Мінімаксні оцінки розв'язків лінійних операторних рівнянь з лінійним необмеженим оператором у гільбертовому просторі
В статье изучается задача гарантированного оценивания для линейного операторного уравнения с неограниченным плотно определенным оператором в гильбертовом пространстве. Рассматриваются априорные среднеквадратические линейные минимаксные оценки. Для кваратичных ограничений на правые части и шумы получ...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України
2009
|
| Назва видання: | Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18215 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Мінімаксні оцінки розв'язків лінійних операторних рівнянь з лінійним необмеженим оператором у гільбертовому просторі / С.М. Жук // Таврический вестник информатики и математики. — 2009. — № 1. — С. 53-59. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18215 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-182152011-03-19T12:04:21Z Мінімаксні оцінки розв'язків лінійних операторних рівнянь з лінійним необмеженим оператором у гільбертовому просторі Жук, С.М. В статье изучается задача гарантированного оценивания для линейного операторного уравнения с неограниченным плотно определенным оператором в гильбертовом пространстве. Рассматриваются априорные среднеквадратические линейные минимаксные оценки. Для кваратичных ограничений на правые части и шумы получен критерий конечности минимаксной среднеквадратической ошибки оценивания, предложено представление оценки в виде линейного преобразования решения системы линейных операторных уравнений. У статті вивчається задача гарантованого оцінювання для лінійного операторного рівняння з необмеженим щільно визначеним оператором у гільбертовому просторі. Розглядяються апріорні середньквадратичні лінійні мінімаксні оцінки. Для випадку квадратичних обмежень на праві частини та шуми одержано критерій скінченності мінімаксної похибки середньоквадратичного оцінювання від розв'язку системи лінійних операторних рівнянь. This paper describes an approach to minimax estimation of the solution of a linear equation with closed dense defined mapping in Hilbert space. A class of the linear minimax mean-square estimations is considered. A necessary an sufficient condition for the minimax mean-square error to be finite is introduced. A representation of minimax estimations are obtained in the case of ellipsoidal constraints. 2009 Article Мінімаксні оцінки розв'язків лінійних операторних рівнянь з лінійним необмеженим оператором у гільбертовому просторі / С.М. Жук // Таврический вестник информатики и математики. — 2009. — № 1. — С. 53-59. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1729-3901 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18215 519.962.22 uk Кримський науковий центр НАН України і МОН України Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
В статье изучается задача гарантированного оценивания для линейного операторного уравнения с неограниченным плотно определенным оператором в гильбертовом пространстве. Рассматриваются априорные среднеквадратические линейные минимаксные оценки. Для кваратичных ограничений на правые части и шумы получен критерий конечности минимаксной среднеквадратической ошибки оценивания, предложено представление оценки в виде линейного преобразования решения системы линейных операторных уравнений. |
| format |
Article |
| author |
Жук, С.М. |
| spellingShingle |
Жук, С.М. Мінімаксні оцінки розв'язків лінійних операторних рівнянь з лінійним необмеженим оператором у гільбертовому просторі Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| author_facet |
Жук, С.М. |
| author_sort |
Жук, С.М. |
| title |
Мінімаксні оцінки розв'язків лінійних операторних рівнянь з лінійним необмеженим оператором у гільбертовому просторі |
| title_short |
Мінімаксні оцінки розв'язків лінійних операторних рівнянь з лінійним необмеженим оператором у гільбертовому просторі |
| title_full |
Мінімаксні оцінки розв'язків лінійних операторних рівнянь з лінійним необмеженим оператором у гільбертовому просторі |
| title_fullStr |
Мінімаксні оцінки розв'язків лінійних операторних рівнянь з лінійним необмеженим оператором у гільбертовому просторі |
| title_full_unstemmed |
Мінімаксні оцінки розв'язків лінійних операторних рівнянь з лінійним необмеженим оператором у гільбертовому просторі |
| title_sort |
мінімаксні оцінки розв'язків лінійних операторних рівнянь з лінійним необмеженим оператором у гільбертовому просторі |
| publisher |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18215 |
| citation_txt |
Мінімаксні оцінки розв'язків лінійних операторних рівнянь з лінійним необмеженим оператором у гільбертовому просторі / С.М. Жук // Таврический вестник информатики и математики. — 2009. — № 1. — С. 53-59. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| work_keys_str_mv |
AT žuksm mínímaksníocínkirozvâzkívlíníjnihoperatornihrívnânʹzlíníjnimneobmeženimoperatoromugílʹbertovomuprostorí |
| first_indexed |
2025-07-02T19:18:46Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:18:46Z |
| _version_ |
1836564009811181568 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.962.22ÌIÍIÌÀÊÑÍI ÎÖIÍÊÈ �ÎÇÂ'ßÇÊI �IÂÍßÍÜ Ç ËIÍIÉÍÈÌÍÅÎÁÌÅÆÅÍÈÌ ÎÏÅ�ÀÒÎ�ÎÌ Ó �IËÜÁÅ�ÒÎÂÎÌÓ Ï�ÎÑÒÎ�I
Æóê Ñ.Ì.Êè¨âñüêèé íàöiîíàëüíèé óíiâåðñèòåò iì. Ò.�.Øåâ÷åíêà,�àêóëüòåò êiáåðíåòèêèïð-ò àêàäåìiêà �ëóøêîâà-2, êîðïóñ 6, ì.Êè¨â 03680, Óêðà¨íàe-mail: Serhiy.Zhuk�gmail.
omAbstra
t. This paper des
ribes an approa
h to minimax estimation of the solution of a linearequation with
losed dense de�ned mapping in Hilbert spa
e. A
lass of the linear minimax mean-squareestimations is
onsidered. A ne
essary an su�
ient
ondition for the minimax mean-square error tobe �nite is introdu
ed. A representation of minimax estimations are obtained in the
ase of ellipsoidal
onstraints. ÂñòóïÖÿ ðîáîòà ¹ ïðîäîâæåííÿì [1℄. Òóò ðîçâèâà¹òüñÿ òåõíiêà, çàñòîñîâàíà ó [1℄ äîàïðiîðíîãî îöiíþâàííÿ ðîçâ'ÿçêiâ îäíîâèìiðíèõ êðàéîâèõ çàäà÷, íà àáñòðàêòíi ëiíié-íi îïåðàòîðíi ðiâíÿííÿ ó ãiëüáåðòîâîìó ïðîñòîði.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷iÍåõàé ñïîñòåðiãà¹òüñÿ ðåàëiçàöiÿ âåêòîðà y ç ãiëüáåðòîâîãî ïðîñòîðó Y âèãëÿäóy = H'+ �; (1)äå � ¹ âèïàäêîâèì âåêòîðîì çi çíà÷åííÿìè ó Y , íóëüîâèì ñåðåäíiì òà êîðåëÿöié-íèì îïåðàòîðîì R�, H ¹ åëåìåíòîì áàíàõîâîãî ïðîñòîðó1 L (H ;Y ), à ' 2 H ¹ðîçâ'ÿçêîì ëiíiéíîãî îïåðàòîðíîãî ðiâíÿííÿL' = f (2)Ìè áóäåìî ââàæàòè L çàìêíåíèì îïåðàòîðîì, ùî âiäîáðàæ๠ñêðiçü ùiëüíó ïiäìíî-æèíó D(L) ãiëüáåðòîâîãî ïðîñòîðó H ó ãiëüáåðòiâ ïðîñòið F .Ïðèïóñòèìî, ùî âåêòîð f 2 F ¹ äåÿêèì, íàïåðåä íåâiäîìèì, åëåìåíòîì ìíîæè-íè G � F . Íåõàé òàêîæ ðîçïîäië âèïàäêîâîãî âåêòîðà � çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó R� � R,äå R ¹ çàäàíà ïiäìíîæèíà L (Y ;Y ).Íàøà ìåòà ïîëÿã๠â òîìó, ùîá(ÎÇ) äëÿ çàäàíîãî ` 2 H îöiíèòè ñêàëÿðíèé äîáóòîê (`; '), êîðèñòóþ÷èñüií�îðìàöi¹þ ïðî ': ñòðóêòóðà ðiâíÿííÿ (2), âèçíà÷åíà âëàñòèâîñòÿìè îïåðàòîðà L;ñïîñòåðåæåííÿ çà ', çàäàíi ó âèãëÿäi (1); ñòðóêòóðà ìíîæèí G ;R.(ÎÇ) ¹ ðiçíîâèäîì îáåðíåíèõ çàäà÷ äëÿ ëiíiéíèõ îïåðàòîðíèõ ðiâíÿíü ó ãiëüáåðòîâî-ìó ïðîñòîði â óìîâàõ íåâèçíà÷åíîñòi. Íàäàëi íàçèâàòèìåìî (ÎÇ) çàäà÷åþ îöiíþâàí-íÿ.1Ñèìâîëîì L (H ;Y ) ïîçíà÷èìî áàíàõîâèé ïðîñòið óñiõ ëiíiéíèõ îáìåæåíèõ îïåðàòîðiâ ç H ó Y
54 Æóê Ñ.Ì.Çàóâàæåííÿ 1. Ïîìiòèìî, ùî ðåàëiçàöiÿ y âèçíà÷à¹òüñÿ íå ëèøå êîðåëÿöiéíèì îïå-ðàòîðîì �, âèãëÿäîì H òà f . Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó ìîæå éòèñÿ ïðî íåâèçíà÷åíiñòü,ïîðîäæåíó íåîäíîçíà÷íiñòþ îïåðàòîðà L: êîæíîìó f 2 R(L)\G ìè ìîæåìî çiñòàâèòèìíîæèíó '0�N(L), äå N(L) = f' 2 D(L) : L' = 0g. Òàêèì ÷èíîì y = H('0+')+ �äëÿ �iêñîâàíèõ f òà ðåàëiçàöi¨ �.Òóò ìè íå ïðèïóñêà¹ìî, ùî îïåðàòîðè L;H ìàþòü îáìåæåíi îáåðíåíi, âiäòàêíåçíà÷íi âiäõèëåííÿ ó ïðàâié ÷àñòèíi (2) òà âèìiðàõ (1) ìîæóòü ñïðè÷èíèòè íåîáìå-æåíî âåëèêó ïîõèáêó îöiíþâàííÿ. Çâàæàþ÷è íà öå, à òàêîæ íà öiëèé ðÿä íåâèçíà-÷åíîñòåé, çãàäàíèõ âèùå, ìè ïîáóäó¹ìî îïåðàöiþ îöiíþâàííÿ íà îñíîâi ìiíiìàêñíîãîïiäõîäó. Öå äîçâîëèòü çàïðîïîíóâàòè ãàðàíòîâàíó ïîõèáêó îöiíþâàííÿ, ÿêà õàðàê-òåðèçó¹ íàéáiëüøå âiäõèëåííÿ îöiíêè âiä ðåàëüíîãî çíà÷åííÿ i äëÿ äîñèòü2 øèðîêîãîêëàñó îïåðàòîðiâ L;H áóäå ñêií÷åííîþ.Îçíà÷åííÿ 1. À�iííèé �óíêöiîíàë (û; �)+
̂ íàçâåìî àïðiîðíîþ ìiíiìàêñíîþ ñåðåä-íüîêâàäðàòè÷íîþ îöiíêîþ ñêàëÿðíîãî äîáóòêó (`; '), ÿêùîsup'2L�1(G);R�2R
M((`; ')� (û; y)�
̂)2 = infu;
sup'2L�1(G);R�2R
M((`; ')� (u; y)�
)2 (3)Âèðàç �̂(`) = sup'2L�1(G);R�2R
M((`; ')� (û; y)�
̂)2íàçâåìî ìiíiìàêñíîþ ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íîþ ïîõèáêîþ ó íàïðÿìêó `.Íèæ÷å ïðèâåäåíî òåîðåìè ïðî ïðåäñòàâëåííÿ ìiíiìàêñíiõ àïðiîðíèõ òà àïî-ñòåðiîðíèõ îöiíêè äëÿ òîãî âèïàäêó, êîëè ìíîæèíè îáìåæåíü G ; R ¹ îïóêëèìè îá-ìåæåíèìè i çàìêíåíèìè ó âiäïîâiäíèõ ïðîñòîðàõ.2. Ìiíiìàêñíi îöiíêè äëÿ âèïàäêó ñëàáêî êîìïàêòíèõ îïóêëèõîáìåæåíüÓ ïîäàëüøîìó íàì çíàäîáëÿòüñÿ òàêi ïîçíà÷åííÿ. Ââåäåìî ìíîæèíè
U` = fu 2 Y : L�z = `�H�ug; D = f` 2 H : U(`) 6= ?gÒóò ñèìâîëîì L� ïîçíà÷åíî îïåðàòîð, ñïðÿæåíèé äî L, ÿêèé ïiñëÿ îòîòîæíåííÿ ãiëü-áåðòîâèõ ïðîñòîðiâ H ;F ç ¨õíiìè ñïðÿæåíèìè, äi¹ ç F ó H. Iñíóâàííÿ ¹äèíîãîñïðÿæåíîãî L� çàáåçïå÷ó¹òüñÿ [4℄ ùiëüíîþ âèçíà÷åíiñòþ L. ×åðåç Æ(G ; �) ïîçíà÷èìîiíäèêàòîð ìíîæèíè G , òîáòî Æ(G ; f) = 0; f 2 G i +1 iíàêøå. Ïîêëàäåìî(ÆL)�(x) = sup'2D(L)f('; x)� Æ(G ; L')gÔóíêöiîíàë (ÆL)� ¹ ïåðåòâîðåííÿ Þíãà-Ôåíõåëÿ �óíêöiîíàëó (ÆL),(ÆL)(x) = Æ(G ; Lx), ÿêùî x 2 D(L) i +1 iíàêøå. Ïîçíà÷èìîdom(ÆL)� = fx 2 H : (ÆL)�(x) <1g2ßêùî R(L); H(N(L)) ¹ çàìêíåíèìè ëiíiéíèìè ìíîãîâèäàìè, òî ãàðàíòîâàíà ïîõèáêà îöiíþâàííÿñêií÷åííà ó äîâiëüíîìó íàïðÿìêó ` 2 R(L�) +R(H�), çîêðåìà äëÿ N(L)\N(H) = f0g ãàðàíòîâàíàïîõèáêà çàâæäè ñêií÷åííà. ¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
Ìiíiìàêñíi îöiíêè ðîçâ'ÿçêiâ ëiíiéíèõ îïåðàòîðíèõ ðiâíÿíü 55å�åêòèâíó ìíîæèíó �óíêöiîíàëó (ÆL)� i íåõàé(L�
)(x) = inff
(G ; z)jL�z = xg;
(G ; z) = supf(z; f); f 2 G gÍåõàé
l(f) = f ��. Çà òåîðåìîþ Ôåíõåëÿ-Ìîðî f �� çáiãà¹òüñÿ ç íàïiâíåïåðåðâíîþçíèçó ðåãóëÿðèçàöiþ �óíêöiîíàëó f , ÿêùî f ¹ âëàñíèì.Íàñòóïíà ëåìà ëåæèòü â îñíîâi äîâåäåííÿ îñíîâíèõ òâåðäæåíü ïðî iñíóâàííÿ,¹äèíiñòü òà ïðåäñòàâëåííÿ ìiíiìàêñíèõ îöiíîê.Ëåìà 1. Íåõàé G ¹ îïóêëîþ îáìåæåíîþ çàìêíåíîþ ïiäìíîæèíîþ F , L ¹ ëiíiéíèìùiëüíî âèçíà÷åíèì çàìêíåíèì îïåðàòîðîì ç H ó F .Òîäi (L�
)� = (ÆL); (L�
)�� = (ÆL)�; R(L�) � dom(ÆL)� � R(L�) (4)ßêùî âíóòðiøíiñòü G ì๠ñïiëüíi òî÷êè ç R(L), òî dom(ÆL)� = dom(L�
) = R(L�),�óíêöiîíàë (L�
) ¹ âëàñíèì, L�
= (L�
)�� i(L�
)(x) =
(G ; z0) = inff
(G ; z)jL�z = xg; x 2 R(L�)Äîâåäåííÿ. Íåõàé p 2 D(L). Îá÷èñëèìî3(L�
)�(p) = supx2R(L�)f(p; x)� inff
(G ; z)jL�z = xgg =supx2R(L�) supz2L��1(x)f(p; x)�
(G ; z)g = supz2D(L�)f(p; L�z)�
(G ; z)g =supz2F
f(Lp; z)�
(G ; z)g =
�(G ; �)(Lp) = Æ(G ; Lp)�îçãëÿíåìî âèïàäîê p =2 D(L). Çà îçíà÷åííÿì ñïðÿæåíîãî äî íåîáìåæåíîãî ëiíiéíîãîîïåðàòîðà [4,
.39℄ ëiíiéíèé �óíêöiîíàë z 7! p(z) = (p; L�z) ¹ íåîáìåæåíèì. Öå îçíà-÷à¹, ùî çíàéäåòüñÿ ïîñëiäîâíiñòü fzng òàêà, ùî kznk � 1; zn 2 D(L�) i p(zn) ! +1.Ç iíøîãî áîêó îïîðíà �óíêöiÿ
(G ; �) îáìåæåíî¨ îïóêëî¨ ìíîæèíè îáìåæåíà â îêîëiäîâiëüíî¨ òî÷êè z 2 F i òîìó íåïåðåðâíà [3,
.21℄. Àëå òîäi supn
(G ; zn) = M < +1i (L�
)�(p) = supz2D(L�)f(p; L�z)�
(G ; z)g � supn fp(zn)�Mg = +1Òàêèì ÷èíîì, (L�
)�(p) = +1. Ç iíøîãî áîêó (ÆL)(p) = +1 çà îçíà÷åííÿì. Ìèïîêàçàëè, ùî (L�
)�(p) = (ÆL)(p) äëÿ âñiõ p, çâiäêè (L�
)�� = (ÆL)�. Ïiä ÷àñ äîâåäåííÿìè íå âèêîðèñòîâóâàëè ií�îðìàöiþ ïðî òå, ÷è ìàþòü ìíîæèíè R(L);G ñïiëüíi òî÷êè÷è íi. Òîìó (L�
)�� = (ÆL)� âèêîíó¹òüñÿ äëÿ âèïàäêó R(L) \ G = ?.Íåõàé x =2 N(L)? i Lp 2 G äëÿ äåÿêîãî p 2 D(L). Çíàéäåòüñÿ p0 2 N(L) òàêå, ùîn(p0; x) > 0; n 2 N . Àëå òîäi(ÆL)�(x) = supq2D(L)f(q; x)� Æ(G;Lq)g � supn2Nf(p; x) + n(p0; x)g = +1Òîìó dom(ÆL)� � N(L)? = R(L�).3p 2 D(L) òîìó ëiíiéíèé �óíêöiîíàë z 7! p(z) = (p; L�z) ¹ îáìåæåíèì,âiäòàê ìîæå áóòè ðîçïîâñþäæåíèé íà âåñü ïðîñòið F çà íåïåðåðâíiñòþ, çâiäêèsupz2D(L�)f(Lp; z)�
(G ; z)g = supz2Ff(Lp; z)�
(G ; z)g.¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
56 Æóê Ñ.Ì.Ç iíøîãî áîêó, ÿêùî x = L�z, òî(ÆL)�(x) = supq2D(L)f(Lq; x)� Æ(G;Lq)g � supf2F
f(f; x)� Æ(G; f)g =
(G; x) < +1â ñèëó îáìåæåíîñòi G. Òàêèì ÷èíîì R(L�) � dom(ÆL)� � R(L�).Íåõàé òåïåð intG \ R(L) 6= ?. Ïîêàæåìî, ùî öüîãî äîñòàòíüî äëÿ (L�
) 6 (ÆL)�.Ñïðàâäi x� 2 dom(ÆL)�; x 2 D(L)) (x�; x)� (ÆL)�(x�) 6 ÆL(x) < +1â ñèëó íåðiâíîñòi Þíãà-Ôåíõåëÿ. Çà�iêñóâàâøè x� 2 dom(ÆL)�, ââåäåìî ìíîæèíó
M (x�) = f(z; �)jLx = z; � = (x�; x)� (ÆL)�(x�)gÏîìiòèìî, ùî
W = int epi(Æ(G ; �)) = intG � f� 2 R1 : � > 0g \M (x�) = ?Äiéñíî, ÿêùî (z; �) 2 W \M , òîÆ(G ; Lx) < � = (x�; x)� (ÆL)�(x�); Lx = zùî ñóïåðå÷èòü íåðiâíîñòi Þíãà-Ôåíõåëÿ.Îòæå, îïóêëi ìíîæèíè epi(Æ(G ; �);M (x�) ìîæíà ðîçäiëèòè íåíóëüîâèì ëiíiéíèìíåïåðåðâíèì �óíêöiîíàëîìsupf(z0; z) + �0�j(z; �) 2 W g 6 inff(z0; z) + �0�j(z; �) 2 M (x�)g (�)Ëåãêî ïåðåñâiä÷èòèñü, ùî �0 < 0. Äiéñíî, ÿêùî �0 > 0, òî sup ó (�) äîðiâíþ¹ +1. Çiíøîãî áîêó sup ó (�) çàâæäè âiäìiííà âiä �1, ùî àðàíòó¹ ñêií÷åííiñòü inf ó (�).ßêùî �0 = 0, òî çãiäíî (�) G òà R(L) ðîçäiëÿþòüñÿ �óíêöiîíàëîì (z0; �), àëå òîäiintG \R(L) = ?.Çà îçíà÷åííÿì M (x�)�1 < (ñ(G ; z0) = supf(z0; z)� �0Æ(G ; z)g 6 inff(z0; Lx)� j�0j(x�; x)g+ j�0j(ÆL)�(x�)çâiäêè �1 < infx f(z0; Lx)� �0(x�; x)g ) [�j�0jx�; z0℄ ? f[x; Lx℄; x 2 D(L)gÒîìó, çâàæàþ÷è íà âèãëÿä [4,
.40℄ îðòîãîíàëüíîãî äîïîâíåííÿ ãðà�iêà L, äiñòàíåìîz0 2 D(L�); L�z0 = j�0jx� ) (L�
)(x�) 6
(G ; ��10 z0) 6 (ÆL)�(x�)Ìè ïîêàçàëè, ùî íà dom(ÆL)� âèêîíàíî (L�
) = (ÆL)� i dom(ÆL)� � R(L�). Çà îçíà-÷åííÿì R(L�) � dom(L�
). �àíiøå áóëî äîâåäåíî, ùî R(L�) � dom(ÆL)�. Îñêiëüêè,âçàãàëi êàæó÷è, (L�
) > (L�
)�� = (ÆL)�, òî dom(ÆL)� � dom(L�
). Îòæå(L�
) = (ÆL)�; dom(ÆL)� = dom(L�
) = R(L�)Çà òåîðåìîþ Ôåíõåëÿ-Ìîðî (L�
) = (L�
)�� = (ÆL)� òîäi i ëèøå òîäi, êîëè (L�
) ìà¹çàìêíåíèé íàäãðà�iê, ùî äëÿ âëàñíèõ îïóêëèõ �óíêöiîíàëiâ åêâiâàëåíòíî íàïiâíå-ïåðåðâíîñòi çíèçó [5,
.178℄. �Íàñòóïíà òåîðåìà ä๠çàãàëüíèé âèãëÿä ìiíiìàêñíî¨ ñåðåäíüî-êâàäðàòè÷íî¨ îöií-êè òà âèçíà÷๠êðèòåðié ñêií÷åííîñòi ìiíiìàêñíî¨ ïîõèáêè îöiíþâàííÿ.¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
Ìiíiìàêñíi îöiíêè ðîçâ'ÿçêiâ ëiíiéíèõ îïåðàòîðíèõ ðiâíÿíü 57Òåîðåìà 1. Íåõàé G ¹ îïóêëîþ, çàìêíåíîþ, îáìåæåíîþ ïiäìíîæèíîþ F ,� 2 f� :M(�; �) � 1g. �àðàíòîâàíà ïîõèáêà îöiíþâàííÿ ì๠âèãëÿä�(`; u) = 14[
l(L�
)(`�H�u) +
l(L�
)(�` +H�u)℄2 + supR�2R
(R�u; u); (5)Äëÿ çàäàíîãî ` 2 H ìiíiìàêñíà ïîõèáêà ñêií÷åíà òîäi i ëèøå òîäi êîëè`�H�u 2 dom(ÆL)� \ �dom(ÆL)�; R(L�) � dom(ÆL)� � R(L�)äëÿ äåÿêîãî u 2 Y . Ìiíiìàêñíà îöiíêà äà¹òüñÿ âèðàçîìy 7! (û; y) +
̂; û 2 Arginfu�(`; u);
̂ = 12(
l(L�
)(`�H�û)�
l(L�
)(�` +H�û))Äîâåäåííÿ. Áåðó÷è äî óâàãè ðiâíiñòü M�2 =M(� �M�)2 + (M�)2 òà (1), çíàéäåìîM((`; ')� (u; y)�
)2 = [(`�H�u; ')�
℄2 +M(u; �)2âiäòàê sup'2L�1(G);R�2R
M((`; ')� (u; y)�
)2 = sup'2L�1(G)[(`�H�u; ')�
℄2 + supR�2R
(R�u; u)Ëåãêî ïîêàçàòè, ùî ó öüîìó âèïàäêósupR�2R
(R�u; u) = (u; u)Ïåðåòâîðèìî ïåðøèé äîäàíîêsup'2L�1(G)[(`�H�u; ')�
℄ = 12((ÆL)�(`�H�u) + (ÆL)�(�` +H�u))+j
� 12((ÆL)�(`�H�u)� (ÆL)�(�`+H�u))j (6)Çâàæàþ÷è íà �îðìóëó (6) âèâîäèìî, ùî äëÿ çàäàíèõ `; u;
sup'2L�1(G)[(`�H�u; ')�
℄ < +1, `�H�u 2 dom(ÆL)� \ �dom(ÆL)�;Ìíîæèíà dom(ÆL)� ¹ îïóêëèì êîíóñîì ç âåðøèíîþ â íóëi, âiäòàêdom(ÆL)� \ �dom(ÆL)� ¹ íàéáiëüøèì ëiíiéíèì ìíîãîâèäîì, ùî ìiñòèòüñÿ âdom(ÆL)�. ßêùî ïîêëàñòè
= 12((ÆL)�(`�H�u)� (ÆL)�(�`+H�u)), òî ç (6) òà ëåìè 1äiñòàíåìî âèðàç äëÿ �(`; u).ßêùî `�H�u 2 dom(ÆL)� \ �dom(ÆL)�, òî â ñèëó ñòðîãî¨ îïóêëîñòi, êîåðöèòèâ-íîñòi òà íàïiâíåïåðåðâíîñòi çíèçó �óíêöiîíàëó u 7! �(`; u) iñíó¹ ¹äèíà ìiíiìàêñíàîöiíêà û. �Íàñëiäîê 1. Íåõàé intG \R(L) 6= ?; � 2 f� :M(�; �) � 1g¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
58 Æóê Ñ.Ì.Òîäi ãàðàíòîâàíà ïîõèáêà îöiíþâàííÿ ñêií÷åííà äëÿ ` � H�u 2 R(L�) i ëèøå äëÿíèõ, iñíó¹ ¹äèíà ìiíiìàêñíà ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íà îöiíêà û, ùî âèçíà÷à¹òüñÿ ç óìîâè�(`; u)! minu, äå�(`; u) = 14[
(G ; z) +
(G ;�z)℄2 + (u; u)L�z = `�H�u (7)Äîâåäåííÿ. Çãiäíî òåîðåìè 1 äëÿ çàäàíîãî ` 2 H ìiíiìàêñíà ïîõèáêà ñêií÷åíà òîäii ëèøå òîäi êîëè `�H�u 2 dom(ÆL)� \ �dom(ÆL)�Îñêiëüêè 0 2 G \R(L), òî ìè çíàõîäèìîñÿ â óìîâàõ ëåìè 1, çâiäêè dom(ÆL)� = R(L�)i
l(L�
)(`�H�u) = (L�
)(`�H�u) =
(G ; z); L�z = `�H�uËåãêî ïîêàçàòè, ùî ó öüîìó âèïàäêósupR�2R
(R�u; u) = (u; u)Òîäi ç (5) âèâîäèìî (7). Ëåãêî çáàãíóòè, ùî �óíêöiîíàë u 7! �(`; u) ¹ ñëàáêî íàïiâ-íåïåðåâíèì ñòðîãî îïóêëèì òà êîåðöèòèâíèì. Ñïðàâäi, ñëàáêà íàïiâíåïåðåðâíiñòüñëiäó¹ ç îïóêëîñòi òà çàìêíåíîñòi (ëåìà 1) �óíêöiîíàëów 7! minf
(G ; ); L� = wg�åøòà âëàñòèâîñòåé î÷åâèäíi. Òîìó íà çàìêíåíié îïóêëié ìíîæèíi U` �óíêöiî-íàë u 7! �(`; u) äîñÿã๠ñâîãî ìiíiìóìó â ¹äèíié òî÷öi û. �Äëÿ åëiïñî¨äiâ ó ãiëüáåðòîâîìó ïðîñòîði ìiíiìàêñíà àïðiîðíà ñåðåäíüîêâàäðàòè÷-íà îöiíêà ìîæå áóòè çîáðàæåíà ó âèãëÿäi ðîçâ'ÿçêiâ ñèñòåìè ëiíiéíèõ îïåðàòîðíèõðiâíÿíü.Òåîðåìà 2. Íåõàé
G = ff : kfk2 � 1g; � 2 f� :M(�; �) � 1g;ìíîæèíà R(T ) = f[Lx;Hx℄; x 2 D(L)g ¹ çàìêíåíîþ. Äëÿ ` 2 R(L�) + R(H�) i ëèøåäëÿ íèõ ¹äèíà ìiíiìàêñíà îöiíêà û ìîæå áóòè ïîäàíà ó âèãëÿäi û = Hp̂, äå p̂ ¹äîâiëüíèì ðîçâ'ÿçêîì ñèñòåìè L�ẑ = `�H�Hp̂;Lp̂ = ẑ (8)ìiíiìàêñíà ïîõèáêà îöiíþâàííÿ çîáðàæó¹òüñÿ ÿê�(`; û) = (`; p̂) (9)Äîâåäåííÿ. Ïîìiòèìî, ùî óìîâè íàñëiäêó 1 âèêîíàíî, âiäòàê iñíó¹ ¹äèíà ìiíiìàêñíàñåðåäíüîêâàäðàòè÷íà îöiíêà û, ùî âèçíà÷à¹òüñÿ ç óìîâè�(`; u) = (z; z) + (u; u); L�z = `�H�u; u 2 U` (10)Ìîæíà ïîêàçàòè, ùî îöiíêà û, âîäíî÷àñ, ìîæå áóòè çíàéäåíà ÿê ðîçâ'ÿçîê çàäà÷iïðîåêòóâàííÿ k[z; u℄k2 ! inf; T �[z; u℄ = ` (11)¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
Ìiíiìàêñíi îöiíêè ðîçâ'ÿçêiâ ëiíiéíèõ îïåðàòîðíèõ ðiâíÿíü 59Îñòàííÿ ì๠¹äèíèé ðîçâ'ÿçîê â ñèëó çàìêíåíîñòi T , ùî ëåæèòü ó ìíîæèíi çíà÷åíüîïåðàòîðà T . Îòæå, [û; ẑ℄ = Tx i, âîäíî÷àñ, T �[û; ẑ℄ = `, çâiäêè, ïðèãàäóþ÷è îçíà÷åí-íÿ T , çíàõîäèìî Lx = ẑ; Hx = û; L�ẑ +H�û = `;ùî i çàâåðøó¹ äîâåäåííÿ. �Çàóâàæåííÿ 2. Ìîæíà ïîêàçàòè, ùî âåêòîð4 [û; ẑ℄, ÿêi çíàõîäÿòüñÿ ÿê ðîçâ'ÿçîêñèñòåìè (8), ¹ íàéìåíøèì ïî íîðìi ðîçâ'ÿçêîì ðiâíÿííÿ T �[z; u℄ = `. Ìè ìîæåìîââåñòè îïåðàòîð ` 7! T �+` = [û; ẑ℄; ` 2 R(L�) +R(H�)Ç iíøîãî áîêó âåêòîðè ['̂; q̂℄, ùî çíàõîäÿòüñÿ ÿê ðîçâ'ÿçîê ñèñòåìèL�q̂ = H�(y �H'̂);L'̂ = q̂ (12)äàþòü ðîçâ'ÿçîê çàäà÷i ïðîåêòóâàííÿ(Lx; Lx) + (y �Hx; y �Hx)! minx ;ïðè÷îìó '̂ � ðîçâ'ÿçîê öi¹¨ çàäà÷i ç íàéìåíøîþ íîðìîþ. Çîáðàçèìî öþ âiäïîâiäíiñòüó âèãëÿäi T+[0; y℄ = '̂; y 2 YÇàïèøåìî (T �+`; [y; 0℄) = (û; y) = (`; '̂) = (`; T+[0; y℄). ßêùî R(T �) çáiãà¹òüñÿ ç óñiìïðîñòîðîì ïðèáóòòÿ T �, òî ïîïåðåäíÿ ðiâíiñòü ñïðàâåäëèâà äëÿ äîâiëüíîãî `, âiäòàêâåêòîð T+[0; y℄ ìîæíà ïðèéíÿòè çà îöiíêó x. Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó T+[0; y℄ ä๠îöiíêóïðîåêöi¨ x íà R(T �). ÂèñíîâêèÓ öié ðîáîòi ïðîiëþñòðîâàíî çàñòîñóâàííÿ ïiäõîäó, çàïðîïîíîâàíîãî ó [2℄, äî ïðî-áëåìè ìiíiìàêñíîãî îöiíþâàííÿ ðîçâ'ÿçêiâ ëiíiéíèõ îïåðàòîðíèõ ðiâíÿíü ó âèïàäêóñëàáêî êîìïàêòíèõ îïóêëèõ îáìåæåíü, âèäiëåíî ìíîæèíó �óíêöiîíàëiâ F , äëÿ åëå-ìåíòiâ ÿêî¨ i ëèøå äëÿ íèõ ìiíiìàêñíà îöiíêà iñíó¹ i ¹äèíà, îäåðæàíî ïðåäñòàâëåííÿîöiíêè çà äîïîìîãîþ ðîçâ'ÿçêiâ ñèñòåìè ëiíiéíèõ îïåðàòîðíèõ ðiâíÿíü äëÿ âèïàäêóêâàäðàòè÷íèõ îáìåæåíü. Ñïèñîê ëiòåðàòóðè1. Äåìiäåíêî Ñ.Â.,Æóê Ñ.Ì.,Íàêîíå÷íèé Î.�. Äî ïðîáëåìè ìiíiìàêñíîãî îöiíþâàííÿ ðîçâ'ÿçêiâîäíîâèìiðíèõ êðàéîâèõ çàäà÷ // Òàâð.âiñíèê ií�îðì. òà ìàòåì.� 2007.�N1�C.7-24.2. Æóê Ñ.Ì. Çàäà÷i ìiíiìàêñíîãî ñïîñòåðåæåííÿ äëÿ ëiíiéíèõ äåñêðèïòîðíèõ ñèñòåì: Àâòîðå�åðàòäèñ.êàíä-òà �iç.-ìàò. íàóê / Êè¨â, 2006 � 19 ñ.3. Åêëàíä È. Âûïóêëûé àíàëèç è âàðèàöèîííûå ïðîáëåìû:Ïåð.ç àíãë.�Ì.:Íàóêà, 1979.� 396 ñ.4. Ëÿíöå Â.Ý.,Ñòîðîæ Î.�. Ìåòîäû òåîðèè íåîãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ. �Êè-åâ:Íàóê.äóìêà, 1983.� 212 ñ. í5. Èî��å À.Ä.,Òèõîìèðîâ Â.Ì. Òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷.�Ì.:Íàóêà, 1974.� 477 ñ.Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 12.02.20084Ñèìâîëîì [x; y℄ áóäåìî ïîçíà÷àòè âåêòîð, ùî ¹ åëåìåíòîì äåêàðòîâîãî äîáóòêó H1 �H2.¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
|