íåðàâåíñòâà (31). Åñëè äëÿ ýòîé ðàçìåðíîñòè îíî âûïîëíÿåòñÿ, òî óìåíü-
øàåì åå íà åäèíèöó, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå óâåëè÷èâàåì íà åäèíèöó. Ïîñëå ýòîãî
âíîâü ïðîâåðÿåì âûïîëíèìîñòü (31). Åñëè, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîé ðàçìåðíîñòè n,
íåðàâåíñòâî (31) âûïîëíÿåòñÿ, à äëÿ n�1 — íå âûïîëíÿåòñÿ, òî èìåííî n ñëå-
äóåò âûáðàòü â êà÷åñòâå èñêîìîé. Âîçìîæíà ñèòóàöèÿ, ïðè êîòîðîé (31) íåâû-
ïîëíèìî íè äëÿ êàêîé ðàçìåðíîñòè. Òîãäà ñëåäóåò ïðèìåíèòü ïîäõîä, àíàëîãè÷-
íûé îïèñàííîìó ðàíåå, ò.å. â êà÷åñòâå ïîêàçàòåëåé âûáðàòü ïðîöåíò êîîðäèíàò
ìàòðèöû Ye , íà êîòîðûõ íàðóøàåòñÿ íåðàâåñòâî (31), è ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå
ýëåìåíòîâ ìàòðèöû | |Ye , ðàññìàòðèâàÿ åãî êàê íîðìó. Òîãäà â êà÷åñòâå èñêîìî-
ãî ñëåäóåò âûáèðàòü ãðàíè÷íîå çíà÷åíèå n, ðàçäåëÿþùåå îáëàñòè ñïàäà è íàñû-
ùåíèÿ. Ïîñëå âûáîðà ðàçìåðíîñòè ìîæíî èäåíòèôèöèðîâàòü ïàðàìåòðû ñèñòå-
ìû îïèñûâàåìûì âûøå ìåòîäîì, ò.å. íà îñíîâå (23)–(25).
Êâàçèîïòèìàëüíîå ðåøåíèå íà äëèòåëüíîì èíòåðâàëå. Îïðåäåëèì êâàçèîï-
òèìàëüíîå çíà÷åíèå ðàçìåðíîñòè ìîäåëè, ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåäåëüíîé ðàçìåðíîñ-
òè, ïîñëå êîòîðîé çàäà÷ó èäåíòèôèêàöèè òðàêòóåì êàê íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííóþ.
Äëÿ åå íàõîæäåíèÿ èìåþùèåñÿ äàííûå ðàçáèâàåì íà äâà ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíûõ
èíòåðâàëà. Íà îäíîì èç íèõ çàäàåì ðàçìåðíîñòü n0 èñêîìîé ìîäåëè è 4SID-ìåòîäîì
íàõîäèì òîëüêî ìàòðèöó A äëÿ íåêîòîðîé ðåàëèçàöèè. Âû÷èñëÿåì åå ñîáñòâåííûå
çíà÷åíèÿ. Çàòåì ñìåùàåì ïåðâûé èíòåðâàë íà q øàãîâ âïðàâî è äëÿ íîâûõ äàííûõ
âû÷èñëÿåì ìàòðèöó A è åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ òåì æå ñïîñîáîì. Ïîñëå ýòîãî
âíîâü ñìåùàåì èíòåðâàë íà q øàãîâ âïðàâî è íàõîäèì äëÿ íåãî ñîáñòâåííûå çíà÷å-
íèÿ. Ïðîäîëæàåì ýòó ïðîöåäóðó äî òîãî ìîìåíòà, ïîêà ñìåùàåìûé èíòåðâàë ïðàê-
òè÷åñêè íè ñîâïàäåò ñî âòîðûì èíòåðâàëîì äàííûõ èñõîäíîãî ðàçáèåíèÿ. Äëÿ ïîëó-
÷åííîãî òàêèì îáðàçîì ìíîæåñòâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ïðîâîäèì îöåíêó èõ ðàç-
áðîñà. Åñëè îí îêàçàëñÿ íåáîëüøèì, òî óâåëè÷èâàåì íà åäèíèöó n0 è âûïîëíÿåì òå
æå äåéñòâèÿ, ÷òî è ïðè îïðåäåëåíèè ðàçáðîñà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. Åñëè äëÿ íà-
÷àëüíîé ðàçìåðíîñòè ðàçáðîñ îêàçàëñÿ áîëüøèì, òî óìåíüøàåì ðàçìåðíîñòü ìîäå-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 6 11
ëè. Ïðîöåññ óñòàíîâëåíèÿ ïîðÿäêà ïðèáëèæåííîé ìîäåëè çàêàí÷èâàåòñÿ ïîñëå íà-
õîæäåíèÿ ãðàíèöû óñòîé÷èâîñòè. Ðàçìåðíîñòü, ïðåäåëüíî äîïóñòèìàÿ ïðè óñëîâèè
óñòîé÷èâîñòè, ÿâëÿåòñÿ êâàçèîïòèìàëüíîé. Äëÿ íåå îäíèì èç 4SID-ìåòîäîâ âû÷èñ-
ëÿþòñÿ âñå ïàðàìåòðû ïðèáëèæåííîé ìîäåëè.
Äàííûé ïîäõîä èìååò äâà íåäîñòàòêà. Âî-ïåðâûõ, îí òðåáóåò äëèòåëüíîãî
èíòåðâàëà íàáëþäåíèÿ. Âî-âòîðûõ, â åãî îñíîâå ëåæèò ïëîõî ôîðìàëèçóåìîå ïî-
íÿòèå ðàçáðîñà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. Ñ÷èòàåòñÿ ðàçáðîñ áîëüøèì, êîãäà èçìå-
íÿåòñÿ ñòðóêòóðà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, íàïðèìåð êîãäà ïàðà äåéñòâèòåëüíûõ
çíà÷åíèé ïðåîáðàçóåòñÿ â êîìïëåêñíóþ ïàðó èëè èçìåíÿåòñÿ çíàê ñîáñòâåííîãî
çíà÷åíèÿ, ëèáî êîãäà äâà î÷åíü áëèçêèõ ñîáñòâåííûõ ÷èñëà íà÷èíàþò áûñòðî
ðàñõîäèòüñÿ. Êîãäà ýòîãî íå ïðîèñõîäèò, ìîæíî ðåêîìåíäîâàòü ñëåäóþùóþ ïðî-
öåäóðó îïðåäåëåíèÿ ðàçáðîñà ñîáñòâåííûõ ÷èñåë: âû÷èñëèòü ìîäóëè ñîáñòâåí-
íûõ çíà÷åíèé è îòñîðòèðîâàòü èõ ïî óáûâàíèþ, ñôîðìèðîâàòü èç íèõ â óñòîé÷è-
âîé îáëàñòè êëàñòåðû áëèçêèõ çíà÷åíèé, à çàòåì ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ ðàçìåðíîñ-
òè îòñëåæèâàòü èõ ïîâåäåíèå äî ïîÿâëåíèÿ ïðèçíàêîâ íåóñòîé÷èâîñòè, ò.å.
ñóùåñòâåííîãî óâåëè÷åíèÿ ðàçìåðîâ îäíîãî èç êëàñòåðîâ.
ÈËËÞÑÒÐÀÒÈÂÍÛÉ ÏÐÈÌÅÐ ÍÀÕÎÆÄÅÍÈß ÐÀÇÌÅÐÍÎÑÒÈ
ÊÎÃÍÈÒÈÂÍÎÉ ÊÀÐÒÛ Â ÈÌÏÓËÜÑÍÎÌ ÏÐÎÖÅÑÑÅ
 êà÷åñòâå ïðèìåðà äèñêðåòíîé ìíîãîìåðíîé ìíîãîñâÿçíîé ñèñòåìû ðàññìîòðèì
êîãíèòèâíûå êàðòû (ÊÊ) [13]. Îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âçâåøåííûå îðèåí-
òèðîâàííûå ãðàôû, âåðøèíû êîòîðûõ îòðàæàþò êîîðäèíàòû ñëîæíûõ ñèñòåì,
à ðåáðà ñ âåñîâûìè êîýôôèöèåíòàìè îïèñûâàþò âëèÿíèå îäíîé âåðøèíû íà
äðóãóþ. ÊÊ øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ àíàëèçà ñëîæíûõ ñèñòåì ðàçëè÷íîé
ïðèðîäû, â òîì ÷èñëå ñîöèàëüíûõ, ïîëèòè÷åñêèõ, ýêîíîìè÷åñêèõ, ýêîëîãè÷åñ-
êèõ, ôèíàíñîâûõ è ò.ä. Â ïðîöåññå ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñëîæíîé ñèñòåìû ïîä
âëèÿíèåì ðàçëè÷íûõ âîçìóùåíèé êîîðäèíàòû âåðøèí ÊÊ èçìåíÿþòñÿ âî âðå-
ìåíè. Ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèé ïî âåðøèíàì ÊÊ òðàêòóåòñÿ êàê
èìïóëüñíûé ïðîöåññ, äëÿ êîòîðîãî ñôîðìóëèðîâàíî ïðàâèëî èçìåíåíèÿ çíà÷å-
íèé êîîðäèíàò âåðøèí ÊÊ â âèäå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà
â ïðèðàùåíèÿõ ïåðåìåííûõ [14]:
# #x k A x k( ) ( )� �1 , (32)
ãäå A — òðàíñïîíèðîâàííàÿ âåñîâàÿ ìàòðèöà ñìåæíîñòè ÊÊ, ñîñòîÿùàÿ èç âåñî-
âûõ êîýôôèöèåíòîâ ðåáåð îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà; # x k( ) — âåêòîð ïðèðàùåíèé
êîîðäèíàò âåðøèí ÊÊ â ìîìåíò âðåìåíè t kT� 0 , êîîðäèíàòû êîòîðîãî ðàâíû
#x k x k x ki i i( ) ( ) ( )� � �1 , i n�1, ,� , n — êîëè÷åñòâî âåðøèí (ðàçìåðíîñòü) ÊÊ.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà ÷àñòü èçìåðÿåìûõ âåðøèí ÊÊ ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî
âîçäåéñòâîâàòü, ïîäàâàÿ íà íèõ âíåøíèå èìïóëüñû (òåñòîâûå ñèãíàëû). Ïóñòü
òàêèõ âîçäåéñòâèé áóäåò r, ò.å. âåêòîð u èìååò ðàçìåðíîñòü r. Òîãäà óðàâíåíèå
âûíóæäåííîãî äâèæåíèÿ â èìïóëüñíîì ïðîöåññå ÊÊ çàïèñûâàåòñÿ êàê
# #x k A x k Bu k( ) ( ) ( )� � �1 , (33)
ãäå ìàòðèöà B ðàçìåðà n r� ñîñòàâëåíà èç íóëåé è åäèíèö, òàê ÷òî ïðè ñîîòâåò-
ñòâóþùåé íóìåðàöèè îíà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå B
I
�
�
�
��
�
�
��0
, I — åäè-
íè÷íàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ðàçìåðà r.
Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî m êîîðäèíàò xi èçìåðÿþòñÿ. Òîãäà óðàâíåíèå èçìå-
ðåíèÿ ïðèìåò âèä
# #y k C x k k( ) ( ) ( )� � � , (34)
ãäå ìàòðèöà C èìååò âèä ( )I 0 (I — òàêæå åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà) ïðè ñîîòâåò-
ñòâóþùåé íóìåðàöèè âåðøèí ÊÊ, âåêòîð �( )k — øóì èçìåðåíèé.
Åñëè ïðèíÿòü ïðèðàùåíèÿ êîîðäèíàò âåðøèí ÊÊ â êà÷åñòâå ïåðåìåííûõ ñî-
ñòîÿíèÿ, à èõ èçìåðÿåìóþ ÷àñòü — â êà÷åñòâå âûõîäíûõ ïåðåìåííûõ, òî óðàâíå-
íèÿ (33), (34) ñâîäÿòñÿ ê (1) ñ ó÷åòîì øóìà. Èäåíòèôèêàöèè ïîäëåæàò ìàòðèöà A
è åå ðàçìåðíîñòü n (ìàòðèöû B è C èçâåñòíû, à D � 0).
12 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 6
Çàäà÷à èäåíòèôèêàöèè èññëåäîâàëàñü íà ïðèìåðå ÊÊ, îïèñûâàþùåé íåêîòî-
ðûå àñïåêòû äåÿòåëüíîñòè êîììåð÷åñêîãî áàíêà. Íà ðèñ. 1 ïîêàçàíà êîãíèòèâíàÿ
êàðòà, âåðøèíû êîòîðîé ïðåäñòàâëÿþò: 1 — ðåãèîíàëüíóþ ñåòü, 2 — êàïèòàë,
3 — êðåäèòû, 4 — äåïîçèòû, 5 — ëèêâèäíûå àêòèâû, 6 — ìåðó ðèñêà ñòàáèëü-
íîñòè, 7 — ìåðó ðèñêà ëèêâèäíîñòè.
Ìàòðèöà ñìåæíîñòè ÊÊ èìååò âèä
A �
� �
0 015 0 0 01 0 0
0 2 0 013 0 2 0 03 0 0
2 0 0 75 0 0 0 0
1 0 0 0 8 0
, ,
, , , ,
,
, �
� �
�
�
0 5 0
0 0 85 0 95 0 9 0 0 0 7
0 0 5 0 3 0 0 0 7 0
0 0 01 0 2 0 8
,
, , , ,
, , ,
, , , 0 0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Ýëåìåíòû ìàòðèöû A ñîîòâåòñòâóþò öèôðîâûì çíà÷åíèÿì íà ðèñ. 1.
 [15] ïðè ðåøåíèè çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ðàçìåðíîñòü n èç-
âåñòíà äëÿ òàêîé ÊÊ è m r n� � . Ýòè óñëîâèÿ íå âñåãäà âûïîëíÿþòñÿ. Ïîýòîìó ïðåä-
ïîëîæèì, ÷òî âåðøèíû 6 è 7 íåèçìåðÿåìû è èñòèííàÿ ðàçìåðíîñòü n � 7 àïðèîðè íå-
èçâåñòíà. Òîãäà äëÿ èìïóëüñíîãî ïðîöåññà, ïðîòåêàþùåãî â ÊÊ è îïèñûâàåìîãî
óðàâíåíèÿìè (33), (34), ìîæíî ïðèìåíèòü ðàññìîòðåííûå âûøå ìåòîäû èäåíòèôèêà-
öèè, à èìåííî îïðåäåëèòü ðàçìåðíîñòè ìîäåëè è ýëåìåíòû ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðèö.
Íàéäåì ñíà÷àëà ðåãóëÿðèçèðîâàííîå ðåøåíèå çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè ïî äàí-
íûì íà êîðîòêîì èíòåðâàëå ïðè òåñòîâîì âîçäåéñòâèè â âèäå áåëîãî øóìà. Ïðè
ýòîì øóì èçìåðåíèé ïðèíàäëåæèò èíòåðâàëó [� 0,01; 0,01], à ÷èñëî èçìåðåíèé ðàâ-
íî 300. Ðàçìåðíîñòü âàðüèðîâàëàñü, íà÷èíàÿ ñ n � 5. Âû÷èñëèòåëüíûå ýêñïåðèìåíòû
ïîêàçàëè, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå íå ñóùåñòâóåò ðàçìåðíîñòè, ïðè êîòîðîé íåðàâåíñò-
âî (28) âûïîëíÿëîñü áû äëÿ âñåõ êîîðäèíàò âî âñåõ òî÷êàõ. Ïîýòîìó îöåíêà ðàçìåð-
íîñòè ïðîâîäèëàñü ïî äâóì îïèñàííûì âûøå ïîêàçàòåëÿì.
Èç ãðàôèêîâ íà ðèñ. 2, 3 âèäíî, ÷òî ðàçìåðíîñòü ìîäåëè n � 7 îïðåäåëÿåòñÿ îä-
íîçíà÷íî è îíà ñîâïàäàåò ñ ðàçìåðíîñòüþ ãåíåðèðóþùåé ñèñòåìû. Ïðè ïîâûøåíèè
óðîâíÿ øóìà äî èíòåðâàëà [� 0,5; 0,5] èñêîìàÿ ðàçìåðíîñòü ìîäåëè ñîñòàâëÿåò n � 6.
Çàòåì áûëî íàéäåíî ðåãóëÿðèçèðîâàííîå ðåøåíèå çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè ïî
äàííûì îòêëèêà íà ñïåöèàëüíûé âõîäíîé ñèãíàë ñ ÷åðåäîâàíèåì èíòåðâàëîâ âîç-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 6 13
5 1
4
2
3
7
6
0,1
0,03
0,85
�0,7
0,8
0,9
0,15
�0,2
1
�0,2
2
�0.95
0,75
0,13
�0,2
0,1
�0,5
0,3
�0,5
0,7
Ðèñ. 1. Êîãíèòèâíàÿ êàðòà
áóæäåíèÿ è ðåëàêñàöèè. Êàæäûé èíòåðâàë ðåëàêñàöèè ñîäåðæàë 10 òî÷åê, à íà
èíòåðâàëå âîçáóæäåíèÿ èõ ÷èñëî âàðüèðîâàëîñü îò 5 äî 15. Âõîäíîé ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòüþ áûë ñëó÷àéíûé áèíàðíûé ñèãíàë (� 5, 5). Òàêîå âîçáóæäåíèå ïîçâî-
ëèëî ïîëó÷èòü äîñòàòî÷íî ðàçíîîáðàçíûå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ èíòåðâàëîâ ðå-
ëàêñàöèè. Êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, ñòðîãîãî âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà (31)
äîñòè÷ü íå óäàëîñü. Ïîýòîìó îöåíêà ðàçìåðíîñòè ïðîâîäèëàñü ïî äâóì îïèñàí-
íûì ïîêàçàòåëÿì. Èõ çíà÷åíèÿ ïðè øóìå â èíòåðâàëå [� 0,01; 0,01] ïîêàçàíû íà
ðèñ. 4, 5. Ïðè ýòîì ðàçìåðíîñòü îïðåäåëÿëàñü òî÷íî.
14 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 6
5 6 7 8 9 10
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Ï
åð
â
û
é
ï
î
ê
àç
àò
åë
ü
n
Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü ïåðâîãî ïîêàçàòåëÿ îò ðàç-
ìåðíîñòè íà êîðîòêîì èíòåðâàëå
5 6 7 8 9 10
0
20
40
60
80
100
120
140
Â
òî
ð
î
é
ï
î
ê
àç
àò
åë
ü
n
Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòü âòîðîãî ïîêàçàòåëÿ îò ðàç-
ìåðíîñòè íà êîðîòêîì èíòåðâàëå
5 6 7 8 9 10
0
0,5
1
1,5
2
2,5
Â
òî
ð
î
é
ï
î
ê
àç
àò
åë
ü
n
Ðèñ. 5. Çàâèñèìîñòü âòîðîãî ïîêàçàòåëÿ îò ðàç-
ìåðíîñòè ïðè ñïåöèàëüíîì ñèãíàëå
5 6 7 8 9 10
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Ï
åð
â
û
é
ï
î
ê
àç
àò
åë
ü
n
Ðèñ. 4. Çàâèñèìîñòü ïåðâîãî ïîêàçàòåëÿ îò ðàç-
ìåðíîñòè ïðè ñïåöèàëüíîì ñèãíàëå
Ò à á ë è ö à 1
Ðàçìåð-
íîñòü, n
Ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìîäåëè
Âàðèàíò 1 Âàðèàíò 2 Âàðèàíò 3 Âàðèàíò 4 Âàðèàíò 5
7
0,8377 � 0,2661 i 0,8376 � 0,2660 i 0,8376 � 0,2661 i 0,8376 � 0,2661 i 0,8376 � 0,2661 i
0,8377 � 0,2661 i 0,8376 � 0,2660 i 0,8376 � 0,2661 i 0,8376 � 0,2661 i 0,8376 � 0,2661 i
0,0933 � 0,7130 i 0,0932 � 0,7129 i 0,0932 � 0,7131 i 0,0933 � 0,7131 i 0,0933 � 0,7133 i
0,0933 � 0,7130 i 0,0932 � 0,7129 i 0,0932 � 0,7131 i 0,0933 � 0,7131 i 0,0933 � 0,7133 i
0,6162 � 0,0000 i 0,6159 � 0,0000 i 0,6162 � 0,0000 i 0,6163 � 0,0000 i 0,6163 � 0,0000 i
� 0,1136 � 0,2285 i � 0,1133 � 0,2285 i � 0,1140 � 0,2283 i � 0,1139 � 0,2283 i � 0,1142 � 0,2278 i
� 0,1136 � 0,2285 i � 0,1133 � 0,2285 i � 0,1140 � 0,2283 i � 0,1139 � 0,2283 i � 0,1142 � 0,2278 i
8
0,8377 � 0,2660 i 0,8377 � 0,2660 i 0,8376 � 0,2661 i 0,8376 � 0,2661 i 0,8376 � 0,2661 i
0,8377 � 0,2660 i 0,8377 � 0,2660 i 0,8376 � 0,2661 i 0,8376 � 0,2661 i 0,8376 � 0,2661 i
0,0934 � 0,7130 i 0,0932 � 0,7129 i 0,0932 � 0,7131 i 0,0932 � 0,7132 i 0,0934 � 0,7133 i
0,0934 � 0,7130 i 0,0932 � 0,7129 i 0,0932 � 0,7131 i 0,0932 � 0,7132 i 0,0934 � 0,7133 i
0,6162 � 0,0000 i 0,6159 � 0,0000 i 0,6162 � 0,0000 i 0,6163 � 0,0000 i 0,6163 � 0,0000 i
� 0,1136 � 0,2284 i � 0,1132 � 0,2285 i � 0,1140 � 0,2283 i � 0,1139 � 0,2282 i � 0,1141 � 0,2277 i
� 0,1136 � 0,2284 i � 0,1132 � 0,2285 i � 0,1140 � 0,2283 i � 0,1139 � 0,2282 i � 0,1141 � 0,2277 i
� 0,6844 � 0,0000 i � 0,4930 � 0,0000 i � 0,5196 � 0,0000 i � 0,7922 � 0,0000 i � 0,7931 � 0,0000 i
Áûëè ïðîâåäåíû òàêæå âû÷èñëèòåëüíûå ýêñïåðèìåíòû ïî îïðåäåëåíèþ ðàç-
ìåðíîñòè ìîäåëè, ñîîòâåòñòâóþùåé ðåãóëÿðèçèðîâàííîìó ðåøåíèþ, íà äëèòåëüíîì
èíòåðâàëå, ñîäåðæàùåì 600 òî÷åê. Âûáðàíî 295 òî÷åê, êîòîðûå ñêîëüçèëè ïî ýòîìó
èíòåðâàëó. Ðåøåíèÿ íàõîäèëè äëÿ ïÿòè âàðèàíòîâ çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè, ò.å. èìåëè
ïÿòü íàáîðîâ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë äëÿ êàæäîé âûáðàííîé ðàçìåðíîñòè. Èç òàáë. 1
âèäíî, ÷òî äëÿ ðàçìåðíîñòè n � 7 ñîáñòâåííûå ÷èñëà ýòèõ ïÿòè ìîäåëåé îòëè÷àþòñÿ
íåñóùåñòâåííî. Â òî æå âðåìÿ ïðè ðàçìåðíîñòè n � 8 ïîÿâëÿåòñÿ îäíî ñîáñòâåííîå
÷èñëî (â ïîñëåäíåé ñòðîêå òàáëèöû), êîòîðîå ïðèíèìàåò ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íûå
çíà÷åíèÿ, ò.å. ðåãóëÿðèçèðîâàííîå ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóåò ìîäåëè ïðè n � 7.
Èññëåäîâàëàñü çàâèñèìîñòü ðàçìåðíîñòè èñêîìîé ìîäåëè îò n ïðè ôèêñèðî-
âàííûõ m ëèáî ðàçíîñòè n m� .  îáîèõ ñëó÷àÿõ ñ óâåëè÷åíèåì ðàçìåðíîñòè ñèñ-
òåìû óâåëè÷èâàëñÿ ðàçðûâ ìåæäó ðàçìåðíîñòüþ n è ðàçìåðíîñòüþ ìîäåëè, ñîîò-
âåòñòâóþùåé ðåãóëÿðèçèðîâàííîìó ðåøåíèþ.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ñòàòüå ðàññìîòðåíû ìåòîäû èäåíòèôèêàöèè ìíîãîìåðíîé äèñêðåòíîé ñèñòåìû
â êëàññå ìîäåëåé, îïèñûâàþùèõ ñèñòåìó â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé, â êîòîðûõ
èñêîìàÿ ðàçìåðíîñòü âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ ðàññìàòðèâàëàñü êàê ðåãóëÿðèçèðóþùèé
ïàðàìåòð.  çàâèñèìîñòè îò õàðàêòåðà è ÷èñëà äàííûõ ïðåäëîæåíî òðè ñïîñîáà
îïðåäåëåíèÿ ðàçìåðíîñòè ïðèáëèæåííîé ìîäåëè, ò.å. ñòðóêòóðíîé èäåíòèôèêàöèè
â çàäàííîì êëàññå ìîäåëåé. Ïîñëå óñòàíîâëåíèÿ ðàçìåðíîñòè ìîäåëè ïðîâîäèòñÿ
ïàðàìåòðè÷åñêàÿ èäåíòèôèêàöèÿ îäíèì èç èìåþùèõñÿ èëè ìîäèôèöèðîâàííûõ
4SID-ìåòîäîâ, îïèñàííûõ â íàñòîÿùåé ñòàòüå èëè, íàïðèìåð, â [16]. Ìîäåëèðîâà-
íèå òðåõ ïîäõîäîâ ïðîâîäèëîñü íà ïðèìåðå êîãíèòèâíîé êàðòû â èìïóëüñíîì
ïðîöåññå. Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ïðåäëîæåííûå ìåòîäû ïîçâîëÿþò êîððåêòíî íàéòè
ðàçìåðíîñòü è âåñîâûå êîýôôèöèåíòû êîãíèòèâíîé êàðòû â ñëó÷àå, êîãäà èçìå-
ðÿþòñÿ íå âñå êîîðäèíàòû è ýòè èçìåðåíèÿ íåòî÷íû. Âñå îïèñàííûå ñïîñîáû
äàþò ðåãóëÿðèçèðîâàííûå ðåøåíèÿ, ïîñêîëüêó ïðè ñòðåìëåíèè ïîãðåøíîñòè ê
íóëþ è óâåëè÷åíèè îáúåìà äàííûõ îíè àñèìïòîòè÷åñêè ïðèáëèæàþòñÿ ê òî÷íî-
ìó ðåøåíèþ, ÷òî ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç ñïîñîáîâ èõ íàõîæäåíèÿ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ninness B., Goodwin G.C. Estimation of model quality. Automatica. 1995. Vol. 31, N 12.
P. 1771–1797.
2. Giarre L., Kacewicz B.Z., Milanese M. Model quality evaluation in set membership identification.
Automatica. 1997. Vol. 33, N 6. P. 1133–1139.
3. Kailath T. Linear systems. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall, 1980. 680 ð.
4. Ho B., Kalman R.E. Effective construction of linear state-variable models from input/output
functions. Regelungstechnik. 1966. Vol. 14. P. 545–548.
5. Verhaegen M., Dewilde P. Subspace model identification. Part 1: The output-error state space model
identification class of algorithms. International Journal of Control. 1992. Vol. 56, N 5.
P. 1187–1210.
6. Van Overschee P., De Moor B. N4SID: Subspace algorithms for identification of combined
deterministic-stochastic systems. Automatica. 1994. Vol. 30, N 1. P. 75–93.
7. Verhaegen M. Identification of the deterministic part of MIMO state space models given in
innovations form from input-output data. Automatica. 1994. Vol. 30, N 1. P. 61–74.
8. Van Overschee P., De Moor B. Subspace identification for linear systems. Boston; London;
Dordrecht: Kluwer Academic Publications, 1996. 254 p.
9. Ãóáàðåâ Â.Ô. Ðàöèîíàëüíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ñèñòåì ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè. Êèáåð-
íåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2008. ¹ 2. Ñ. 99–116.
10. Òèõîíîâ À.Í., Àðñåíèí Â.ß. Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷. Ìîñêâà: Íàóêà, 1986. 286 ñ.
11. Viberg M. Subspace-based method for the identification of linear time-invariant systems.
Automatica. 1996. Vol. 31, N 12. P. 1835–1851.
12. Ljung L. System identification Toolbox. User’s guide. Natick, MA: Mathworks, 2014. 886 p.
13. Ãîðåëîâà Ã.Â., Çàõàðîâà Å.Í., Ðàä÷åíêî Ñ.À. Èññëåäîâàíèå ñëàáîñòðóêòóðèðîâàííûõ ïðîáëåì ñî-
öèàëüíî-ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåì. Êîãíèòèâíûé ïîäõîä. Ðîñòîâ-íà-Äîíó: Èçä-âî ÐÃÓ, 2006. 332 ñ.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 6 15
14. Ðîáåðòñ Ô.Ñ. Äèñêðåòíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ñ ïðèëîæåíèÿìè ê ñîöèàëüíûì, áèîëîãè-
÷åñêèì è ýêîëîãè÷åñêèì çàäà÷àì. Ïåð. ñ àíãë. Ìîñêâà: Íàóêà, 1986. 496 ñ.
15. Ãóáàðåâ Â.Ô., Ðîìàíåíêî Â.Ä., Ìèëÿâñêèé Þ.Ë. Èäåíòèôèêàöèÿ â êîãíèòèâíûõ êàðòàõ â ðå-
æèìå èìïóëüñíûõ ïðîöåññîâ ïðè ïîëíîé èíôîðìàöèè. Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè.
2018. ¹ 4. Ñ. 30–43.
16. Miliavskyi Yu.L. Identification in cognitive maps in impulse process mode with incomplete measurement
of nodes coordinates. Êèáåðíåòèêà è âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà. 2019. ¹ 1 (195). C. 49–63.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 01.04.2019
Â.Ô. Ãóáàðåâ, Â.Ä Ðîìàíåíêî, Þ.Ë. ̳ëÿâñüêèé
ÌÅÒÎÄÈ ÇÍÀÕÎÄÆÅÍÍß ÐÅÃÓËßÐÈÇÎÂÀÍÎÃÎ ÐÎÇÂ’ßÇÊÓ ÄËß ²ÄÅÍÒÈÔ²ÊÀÖ²¯
˲ͲÉÍÈÕ ÁÀÃÀÒÎÂÈ̲ÐÍÈÕ ÁÀÃÀÒÎÇÂ’ßÇÍÈÕ ÄÈÑÊÐÅÒÍÈÕ ÑÈÑÒÅÌ
Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî çàäà÷ó ñòðóêòóðíî-ïàðàìåòðè÷íî¿ ³äåíòèô³êàö³¿ ñêëàä-
íî¿ áàãàòîâèì³ðíî¿ áàãàòîçâ’ÿçíî¿ äèñêðåòíî¿ ñèñòåìè â êëàñ³ ìîäåëåé ó
ïðîñòîð³ ñòàí³â çà ïðèïóùåííÿ, ùî â³äîì³ ò³ëüêè âõ³äí³ ³ âèõ³äí³ êîîðäèíà-
òè ñèñòåìè íà äåÿêîìó ³íòåðâàë³ ÷àñó òà ä³àïàçîí ïîõèáêè âèì³ðþâàíü. Çà
îñíîâó ïðèéíÿòî ìåòîä âèä³ëåíîãî ï³äïðîñòîðó, ÿêèé ïåðåäáà÷àº, ùî
ðîçì³ðí³ñòü ñèñòåìè (âåêòîðà ñòàíó) â³äîìà. Ïðîòå öå íå çàâæäè âèêî-
íóºòüñÿ íà ïðàêòèö³. Êð³ì òîãî, çàëåæíî â³ä ð³âíÿ øóìó áóâຠíåìîæëèâî
êîðåêòíî ³äåíòèô³êóâàòè ñèñòåìó âåëèêî¿ ðîçì³ðíîñò³. Òîìó çàïðîïîíîâàíî
ðîçãëÿäàòè ðîçì³ðí³ñòü ÿê ïàðàìåòð ðåãóëÿðèçàö³¿. Ðîçðîáëåíî òðè ñïîñîáè
âèáîðó íàáëèæåíî¿ ðîçì³ðíîñò³ ìîäåë³ çàëåæíî â³ä òðèâàëîñò³ ³íòåðâàëó
ñïîñòåðåæåíü òà ìîæëèâîñò³ ðåàë³çàö³¿ àêòèâíîãî åêñïåðèìåíòó. Çàïðîïîíî-
âàí³ ìåòîäè àïðîáîâàíî íà ïðèêëàä³ çàäà÷³ ³äåíòèô³êàö³¿ êîãí³òèâíî¿ êàðòè
êîìåðö³éíîãî áàíêó â ³ìïóëüñíîìó ïðîöåñ³.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ñòðóêòóðíî-ïàðàìåòðè÷íà ³äåíòèô³êàö³ÿ, àïðîêñèìóâàëüíà
ìîäåëü, ìåòîä âèä³ëåíîãî ï³äïðîñòîðó (4SID), ðåãóëÿðèçàö³ÿ, áàãàòîçâ’ÿçíà
ñèñòåìà, êîãí³òèâíà êàðòà, ³ìïóëüñíèé ïðîöåñ.
V.F. Gubarev, V.D. Romanenko, Yu.L. Miliavskyi
METHODS OF FINDING REGULARIZED SOLUTION IN IDENTIFICATION OF LINEAR
MULTIVARIABLE MULTI-CONNECTED DISCRETE SYSTEMS
Abstract. The article deals with the problem of structural and parametric
identification of a complex multivariable multi-input multi-output (MIMO)
discrete system in state space model class. It is assumed that only the input and
output coordinates of the system during certain time interval and range of
measurement errors are known. The basis is the subspace (4SID) method, which,
however, assumes that dimension of the system (state vector) is known, which is
not always feasible in practice. Moreover, depending of the noise level, it is
impossible to correctly identify a high-dimensional system. Therefore, it is
proposed to use dimension as a regularizing parameter. Three methods for
choosing of approximate model dimension are suggested depending on the length of
the observation period and possibility of active experiment design. The proposed
methods are verified on the example of identification problem of a commercial
bank’s cognitive map in impulse process.
Keywords: structural and parametric identification, approximate model, subspace
method (4SID), regularization, MIMO system, cognitive map, impulse process.
Ãóáàðåâ Âÿ÷åñëàâ Ôåäîðîâè÷,
÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû, äîêòîð òåõí. íàóê, çàâåäóþùèé îòäåëîì Èíñòèòóòà êîñìè÷åñêèõ èññëåäî-
âàíèé ÍÀÍ Óêðàèíû è ÃÊÀ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: v.f.gubarev@gmail.com.
Ðîìàíåíêî Âèêòîð Äåìèäîâè÷,
äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð, çàìåñòèòåëü äèðåêòîðà Èíñòèòóòà ïðèêëàäíîãî ñèñòåìíîãî àíàëèçà
ÍÒÓÓ «Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èíñòèòóò èìåíè Èãîðÿ Ñèêîðñêîãî», e-mail: ipsa@kpi.ua.
Ìèëÿâñêèé Þðèé Ëåîíèäîâè÷,
êàíäèäàò òåõí. íàóê, ñòàðøèé ïðåïîäàâàòåëü Èíñòèòóòà ïðèêëàäíîãî ñèñòåìíîãî àíàëèçà ÍÒÓÓ «Êèåâ-
ñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èíñòèòóò èìåíè Èãîðÿ Ñèêîðñêîãî», e-mail: yuriy.milyavsky@gmail.com.
16 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 6
|