Рівномірна оцінка наближення аналітичних функцій алгебраїчними многочленами в областях з кутами
A uniform estimate for the approximation of analytic functions in domains with corners by algebraic polynomials is given.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1821 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Рівномірна оцінка наближення аналітичних функцій алгебричними многочленами в областях з кутами / Т.М. Жеребко // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 12-16. — Бібліогр.: 4 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-1821 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-18212008-09-03T12:01:25Z Рівномірна оцінка наближення аналітичних функцій алгебраїчними многочленами в областях з кутами Жеребко, Т.М. Математика A uniform estimate for the approximation of analytic functions in domains with corners by algebraic polynomials is given. 2007 Article Рівномірна оцінка наближення аналітичних функцій алгебричними многочленами в областях з кутами / Т.М. Жеребко // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 12-16. — Бібліогр.: 4 назв. — укp. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1821 517.538.5 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Жеребко, Т.М. Рівномірна оцінка наближення аналітичних функцій алгебраїчними многочленами в областях з кутами |
| description |
A uniform estimate for the approximation of analytic functions in domains with corners by algebraic polynomials is given. |
| format |
Article |
| author |
Жеребко, Т.М. |
| author_facet |
Жеребко, Т.М. |
| author_sort |
Жеребко, Т.М. |
| title |
Рівномірна оцінка наближення аналітичних функцій алгебраїчними многочленами в областях з кутами |
| title_short |
Рівномірна оцінка наближення аналітичних функцій алгебраїчними многочленами в областях з кутами |
| title_full |
Рівномірна оцінка наближення аналітичних функцій алгебраїчними многочленами в областях з кутами |
| title_fullStr |
Рівномірна оцінка наближення аналітичних функцій алгебраїчними многочленами в областях з кутами |
| title_full_unstemmed |
Рівномірна оцінка наближення аналітичних функцій алгебраїчними многочленами в областях з кутами |
| title_sort |
рівномірна оцінка наближення аналітичних функцій алгебраїчними многочленами в областях з кутами |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1821 |
| citation_txt |
Рівномірна оцінка наближення аналітичних функцій алгебричними многочленами в областях з кутами / Т.М. Жеребко // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 12-16. — Бібліогр.: 4 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT žerebkotm rívnomírnaocínkanabližennâanalítičnihfunkcíjalgebraíčnimimnogočlenamivoblastâhzkutami |
| first_indexed |
2025-07-02T05:08:33Z |
| last_indexed |
2025-07-02T05:08:33Z |
| _version_ |
1836510520065130496 |
| fulltext |
УДК 517.538.5
© 2007
Т.М. Жеребко
Рiвномiрна оцiнка наближення аналiтичних функцiй
алгебраїчними многочленами в областях з кутами
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Ю.Ю. Трохимчуком)
A uniform estimate for the approximation of analytic functions in domains with corners by
algebraic polynomials is given.
1. Формулювання основного результату. Нехай G ⊂ C — область з жордановою межею
∂G, яка складається з l гладких кривих Γj таких, що {zj} := Γj−1
⋂
Γj 6= ∅, j = 1, . . . , l, де
Γ0 := Γl. Позначимо αjπ, 0 < αj 6 2, кути в точках zj мiж кривими Γj−1 i Γj, якi є зовнiш-
нiми вiдносно областi G. Також позначимо через G := G
⋃
∂G замикання множини G.
Для функцiї g : G → C позначимо ‖g‖G := sup
z∈G
|g(z)| рiвномiрну норму, яка може бути як
скiнченною, так i нескiнченною. Нехай Pn — простiр алгебраїчних многочленiв степеня < n.
Нехай Φ — конформне вiдображення зовнiшностi C\G множини G в зовнiшнiсть одиничного
круга таке, що Φ′(∞) > 0. Припустимо, що iснує окiл U множини G такий, що
c 6 ϕ(z)|Φ′(z)| 6 C, z ∈ U \ G, (1)
де c = c(G) i C = C(G) — додатнi сталi, якi залежать тiльки вiд G, i
ϕ(z) :=
l∏
j=1
|z − zj |
1−1/αj , z ∈ C,
z 6= zj , якщо αj 6 1. Щоб виконувалось (1) достатньо, щоб l гладких кривих Γj, що скла-
дають межу областi G, були, скажiмо, ляпуновськi кривi або так званi кривi типу Дiнi [2].
Нехай задано l чисел 0 6 βj 6 r, j = 1, . . . , l, r ∈ N. Позначимо ~β := (β1, . . . , βl) i
ϕ~β
(z) :=
l∏
j=1
|z − zj |
βj−βj/αj , z ∈ C,
z 6= zj , якщо αj 6 1. У випадку β1 = β2 = . . . = βl = β Ф. Абдуллаєв та I.О. Шевчук [1]
отримали нерiвнiсть
‖(f − Pn)ϕβ−r‖G 6
c
nr
‖f (r)ϕβ‖G. (2)
З iншого боку, постає питання: чи вiрний цей результат для випадку, коли βj рiзнi. Скажiмо,
для 0 < αj < 1 цiкавим є випадок “великих” βj , а для 1 < αj < 2 — випадок “малих” βj .
Основним результатом роботи є
Теорема 1. Якщо f є аналiтичною в G функцiєю, то для кожного n > 2lr iснує
многочлен Pn ∈ Pn такий, що
∥∥∥∥
(f − Pn)ϕ~β
ϕr
∥∥∥∥
G
6
c
nr
‖f (r)ϕ~β
‖G. (3)
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
Мiркуючи так само, як i в [1], теорему 1 можна узагальнити у виглядi теореми 2 i отри-
мати теорему 3, обернену до теореми 2. Позначимо α := min{1, α1, . . . , αl}.
Теорема 2. Якщо f є аналiтичною в G функцiєю, то для кожного n >
2lr
α
iснує
многочлен Pn ∈ Pn такий, що
nr
∥∥∥∥
(f − Pn)ϕ~β
ϕr
∥∥∥∥
G
+ ‖P (r)
n ϕ~β
‖G 6 c‖f (r)ϕ~β
‖G. (4)
Теорема 3. Якщо f : G → C, то для кожної послiдовностi {Pn}
∞
n=1 многочленiв Pn ∈
∈ Pn має мiсце нерiвнiсть
‖f (r)ϕ~β
‖G 6 lim
n→∞
inf
n>lr/α
(
r!nr
∥∥∥∥
(f − Pn)ϕ~β
ϕr
∥∥∥∥
G
+ ‖P (r)
n ϕ~β
‖G
)
. (5)
2. Допомiжнi результати. Надалi позначатимемо через c рiзнi додатнi сталi, якi мо-
жуть залежати тiльки вiд G i r ∈ N, через C — сталi, якi можуть залежати не тiльки
вiд параметрiв G i r. Параметри, вiд яких залежать сталi C, будемо вказувати в круглих
дужках. Наприклад, C(G, r) = c. Константи c i C можуть вiдрiзнятися, навiть якщо вони
фiгурують в одному рядку.
Означення 1. Для кожної точки z ∈ C позначимо через j(z) iндекс найближчої точки
до z серед кутових точок zj , j = 1, . . . , l. Якщо iснують декiлька таких найближчих точок,
то, для визначеностi, через j(z) позначимо найменший серед них iндекс.
Враховуючи означення 1, маємо
ϕ(z) 6 c|z − zj(z)|
1−1/αj(z) 6 cϕ(z), z ∈ C, z 6= zj(z). (6)
Означення 2. Для n ∈ N i z ∈ C позначимо
ρn(z) :=
n−αj(z) , якщо |z − zj(z)| 6 n−αj(z) ,
1
n
ϕ(z), якщо |z − zj(z)| > n−αj(z) .
(7)
Нам будуть потрiбнi нижченаведенi леми.
Надалi r ∈ N, 0 6 β 6 r i функцiя f є аналiтичною в областi G. Нехай T (z0, z) є r − 1-м
многочленом Тейлора
T (z0, z) := f(z0) +
f ′(z0)
1!
(z − z0) + · · · +
f (r−1)(z0)
(r − 1)!
(z − z0)
r−1
функцiї f у точцi z0 ∈ G.
Лема 1. Якщо ‖f (r)ϕ~β
‖G = 1, то для кожного p = 0, 1, . . . , r − 1 − [βj(z)/2], z0 ∈ G
i z ∈ G має мiсце оцiнка
|f (p)(z) − T (p)(z0, z)| 6 c
|z − z0|
r−p
ϕ~β
(z0)
(
1 +
|z − z0|
|z0 − zj(z0)|
)r/α
, (8)
бiльше того,
|f (p)(z) − T (p)(z0, z)| 6 c
|z − z0|
r−p
ϕ~β
(z0)
, (9)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 13
якщо 1 < αj(z0) 6 2, крiм випадку r − p = 1 < β < 2 = αj(z). У цьому випадку маємо оцiнку
|f (r−1)(z) − T (r−1)(z0, z)| 6
c
2 − βj(z)
|z − z0|
ϕ~β
(z0)
(
1 +
|z − z0|
|z0 − zj(z0)|
)r/α
, (10)
бiльше того,
|f (r−1)(z) − T (r−1)(z0, z)| 6
c
2 − βj(z)
|z − z0|
ϕ~β
(z0)
, (11)
якщо, вiдповiдно, 1 < αj(z0) 6 2.
Зауважимо, що функцiя f може бути неперервно продовжена на замикання G множини
G рiвнiстю
f(z) = f(z0) +
z∫
z0
f ′(ζ) dζ,
де z0 ∈ G — фiксована точка. Таким чином, надалi без втрати загальностi припускаємо, що
функцiя f неперервна на G, якщо ‖f (r)ϕ~β
‖G < +∞.
З леми 1 i означення 2 негайно випливає
Лема 2. Нехай n ∈ N, z0 ∈ G, j(z0) =: j0 i ‖ϕ~β
f (r)‖G = 1. Має мiсце:
a) якщо |z0 − zj0 | > n−αj0 , то
|f(z) − T (z0, z)| 6
c
nβj(z0)
|z − z0|
r
ρ
βj(z0)
n (z0)
(
1 +
|z − z0|
ρn(z0)
)r/α
, z ∈ G, (12)
бiльше того,
|f(z) − T (z0, z)| 6
c
nβj(z0)
|z − z0|
r
ρ
βj(z0)
n (z0)
, z ∈ G, (13)
якщо 1 < αj(z0) 6 2;
б) якщо z ∈ G i |z − zj0 | 6 |z0 − zj0 | = n−αj0 , то для всiх p = 0, . . . , r − 1 − [βj(z)/2]
|f (p)(z) − T (p)(z0, z)| 6
c
nβj(z)
ρ
r−p−βj(z)
n (z0), (14)
крiм випадку r − p = 1 < βj(z) < 2 = αj(z). У цьому випадку маємо оцiнку
|f (r−1)(z) − T (r−1)(z0, z)| 6
c
2 − βj(z)
1
nβj(z)
ρ
1−βj(z)
n (z0). (15)
Надалi позначатимемо
r∗ :=
r
α
+ r, якщо
r
α
цiле число,
1 +
[
r
α
]
+ r, якщо
r
α
не є цiлим числом.
(16)
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
Вважатимемо, що n > r, тодi без втрати загальностi можемо припустити, що в точцi
ẑ ∈ G має мiсце рiвнiсть
f (p)(ẑ) = 0 (17)
для всiх p = 0, . . . , r − 1. Позначимо через ẑ центр найбiльшого вiдкритого кола, вписаного
в G, чи одного з них. Подiлимо G на l частин Gj , j = 1, . . . , l, таким чином. Для кожного
j = 1, . . . , l позначимо через ςj точку ςj ∈ Γj таку, що |ςj − zj | = |ςj − zj+1|. Позначимо
через γj , j = 1, . . . , l − 1, жордановi гладкi кривi з кiнцями в точках ςj i ςj+1 такi, що γj ⊂
⊂ G
⋃
{ςj}
⋃
{ςj+1}, j = 1, . . . , l−1 та γj
⋂
γi = ∅, якщо i 6= j, i = 1, . . . , l−1, j = 1, . . . , l−1. Цi
кривi дiлять дану область G на l частин Gj таких, що γj = ∂Gj+1
⋂
∂G1 6= ∅, j = 1, . . . l−1.
Буде потрiбна також допомiжна теорема 4. Нагадаємо, що ми припустили, що функцiя f
аналiтична в G, а отже, неперервна в G, якщо ‖ϕ~β
f (r)‖G < +∞.
Теорема 4. Нехай r ∈ N, 0 6 βj 6 r, де j = 1, . . . , l, ‖ϕ~β
f (r)‖G = 1, Dn(ζ, z) —
полiномiальне ядро Дзядика (див. [3, 4]), визначене в теоремi Д з [1] для m = 5r∗, i
Pn(z) =
1
2πi
∫
∂G
f(ζ)Dn(ζ, z) dζ — (18)
многочлен степеня < n. Якщо має мiсце (17), то для кожного j = 1, . . . , l i p = 0, . . . , r −
− [βj/2] − 1, крiм випадку r − p = 1 < βj < 2 = αj , маємо
|f (p)(z) − P (p)
n (z)| 6
c
nβj
ρ
r−p−βj
n (z), z ∈ Gj , (19)
та для кожного j = 1, . . . , l i p = r, . . . , r∗
|P (p)
n (z)| 6
c
nβj
ρ
r−p−βj
n (z), z ∈ Gj . (20)
У випадку r − p = 1 < βj < 2 = αj має мiсце нерiвнiсть
|f (r−1)(z) − P (r−1)
n (z)| 6
c
(2 − βj)nβj
ρ
1−βj
n (z), z ∈ Gj . (21)
Лема 1 i теорема 4 доводяться аналогiчно лемi 4 i теоремi 9 з [1] вiдповiдно (замiсть
оцiнок з леми 5 [1] використовуємо оцiнки з леми 2 даної роботи).
3. Доведення теореми. Для доведення основної теореми необхiднi двi леми.
Лема 3. Для кожного фiксованого j∗ ∈ {1, . . . , l}, p = 0, . . . , r∗ − 1 i будь-якого n > lr∗
iснує многочлен Qj∗,p ∈ Pn, що задовольняє:
a) Q
(p)
j∗,p(zj∗) = 1;
b) для всiх j = 1, . . . , l i q = 0, . . . , r∗ − 1, крiм (j = j∗, q = p), має мiсце
Q
(q)
j∗,p(zj) = 0;
c) для всiх q = 0, . . . , r∗ маємо
|Q
(q)
j∗,p(z)| 6
cρr∗
n (zj∗)ρ
r∗
n (z)
(|z − zj∗ | + ρn(z))2r∗−p+q
, z ∈ G.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 15
Лема 4. Нехай задано числа σj,ν такi, що
|σj,ν| 6 1, j = 1, . . . , l, ν = 0, . . . , r∗ − 1.
Тодi многочлен
Qn(z) :=
l∑
j=1
1
nβj
r∗−1∑
ν=0
σ1,νρ
r−βj−ν
n (zj)Qj,ν(z) (22)
степеня < n задовольняє для всiх q = 0, . . . , r∗
|Q(q)
n (z)| 6
c
nβj
ρ
r−βj−q
n (z), z ∈ Gj (23)
i
Q(q)
n (zj) =
1
nβj
σj,qρ
r−βj−q
n (zj), j = 1, . . . , l, q 6= r∗. (24)
Доведення теореми 1. Використовуючи леми 3, 4 та теорему 4, доводимо теорему
аналогiчно теоремi 9 зi статтi [1].
1. Abdullayev F.G., Shevchuk I.A. Uniform estimates for polynomial approximation in domains with cor-
ners // J. Approxim. Theory. – 2005. – 137. – P. 143–165.
2. Алибеков Г.А. Свойства конформного отображения на областях с углами // Вопросы теории приб-
лижений функций и ее приложение / Ин-т математики АН УССР. – Киев, 1976. – С. 4–18.
3. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. – Москва: Наука,
1977. – 512 с.
4. Шевчук И.А. Приближение на отрезке и следы непрерывных на отрезке функций. – Киев: Наук.
думка, 1992. – 225 с.
Надiйшло до редакцiї 18.09.2006Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
|