Стійкість розв'язків лінійних стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі
В работе получены необходимые и достаточные условия асимптотической сходимости в среднем квадратическом решений линейных систем стохастических дифференциальных уравнений Ито-Скорохода в гильбертовом пространстве....
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України
2009
|
| Назва видання: | Таврический вестник информатики и математики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18227 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Стійкість розв'язків лінійних стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі / А.В. Нікітін // Таврический вестник информатики и математики. — 2009. — № 2. — С. 33-37. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18227 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-182272011-03-19T12:04:27Z Стійкість розв'язків лінійних стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі Нікітін, А.В. В работе получены необходимые и достаточные условия асимптотической сходимости в среднем квадратическом решений линейных систем стохастических дифференциальных уравнений Ито-Скорохода в гильбертовом пространстве. У роботі отримані необхідні і достатні умови асимптотичної стійкості у середньому квадратичному розв'язків лінійних систем стохастичних диференціальних рівнянь Іто-Скорохода у гільбертовому просторі. We obtain conditions of asymptotical stability in mean square of solutions of systems of stohastic Ito-Skorochod differential equations in space of Hilbert. 2009 Article Стійкість розв'язків лінійних стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі / А.В. Нікітін // Таврический вестник информатики и математики. — 2009. — № 2. — С. 33-37. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1729-3901 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18227 519.21 uk Таврический вестник информатики и математики Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
В работе получены необходимые и достаточные условия асимптотической сходимости в среднем квадратическом решений линейных систем стохастических дифференциальных уравнений Ито-Скорохода в гильбертовом пространстве. |
| format |
Article |
| author |
Нікітін, А.В. |
| spellingShingle |
Нікітін, А.В. Стійкість розв'язків лінійних стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі Таврический вестник информатики и математики |
| author_facet |
Нікітін, А.В. |
| author_sort |
Нікітін, А.В. |
| title |
Стійкість розв'язків лінійних стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі |
| title_short |
Стійкість розв'язків лінійних стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі |
| title_full |
Стійкість розв'язків лінійних стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі |
| title_fullStr |
Стійкість розв'язків лінійних стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі |
| title_full_unstemmed |
Стійкість розв'язків лінійних стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі |
| title_sort |
стійкість розв'язків лінійних стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі |
| publisher |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18227 |
| citation_txt |
Стійкість розв'язків лінійних стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі / А.В. Нікітін // Таврический вестник информатики и математики. — 2009. — № 2. — С. 33-37. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
| series |
Таврический вестник информатики и математики |
| work_keys_str_mv |
AT níkítínav stíjkístʹrozvâzkívlíníjnihstohastičnihdiferencíalʹnihrívnânʹugílʹbertovomuprostorí |
| first_indexed |
2025-07-02T19:19:17Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:19:17Z |
| _version_ |
1836564042381000704 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21ÑÒIÉÊIÑÒÜ �ÎÇÂ'ßÇÊI ËIÍIÉÍÈÕ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÍÈÕÄÈÔÅ�ÅÍÖIÀËÜÍÈÕ �IÂÍßÍÜ Ó �IËÜÁÅ�ÒÎÂÎÌÓ Ï�ÎÑÒÎ�I
Íiêiòií À.Â.×åðíiâåöüêèé íàöiîíàëüíèé óíiâåðñèòåò iì. Þ. Ôåäüêîâè÷à�àêóëüòåò ïðèêëàäíî¨ ìàòåìàòèêèâóë. Êîöþáèíñüêîãî, 2, ì. ×åðíiâöi, 58012, Óêðà¨íàe-mail: nik_tol�rambler.ruAbstra
t.We obtain
onditions of asymptoti
al stability in mean square of solutions of systems ofstohastiñ Ito-Skoro
hod di�erential equations in spa
e of Hilbert.ÂñòóïÀñèìïòîòè÷íi çàäà÷i äëÿ ñòîõàñòè÷íèõ äè�åðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü âèíèêàëè iðîçâ'ÿçóâàëèñÿ îäíî÷àñíî ç âèíèêíåííÿì òåîði¨ ñòîõàñòè÷íèõ äè�åðåíöiàëüíèõ ðiâ-íÿíü, îñêiëüêè çàñíîâíèê öi¹¨ òåîði¨ É.I. �iõìàí ðîçãëÿäàâ çàäà÷i ïðî àñèìïòîòè÷íóïîâåäiíêó ÿê ïåðâèííi. Ñàìi ñòîõàñòè÷íi äè�åðåíöiàëüíi ðiâíÿííÿ áóäóâàëèñÿ É.I.�iõìàíîì äëÿ òîãî, ùîá ìîæíà áóëî íå òiëüêè ñòðîãî ñ�îðìóëþâàòè àñèìïòîòè÷íiçàäà÷i, àëå é ¨õ ðîçâ'ÿçóâàòè. Ìîæíà âèäiëèòè òàêi íàïðÿìêè äîñëiäæåííÿ àñèìïòî-òè÷íèõ âëàñòèâîñòåé äèíàìi÷íèõ ñèñòåì ç âèïàäêîâèìè çáóðåííÿìè:1) äîñëiäæåííÿ ïîâåäiíêè äèíàìi÷íî¨ ñèñòåìè ïðè t!1;2) äîñëiäæåííÿ ñèñòåìè, ùî çàëåæèòü âiä ìàëîãî ïàðàìåòðó " > 0 ïðè éîãî ïðÿ-ìóâàííi äî 0;3) äîñëiäæåííÿ ñèñòåìè ïðè îäíî÷àñíîìó ïðÿìóâàííi " äî 0, à t äî +1.Ïðè ðîçãëÿäi àñèìïòîòè÷íî¨ ïîâåäiíêè äèíàìi÷íî¨ ñèñòåìè äîñëiäíèêiâ öiêàâèòüñòàáiëiçàöiÿ öi¹¨ ñèñòåìè. Òåðìiíîì "ñòàáiëiçàöiÿ"ñèñòåìè ìîæíà õàðàêòåðèçóâàòèäåÿêó çàêîíîìiðíiñòü, ÿêà ïðèòàìàííà ïîâåäiíöi ñèñòåìè. Íàéáiëüø ãðóáèì õàðàê-òåðîì òàêî¨ ñòàáiëiçàöi¨ ¹ îáìåæåíiñòü çà éìîâiðíiñòþ, ç ÿêî¨ âèïëèâ๠åðãîäè÷íiñòüäèíàìi÷íî¨ ñèñòåìè. Öÿ âëàñòèâiñòü íàéáiëüø òî÷íî õàðàêòåðèçó¹ ïîâåäiíêó ñèñòåìèíà ïðîìiæêó [0;+1). Ïðè âèâ÷åííi ïîâåäiíêè äèíàìi÷íèõ ñèñòåì íà [0;+1) ïðè-ðîäíî âèíèêàþòü ïèòàííÿ ïðî àñèìïòîòè÷íó ñòiéêiñòü öi¹¨ ñèñòåìè â îêîëi ñòàíóðiâíîâàãè ÷è ¨¨ íåñòiéêiñòü. Äëÿ ñòîõàñòè÷íèõ ñèñòåì ïðè ïåâíèõ ïðèïóùåííÿõ içñòiéêîñòi âèïëèâ๠àñèìïòîòè÷íà ñòiéêiñòü. Îñîáëèâó çàöiêàâëåíiñòü ïðåäñòàâëÿþòüñîáîþ ëiíiéíi ñèñòåìè, äëÿ ÿêèõ �àçîâà íóëüîâà òî÷êà ¹ ¹äèíîþ òî÷êîþ ðiâíîâàãè.Òàêi ñèñòåìè àáî ñòiéêi, àáî íåñòiéêi, ïðè öüîìó ñèñòåìà àáî ïðÿìó¹ äî áåçìåæíîñòi,àáî îñöèëþ¹. Ïåðåíåñåííÿ ðåçóëüòàòiâ, ùî ñòîñóþòüñÿ ñòîõàñòè÷íèõ äè�åðåíöiàëü-íèõ ðiâíÿíü ó ñêií÷åííîâèìiðíèõ ïðîñòîðàõ íà áåçìåæíîâèìiðíèé âèïàäîê äàëåêîíå òðèâiàëüíå. Âèâ÷åííÿ ñòîõàñòè÷íèõ ëiíiéíèõ ñèñòåì ïðèçâåëî äî ïîíÿòòÿ ñòîõà-ñòè÷íî¨ ïiâãðóïè, ÿêå ââiâ À.Â. Ñêîðîõîä. Ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íà ñòiéêiñòü ðîçâ'ÿçêiâëiíiéíèõ ëiíiéíèõ ñòîõàñòè÷íèõ äè�åðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü ïîâ'ÿçàíà çi ñòiéêiñòþ âæåíåâèïàäêîâèõ ïiâãðóï ó áàíàõîâîìó ïðîñòîði ëiíiéíèõ îïåðàòîðiâ, ùî äiþòü ó ãiëü-áåðòîâîìó ïðîñòîði. Äàíà ðîáîòà ïðîäîâæó¹ öi äîñëiäæåííÿ i ïðèñâÿ÷åíà àíàëiçó
34 Íiêiòií À.Â.ñòiéêîñòi ñèñòåì ñòîõàñòè÷íèõ äè�åðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü ç ïóàññîíîâèìè çáóðåííÿìèó ãiëüáåðòîâîìó ïðîñòîði ó íåñêií÷åííîâèìiðíîìó âèïàäêó.1. Ïåðøèé ðîçäiëÍåõàé X � ãiëüáåðòîâèé ïðîñòið íàä R iç ñêàëÿðíèì äîáóòêîì (�; �)X i íîð-ìîþ k � kX ;. �îçãëÿíåìî âèïàäêîâèé ïðîöåñ fx(t) � x(t; !); t � t0g � Rn, çàäàíèéíà éìîâiðíiñíîìó ïðîñòîði (
; F; P ) ÿê ñèëüíèé ðîçâ'ÿçîê ñèñòåìè ñòîõàñòè÷íèõ äè-�åðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü âèãëÿäódx(t) = Ax(t)dt + 1Xi=1 [Bix(t)dWi(t) + ZU Ci(u)x(t)~�i(dt; du)℄; t > t0; (1)x(t0) = x0; (2)äå fW1(t)g; fW2(t)g; ::: � ñòàíäàðòíi âiíåðiâñüêi ïðîöåñè; ~�1(dt; du); ~�r(dt; du); ::: �öåíòðîâàíi ïóàññîíiâñüêi ìiðè; A;Bi; i = 1; 2; ::: � äiéñíi ìàòðèöi ðîçìiðó n � n;fCj(u)g; j = 1; 2; ::: � ìàòðèöi-�óíêöi¨ òàêi, ùî1Xj=1 ZU jCj(u)j2�j(du) < +1:Âèâ÷èìî ïèòàííÿ àñèìïòîòè÷íî¨ ïîâåäiíêè ðîçâ'ÿçêó ñèñòåìè (1), (2) íà íåñêií-÷åííîìó iíòåðâàëi ÷àñó.Òåîðåìà 1. (êðèòåðié àñèìïòîòè÷íî¨ ñòiéêîñòi ó ñåðåäíüîìó êâàäðàòè÷íîìó)Òðèâiàëüíèé ðîçâ'ÿçîê x(t) � 0 çàäà÷i (1), (2) àñèìïòîòè÷íî ñòiéêèé ó ñåðåäíüî-ìó êâàäðàòè÷íîìó òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè âèêîíóþòüñÿ íàñòóïíi óìîâè:1) ìàòðèöÿ À ãóðâiöåâà;2) iñíó¹ ðîçâ'ÿçîê H � HT > 0n�n óçàãàëüíåíîãî ìàòðè÷íîãî ðiâíÿííÿ Ñiëüâå-ñòðà ATH +HA+ 1Xi=1 [BTi HBi + ZU CTi (u)HCi(u)�i(du)℄ = �G; (3)äå G � GT > 0n�n.Äîâåäåííÿ. Îñêiëüêè ñèñòåìà (1) ëiíiéíà i àâòîíîìíà, òî ïîòðiáíó �óíêöiþ Ëÿïóíîâàñëiä øóêàòè ñåðåä äîäàòíî âèçíà÷åíèõ êâàäðàòè÷íèõ �îðì âèãëÿäóv(x) = xTHx; (4)äå íåâiäîìó ìàòðèöþ H � HT > 0n�n âèçíà÷èìî äàëi.Ïåðåâiðèìî óìîâè, ÿêèìè ïîâèííà âîëîäiòè �óíêöiÿ Ëÿïóíîâà, ùîá ðîçâÿçîêñèñòåìè áóâ àñèìïòîòè÷íî ñòiéêèì ó ñåðåäíüîìó êâàäðàòè÷íîìó:�min(H)jxj2 � v(x) = xTHx � �max(H)jxj2;Îá÷èñëèìî îïåðàòîð Lv(x) íà ðîçâ'ÿçêàõ ñèñòåìè (1):¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �2' 2009
Ñòiéêiñòü ðîçâ'ÿçêiâ ëiíiéíèõ ñòîõàñòè÷íèõ äè�åðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü ... 35Lv(x) = (rv(x); Ax) + 12sp 1Xi=1 r2v(x)Bix(Bix)T++ ZU v(x+ 1Xi=1 Ci(u)x)� v(x)� (rv(x); 1Xi=1 Ci(u)x(t))�i(du) == xTATHx+ xTHAx+ 1Xi=1 [xTBTi HBix + ZU xTCTi (u)HCi(u)x�i(du)℄ == xT [ATH +HA+ 1Xi=1 [BTi HBi + ZU CTi (u)HCi(u)�i(du)℄℄x:Îïåðàòîð Lv(x) áóäå âiä'¹ìíèì òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè ìàòðèöÿATH +HA+ 1Xi=1 [BTi HBi + ZU CTi (u)HCi(u)�i(du)℄áóäå âiä'¹ìíî âèçíà÷åíîþ, ùî, ó ñâîþ ÷åðãó, ìîæëèâî òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè ìàòðèöÿH � HT > 0n�n çíàõîäèòüñÿ ÿê ðîçâ'ÿçîê (3). Òåîðåìó äîâåäåíî. ��îçãëÿíåìî �óíêöiþ Ëÿïóíîâà ó âèãëÿäi êâàäðàòè÷íî¨ �îðìèv(x) = xTH0x; (5)äå H0 � HT0 > 0n�n � ðîçâ'ÿçîê ìàòðè÷íîãî ðiâíÿííÿ ËÿïóíîâàATH0 +H0A = �G; (6)äå G � GT > 0n�n. �iâíÿííÿ (6) âèíèê๠ç ðiâíÿííÿ (3) ïðè âiäñóòíîñòi âèïàäêîâèõçáóðåíü.Òåîðåìà 2. Äëÿ ãóðâiöåâî¨ ìàòðèöi A ðîçâ'ÿçîê x(t) � 0 çàäà÷i (1), (2) àñèìïòî-òè÷íî ñòiéêèé ó ñåðåäíüîìó êâàäðàòè÷íîìó òîäi, êîëè âèêîíó¹òüñÿ íåðiâíiñòüATH0 +H0A+ 1Xi=1 [BTi H0Bi + ZU CTi (u)H0Ci(u)�i(du)℄ < 0n�n;äå H0 � HT0 > 0n�n � ðîçâ'ÿçîê ìàòðè÷íîãî ðiâíÿííÿ Ëÿïóíîâà (6).Äîâåäåííÿ òåîðåìè 2 çäiéñíþ¹òüñÿ ïîâòîðåííÿì õîäó äîâåäåííÿ òåîðåìè 1 ñòî-ñîâíî �óíêöi¨ Ëÿïóíîâà (5).Òåîðåìà 3. �îçâ'ÿçîê x(t) � 0 çàäà÷i (1), (2) ç íåâèðîäæåíèìè ìàòðèöÿìè Biòà Ci(u), i = 1; 2; ::: àñèìïòîòè÷íî ñòiéêèé ó ñåðåäíüîìó êâàäðàòè÷íîìó, ÿêùîìàòðèöÿ A ãóðâiöåâà i âèêîíó¹òüñÿ ìàòðè÷íà íåðiâíiñòü1Xi=1 [BTi (H00 � I)Bi + ZU CTi (u)(H00 � I)Ci(u)�i(du)℄ � 0n�n;¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �2' 2009
36 Íiêiòií À.Â.äå H00 � HT00 > 0n�n � ðîçâ'ÿçîê ìàòðè÷íîãî ðiâíÿííÿ ËÿïóíîâàATH00 +H00A = � 1Xi=1 [BTi Bi + ZU CTi (u)Ci(u)�i(du)℄: (7)Äîâåäåííÿ. Îñêiëüêè ó âèïàäêó íåâèðîäæåíîñòi ìàòðèöü Bi òà Ci(u), i = 1; 2; :::,âèêîíóþòüñÿ íåðiâíîñòi1Xi=1 BTi Bi > 0n�n; 1Xi=1 ZU CTi (u)Ci(u)�i(du) > 0n�n;òî �óíêöi¹þ Ëÿïóíîâà äëÿ çáóðåíî¨ çàäà÷i (1), (2) ìîæå áóòè êâàäðàòè÷íà �îðìà�àçîâèõ çìiííèõ v(x) = xTH00x; (8)äå H00 � HT00 > 0n�n � ðîçâ'ÿçîê ìàòðè÷íîãî ðiâíÿííÿ Ëÿïóíîâà (7).Îñêiëüêè âèìàãà¹òüñÿ âiä'¹ìíiñòü Lv(x) íà ðîçâ'ÿçêàõ çàäà÷i (1), (2), òî âèêî-íó¹òüñÿ íåðiâíiñòüATH00 +H00A+ 1Xi=1 [BTi H00Bi + ZU CTi (u)H00Ci(u)�i(du)℄ < 0n�n;çâiäêè, âðàõîâóþ÷è (7), îòðèìó¹ìî òâåðäæåííÿ òåîðåìè 3. �Òåîðåìà 4. Äëÿ ñòiéêî¨ ìàòðèöi A i íåâèðîäæåíèõ ìàòðèöü Biòà Ci(u), i = 1; 2; :::, äîñòàòíüîþ óìîâîþ àñèìïòîòè÷íî¨ ñòiéêîñòi ó ñåðåä-íüîìó êâàäðàòè÷íîìó ðîçâ'ÿçêó x(t) � 0 çàäà÷i (1), (2) ¹ âèêîíàííÿ äëÿ ñëiäóìàòðèöi H00 íåðiâíîñòi trH00 < 1: (9)Äîâåäåííÿ. Çãiäíî òâåðäæåííÿ òåîðåìè 3, äîñòàòíüîþ óìîâîþ àñèìïòîòè÷íî¨ ñòié-êîñòi ó ñåðåäíüîìó êâàäðàòè÷íîìó ðîçâ'ÿçêó x(t) � 0 çàäà÷i (1), (2) ¹ âèêîíàííÿíåðiâíîñòi 1Xi=1 [BTi (H00 � I)Bi + ZU CTi (u)(H00 � I)Ci(u)�i(du)℄ � 0n�n;ÿêà ñïðàâåäëèâà òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè âiä'¹ìíî âèçíà÷åíîþ ¹ ìàòðèöÿ H00 � I.Çâiäñè âèïëèâà¹, ùî âñi âëàñíi çíà÷åííÿ äîäàòíî âèçíà÷åíî¨ ìàòðèöi H00 ïîâèííiáóòè ìåíøi çà îäèíèöþ, òîáòî �(H00) < 1. Äîñòàòíüîþ óìîâîþ òîãî, ùîá �(H00) < 1¹ íåðiâíiñòü (9) äëÿ ñëiäó ìàòðèöi H00 [3℄. Òåîðåìó 4 äîâåäåíî. �Çàêëþ÷åííÿÓ ðîáîòi îäåðæàíi íàñòóïíi ðåçóëüòàòè: âñòàíîâëåíi íåîáõiäíi i äîñòàòíióìîâè àñèìïòîòè÷íî¨ ñòiéêîñòi ó ñåðåäíüîìó êâàäðàòè÷íîìó ðîçâ'ÿçêiâ ËÑÄ�Iòî-Ñêîðîõîäà ó ãiëüáåðòîâîìó ïðîñòîði.¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �2' 2009
Ñòiéêiñòü ðîçâ'ÿçêiâ ëiíiéíèõ ñòîõàñòè÷íèõ äè�åðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü ... 37Ñïèñîê ëiòåðàòóðè1. �èõìàí È.È., Ñêîðîõîä À.Â. Ñòîõàñòè÷åñêèå äè��åðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è èõ ïðèëîæåíèÿ. �Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1982. � 612 ñ.2. Íiêiòií À.Â. Àñèìïòîòè÷íà ñòiéêiñòü ó ñåðåäíüîìó êâàäðàòè÷íîìó ðîçâ'ÿçêiâ ñèñòåì ëiíiéíèõäè�åðåíöiàëüíî-ðiçíèöåâèõ ðiâíÿíü ç âåêòîðíèì âiíåðiâñüêèì ïðîöåñîì òà ïóàññîíiâñüêèìè ïå-ðåìèêàííÿìè // Âiñíèê Êè¨âñüêîãî óíiâåðñèòåòó. Ñåðiÿ: �içèêî-ìàòåìàòè÷íi íàóêè, Â.3, 2001. �Ñ. 312-319.3. �àíòìàõåð Ô.�. Òåîðèÿ ìàòðèö. � Ì.: Íàóêà, 1967. � 576 ñ.Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 04.04.2009
¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �2' 2009
|