Властивості інтегральних динамічних моделей у вигляді операторів і рівнянь типу Вольтерра

Властивості інтегральних динамічних моделей у вигляді операторів і рівнянь типу Вольтерра

Точність результатів моделювання динамічних об’єктів залежить від похибок різних типів: похибки вихідних даних, похибки обчислень та похибки моделі, що описує об’єкт. Вплив похибок первинних даних на точність результату здійснюється шляхом використання та чисельної реалізації математичної моделі. Іс...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2020
Автор: Фуртат, Ю.О.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2020
Назва видання:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/181476
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Властивості інтегральних динамічних моделей у вигляді операторів і рівнянь типу Вольтерра / Ю.О. Фуртат // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2019. — Вип. 20. — С. 114-120. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-181476
record_format dspace
spelling irk-123456789-1814762021-11-18T01:26:21Z Властивості інтегральних динамічних моделей у вигляді операторів і рівнянь типу Вольтерра Фуртат, Ю.О. Точність результатів моделювання динамічних об’єктів залежить від похибок різних типів: похибки вихідних даних, похибки обчислень та похибки моделі, що описує об’єкт. Вплив похибок первинних даних на точність результату здійснюється шляхом використання та чисельної реалізації математичної моделі. Існують різні форми динамічних моделей, в тому числі звичайні диференціальні рівняння, інтегральні рівняння та оператори, передатні функції, рівняння в частинних похідних. Найбільш розповсюдженими динамічними моделями для опису процесів вимірювання є звичайні диференціальні рівняння. Але математичні моделі у вигляді інтегральних рівнянь мають перевагу за рахунок то­го, що, на відміну від диференціальних рівнянь, включають в се­бе повну постановку задачі разом з початковими (граничними) умовами, допускають однотипний підхід при числовому розв'язку. Accuracy of dynamic object modeling results depends on the errors of different types: source data errors, calculation errors and model error. Errors of the primary data influence the accuracy of the result through the use and numerical implementation of the mathematical model. There are various forms of dynamic models, including ordinary differential equations, integral equations and operators, transfer functions, partial differential equations. The most common dynamic models for describing measurement processes are ordinary differential equations. But mathematical models in the form of integral equations have the advantage over them because, unlike differential equations, include the complete formulation of the problem together with the initial (boundary) conditions, they allow a one-size-fits-all approach to numerical solutions. 2020 Article Властивості інтегральних динамічних моделей у вигляді операторів і рівнянь типу Вольтерра / Ю.О. Фуртат // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2019. — Вип. 20. — С. 114-120. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 2308-5916 DOI: https://doi.org/10.32626/2308-5916.2019-20.114-120 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/181476 519.87;53.08 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Точність результатів моделювання динамічних об’єктів залежить від похибок різних типів: похибки вихідних даних, похибки обчислень та похибки моделі, що описує об’єкт. Вплив похибок первинних даних на точність результату здійснюється шляхом використання та чисельної реалізації математичної моделі. Існують різні форми динамічних моделей, в тому числі звичайні диференціальні рівняння, інтегральні рівняння та оператори, передатні функції, рівняння в частинних похідних. Найбільш розповсюдженими динамічними моделями для опису процесів вимірювання є звичайні диференціальні рівняння. Але математичні моделі у вигляді інтегральних рівнянь мають перевагу за рахунок то­го, що, на відміну від диференціальних рівнянь, включають в се­бе повну постановку задачі разом з початковими (граничними) умовами, допускають однотипний підхід при числовому розв'язку.
format Article
author Фуртат, Ю.О.
spellingShingle Фуртат, Ю.О.
Властивості інтегральних динамічних моделей у вигляді операторів і рівнянь типу Вольтерра
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
author_facet Фуртат, Ю.О.
author_sort Фуртат, Ю.О.
title Властивості інтегральних динамічних моделей у вигляді операторів і рівнянь типу Вольтерра
title_short Властивості інтегральних динамічних моделей у вигляді операторів і рівнянь типу Вольтерра
title_full Властивості інтегральних динамічних моделей у вигляді операторів і рівнянь типу Вольтерра
title_fullStr Властивості інтегральних динамічних моделей у вигляді операторів і рівнянь типу Вольтерра
title_full_unstemmed Властивості інтегральних динамічних моделей у вигляді операторів і рівнянь типу Вольтерра
title_sort властивості інтегральних динамічних моделей у вигляді операторів і рівнянь типу вольтерра
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2020
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/181476
citation_txt Властивості інтегральних динамічних моделей у вигляді операторів і рівнянь типу Вольтерра / Ю.О. Фуртат // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2019. — Вип. 20. — С. 114-120. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
work_keys_str_mv AT furtatûo vlastivostííntegralʹnihdinamíčnihmodelejuviglâdíoperatorívírívnânʹtipuvolʹterra
first_indexed 2025-07-15T22:42:22Z
last_indexed 2025-07-15T22:42:22Z
_version_ 1837754582303768576
fulltext Математичне та комп’ютерне моделювання 114 УДК 519.87;53.08 DOI: 10.32626/2308-5916.2019-20.114-120 Ю. О. Фуртат, канд. техн. наук. Інститут проблем моделювання в енергетиці імені Г. Є. Пухова НАН України, м. Київ ВЛАСТИВОСТІ ІНТЕГРАЛЬНИХ ДИНАМІЧНИХ МОДЕЛЕЙ У ВИГЛЯДІ ОПЕРАТОРІВ І РІВНЯНЬ ТИПУ ВОЛЬТЕРРА Точність результатів моделювання динамічних об’єктів зале- жить від похибок різних типів: похибки вихідних даних, похибки обчислень та похибки моделі, що описує об’єкт. Вплив похибок первинних даних на точність результату здійснюється шляхом використання та чисельної реалізації математичної моделі. Існу- ють різні форми динамічних моделей, в тому числі звичайні ди- ференціальні рівняння, інтегральні рівняння та оператори, пере- датні функції, рівняння в частинних похідних. Найбільш розпо- всюдженими динамічними моделями для опису процесів вимірю- вання є звичайні диференціальні рівняння. Але математичні мо- делі у вигляді інтегральних рівнянь мають перевагу за рахунок то- го, що, на відміну від диференціальних рівнянь, включають в себе повну постановку задачі разом з початковими (граничними) умо- вами, допускають однотипний підхід при числовому розв'язку. Складовою частиною будь-якого інтегрального рівняння, що визначає його основні властивості, є інтегральний оператор. Множина задач аналізу динамічних систем призводить до мате- матичних моделей, що містять лінійний інтегральний оператор Вольтерра, нелінійні оператори Вольтерра-Гаммерштейна та опе- ратори Вольтерра-Урисона. Інтегральними рівняннями Вольтерра ІІ роду, як лінійними так i нелінійними, описуються задачі аналізу динамічної системи з явно вираженою однонапрямленою зміною незалежної змінної, наприклад часу. Характерним прикладом та- ких задач є системи зі зворотнім зв'язком. Аналіз особливостей інтегрального методу математичного моделювання динамічних об’єктів свідчить про те, що певні переваги динамічних моделей у вигляді інтегральних рівнянь та операторів забезпечують позитивні можливості побудови ефективних методів та засобів створення, дослідження, проек- тування та функціонування вимірювальних систем з вбудова- ними засобами динамічної корекції точності. Ключові слова: динамічна модель, інтегральне рівняння, інтегральний оператор, інтегральне рівняння Вольтерра, ви- роджене ядро. Вступ. Точність результатів моделювання будь-якого динаміч- ного об’єкту залежить від таких складових як похибка вихідних да- них, похибка обчислень та похибка моделі, що описує об’єкт. Всі ці © Ю. О. Фуртат, 2019 Серія: Технічні науки. Випуск 20 115 складові обов’язково мають місце на практиці. При цьому вплив по- хибок первинних даних на точність результату здійснюється шляхом використання та чисельної реалізації математичної моделі. Якість математичної моделі визначається як її адекватністю, так і її можли- востями для ефективної чисельної і комп’ютерної реалізації. З цієї точки зору значна роль належить вибору форми (виду) моделі. Існують різні форми динамічних моделей, в тому числі звичайні диференціальні рівняння, інтегральні рівняння та оператори, переда- тні функції, рівняння в частинних похідних. При цьому майже всі вони можуть бути аналітично еквівалентними між собою і застосову- ватися для опису динаміки конкретного динамічного об’єкту. Тобто має місце принцип альтернативності при виборі тої чи іншої форми опису задач динаміки. Але слід мати на увазі, що ці моделі, як прави- ло, не є рівноцінними при чисельній реалізації, оскільки розв’язки відповідних рівнянь отримуються різними за своїми властивостями чисельними процедурами (алгоритмами). Альтернативність вибору динамічної моделі. Найбільш роз- повсюдженими динамічними моделями для опису процесів вимірю- вання є звичайні диференціальні рівняння, які в загальному випадку мають вигляд:                  1 1 2 , , , , 0, 0 , 0 , , 0 , n n n F x u x u x u x u C u C u C       (1) де F — деяка функція, що визначає залежність (в загальному випадку нелінійну) між незалежною змінною х, шуканою функцією и = и(х) i її похідними до n-го порядку включно, C1, …, Cn — відомі значення початкових умов. На відміну від диференціальних рівнянь, математичні моделі у вигляді інтегральних рівнянь включають в себе повну постановку задачі разом з початковими (граничними) умовами, допускають од- нотипний підхід при числовому розв'язку [1; 2]. В достатньо загальному (нелінійному) випадку інтегральна мо- дель може бути представлена у вигляді      , , , Q K x y u y dy F x u x , (2) де інтеграл береться по області Q, u(x) — шукана функція; функції К (ядро) i F — задані. Складовою частиною будь-якого інтегрального рівняння, що ви- значає його основні властивості є інтегральний оператор. Множина задач аналізу динамічних систем призводить до математичних моде- лей, що містять лінійний інтегральний оператор Вольтерра, нелінійні оператори Вольтера-Гаммерштейна та оператори Вольтерра-Урисона. Математичне та комп’ютерне моделювання 116 Інтегральними рівняннями Вольтерра ІІ роду, як лінійними так i нелінійними, описуються задачі аналізу динамічної системи з явно ви- раженою однонапрямленою зміною незалежної змінної, наприклад часу. Характерним прикладом таких задач є системи зі зворотнім зв’язком. До рівнянь Вольтерра відносять інтегральні рівняння, що міс- тять оператор Вольтерра, включаючи в цей клас і різні види неліній- них рівнянь. До найбільш поширених рівнянь цього типу відносяться наведені нижче рівняння [5; 6]. Лінійне одномірне (скалярне) рівняння Вольтерра ІІ роду має виг- ляд          , , , . x a y x K x s y s ds f x x a b   (3) З різними обмеженнями на ядро рівняння К(х, s) і праву частину f (х) пов'язані певні умови існування та єдиності знаходження розв'язку. Зокрема, розв'язок існує і єдиний, якщо ядро безперервно всередині і на сторонах трикутника, обмеженого прямими s = a, х = b, x = s (при b > а), а функція f(х) на проміжку [а, b) має кінцеву кількість точок розриву, причому вона може бути і необмеженою, якщо   b a f s ds має кінцеве значення. Ядро задовольняє умові К(х, s) ≡ 0 при s x . Замінюючи в (3) інтеграл квадратурною формулою, можна отримати апроксимуючу сис- тему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно значень шуканої функції у фіксованих вузлах з трикутною матрицею коефіцієнтів. Рівняння (3) вміщує інтегральний оператор      , , , x B a A x K x s s ds x s   (4) важлива властивість якого полягає в тому, що значення функції (х) = АВφ(х) при будь-якому х визначаються значеннями функції φ тільки при s ≤ х. Інтегральні оператори, що характеризуються цією властивістю, в тому числі і нелінійні, називаються операторами Во- льтерра і широко застосовуються при описі процесів з післядією. Да- на властивість інтегрального оператора дозволяє застосовувати прий- ом розв'язання рівняння (3), що полягає в тому, що розв'язок може бути побудовано тільки на частинах проміжку [а, b), наприклад, на деякому інтервалі a ≤ x ≤ x1, користуючись виразом             1 1 , , x x a x y x K x s y s ds f x K x s y s ds            . Серія: Технічні науки. Випуск 20 117 Важливим для практики числового розв'язку є випадок виро- дженого ядра (ядра, що розділяється):       1 , m i i i K x s x s    , (5) де i(x), i(s) — відомі функції однієї змінної, якому відповідає рів- няння           1 xm i i i a y x x s y s ds f x      . (6) Розповсюдженим на практиці є рівняння Вольтерра ІІ роду типу згортки (одностороннє):          , 0, x o y x K x s y s ds f x x     , (7) або рівняння Вольтерра ІІ роду типу згортки (двохстороннє)          , , . x y x K x s y s ds f x x        (8) Рівняння Вольтерра ІІ роду з оператором Гаммерштейна (рів- няння Вольтерра-Гаммерштейна):          , , , , x a y x K x s F s y s ds f x x a b     . (9) Рівняння Вольтерра-Гаммерштейна ІІ роду типу згортки:           0 , , 0, x y x K x s F s y s ds f x x       , або          , , , x y x K x s F s y s ds f x x          (10) Рівняння Вольтерра ІІ роду з оператором Урисона (рівняння Во- льтерра-Урисона):        , , , , x a y x K x s y s ds f x x a b     . (11) Базовою формою математичної моделі процесів динамічної ко- рекції є інтегральні рівняння Вольтерра І роду. Лінійне одномірне інтегральне рівняння Вольтерра I роду має вигляд        , , , x a Ay K x s y s ds f x x a b   . (12) Математичне та комп’ютерне моделювання 118 Важливий і широко розповсюджений в додатках різновид рів- нянь (12) — рівняння типу згортки, в тому числі рівняння вигляду (двостороннє):       , x K x s y s ds f x x        , (13) а також (односторонні):         0 , 0, x K x s y s ds f x x b   . (14) Рівняння Вольтерра І роду з оператором Гаммерштейна (рівнян- ня Вольтера-Гаммерштейна I роду):        , , , , . x a K x s F s y s ds f x x a b    (15) Рівняння Вольтерра-Гаммерштейна І роду типу згортки двосто- роннє:      , , x K x s F s y s ds f x x          , (16) або одностороннє (на піввісі)         0 , , 0, . x K x s F s y s ds f x x b     (17) Нелінійне рівняння Вольтерра І роду (рівняння Вольтерра- Урисона I роду):      , , , , . x a K x s y s ds f x x a b    (18) Інтегральні оператори. Визначальною складовою частиною будь- якого інтегрального або інтегро-диференціального рівняння є інтеграль- ний оператор. Завдяки широкому застосуванню на практиці поняття ва- гової (апаратної) функції, лінійні інтегральні оператори мають і велике самостійне значення як явні моделі лінійних динамічних об'єктів. Нелі- нійні інтегральні оператори, природно, представляють собою моделі нелінійних об'єктів, хоча задача формування цього виду моделей значно складніша лінійного випадку [3;4]. Зазначимо коротко деякі основні ві- домості про інтегральні оператори, що являють собою найбільш розпо- всюджений вид динамічних макромоделей. Інтегральне перетворення       0 , , T t u t K t s s ds  (19) Серія: Технічні науки. Випуск 20 119 в якому    0 ,t C t T  , а ядро К(t, s) — задана функція, що належить області (квадрату)  0 ,P t t s T  , є інтегральним оператором Фред- гольма, окремим випадком якого є оператор Вольтерра       0 , t t u t K t s Y s ds  . (20) Поняття безперервності лінійної системи в повній мірі узгоджуєть- ся з поняттям безперервності інтегрального оператора, що її описує. Якщо в інтегральному операторі ядро  ,K t s в області  0 ,P t t s T  задовольняє умові   0 0 2 2 , T T t t K t s dtds B    , (21) тоді інтеграл (19) існує для довільної функції    2 0 ,t L t T  . Для дослідження асимптотичних властивостей динамічних мо- делей, з'ясування умов збіжності та стійкості наближених, в тому числі числових методів аналізу, важливим і досить складним є пи- тання визначення норм інтегральних операторів. У таких випадках часто використовують оцінки норм. Лінійність моделі (18) показується завдяки властивій їй адитив- ності:               0 0 0 1 2 1 2, , , T T T t t t K t s s s ds K t s s ds K t s s ds          , та властивості однорідності         0 0 , , T T t t K t s s ds K t s s ds    . Інтегральний оператор безпосередньо відповідає розповсюдже- ній моделі «вхід-вихід» як опису зв'язку вхідних i вихідних сигналів динамічної системи. Необхідність в такому описі з'являється при роз- гляданні поведінки як окремих блоків об'єкта так i всього об'єкта в цілому. Математичні моделі «вхід-вихід» по суті представляють со- бою макромоделі і отримуються експериментально. Висновки. Таким чином, аналіз особливостей інтегрального ме- тоду математичного моделювання динамічних об’єктів свідчить про те, що певні переваги динамічних моделей у вигляді інтегральних рівнянь та операторів забезпечують позитивні можливості побудови ефективних методів та засобів створення, дослідження, проектування та функціонування вимірювальних систем з вбудованими засобами динамічної корекції точності. Математичне та комп’ютерне моделювання 120 Список використаних джерел: 1. Верлань А. Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы / А. Ф. Верлань, В. С. Сизиков. — Киев : Наукова думка, 1986. — 544 с. 2. Мороз В. І. Інтегральні рівняння в моделюванні керованих електромеха- нічних систем / В. І. Мороз // Електротехніка і електромеханіка. — 2007. — № 3. — С. 39–43. 3. Franz M. O. A unifying view of Wiener and Volterra theory and polynomial kernel regression / M.O. Franz, B. Scholkopf // Neural Computation. — 2006. — Vol. 18 (12). — P. 3097-3118 — Режим доступу: http://www.mitpress journals.org/doi/pdf/10.1162/neco.2006.18.12.3097. 4. Guo Yuzhu. Volterra Series Approximation of a Class of Nonlinear Dynamical Systems Using the Adomian Decomposition Method / Yuzhu Guo, L. Z. Guo, S. A. Billings, Daniel Coca, Z. Q. Lang // Nonlinear Dynamics. — 2013. — Vol. 74. — Issue 1–2. — P. 359–371. 5. Kress R. Linear Integral Equations / R. Kress. — 3rd ed. — 2014. — 412 p. 6. Pearson R. K. Identification of structurally constrained second-order Volterra models / R. K. Pearson, B. A. Ogunnaike, F. J. Doyle // IEEE Trans. on Signal Processing. — 1996. — Vol. 44, № 11. — P. 2837-2846. PROPERTIES OF INTEGRAL DYNAMIC MODELS IN THE FORM OF OPERATORS AND EQUATIONS OF THE VOLTERRA TYPE Accuracy of dynamic object modeling results depends on the errors of dif- ferent types: source data errors, calculation errors and model error. Errors of the primary data influence the accuracy of the result through the use and numerical implementation of the mathematical model. There are various forms of dynam- ic models, including ordinary differential equations, integral equations and op- erators, transfer functions, partial differential equations. The most common dy- namic models for describing measurement processes are ordinary differential equations. But mathematical models in the form of integral equations have the advantage over them because, unlike differential equations, include the com- plete formulation of the problem together with the initial (boundary) conditions, they allow a one-size-fits-all approach to numerical solutions. An integral operator is an integral part of any integral equation that defines its basic properties. Many dynamical systems analysis problems result in mathe- matical models containing a linear integral Volterra operator, nonlinear Vol- terra-Hammerstein operators and Volterra-Urison operators. Volterra II-type in- tegral equations, both linear and nonlinear, describe the problems of analyzing a dynamic system with a pronounced unidirectional change in an independent variable, such as time. A typical example of such tasks is feedback systems. The analysis of the peculiarities of the integral method of mathematical modeling of dynamic objects shows that certain advantages of dynamic models in the form of integral equations and operators provide positive possibilities for constructing effective methods and means of creation, research, design and op- eration of measurement systems with integrated means of dynamic correction. Key words: dynamic model, integral equation, integral operator, Volterra integral equation, degenerate nucleus. Отримано: 9.08.2019

Схожі ресурси