Обернена задача для параболічного рівняння, яке вироджується в початковий в початковий момент часу
В статье изучается обратная задача для параболического уравнения, которое вырождается в начальный момент времени. Получено представление решения в виде системы интегральных уравнений. Построено решение методом функции Грина. Установлены ограничения на краевые условия для корректности решения. С помо...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Таврический вестник информатики и математики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18189 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Обернена задача для параболічного рівняння, яке вироджується в початковий в початковий момент часу / Л.В. Чухрай // Таврический вестник информатики и математики. — 2010. — № 1. — С. 85-97. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18189 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-181892013-02-13T03:07:59Z Обернена задача для параболічного рівняння, яке вироджується в початковий в початковий момент часу Чухрай, Л.В. В статье изучается обратная задача для параболического уравнения, которое вырождается в начальный момент времени. Получено представление решения в виде системы интегральных уравнений. Построено решение методом функции Грина. Установлены ограничения на краевые условия для корректности решения. С помощью теоремы Шаудера о неподвижной точке доказано существования решения и доказана теорема единственности решения. У статті вивчається обернена задача для параболічного рівняння, що вироджується в початковий момент часу. Одержано представлення розв'язку у вигляді системи інтегральних рівнянь. Розв'язок побудовано методом функції Гріна. Встановлено обмеження на крайові умови для коректності розв'язку. За допомогою теореми Шаудера про нерохому точку доведено існування розв'язку. Доведено теорему єдиності розв'язку. The inverse problem for a parabolic equation which degenerates at the initial time is studied. Representation of the decision in the integral equation system is received. The solution method is constructed by a method of Green's function. Using Schauder fixed point theorem the existence and uniqueness of solution are proved. 2010 Article Обернена задача для параболічного рівняння, яке вироджується в початковий в початковий момент часу / Л.В. Чухрай // Таврический вестник информатики и математики. — 2010. — № 1. — С. 85-97. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1729-3901 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18189 517.95 uk Таврический вестник информатики и математики Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
В статье изучается обратная задача для параболического уравнения, которое вырождается в начальный момент времени. Получено представление решения в виде системы интегральных уравнений. Построено решение методом функции Грина. Установлены ограничения на краевые условия для корректности решения. С помощью теоремы Шаудера о неподвижной точке доказано существования решения и доказана теорема единственности решения. |
| format |
Article |
| author |
Чухрай, Л.В. |
| spellingShingle |
Чухрай, Л.В. Обернена задача для параболічного рівняння, яке вироджується в початковий в початковий момент часу Таврический вестник информатики и математики |
| author_facet |
Чухрай, Л.В. |
| author_sort |
Чухрай, Л.В. |
| title |
Обернена задача для параболічного рівняння, яке вироджується в початковий в початковий момент часу |
| title_short |
Обернена задача для параболічного рівняння, яке вироджується в початковий в початковий момент часу |
| title_full |
Обернена задача для параболічного рівняння, яке вироджується в початковий в початковий момент часу |
| title_fullStr |
Обернена задача для параболічного рівняння, яке вироджується в початковий в початковий момент часу |
| title_full_unstemmed |
Обернена задача для параболічного рівняння, яке вироджується в початковий в початковий момент часу |
| title_sort |
обернена задача для параболічного рівняння, яке вироджується в початковий в початковий момент часу |
| publisher |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18189 |
| citation_txt |
Обернена задача для параболічного рівняння, яке вироджується в початковий в початковий момент часу / Л.В. Чухрай // Таврический вестник информатики и математики. — 2010. — № 1. — С. 85-97. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| series |
Таврический вестник информатики и математики |
| work_keys_str_mv |
AT čuhrajlv obernenazadačadlâparabolíčnogorívnânnââkevirodžuêtʹsâvpočatkovijvpočatkovijmomentčasu |
| first_indexed |
2025-07-02T19:17:49Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:17:49Z |
| _version_ |
1836563950230044672 |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.95ÎÁÅ�ÍÅÍÀ ÇÀÄÀ×À ÄËß ÏÀ�ÀÁÎËI×ÍÎ�Î �IÂÍßÍÍß, ßÊÅÂÈ�ÎÄÆÓ�ÒÜÑß Â ÏÎ×ÀÒÊÎÂÈÉ ÌÎÌÅÍÒ ×ÀÑÓ
×óõðàé Ë.Â.Êè¨âñüêèé íàöiîíàëüíèé óíiâåðñèòåò iì. Ò.�.Øåâ÷åíêà,�àêóëüòåò êiáåðíåòèêèïð-ò àêàäåìiêà �ëóøêîâà-2, êîðïóñ 6, ì.Êè¨â 03680, Óêðà¨íàe-mail: l.
hukhray�mail.ruAbstra
t. The inverse problem for a paraboli
equation whi
h degenerates at the initial time isstudied. Representation of the de
ision in the integral equation system is re
eived. The solution methodis
onstru
ted by a method of Green's fun
tion. Using S
hauder �xed point theorem the existen
e anduniqueness of solution are proved. ÂñòóïÒåîðiÿ îáåðíåíèõ çàäà÷ òåïëîïðîâiäíîñòi ïî÷àëà ðîçâèâàòèñü âiäíîñíî íåäàâíî �íà ïî÷àòêó 70-èõ ðîêiâ, àëå çàâäÿêè ñêëàäíîñòi âiäïîâiäíèõ ìàòåìàòè÷íèõ ìîäåëåéòà øèðîêîìó ¨õ çàñòîñóâàííþ ó ðiçíîìàíiòíèõ ãàëóçÿõ íàóêè é òåõíiêè ïðèâåðíó-ëà äî ñåáå óâàãó áàãàòüîõ àâòîðiâ. Çà ÷àñ ðîçâèòêó çàäà÷ òàêîãî òèïó áàãàòî àâ-òîðiâ çàéìàëèñü ¨õíiì äîñëiäæåííÿì. Íàéáëèæ÷i çà òåìàòèêîþ äîñëiäæåííÿ ïðîâî-äèëè Ì.I. Iâàí÷îâ, Í.Â. Ñàëäiíà, Ò.Ä. Äæóðà¹â, �.Í. Ñìiðíîâà òà iíøi.  çàãàëü-íîìó âèïàäêó íàóêîâöi ðîçãëÿäàþòü ëiíiéíi ïàðàáîëi÷íi ðiâíÿííÿ äðóãîãî ïîðÿä-êó ut = a(x; t)uxx+b(x; t)ux+
(x; t)u+f(x; t) â îáëàñòi Q = �1 < t � T ; 0 < x < +1.Íèìè áóëî äîñÿãíóòî çíà÷íèõ ðåçóëüòàòiâ ó âñòàíîâëåíi óìîâ iñíóâàííÿ òà ¹äèíîñòiðîçâ'ÿçêó çàäà÷ òàêîãî òèïó.Çàâäàííÿ äàíî¨ ðîáîòè ïîëÿã๠ó âñòàíîâëåííi óìîâ iñíóâàííÿ òà ¹äèíîñòiðîçâ'ÿçêó îáåðíåíî¨ çàäà÷i äëÿ ïàðàáîëi÷íîãî ðiâíÿííÿ, ÿêå âèðîäæó¹òüñÿ â ïî-÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó: t2ut = a(t)uxx + b(x; t)ux +
(x; t)u + f(x; t); (x; t) 2
T ,äå
T = f(x; t) : 0 < x < h; 0 < t < Tg.Îñîáëèâiñòþ äàíî¨ ðîáîòè ¹ òå, ùî íåâiäîìèé êîå�iöi¹íò a(t) çàëåæèòü ëèøå âiä÷àñó òà êîå�iöi¹íò ïðè ïîõiäíié âèðîäæó¹òüñÿ â íóëi. �åçóëüòàò öi¹¨ ðîáîòè ìîæåäîïîìîãòè â ðîçãëÿäi çàäà÷i, äå êîå�iöi¹íò ïðè ut áóäå t
; �1 <
< +1.1. Ôîðìóëþâàííÿ çàäà÷i îáëàñòi
T = f(x; t) : 0 < x < h; 0 < t < Tg ðîçãëÿäà¹ìî îáåðíåíó çàäà÷ó äëÿïàðàáîëi÷íîãî ðiâíÿííÿ:t2ut = a(t)uxx + b(x; t)ux +
(x; t)u+ f(x; t); (x; t) 2
T (1:1)êîëè çàäàíî êðàéîâi óìîâè u(0; t) = �1(t); t 2 (0; T ℄; (1:2)u(h; t) = �2(t); t 2 (0; T ℄ (1:3)òà óìîâó ïåðåâèçíà÷åííÿ a(t)ux(0; t) = �3(t); t 2 (0; T ℄: (1:4)
86 ×óõðàé Ë.Â. ðîáîòi âñòàíîâëþþòüñÿ óìîâè iñíóâàííÿ òà ¹äèíîñòi ðîçâ'ÿçêó(a(t); u(x; t); ux(x; t)) ç êëàñó C[0; T ℄ � C2;1(
T )TC1;0(
T ), a(t) > 0, ùî çàäî-âîëüíÿþòü ðiâíÿííÿ (1.1), êðàéîâi óìîâè (1.2),(1.3) i óìîâó ïåðåâèçíà÷åííÿ (1.4).2. Çâåäåííÿ çàäà÷i äî ñèñòåìè iíòåãðàëüíèõ ðiâíÿíüÑïî÷àòêó ðîçãëÿíåìî ÷àñòêîâèé âèïàäîê çàäà÷i (1.1)-(1.4). îáëàñòi
T = f(x; t) : 0 < x < h; 0 < t < Tg ðîçãëÿäà¹ìî çàäà÷ó äëÿ ïàðàáîëi÷-íîãî ðiâíÿííÿ t2u0t = a(t)u0xx + f(x; t); (x; t) 2
T (2:1)ç óìîâàìè (1.2),(1.3).Ïîáóäó¹ìî ðîçâ'ÿçîê çàäà÷i (2.1),(1.2),(1.3) ìåòîäîì �óíêöi¨ �ðiíà.Äëÿ âiäøóêóâàííÿ u0(x; t) âèêîðèñòà¹ìî �óíêöiþ G1(x; t; �; �) :G1(x; t; �; �) = 12p�(�(t)� �(�)) +1Xn=�1�exp��(x� � + 2hn)24(�(t)� �(�)) ��� exp��(x + � + 2hn)24(�(t)� �(�)) ��äå �(t) = tZ0 a(�)� 2 d�; (�(t)� �(�)) = tZ� a(�)�2 d�:Çàïèøåìî u0(x; t) ó íàñòóïíîìó âèãëÿäi:u0(x; t) = tZ0 a(�)� 2 �1(�)G1�(x; t; 0; �)d� � tZ0 a(�)� 2 �2(�)G1�(x; t; h; �)d� ++ tZ0 hZ0 G1(x; t; �; �)f(�; �)� 2 d�d� : (2:2)Òåîðåìà 1. Íåõàé �óíêöi¨ �1(t); �2(t) 2 C[0; T ℄; f(x; t) 2 C(QT ) i çàäîâîëüíÿþòüóìîâó: jf(x; t)j � C4t
+1; 8t
> 0 (2:3)Òîäi ju0(x; t)j � C1.Äîâåäåííÿ. Ñêîðèñòà¹ìîñü äåÿêèìè íåðiâíîñòÿìè:�(t)Z0 1z 32 +1Xn=�1(x+ 2hn) exp��(x + 2hn)24z �dz � C5; (2:4)�(t)Z0 1z 32 +1Xn=�1(x + h(2n� 1)) exp��(x + h(2n� 1))24z �dz � C6; (2:5)¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2010
Îáåðíåíà çàäà÷à äëÿ ïàðàáîëi÷íîãî ðiâíÿííÿ, ÿêå âèðîäæó¹òüñÿ â. . . 87hZ0 G1(x; t; �; �)d� � 1: (2:6)Äîñëiäæó¹ìî I1 âèêîðèñòîâóþ÷è (2.4):jI1j � ���� 12p� tZ0 a(�)�1(�)� 2(�(t)� �(�)) 32 +1Xn=�1 exp� �(x + 2hn)24(�(t)� �(�))�(x + 2hn)d� ������ ���� C12p� tZ0 1(�(t)� �(�)) 32 +1Xn=�1 exp� �(x + 2hn)24(�(t)� �(�))�(x + 2hn)d�(�)����:Ïðîâiâøè çàìiíó çìiííèõ �(t)� �(�) = z; dz = �d�(�) îòðèìà¹ìî:jI1j � ���� C12p� �(�)Z0 1z 32 +1Xn=�1(x + 2hn) exp��(x + 2hn)24z �dz����� C7:Àíàëîãi÷íî äîñëiäæó¹ìî I2 âèêîðèñòîâóþ÷è (2.5). Äîñëiäæó¹ìî I3:Îñêiëüêè âèêîíó¹òüñÿ (2.6), òîjI3j � ���� tZ0 hZ0 G1(x; t; �; �)f(�; �)� 2 d�d� ����� C3 tZ0 �
�1d� � C9t
:Îòæå u0(x; t) � C7 + C8 + C9t
� C1: �Ç óìîâè ïåðåâèçíà÷åííÿ (1.4) âèïëèâà¹:a(t) = �3(t)ux(0; t)Òîìó ïîòðiáíî çíàéòè u0x(0; t). Ïîõiäíó áóäåìî øóêàòè ç u0(x; t), ÿêà ïîäàíàâ (2.2). Äëÿ öüîãî âèêîðèñòà¹ìî âiäîìi âëàñòèâîñòi G1(x; t; �; �):G1x = �G2�; G1� = �G2x; G1x� = �G2��; a(�)� 2 G2�� = �G2� :äå G2(x; t; �; �) = 12p�(�(t)� �(�)) +1Xn=�1�exp��(x� � + 2hn)24(�(t)� �(�)) �++ exp��(x + � + 2hn)24(�(t)� �(�)) ��:Ìîæåìî çàïèñàòè u0x(x; t):u0x(0; t) = tZ0 �f(0; �)� 2 � �01(�)�G2(0; t; 0; �)d� +¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2010
88 ×óõðàé Ë.Â.+ tZ0 ��02(�)� f(h; �)� 2 �G2(0; t; h; �)d� + tZ0 d�� 2 hZ0 fx(�; �)G2(0; t; �; �)d�: (2:7)Òåîðåìà 2. Íåõàé âèêîíóþòüñÿ óìîâè:1)f(0; �)� 2 � �01(�) � C2�
�1; 0 <
< 1 (2:8)2)�02(�)� f(h; �)� 2 � C3�
�1; 0 <
< 1 (2:9)3)fx(�; �) � C4�
+1; 0 <
< 1 (2:10)Òîäi u0x(0; t) � C1t
:Äîâåäåííÿ. Âèêîðèñòà¹ìî íåðiâíîñòi:G2(0; t; �; �) � C5 + C6p�(t)� �(�) ; (2:16)hZ0 jG2(x; t; �; �)jd� = 1: (2:17)Äîâåäåííÿ ïðîâîäèòüñÿ àíàëîãi÷íî, ÿê ó òåîðåìi 1. �Ç òåîðåì 1 òà 2 ìîæíà çðîáèòè âèñíîâîê ïðî ïîâåäiíêó u0(x; t) òà u0x(x; t). Ìàþ÷èçîáðàæåííÿ ðîçâ'ÿçêó çàäà÷i (2.1),(1.2),(1.3) ìîæíà çâåñòè çàäà÷ó (1.1)-(1.4) äî ñèñòå-ìè iíòåãðàëüíèõ ðiâíÿíü íàñòóïíèì ÷èíîì. Ïîçíà÷èìî v(x; t) = ux(x; t). Òîäi u(x; t)ïîäàìî ó âèãëÿäi:u(x; t) = u0(x; t) + tZ0 hZ0 G1(x; t; �; �)(b(�; �)� 2 v(�; �) +
(�; �)� 2 u(�; �))d�d� : (2:13)Âiäïîâiäíî ìîæíà çíàéòè v(x; t) = ux(x; t) ç ðiâíîñòi (2.13):v(x; t) = u0x(x; t) + tZ0 hZ0 G1x(x; t; �; �)(b(�; �)� 2 v(�; �) +
(�; �)� 2 u(�; �))d�d� : (2:14)Âiäïîâiäíî äî íîâèõ ïîçíà÷åíü óìîâó ïåðåâèçíà÷åííÿ (1.4) ìîæíà ïåðåïèñàòè óâèãëÿäi: a(t)v(0; t) = �3(t); t 2 (0; T ℄: (2:15)Ìè îòðèìàëè ñèñòåìó òðüîõ ðiâíÿíü (2.13)-(2.15). �îçâ'ÿçêîì öi¹¨ ñèñòåìè ðiâíÿíüáóäå (a(t); u(x; t); v(x; t)) 2 C[0;Ò℄� C2;1(
T )� C1;0(
T ).¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2010
Îáåðíåíà çàäà÷à äëÿ ïàðàáîëi÷íîãî ðiâíÿííÿ, ÿêå âèðîäæó¹òüñÿ â. . . 893. Iñíóâàííÿ ðîçâ'ÿçêó ïîïåðåäíüîìó ðîçäiëi ìè çâåëè çàäà÷ó (1.1)-(1.4) äî ñèñòåìè ðiâíÿíü.�îçâ'ÿçêîì öi¹¨ ñèñòåìè ¹ òðiéêà (a(t); u(x; t); v(x; t)). Òåïåð ïîòðiáíî äîâåñòè iñíó-âàííÿ öüîãî ðîçâ'ÿçêó.Ç òåîðåì 1 òà 2 ìè ìà¹ìî ïîâåäiíêó äëÿ u0x(x; t) òà u0(x; t). Âðàõîâóþ÷è öi ðå-çóëüòàòè ìîæåìî ñ�îðìóëþâàòè äâi òåîðåìè.Òåîðåìà 3. Íåõàé �óíêöi¨ b(�; �) òà
(�; �) íåïåðåðâíi i çàäîâîëüíÿþòü óìîâè:jb(�; �)j � C2��; � > 1�
(3:1)j
(�; �)j � C3��; � > 1 (3:2)òîäi u(x; t) � C6.Äîâåäåííÿ. Âèêîðèñòîâóþ÷è (2.13) çàïèøåìî:���� tZ0 hZ0 G1(x; t; �; �)�b(�; �)� 2 u�(�; �) +
(�; �)� 2 u(�; �)�d�d� ������ ���� tZ0 hZ0 G1(x; t; �; �)b(�; �)� 2 u�(�; �)d�d� ����+ ���� tZ0 hZ0 G1(x; t; �; �)
(�; �)� 2 u(�; �)d�d� ������ C1C2 tZ0 ��+
�2d� + C1C3 tZ0 ���2d� � C4t�+
�1 + C5t��1: (3:3)Ç ðiâíîñòi (3.3) ìîæíà çðîáèòè âèñíîâîê:ju(x; t)j � C1 + C4t�+
�1 + C5t��1 � C6:äå C6 - äåÿêà êîíñòàíòà. �Òåîðåìà 4. Íåõàé �óíêöi¨ b(�; �) òà
(�; �) íåïåðåðâíi i çàäîâîëüíÿþòü óìîâè:jb(�; �)j � C2��; � > 12 : (3:4)j
(�; �)j � C3��; � > 12 +
: (3:5)òîäi ux(x; t) � C7t
.Äîâåäåííÿ. Âèêîðèñòà¹ìî íåðiâíiñòü:hZ0 jG1x(x; t; �; �)jd� � C4p�(t)� �(�) : (3:6)Äîâåäåííÿ ïðîâîäèòüñÿ àíàëîãi÷íî, ÿê ó òåîðåìi 3. �¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2010
90 ×óõðàé Ë.Â.Ç òåîðåì (3.1) òà (3.2) ìîæíà âèçíà÷èòè � òà �, ÿêi á çàäîâîëüíÿëè îáèäâi òåî-ðåìè. Îòæå, � > 1 òà � > 1.Çàïèøåìî óìîâó ïåðåâèçíà÷åííÿ:a(t) = �3(t)ux(0; t) ; t 2 (0; T ℄: (1:4)Äëÿ òîãî, ùîá îöiíèòè a(t) çíèçó i çâåðõó ïîòðiáíî âiäïîâiäíî îöiíèòè ux(0; t).Òåîðåìà 5. Íåõàé âèêîíóþòüñÿ óìîâè:1) C1t
�1 � f(0; t)t2 � �01(t); 8t � t1; 0 <
< 1 (3:7)2) 0 � (�02(t)� f(h; t)t2 ); 8t � t1 (3:8)3) 0 � fx(x; t); 8 t � t1; 0 � x � h (3:9)Òîäi ux(0; t) � C22 t
; 0 <
< 1; t 2 [0; t1℄:Äîâåäåííÿ. ux(0; t) = tZ0 �f(0; �)� 2 � �01(�)�G2(0; t; 0; �)d� ++ tZ0 ��02(�)� f(h; �)� 2 �G2(0; t; h; �)d� + tZ0 d�� 2 hZ0 fx(�; �)G2(0; t; �; �)d� ++ tZ0 hZ0 G1x(x; t; �; �)�b(�; �)� 2 u�(�; �) +
(�; �)� 2 u(�; �)�d�d� = I1 + I2 + I3 + I4:Äîñòàòíüî äîñëiäèòè çíèçó I1, áî ç (3.8), (3.9) I2 � 0 òà I3 � 0:Âèêîðèñòà¹ìî íåðiâíiñòü:1pz 1Xn=1 exp��n2h2z �� 1h 1Zhpz exp (��2)d�:Ïðè n 6= 0:I1 = 1p� tZ0 (f(0; �)� �01(�)� 2)� 2p�(t)� �(�) +1Xn=1 exp� �h2n2�(t)� �(�)�d� � C1 tZ0 �
�1d� �� 1Zhp�(t)��(�) exp (��2)d� � C1 tZ0 �
�1d� 1ZC3pt�pt�� exp (��2)d�:¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2010
Îáåðíåíà çàäà÷à äëÿ ïàðàáîëi÷íîãî ðiâíÿííÿ, ÿêå âèðîäæó¹òüñÿ â. . . 91Ïðîâåäåìî çàìiíó çìiííèõ: � = zt; d� = tdzI1 � C4t
1Z0 z
�1dz 1ZC2ptzp1�z exp (��2)d� � C4t
12Z0 z
�1dz 1ZC2pt exp (��2)d� � C5t
:Ïðè n = 0: I1 � 0:Îòæå, u0x(0; t) � C22 t
.ÎñêiëüêètZ0 hZ0 ����G1x(x; t; �; �)(b(�; �)� 2 u�(�; �) +
(�; �)� 2 u(�; �))d�d� ����� C22 t
+�; � > 0:Òîìó çâiäñè âèïëèâ๠òå, ùî 9t1 > 0; t1 � T : ux(0; t) � C22 t
; 0 <
< 1; t 2 [0; t1℄. ��3(t) ïðåäñòàâèìî ó âèãëÿäi �3(t) = �0(t)t
; �0(t) > 0.Òîäi a(t) � 2�0(t)C2 � A1:Äëÿ òîãî, ùîá îöiíèòè a(t) çíèçó ïîòðiáíî ux(x; t) îöiíèòè çâåðõó.ux(x; t) � C1t
+ tZ0 hZ0 jG1x(x; t; �; �)j(C2���2u�(�; �) + C3���2u(�; �))d�d� :Ïîçíà÷èìî: v(t) = max0�x�h jux(x; t)j òà amin(t) = min0<�<t a(�):Ç âiäïîâiäíèõ ïîçíà÷åíü ìîæíà çàïèñàòè íàñòóïíi íåðiâíîñòi:v(t) � C1t
+ C5 tZ0 ���2p�(t)� �(�)d� + C6 tZ0 v(�)���2p�(t)� �(�)d�:v(t) � C1t
+ C5pamin(t) tZ0 t 12 ��� 32pt� � d� + C6pamin(t) tZ0 v(�)t 12 ��� 32pt� � d�:Ïðîâiâøè ïåâíi ïåðåòâîðåííÿ, îòðèìà¹ìî íàñòóïíó íåðiâíiñòü:amin(t) � �0(t)C11 + C12pamin(t) t��
� 12 + �C11 + C12pamin(t) t��
� 12� C8t��1pamin(t) exp� tR0 C8t�pamin(t)� :Ïåðåòâîðèìî öþ íåðiâíiñòü äî íàñòóïíîãî âèãëÿäó:C11amin(t) +pamin(t)�C12t��
� 12 + C13t
+��1�exp� tZ0 C8t�pamin(t)�+¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2010
92 ×óõðàé Ë.Â.C14t
+�+ 12 exp� tZ0 C8t�pamin(t)� � �0(t): (3:10)Îòæå, 9t2 > 0; t2 � T : t��1 exp� tZ0 C8t�pamin(t)� � 1.Òîäi (3.10) ïîäàìî ó âèãëÿäi:C11amin(t) + C15pamin(t)t
+ C14t�� 12 � �0(t): (3:11)Ìè îòðèìàëè êâàäðàòíó íåðiâíiñòü âiäíîñíî pamin(t) (3.11). Äëÿ òîãî, ùîáðîçâ'ÿçàòè öþ íåðiâíiñòü ïîòðiáíî çíàéòè äèñêðèìiíàíò.D = (C15t
)2 + 4C11(�0(t)� C14t�� 12 ):Îòæå, 9t3 > 0; t3 � t: C14t�� 12 � 12�0(t), òî amin(t) � A0 > 0:Çâiäñè òà ç ïîïåðåäíüî äîâåäåíîãî âèïëèâà¹, ùî A0 � a(t) � A1 íà [0; t4℄,äå t4 = minft1; t2; t3g:Ïîçíà÷èìî ÷åðåç U ìíîæèíó �óíêöié f(a; u; v) 2 C[0; t4℄� (C(
T ))2g :A0 � a(t) � A1, ju(x; t)j � C1; C2t
2 � v(x; t) � C1t
. Î÷åâèäíî, ùî ìíîæèíà U ¹îïóêëîþ îáìåæåíîþ çàìêíåíîþ. Ââåäåìî âiäîáðàæåííÿ �, ùî âèçíà÷åíî íàìíîæèíi U íàñòóïíèì ÷èíîì:P (x; t) = ( 1(x; t); 2(x; t); 3(t))äå 1(x; t) = u0(x; t) + tZ0 hZ0 G1(x; t; �; �)(b(�; �)� 2 v(�; �) +
(�; �)� 2 u(�; �))d�d� 2(x; t) = u0x(x; t) + tZ0 hZ0 G1x(x; t; �; �)(b(�; �)� 2 v(�; �) +
(�; �)� 2 u(�; �))d�d� 3(t) = �3(t)v(0; t)Äîâåäåìî iñíóâàííÿ ðîçâÿçêó çà äîïîìîãîþ òåîðåìè Øàóäåðà ïðî íåðóõîìó òî÷-êó. Çãiäíî ç îòðèìàíèìè îöiíêàìè â òåîðåìàõ 3, 4, 5 îïåðàòîð � ïåðåâîäèòü ìíîæèíóU â ñåáå Ïîêàæåìî, ùî îïåðàòîð � ¹ íåïåðåðâíèì íà U. Äëÿ öüîãî âèêîðèñòà¹ìî òåî-ðåìó Àðöåëà. Ïîêàæåìî, ùî äëÿ äîâiëüíîãî � > 0 iñíó¹ òàêå Æ > 0, ùîjPi(x2; t2)�Pi(x1; t1)j < "; i = 1; 2 jP3(t2)�P3(t1)j < " 8( 1(x; t); 2(x; t); 3(t)) 2 Uÿêùî jt2 � t1j < Æ; jx2 � x1j < Æ, äå (x1; t1); (x2; t2) 2 !t0 . Äîâåäåííÿ êîìïàêòíîñòiïîêàæåìî íà ïðèêëàäi îäíîãî ðiâíÿííÿ, ùî âõîäèòü äî iíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà P3Ïîòðiáíî ïîêàçàòè, ùî 8" > 0 9Æ > 0 8 3(t) 2 U âèêîíó¹òüñÿ îöiíêàjP3( 3(t+ Æ))� P3( 3(t))j < "; 8t 2 (0; T ℄¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2010
Îáåðíåíà çàäà÷à äëÿ ïàðàáîëi÷íîãî ðiâíÿííÿ, ÿêå âèðîäæó¹òüñÿ â. . . 93P3( 3(t) = �3(t)t
t
ux(0; t) = �(t)u0x(0; t)äå ux(0; t)t
= u0x(0; t); �(0) 6= 0; u0x(0; 0) 6= 0.Çâîäèìî ïîïåðåäíþ îöiíêó äî îöiíêè ðiçíèöi çíà÷åíü äîäàíêiâ, ùî âõîäÿòüäî P (a(t)) ó òî÷êàõ t + Æ i t.jP3( 3(t + Æ))� P3( 3(t))j = ���� �(t + Æ)u0x(0; t+ Æ) � �(t)u0x(0; t)����=�����(t+ Æ)u0x(0; t)� �(t)u0x(0; t+ Æ)u0x(0; t+ Æ)u0x(0; t) ����:Ïîêàæåìî, ùî çíàìåííèê îáìåæåíèé çíèçó:Îñêiëüêè ux(0; t)t
= u0x(0; t) �
onst � t
t
, òî ju0x(0; t+ Æ)u0x(0; t)j �
onst: ÷èñåëüíèêó äîäàâøè i âiäíÿâøè �(t)u0x(0; t) îòðèìà¹ìî:j�(t + Æ)u0x(0; t)� �(t)u0x(0; t) + �(t)u0x(0; t)� �(t)u0x(0; t+ Æ)j � ju0x(0; t)jj�(t+ Æ)��(t)j + j�(t)jju0x(0; t+ Æ)� u0x(0; t)j �
onst"2 + j�(t)jju0x(0; t+ Æ)� u0x(0; t)j:Ïîòðiáíî ïîêàçàòè, ùî ju0x(0; t+ Æ)� u0x(0; t)j < "2 :Ïîäàìî ux(0; t) ó âèãëÿäi:ux(0; t) = tZ0 �f(0; �)� 2 � �01(�)�G2(0; t; 0; �)d� ++ tZ0 ��02(�)� f(h; �)� 2 �G2(0; t; h; �)d� + tZ0 d�� 2 hZ0 fx(�; �)G2(0; t; �; �)d� ++ tZ0 hZ0 G1x(x; t; �; �)�b(�; �)� 2 u�(�; �) +
(�; �)� 2 u(�; �)�d�d� = I1 + I2 + I3 + I4: (3:12)äå Ik � Ik(t); k = 1; 2; 3; 4.ju0x(0; t+ Æ)� u0x(0; t)j = ����ux(0; t+ Æ)t + Æ
� ux(0; t)t
����� ����I1(t + Æ)(t+ Æ)
� I1(t)t
����+����I2(t + Æ)(t+ Æ)
�I2(t)t
����+����I3(t+ Æ)(t+ Æ)
� I3(t)t
����+����I4(t+ Æ)(t+ Æ)
� I4(t)t
����: (3:13)Äëÿ ïîäàëüøîãî äîâåäåííÿ íåðiâíîñòi (3.13) áóäåìî êîðèñòóâàòèñü (2.8)-(2.10) òàâiäîìîþ íåðiâíiñòþ: 1pzXn6=0 exp �n2h2z �
onst: (3:14)¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2010
94 ×óõðàé Ë.Â.Òàêîæ íàêëàäåìî îáìåæåííÿ íà çíà÷åííÿ t: t 2 [T0; t0℄ äå T0 > 0. Îòæå, êîæåí çäîäàíêiâ, ùî âõîäÿòü ó íåðiâíiñòü (3.13) ðîçãëÿíåìî îêðåìî:����I1(t+ Æ)(t+ Æ)
� I1(t)t
����= ���� 1(t + Æ)
p� t+ÆZ0 (f(0; �)� � 2�01(�))� 2p�(t+ Æ)� �(�) �� +1Xn=1 exp� �h2n2�(t + Æ)� �(�)�d� � 1t
p� tZ0 (f(0; �)� � 2�01(�))� 2p�(t)� �(�) �� +1Xn=1 exp� �h2n2(�(t)� �(�))�d� ����� ���� 1(t+ Æ)
p� t+ÆZt (f(0; �)� � 2�01(�))� 2p�(t + Æ)� �(�) �� +1Xn=1 exp� �h2n2�(t+ Æ)� �(�)�d� ����+���� 1p� tZ0 � (f(0; �)� � 2�01(�))(t+ Æ)
� 2p�(t+ Æ)� �(�) �� +1Xn=1 exp� �h2n2�(t+ Æ)� �(�)��(f(0; �)� � 2�01(�))t
� 2p�(t)� �(�) �� +1Xn=1 exp� �h2n2�(t)� �(�)��d� ����= jL1j+ jL2j:�îçãëÿíåìî îêðåìî jL1j ïðè n = 0:jL1j = ���� 1(t+ Æ)
p� t+ÆZt (f(0; �)� � 2�01(�))p� 2�(t+ Æ)� �(�)d� ����� C2(t+ Æ)
p� t+ÆZt pt+ Æ�
� 12pt+ Æ � � d� �� C2T
� 12(t+ Æ)
� 12p� t+ÆZt d�pt+ Æ � � �
onst � Æ1=2:Âèêîðèñòàâøè (2.8) òà (3.14)ðîçãëÿíåìî îêðåìî L1 ïðè n 6= 0:jL1j = ���� 2(t+ Æ)
p� t+ÆZt (f(0; �)� � 2�01(�))p� 2�(t + Æ)� �(�) +1Xn=1 exp� �h2n2�(t + Æ)� �(�)�d� ������ 2C2C5p� t+ÆZt �
�1d� �
onst � Æ:Àíàëîãi÷íî äëÿ jL2j.Îòæå, jI1(t + Æ)� I1(t)j <
onst � Æ, äå
onst-êîíñòàíòà, ùî çàëåæèòü âiäA;A0;T ;T0;Ck, k = 1; 2; 3; 4; 5.Àíàëîãi÷íî, ðîçãëÿíóâøè jIk(t+ Æ)� Ik(t)j îòðèìà¹ìî:jux(0; t+ Æ)� ux(0; t)j �
onst � Æ:¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2010
Îáåðíåíà çàäà÷à äëÿ ïàðàáîëi÷íîãî ðiâíÿííÿ, ÿêå âèðîäæó¹òüñÿ â. . . 95Íàì ïîòðiáíî áóëî ïîêàçàòè, ùî 8" > 0 9Æ > 0 8 3(t) 2 N âèêîíó¹òüñÿ îöiíêàjP3( 3(t + Æ))� P3( 3(t))j < "; 8t 2 (0; T ℄:Òîáòî ����ux(0; t+ Æ)� ux(0; t)ux(0; t+ Æ)ux(0; t) ����< ":Äëÿ iíøèõ äîäàíêiâ îïåðàòîðiâ P1; P2; P3 äîâåäåííÿ ïðîâîäèòüñÿ àíàëîãi÷íî. Îòæå,iñíóâàííÿ ðîçâ'ÿçêó äîâåäåíî.4. �äèíiñòü ðîçâ'ÿçêóÏðèïóñêàþ÷è, ùî iñíó¹ äâà ðîçâ'ÿçêè çàäà÷i (1.1)-(1.4) äîâåäåìî ¹äèíiñòüðîçâ'ÿçêó öi¹¨ çàäà÷i.Òåîðåìà 6. Íåõàé âèêîíó¹òüñÿ óìîâà:1)�3(t) 6= 0; 8t 2 (0; T ℄ (4:1)Òîäi ðîçâ'ÿçîê çàäà÷i (1.1)-(1.4) - ¹äèíèé.Äîâåäåííÿ. Ïðèïóñòèìî, ùî iñíó¹ äâà ðiçíi ðîçâ'ÿçêè çàäà÷i (1.1)-(1.4). Ïîçíà÷èìîöi ðîçâ'ÿçêè ÷åðåç (a1(t); u1(x; t)) òà (a2(t); u2(x; t)). �îçãëÿíåìî çàäà÷ó äëÿ ¨õ ðiçíè-öi (m(t); j(x; t)):äå m(t) = a1(t)� a2(t); j(x; t) = u1(x; t)� u2(x; t)t2(u1t � u2t) = a1(t)u1xx � a2(t)u2xx +
(x; t)(u1(x; t)�u2(x; t)) + b(x; t)(u1x(x; t)� u2x(x; t)):Äîäàìî i âiäíiìåìî äî ïðàâî¨ ÷àñòèíè ðiâíÿííÿ a1(t)u2xx. Îòðèìà¹ìît2jt(x; t) = a1(t)jxx(x; t)+m(t)u2xx(x; t)+
(x; t)j(x; t)+ b(x; t)jx(x; t); (x; t) 2
T (4:2)j(0; t) = 0; t 2 (0; T ℄ (4:3)j(h; t) = 0; t 2 (0; T ℄ (4:4)a1(t)jx +m(t)u2x = 0; t 2 (0; T ℄ (4:5)Îñêiëüêè ìè ìà¹ìî ðîçâ'ÿçîê çàäà÷i (1.1)-(1.4), òî àíàëîãi÷íî ìîæåìî çàïèñàòèðîçâ'ÿçîê çàäà÷i (4.2)-(4.5). Ïîçíà÷èìî n(x; t) = jx(x; t). Âèêîðèñòîâóþ÷è (2.19):j(x; t) = tZ0 m(�)� 2 d� hZ0 G1(x; t; �; �)u2xx(�; �)d� ++ tZ0 hZ0 G1(x; t; �; �)�b(�; �)� 2 n(�; �) +
(�; �)� 2 j(�; �)�d�d� : (4:6)n(x; t) = tZ0 m(�)� 2 d� hZ0 G1x(x; t; �; �)u2xx(�; �)d� +¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2010
96 ×óõðàé Ë.Â.+ tZ0 hZ0 G1x(x; t; �; �)�b(�; �)� 2 n(�; �) +
(�; �)� 2 j(�; �)�d�d� : (4:7)jx(x; t) ïiäñòàâèìî â óìîâó ïåðåâèçíà÷åííÿm(t)u2x(0; t) = �a1(t) tZ0 m(�)� 2 d� hZ0 G1x(x; t; �; �)u2xx(�; �)d� +tZ0 hZ0 G1x(x; t; �; �)�b(�; �)� 2 u�(�; �) +
(�; �)� 2 u(�; �)�d�d� :Ìè îäåðæàëè iíòåãðàëüíå ðiâíÿííÿ. Çàïèøåìî éîãî â íàñòóïíîìó âèãëÿäi:m(t)u2x(0; t) = �a1(t) tZ0 hZ0 �m(�)� 2 u2xx(�; �) +b(�; �)� 2 n(�; �) +
(�; �)� 2 j(�; �)�G1x(x; t; �; �)d�d� : (4:8)ßêùî ìè ïîêàæåìî, ùî u2xx � t
+ 12 , òî óìîâîþ, ïðè ÿêié çàäà÷à ìàòèìå ¹äèíèéðîçâ'ÿçîê áóäå óìîâà u2x(0; t) 6= 0, äåu2x(0; t) = �3(t)a2(t) :Öå âèïëèâ๠ç ðîçâ'ÿçêó äëÿ ñèñòåìè (4.2)-(4.5) òà ðiâíÿííÿ (4.8). Äîâåäåííÿ òîãî,ùî u2xx � t
+ 12 ïðîâîäèòüñÿ àíàëîãi÷íî ÿê i äëÿ ux(x; t).Çàïèøåìî óìîâó ïåðåâèçíà÷åííÿ, âðàõîâóþ÷è u2xx(x; t) � t
+ 12 i u2x(x; t) � t
:m(t)u2x(0; t) = �a1(t) tZ0 m(�)� 2 d� hZ0 G1x(x; t; �; �)u2xx(�; �)d� ++ tZ0 hZ0 G1x(x; t; �; �)�b(�; �)� 2 u�(�; �) +
(�; �)� 2 u(�; �)�d�d� : (4:9)äå u2x(0; t) = �3(t)a2(t)Ìè îäåðæàëè ñèñòåìó iíòåãðàëüíèõ ðiâíÿíü Âîëüòåððà äðóãîãî ðîäó (4.6), (4.7), (4.9).Öÿ ñèñòåìà ìàòèìå ¹äèíèé ðîçâ'ÿçîê ïðè óìîâi u2x(0; t) 6= 0. Öå âèêîíóâàòèìåòüñÿçà ðàõóíîê u2xx(x; t) � t
+ 12 i u2x(x; t) � t
. Ïðàâà ÷àñòèíà (4.9) ìàòèìå òàêó æïîâåäiíêó, ÿê u2x(0; t). Öå î÷åâèäíî, ÿêùî â (4.9) ïiäñòàâèòè u2xx(x; t). �¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2010
Îáåðíåíà çàäà÷à äëÿ ïàðàáîëi÷íîãî ðiâíÿííÿ, ÿêå âèðîäæó¹òüñÿ â. . . 97ÂèñíîâêèÓ äàíié ðîáîòi ðîçãëÿäàëîñü ïèòàííÿ iñíóâàííÿ òà ¹äèíîñòi ðîçâ'ÿçêó çàäà÷it2ut = a(t)uxx + b(x; t)ux +
(x; t)u+ f(x; t); (x; t) 2
t (1:1)êîëè çàäàíî êðàéîâi óìîâè u(0; t) = �1(t); t 2 (0; T ℄ (1:2)u(h; t) = �2(t); t 2 (0; T ℄ (1:3)òà óìîâó ïåðåâèçíà÷åííÿ a(t)ux(0; t) = �3(t); t 2 (0; T ℄ (1:4)Îòæå, ìîæíà çðîáèòè âèñíîâîê ïðî îòðèìàíi ðåçóëüòàòè:1. Çàäà÷à (1.1)-(1.4) çâîäèòüñÿ äî ñèñòåìè iíòåãðàëüíèõ ðiâíÿíü:u(x; t) = u0(x; t) + tZ0 hZ0 G1(x; t; �; �)(b(�; �)� 2 v(�; �) +
(�; �)� 2 u(�; �))d�d� : (2:13)v(x; t) = u0x(x; t) + tZ0 hZ0 G1x(x; t; �; �)(b(�; �)� 2 v(�; �) +
(�; �)� 2 u(�; �))d�d� : (2:14)a(t)v(0; t) = �3(t); t 2 (0; T ℄: (2:15)�îçâ'ÿçêîì öi¹¨ ñèñòåìè ðiâíÿíü áóäå(a(t); u(x; t); v(x; t)) 2 C[0; t℄� C2;1(
T )� C1;0(
T ):2. Äîâîäèòüñÿ iñíóâàííÿ ðîçâ'ÿçêó. Ñ�îðìóëüîâàíî 3 òåîðåìè ÿêi äîâîäÿòü iñíó-âàííÿ ðîçâ'ÿçêó çàäà÷i (1.1)-(1.4):3. Äîâîäèòüñÿ ¹äèíiñòü ðîçâ'ÿçêó çàäà÷i (1.1)-(1.4). Ñ�îðìóëüîâàíî òåîðåìó, ÿêàäîâîäèòü ¹äèíiñòü ðîçâ'ÿçêó.Ñïèñîê ëèòåðàòóðû1. Òèõîíîâ À.Í.,Ñàìàðñüêèé À.À. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé �èçèêè// Ì:Íàóêà � 1972. � 762ñ.2. Iâàí÷îâ Ì.I. Îáåðíåíi çàäà÷i òåïëîïðîâiäíîñòi ç íåëîêàëüíèìè óìîâàìè: Ïðåïðèíò. - Ê.: IÑÄÎ,� 1995. � 84ñ.3. Êàíòîðîâè÷ Ë.Â., Àêèëîâ �.Ï. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç// Ì:Íàóêà, � 1977. � 744ñ.4. À.Í. Êîëìîãîðîâ, Ñ.Â. Ôîìèí Ýëåìåíòè òåîðèè �óíêöèè è �óíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà//Ì:Íàóêà � 1976. � 543ñ. Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 26.03.2010
¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2010
|