Мінімаксні середньоквадратичні оцінки тренду в задачах регресії
В работе предлагается подход к линейному минимаксному оцениванию обобщенных полиномов с неизвестными параметрами. Линейные минимаксные оценки строятся на основе измерений с случайным шумом. Вводятся определения верхних и нижних минимаксных оценок. Сформулированы достаточные условия для существования...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18211 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Мінімаксні середньоквадратичні оцінки тренду в задачах регресії / С.В. Демиденко, А.Г. Наконечный // Таврический вестник информатики и математики. — 2009. — № 1. — С. 23-30. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18211 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-182112011-03-19T12:04:16Z Мінімаксні середньоквадратичні оцінки тренду в задачах регресії Демиденко, С.В. Наконечный, А.Г. В работе предлагается подход к линейному минимаксному оцениванию обобщенных полиномов с неизвестными параметрами. Линейные минимаксные оценки строятся на основе измерений с случайным шумом. Вводятся определения верхних и нижних минимаксных оценок. Сформулированы достаточные условия для существования минимаксных оценок. Полученные результаты иллюстрируются примерами. У цій роботі пропонується підхід до лінійного мінімаксного оцінювання узагальнених поліномів з невідомими параметрами. Лінійні мінімаксні оцінки будуються на основі вимірів з випадковим шумом та квадратичними обмеженнями на параметри. Пропонується визначення верхньої та нижньої мінімаксної оцінок. Сформульвані достатні умови для існування мінімаксних оцінок. Отримані результати ілюструються прикладами. This paper describes an approach to the linear minimax estimation of the generalized polinom with unknown partially unbounded parameters. Linear minimax estimations are constructed on the basis of measurements with random noise. We introduce notimation existence are formulated. Numerical simulation that illustrates these results is presented. 2009 Article Мінімаксні середньоквадратичні оцінки тренду в задачах регресії / С.В. Демиденко, А.Г. Наконечный // Таврический вестник информатики и математики. — 2009. — № 1. — С. 23-30. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1729-3901 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18211 uk Кримський науковий центр НАН України і МОН України Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
В работе предлагается подход к линейному минимаксному оцениванию обобщенных полиномов с неизвестными параметрами. Линейные минимаксные оценки строятся на основе измерений с случайным шумом. Вводятся определения верхних и нижних минимаксных оценок. Сформулированы достаточные условия для существования минимаксных оценок. Полученные результаты иллюстрируются примерами. |
| format |
Article |
| author |
Демиденко, С.В. Наконечный, А.Г. |
| spellingShingle |
Демиденко, С.В. Наконечный, А.Г. Мінімаксні середньоквадратичні оцінки тренду в задачах регресії Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| author_facet |
Демиденко, С.В. Наконечный, А.Г. |
| author_sort |
Демиденко, С.В. |
| title |
Мінімаксні середньоквадратичні оцінки тренду в задачах регресії |
| title_short |
Мінімаксні середньоквадратичні оцінки тренду в задачах регресії |
| title_full |
Мінімаксні середньоквадратичні оцінки тренду в задачах регресії |
| title_fullStr |
Мінімаксні середньоквадратичні оцінки тренду в задачах регресії |
| title_full_unstemmed |
Мінімаксні середньоквадратичні оцінки тренду в задачах регресії |
| title_sort |
мінімаксні середньоквадратичні оцінки тренду в задачах регресії |
| publisher |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18211 |
| citation_txt |
Мінімаксні середньоквадратичні оцінки тренду в задачах регресії / С.В. Демиденко, А.Г. Наконечный // Таврический вестник информатики и математики. — 2009. — № 1. — С. 23-30. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| work_keys_str_mv |
AT demidenkosv mínímaksníserednʹokvadratičníocínkitrenduvzadačahregresíí AT nakonečnyjag mínímaksníserednʹokvadratičníocínkitrenduvzadačahregresíí |
| first_indexed |
2025-07-02T19:18:34Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:18:34Z |
| _version_ |
1836563998700470272 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.962.22ÌIÍIÌÀÊÑÍI ÑÅ�ÅÄÍÜÎÊÂÀÄ�ÀÒÈ×ÍI ÎÖIÍÊÈ Ò�ÅÍÄÓ ÂÇÀÄÀ×ÀÕ �Å��ÅÑI�
Äåìèäåíêî Ñ.Â., Íàêîíå÷íèé Î.�.Êè¨âñüêèé íàöiîíàëüíèé óíiâåðñèòåò iì. Ò.�.Øåâ÷åíêà,�àêóëüòåò êiáåðíåòèêèïð-ò àêàäåìiêà �ëóøêîâà-2, êîðïóñ 6, ì. Êè¨â 03680, Óêðà¨íàe-mail: s.demidenko�gmail.
omAbstra
t. This paper des
ribes an approa
h to the linear minimax estimation of the generalizedpolinom with unknown partially unbounded parameters. Linear minimax estimations are
onstru
ted onthe basis of measurements with random noise. We introdu
e notions of the upper and lower linear minimaxestimations. The su�
ient
onditions for the minimax estimation existen
e are formulated. Numeri
alsimulation that illustrates these results is presented.ÂñòóïÏðîáëåìè àïðîêñèìàöi¨ �óíêöi¨ òiñíî çâ'ÿçàíi iç çàäà÷àìè îïòèìiçàöi¨ [1, 2℄ çîäíîãî áîêó, à òàêîæ iç ïèòàííÿìè îöiíêè �óíêöié çà äàíèìè ñïîñòåðåæåíü, ùî äî-ñëiäæóâàëèñÿ â ìàòåìàòè÷íié ñòàòèñòèöi [3, 4℄.Ó äàíié ðîáîòi ðîçãëÿäà¹òüñÿ âèïàäîê, êîëè ñïîñòåðiãà¹òüñÿ óçàãàëüíåíèé ïîëi-íîì iç øóìîì. Ïðè öüîìó êîðåëÿöiéíà �óíêöiÿ âèïàäêîâîãî ïðîöåñó ùî ìîäåëþ¹øóì íåâiäîìà i íàëåæèòü ïåâíié îáëàñòi. Ïðè îáìåæåííÿõ íà êîå�iöi¹íòè ðîçðîáëå-íî àëãîðèòì ïîáóäîâè ãàðàíòîâàíî¨ ëiíiéíî¨ îöiíêè òàêîãî ïîëiíîìà.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷iÍåõàé íà âiäðiçêó [0; T ℄ ñïîñòåðiãà¹òüñÿ ðåàëiçàöiÿ âèïàäêîâîãî ïðîöåñó y(t), ùîì๠âèãëÿä y(t) = mXi=1 �i'i(t) + �(t) (1)äå 'i(t) i = 1::m � íåïåðåðâíi íà âiäðiçêó [0; T ℄ �óíêöi¨, �(t) � ðåàëiçàöiÿ íåïåðåðâíîãîâ ñåðåäíüîìó êâàäðàòè÷íîìó âèïàäêîâîãî ïðîöåñó ç íóëüîâèì ñåðåäíiì òà íåâiäîìîþêîðåëÿöiéíîþ �óíêöi¹þ R(t; s) 2 KK = fR : TZ0 TZ0 (R(t; s)�R0(t; s))2dtds � q2g (2)R0(t; s) � âiäîìà êîðåëÿöiéíà �óíêöiÿ íåïåðåðâíà íà [0; T ℄ � [0; T ℄. Íåõàé òàêîæ âi-äîìî, ùî êîå�iöi¹íòè �i; i = 1::r; r � m íàëåæàòü ìíîæèíi G, äåG = f� : j�i � b�ij � �i; i = 1::rg (3)
24 Äåìèäåíêî Ñ.Â., Íàêîíå÷íèé Î.�.Ïîçíà÷èìî ÷åðåç [P (T ) ëiíiéíó îöiíêó òðåíäó P (T ) = mXi=1 �i'i(T ) âèãëÿäó[P (T ) = TZ0 u(t)y(t)dt+
, äå u(t) íàëåæèòü ïðîñòîðó âèìiðíèõ çà Ëåáåãîì iíòåãðî-âàíèõ ç êâàäðàòîì �óíêöié,
� äîâiëüíà êîíñòàíòà. Ïîçíà÷èìî ÷åðåç �(R; �; u;
)ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íó ïîõèáêó òàêî¨ îöiíêè, òîáòî�2(R; �; u;
) =M(P (T )�[P (T ))2 (4)Îçíà÷åííÿ 1. Îöiíêà äëÿ ÿêî¨ bu òà b
íàëåæàòü ìíîæèíi (bu;b
) 2 argmin�21(u;
), äå�21(u;
) = supG;K �2(R; �; u;
)íàçèâà¹òüñÿ ìiíiìàêñíîþ ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íîþ îöiíêîþ.2. Óìîâè iñíóâàííÿ òà âèãëÿä ìiíiìàêñíî¨ îöiíêèÒâåðäæåííÿ 1. Ïðèïóñòèìî, ùî 'i(t), i = (r + 1)::m, ëiíiéíî íåçàëåæíi, òîäi iñíó¹¹äèíà ìiíiìàêñíà ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íà îöiíêà ïðè÷îìóinfu;
�21(u;
) = infu2U �21(u;b
) = �22(bu) (5)äå �22(u) = �21(u;Pri=1 b�izi(0)), bu = argminbu2U �22(u), U ìíîæèíà, ùî âèçíà÷à¹òüñÿ içóìîâè U = fu : zi(0) = 0; i = (1 + r)::mg (6)à b
= rXi=1 b�ibzi(0), bzi(0) = zi(0)ju=bu, äå zi(0) = 'i(T )� TZ0 u(t)'i(t)dt.Äîâåäåííÿ. Çàóâàæèìî, ùî ì๠ìiñöå ðiâíiñòü�2(R; �; u;
) = ( mXi=1 �izi(0)�
)2 + TZ0 TZ0 R(t; s)u(t)u(s)dtds (7)�21(u;
) = supG ( mXi=1 �izi(0)�
)2 + supR TZ0 TZ0 R(t; s)u(t)u(s)dtds = I1(u;
) + I2(u) (8)Êðiì òîãî I1 =1 ïðè u =2 U iI1(u;
) = rXi=1 �ijzi(0)j+ �����
� rXi=1 b�izi(0)�����!2 (9)ïðè u 2 U . I2(u) = TZ0 TZ0 R0(t; s)u(t)u(s)dtds+ q2 TZ0 u2(t)dt (10)¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
Ìiíiìàêñíi ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íi îöiíêè òðåíäó â çàäà÷àõ ðåãðåñi¨ 25Äàëi çàóâàæèìî, ùî òàê ÿê �óíêöi¨ 'i(t) ëiíiéíî íåçàëåæíi, òî ìíîæèíà U ¹íåïîðîæíüîþ îïóêëîþ çàìêíåíîþ â L2(0; T ) ìíîæèíîþ. Ôóíêöiîíàë�22(u) = rXi=1 �ijzi(0)j!2 + I2(u) (11)¹ ñëàáêîíàïiâíåïåðåðâíèì, ñèëüíî îïóêëèì �óíêöiîíàëîì i çíà÷èòü iñíó¹ ¹äèíà�óíêöiÿ bu 2 argmin�22 , â ñèëó íåðiâíîñòi�21(u;
) � �22(u) � minu2U �22(u) = �22(bu) (12)ÿêà ïåðåòâîðþ¹òüñÿ â ðiâíiñòü ïðè u = bu,
= b
, îäåðæèìî íåîáõiäíå. �Ïîçíà÷èìî äàëi ÷åðåç V ìíîæèíó ìàòðèöü B, ùî ìàþòü âèãëÿäB = (bij)i;j=1;rbij = 1Z�1 :: 1Z�1 xixj�(dx) (13)�(�) � ïðîáiã๠ìíîæèíó éìîâiðíîñíèõ ìið, ùî çîñåðåäæåíi íà ãiïåð-êóái [�1::1℄� ::� [�1::1℄:Òâåðäæåííÿ 2. Ì๠ìiñöå ðiâíiñòüminu2U �22(u) = maxB2V minu2U �23(u;B) (14)äå �23(u;B) = rXi;j=1�i�jbijzi(0)zj(0) + I2(u) = (Bz1(0); z1(0)) + I2(u)z1(0) = (�1z1(0); ::; �rzr(0)) (15)Äîâåäåííÿ. Òàê ÿê rXi=1 �ijzi(0)j!2 = max�1�xi�1 rXi=1 �ixizi(0)!2 == max�(�) 1Z�1 :: 1Z�1 rXi=1 �ixizi(0)!2 �(dx) = maxB2V (Bz1(0); z1(0)) (16)òî â ñèëó òåîðåìè ïðî ìiíiìàêñ îäåðæèìî íåîáõiäíó ðiâíiñòü. �Òâåðäæåííÿ 3. Ì๠ìiñöå ðiâíiñòüminu2U �23(u;B) = �23(bu;B) (17)¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
26 Äåìèäåíêî Ñ.Â., Íàêîíå÷íèé Î.�.Äîâåäåííÿ. Íåõàé zi(t) ¹ ðîçâ'ÿçêîì ðiâíÿííÿzi(t)dt = �'i(t)u(t); zi(T ) = 'i(T ); i = 1; ::; m; zi(0) = 0; i = (r + 1); ::; m (18)Ââåäåìî òàêîæ �óíêöi¨ pi(t), ùî ¹ ðîçâ'ÿçêàìè ðiâíÿíüpi(t)dt = 0; i = 1; ::; m (19)pi(0) = rXj=1 bij�jzj(0); i = 1; ::; r (20)Òîäi ïîõiäíà �àòî âiä �óíêöiîíàëà �23(u;B) áóäå ìàòè âèãëÿä12 ��23�0 = � mXi=1 'i(t)pi(t) + TZ0 R0(t; s)u(s)ds+ q2u(t) (21)Òàêèì ÷èíîì äëÿ bu(s) îäåðæèìî iíòåãðàëüíå ðiâíÿííÿTZ0 R0(t; s)bu(s)ds+ q2bu(t) = mXi=1 'i(t)pi(t) (22)Çàïèøåìî bu ó iíøîìó âèãëÿäi, äëÿ öüîãî çàóâàæèìî, ùî pi(t) íå çàëåæèòü âiä t iòîìó ÿêùî ïîçíà÷èòè ¨õ ÷åðåç pi, òî îäåðæèìî, ùîbu(t) = mXi=1 pi i(t) (23)äå i(t) ¹ ðîçâ'ÿçêîì iíòåãðàëüíîãî ðiâíÿííÿTZ0 R0(t; s) i(s)ds+ q2 i(t) = 'i(t) (24)Òîäi zi(t) = � mXj=1 pizij(t) + 'i(T ), äå zij(t) = TZt 'i(s) j(s)ds:Òàê ÿê pi = pi(0) = rXj=1 bij�jzj(0); i = 1; ::; r;òî äëÿ zj(0) îäåðæèìî ñèñòåìó ðiâíÿíüzi(0) = � mXj=1 rXk=1 bikzij(0)�kzk(0) + 'i(T ) (25)¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
Ìiíiìàêñíi ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íi îöiíêè òðåíäó â çàäà÷àõ ðåãðåñi¨ 27à êîíñòàíòè pi, i = (r + 1)::m âèçíà÷àþòüñÿ iç ñèñòåìè ðiâíÿíümXi=1 TZ0 'j(t) i(t)dtpi = 'j(T ); j = r + 1; ::; m (26)�Íàñëiäîê 1. Íåõàé r=0. Òîäi ìiíiìàêñíà îöiíêà ì๠âèãëÿäbbP = mXi=1 pi TZ0 i(t)y(t)dt (27)Âåëè÷èíè pi âèçíà÷àþòüñÿ ç ñèñòåìè ðiâíÿíümXi=1 pi TZ0 'j(t) i(t)dt = 'j(T ); j = 1; ::; m (28)Íàñëiäîê 2. Ïðèïóñòèìî, ùî R0(t; s) = 0. Òîäi i(t) = q�2'i(t).Íàñëiäîê 3. Ìiíiìàêñíà îöiíêà ì๠âèãëÿäbbP = mXi=1 bpi TZ0 i(t)y(t)dt+ b
(29)÷èñëà bpi çíàõîäÿòüñÿ ç ðîçâ'ÿçêó çàäà÷i íà ìiíiìóì íàñòóïíî¨ �óíêöi¨F (p1; ::; pm) = rXk=1 �kj'k(T )� mXi=1 pizki(0)j!2 + mXi;j=1 pipj(R0 i; j) + q2 mXi;j=1 pipj( i; j)(30)äå (R i; j) = TZ0 :: TZ0 R0(t; s) i jdtds; ( i; j) = TZ0 :: TZ0 i jdtds; (31)ïðè îáìåæåííÿõ 'i(T ) = mXk=1 pk TZ0 'i(t) k(t)dt; i = r + 1; ::; m (32)Äîâåäåííÿ. Iç òâåðäæåííÿ 3 îäåðæèìî íàñòóïíèé âèãëÿä �óíêöi¨ bu(t) íà ÿêié äî-ñÿãà¹òüñÿ ìiíiìóì ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íî¨ ïîõèáêè îöiíêè bP (T ), bu(t) = Pmi=1 bpi i(t),âðàõîâóþ÷è âèãëÿä �óíêöiîíàëó �2(u;
) îäåðæèìî íåîáõiäíå. �Ïðèêëàä 1. Ïðîiëþñòðó¹ìî çàñòîñóâàííÿ íàñëiäêó 3 íà ïðèêëàäi íàñòóïíî¨ ìîäåëi'1(t) = sin(t); '2(t) = sin(t2); '3(t) =
os(t); �1 = 2; R0 = 0;
�1 = 0. Âèïàäêîâèéïðîöåñ �(t) ì๠âèãëÿä �(t) = �1 � sin(20 � t), äå �1 � âèïàäêîâà âåëè÷èíà, ùî ì๾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
28 Äåìèäåíêî Ñ.Â., Íàêîíå÷íèé Î.�.íîðìàëüíèé ðîçïîäië ç ïàðàìåòðàìè (0; 0:2). Íåõàé � = (1 1 1)T i ðåàëiçàöiÿ âèïàä-êîâîãî ïðîöåñó �(t) ì๠âèãëÿä �(t) = �0:226� sin(20� t). Ïðîöåäóðà îöiíþâàííÿ áóäåïðîâîäèòèñÿ â óìîâàõ êîëè âñi çàçíà÷åíi âèùå ïàðàìåòðè �iêñîâàíi, à ïàðàìåòðè Tòà q áóäóòü âàðiþâàòèñÿ â ìåæàõ T 2 [1; 3℄ òà q 2 [0:2; 2:2℄ ç êðîêîì 0:05 òà 0:4. Âiä-ïîâiäíèé àëãîðèòì áóëî ðåàëiçîâàíî â ñèñòåìi Mathemati
a 6, ðåçóëüòàòè îá÷èñëåíüçîáðàæåíi íà íàñòóïíèõ ãðà�iêàõ.
1.5 2.0 2.5 3.0
t
-1
1
2
�èñ. 1. �åàëüíi çíà÷åííÿ P (T ) (ñóöiëüíà ëiíiÿ), ðåàëiçàöiÿ y(t) (ñóöiëü-íà òîíêà ëiíiÿ), îöiíêè [P (T ) ïðè ðiçíèõ çíà÷åííÿõ ïàðàìåòðà q (øòðè-õîâi ëiíi¨)
1.5 2.0 2.5 3.0
t
5
10
15
�èñ. 2. Ìiíiìàêñíà ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íà ïîõèáêà ïðè ðiçíèõ çíà÷åííÿõïàðàìåòðà q ¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
Ìiíiìàêñíi ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íi îöiíêè òðåíäó â çàäà÷àõ ðåãðåñi¨ 29Îòæå, ÿê âèäíî ç ìàëþíêó 1, ïðè çìåíøåííi ïàðàìåòðà q ÿêiñòü îöiíþâàííÿ ïî-êðàùó¹òüñÿ, ïðè q = 0:2 îöiíêè ðîçòàøîâàíi íàéáëèæ÷å äî ðåàëüíèõ çíà÷åíü òðåíäó.Ïðè öüîìó íàéìåíøi çíà÷åííÿ ìiíiìàêñíî¨ ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íî¨ ïîõèáêè òåæ äîñÿ-ãàþòüñÿ ïðè q = 0:2 (ìàë. 2).3. Âåðõíÿ òà íèæíÿ ìiíiìàêñíi îöiíêèÎçíà÷åííÿ 2. Îöiíêà bbP+(T ) òà bbP�(T ) íàçèâàþòüñÿ âåðõíüîþ òà íèæíüîþ ìiíiìàê-ñíîþ ÿêùî âîíè ìàþòü âèãëÿäbbP+(T ) = TZ0 bu+(t)y(t)dt+ b
+bbP�(T ) = TZ0 bu�(t)y(t)dt+ b
� (33)
äå (bu+;b
+), (bu�;b
�) çíàõîäÿòüñÿ iç ìiíiìiçàöi¨ �óíêöiîíàëiâ �2+(u;
); �2�(u;
) âiäïîâiä-íî i äëÿ ÿêèõ ñïðàâåäëèâi íåðiâíîñòi�2�(u;
) � �2(u;
) � �2+(u;
) (34)Òâåðäæåííÿ 4. Îöiíêè äëÿ ÿêèõ ì๠ìiñöå ðiâíiñòübu+(t) = mXi=1 p+i i(t);bu�(t) = mXi=1 p�i i(t) (35)äëÿ ÿêèõ ÷èñëà p�i ; i = 1; ::; m çíàõîäÿòüñÿ iç ñèñòåì ðiâíÿíü i(T ) = mXi=1 p�k + zik(0) + Æirp�i (��i )2 (36)äå Æ = � 1; i � r0; i > r¹ âiäïîâiäíî íèæíiìè òà âåðõíiìè ìiíiìàêñíèìè îöiíêàìè.Äîâåäåííÿ. Ââåäåìî ìíîæèíè G+ òà G�G+ = f� : rXi=1 (�i � b�i)2�+i 2 � 1gG� = f� : rXi=1 (�i � b�i)2��i 2 � 1g (37)¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
30 Äåìèäåíêî Ñ.Â., Íàêîíå÷íèé Î.�.÷èñëà �+i òà ��i âèáåðåìî òàê, ùîá G� � G � G+. Òîäi î÷åâèäíî, ùî�2+(u;
) = supG+;R �2(R; �; u;
)�2�(u;
) = supG�;R �2(R; �; u;
) (38)Ëåãêî áà÷èòè, ùî�2+(u;
) = (( rXi=1 (�+i )2z2i (0)) 12 + j
� rXi=1 b�izi(0)j)2 + (R0u; u) + q2(u; u) (39)Çâiäêè b
+ =Pri=1 b�ibz+i (0), äå z+i (t) ¹ ðîçâ`ÿçêîì ðiâíÿííÿdbz+idt = �'i(t)bu+(t); bz+i (T ) = 'i(T ) (40)äå bu+(t) 2 argmin�2+(u) , �2+ =Pri=1(�+i )2z2i (0) + (R0u; u) + q2(u; u)Çâiäêè ÿê i â òâåðäæåííi 3 îäåðæèìî, ùîbu+(t) = mXi=1 p+i i(t) (41)äå p+i çíàõîäèòüñÿ iç ñèñòåìè ðiâíÿíü� p+j (�+j )2 = 'j(T )�Pmi=1 p+i zij(0); j = 1; ::; r'j(T ) =Pmi=1 p+i zij(0); j = 1 + r; ::; mÇàóâàæåííÿ 1. Íåõàé ìíîæèíà çíà÷åíü ïàðàìåòðiâ ¹ G+, òîäi ìiíiìàêñíà îöiíêàñïiâïàä๠iç âåðõíüîþ ìiíiìàêñíîþ îöiíêîþ. �Âèñíîâêè ðîáîòi ïîêàçàíî, ùî ïðè äåÿêèõ óìîâàõ iñíóþòü ¹äèíi ìiíiìàêñíi ñåðåäíüîêâàä-ðàòè÷íi îöiíêè óçàãàëüíåíèõ ïîëiíîìiâ. Äàíi îöiíêè çíàéäåíi ó âèãëÿäi ëiíiéíî¨ êîì-áiíàöi¨ ðîçâ'ÿçêiâ iíòåãðàëüíèõ ðiâíÿíü Ôðåäãîëüìà äðóãîãî ðîäó. Ââîäÿòüñÿ ïîíÿòòÿâåðõíiõ i íèæíiõ ìiíiìàêñíèõ îöiíîê òà íàâîäèòüñÿ ¨õ âèãëÿä. Ïðè ïåâíèõ óìîâàõ íàêîå�iöi¹íòè ðîçðîáëåíî àëãîðèòìè äëÿ îá÷èñëåííÿ îöiíîê.  ñèñòåìi Mathemati
a 6ñòâîðåíî âiäïîâiäíó ïðîãðàìíó ðåàëiçàöiþ.Ñïèñîê ëiòåðàòóðè1. Ëîðàí �.Æ. Àïðîêñèìàöèÿ è îïòèìèçàöèÿ. � Ì.: Ìèð, 1975. � 496 ñ.2. Òèõîìèðîâ Â.Ì. Íåêîòîðûå âîïðîñû òåîðèè ïðèáëèæåíèé. � Ì.: Ì�Ó, 1980. � 304 ñ.3. Ñåáåð Ä. Ëèíåéíûé ðåãðåññèîííûé àíàëèç. � Ì.: Ìèð, 1980. � 456 ñ.4. Íîðìàí Äðåéïåð, �àððè Ñìèò Ïðèêëàäíîé ðåãðåññèîííûé àíàëèç. � 3-å èçä. � Ì.: ¾Äèàëåêòèêà¿,2007. � Ñ. 912.5. Ïîëÿíèí À. Ä., Ìàíæèðîâ À. Â. Ñïðàâî÷íèê ïî èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì. � Ì.: Ôèçìàòëèò,2003. � 608 ñ. Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 13.10.2008¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
|