Оцінювання за зашумленними спостереженнями невідомих даних лінійних еліптичних рівнянь, що допускають змішане варіаційне формулювання
Получен новый класс систем вариационных уравнений через решения которых выражаются минимаксные оценки значений функционалов от неизвестных правых частей линейных эллиптических уравнений 2-го порядка....
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України
2009
|
| Назва видання: | Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18219 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оцінювання за зашумленними спостереженнями невідомих даних лінійних еліптичних рівнянь, що допускають змішане варіаційне формулювання / М.Ю. Горбатенко // Таврический вестник информатики и математики. — 2009. — № 1. — С. 93-102. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18219 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-182192011-03-19T12:04:20Z Оцінювання за зашумленними спостереженнями невідомих даних лінійних еліптичних рівнянь, що допускають змішане варіаційне формулювання Горбатенко, М.Ю. Получен новый класс систем вариационных уравнений через решения которых выражаются минимаксные оценки значений функционалов от неизвестных правых частей линейных эллиптических уравнений 2-го порядка. Одержаний новий клас систем варіаційних рівнянь через розв'язки яких виражаються мінімаксні оцінки значень функционалів від невідомих правих частин лінійних еліптичних рівнянь 2-го порядку. We obtain a new class of systems of variational equations via whose solutions the minimax estimates of values of functionals from unknown right-hand sides of the second order linear elliptic equations are expressed. 2009 Article Оцінювання за зашумленними спостереженнями невідомих даних лінійних еліптичних рівнянь, що допускають змішане варіаційне формулювання / М.Ю. Горбатенко // Таврический вестник информатики и математики. — 2009. — № 1. — С. 93-102. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1729-3901 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18219 519.8 uk Кримський науковий центр НАН України і МОН України Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Получен новый класс систем вариационных уравнений через решения которых выражаются минимаксные оценки значений функционалов от неизвестных правых частей линейных эллиптических уравнений 2-го порядка. |
| format |
Article |
| author |
Горбатенко, М.Ю. |
| spellingShingle |
Горбатенко, М.Ю. Оцінювання за зашумленними спостереженнями невідомих даних лінійних еліптичних рівнянь, що допускають змішане варіаційне формулювання Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| author_facet |
Горбатенко, М.Ю. |
| author_sort |
Горбатенко, М.Ю. |
| title |
Оцінювання за зашумленними спостереженнями невідомих даних лінійних еліптичних рівнянь, що допускають змішане варіаційне формулювання |
| title_short |
Оцінювання за зашумленними спостереженнями невідомих даних лінійних еліптичних рівнянь, що допускають змішане варіаційне формулювання |
| title_full |
Оцінювання за зашумленними спостереженнями невідомих даних лінійних еліптичних рівнянь, що допускають змішане варіаційне формулювання |
| title_fullStr |
Оцінювання за зашумленними спостереженнями невідомих даних лінійних еліптичних рівнянь, що допускають змішане варіаційне формулювання |
| title_full_unstemmed |
Оцінювання за зашумленними спостереженнями невідомих даних лінійних еліптичних рівнянь, що допускають змішане варіаційне формулювання |
| title_sort |
оцінювання за зашумленними спостереженнями невідомих даних лінійних еліптичних рівнянь, що допускають змішане варіаційне формулювання |
| publisher |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18219 |
| citation_txt |
Оцінювання за зашумленними спостереженнями невідомих даних лінійних еліптичних рівнянь, що допускають змішане варіаційне формулювання / М.Ю. Горбатенко // Таврический вестник информатики и математики. — 2009. — № 1. — С. 93-102. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| series |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| work_keys_str_mv |
AT gorbatenkomû ocínûvannâzazašumlennimisposterežennâminevídomihdanihlíníjnihelíptičnihrívnânʹŝodopuskaûtʹzmíšanevaríacíjneformulûvannâ |
| first_indexed |
2025-07-02T19:18:56Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:18:56Z |
| _version_ |
1836564020791869440 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.8ÎÖIÍÞÂÀÍÍß ÇÀ ÇÀØÓÌËÅÍÍÈÌÈ ÑÏÎÑÒÅ�ÅÆÅÍÍßÌÈÍÅÂIÄÎÌÈÕ ÄÀÍÈÕ ËIÍIÉÍÈÕ ÅËIÏÒÈ×ÍÈÕ �IÂÍßÍÜ, ÙÎÄÎÏÓÑÊÀÞÒÜ ÇÌIØÀÍÅ ÂÀ�IÀÖIÉÍÅ ÔÎ�ÌÓËÞÂÀÍÍÍß
�îðáàòåíêî Ì.Þ.×åðíiâåöüêèé íàöiîíàëüíèé óíiâåðñèòåò iì.Þ.Ôåäüêîâè÷à�àêóëüòåò ïðèêëàäíî¨ ìàòåìàòèêèâóë. Óíiâåðñèòåòñüêà 28, ì. ×åðíiâöi, 58000, Óêðà¨íàe-mail: Mikola.Gorbatenko�gmail.
omAbstra
t. We obtain a new
lass of systems of variational equations via whose solutions the minimaxestimates of values of fun
tionals from unknown right-hand sides of the se
ond order linear ellipti
equations are expressed. ÂñòóïÁiëüøiñòü ðåçóëüòàòiâ â ãàëóçi ìiíiìàêñíîãî îöiíþâàííÿ áóëà îäåðæàíà ç âèêîðè-ñòàííÿì òðàäèöiéíî¨ ïîñòàíîâêè âiäïîâiäíèõ âàðiàöiéíèõ êðàéîâèõ çàäà÷, äîâåäåí-íÿ iñíóâàííÿ i ¹äèíîñòi ðîçâ'ÿçêiâ ÿêèõ iñòîòíî ñïèðà¹òüñÿ íà âiäîìó ëåìó Ëàêñà�Ìiëüãðàìà (äèâ. [1℄ i âêàçàíó òàì ëiòåðàòóðó).Òàêèé ïiäõiä äîçâîëÿ¹, íàïðèêëàä, â ñòàöiîíàðíèõ çàäà÷àõ òåïëîïðîâiäíîñòi îöi-íþâàòè íåâiäîìèé ðîçïîäië ùiëüíîñòi äæåðåë çà ñïîñòåðåæåííÿìè òåìïåðàòóðè. Îä-íàê íå ìåíøèé iíòåðåñ ÿâëÿ¹ ñîáîþ òàêîæ çàäà÷à îöiíþâàííÿ öüîãî ðîçïîäiëó çàñïîñòåðåæåííÿìè òåïëîâîãî ïîòîêó. Âiäìiòèìî, ùî âiäîìi íà öåé ÷àñ ìåòîäè îöiíþ-âàííÿ íå äîçâîëÿþòü ðîçâ'ÿçóâàòè ïîäiáíi çàäà÷i. ðîáîòi çàïðîïîíîâàíî íîâèé ìåòîä, ÿêèé ä๠çìîãó îöiíþâàòè íåâiäîìèé ðîç-ïîäië ùiëüíiñòi äæåðåë, ÿê çà ñïîñòåðåæåííÿìè òåìïåðàòóðè, òàê i çà ñïîñòåðåæåí-íÿìè òåïëîâîãî ïîòîêó.�îçðîáëåíèé ìåòîä ñïèðà¹òüñÿ íà çìiøàíi âàðiàöiéíi ïîñòàíîâêè, çàïî÷àòêîâàíiâ ðîáîòàõ I. Áàáóøêè i Ô. Áðåööi (äèâ. [12℄).Íàçâàíi çàäà÷i îöiíþâàííÿ ìàþòü âàæëèâå ïðèêëàäíå çíà÷åííÿ â áàãàòüîõ ãàëó-çÿõ, òîìó ¨õ òåîðåòè÷íèé àíàëiç ¹ àêòóàëüíèì.1. Äîïîìiæíi �àêòè pîáîòi âèêîðèñòîâóþòüñÿ íàñòóïíi ïîçíà÷åííÿ:H � ãiëüáåðòîâèé ïðîñòið íàä R iç ñêàëÿðíèì äîáóòêîì (�; �)H i íîðìîþ k � kH ;JH 2 L (H;H 0) � îïåðàòîð, ùî íàçèâà¹òüñÿ içîìåòðè÷íèì içîìîð�içìîì, ÿêèé äi¹çH íà éîãî ñïðÿæåíèé ïðîñòiðH 0 òà âèçíà÷à¹òüñÿ ðiâíiñòþ1 (v; u)H = < v; JHu >H�H08u; v 2 H; äå < x; f >H�H0 := f(x) äëÿ x 2 H; f 2 H 0;x = (x1; : : : ; xn) � ïpîñòîpîâà çìiííà, ùî çìiíþ¹òüñÿ â îáìåæåíié âiäêðèòié ìíî-æèíi D � Rn ; ç ëiïøèöåâîþ ãpàíèöåþ �; dx = dx1 � � �dxn � ìiðà Ëåáåãà â Rn ;L2(D) � ïpîñòip �óíêöié, ñóìîâíèõ ç êâàäðàòîì â îáëàñòi D;1Öåé îïåðàòîð iñíó¹ â ñèëó òåîðåìè �iññà.
94 �îðáàòåíêî Ì.Þ.Hk(D) i Hk0 (D) � ñòàíäàðòíi ïðîñòîðè Ñîáîë¹âà öiëîãî ïîðÿäêó k > 0 â îáëàñòiD ç âiäïîâiäíîþ íîðìîþ;grad p := ( �p�x1 ; : : : ; �p�xn )T ; divv :=Pni=1 �vi�xi ;2H(div;D) := fv 2 L2(D)n; divv 2 L2(D)g � ãiëüáåðòiâ ïðîñòið ç íîðìîþkvkH(div;D) := fkvk2L2(D)n + kdivvk2L2(D)g1=2;Ïîçíà÷èìî ÷åðåç L2(
; H) ïðîñòið Áîõíåðà, ùî ñêëàäà¹òüñÿ ç âèïàäêîâèõ åëåìåí-òiâ � = �(!); âèçíà÷åíèõ íà äåÿêîìó éìîâiðíiñíîìó ïðîñòîði (
;B; P ) çi çíà÷åííÿìèâ H òàêèõ, ùî k�k2L2(
;H) = Z
k�(!)k2HdP (!) <1: (1)Â öüîìó âèïàäêó iñíó¹ iíòåãðàë Áîõíåðà E � := R
�(!) dP (!) 2 H; ùî íàçèâà¹òüñÿìàòåìàòè÷íèì ñïîäiâàííÿì àáî ñåðåäíiì âèïàäêîâîãî åëåìåíòà �(!); ùî çàäîâîëüíÿ¹óìîâó (h; E�)H = Z
(h; �(!))H dP (!) 8h 2 H: (2)Çàñòîñîâóþ÷è äî âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè � öå âèçíà÷åííÿ ïðèâîäèòü äî òðàäèöiéíîãîîçíà÷åííÿ ¨¨ ìàòåìàòè÷íîãî ñïîäiâàííÿ, îñêiëüêè iíòåãðàë Áîõíåðà (1) ïåðåõîäèòüó çâè÷àéíèé iíòåãðàë Ëåáåãà ïî éìîâiðíiñíié ìiði dP (!): Ó L2(
; H) ìîæíà ââåñòèñêàëÿðíèé äîáóòîê:(�; �)L2(
;H) := Z
(�(!); �(!))H dP (!) 8�; � 2 L2(
; H): (3)Âèêîðèñòîâóþ÷è çíàê ìàòåìàòè÷íîãî ñïîäiâàííÿ äëÿ âèïàäêîâèõ âåëè÷èí, ðiâíî-ñòi (1)�(3) ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿäi:k�k2L2(
;H) = Ek�(!)k2H ; (4)(h; E�)H = E (h; �(!))H 8h 2 H; (5)(�; �)L2(
;H) := E (�(!); �(!))H 8�; � 2 L2(
; H): (6)Ïðîñòið L2(
; H); îñíàùåíèé íîðìîþ (4) i ñêàëÿðíèì äîáóòêîì (6), ¹ ãiëüáåðòîâèì.Ïîñòàíîâêà çàäà÷i îöiíþâàííÿ. Íåõàé ñòàí ñèñòåìè õàðàêòåðèçó¹òüñÿ �óíê-öi¹þ '(x); ÿêà âèçíà÷àþòüñÿ ÿê óçàãàëüíåíèé ðîçâ'ÿçîê êðàéîâî¨ çàäà÷i Äiðiõëå:�div (A grad') = f â D; (7)' = 0 íà �; (8)ÿêó, óâiâøè çìiííó j = �A grad'; ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿäi åêâiâàëåíòíî¨ ñèñòåìèïåðøîãî ïîðÿäêó: A�1 j = grad ' â D; (9)div j = f â D; ' = 0 íà �; (10)äå A = A(x) = (aij(x)) ñèìåòðè÷íà n � n-ìàòðèöÿ ç åëåìåíòàìè aij 2 L1(D);äëÿ ÿêî¨ iñíóþòü òàêi äîäàòíi ÷èñëà �1 i �2; ùî âèêîíó¹òüñÿ íåðiâíiñòü2×àñòèííi ïîõiäíi, ùî âõîäÿòü äî âèðàçiâ grad p i divv ñëiä ðîçóìiòè ó ñåíñi ðîçïîäiëiâ ó D:¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
Îöiíþâàííÿ çà çàøóìëåííèìè ñïîñòåðåæåííÿìè íåâiäîìèõ äàíèõ ëiíiéíèõ : : : 95�1Pni=1 �2i � Pni;j=1 aij(x)�i�j � �2Pni=1 �2i 8x 2 D; � = (�1; : : : ; �n) 2 Rn ; ÷åðåç A�1ïîçíà÷åíà, îáåðíåíà äî A: Ó âiäïîâiäíîñòi ç [12℄, ïiä óçàãàëüíåíèì ðîçâ'ÿçêîì çàäà÷i(9)�(10) áóäåìî ðîçóìiòè ïàðó �óíêöié (j; ') 2 H(div;D) � L2(
); ùî çàäîâîëüíÿ¹ñïiââiäíîøåííÿìZD (A�1(x)j(x);q(x))Rndx+ ZD '(x)divq(x) dx = 0 8q 2 H(div;D) (11)ZD vdiv j(x) dx = ZD f(x)v(x) dx 8v 2 L2(D): (12)Çàóâàæèìî, ùî iç (11) i (12) âèïëèâ๠' 2 H10 (D):Ç �içè÷íî¨ òîêè çîðó, êðàéîâà çàäà÷à (4)�(6), àáî åêâiâàëåíòà äî íå¨ çàäà÷à (9)�(10), ìîäåëþ¹ óñòàëåíèé ïðîöåññ ðîçïîâñþäæåííÿ òåïëà â îáëàñòi D; ïðè öüîìó�óíêöi¨ '(x); A�1(x)j(x) i f(x) âiäïîâiäíî ìàþòü ñìèñë òåìïåðàòóðè, òåïëîâîãî ïî-òîêó i îá'¹ìíî¨ ùiëüíîñòi òåïëîâèõ äæåðåë â òî÷öi x:Âiäçíà÷èìî ùå, ùî äëÿ çíàõîäæåííÿ óçàãàëüíåíîãî ðîçâ'ÿçêó â [12℄ íà áàçi òàêçâàíîãî çìiøàíîãî ìåòîäó ñêií÷åííèõ åëåìåíòiâ, ðîçðîáëåíi å�åêòèâíi ÷èñåëüíi àë-ãîðèòìè.Ââàæà¹òüñÿ, ùî �óíêöiÿ f(x) ó ðiâíÿííÿõ (10) i (12) � íåâiäîìà i íàëåæèòü ìíî-æèíi G0 := n ~f 2 L2(D) : �Q( ~f � f0); ~f � f0�L2(D) � 1o; (13)äå f0 2 L2(D) � çàäàíà �óíêöiÿ, Q : L2(D) ! L2(D) � íåïåðåðâíèé äîäàòíüî âèçíà-÷åíèé ñàìîñïðÿæåíèé îïåðàòîð, îáåðíåíèé äëÿ ÿêîãî îáìåæåíèé.Çàäà÷à, ùî äîñëiäæó¹òüñÿ â äàíié ðîáîòi, ïîëÿã๠â òîìó, ùîá çà ñïîñòåðåæåííÿìâèïàäêîâèõ åëåìåíòiâ âèãëÿäóy1(j; �1) = C1j+ �1; y2('; �2) = C2'+ �2; (14)ùî íàëåæàòü ñåïàðàáåëüíèì ãiëüáåðòîâèì ïðîñòîðàì H1 i H2 íàä R âiäïîâiäíî, îöi-íèòè çíà÷åííÿ ëiíiéíîãî �óíêöiîíàëól(f) := ZD l0(x)f(x) dx (15)â êëàñi îöiíîê âèãëÿäódl(f) := (y1(j; �1); u1)H1 + (y2('; �2); u2)H2 +
; (16)äå (j; ') � íåâiäîìèé óçàãàëüíåíèé ðîçâ'ÿçîê çàäà÷i (9)�(10), l0 � çàäàíèé åëåìåíòiç L2(D)n i L2(D); u1 2 H1; u2 2 H2;
2 R; C1 2 L (L2(D)n; H1) i C2 2 L (L2(D); H2)�ëiíiéíi íåïåðåðâíi îïåðàòîðè, (�1; �2) 2 G1; a ÷åðåç G1 ïîçíà÷åíî ìíîæèíó âèïàäêî-âèõ åëåìåíòiâ ~�1 = ~�1(!) 2 L2(
; H1) i ~�2 = ~�2(!) 2 L2(
; H2) ç íóëüîâèìè ñåðåäíiìè,ùî çàäîâîëüíÿþòü óìîâó E ( ~Q1 ~�1; ~�1)H1 + E ( ~Q2 ~�2; ~�2)H2 � 1; (17)¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
96 �îðáàòåíêî Ì.Þ.â ÿêié ~Q1 i ~Q2 � çàäàíi â H1 i H2 îáìåæåíi ñàìîñïðÿæåíi äîäàòíüî âèçíà÷åíi îïåðà-òîðè, ùî ìàþòü îáìåæåíi îáåðíåíi.Îçíà÷åííÿ 1. Îöiíêó âèãëÿäóddl(f) = (y1(j; �1); û1)H1 + (y2('; �2); û2)H2 +
̂ (18)áóäåìî íàçèâàòè ìiíiìàêñíîþ îöiíêîþ l(f); ÿêùî åëåìåíòè û1 2 H1; û2 2 H2 i ÷èñëî
̂âèçíà÷àþòüñÿ iç óìîâè sup~f2G0;(~�1;~�2)2G1 E jl( ~f )�dl( ~f)j2 ! infu12H1;u22H2;
2R; (19)äe dl( ~f) := (y1(~j; ~�1); u1)H1 + (y2( ~'; ~�2); u2)H2 +
; (~j; ~') � ðîçâ'ÿçîê çàäà÷i (9)�(10)ïðè f(x) = ~f(x): Âåëè÷èíó % := fE jl( ~f ) �ddl( ~f)j2g1=2 áóäåìî íàçèâàòè ïîõèáêîþ ìiíi-ìàêñíîãî îöiíþâàííÿ âèðàçó l(f):2. Ïðåäñòàâëåííÿ äëÿ ìiíiìàêñíèõ îöiíîê i ïîõèáîê îöiíþâàííÿÂâåäåìî äî ðîçãëÿäó, ïðè �iêñîâàíîìó u := (u1; u2) 2 H1 �H2 := H; ïàðó �óíê-öié (z1(�; u); z2(�; u)) 2 H(div;D) � L2(D); ÿê ¹äèíèé pîçâ'ÿçîê íàñòóïíî¨ êðàéîâî¨çàäà÷i: A�1 z1(�; u) = grad z2(�; u)� Ct1JH1u1 â D; (20)div z1(�; u) = �Ct2JH2u2 â D; (21)z2(�; u) = 0 íà �; (22)ïiä ÿêèì ñëiä ðîçóìiòè ðîçâ'ÿçîê âàðiàöiéíî¨ çàäà÷iZD (A�1(x) z1(x; u);q(x))Rndx+ ZD z2(x; u)divq(x) dx == � ZD ((Ct1JH1u1)(x);q(x))Rndx 8q 2 H(div; D); (23)ZD v(x)div z1(x; u) dx = � ZD (Ct2JH2u2)(x)v(x) dx 8v 2 L2(D); â D; (24)äå Ct1 : H 01 ! L2(D)n i Ct2 : H 02 ! L2(D) � oïåðàòîðè, òðàíñïîíîâàíi äî C1 iC2, ùî âèçíà÷àþòüñÿ ñïiââiäíîøåííÿìè RD(v(x); Ct1w(x))Rndx =< Cv;w >H1�H01 äëÿâñiõ v 2 L2(D)n; w 2 H 01 i RD v(x)Ct2w(x) dx =< Cv;w >H2�H02 äëÿ âñiõ v 2 L2(D);w 2 H 02: Iç (23) i (24) ìà¹ìî z2 2 H10 (D):Ç òåîði¨ âàðiàöiéíèõ çàäà÷, ÿêi äîïóñêàþòü çìiøàíe �îðìóëþâàííÿ (äèâ., íà-ïðèêëàä, [12℄), âèïëèâà¹, ùî �óíêöi¨ z1(x; u1; u2); z2(x; u1; u2) âèçíà÷àþòüñÿ iç ðiâ-íÿíü (23)� (24) ¹äèíèì ÷èíîì. ¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
Îöiíþâàííÿ çà çàøóìëåííèìè ñïîñòåðåæåííÿìè íåâiäîìèõ äàíèõ ëiíiéíèõ : : : 97Òåîðåìà 1. Çàäà÷à çíàõîäæåííÿ ìiíiìàêñíî¨ îöiíêè âèðàçó l(f) åêâiâàëåíòíà çàäà÷iîïòèìàëüíîãî êåðóâàííÿ ñèñòåìîþ, ùî îïèñó¹òüñÿ âàðiàöiéíîþ çàäà÷åþ (23) � (24) ç�óíêöi¹þ âàðòîñòi âèäóI(u) = �Q�1(l0 + z2(�; u)); l0 + z2(�; u)�L2(D)++ ( ~Q�11 u1; u1)H1 + ( ~Q�12 u2; u2)H2! infu2H : (25)Äîâåäåííÿ.  íàñëiäîê (14)�(16) ìà¹ìî ïðè u 2 Hl( ~f)�dl( ~f) = (l0; ~f)L2(D) � (y1(j; �1); u1)H1 � (y2('; �2); u2)H2 �
== (l0; ~f)L2(D) � (u1; C1~j+ ~�1)H1 � (u2; C2 ~'+ ~�2)H2 �
== (l0; ~f)L2(D)� < JH1u1; C1~j >H01�H1 � < JH2u2; C2 ~' >H02�H2 �(u1; ~�1)H1�(u2; ~�2)H2�
== �(Ct1JH1u1;~j)L2(D)n� (Ct2JH2u2; ~')L2(D)+(l0; ~f)L2(D)� (u1; ~�1)H1� (u2; ~�2)H2�
: (26)Äàëi âðàõîâóþ÷è, ùî îïåðàòîðíi ðiâíÿííÿ (20)�(22) i (9)�(10) ïðè f = ~f , â ñè-ëó (23)�(24) i (11)�(12) åêâiâàëåíòíi âiäïîâiäíî íàñòóïíèì ñèñòåìàì âàðiàöiéíèõ ðiâ-íÿíü:ZD (A�1(x)�1(x); z1(x; u))Rndx+ ZD z2(x; u) div�1(x) dx == � ZD ((Ct1JH1u1)(x);�1(x))Rn dx 8�1 2 H(div;D); (27)ZD �2(x) div z1(x; u) dx = � ZD (Ct2JH2u2)(x)�2(x) dx 8�2 2 L2(D); (28)i ZD (A�1(x)~j(x); 1(x))Rndx+ ZD ~'(x) div 1(x) dx = 0 8 1 2 H(div;D); (29)ZD 2(x) div~j(x) dx = ZD ~f(x) 2(x) dx 8 2 2 L2(D); (30)ïåðåòâîðèìî òðåòié i ÷åòâåðòèé äîäàíîê â (26). Äëÿ öüîãî ïîêëàäåìî â (27) i (28)�1 =~j i �2 = ~': Òîäi îòðèìà¹ìîZD (A�1(x)~j(x); z1(x; u))Rndx+ ZD z2(x; u) div~j(x) dx == � ZD ((Ct1JH1u1)(x);~j(x))Rndx; (31)ZD ~'(x)div z1(x; u) dx = � ZD (Ct2JH2u2)(x) ~'(x) dx: (32)¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
98 �îðáàòåíêî Ì.Þ.Ç iíøîãî áîêó, ïiäñòàâëÿþ÷è â (29) i (30) 1 = z1(�; u) i 2 = z2(�; u); çíàõîäèìîZD (A�1(x)~j(x); z1(x; u))Rndx+ ZD ~'(x) div z1(x; u1; u2) dx = 0; (33)ZD z2(x; u) div~j(x) dx = ZD ~f(x)z2(x; u) dx: (34)Iç (31)�(34) îòðèìó¹ìî�(Ct1JH1u1;~j)L2(D)n � (Ct2JH2u2; ~')L2(D) = ZD (A�1(x)~j(x); z1(x; u))Rndx++ ZD z2(x; u) div~j(x) dx+ ZD ~'(x) div z1(x; u) dx = ZD (A�1(x)~j(x); z1(x; u))Rndx++ ZD ~'(x) div z1(x; u) dx+ ZD z2(x; u) div~j(x) dx = ( ~f; z2(�; u)L2(D) = ( ~f; z2(�; u)L2(D):Çâiäñè òà ç (26) âèïëèâà¹, ùîl(f)�dl(f) = ( ~f; l0 + z2(�; u)L2(D) � (u1; ~�1)H1 � (u2; ~�2)H2 �
== ( ~f � f0; l0 + z2(�; u))L2(D) + (f0; l0 + z2(�; u))L2(D) � (u1; ~�1)H1 � (u2; ~�2)H2 �
: ñèëó (5) çíàõîäèìîE ���l(f)�[(l(f)���2 = ���( ~f2 � f0; l0 + z2(�; u))L2(D) + (f0; l0 + z2(�; u))L2(D) �
���2++E [(u1 ; ~�1)H1 + (u2; ~�2)H2 ℄2:Ç îñòàííüî¨ ðiâíîñòi îòðèìó¹ìîinf
2R sup~f2G0;(~�1;~�)2G1 E jl(f) �dl(f)j2 == inf
2R sup~f2G0 h( ~f � f0; l0 + z2(�; u))L2(D) + (f0; l0 + z2(�; u))L2(D) �
i2++ sup(~�1;~�2)2G1 E [(~�1 ; u1)H1 + (~�2; u2)H2℄2= sup~f2G0 h( ~f2 � f (0)2 ; l0 + z2(�; u))L2(D)i2 + sup(~�1;~�2)2G1 E [(~�1 ; u1)H1 + (~�2; u2)H2℄2; (35)äå ií�iìóì ïî
äîñÿãà¹òüñÿ ïðè
= (f0; l0 + z2(�; u))L2(D): Äàëi, çàñòîñîâóþ÷è íåðiâ-íiñòü Êîøi-Áóíÿêiâñüêîãî, ç (13) îòðèìà¹ìî���( ~f � f0; l0 + z2(�; u))L2(D)���2 � (Q�1(l0+z2(�; u)); l0+z2(�; u))L2(D)(Q( ~f�f0); ~f�f0)L2(D) �� (Q�1(l0 + z2(�; u)); l0 + z2(�; u))L2(D);¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
Îöiíþâàííÿ çà çàøóìëåííèìè ñïîñòåðåæåííÿìè íåâiäîìèõ äàíèõ ëiíiéíèõ : : : 99ïðè÷îìó ðiâíiñòü äîñÿãà¹òüñÿ ïðè~f = f0 + Q�1(l0 + z2(�; u))(Q�1(l0 + z2(�; u)); l0 + z(�; u))1=2L2(D) :Çâiäñè, îòðèìó¹ìîsup~f2G0 h( ~f2 � f (0)2 ; l0 + z2(�; u))L2(D)i2 = (Q�1(l0 + z2(�; u)); l0 + z2(�; u))L2(D):Àíàëîãi÷íî, â ñèëó (17), çíàõîäèìîsup(~�1;~�2)2G1 E [(~�1 ; u1)H1 + (~�2; u2)H2 ℄2 = ( ~Q�11 u1; u1)H1 + ( ~Q�12 u2; u2)H2:Iç îñòàííiõ äâîõ ðiâíîñòåé òà ç (30) çíàõîäèìîinf
2R sup~f2G0;(~�1;~�)2G1 E jl( ~f )�dl( ~f)j2 = I(u);ïðè
= (l0 + z2(�; u); f0)L2(D); à I(u) âèçíà÷à¹òüñÿ �îðìóëîþ (25). � ðåçóëüòàòi ðîçâ'ÿçóâàííÿ çàäà÷i îïòèìàëüíîãî êåðóâàííÿ (23) � (25) ïðèõîäèìîäî íàñòóïíîãî ðåçóëüòàòó.Òåîðåìà 2. Iñíó¹ ¹äèíà ìiíiìàêñía îöiíêà çíà÷åííÿ l(f); ÿêà ì๠âèãëÿäddl(f) = (y1(j; �1); û1)H1 + (y2('; �2); û2)H2 +
̂äå
̂ = ZD (l0(x) + ẑ2(x))f0(x) dx; û1 = ~Q1C1p1; û2 = ~Q2C2p2; (36)à �óíêöi¨ ẑ1;p1 2 H(div; D) i ẑ2; p2 2 L2(D) çíàõîäÿòüñÿ ç ðîçâ'ÿçêó íàñòóïíî¨ ñèñòå-ìè âàðiàöiéíèõ ðiâíÿíü:ZD (A�1(x) ẑ1(x);q1(x))Rndx+ ZD ẑ2(x)divq1(x) dx == � ZD (Ct1JH1 ~Q1C1p1(x);q1(x))Rn dx 8q1 2 H(div; D); (37)ZD v1(x)div ẑ1(x) dx = � ZD (Ct2JH2 ~Q2C2p2(x)v1(x) dx 8v1 2 L2(D); (38)ZD (A�1(x)p1(x);q2(x))Rndx+ ZD p2(x)divq2(x) dx = 0 8q2 2 H(div; D); (39)ZD v2(x)divp1(x) dx = ZD v2(x)Q�1(l0 + ẑ2(�))(x) dx 8v2 2 L2(D): (40)¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
100 �îðáàòåíêî Ì.Þ.Çàäà÷à (37) � (40) îäíîçíà÷íî ðîçâ'ÿçíà. Ïîõèáêà ìiíiìàêñíîãî îöiíþâàííÿ % âèçíà-÷à¹òüñÿ �îðìóëîþ % = l(Q�1(l0 + ẑ2)): (41)Äîâåäåííÿ. Ïîêàæåìî, ùî ðîçâ'ÿçîê çàäà÷i îïòèìàëüíîãî êåðóâàííÿ (23)�(25) çâî-äèòüñÿ äî ðîçâ'ÿçêó ñèñòåìè ðiâíÿíü (37)-(40). Äëÿ öüîãî ñïî÷àòêó çàóâàæèìî, ùîiç âèãëÿäó �óíêöiîíàëó I(u) iñíó¹ ¹äèíèé åëåìåíò û :=2 H; íà ÿêîìó äîñÿãà¹òüñÿìiíiìóì öüîãî �óíêöiîíàëó, òîáòî I(û) = infu2H0 I(u): Òîìó, äëÿ áóäü-ÿêèõ � 2 Ri w = (w1; w2) 2 H0 âèêîíó¹òüñÿ ñïiââiäíîøåííÿ0 = ddtI(û+ �w)����=0 == (Q�1(l0 + z2(�; û)); ~z2(�;w))L2(D) + ( ~Q�11 û1; w1)H1 + ( ~Q�12 û2; w2)H2 ; (42)äå ÷åðåç (~z1(�;w); ~z2(�;w)) ïîçíà÷èíî ¹äèíèé ðîçâ'ÿçîê ñèñòåìè ðiâíÿíü (23), (24)ïðè u = w.Äàëi, ââiâøè �óíêöi¨ p1 2 H(div; D) i p2 2 L2(D) ÿê ¹äèíèé ðîçâ'ÿçîê çàäà÷iZD (A�1(x)p1(x);q2(x))Rndx+ ZD p2(x)divq2(x) dx = 0 8q2 2 H(div; D); (43)ZD v2(x)divp1(x) dx = ZD v2(x)Q�1(l0 + z2(�; û))(x) dx 8v2 2 L2(D): (44)i ïðîâiâøè ìiðêóâàííÿ ïîäiáíi äî òèõ, ÿêi âèêîðèñòîâóâàëèñü ïðè äîâåäåííi òåîðå-ìè 1, ïðèéäåìî äî íàñòóïíî¨ ðiâíîñòi(Q�1(l0 + z2(�; û)); ~z2(�;w))L2(D) = �(w1; C1p1)H1 � (w2; C2p2)H2 :çâiäêè, âíàñëiäîê (42), çíàéäåìî(w1; C1p1)H1 + (w2; C2p2)H2 = ( ~Q�11 û1; w1)H1 + ( ~Q�12 û2; w2)H2 ;Çâiäñè âèïëèâà¹, ùî û1 = ~Q1C1p1; û2 = ~Q2C2p2: Çàìiíþþ÷è â ïðàâèõ ÷àñòèíàõðiâíîñòåé (23), (24) u1 i u2 âiäïîâiäíî íà çíàéäåíi âèðàçè û1 i û2 i, ââîäÿ÷è ïîçíà÷åí-íÿ z1(x; û1; û2) =: ẑ1(x); z2(x; û1; û2) =: ẑ2(x); îòðèìó¹ìî, ùî �óíêöi¨ (ẑ1; ẑ2) i (p1; p2)çàäîâîëüíÿþòü ñèñòåìi ðiâíÿíü (37) � (40), îäíîçíà÷íà ðîçâ'ÿçíiñòü ÿêî¨ âèïëèâ๠ç¹äèíîñòi åëåìåíòó û = (û1; û2):Çíàéäåìî äàëi ïîõèáêó îöiíþâàííÿ. Ïiäñòàâëÿþ÷è çíà÷åííÿ û1 = ~Q1C1p1i û2 = ~Q2C2p2 ó âèðàç äëÿ I(û); îòðèìó¹ìî% = I(û) = (Q�1(l0+z2(�; û1; û2)); l0+z2(�; û1; û2))L2(D)+( ~Q�11 û1; û1)H1+( ~Q�12 û2; û2)H2 == (Q�1(l0 + ẑ2); l0 + ẑ2)L2(D) + (C1p1; ~Q1C1p1)H1 + (C2p2; ~Q2C2p2)H2: (45)Ïiäñòàâëÿþ÷è â (39) i (40) q2 = ẑ1 i v2 = ẑ2; çíàõîäèìîZD (A�1(x)p1(x); ẑ1(x))Rndx+ ZD p2(x)div ẑ1(x) dx = 0;¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
Îöiíþâàííÿ çà çàøóìëåííèìè ñïîñòåðåæåííÿìè íåâiäîìèõ äàíèõ ëiíiéíèõ : : : 101ZD ẑ2(x)divp1(x) dx = ZD ẑ2(x)Q�1(l0 + ẑ2)(x) dx:Ç îñòàííiõ äâîõ ñïiââiäíîøåíü i ç ñèñòåìè âàðiàöiéíèõ ðiâíÿíü (37) i (38), â ÿêèõïîêëàäåíî q1 = p1 i v1 = p2 ìàòèìåìî(Q�1(l0 + ẑ2); l0 + ẑ2)L2(D) = (Q�1l0; l0 + ẑ2)L2(D) + ZD ẑ2(x)div p̂1(x) dx++ ZD (A�1(x)p1(x); ẑ1(x))Rndx+ ZD p2(x)div ẑ1(x) dx == (l0; Q�1(l0 + ẑ2))L2(D) + ZD (A�1(x)p1(x); ẑ1(x))Rndx + ZD z2(x)divp1(x) dx++ ZD p2(x)div ẑ1(x) dx = (l0; Q�1(l0 + ẑ2))L2(D) � ZD (Ct1JH1 ~Q1C1p1(x);p1(x))Rn dx�� ZD Ct2JH2 ~Q2C2p2(x)p2(x) dx = l(Q�1(l0 + ẑ2))� (C1p1; ~Q1C1p1)H1 � (C2p2; ~Q2C2p2)H2:Çâiäñè i ç (45) âèïëèâ๠ñïiââiäíîøåííÿ (41) äëÿ âèðàçó ïîõèáêè îöiíþâàííÿ. �Iíøå ïðåäñòàâëåííÿ äëÿ ìiíiìàêñíî¨ îöiíêè, ÿêå íå çàëåæèòü âiä êîêðåòíîãîâèãëÿäó �óíêöèîíàëà l(f); ìiñòèòüñÿ â íàñòóïíîìó òâåðäæåííi.Òåîðåìà 3. Ìiíiìàêñíà îöiíêà âèðàçó l(f) ì๠âèãëÿä ddl(f) = l(f̂); äåf̂(x; !) = Q�1p̂2(x; !) + f (0)(x); a âèïàäêîâe ïîëe p̂2 2 L2(
; L2(D)) çíàõîäèòüñÿ çðîçâ'ÿçêó íàñòóïíîi ñèñòåìè âàðiàöiéíèõ
òîõàñòè÷íèõ ðiâíÿíü:ZD (A�1(x) p̂1(x; !);q1(x))Rndx+ ZD p̂2(x; !)divq1(x) dx == ZD (Ct1JH1 ~Q1(y1(j; �1(!))� C1ĵ(�; !))(x);q1(x))Rndx 8q1 2 H(div; D); (46)ZD v1(x)div p̂1(x; !) dx = ZD (Ct2JH2 ~Q2(y2('; �2(!))�� C2'̂(�; !))(x)v1(x) dx 8v1 2 L2(D); (47)ZD (A�1(x) ĵ(x; !);q2(x))Rn dx + ZD '̂(x; !)divq2(x) dx = 0 8q2 2 H(div; D); (48)ZD v2(x)div ĵ(x; !) dx = ZD v2(x)(Q�1p̂2(x; !) + f0(x)) dx 8v2 2 V2; (49)¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
102 �îðáàòåíêî Ì.Þ.â ÿêèõ ðiâíîñòi (46) � (49) âèêîíóþòüñÿ ç éìîâiðíiñòþ 1. Çàäà÷à (46) � (49) ì๠¹äèíèéðîçâ'ÿçîê.Äîâåäåííÿ öi¹¨ òåîðåìè ¹ àíàëîãi÷íèì äîâåäåííþ òåîðåìè 2.Íà çàâåðøåííÿ çàóâàæèìî, ùî êîðèñòóþ÷èñü çàïðîïîíîâàíèìè â [12℄ çìiøàíèìèìåòîäàìè ñêií÷åííèõ åëåìåíòiâ, äëÿ çíàõîäæåííÿ ðîçâÿçêiâ çàäà÷ (37) � (40) i (46) �(49) ìîæëèâî ðîçðîáèòè íàáëèæåíi ìåòîäè ¨õ ðîçâÿçàííÿ.Çàêëþ÷åííÿ ðîáîòi îòðèìàíi íàñòóïíi ðåçóëüòàòè: âñòàíîâëåíà åêâiâàëåíòíiñòü çàäà÷iìiíiìàêñíîãî îöiíþâàííÿ äåÿêié çàäà÷i îïòèìiçàöi¨; äîâåäåíi íîâi òâåðäæåííÿ ïðîçàãàëüíèé âèãëÿä ìiíiìàêñíèõ ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íèõ îöiíîê �óíêöiîíàëiâ âiä íåâi-äîìèõ ïðàâèõ ÷àñòèí ðiâíÿíü, ùî âõîäÿòü ó ïîñòàíîâêó ðîçãëÿäóâàíèõ â ðîáîòiêðàéîâèõ çàäà÷, i îòðèìàíi ïðåäñòàâëåííÿ äëÿ ïîõèáîê îöiíþâàííÿ.Ñïèñîê ëiòåðàòóðè1. Íàêîíå÷íèé Î.�. Îïòèìàëüíå êåðóâàííÿ òà îöiíþâàííÿ â ðiâíÿííÿõ iç ÷àñòèííèìè ïîõiäíèìè //Êè¨âñüêèé óíiâåðñèòåò, Êè¨â, 2004 ã., 103 ñ.2. Brezzi F., Fortin M. Mixed and hybrid �nite element methods // Springer-Verlag, New York, 1991,350 p.3. Ïîäëèïåíêî Þ.Ê., �ðèùóê Í.Â. Îïòèìàëüíîå ïðîãíîçèðîâàíèè ðåøåíèé ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâ-íåíèé ïî íàáëþäåíèÿì, ðàñïðåäåëåííûì íà ñèñòåìå ïîâåðõíîñòåé // Äîïîâiäi ÍÀÍ Óêðà¨íè. �2003. � �9.
. 107�112.4. Ïîäëèïåíêî Þ.Ê., �ðèùóê Í.Â. Îöiíþâàííÿ ïàðàìåòðiâ âèðîäæåíèõ åëiïòè÷íèõ êðàéîâèõçàäà÷ Íåéìàíà â óìîâàõ íåâèçíà÷åíîñòi //Âiñíèê Êè¨âñüêîãî óíiâåðñèòåòó. Ñåðiÿ: �içèêî-ìàòåìàòè÷íi íàóêè. � 2004. � �1. ñ. 262�269.5. Hiptmair R., S
hwab C. / Numeri
al treatment of partial di�erential equations. Le
ture notes for
ourse held by R. Hiptmair in WS03/04. pp. 1�2196. Íàêîíå÷íèé Î.�. Îïòèìàëüíå êåðóâàííÿ òà îöiíþâàííÿ â ðiâíÿííÿõ iç ÷àñòèííèìè ïîõiäíèìè. �Êè¨âñüêèé óíiâåðñèòåò, Êè¨â 2004. � 103 ñ.7. Íàêîíå÷íûé À.�.Ìèíèìàêñíîå îöåíèâàíèå �óíêöèîíàëîâ îò ðåøåíèé âàðèàöèîííûõ óðàâíåíèéâ ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ. � Êèåâ: Ê�Ó, 1985. � 82 ñ.8. Êðàñîâñêèé Í.Í. Òåîðèÿ óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì. � Ì.: Íàóêà, 1968. � 476 ñ.9. Ïîäëèïåíêî Þ.Ê. Çàäà÷è ìèíèìàêñíîãî îöåíèâàíèÿ äëÿ íåòåðîâûõ óðàâíåíèé â ãèëüáåðòîâîìïðîñòðàíñòâå // Äîïîâiäi ÍÀÍ Óêðà¨íè.Ñåðiÿ: Ìàòåìàòèêà. � 2005. � �12. ñ. 36-44.10. Ïîäëèïåíêî Þ.Ê., �ðèùóê Í.Â. Ìèíèìàêñíîå îöåíèâàíèå ðåøåíèé âûðîæäåííûõ êðàåâûõ çà-äà÷ Íåéìàíà äëÿ ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé ïî íàáëþäåíèÿì, ðàñïðåäåëåííûì íà ñèñòåìå ïî-âåðõíîñòåé // Ñèñòåìíi äîñëiäæåííÿ i ií�îðìàöiéíi òåõíîëîãi¨. � 2004. � �2
. 104�128.11. Ïîäëèïåíêî Þ.Ê., �ðèùóê Í.Â. Îöiíþâàííÿ ïàðàìåòðiâ âèðîäæåíèõ åëiïòè÷íèõ êðàéîâèõçàäà÷ Íåéìàíà â óìîâàõ íåâèçíà÷åíîñòi // Âiñíèê Êè¨âñüêîãî óíiâåðñèòåòó. Ñåðiÿ: �içèêî-ìàòåìàòè÷íi íàóêè. � 2004. � �1. ñ. 262�269.12. F. Brezzi, M. Fortin Mixed and hybrid �nite element methods. � Springer-Verlag, New York, 1991. �350 p. Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 16.09.2008¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
|