Математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному порожнистому циліндрі

У пропонованій роботі методом інтегральних і гібридних інтегральних перетворень у поєднанні з методом головних розв’язків (матриць впливу та матриць Гріна) за найбільш загальних припущень побудовано точні аналітичні розв’язки математичних моделей коливних процесів (гіперболічних початково-крайових з...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2020
Автор:	Громик, А.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2020
Назва видання:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/181468
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному порожнистому циліндрі / А.П. Громик // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2019. — Вип. 20. — С. 26-39. — Бібліогр.: 19 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-181468
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1814682021-11-18T01:26:25Z Математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному порожнистому циліндрі Громик, А.П. У пропонованій роботі методом інтегральних і гібридних інтегральних перетворень у поєднанні з методом головних розв’язків (матриць впливу та матриць Гріна) за найбільш загальних припущень побудовано точні аналітичні розв’язки математичних моделей коливних процесів (гіперболічних початково-крайових задач спряження) в необмеженому кусково-однорідному клиновидному порожнистому циліндрі. In this article the exact analytical solutions of mathematical models of oscillating processes (hyperbolic initial-boundary problem of conjugation) for unlimited piecewise-homogeneous wedge-shaped hollow cylinder are obtained by means of the method of integral and hybrid integral transforms, in combination with the method of main solutions (influence matrices and Green's matrices). 2020 Article Математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному порожнистому циліндрі / А.П. Громик // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2019. — Вип. 20. — С. 26-39. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 2308-5916 DOI: https://doi.org/10.32626/2308-5916.2019-20.26-39 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/181468 517.946 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	У пропонованій роботі методом інтегральних і гібридних інтегральних перетворень у поєднанні з методом головних розв’язків (матриць впливу та матриць Гріна) за найбільш загальних припущень побудовано точні аналітичні розв’язки математичних моделей коливних процесів (гіперболічних початково-крайових задач спряження) в необмеженому кусково-однорідному клиновидному порожнистому циліндрі.
format	Article
author	Громик, А.П.
spellingShingle	Громик, А.П. Математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному порожнистому циліндрі Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
author_facet	Громик, А.П.
author_sort	Громик, А.П.
title	Математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному порожнистому циліндрі
title_short	Математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному порожнистому циліндрі
title_full	Математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному порожнистому циліндрі
title_fullStr	Математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному порожнистому циліндрі
title_full_unstemmed	Математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному порожнистому циліндрі
title_sort	математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному порожнистому циліндрі
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2020
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/181468
citation_txt	Математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному порожнистому циліндрі / А.П. Громик // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2019. — Вип. 20. — С. 26-39. — Бібліогр.: 19 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
work_keys_str_mv	AT gromikap matematičnemodelûvannâkolivnihprocesívuneobmeženomukuskovoodnorídnomuklinovidnomuporožnistomucilíndrí
first_indexed	2025-07-15T22:41:16Z
last_indexed	2025-07-15T22:41:16Z
_version_	1837754520445124608
fulltext	Математичне та комп’ютерне моделювання 26 УДК 517.946 DOI: 10.32626/2308-5916.2019-20.26-39 А. П. Громик, канд. техн. наук Подільський державний аграрно-технічний університет, м. Кам’янець-Подільський МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ КОЛИВНИХ ПРОЦЕСІВ У НЕОБМЕЖЕНОМУ КУСКОВО-ОДНОРІДНОМУ КЛИНОВИДНОМУ ПОРОЖНИСТОМУ ЦИЛІНДРІ Актуальність теорії крайових задач для диференціальних рів- нянь з частинними похідними, яка інтенсивно розвивається, обу- мовлена як значимістю її результатів для розвитку багатьох розді- лів математики, так і численними застосуваннями її досягнень при математичному моделюванні різних процесів і явищ фізики, механіки, біології, медицини, економіки, техніки. Добре відомо, що складність досліджуваних крайових задач суттєво залежить від коефіцієнтів рівнянь та геометрії області в якій розглядається задача. На цей час досить детально вивчено властивості розв’язків крайових задач для лінійних, квазілінійних та певних класів нелінійних рівнянь в однозв’язних областях. Водночас багато важливих прикладних задач теплофізики, термомеханіки, теорії пружності, теорії електричних кіл, теорії коливань приводять до крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними не тільки в однорідних обла- стях, коли коефіцієнти рівнянь є неперервними, але й в куско- во-однорідних та неоднорідних областях, коли коефіцієнти рі- вняння є кусково-неперервними. У пропонованій роботі методом інтегральних і гібридних інтегральних перетворень у поєднанні з методом головних розв’язків (матриць впливу та матриць Гріна) за найбільш за- гальних припущень побудовано точні аналітичні розв’язки ма- тематичних моделей коливних процесів (гіперболічних почат- ково-крайових задач спряження) в необмеженому кусково- однорідному клиновидному порожнистому циліндрі. Одержані розв’язки мають алгоритмічний характер, непере- рвно залежать від параметрів і даних задачі та можуть бути використані як в подальших теоретичних дослідженнях, так і в практиці інженерних розрахунків реальних еволюційних про- цесів, які моделюються гіперболічними крайовими задачами (задачі акустики, гідродинаміки, теорії коливань механічних систем), які описуються циліндричною системою координат. Ключові слова: математичне моделювання, коливний процес, гіперболічне рівняння, початкові та крайові умови, умови спряження, інтегральні та гібридні інтегральні перет- ворення, матриця впливу, матриця Гріна. © А. П. Громик, 2019 Серія: Технічні науки. Випуск 20 27 Вступ. Коливні процеси відіграють важливу роль у сучасній віб- раційній техніці, новітніх технологіях, суттєво впливають на міцність і довговічність деталей машин і механізмів, будівельних конструкцій при врахуванні механічних і технологічних умов їх експлуатації. Найпростішою математичною моделлю такого процесу є добре і дав- но відоме лінійне диференціальне рівняння коливань (хвильове рів- няння, рівняння Д’аламбера) гіперболічного типу 2-го порядку   2 2 32 , , u a u f t P t      де 3 — тривимірний оператор Лапласа у відповідній системі коор- динат (декартовій, циліндричній, сферичній тощо) тривимірного евк- лідового простору, ,a const f — деяка наперед задана функція, Р — точка простору. Зрозуміло, що для адекватного моделювання коливного процесу до складу математичної моделі крім хвильового рівняння потрібно долучи- ти ще певні початкові та крайові умови, а у випадку кусково-однорідних середовищ — умови контакту на поверхнях спряження. Таким чином, математичною моделлю коливного процесу є гіперболічна крайова зада- ча математичної фізики [1]. На цей час досить детально вивчено одно- вимірні, двовимірні та тривимірні гіперболічні крайові задачі математи- чної фізики однорідних середовищ. Але у зв’язку з широким застосуван- ням композитних матеріалів (найпростіший композит має дві точки спряження) у будівництві, техніці, сучасних технологіях як математичні моделі певних процесів виникають крайові задачі для диференціальних рівнянь з частинними похідними різних типів (еліптичних, параболіч- них, гіперболічних) не тільки в однорідних областях, коли коефіцієнти модельних рівнянь є неперервними, але й в неоднорідних і кусково- однорідних сердовищах, коли коефіцієнти рівнянь є кусково-неперерв- ними, чи, зокрема, кусково-сталими [2–4]. Крім методу відокремлення змінних [1, 6] та його узагальнень [5], одним з важливих і ефективних методів дослідження лінійних матема- тичних моделей (лінійних крайових задач математичної фізики) є метод інтегральних перетворень [6], який дає можливість будувати в аналітич- ному вигляді розв’язки тих чи інших математичних моделей (крайових задач) через їх інтегральне зображення у випадку однорідних середовищ. У той же час, для досить широкого класу задач у кусково-однорідних середовищах ефективним методом їх дослідження виявився метод гіб- ридних інтегральних перетворень, які породжені відповідними гібрид- ними диференціальними операторами, коли на кожній компоненті зв’язності кусково-однорідного середовища розглядаються або ж різні диференціальні оператори, або ж диференціальні оператори того ж са- мого вигляду, але з різними наборами коефіцієнтів [7–11]. Математичне та комп’ютерне моделювання 28 У цій статті, яка є логічним продовженням [12-14], ми пропону- ємо точний аналітичний розв’язок узагальненої математичної моделі коливного процесу в необмеженому кусково-однорідному клиновид- ному порожнистому циліндрі, побудований методом інтегральних і гібридних інтегральних перетворень при найбільш загальних обме- женнях на вихідні дані задачі. Постановка задачі. Розглянемо задачу побудови обмеженого на множині     1 1 1 0 1 1 , , , 0; ; , 0, n n n j j j j j D t r z t r R R R                  1 0 0; 0; , 0 2 ; ;nR R z             класичного розв’язку лінійних диференціальних рівнянь з частинни- ми похідними гіперболічного типу 2-го порядку [1, 6]   2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , , , , ; 1, 1 j j rj zj j j j j j u a a a u r rt r r z u f t r z r j n                                (1) з початковими умовами    21 0 0 , , ; , , ; ; 1, 1, j j j j j t t u u g r z g r z r j n t             (2) крайовими умовами 0; 0; 0,1; 1, 1; s s j j s s z z u u s j n z z            (3)     0 0 0 1 1 11 11 1 0 22 22 1 0 0 0 0 1 1 1 1 11 11 11 11 22 22 22 22 , , ; , , ; 0, 0; 0; 0, 0; 0, n n n r R r R n n n n u g t z u g t z r r                                                 (4) одними з крайових умов на гранях клина [7] 0 1 1 =0 = = ( , , ); = ( , , ); = 1, 1,j j j ju g t r z u t r z j n      (5) 0 2 2 =0 = = ( , , ); = ( , , ); = 1, 1, j j j j u u g t r z t r z j n          (6) 0 3 3 = =0 = ( , , ); = ( , , ); = 1, 1, j j j j u g t r z u t r z j n         (7) 0 4 4 =0 = = ( , , ); = ( , , ); = 1, 1 j j j j u u g t r z t r z j n             (8) Серія: Технічні науки. Випуск 20 29 та умовами спряження [12] 1 1 2 2 1 0; 1, 2; 1, , k k k k k j j k j j k r R u u j k n r r                              (9) де rja , ja , zja , j , k js , k js — деякі сталі; 2 1 1 2 0; k k k k jk j j j jc       1 2 0;k kc c   1 2 1( , , , ) = ( , , , ), ( , , , ), ..., ( , , , ) ,nf t r z f t r z f t r z f t r z     1 1 1 1 1 2 1( , , ) = ( , , ); ( , , ),..., ( , , ) ;ng r z g r z g r z g r z     2 2 2 2 1 2 1( , , ) = ( , , ); ( , , ),..., ( , , ) ;ng r z g r z g r z g r z    ( , , ),pjg t r z ( , , );pj t r z   0= 1, 4; = 1, 1 , ( , , ), ( , , )p j n g t z g t z  — задані дійсні обмежені неперервні функції;  1 2 1( , , , ) = ( , , , ); ( , , , ), ..., ( , , , )nu t r z u t r z u t r z u t r z    — шукана дійсна двічі неперервно диференційовна функція. Зауважимо, що: 1) у випадку 0j  рівняння (1) є класичним тривимірним неодно- рідним рівнянням коливань (хвильовим рівнянням, рівнянням Д’а- ламбера) для ортотропного середовища у циліндричній системі координат; 2) якщо 11 11 12 12 21 1 21 22 20, 1; 0, 1; , 0; , k k k k k k k k k E E             22 0, k   де 1 2, k k E E — модулі Юнга ( 1, )k n , то умови спряження (9) збіга- ються з класичними умовами ідеального механічного контакту. Отже, гіперболічні початково-крайові задачі спряження (1)–(4), (5), (9); (1)–(4), (6), (9); (1)–(4), (7), (9); (1)–(4), (8), (9) можна розгля- дати як узагальнені математичні моделі коливних процесів у необме- женому кусково-однорідному клиновидному порожнистому циліндрі. Основна частина. Припустимо, що розв’язки задач (1)–(4), (5), (9); (1)–(4), (6), (9); (1)–(4), (7), (9); (1)–(4), (8), (9) існують і задані й шукані функції задовольняють умови застосовності залучених нижче прямих та обернених інтегральних і гібридних інтегральних перетво- рень [11, 15, 16]. Визначимо скінченні пряме ,m ikF та обернене 1 ,m ikF  інтегральні перетворення Фур’є щодо кутової змінної  00;  за формулами [15]:       0 , , , 0 ,m ik m ik m ikF f f U d f          (10) Математичне та комп’ютерне моделювання 30    1 , , , , 0 0 2 , ik m ik m ik m m ik m ik m F f f U f             (11) де          ,11 ,11 ,11 ,12 ,12 ,12 0 0 2 1 , sin ; , sin ; 2 m m m m m m mm U U                        ,21 ,12 ,21 ,21 ,22 ,11 ,22 ,22, cos ; , cos ;m m m m m m m mU U             0 0, 1 ik ik m   при 11,12,21; 1,2,3,....ik m  ; 22 22 0 1 , 1 2 m   при 1, 2,3,..... .m  Безпосередньо (інтегруванням частинами) перевіряється, що для оператора ,m ikF виконується основна тотожність інтегрального пере- творення диференціального перетворення Фур’є: 2 2 , , , ,2 ; , 1, 2,m ik m ik m ik m ik d f F f i k d             (12) де             0 1 ,11 0 ,12 0 0 2 1 0 1 ; 0 1 ; 2 m m m m mm df f f f d                              0 ,21 0 ,22 00 0 2 1 1 ; 1 . 2 m m m m mdf df df f d d d                         Інтегральний оператор ,m ikF , який діє за формулою (10) внаслі- док тотожності (12) тривимірним початково-крайовим задачам спря- ження (1)–(4), (5), (9); (1)–(4), (6), (9); (1)–(4), (7), (9); (1)–(4), (8), (9) ставить у відповідність задачу побудови обмеженого на множині    , , 0; , ;nD t r z t r z         розв’язку двовимірних диференціальних рівнянь   2 22 2 , ,2 2 ,2 2 2 2 2 , , 1 , , , ; 1, 1 jm ik jm ik rj zj jm ik j jm ik jm ik j u a a u r rt r r z u G t r z r j n                           (13) з початковими умовами     , 21 , , ,0 0 , ; , , jm ik jm ik jm ik jm ikt t u u g r z g r z t      (14) крайовими умовами Серія: Технічні науки. Випуск 20 31 , , 0; 0; 0,1; 1, 1, s s jm ik jm ik s s z z u u s j n z z            (15)     0 0 0 11 11 1 , 0 , 1 1 22 22 1, , , , ; , m ik m ik r R n n n m ik m ik r R u g t z r u g t z r                        (16) та умовами спряження , 1, ,1 1 2 2 0; 1, 2; 1, , p p p p p pm ik p m ikj j j j r R u u j p n r r                              (17) де      2 2 1 , , , , ,, , , , , , ; .jm ik jm ik j m ik jm ik rj j m ikG t r z f t r z a r t r z a a         До двовимірної початково-крайової задачі спряження (13)–(17) застосуємо інтегральне перетворення Фур’є на декартовій осі  ;  щодо змінної z [16]:       , 1, i z F g z g z e dz g i             (18)      1 1 , 2 i z F g g e d g z              (19)     2 2 2 2 . d g F F g z g dz                (20) Інтегральний оператор F, який діє за формулою (18), внаслідок тотожності (20), задачі (13)–(17) ставить у відповідність задачу побу- дови обмеженого на множині   , 0; nD t r t r      розв’язку одно- вимірних диференціальних рівнянь В-гіперболічного типу     , 2 , 2 ,2 2 2 2 , , , , ; ; 1, 1 jm ik jm ik rj jm ik zj j jm ik jm ik j u a B u t a u G t r r j n                  (21) з початковими умовами     , 21 , , ,0 0 , ; , , ; 1, 1, jm ik jm ik jm ik jjm ikt t u u g r g r r I j n t            (22) крайовими умовами Математичне та комп’ютерне моделювання 32     0 0 0 11 11 1 , 0 , 1 1 22 22 1, , , , ; , , m ik m ik r R n n n m ik m ik r R u g t r u g t r                          (23) та умовами спряження , 1, ,1 1 2 2 0; 1, 2; 1, , p p p p p pm ik p m ikj j j j r R u u j p n r r                              (24) де , 22 , 2 2 1 jm ik jm ik B r rr r        — класичний диференціальний опера- тор Бесселя. До одновимірної початково-крайової задачі спряження (21)–(24) застосуємо скінченне гібридне інтегральне перетворення типу Ганке- ля 2-го роду на кусково-однорідному сегменті nI  з n точками спря- ження щодо радіальної змінної r [11]:   0 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ), R sn s s R M f r f r V r r rdr f    (25) 1 2 1 ( , ) ( ) ( ) ( ), ( , ) s sn s s s s V r M f f f r V r               (26) 1 0 1 2 2 ( , ) 1 2 0 01 0 1 1 0 11 110 11 2 1 11 1 1 22 221 22 [ ( )] ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) . k k Rn sn m ik s s k k s k k R s r R n nn n n sn r R M B f r f f r V r rdr a R df V R f dr a R df V R f dr                                                        (27) У формулах (25)–(27) беруть участь величини і функції, випи- сані в [11], , 1 2 ( , ) 1 1 ( ) ( ) jm ik n m ik j j j j B a r R R r B         — гібридний ди- ференціальний оператор Бесселя,  х — одинична функція Геві- сайда [17]. Запишемо диференціальні рівняння (21) та початкові умови (22) у матричній формі Серія: Технічні науки. Випуск 20 33       1 , 2 , 1, , 2 2 2 1 1 1 ,2 2 2 2 2 2 2 ,2 2 2 2 1 1 1, ,2 ( ) , , ( ) , , ( ) , , m ik m ik n m ik m ik m ik n n n m ik a B q u t r t a B q u t r t a B q u t r t                                                    1 , 2 , 1, , ( , , ) ( , , ) ( , , ) m ik m ik n m ik G t r G t r G t r                         , (28) 1 1 ,1 , 1 2 , 2 , 1 1, , 1, ,0 1 , 2 , 1, , 0 ( , )( , , ) ( , , ) ( , ) , ( , , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) m ikm ik m ik m ik n m ik n m ikt m ik m ik n m ik t g ru t r u t r g r u t r g r gu t r u t r t u t r                                                  2 1 , 2 2 , 2 1, , ( , ) ( , ) , ( , ) m ik m ik n m ik r g r g r                  (29) де 2 2 2 2 ( ) ;j zj jq a    1, 1.j n  Інтегральний оператор snM , який діє за формулою (25), зобра- зимо у вигляді операторної матриці-рядка   1 2 0 1 1 1 1 2 2 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n R R sn s s R R R R n s n n s n R R M V r rdr V r rdr V r rdr V r rdr                          (30) і застосуємо за правилом множення матриць до задачі (28), (29). Вна- слідок тотожності (27) одержуємо задачу Коші для звичайних дифе- ренціальних рівнянь 2-го порядку     21 2 2 2 ,2 1 21 1 0 1 , 1 0 0 ,0 1 11 2 1 1 1 ,1 22 ( ) ( , , ) ( , , ) ( , ) , ( , ) , , n s j j jm ik s j n jm ik s s m ik j n n n s m ikn d q u t dt a R G t V R g t a R V R g t                                               (31) Математичне та комп’ютерне моделювання 34 1 1 1 , , 0 1 1 1 1 2 , , 0 1 1 ( , , ) ( , ); ( , , ) ( , ), n n jm ik s jm ik s t j j n n jm ik s jm ik s t j j u t g d u t g dt                         (32) де 1 , ,( , , ) ( , , ) ( , ) ; 1, 1, j j R jm ik s jm ik j s j R u t u t r V r rdr j n         1 , ,( , , ) ( , , ) ( , ) , 1, 1, j j R jm ik s jm ik j s j R G t G t r V r rdr j n         1 , , ( , ) ( , ) ( , ) ; 1, 1, 1, 2. j j R p p s j s jjm ik jm ik R g g r V r rdr j n p          Припустимо, не зменшуючи загальності розв’язку задачі, що         2 2 2 2 1 2 1 1max , , ... , nq q q q     і покладемо всюди    2 2 2 1 ; 1, 1.j jq q j n      Задача Коші (31), (32) набуває вигляду     2 , 2 , ,2 2 2 1 1 0 1 1 1 0 0 , 1 ,0 0 11 11 ( , ) ( , , ) ( , ) , ( , ) , , m ik s m ik m ik s n n s m ik n s m ik d u u G t dt a R a R V R g t V R g t                              (33) 1 , , 0 ( , , ) ( , );m ik s m ik s t u t g        2 , , 0 , , ( , ),m ik s m ik s t d u t g dt       (34) де 1 , , 1 ( , , ) ( , , ); n m ik s jm ik s j u t u t       1 , , 1 ( , , ) ( , , ), n m ik s jm ik s j G t G t       1 , , 1 ( , ) ( , ); n s s m ik s jm ik s j g g       2 2 2 2 2 1 1( , ) ; 1, 2.s s za s         Відомо [11], що єдиним розв’язком задачі (33), (34) є функція    2 1 , , ,( , , ) , , ( , ) , , ( , )m ik s s m ik s s m ik s d u t N t g N t g dt                 2 1 1 0 , 1 0 0 ,0 110 , , ( , , ) ( , ) , t s m ik s s m ik a R N t G V R g t                           (35) Серія: Технічні науки. Випуск 20 35   2 1 1 1 ,1 22 ( , ) , ,n n n s m ikn a R V R g t d             де функція Коші (розв’язуюча функція)   sin( ( , ) ) , , . ( , ) s s s t N t          Оскільки суперпозиція операторів snM та 1 snM  є одиничним опе- ратором  1 1 I ,sn sn sn snM M M M     то оператор 1 snM  , як обернений до оператора (30), зобразимо у вигляді операторної матриці-стовпця         1 2 0 2 21 0 1 2 0 ( , ) , ( , ) , ( , ) , s s s sn s n s s V r V r V r M V r V r V r                                                (36) і застосуємо за правилом множення матриць до матриці-елемента , ( , , ) ,m ik su t      де функція , ( , , )m ik su t   визначена формулою (35). Одержуємо єдиний розв’язок одновимірної гіперболічної початково- крайової задачі спряження (21)-(24):             2 , , 2 1 1 , 2 1 , ( , , ) , , ( , ) , , , , ( , ) , j s jm ik s m ik s s s j s s m ik s s s V r u t r N t g V r V r N t g t V r                                , 2 1 0 , , , ( , , ) , t j s s m ik s s s V r N t G d V r               (37)                 2 1 1 0 1 0 0 ,0 2 111 0 2 1 1 1 ,1 2 122 0 , , , ( , ) , , , , , ( , ) , ; 1, 1. , t j s s s m ik s s t j sn n s n s m ikn s s V ra R N t V R g t d V r V ra R N t V R g t d j n V r                                             Математичне та комп’ютерне моделювання 36 Застосувавши послідовно до функцій , ( , , )jm iku t r  , визначених формулами (37), обернені оператори 1 F  та 1 , ,m ikF  і виконавши не- складні перетворення, одержуємо функції 0 1 0 1 0 1 , 1 1 0 0 1 1 1 0 2 0 ( , , , ) ( , , , , , ) ( , , , ) ( , , , , , ) ( , , ) ( , , , , , ) ( , , ) p p p p p p j ik Rtn ik jp p p p R R n ik jp p p p R R ik jp p R u t r z E t r z f d d d d E t r z g d d d t E t r z g                                                                             1 0 1 1 1 2 1 1 0 1 , 0 0 0 2 , ( , , , , , , ) ( , , , , ) , , ( , , , , ) , , ; 1, 1, p p n p p Rtn ik p jp p p R t jr ik jr ik d d d a Q t r z d d d W t r z g W t r z g d d d j n                                                                  (38) які визначають єдині розв’язки гіперболічних початково-крайових задач (1)–(4), (5), (9); (1)–(4), (6), (9); (1)–(4), (7), (9); (1)–(4), (8), (9) при відповідних значеннях ik (11, 12, 21, 22). У формулах (38) застосовано компоненти      , , , 0 0 2 ( , , , , , ) , ,P , ik ik m ik jp m jp m ik m ik m E t r z t r z U U            матриці впливу (функції впливу), функції Гріна      , , , 0 0 2 ( , , , , , , ) P , , , , , ik ik m ik jp m jp m ik m ik m Q t r z t r z U                   компоненти 2 1 1 1 0 , 1 01 22 ( , , , , ) ( , , , , , ) ik jr ik jn a R W t r z E t r R z          лівої радіальної матриці Гріна (ліві радіальні функції Гріна) та ком- поненти 2 2 1 1 , , 11 22 ( , , , , ) ( , , , , , ) ikn n jr ik j nn a R W t r z E t r R z           правої радіальної матриці Гріна (праві радіальні функції Гріна) від- повідних початково-крайових задач спряження, де Серія: Технічні науки. Випуск 20 37             , 2 1 0 , , , , , , , cos . , t j s p sm ik jp s s j s V r V P t r z N t z d V r              Зауваження 1. Аналіз розв’язків (38) в залежності від типу кра- йових умов на гранях клина 0  та 0  повторює відповідний аналіз в [12]. Зауваження 2. У випадку 0rj j zj ja a a a    формули (38) ви- значають структури розв’язків розглянутих задач в ізотропному необ- меженому кусково-однорідному клиновидному порожнистому циліндрі. Зауваження 3. Випадок зміни  в межах 1 2    зводиться до розглянутого нами заміною  1 0 2 1 .          Зауваження 4. Параметри 0 0 1 1 11 11 22 22, ; , n n       дозволяють виді- ляти з формул (38) розв’язки крайових задач у випадках задання на радіальних поверхнях крайових умов 1-го, 2-го й 3-го роду та їх мож- ливих комбінацій (1-1, 1-2, 1-3, 2-1, … ,3-3). Зауваження 5. Аналіз розв’язків (38) в залежності від аналітич- ного виду функцій ( , , , ),jf t r z ( , , ), s jg r z ( , , ),kjg t r z ( , , ),kj t r z 01, 1, 1, 2; 1, 4, ( , , ), ( , , )j n s k g t z g t z     проводиться безпосе- редньо із загальних структур. Висновки. Методом інтегральних і гібридних інтегральних пе- ретворень у поєднанні з методом головних розв’язків (функцій впли- ву та функцій Гріна) вперше побудовано єдині точні аналітичні розв’язки узагальнених математичних моделей коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному порожнистому циліндрі. Одержані розв’язки носять алгоритмічний характер, непе- рервно залежить від параметрів і даних задачі й можуть бути викори- стані як в теоретичних дослідженнях, так і в практиці інженерних розрахунків з використанням чисельних методів. Список використаних джерел: 1. Перестюк М. О. Теорія рівнянь математичної фізики / М. О. Перестюк, В. В. Маринець. — Київ : Либідь, 2006. — 424 с. 2. Дейнека В. С. Модели и методы решения задач в неоднородных средах / В. С. Дейнека, И. В. Сергиенко. — Киев : Наук. думка, 2001. — 606 с. 3. Дейнека В. С. Модели и методы решения задач с условиями сопряжения / В. С. Дейнека, И. В. Сергиенко, В. В. Скопецкий. — Киев : Наук. думка, 1998. — 614 с. Математичне та комп’ютерне моделювання 38 4. Сергиенко И. В. Математическое моделирование и исследование процес- сов в неоднородных средах / И. В. Сергиенко, В. В. Скопецкий, В. С. Дейнека. — Киев : Наук. думка, 1991. — 432 с. 5. Каленюк П. И. Обобщенный метод разделения переменных / П. И. Каленюк, Я. Е. Баранецкий, З. Н. Нитребич. — Киев : Наук. думка, 1993. — 232 с. 6. Самойленко В. Г. Рівняння математичної фізики / В. Г. Самойленко, І. М. Конет. — Київ : ВПЦ «Київський університет», 2014. — 283 с. 7. Конет І. М. Стаціонарні та нестаціонарні температурні поля в циліндрич- но-кругових областях / І. М. Конет, М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2001. — 312 с. 8. Громик А. П. Температурні поля в кусково-однорідних просторових се- редовищах / А. П. Громик, І. М. Конет, М. П. Ленюк. — Кам'янець- Подільський : Абетка-Світ, 2011. — 200 с. 9. Конет І. М. Гіперболічні крайові задачі математичної фізики в кусково- однорідних просторових середовищах / І. М. Конет. — Кам'янець- Подільський : Абетка-Світ, 2013. — 120 с. 10. Конет І. М. Параболічні крайові задачі в кусково-однорідних середови- щах / І. М. Конет, Т. М. Пилипюк. — Кам'янець-Подільський : Абетка- Світ, 2016. — 244 с. 11. Конет І. М. Гіперболічні крайові задачі в кусково-однорідних циліндрич- но-кругових середовищах / І. М. Конет, Т. М. Пилипюк. — Кам'янець- Подільський : Абетка-Світ, 2017. — 84 с. 12. Громик А. П. Математичне моделювання коливних процесів у кусково- однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі / А. П. Громик // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Техні- чні науки : зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Поділ. нац. ун-т ім. І. Огієнка, 2017. — Вип. 16. — С. 36–52. 13. Громик А. П. Математичне моделювання коливних процесів у кусково- однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожни- ною / А. П. Громик // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Технічні науки : зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець- Поділ. нац. ун-т ім. І. Огієнка, 2018. — Вип. 17. — С. 26–39. 14. Громик А. П. Математичне моделювання коливних процесів у необмеже- ному кусково-однорідному клиновидному суцільному циліндрі / А. П. Громик // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Техні- чні науки : зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Поділ. нац. ун-т ім. І. Огієнка, 2018. — Вип. 18. — С. 34–47. 15. Трантер К. Дж. Интегральные преобразования в математической физике / К. Дж. Трантер. — М. : Гостехтеориздат, 1956.-204 с. 16. Снеддон И. Преобразования Фурье / И. Снеддон. — М. : ИЛ, 1955. — 668 с. 17. Шварц Л. Математические методы для физических наук / Л. Шварц. — М. : Мир, 1965. — 408 с. 18. Гельфанд И. М. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравне- ний / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. — М. : Физматгиз, 1958. — 247 с. 19. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г. Е. Шилов. — М. : Наука, 1965. — 328 с. Серія: Технічні науки. Випуск 20 39 MATHEMATICAL MODELING OF OSCILLATING PROCESSES IN UNLIMITED PIECEWISE-HOMOGENEOUS WEDGE-SHAPED HOLLOW CYLINDER The theory of boundary value problems for differential equations with partial derivatives develops intensively and its results are important for the development of many sections of mathematics. Its achievements are ap- plied in the mathematical modeling of various processes and phenomenon of physics, mechanics, biology, medicine, economics, engineering. It is well known that the complexity of a boundary-value problem signifi- cantly depends on the coefficients of equations and the geometry of domain in which the problem is considered. Properties of solutions of boundary value problems for linear, quasilinear, and some classes of nonlinear equations in sin- gle-connected domains have been studied in enough detail. However, many important applied problems of thermal physics, thermo- mechanics, theory of elasticity, theory of electrical circuits, theory of vibrations lead to boundary value problems for differential equations with partial deriva- tives not only in homogeneous domains when the coefficients of the equations are continuous, but also in piecewise homogeneous and inhomogeneous do- mains when the coefficients of the equations are piecewise continuous. In this article the exact analytical solutions of mathematical models of oscillating processes (hyperbolic initial-boundary problem of conjugation) for unlimited piecewise-homogeneous wedge-shaped hollow cylinder are obtained by means of the method of integral and hybrid integral trans- forms, in combination with the method of main solutions (influence matri- ces and Green's matrices). The obtained solutions are of algorithmic character, continuously de- pend on the parameters and data of problem and can be used in further the- oretical research and in practical engineering calculations of real processes which are modeled by hyperbolic boundary-value problems that are de- scribed by a cylindrical coordinate system (problems of acoustics, hydro- dynamics, the theory of vibrations of mechanical systems). Keywords: modelling, oscillating, hyperbolic equation, initial and boundary conditions, conditions of conjugation, integral transformation, the influence matrix, Green’s matrix. Отримано: 7.08.2019

Математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному порожнистому циліндрі

Репозитарії

Схожі ресурси