О строении остаточного подпространства полуунитарной дилатации линейного ограниченного оператора в банаховом пространстве с внутренним произведением
В данной работе приведено описание конструкции осьаточного подпрастранства поуунитарной дилатации линейного ограниченного оператора, действующего в банаховом пространстве с индефинитным внутренним произведением....
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України
2009
|
| Назва видання: | Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18218 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О строении остаточного подпространства полуунитарной дилатации линейного ограниченного оператора в банаховом пространстве с внутренним произведением / Д.Л. Тышкевич // Таврический вестник информатики и математики. — 2009. — № 1. — С. 77-92. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18218 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-182182011-03-19T12:04:19Z О строении остаточного подпространства полуунитарной дилатации линейного ограниченного оператора в банаховом пространстве с внутренним произведением Тышкевич, Д.Л. В данной работе приведено описание конструкции осьаточного подпрастранства поуунитарной дилатации линейного ограниченного оператора, действующего в банаховом пространстве с индефинитным внутренним произведением. У даній роботі приведено опис конструкції залишкового підпростору напівунітарної ділатації лінійного обмеженого оператора, який діє у банаховому просторі з індефінітним внутрішнім добутком. In this work we analyze and describe the construction of residual subspace of a semiunitary dilation of a linear bounded operator acting in a Banach space with an indefinite inner product. 2009 Article О строении остаточного подпространства полуунитарной дилатации линейного ограниченного оператора в банаховом пространстве с внутренним произведением / Д.Л. Тышкевич // Таврический вестник информатики и математики. — 2009. — № 1. — С. 77-92. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 1729-3901 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18218 517.983 ru Кримський науковий центр НАН України і МОН України Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В данной работе приведено описание конструкции осьаточного подпрастранства поуунитарной дилатации линейного ограниченного оператора, действующего в банаховом пространстве с индефинитным внутренним произведением. |
| format |
Article |
| author |
Тышкевич, Д.Л. |
| spellingShingle |
Тышкевич, Д.Л. О строении остаточного подпространства полуунитарной дилатации линейного ограниченного оператора в банаховом пространстве с внутренним произведением Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| author_facet |
Тышкевич, Д.Л. |
| author_sort |
Тышкевич, Д.Л. |
| title |
О строении остаточного подпространства полуунитарной дилатации линейного ограниченного оператора в банаховом пространстве с внутренним произведением |
| title_short |
О строении остаточного подпространства полуунитарной дилатации линейного ограниченного оператора в банаховом пространстве с внутренним произведением |
| title_full |
О строении остаточного подпространства полуунитарной дилатации линейного ограниченного оператора в банаховом пространстве с внутренним произведением |
| title_fullStr |
О строении остаточного подпространства полуунитарной дилатации линейного ограниченного оператора в банаховом пространстве с внутренним произведением |
| title_full_unstemmed |
О строении остаточного подпространства полуунитарной дилатации линейного ограниченного оператора в банаховом пространстве с внутренним произведением |
| title_sort |
о строении остаточного подпространства полуунитарной дилатации линейного ограниченного оператора в банаховом пространстве с внутренним произведением |
| publisher |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18218 |
| citation_txt |
О строении остаточного подпространства полуунитарной дилатации линейного ограниченного оператора в банаховом пространстве с внутренним произведением / Д.Л. Тышкевич // Таврический вестник информатики и математики. — 2009. — № 1. — С. 77-92. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| series |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| work_keys_str_mv |
AT tyškevičdl ostroeniiostatočnogopodprostranstvapoluunitarnojdilataciilinejnogoograničennogooperatoravbanahovomprostranstvesvnutrennimproizvedeniem |
| first_indexed |
2025-07-02T19:18:54Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:18:54Z |
| _version_ |
1836564017917722624 |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.983Î ÑÒ�ÎÅÍÈÈ ÎÑÒÀÒÎ×ÍÎ�Î ÏÎÄÏ�ÎÑÒ�ÀÍÑÒÂÀÏÎËÓÓÍÈÒÀ�ÍÎÉ ÄÈËÀÒÀÖÈÈ ËÈÍÅÉÍÎ�Î Î��ÀÍÈ×ÅÍÍÎ�ÎÎÏÅ�ÀÒÎ�À  ÁÀÍÀÕÎÂÎÌ Ï�ÎÑÒ�ÀÍÑÒÂÅ C ÂÍÓÒ�ÅÍÍÈÌÏ�ÎÈÇÂÅÄÅÍÈÅÌ
Ä.Ë. Òûøêåâè÷Òàâðè÷åñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Â.È. Âåðíàäñêîãî,�àêóëüòåò ìàòåìàòèêè è èí�îðìàòèêèïð-ò Âåðíàäñêîãî, 4, ã. Ñèì�åðîïîëü, Êðûì, Óêðàèíà, 95007e-mail: dtyshk�inbox.ruAbstra
tIn this work we analyze and des
ribe the
onstru
tion of residual subspa
e of a semiunitary dilationof a linear bounded operator a
ting in a Bana
h spa
e with an inde�nite inner produ
t.ÂâåäåíèåÎ ÷¼ì çäåñü ðå÷ü. Öåëüþ äàííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ îïèñàíèå êîíñòðóêöèè îñòàòî÷-íîãî ïîäïðîñòðàíñòâà ïîëóóíèòàðíîé äèëàòàöèè ëèíåéíîãî íåïðåðûâíîãî îïåðàòîðà,äåéñòâóþùåãî â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå, íàäåë¼ííîì (èíäå�èíèòíûì) âíóòðåííèìïðîèçâåäåíèåì, ïðè îïðåäåë¼ííûõ óñëîâèÿõ íà îïåðàòîð è ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîìîïåðàòîð äåéñòâóåò.Äèëàòàöèÿ (dilation) îïåðàòîðà � ýòî òàêîå ðàñøèðåíèå äàííîãî îïåðàòîðà, ñâûõîäîì èç îñíîâíîãî ïðîñòðàíñòâà, êîòîðîå ¾ñîõðàíÿåò ñòåïåíè¿ (ñì. íèæå (13)íà ñòð. 82). Èñïîëüçîâàíèå ïîëóóíèòàðíîé è óíèòàðíîé äèëàòàöèè ÿâèëîñü, ïîæà-ëóé, ñàìûì ìîùíûì ñðåäñòâîì äëÿ èçó÷åíèÿ íåóíèòàðíûõ ñæèìàþùèõ îïåðàòîðîââ ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ïðè íàëè÷èè òåñíûõ ñâÿçåé ñ òåîðèåé õàðàêòåðèñòè÷å-ñêèõ �óíêöèé è �óíêöèîíàëüíûõ ìîäåëåé ñæèìàþùèõ îïåðàòîðîâ (õîðîøî èçâåñò-íû êíèãè [4, 9℄). �àáîòà [3℄, â êîòîðîé ïðèâîäèëàñü êîíñòðóêöèÿ óæå J�óíèòàðíîéäèëàòàöèè íî óæå è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî îïåðàòîðà (íåñæàòèÿ) â ãèëüáåðòîâîì ïðî-ñòðàíñòâå, îòêðûëà ïóòü äëÿ èññëåäîâàíèÿ îïåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ â ïðîñòðàí-ñòâàõ ñ èíäå�èíèòíûì âíóòðåííèì ïðîèçâåäåíèåì. Ñ òåõ ïîð ðàçíûìè àâòîðàìèáûëè ïîñòðîåíû ðàçëè÷íûå êîíñòðóêöèè ïîëóóíèòàðíîé è óíèòàðíîé äèëàòàöèé âïðîñòðàíñòâå Ïîíòðÿãèíà è â ïðîñòðàíñòâå Êðåéíà, îäíàêî ïîçæå âûÿñíèëàñü îáù-íîñòü ýòèõ êîíñòðóêöèé (ñì. ñïèñîê èñòî÷íèêîâ íà ñòð. 82). Îäíàêî êîíñòðóêöèèïîëóóíèòàðíîé (è òåì áîëåå óíèòàðíîé) äèëàòàöèè â ïðîñòðàíñòâàõ ñ âíóòðåííèìïðîèçâåäåíèåì, áîëåå îáùèõ, ÷åì ïðîñòðàíñòâà Êðåéíà (íàñêîëüêî èçâåñòíî àâòî-ðó) íå èññëåäîâàëèñü (òàêæå àâòîðîì íå íàéäåíû ðàáîòû, â êîòîðûõ áû èçó÷àëîñüñòðîåíèå îñòàòî÷íîãî ïîäïðîñòðàíñòâà è â ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâ Êðåéíà). Òàê ÷òî,íàñêîëüêî ïîçâîëÿåò äåëàòü âûâîä îñâåäîìëåííîñòü àâòîðà1, êîíñòðóêöèÿ ïîëóóíè-òàðíîé äèëàòàöèè îïåðàòîðà, äåéñòâóþùåãî â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå ñ âíóòðåííèì1Êðîìå òùàòåëüíîãî èññëåäîâàíèÿ ëèòåðàòóðû, ñþäà âõîäÿò è äîâîëüíî ìíîãî÷èñëåííûå áåñåäûàâòîðà ñ èçâåñòíûì ñïåöèàëèñòîì â ýòîé îáëàñòè Ò.ß. Àçèçîâûì, êîòîðûé áûë îïïîíåíòîì êàí-äèäàòñêîé äèññåðòàöèè àâòîðà [22℄, è êîòîðîìó àâòîð, ïîëüçóÿñü ñëó÷àåì, åù¼ ðàç âûðàæàåò ñâîþïðèçíàòåëüíîñòü.
78 Òûøêåâè÷ Ä.Ë.ïðîèçâåäåíèåì, à òàêæå êîíñòðóêòèâíîå îïèñàíèå å¼ îñòàòî÷íîãî ïîäïðîñòðàíñòâàïðèâåäåíû â äàííîé ðàáîòå âïåðâûå.Ñîãëàøåíèÿ è îáîçíà÷åíèÿ. ¾ÏÂÏ¿ � ñîêðàùåíèå äëÿ ¾ïðîñòðàíñòâî ñ âíóòðåí-íèì ïðîèçâåäåíèåì¿. Ïîä âíåøíåé îðòîãîíàëüíîé ñóììîé ÏÂÏ X è Y ïîíèìàåòñÿäåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ýòèõ ïðîñòðàíñòâ, íàäåë¼ííîå âíóòðåííèì ïðîèçâåäåíèåì[hx1; y1i; hx2; y2i℄ := [x1; x2℄X + [y1; y2℄Y. Çíàê [ _+℄ îçíà÷àåò (âíóòðåííþþ) ïðÿìóþ îð-òîãîíàëüíóþ ñóììó. Âñå ðàññìàòðèâàåìûå â äàííîé ðàáîòå ÏÂÏ ïîëàãàþòñÿ íåâû-ðîæäåííûìè.B(X;Y) îçíà÷àåò ñîâîêóïíîñòü âñåõ ëèíåéíûõ îãðàíè÷åííûõ âñþäó çàäàííûõîïåðàòîðîâ èç áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà X â áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî Y. R(T ) � îáëàñòüçíà÷åíèé ëèíåéíîãî îïåðàòîðà T . Ñèëüíûé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fxngn2N îáî-çíà÷åí ÷åðåç s: limn!1xn.×åðåç IX îáîçíà÷åí åäèíè÷íûé îïåðàòîð â ïðîñòðàíñòâå X. Ïîä íàòóðàëüíûìèìû ïîíèìàåì çäåñü öåëûå ÷èñëà, íà÷èíàÿ ñ åäèíèöû (à íå ñ íóëÿ); îáîçíà÷åíèå ìíî-æåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñòàíäàðòíîå � N ; N+ � îáîçíà÷åíèå äëÿ ìíîæåñòâà f0g[N(ðàñøèðåííûé íàòóðàëüíûé ðÿä). ×åðåç a; b îáîçíà÷àåòñÿ îòðåçîê ðàñøèðåííîãî íà-òóðàëüíîãî ðÿäà fa; a + 1; : : : ; bg (a 6 b).Ñ ïîíÿòèÿìè, êîòîðûå â äàííîé ðàáîòå íå îãîâàðèâàþòñÿ è îñîáî íå ðàçúÿñíÿ-þòñÿ, ìîæíî ïîäðîáíåå îçíàêîìèòñÿ â [7, 12, 18℄.Íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ è �àêòûÏðàâèëüíûå áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà. Áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî X ñ âíóòðåí-íèì ïðîèçâåäåíèåì [�; �℄ íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíûì áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì (regularBana
h spa
e; äàëåå, êîðîòêî, ï.á.ï. � [6, 16, 20, 22℄) åñëè9 b > 0 8 x; y 2 X j[x; y℄j 6 bkxkkyk; (1)9
> 0 8 x 2 X supkyk61j[x; y℄j >
kxk: (2) ñëó÷àå, åñëè âûïîëíåíî ëèøü óñëîâèå (1), ãîâîðÿò, ÷òî X åñòü ïðîñòðàíñòâî ñìàæîðàíòîé([7, 20, 22℄).Çàìå÷àíèå 1. Ï.á.ï. îñîáåííî ïðîçðà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïðè ïîìîùè òàê íàçûâàåìî-ãî îïåðàòîðà �ðàìà ([1, 2, 7, 12℄) ïðîñòðàíñòâà X , ò.å. ëèíåéíîãî âñþäó çàäàííîãîîïåðàòîðà GX : X! Xa , îïðåäåëÿåìîãî �îðìóëîé(GXx)(y) := [x; y℄X :Çäåñü Xa � àíòèñîïðÿæ¼ííîå ïðîñòðàíñòâî ê X, ò.å. ñîâîêóïíîñòü âñåõ ñèëüíî íåïðå-ðûâíûõ àíòèëèíåéíûõ �óíêöèîíàëîâ íà X. Òàê âîò, ëåãêî âèäåòü, ÷òî óñëîâèÿ (1),(2) ýêâèâàëåíòíû îãðàíè÷åííîñòè (óñë. (1)) è îãðàíè÷åííîé îáðàòèìîñòè (óñë. (2))îïåðàòîðà �ðàìà GX. ¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
Î ñòðîåíèè îñòàòî÷íîãî ïîäïðîñòðàíñòâà ïîëóóíèòàðíîé äèëàòàöèè ëèí. . . 79�àçëîæåíèå Áîãíàðà�Êðàìëè. �àçëîæåíèåì Áîãíàðà�Êðàìëè ñàìîñîïðÿæ¼í-íîãî îïåðàòîðà A â ÏÂÏ X íàçûâàåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå îïåðàòîðà A â �îðìåC℄C = A ; (3)ãäå C � ñîïðÿãàåìûé îïåðàòîð ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ � âñåì X è îáëàñòüþ çíà÷åíèé,ëåæàùåé â íåêîòîðîì ÏÂÏ Y ([18, 20, 22℄). Îïåðàòîð C íàçûâàåòñÿ â [20, 22℄ êâàä-ðàòè÷íûì ðàñùåïëåíèåì ñàìîñîïðÿæ¼ííîãî îïåðàòîðà A. Îñîáåííî âàæíû êâàäðà-òè÷íûå ðàñùåïëåíèÿ ñ íóëåâûì ÿäðîì ñîïðÿæ¼ííîãî:kerC℄ = f0g (4)((4) ðàâíîñèëüíî ïëîòíîñòè îáðàçà C â îïðåäåë¼ííûõ òîïîëîãèÿõ, [7, 8, 22℄). Èç (4)è (3) ñëåäóåò ðàâåíñòâî kerC = kerA : ñëó÷àå áàíàõîâûõ ÏÂÏ, êàê ïðàâèëî, íåîáõîäèìà îãðàíè÷åííîñòü C è åãî ñîïðÿ-æ¼ííîãî (ñì. òàáëèöó êàòåãîðèé â ñëåäóþùåì ïóíêòå).Êàòåãîðèè ÏÂÏ.  [19, 20, 22℄ ââîäÿòñÿ ïîíÿòèÿ êàòåãîðèè ñ ñîïðÿæåíèåì èêàòåãîðèè ñ êâàäðàòè÷íûì ðàñùåïëåíèåì. Îõàðàêòåðèçîâàòü ýòè êàòåãîðèè, íå âäà-âàÿñü â äåòàëè, ìîæíî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Êàòåãîðèÿ ñ ñîïðÿæåíèåì, â êîòîðîéîáúåêòàìè ÿâëÿþòñÿ ÏÂÏ, à ñòðåëêàìè � ëèíåéíûå âñþäó îïðåäåë¼ííûå îïåðàòîðûìåæäó ÏÂÏ � çàìêíóòû îòíîñèòåëüíî îáðàçîâàíèÿ ìàòðè÷íûõ îïåðàòîðîâ, îòíîñè-òåëüíî ñîïðÿæåíèÿ îïåðàòîðîâ è ñîäåðæàò íóëåâîé îáúåêò � íóëåâîå ïðîñòðàíñòâî.Êàòåãîðèÿ ñ êâàäðàòè÷íûì ðàñùåïëåíèåì � ýòî êàòåãîðèÿ ñ ñîïðÿæåíèåì, â êîòîðîéïðîèçâîëüíûé ñàìîñîïðÿæ¼ííûé îáúåêò äîëæåí îáëàäàòü êâàäðàòè÷íûì ðàñùåïëå-íèåì ñ íóëåâûì ÿäðîì ñîïðÿæ¼ííîãî, è ýòî êâàäðàòè÷íîå ðàñùåïëåíèå � ñòðåëêàêàòåãîðèè. Ìû ïðèâåä¼ì òðè ïðèìåðà êàòåãîðèé ñ ñîïðÿæåíèåì (áàíàõîâûõ ÏÂÏ) âñëåäóþùåé òàáëè÷êå:Êàòåãîðèÿ Îáúåêòû ÑòðåëêèB(mutadj) Áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâàñ ìàæîðàíòîé Îãðàíè÷åííûå ñîïðÿ-ãàåìûå îïåðàòîðû, äëÿêîòîðûõ ñîïðÿæ¼ííûéîãðàíè÷åíRegB(adj) Ïðàâèëüíûå áàíàõîâûïðîñòðàíñòâà Îãðàíè÷åííûå ñîïðÿãàå-ìûå îïåðàòîðûKr Ïðîñòðàíñòâà Êðåéíà Îãðàíè÷åííûå îïåðàòîðûÑíèçó ââåðõ îíè îáðàçóþò áàøíþ ïîëíûõ ïîäêàòåãîðèé. Èç íèõ Kr è RegB(adj) ÿâ-ëÿþòñÿ êàòåãîðèÿìè ñ êâàäðàòè÷íûì ðàñùåïëåíèåì (äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî Kr �êàòåãîðèÿ ñ êâàäðàòè÷íûì ðàñùåïëåíèåì ñîäåðæèòñÿ, âíå ðàìîê òåîðèè êàòåãîðèé,â [18℄; äîêàçàòåëüñòâà äëÿ RegB(adj), â òåîðåòèêî�êàòåãîðíûõ ðàìêàõ, � â [22℄ è ÷à-ñòè÷íî â [20℄). ¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
80 Òûøêåâè÷ Ä.Ë.Î ïðîñòðàíñòâå `2(X). Äëÿ áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà X ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî `2(X)îïðåäåëÿåòñÿ (ñì., íàïðèìåð, [17℄) êàê ñîâîêóïíîñòü âñåõ áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâà-òåëüíîñòåé (x1; x2; : : :) ýëåìåíòîâ èç X, äëÿ êîòîðûõ ñõîäèòñÿ ðÿä 1Pn=1kxnk2. Íîðìà â`2(X) îïðåäåëÿåòñÿ êàê k(x1; x2 : : :)k`2(X) := � 1Xn=1kxnk2�1=2:C òàêîé íîðìîé `2(X) ñòàíîâèòñÿ áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì. Åñëè A 2 B(X;Y), òîåñòåñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ îïåðàòîð `2(A) 2 B �`2(X); `2(Y)�:`2(A)(x1; x2 : : :) := (Ax1; Ax2; : : :) :Ïðè ýòîì äëÿ ïðîèçâîëüíûõ A 2 B(X;Y); B 2 B(Z;X)`2(IX) = I`2(X); `2(AB) = `2(A)`2(B); k`2(A)k = kAk ;òàêèì îáðàçîì, `2(�) ÿâëÿåòñÿ (êîâàðèàíòíûì) �óíêòîðîì â êàòåãîðèè áàíàõîâûõïðîñòðàíñòâ. Òàêæå, â ÷àñòíîñòè, ýòî âëå÷¼ò îäíîâðåìåííóþ îãðàíè÷åííóþ îáðàòè-ìîñòü îïåðàòîðîâ A è `2(A). Ñóùåñòâóåò åñòåñòâåííûé èçîìåòðè÷åñêèé èçîìîð�èçììåæäó `2(X�) è `2(X)�, îñóùåñòâëÿåìûé îòîáðàæåíèåì��(f1; f2; : : :)��(x1; x2; : : :)� := 1Xn=1fn(xn) ;(x1; x2; : : :) 2 `2(X); (f1; f2; : : :) 2 `2(X�) : (5)Ýòà æå êîíñòðóêöèÿ ïðèâîäèò ê èçîìåòðè÷åñêîé èçîìîð�íîñòè `2(Xa) è `2(X)a.Åñëè X � áàíàõîâî ÏÂÏ, òî íà X åñòåñòâåííûì îáðàçîì èíäóöèðóåòñÿ âíóòðåííååïðîèçâåäåíèå [(x1; x2; : : :); (y1; y2; : : :)℄`2(X) := 1Xn=1[xn; yn℄X : òàêîì ñëó÷àå èìååò ìåñòî ñâÿçü ìåæäó ñîïðÿæ¼ííûìè:`2(A)℄ = `2(A℄); (6)à îïåðàòîðû �ðàìà â X è `2(X), êàê íåòðóäíî âèäåòü, ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåìG`2(X) = �`2(GX) (7)(äëÿ àíòèñîïðÿæ¼ííîé âåðñèè �). Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî (5)�G`2(X)(x1; x2; : : :)��(y1; y2; : : :)� = [(x1; x2; : : :); (y1; y2; : : :)℄`2(X) = 1Xn=1[xn; yn℄X == 1Xn=1(GXxn)(yn) = ��(GXx1; GXx2; : : :)��(y1; y2; : : :)� == ��`2(GX)(x1; x2; : : :)��(y1; y2; : : :)� :¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
Î ñòðîåíèè îñòàòî÷íîãî ïîäïðîñòðàíñòâà ïîëóóíèòàðíîé äèëàòàöèè ëèí. . . 81Èç (6), (7) è çàìå÷àíèÿ 1 ñëåäóåò, ÷òî åñëè X � ï.á.ï. (ïðîñòðàíñòâî ñ ìàæîðàíòîé),òî è `2(X) � ï.á.ï. (ïðîñòðàíñòâî ñ ìàæîðàíòîé). Êðîìå òîãî, ÿñíî, ÷òî åñëè X �ïðîñòðàíñòâî Êðåéíà, òî è `2(X) ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì Êðåéíà.Çàìå÷àíèå 2. Áîëåå òî÷íî, âñå ýòè ðàññóæäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî `2(�) ÿâëÿåòñÿ�óíêòîðîì â êàòåãîðèÿõ B(mutadj), RegB(adj) è Kr.Ïîëóóíèòàðíûå îïåðàòîðû è ñäâèãè â ÏÂÏ. Âñþäó îïðåäåë¼ííûé îïåðàòîðW , äåéñòâóþùèé èç ÏÂÏ X â ÏÂÏ Y, è ñîõðàíÿþùèé âíóòðåííåå ïðîèçâåäåíèå:[Wx1;Wx2℄Y = [x1; x2℄X (äëÿ âñåõ x1; x2 2 X) (ò.å. èçîìåòðè÷åñêèé îòíîñèòåëüíîâíóòðåííåãî ïðîèçâåäåíèÿ), íî îáðàç êîòîðîãî íå ñîâïàäàåò ñ Y, íàçûâàåòñÿ ïîëó-óíèòàðíûì (semiunitary; ñð. [8, 12, 21℄). Îòìåòèì áåç äîêàçàòåëüñòâà2 ñëåäóþùèåñâîéñòâà ïîëóóíèòàðíîãî îïåðàòîðà W , êîòîðûå äàëåå íàì ïîíàäîáÿòñÿ:Y = R(W )[ _+℄ kerW ℄ ; (8)kerW ℄ n = [ _+℄k20; n�1W k kerW ℄ (n 2 N) : (9)Äàëåå, ïîäïðîñòðàíñòâî Tn2NW nX ïðîñòðàíñòâà Y íàçûâàåòñÿ îñòàòî÷íûì ïîä-ïðîñòðàíñòâîì ïîëóóíèòàðíîãî îïåðàòîðà W (residual subspa
e; ñì. [8, 10, 11, 20℄).Ïóñòü äàëåå X = Y. Ïîëóóíèòàðíûé îïåðàòîð íàçûâàåòñÿ îäíîñòîðîííèìñäâèãîì (unilateral shift), åñëè åãî îñòàòî÷íîå ïîäïðîñòðàíñòâî � íóëåâîå3. Ñî-ïðÿãàåìûé îäíîñòîðîííèé ñäâèã W íàçîâ¼ì ïðîåêöèîííî óñòîé÷èâûì ([22℄), åñëès: limn!1kW nW ℄nxk = 0 äëÿ ëþáîãî x 2 X. Ñïåöèàëüíûé êëàññ ïðîåêöèîííî óñòîé-÷èâûõ îäíîñòîðîííèõ ñäâèãîâ ñîñòàâëÿþò ïðàâîñòîðîííèå ñäâèãè â ïðîñòðàíñòâàõ`2(X): W (x1; x2; : : :) := (0; x1; x2; : : :) (10)(ïðàâîñòîðîííèé ñäâèã ñëóæèò ìîäåëüþ àáñòðàêòíîãî îäíîñòîðîííåãî ñäâèãà â ñëó-÷àå ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ: [10℄). Ïðè ýòîì W ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî èçîìåòðè-÷åñêèì îòíîñèòåëüíî íîðìû è âíóòðåííåãî ïðîèçâåäåíèÿ. Ñîïðÿæ¼ííûé ê W åñòüëåâîñòîðîííèé ñäâèã: W ℄(x1; x2; x3; : : :) := (x2; x3; : : :): (11)Èç (10) è (11) íåïîñðåäñòâåííî âèäíà ïðîåêöèîííàÿ óñòîé÷èâîñòü W :kW nW ℄n(x1; x2; : : :)k2 = k(0; : : : ; 0n; xn+1; xn+2; : : :)k2 = 1Xk=n+1kxkk2 ! 0; n!1:2Äîêàçàòåëüñòâà äàííûõ ñâîéñòâ � ÷èñòî òåõíè÷åñêèå, ïðè ýòîì íå òðåáóåòñÿ íèêàêèõ îñî-áûõ òîïîëîãè÷åñêèõ âûêëàäîê � ëèøü ¾ëèíåéíûå¿ ðàññóæäåíèÿ è ðàáîòà ïîíÿòèÿ ñîïðÿæ¼ííî-ñòè. Ýòè äîêàçàòåëüñòâà èìåþòñÿ â íàøèõ ðàáîòàõ [21, ïðåäë. 3, ëåì. 1℄, [22, ïðåäë. 5.3, ëåì. 5.17℄(ñîîòâåòñòâåííî).3Ýòî � êîñâåííîå îïðåäåëåíèå. Ïðÿìîå (ðàâíîñèëüíîå ïðèâåä¼ííîìó) îïðåäåëåíèå â ñëó÷àå èíäå-�èíèòíîñòè âíóòðåííåãî ïðîèçâåäåíèÿ òðåáóåò îïðåäåë¼ííûõ òîïîëîãè÷åñêèõ âûêëàäîê è äîïîëíè-òåëüíûõ îïðåäåëåíèé, êîòîðûõ ìû ñòðåìèìñÿ â äàííîé ðàáîòå èçáåãàòü, òàê êàê íà �îðìóëèðîâêóè äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîãî ðåçóëüòàòà îíè íå èìåþò ïðÿìîãî âëèÿíèÿ.¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
82 Òûøêåâè÷ Ä.Ë.Îòìåòèì ñëåäóþùèé âàæíûé ìîìåíò: èç (11) íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò ðàâåíñòâîkerW ℄ = �(x; 0; 0; : : :) j x 2 X (12)(ò.å. kerW ℄ èçîìåòðè÷åñêè èçîìîð�íî X).Ïðåäëîæåíèå 3. Ïóñòü W � ïðàâîñòîðîííèé ñäâèã (10), è fxkngn2Nk20;n�1 � äâîéíàÿïîñëåäîâàòåëüíîñòü ¾òðåóãîëüíîãî âèäà¿ âåêòîðîâ èç kerW ℄. Òîãäàn nXk=0W kxknon2N� ñèëüíî ñõîäèòñÿ , limn!1 nXk=0 kxknk2 <1:Äîêàçàòåëüñòâî. Ñïðàâåäëèâîñòü ýòîãî óòâåðæäåíèÿ îáåñïå÷èâàåòñÿ öåïî÷êîé:
nXk=mW kxkn
2 (10);(12)= k(0; : : : ; 0m; xmn; xm+1;n; : : : ; xnn; 0; 0; : : :)k2 = nXk=m kxknk2: �Ïîëóóíèòàðíàÿ äèëàòàöèÿ. Èçâåñòíîå îïðåäåëåíèå äèëàòàöèè ëèíåéíîãî íåïðå-ðûâíîãî (èëè, ïî ìåíüøåé ìåðå, âñþäó çàäàííîãî) îïåðàòîðà ÏÂÏ ñ ãèëüáåðòîâûìíîñèòåëåì ([3, 4, 5, 9, 10, 12, 13, 14, 15℄) áåç òðóäà ìîæåò áûòü ïåðåíåñåíî íà ñëó÷àéïðîèçâîëüíûõ ÏÂÏ.Ïóñòü T � âñþäó çàäàííûé ëèíåéíûé îïåðàòîð â ÏÂÏ X, ' � èíúåêòèâíîå èçî-ìåòðè÷åñêîå (îòíîñèòåëüíî âíóòðåííåãî ïðîèçâåäåíèÿ) âëîæåíèå X â íåêîòîðîå ÏÂÏK. Ëèíåéíûé âñþäó çàäàííûé îïåðàòîð V â K íàçûâàåòñÿ äèëàòàöèåé îïåðàòîðà T ,åñëè [T nx1; x2℄X = [V n'x1; 'x2℄K (n 2 N ; x1; x2 2 X): (13) òàêîì îáùåì âèäå îïðåäåëåíèå (13) åù¼ ñëèøêîì ¾ñûð�î¿; åñòåñòâåííî, â çàâèñèìî-ñòè îò êëàññà ðàññìàòðèâàåìûõ ÏÂÏ, íóæíî íàäåëèòü âëîæåíèå ' äîïîëíèòåëüíû-ìè ñâîéñòâàìè (â îñíîâíîì, íåïðåðûâíîñòüþ â òîé èëè èíîé òîïîëîãèè). Íàïðèìåð,â ñëó÷àå áàíàõîâûõ ÏÂÏ åñòåñòâåííî òðåáîâàòü ãîìåîìîð�íîñòè ' îòíîñèòåëüíîñèëüíûõ òîïîëîãèé, ÷òî äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü âûïîëíåííûì.Ïðèâåä¼ì êîíñòðóêöèþ ïîëóóíèòàðíîé äèëàòàöèè äëÿ îïåðàòîðîâ èç êàòåãîðèèB(mutadj) (ñàìîé øèðîêîé äëÿ îïèñûâàåìîé íèæå êîíñòðóêöèè). Ïóñòü T � îïåðà-òîð, � ñòðåëêà â B(mutadj) ñ íà÷àëîì è êîíöîì â X, � äëÿ êîòîðîãî åãî (ñàìîñîïðÿ-æ¼ííûé) äå�åêò ïî ïîëóóíèòàðíîñòè ÆT := I � T ℄T � íåíóëåâîé (ò.å. T íå ÿâëÿ-åòñÿ ïîëóóíèòàðíûì); ïðè÷¼ì ÆT îáëàäàåò ñîïðÿãàåìûì êâàäðàòè÷íûì ðàñùåïëå-íèåì C 2 B(X;Y) ñ îãðàíè÷åííûì ñîïðÿæ¼ííûì: C℄ 2 B(Y;X). Åñëè T ÿâëÿåòñÿñòðåëêîé íåêîòîðîé ïîäêàòåãîðèè B(mutadj) ñ êâàäðàòè÷íûì ðàñùåïëåíèåì (íàïðè-ìåð, RegB(adj) èëè Kr), òî òàêèå òðåáîâàíèÿ èçëèøíè, îäíàêî â îáùåì ñëó÷àå ìûâûíóæäåíû îãðàíè÷èòüñÿ ñïåöèàëüíûì êëàññîì îïåðàòîðîâ T â X. Ïóñòü G � íåêî-òîðûé îáúåêò â B(mutadj) (ò.å. áàíàõîâî ÏÂÏ ñ ìàæîðàíòîé), è � èçîìåòðè÷åñêîåîòíîñèòåëüíî âíóòðåííåãî ïðîèçâåäåíèÿ è ãîìåîìîð�íîå âëîæåíèå Y â G, îáëàäàþ-ùåå ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: � ñîïðÿãàåìûé îïåðàòîð; (14)¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
Î ñòðîåíèè îñòàòî÷íîãî ïîäïðîñòðàíñòâà ïîëóóíèòàðíîé äèëàòàöèè ëèí. . . 83îòêóäà àâòîìàòè÷åñêè ñëåäóåò, ÷òî ℄ 2 B(G;Y), èáî â äàííîì ñëó÷àå, êàê ïîêàçû-âàþò ïðîñòûå âûêëàäêè, ℄ = �1 j R( ).Ïóñòü W � ñòðåëêà â B(mutadj) ñ íà÷àëîì è êîíöîì â G �ò.å. W 2 B(G), Wñîïðÿãàåì è W ℄ 2 B(G)�, ÿâëÿþùàÿñÿ ïîëóóíèòàðíûì îïåðàòîðîì ñî ñâîéñòâîì: Y = kerW ℄ : (15)Ïóñòü C � ðàñïðîñòðàíåíèå íà G îïåðàòîðà C:
C := C: (16)Òîãäà èç (15) è (16) òðèâèàëüíî ñëåäóåò ðàâåíñòâîW ℄
C = 0: (17)Òàê êàê � èçîìåòðè÷åñêîå (îòíîñèòåëüíî âíóòðåííåãî ïðîèçâåäåíèÿ) è ãîìåîìîð�-íîå âëîæåíèå, òî, êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, C 2 B(X;G), C � ñîïðÿãàåì, C ℄ 2 B(G;X), è
C ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íûì ðàñùåïëåíèåì äå�åêòà ÆT :
C
℄
C = ÆT : (18)Ïóñòü K � âíåøíÿÿ îðòîãîíàëüíàÿ ñóììà X è G, ' � åñòåñòâåííîå èçîìåòðè÷åñêîå(îòíîñèòåëüíî âíóòðåííåãî ïðîèçâåäåíèÿ) è ãîìåîìîð�íîå âëîæåíèå X â K. �àññìîò-ðèì îïåðàòîð V , çàäàííûé ìàòðèöåéV := �T 0
C W� : (19)Èíäóêöèåé ëåãêî äîêàçûâàåòñÿ �îðìóëàV n = 24 T n 0n�1Pk=0W kCT n�1�k W n35 (n 2 N): (20)Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî V � ïîëóóíèòàðíàÿ äèëàòàöèÿ T . Äåéñòâèòåëüíî, îïåðàòîðV � ïîëóóíèòàðíûé:V ℄V = �T ℄ C ℄0 W ℄� �T 0
C W� = �T ℄T + C ℄C C ℄WW ℄C W ℄W� (17);(18)= �IX 00 IG� = IKè ÿâëÿåòñÿ äèëàòàöèåé T :[V n'x1; 'x2℄K (20)= [24 T n 0n�1Pk=0W kC T n�1�k W n35�x10 �; �x20 �℄K == [24 T nx1n�1Pk=0W kCT n�1�kx135; �x20 �℄K = [T nx1; x2℄X (n 2 N ; x1; x2 2 X) :Äèëàòàöèÿ V îïåðàòîðà T (13) íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíîé (ñì. íà÷àëî ýòîãî ïóíê-òà è ñïèñîê èñòî÷íèêîâ òàì), åñëè îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå ëèíåéíîé îáîëî÷êèìíîæåñòâ V n'X (n 2 N+) � íóëåâîå4.4Ýòî � êîñâåííîå îïðåäåëåíèå. Ñì. ñíîñêó íà ñòð. 81.¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
84 Òûøêåâè÷ Ä.Ë.Âàæíîñòü óñëîâèÿ (4) è ïîíÿòèÿ îäíîñòîðîííåãî ñäâèãà ïðè ðàáîòå ñ ïîëóóíè-òàðíîé äèëàòàöèåé ïîêàçûâàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 1. Äèëàòàöèÿ V îïåðàòîðà T (15), (16), (19) ìèíèìàëüíà òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ: ÿäðî ñîïðÿæ¼ííîãî ê îïåðàòîðó C, ïîðîæäàþ-ùåìó C � íóëåâîå, è W � îäíîñòîðîííèé ñäâèã.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü g 2 G. Òîãäà ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (ñì. ÷óòü âûøå ïîñëåä-íþþ öåïî÷êó ðàâåíñòâ):[V n �x0�; �0g�℄K = n�1Xk=0[W k
CT n�1�kx; g℄G : (21)Íåîáõîäèìîñòü. I. Ïóñòü y 2 kerC℄. Òîãäà C ℄ y (14);(16)= C℄ ℄ y = C℄y = 0.Îòñþäà [V n �x0�; � 0 y�℄K (21)= n�1Xk=0[CT n�1�kx;W ℄k y℄G (15)== [CT n�1x; y℄G = [T n�1x;C ℄ y℄X = 0 (x 2 X):Èç ïîñëåäíåé öåïî÷êè ïî îïðåäåëåíèþ ìèíèìàëüíîé äèëàòàöèè âûòåêàåò ðàâåíñòâî y = 0, îòêóäà y = 0. Èòàê, ïîêàçàíî, ÷òî kerC℄ = f0g.II. Ïóñòü g 2 Tn2NW nG. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fgmgm2N èçG, ÷òî g = Wmgm. Èìååì öåïî÷êó:[V n �x0�; �0g�℄K (21)= n�1Xk=0[W k
CT n�1�kx;Wmgm℄G == n�1Xk=0[W ℄(m�k)
C T n�1x; gm℄G (17)= 0 (x 2 X; n 2 N ; m > n):Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ ìèíèìàëüíîé äèëàòàöèè ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî g = 0. Èòàê,ïîêàçàíî, ÷òî W � îäíîñòîðîííèé ñäâèã.Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü âåêòîð �x0g0� îðòîãîíàëåí êàæäîìó èç ëèíåàëîâV nK (n 2 N+). Òîãäà, â ÷àñòíîñòè, áóäåì èìåòü:0 = [V 0 �x0�; �x0g0�℄K = [�x0�; �x0g0�℄K = [x; x0℄X (x 2 X):Òàêèì îáðàçîì, x0 = 0. Äàëåå, ïî (21) ïðè n = 10 = [V 1 �x0�; � 0g0�℄K = [C x; g0℄G (x 2 X):Ïîêàæåì ïðè ïîìîùè èíäóêöèè, ÷òî[W n
C x; g0℄G = 0 (n 2 N+ ; x 2 X) : (22)¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
Î ñòðîåíèè îñòàòî÷íîãî ïîäïðîñòðàíñòâà ïîëóóíèòàðíîé äèëàòàöèè ëèí. . . 85Áàçèñ èíäóêöèè óæå îáîñíîâàí. Ïóñòü n > 0 è8 x 2 X 8 k 2 0; n [W k
C x; g0℄G = 0: (23)Òîãäà0 = [V n+2 �x0�; � 0g0�℄K (21)= n+1Xk=0[W k
C T n+1�kx; g0℄G (23)= [W n+1
C x; g0℄G (x 2 X):Èíäóêòèâíûé ïåðåõîä îáîñíîâàí, è (22) äîêàçàíî. Äàëåå, â ñèëó îáðàòèìîñòè C℄ (ïîóñëîâèþ òåîðåìû)R(C )[?℄ = kerC
℄ (14);(16)= kerC℄ ℄ = ker ℄ = R( )[?℄ (15)= � kerW ℄�[?℄;îòêóäà, â ñâîþ î÷åðåäü, ïîëó÷èì öåïî÷êóW ℄ng0 (22)2 R(C )[?℄ = (kerW ℄)[?℄ � g0 2 (W n kerW ℄)[?℄ (n 2 N+) : (24)È, íàêîíåö,8n 2 N+ g0 2 (W n kerW ℄)[?℄ (9), 8n 2 N g0 2 (kerW ℄n)[?℄ (8),, 8n 2 N g0 2 R(W n) , g0 2\n2NW nG : (25)Òàê êàê ïî óñëîâèþ òåîðåìû W � îäíîñòîðîííèé ñäâèã, òî ñîãëàñíî (22), (24), (25)g0 = 0. Èòàê, ïîêàçàíî, ÷òî âåêòîð �x0g0�, îðòîãîíàëüíûé êàæäîìó èç ëèíåàëîâV nK (n 2 N+) � íóëåâîé, ò.å. äèëàòàöèÿ V � ìèíèìàëüíà. �X Îñóùåñòâèìîñòü êîíñòðóêöèè. Êîíñòðóêöèÿ ïîëóóíèòàðíîé äèëàòàöèè ñóñëîâèÿìè (14), (15) ëåãêî îñóùåñòâèìà (ïðè íàëè÷èè êâàäðàòè÷íîãî ðàñùåïëå-íèÿ äå�åêòà â îáùåì ñëó÷àå), åñëè çàäåéñòâîâàòü ïðàâîñòîðîííèé ñäâèã â `2(�)�ïðîñòðàíñòâå. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü G := `2(Y), � åñòåñòâåííîå âëîæåíèå Y â G: y := (y; 0; 0; : : :) (y 2 Y);(èçîìåòðè÷åñêîå ïî âíóòðåííåìó ïðîèçâåäåíèþ è íîðìå), à W � ïðàâîñòîðîííèéñäâèã (10). Òîãäà ñâîéñòâà (14), (15) ëåãêî ïðîâåðÿþòñÿ (ñì. (12)).Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîãî ðåçóëüòàòàÏîëîæèì
N := [n2N0; n� 1� fng(ò.å. N åñòü ñîâîêóïíîñòü âñåõ ïàð hk; ni; n 2 N ; 0 6 k < n � ¾áåñêîíå÷íûé íèæíèéòðåóãîëüíèê¿ äåêàðòîâà êâàäðàòà N2).¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
86 Òûøêåâè÷ Ä.Ë.Çàìå÷àíèå 3.  ýòîì ïîäðàçäåëå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îäíîñòîðîííèé ñäâèãW , èñ-ïîëüçóåìûé â êîíñòðóêöèè ïîëóóíèòàðíîé äèëàòàöèè, ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèîííî óñòîé-÷èâûì. Ýòî, ñíèæàÿ îáùíîñòü, íå ñíèæàåò ñèëó ïîñòðîåíèé (ñì. íèæå êëþ÷åâîéìîìåíò (31)); íàîáîðîò, ñîãëàñíî ðàññóæäåíèÿì ïóíêòà X, äëÿ ëþáîãî îïåðàòîðà T ,èìåþùåãî ñîîòâåòñòâóþùåå êâàäðàòè÷íîå ðàñùåïëåíèå äå�åêòà, âñåãäà ìîæíî ïî-ñòðîèòü ïîëóóíèòàðíóþ äèëàòàöèþ ¾ìàêñèìàëüíîé ñèëû¿.�àññìîòðèì ìíîæåñòâî
XV (x) := �h 2Yhk;ni2N
�T k+1��1�fxg� ��� n n�1Xk=0W kCh�hk; ni�on2N� ñèëüíî ñõîäèòñÿ�(èíà÷å ãîâîðÿ, h ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâîéíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ¾òðåóãîëüíîãî âè-äà¿ fhkngn2Nk20;n�1, â êîòîðîé T k+1hkn = x). Òåïåðü îïðåäåëèì ìíîæåñòâî
X
ndV := �x 2\n2NT nX jXV (x) 6= ? :Ïðåäëîæåíèå 4. Ìíîæåñòâî X ndV ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ìíîãîîáðàçèåì.Äîêàçàòåëüñòâî. Ìíîæåñòâî Tn2NT nX ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ìíîãîîáðàçèåì. Äàëåå, ñî-âîêóïíîñòü âñåõ äâîéíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ýëåìåíòîâ èç X ¾òðåóãîëüíîãî âè-äà¿, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ìíîãîîáðàçèåì îòíîñèòåëüíî îáû÷íûõ îïåðà-öèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî. Ïðè ýòîì, åñëè e0 � íóëåâàÿ ïîñëåäîâàòåëü-íîñòü, òî T k+1e0�hk; ni� = 0, ïîýòîìó 0 2 X ndV . Äàëåå, åñëè T k+1h1�hk; ni� = x1 èT k+1h2�hk; ni� = x2, òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ �1; �2 2 CT k+1�(�1h1 + �2h2)�hk; ni�� = T k+1��1h1�hk; ni�� + T k+1��2h2�hk; ni�� == �1T k+1h1�hk; ni�+ �2T k+1h2�hk; ni� = �1x1 + �2x2 (n 2 N ; k 2 0; n� 1);ïðè÷¼ì (ïðåäåë ñóììû äâóõ ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ðàâåí. . . )s: limn!1 n�1Xk=0W kC(�1h1 + �2h2)�hk; ni� == �1 s: limn!1 n�1Xk=0W kCh1�hk; ni�+ �2 s: limn!1 n�1Xk=0W kCh2�hk; ni�:Òàêèì îáðàçîì, ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ èç X ndV ëåæèò â X ndV . �Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì äàííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 2. Îñòàòî÷íîå ïîäïðîñòðàíñòâî ïîëóóíèòàðíîé äèëàòàöèè V îïåðàòîðàT èìååò ñëåäóþùèé âèä:\n2NV nK = n�xg� �� x 2 X
ndV ; g = s: limn!1 n�1Xk=0W kCh�hk; ni�; h 2 XV (x)o (26)¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
Î ñòðîåíèè îñòàòî÷íîãî ïîäïðîñòðàíñòâà ïîëóóíèòàðíîé äèëàòàöèè ëèí. . . 87Äîêàçàòåëüñòâî. Èç (20) ñëåäóåò ýêâèâàëåíöèÿ�xg� 2 V nK � 9 xn 2 X 9 gn 2 G �xg� = 24 T nxnn�1Pk=0W kCT n�1�kxn +W ngn35 : (27)Ñîãëàñíî (27) îïðåäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü h, ïîëàãàÿh�hk; ni� := T n�1�kxn ; hk; ni 2 N : (28)Ïîêàæåì, ÷òî h 2 XV (x) : (29)Ñîãëàñíî ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà â (27) (ïåðâàÿ ñòðîêà ñòîëáöà)T k+1h�hk; ni� (28)= T k+1T n�k�1xn = T nxn = x (30)è (âòîðàÿ ñòðîêà)W nW ℄ ng = n�1Xk=0W nW ℄(n�k)CT n�1�kxn +W nW ℄ nW ngn (17)= W ngn ; (31)îòêóäà èç ïðîåêöèîííîé óñòîé÷èâîñòè W ñëåäóåò, ÷òî s: limn!1W ngn = 0. Ïîñëåäíååðàâåíñòâî âëå÷¼ò öåïî÷êóg (27)= s: limn!1 n�1Xk=0W kCT n�1�kxn (28)= s: limn!1 n�1Xk=0W kCh�hk; ni�: (32)Èç (32) è (30) íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò (29). Òîãäà ñîãëàñíî (27) � (29) ñïðàâåäëèâàýêâèâàëåíöèÿ�xg� 2\n2NV nK � �x 2\n2NT nX�&�9 h 2 XV (x) g = s: limn!1 n�1Xk=0W kCh�hk; ni��;êîòîðàÿ ðàâíîñèëüíà ðàâåíñòâó (26). � ñëó÷àå îáðàòèìîñòè îïåðàòîðà T , âèä îñòàòî÷íîãî ïîäïðîñòðàíñòâà åãî ïîëó-óíèòàðíîé äèëàòàöèè V çàìåòíî óïðîùàåòñÿ (â ÷àñòíîñòè, îòïàäàåò íåîáõîäèìîñòüðàññìîòðåíèÿ ïðîìåæóòî÷íûõ ìíîæåñòâ XV (x)).Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü T � îáðàòèìûé îïåðàòîð. Òîãäà
X
ndV = �x 2 \n2NT nX �� 1Xk=0W kCT�(k+1)x � (ñèëüíî) ñõîäèòñÿ ;\n2NV nK = n�xg� �� x 2 X
ndV ; g = 1Xk=0W kCT�(k+1)xo :Äîêàçàòåëüñòâî. Èç óðàâíåíèÿ T k+1h�hk; ni� = x îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðh�hk; ni�: îí ðàâåí T�(k+1)x. �¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
88 Òûøêåâè÷ Ä.Ë.Îïèñàíèå îñòàòî÷íîãî ïîäïðîñòðàíñòâà åù¼ áîëåå óïðîùàåòñÿ, åñëè äèëàòàöèÿV ïîñòðîåíà ïî îáðàçöó ïóíêòà X.Ñëåäñòâèå 2. Ïóñòü V � ïîëóóíèòàðíàÿ äèëàòàöèÿ îïåðàòîðà T êîíñòðóêöèèïóíêòà X. Òîãäà
XV (x) = �h 2Yhk;ni2N
�T k+1��1�fxg� ��� limn!1 n�1Xk=0 kCh�hk; ni�k2 <1� ;à â ñëó÷àå îáðàòèìîñòè T
X
ndV = �x 2\n2NT nX �� 1Xk=0 kCT�(k+1)xk2 <1 :Äîêàçàòåëüñòâî. Ñì. ïðåäëîæåíèå 3, òåîðåìó 2 è ñëåäñòâèå 1. �ÈëëþñòðàöèèÇàìå÷àíèå 4. Äèëàòàöèè, ðàññìàòðèâàåìûå â äàííîì ïîäðàçäåëå, èìåþò êîíñòðóê-öèþ ïóíêòà X.Ïðèìåð 1. Ïîëîæèì X := C 2 , è âíóòðåííåå ïðîèçâåäåíèå íà X çàäàäèì êàê[(x1; y1); (x2; y2)℄X := x1y2 + y1x2 : (33)Áóäåì îòîæäåñòâëÿòü îïåðàòîðû ñ ïîðîæäàþùèìè èõ ìàòðèöàìè îòíîñèòåëüíî áà-çèñà f(1; 0); (0; 1)g. Òîãäà âíóòðåííåå ïðîèçâåäåíèå (33), î÷åâèäíî, ïîðîæäåíî ñèì-ìåòðèåé �0 11 0� : Íàøå X ÿâëÿåòñÿ îáúåêòîì Kr (åñëè, íà âñÿêèé ñëó÷àé, ìûñëèòü îïðîñòðàíñòâå Êðåéíà ñ âîçìîæíîñòüþ êîíå÷íîìåðíîñòè íîñèòåëÿ è ðàâíûìè ïîëî-æèòåëüíûì è îòðèöàòåëüíûì èíäåêñàìè èíåðöèè).�àññìîòðèì îïåðàòîð T := �0 �0 �� : Ïðÿìûìè âû÷èñëåíèÿìè íàõîäèì ñòåïåíü èäå�åêò: T n = �n�1T (n 2 N) ; ÆT = �0 �2Re(��)0 0 � :×òîáû äå�åêò áûë íåíóëåâûì, ÷èñëà � è � äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì:� 6= 0; � 6= 0; Re(��) 6= 0;êîòîðûå è áóäåì äàëåå ïîëàãàòü âûïîëíåííûìè (�îðìàëüíî, ïåðâûå äâà íåðàâåíñòâàèçëèøíè, òàê êàê ñëåäóþò èç òðåòüåãî).Ëåãêî íàõîäèòñÿ êâàäðàòè÷íîå ðàñùåïëåíèå C äå�åêòà ÆT ñ óñëîâèåìkerC℄ = f0g. Äåéñòâèòåëüíî, ïîëîæèì Y := C è çàäàäèì âíóòðåííåå ïðîèçâåäåíèå:[z1; z2℄Y := � sgn �Re(��)�z1z2 :Òîãäà C è åãî ñîïðÿæ¼ííûé èìåþò âèä:C = �0 p2j��j � ; C℄ = �� sgn �Re(��)�p2j��j0 � :¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
Î ñòðîåíèè îñòàòî÷íîãî ïîäïðîñòðàíñòâà ïîëóóíèòàðíîé äèëàòàöèè ëèí. . . 89Îòñþäà âèäíî, ÷òî ïðîñòðàíñòâî G, â êîòîðîì ðåàëèçóåòñÿ îäíîñòîðîííèé ñäâèã,åñòü ïðîñòî `2 ñ âíóòðåííèì ïðîèçâåäåíèåì ðàâíûì � ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âçàâèñèìîñòè îò çíàêà ÷èñëà Re(��).Äàëåå, âïîëíå î÷åâèäíî, ÷òî\n2NT nX = TX = n� z��1�z� �� z 2 C o ;è óðàâíåíèå T k+1 �h1knh2kn� = � z��1�z� äà¼ò ðåøåíèå: h1kn � ëþáîå, h2kn = ��1��kz,îòêóäà íàõîäèì:C �h1knh2kn�=p2j��j��1��kz; kC �h1knh2kn�k2 = 2j�j�1j�j1�2kjzj2 : (34)Èç (34) ñëåäóåò, ÷òî limn!1 nPk=0kC �h1knh2kn�k2 <1 â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè j�j > 1(íåçàâèñèìî îò z). Òàêèì îáðàçîì, åñëè j�j 6 1, òî îñòàòî÷íîå ïîäïðîñòðàíñòâî ìè-íèìàëüíîé ïîëóóíèòàðíîé äèëàòàöèè V îïåðàòîðà T � íóëåâîå (ò.å. V ïðåäñòàâëÿåòñîáîé â ýòîì ñëó÷àå îäíîñòîðîííèé ñäâèã). Åñëè æå j�j > 1, òî ñîãëàñíî (34) è ñëåä-ñòâèþ 2 îñòàòî÷íîå ïîäïðîñòðàíñòâî èìååò ñëåäóþùåå ñòðîåíèå:\n2NV nK íàòÿíóòî íà âåêòîð 24 ����p2j��j (1; ��1; ��2; : : :)35 :Ïðèìåð 2. Ïîëîæèì òåïåðü X := C[�1; 1℄, è îïðåäåëèì âíóòðåííåå ïðîèçâåäåíèå:[x; y℄X := 1Z�1x(�t) y(t) dt (35)(ñèììåòðè÷íîñòü �îðìû (35) îáåñïå÷èâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîñòüþ èíòåðâàëà [�1; 1℄).Ïî ñòàíäàðòíûì ñâîéñòâàì èíòåãðàëà (�èìàíà) âûïîëíÿåòñÿ (1) (ãäå â êà÷åñòâå bìîæåò âûñòóïàòü ëþáîå ÷èñëî > 2), ò.å. X � ïðîñòðàíñòâî ñ ìàæîðàíòîé. ÎäíàêîX, êàê ìîæíî äîãàäàòüñÿ, íå ÿâëÿåòñÿ ï.á.ï.: îòðèöàíèå ñâîéñòâà (2) �8
> 0 9 x
2 X supkyk61j[x
; y℄j <
kx
k (36)� ëåãêî äîêàçàòü, ðàññìîòðåâ, íàïðèìåð, �óíêöèè x
(t) := jtj 2�(
)�1, ãäå � � ïðîèç-âîëüíàÿ �óíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ 0 < �(
) <
6 2 (ñïðàâåäëèâîñòü (36)äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, â ÷àñòíîñòè, äëÿ
6 2). Äåéñòâèòåëüíî, òîãäàsupkyk61j[x
; y℄j 6 1Z�1jx
(�t)j dt = 2 1Z0 t 2�(
)�1 dt = �(
) <
=
kx
k(kx
k = 1 òàê êàê 2�(
) � 1 > 0 â ñèëó íàëîæåííûõ íà � è
óñëîâèé). Òàêèì îáðàçîìX � îáúåêò B(mutadj), íî íå ÿâëÿåòñÿ îáúåêòîì RegB(adj).¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
90 Òûøêåâè÷ Ä.Ë.�àññìîòðèì èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð (Tx)(t) := tR�1x(�) d� : Îïåðàòîð T îêàçûâà-åòñÿ ñàìîñîïðÿæ¼ííûì (!) îòíîñèòåëüíî ââåä¼ííîãî âíóòðåííåãî ïðîèçâåäåíèÿ:[Tx; y℄X = 1Z�1� �tZ�1x(�) d��y(t)dt = �tZ�1x(�) d� tZ�1y(�) d� �����1�1 � 1Z�1�� x(�t)�� tZ�1y(�) d�� dt == 1Z�1x(�t)� tZ�1y(�) d�� dt = [x; Ty℄X ;è ýòî ïîçâîëÿåò (ïðè ïîìîùè òðþêà) ïîñòðîèòü êâàäðàòè÷íîå ðàñùåïëåíèå åãî äå-�åêòà ÆT = I�T 2. À èìåííî, ïóñòü Y � òî æå ïðîñòðàíñòâî C[�1; 1℄, íî ñ âíóòðåííèìïðîèçâåäåíèåì [x; y℄Y := �[x; y℄X. Îáîçíà÷èì ÷åðåç T òîò æå îïåðàòîð T , íî äåéñòâó-þùèé èç X â Y. Òîãäà T ℄ = �T :[T x; y℄Y := �[Tx; y℄X = �[x; Ty℄X = �[x;T y℄X (x 2 X; y 2 Y) :Ïîëîæèì C := I + T . Òîãäà C � êâàäðàòè÷íîå ðàñùåïëåíèå ÆT :C℄C = (I + T )℄(I + T ) = (I � T )(I + T ) = (I � T )(I + T ) = I � T 2 = ÆT :ßäðî C℄ � íóëåâîå. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè x0 2 kerC℄, òî0 = (I + T )℄x0 = (I � T )x0 = (I � T )x0 , x0(t) = tZ�1x0(�) d� ,, x00(t) = x0(t); x0(�1) = 0 , x0 = 0 :Äàëåå, íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî Tn2NT nX ñîñòîèò èç âñåõ áåñêîíå÷íî äè��åðåíöè-ðóåìûõ �óíêöèé x, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ x(n)(�1) = 0 (n 2 N+). ÎïåðàòîðT îáðàòèì, è CT�(k+1)x = (I + T )T�(k+1)x = x(k+1) + x(k) äëÿ x 2 Tn2NT nX. Òîãäà1Pk=0kCT�(k+1)xk2 <1 â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè 1Pk=0k(x0 + x)(k)k2 <1. Íî äëÿèíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà èçâåñòíî, ÷òî kT nk ! 0; n ! 1, è ó÷èòûâàÿ ñõîäèìîñòük(x0 + x)(n)k ! 0; n!1, ïîëó÷èì öåïî÷êó ñîîòíîøåíèé:kx0 + xk = kT n(x0 + x)(n)k 6 kT nkk(x0 + x)(n)k ! 0; n!1;èç êîòîðîé ñëåäóåò ðàâåíñòâî x0 + x = 0. À �óíêöèÿ x, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ýòîìóäè��åðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì x0(�1) = 0 � íóëåâàÿ.Èòàê, ìû âûÿñíèëè, ÷òî äëÿ äàííîãî ñëó÷àÿ ìíîæåñòâî X ndV ñîñòîèò ëèøü èçíóëü�âåêòîðà (ñì. ñëåäñòâèå 2). Òàêèì îáðàçîì, îñòàòî÷íîå ïîäïðîñòðàíñòâî ìèíè-ìàëüíîé ïîëóóíèòàðíîé äèëàòàöèè V èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà T � íóëåâîå, è Vïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîñòîðîííèé ñäâèã.¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
Î ñòðîåíèè îñòàòî÷íîãî ïîäïðîñòðàíñòâà ïîëóóíèòàðíîé äèëàòàöèè ëèí. . . 91Çàìå÷àíèå 5. �àññóæäåíèÿ ýòîãî ïóíêòà áåç òðóäà ïåðåíîñÿòñÿ íà ÷óòü áîëåå îá-ùèé ñëó÷àé X = C[a; b℄ ñ âíóòðåííèì ïðîèçâåäåíèåì [x; y℄X := bRax(a+b2 � t) y(t)dt èîïåðàòîðîì (Tx)(t) := tRa x(�) d� : Çàêëþ÷åíèåÈòàê, äàíî êîíñòðóêòèâíîå îïèñàíèå îñòàòî÷íîãî ïîäïðîñòðàíñòâà ïîëóóíèòàð-íîé äèëàòàöèè ëèíåéíîãî íåïðåðûâíîãî îïåðàòîðà, äåéñòâóþùåãî â áàíàõîâîì ïðî-ñòðàíñòâå; à òî÷íåå, îïåðàòîðà, ÿâëÿþùåãîñÿ ñòðåëêîé êàòåãîðèè B(mutadj) è èìåþ-ùåãî êâàäðàòè÷íîå ðàñùåïëåíèå ñâîåãî äå�åêòà èç B(mutadj) (ñì. ñòð. 82). Îñíîâíûìðåçóëüòàòîì ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ òåîðåìà 2 (ñòð. 86). Äàëüíåéøèå ïåðñïåêòèâû èññëå-äîâàíèé â òàêîì íàïðàâëåíèè � ýòî ïîïûòêè õîòÿ áû íàìåòèòü òå æå âåõè â ¾áà-íàõîâîé îáëàñòè¿, êîòîðûå áûëè ¾ïðîéäåíû ãèãàíòàìè¿ ([4, 9℄) â ¾ãèëüáåðòîâîé¿:ïîñòðîåíèå óíèòàðíîé äèëàòàöèè, ïîñòðîåíèå è èçó÷åíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé �óíê-öèè, ïîñòðîåíèå è èçó÷åíèå ìîäåëè è ïð.Ñïèñîê ëèòåðàòóðû1. �èíçáóðã Þ.Ï., Èîõâèäîâ È.Ñ. Èññëåäîâàíèÿ ïî ãåîìåòðèè áåñêîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâñ áèëèíåéíîé ìåòðèêîé // Óñïåõè ìàò. íàóê. � 1962. � Ò. 17, Âûï. 4. � Ñ. 3�562. Àðîíøàéí �. Êâàäðàòè÷íûå �îðìû íà âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ // Ìàòåìàòèêà (ñá. ïåðåâî-äîâ). � 1964. � Ò. 8, �5. � Ñ. 105�1683. Davis Ch. J�unitary dilation of a general operator // A
ta S
i. Math. (Szeged). � 1970. � Vol. 31. �P. 75�864. Ѽêå�àëüâè�Íàäü Á., Ôîÿø ×. �àðìîíè÷åñêèé àíàëèç îïåðàòîðîâ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàí-ñòâå. � Ì.:Ìèð, 1970. � 431 ñ.5. Davis Ch., Foia�s C. Operators with bounded
hara
teristi
fun
tion and their J�unitary dilation// A
ta S
i. Math. (Szeged). � 1971. � Vol. 32. � P. 127�1396. Øòðàóñ Â.À. Íåêîòîðûå âîïðîñû ãåîìåòðèè è ñïåêòðàëüíîé òåîðèè îïåðàòîðîâ â áàíàõîâûõïðîñòðàíñòâàõ ñ ýðìèòîâîé �îðìîé: Äèñ. . . êàíä. �èç.�ìàò. íàóê: 01.01.01. � Âîðîíåæ, 1972. �126 ñ.7. Bognar J. Inde�nite inner produ
t spa
es. � Berlin: Springer, 1974. � 225 p.8. M
Ennis B.W. Shifts on inde�nite inner produ
t spa
es // Pa
i�
J. Math. � 1979. � Vol. 81. �P. 113�1309. Ѽêå�àëüâè�Íàäü Á. Óíèòàðíûå äèëàòàöèè îïåðàòîðîâ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå èñìåæíûå âîïðîñû// �èññ Ô., Ѽêå�àëüâè�Íàäü Á. Ëåêöèè ïî �óíêöèîíàëüíîìó àíàëèçó. Äî-áàâëåíèå 2. � Ì.:Ìèð, 1979. � Ñ. 511�56010. Íèêîëüñêèé Í.Ê. Ëåêöèè îá îïåðàòîðå ñäâèãà. � Ì.:Íàóêà, 1980. � 384 ñ.11. M
Ennis B.W. Shifts on inde�nite inner produ
t spa
es. II. // Pa
i�
J. Math. � 1982. � Vol. 100. �P. 177�18312. Àçèçîâ Ò.ß., Èîõâèäîâ È.Ñ. Îñíîâû òåîðèè ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ â ïðîñòðàíñòâàõ ñ èíäå�è-íèòíîé ìåòðèêîé. � Ì.:Íàóêà, 1986. � 352 ñ.13. Íèêîëüñêèé Í.Ê., Õðóù¼â C.Â. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ìîäåëü è íåêîòîðûå çàäà÷è ñïåêòðàëüíîéòåîðèè �óíêöèé // Òðóäû Ìàòåìàòè÷åñêîãî èíñòèòóòà ÀÍ ÑÑÑ� èì. Ñòåêëîâà. � 1987 �Ò. 176. � Ñ. 97�210 ¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
92 Òûøêåâè÷ Ä.Ë.14. Constantines
u T., Gheondea A. On unitary dilations and
hara
teristi
fun
tions in inde�nite innerprodu
t spa
es // Oper. Theory: Adv. Appl. � Vol. 24. � Basel�Boston�Berlin: Birkh�auser, 1987. �P. 87�10215. Bruinsma P., Dijksma A., de Snoo H. S.V. Unitary dilations of
ontra
tions in �� // Oper. Theory:Adv. Appl. � Vol. 28. � Basel�Boston�Berlin: Birkh�auser, 1988. � P. 27�4216. Øòðàóñ Â.À. Ìîäåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå è �óíêöèîíàëüíîå èñ÷èñëåíèå îïåðàòîðîâ â ïðîñòðàí-ñòâàõ ñ èíäå�èíèòíîé ìåòðèêîé: Âàð�íò äèññ. . . ä�ðà �èç.�ìàò. íàóê: 01.01.01. �×åëÿáèíñê,1993. � 363 ñ.17. Êóòàòåëàäçå Ñ.Ñ. Îñíîâû �óíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. � 4�å èçä., èñïð. � Íîâîñèáèðñê: Èçä�âîÈí�òà ìàòåìàòèêè, 2001. � xii+354 ñ.18. Rovnyak J. Methods of Krein spa
e operator theory // Oper. Theory: Adv. Appl. � Vol. 134. � Basel�Boston�Berlin: Birkh�auser, 2002. � P. 31�6619. Òûøêåâè÷ Ä.Ë. Ýëåìåíòàðíûå ðîòàöèè îïåðàòîðîâ â êàòåãîðèÿõ ñ êâàäðàòè÷íûì ðàñùåïëå-íèåì // Òàâðè÷åñêèé Âåñòíèê Ìàòåìàòèêè è Èí�îðìàòèêè (ÒÂÈÌ). � 2004, Âûï. 1. � Ñ. 112�12420. Tyshkevi
h D. L. Elementary rotation of a semiunutary operator in regular Bana
h spa
es// Fundamental and Applied Mathemati
s. � 2006. � vol. 12, �6. � P. 175�19221. Òûøêåâè÷ Ä.Ë. Î ðàçëîæåíèè Âîëüäà ïîëóóíèòàðíîãî îïåðàòîðà â áàíàõîâûõ ïðîñòðàí-ñòâàõ ñ èíäå�èíèòíîé ìåòðèêîé // Ó÷¼íûå çàïèñêè Òàâðè÷åñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñè-òåòà èì. Â.È. Âåðíàäñêîãî. � 2006. � Ò.19(58), �1. � Ñ. 98�12422. Òûøêåâè÷ Ä.Ë. Îá îðòîãîíàëèçàöèè ñèñòåì âåêòîðîâ è ðàçëîæåíèè òèïà Âîëüäà â ëèíåéíûõïðîñòðàíñòâàõ ñ âíóòðåííèì ïðîèçâåäåíèåì: Äèñ. . . êàíä. �èç.�ìàò. íàóê: 01.01.01. � Õàðüêîâ,2008. � 187 ñ. Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 25.12.2008
¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
|