Консервативна кінцево-різницева схема задачі Стефана для рівняння диффузії
Консервативная конечно-разностная схема решения уравнения диффузии со свободной границей адаптирована для программной реализации в системе MathCad. Разработанная программа позволяет исследовать решения для произвольной функции,определяющей свободную границу....
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Таврический вестник информатики и математики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18228 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Консервативна кінцево-різницева схема задачі Стефана для рівняння диффузії / Г.В. Славко // Таврический вестник информатики и математики. — 2009. — № 2. — С. 39-46. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18228 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-182282011-03-19T12:04:24Z Консервативна кінцево-різницева схема задачі Стефана для рівняння диффузії Славко, Г.В. Консервативная конечно-разностная схема решения уравнения диффузии со свободной границей адаптирована для программной реализации в системе MathCad. Разработанная программа позволяет исследовать решения для произвольной функции,определяющей свободную границу. Консервативна кінцево-різницева схема розв'язання рівняння дифузії з вільною межею адаптована для створення програми у системі MathCad. Розроблена програма дозволяє досліджувати розв'язок для будь-якої функції, що визначає вільну межу. Conservative finit-difference solution's scheme of an equation of diffusion with a free boundary is adapted for a software realization in MathCAD. Developed program allows to research solutions for arbitrary function which determines a free boundary. 2009 Article Консервативна кінцево-різницева схема задачі Стефана для рівняння диффузії / Г.В. Славко // Таврический вестник информатики и математики. — 2009. — № 2. — С. 39-46. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1729-3901 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18228 519.6 uk Таврический вестник информатики и математики Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Консервативная конечно-разностная схема решения уравнения диффузии со свободной границей адаптирована для программной реализации в системе MathCad. Разработанная программа позволяет исследовать решения для произвольной функции,определяющей свободную границу. |
| format |
Article |
| author |
Славко, Г.В. |
| spellingShingle |
Славко, Г.В. Консервативна кінцево-різницева схема задачі Стефана для рівняння диффузії Таврический вестник информатики и математики |
| author_facet |
Славко, Г.В. |
| author_sort |
Славко, Г.В. |
| title |
Консервативна кінцево-різницева схема задачі Стефана для рівняння диффузії |
| title_short |
Консервативна кінцево-різницева схема задачі Стефана для рівняння диффузії |
| title_full |
Консервативна кінцево-різницева схема задачі Стефана для рівняння диффузії |
| title_fullStr |
Консервативна кінцево-різницева схема задачі Стефана для рівняння диффузії |
| title_full_unstemmed |
Консервативна кінцево-різницева схема задачі Стефана для рівняння диффузії |
| title_sort |
консервативна кінцево-різницева схема задачі стефана для рівняння диффузії |
| publisher |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18228 |
| citation_txt |
Консервативна кінцево-різницева схема задачі Стефана для рівняння диффузії / Г.В. Славко // Таврический вестник информатики и математики. — 2009. — № 2. — С. 39-46. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
| series |
Таврический вестник информатики и математики |
| work_keys_str_mv |
AT slavkogv konservativnakíncevoríznicevashemazadačístefanadlârívnânnâdiffuzíí |
| first_indexed |
2025-07-02T19:19:19Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:19:19Z |
| _version_ |
1836564045017120768 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6ÊÎÍÑÅ�ÂÀÒÈÂÍÀ ÊIÍÖÅÂÎ-�IÇÍÈÖÅÂÀ ÑÕÅÌÀ ÇÀÄÀ×IÑÒÅÔÀÍÀ ÄËß �IÂÍßÍÍß ÄÈÔÓÇI¨
Ñëàâêî �.Â.Êðåìåí÷óöüêèé äåðæàâíèé ïîëiòåõíi÷íèé óíiâåðñèòåòèì. Ìèõàéëà Îñòðîãðàäñüêîãî�àêóëüòåò åëåêòðîíiêè i êîìï'þòåðíî¨ iíæåíåði¨âóë. Ïåðøîòðàâíåâà, 20, ì. Êðåìåí÷óê, 39600, Óêðà¨íàe-mail: emath�mail.ruAbstra
t. Conservative �nit-di�eren
e solution's s
heme of an equation of di�usion with a freeboundary is adapted for a software realization in MathCAD. Developed program allows to resear
hsolutions for arbitrary fun
tion whi
h determines a free boundary.ÂñòóïÌåòîä êiíöåâèõ ðiçíèöü � íàéáiëüø ðîçïîâñþäæåíèé ÷èñëîâèé ìåòîä ðîçâ'ÿçàííÿðiâíÿíü ç ÷àñòèííèìè ïîõiäíèìè. Êëàñè÷íèì ïðèêëàäîì ¹ çàñòîñóâàííÿ öüîãî ìåòî-äó äëÿ ðîçâ'ÿçàííÿ ðiâíÿííÿ äè�óçi¨ � îäíîâèìiðíîãî ïî ïðîñòîðîâié êîîðäèíàòiðiâíÿííÿ ïàðàáîëi÷íîãî òèïó. Çàäà÷i êðèñòàëiçàöi¨ âèìàãàþòü ïîáóäîâè àëãîðèòìóðîçâ'ÿçàííÿ òàêèõ ðiâíÿíü, çà óìîâè âiëüíî¨ ìåæi, ùî âèçíà÷à¹òüñÿ äåÿêîþ �óíê-öi¹þ, òà ãðàíè÷íèõ óìîâ òðåòüîãî ðîäó [1℄. Ñïåöè�iêà ìîâ ïðîãðàìóâàííÿ ñó÷àñíèõìàòåìàòè÷íèõ ïðîãðàì Maple, MathCad, Matlab òà iíøèõ ïîòðåáó¹ àäàïòàöi¨ âiäîìèõàëãîðèòìiâ êiíöåâî-ðiçíèöåâèõ ñõåì ó âiäïîâiäíîñòi ç ¨õ ñåìàíòèêîþ ç óðàõóâàííÿìîñîáëèâîñòåé íàêîïè÷åííÿ ïîõèáêè îá÷èñëåíü [2℄. Áåçïåðå÷íi ïåðåâàãè çàñòîñóâàííÿöèõ ïðîãðàì âèçíà÷àþòüñÿ øâèäêiñòþ ïðîãðàìóâàííÿ òà íàî÷íiñòþ ïîäàííÿ îòðè-ìàíèõ ðåçóëüòàòiâ i êîìïåíñóþòü âèòðàòè ÷àñó íà ðîçðîáêó òàêèõ àëãîðèòìiâ. Òèìíå ìåíøå áåçïîñåðåäí¹ ïðîãðàìóâàííÿ ó öèõ ïðîãðàìàõ â áiëüøîñòi âèïàäêiâ âèÿâ-ëÿ¹òüñÿ áiëüø å�åêòèâíèì, íiæ âèêîðèñòàííÿ âáóäîâàíèõ �óíêöié.1. Çàäà÷à Ñòå�àíà ó çàãàëüíîìó âèãëÿäiÎñîáëèâiñòþ çàäà÷i (1)-(4) ¹ âiëüíà ìåæà, ùî âèçíà÷à¹òüñÿ �óíêöi¹þ s(t) òà ãðà-íè÷íi óìîâè òðåòüîãî ðîäó (êîìáiíàöiÿ øóêàíî¨ �óíêöi¨ òà ¨¨ ïîõiäíî¨ ïî ïðîñòîðîâiéêîîðäèíàòi) çà íàÿâíîñòi ïîõiäíî¨ ds/dt �óíêöi¨, ùî âèçíà÷๠âiëüíó ãðàíèöþ. Òàêèì÷èíîì, ìà¹ìî çàäà÷ó òèïó Ñòå�àíà:a2�2u�x2 � �u�t = f(t); s (t) < x < L; t > 0; (1.1)ãðàíè÷íi óìîâè: ��u (s (t) ; t)�x + �u (s (t) ; t) = '0 (t) ; x = s(t); t > 0; (1.2)
�u (L; t)�x + Æu (L; t) = 'L (t) ; x = L; t > 0; (1.3)ïî÷àòêîâi óìîâè: u (x; 0) = (x) ; s (0) � x � L; t = 0: (1.4)
40 Ñëàâêî �.Â.�ðàíè÷íi óìîâè çàäà÷i äîçâîëÿþòü ïîáóäóâàòè ÿâíó êiíöåâî-ðiçíèöåâó ñõåìó. �¨ ïå-ðåâàãîþ áåçóìîâíî ¹ ìîæëèâiñòü îòðèìàííÿ çíà÷åíü øóêàíî¨ ñiòêîâî¨ �óíêöi¨ íàíàñòóïíîìó ÷àñîâîìó øàði ÷åðåç âiäîìi çíà÷åííÿ ïîïåðåäíüîãî øàðó, à òîìó ïðîã-ðàìíà ðåàëiçàöi¨ ïðîñòà (áåç ðîçâ'ÿçàííÿ ñèñòåì ëiíiéíèõ ðiâíÿíü). Àëå, ÿê âiäîìî,çàñòîñóâàííÿ öi¹¨ ñõåìè îáìåæó¹òüñÿ âèìîãîþ óìîâî¨ ñòiéêîñòi a2�.�hk�2 � 1/2 , ÿêàâèçíà÷๠ìîæëèâi êðîêîâi õàðàêòåðèñòèêè ñiòêè �; hk. Íàÿâíiñòü âiëüíî¨ ìåæi îáóìî-âëþ¹ çìiíó äëÿ ÷àñîâèõ êðîêiâ ïðîñòîðîâèõ êðîêiâ, à öå â ñâîþ ÷åðãó íàêëàä๠áiëüøæîðñòêi âèìîãè äî ñiòêè. Òàêèì ÷èíîì, ÿâíó ðiçíèöåâó ñõåìó çà êðèòåðiÿìè çáiæíîñòiñëiä ââàæàòè íåïðèéíÿòíîþ äëÿ ðîçâ'ÿçàííÿ öi¹¨ çàäà÷i. Òîìó áóäóâàòèìåìî íåÿâíóñõåìó, ÿêà õî÷ i ïðèçâîäèòü äî íåîáõiäíîñòi ðîçâ'ÿçàííÿ ñèñòåìè ëiíiéíèõ ðiâíÿíü,àëå ¹ àáñîëþòíî ñòiéêîþ, ùî îñîáëèâî âàæëèâî äëÿ çìiííî¨ ñiòêè. Çàçíà÷èìî òóò, ùîäëÿ íåÿâíî¨ ñõåìè ÷èñåëüíèé ðîçâ'ÿçîê ó ðàçi éîãî çðîñòàííÿ ¹ çàâèùåíèì, à ó ðàçiñïàäàííÿ � çàíèæåíèì. Öå âiäáóâà¹òüñÿ çà ðàõóíîê òîãî, ùî ÷èñëîâèé ðîçâ'ÿçîê çàíåÿâíîþ ñõåìîþ âèçíà÷à¹òüñÿ çíà÷åííÿìè ñiòêîâî¨ �óíêöi¨ íà âåðõíüîìó ÷àñîâîìóøàði. 2. Ïîáóäîâà êîíñåðâàòèâíî¨ ðiçíèöåâî¨ ñõåìèÄëÿ ïîáóäîâè ðiçíèöåâî¨ ñõåìè äëÿ çàäà÷i (1)-(4) ñêîðèñòà¹ìîñÿ ìåòîäèêîþ ðî-áîòè [3℄. Ïîáóäó¹ìî äëÿ îáëàñòis (t) < x < L; 0 � t � T; T <1êiíöåâî-ðiçíèöåâó ñiòêó tk = k � �; k = 0;M; j = 0; N;!h� = �xkj = sk + j � hk; hk = �L� sk�ÆN; sk = s �tk� :Íàâåäåìî äåÿêi ïîÿñíåííÿ. Êðîê çà ÷àñîì � ¹ íåçìiííèì äëÿ âñiõ øàðiâ ñiò-êè � = T/M , äåM � êiëüêiñòü ÷àñîâèõ iíòåðâàëiâ, à ïðîñòîðîâèé êðîê hk çìiíþ¹òüñÿó âiäïîâiäíîñòi ç âèðàçîì hk = �1� sk�ÆN , äå N � êiëüêiñòü ïðîñòîðîâèõ iíòåðâàëiâ.Çìiíà ïðîñòîðîâîãî êðîêó íà êîæíîìó ÷àñîâîìó êðîöi ïðèçâîäèòü äî çàëåæíîñòiïðîñòîðîâèõ êîîðäèíàò xkj âóçëiâ ñiòêè âiä ÷àñîâîãî øàðó. ×àñîâi øàðè âèçíà÷àþòü-ñÿ âèðàçîì tk = k � � . Òàêèì ÷èíîì, áóäåìî ìàòè ñiòêó, ÿêà àäàïòó¹òüñÿ äî çìiíèìåæi ÷àñîâî-ïðîñòîðîâî¨ îáëàñòi. Ó âóçëàõ ñiòêè âèçíà÷àòèìåìî øóêàíó �óíêöiþçàäà÷i ukj = u �xkj ; tk� . Äè�åðåíöiéíi îïåðàòîðè àïðîêñèìó¹ìî âiäíîøåííÿì êiíöåâèõðiçíèöü äëÿ k -ãî òà k + 1 ÷àñîâèõ øàðiâ:�u�t ����k+1j = uk+1j � ukj� +O (�) ; (2.1)�2u�x2 ����k+1j = uk+1j+1 � 2uk+1j + uk+1j�1(hk+1)2 +O ��hk+1�2� : (2.2)Ïiäñòàâèìî (5),(6) â (1), îòðèìà¹ìî äëÿ âíóòðiøíiõ âóçëiâ ñiòêè:uk+1j � ukj� = a2uk+1j+1 � 2uk+1j + uk+1j�1(hk+1)2 + f �tk+1�+O �� + �hk+1�2� : (2.3)¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �2' 2009
Êîíñåðâàòèâíà êiíöåâî-ðiçíèöåâà ñõåìà çàäà÷i Ñòå�àíà 41ßêùî ïîõiäíi ïåðøîãî ïîðÿäêó, ùî ïðèñóòíi â ãðàíè÷íèõ óìîâàõ àïðîêñèìóâàòèâiäíîøåííÿìè ïðàâèõ i ëiâèõ êiíöåâèõ ðiçíèöü:�u�x ����k+1j=0 = uk+11 � uk+10hk+1 +O �hk+1� ; �u�x ����k+1j=N = uk+1N � uk+1N�1hk+1 +O �hk+1� ; (2.4)òî àïðîêñèìàöiÿ áóäå íàáëèæåííÿì ïåðøîãî ïîðÿäêó i çàãàëüíèé ïîðÿäîê àïðîêñè-ìàöi¨ ñõåìè áóäå ïåðøèì, íå çâàæàþ÷è íà òå, ùî â iíøèõ âóçëàõ ïîðÿäîê àïðîêñèìà-öi¨ ïî ïðîñòîðîâèì çìiííèì äðóãèé. Òàêèì ÷èíîì, äëÿ çáåðåæåííÿ äðóãîãî ïîðÿäêóàïðîêñèìàöi¨, â ãðàíè÷íèõ âóçëàõ ðîçêëàäåìî uk+11 â îêîëi òî÷êè x = s �tk+1� â ðÿäÒåéëîðà çà çìiííîþ x äî òðåòüî¨ ïîõiäíî¨ âêëþ÷íî, à uk+1N�1 â òàêèé æå ðÿä â îêîëiòî÷êè x = L . Çà óìîâè, ùî �óíêöiÿ u (x; t) â ãðàíè÷íèõ âóçëàõ ì๠ïåðøi ïîõiäíi çà÷àñîì i äðóãi ïî x , ìàòèìåìî:uk+11 = u �sk+1 + hk+1; tk+1� = uk+10 + �u�x ����k+10 hk+1 + �2u�x2 ����k+10 �hk+1�22 +O ��hk+1�3� ;(2.5)uk+1N�1 = u �L� hk+1; tk+1� = uk+1N ��u�x ����k+1N hk+1+ �2u�x2 ����k+1N �hk+1�22 +O ��hk+1�3� : (2.6)Ç (9) i (10) îòðèìà¹ìî:�u�x ����k+10 = uk+11 � uk+10hk+1 � �2u�x2 ����k+10 hk+12 +O ��hk+1�2� ; (2.7)�u�x ����k+1N = uk+1N � uk+1N�1hk+1 + �2u�x2 ����k+1N hk+12 +O ��hk+1�2� : (2.8)Iç (1) ìàòèìåìî: �2u�x2 = 1a2 ��u�t + f(t)� : (2.9)Ïåðåõîäÿ÷è â (13) äî ãðàíè÷íèõ âóçëiâ, îòðèìà¹ìî:�2u�x2 ����k+1j=0;N = 1a2 �u�t ����k+1j=0;N + f �tk+1�! : (2.10)Âðàõîâóþ÷è àïðîêñèìàöiþ (5) çàïèøåìî (14) ó âèãëÿäi:�2u�x2 ����k+10 = 1a2 uk+10 � uk0� + f �tk+1�a2 +O (�) ; (2.11)�2u�x2 ����k+1N = 1a2 uk+1N � ukN� + f �tk+1�a2 +O (�) : (2.12)Ïiäñòàâèìî (15) i (16) ó (11) i (12), âiäïîâiäíî:�u�x ����k+10 = uk+11 � uk+10hk+1 � hk+12a2 uk+10 � uk0� � f �tk+1� hk+12a2 +O ��hk+1�2 + �� ; (2.13)¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �2' 2009
42 Ñëàâêî �.Â.�u�x ����k+1N = uk+1N � uk+1N�1hk+1 + hk+12a2 uk+1N � ukN� + f �tk+1� hk+12a2 +O ��hk+1�2 + �� : (2.14)Òàêèì ÷èíîì, îòðèìàëè àïðîêñèìàöiþ äðóãîãî ïîðÿäêó i áóäåìî âèêîðèñòîâó-âàòè ¨¨, à íå àïðîêñèìàöiþ (8) ïåðøîãî ïîðÿäêó. Çàçíà÷èìî òiëüêè, ùî øàð (j = 0)âiäïîâiä๠ëiâié (âiëüíié) ìåæi îáëàñòi �xk0 = sk�, à (j = N) � ïðàâié �xkN = L�. Ïiä-ñòàâèìî (17) ó (2), îòðèìà¹ìî äëÿ ãðàíè÷íèõ âóçëiâ ñiòêè:�uk+11 � uk+10hk+1 � �hk+12a2 uk+10 � uk0� � �f �tk+1�hk+12a2 + �uk+10 = '0 �tk+1� :Ïiñëÿ ïåðåòâîðåíü:��hk+12a2� + �hk+1 � �� uk+10 +� ��hk+1�uk+11 = �hk+12a2� uk0 � '0 �tk+1�� �f �tk+1�hk+12a2 ; àáî� 2a2hk+1 + hk+1� � 2a2�� � uk+10 + ��2a2hk+1 � uk+11 = hk+1� uk0 � '0 �tk+1� 2a2� � f �tk+1�hk+1:Ââåäåìî ïîçíà÷åííÿ:a0 = 0; b0 = 2a2hk+1 + hk+1� � 2a2�� ;
0 = �2a2hk+1 ;d0 = hk+1� uk0 � '0 �tk+1� 2a2� � f �tk+1�hk+1; (2.15)òîäi b0uk+10 +
0uk+11 = d0; j = 0: (2.16)Òåïåð ïiäñòàâèìî (18) ó (3) i âèêîíà¹ìî àíàëîãi÷íi ïåðåòâîðåííÿ:� �
hk+1� uk+1N�1 + �
hk+1 +
hk+12a2� + � uk+1N = 'L �tk+1�+
hk+12a2� ukN �
f �tk+1�hk+12a2 ;��2a2hk+1 �uk+1N�1 + � 2a2hk+1 + hk+1� + 2a2Æ
� uk+1N = 2a2
'L �tk+1�+ hk+1� ukN � f �tk+1�hk+1:Ââåäåìî ïîçíà÷åííÿ:aN = �2a2hk+1 ; bN = 2a2hk+1 + hk+1� + 2a2Æ
;
N = 0;dN = 2a2
'L �tk+1�+ hk+1� ukN � f �tk+1�hk+1: (2.17)Ç óðàõóâàííÿì ïîçíà÷åíü, îòðèìà¹ìî:aNuk+1N�1 + bNuk+1N = dN ; j = N: (2.18)¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �2' 2009
Êîíñåðâàòèâíà êiíöåâî-ðiçíèöåâà ñõåìà çàäà÷i Ñòå�àíà 43Òàêèì ÷èíîì, ìà¹ìî àïðîêñèìàöiþ ãðàíè÷íèõ óìîâ òðåòüîãî ðîäó íà âiëüíié i ïðàâiéãðàíèöÿõ ç òèì æå ïîðÿäêîì, ùî é àïðîêñèìàöiÿ (7) äè�åðåíöiéíîãî ðiâíÿííÿ (1).Ïåðåïèøåìî (7) ó âèãëÿäi:� �a2(hk+1)2� uk+1j�1 + �1� + 2a2(hk+1)2� uk+1j + � �a2(hk+1)2� uk+1j+1 = ukj� + f �tk+1� :Ïiñëÿ ââåäåííÿ ïîçíà÷åíü, áóäåìî ìàòè:aj = �a2(hk+1)2 ; bj = 1� + 2a2(hk+1)2 ;
j = �a2(hk+1)2 ; dj = ukj� + f �tk+1� (2.19)ajuk+1j�1 + bjuk+1j +
juk+1j+1 = dj; j = 1; N � 1 (2.20)Îñòàòî÷íî, îòðèìà¹ìî øóêàíó íåÿâíó ðiçíèöåâó ñõåìó:u0j = �x0j� ; j = 0; N; (ïî÷àòêîâà óìîâà);b0uk+10 +
0uk+11 = d0; j = 0; (âiëüíà ãðàíèöÿ);ajuk+1j�1 + bjuk+1j +
juk+1j+1 = dj; j = 1; N � 1; (âíóòðiøíiâóçëè);aNuk+1N�1 + bNuk+1N = dN ; j = N; (ïðàâà ãðàíèöÿ);!h� = �xkj = sk + j � hk; hk = �L� sk�ÆN; sk = s �tk� ;j = 0; N ; tk = k � �; k = 0;M ;a0 = 0; b0 = 2a2hk+1 + hk+1� � 2a2�� ;
0 = �2a2hk+1 ;d0 = hk+1� uk0 � '0 �tk+1� 2a2� � f �tk+1�hk+1;aj = �a2(hk+1)2 ; bj = 1� + 2a2(hk+1)2 ;
j = �a2(hk+1)2 ; dj = ukj� + f �tk+1� ;aN = �2a2hk+1 ; bN = 2a2hk+1 + hk+1� + 2a2Æ
;
N = 0;dN = 2a2
'L �tk+1�+ hk+1� ukN � f �tk+1�hk+1:Ìà¹ìî ñèñòåìó ëiíiéíèõ àëãåáðà¨÷íèõ ðiâíÿíü ç òðüîõ äiàãîíàëüíîþ ìàòðèöåþ, ÿêàìîæå áóòè ðîçâ'ÿçàíà, íàïðèêëàä, ìåòîäîì ïðîãîíêè.¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �2' 2009
44 Ñëàâêî �.Â.3. Ïðîãðàìíà ðåàëiçàöiÿ ðiçíèöåâî¨ ñõåìèÎòðèìàíó êiíöåâî-ðiçíèöåâó ñõåìó ðåàëiçó¹ìî çàñîáàìè ïðîãðàìóâàí-íÿ MathCad (ðèñ.1). �åçóëüòàòîì îá÷èñëåíü áóäå äâîìiðíèé ìàñèâ Z, ÿêèéâiäïîâiä๠çíà÷åííÿì øóêàíî¨ �óíêöi¨ ukj = u �xkj ; tk� ó âóçëàõ ñiòêè.
�èñ. 1. Ïðîãðàìà ðiçíèöåâî¨ íåÿâíî¨ ñõåìè (MathCad)Çàóâàæèìî, ùî ðåàëiçàöiÿ íåÿâíî¨ ñõåìè, îáóìîâèëà âèêîðèñòàííÿ êâàäðàòíî¨ñiòêè (N =M), ùî íå âïëèâ๠íà çáiæíiñòü òà ñòiéêiñòü àëãîðèòìó. Çáiëüøåííÿ êiëü-êîñòi êðîêiâ ñiòêè çáiëüøó¹ òî÷íiñòü îòðèìóâàíîãî ðåçóëüòàòó. Íàäàìî ïîÿñíåííÿ âè-êîðèñòàíèì (ðèñ.1) ïîçíà÷åííÿì: N� ÷èñëî êðîêiâ ñiòêè ïî ïðîñòîðîâié êîîðäèíàòi(äîâæèíi);M� ÷èñëî êðîêiâ ñiòêè ïî ÷àñîâié êîîðäèíàòi (N =M); L� ìåæà îáëàñòi ïîïðîñòîðîâié êîîðäèíàòi (x = L); T� ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ ÷àñó (t � T <1); A� êî-å�iöi¹íò a â ðiâíÿííi äè�óçi¨ (âèçíà÷à¹òüñÿ âëàñòèâîñòÿìè ñåðåäîâèùà); � = T/M�ïîñòiéíèé ÷àñîâèé êðîê ñiòêè; f (t)� �óíêöiÿ ïðàâî¨ ÷àñòèíè ðiâíÿííÿ (1); S (t)��óíêöiÿ âiëüíî¨ ëiâî¨ ìåæi; (x)� �óíêöiÿ ïî÷àòêîâî¨ óìîâè (4); �0 (t)� �óíêöiÿ'0 (t) ïðàâî¨ ÷àñòèíè óìîâè íà âiëüíié ìåæi (2); �L (t) � �óíêöiÿ 'L (t) ïðàâî¨ ÷àñòè-íè óìîâè íà ïðàâié ìåæi (3); �; �� âiäïîâiäíi êîå�iöi¹íòè ãðàíè÷íèõ óìîâ (2);
; Æ�âiäïîâiäíi êîå�iöi¹íòè ãðàíè÷íèõ óìîâ (3).¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �2' 2009
Êîíñåðâàòèâíà êiíöåâî-ðiçíèöåâà ñõåìà çàäà÷i Ñòå�àíà 454. Ïðèêëàä çàñòîñóâàííÿ ïðîãðàìèÓ ÿêîñòi ïðèêëàäà, ðîçâ'ÿçóâàòèìåìî íàñòóïíó çàäà÷ó:�2u�x2 � �u�t = 0; s (t) < x < 1 ; t > 0;�u (x; t)�x = � (u1 � u) dsdt ; x = s(t); s (t) = 0:5� t2Æ8; t > 0; u1 = 1;�u (1; t)�x = 0; x = 1; t > 0; u (x; 0) = 0; s (0) � x � 1; t = 0:Ó âiäïîâiäíîñòi ç ïîçíà÷åííÿìè ó ïðîãðàìi, äëÿ öüîãî ïðèêëàäó ìàòèìåìî:f (t) = 0; L = 1; T = 2; A = 1; (x) = 0;S (t) = 0:5� t2Æ8; � = 1; � = � (t) = dS (t)/dt; �0 (t) = dS (t)/dt;
= 1; Æ = 0; �L (t) = 0:Íà ðèñ.2 íàâåäåíî ðåçóëüòàòè ðîçðàõóíêiâ ç óðàõóâàííÿì íîðìàëiçàöi¨ çíà÷åíü äëÿïðîñòîðîâî¨ ñiòêè. Ñëiä çàóâàæèòè, ùî ìîæëèâîñòi ñèñòåìè MathCad äîçâîëÿþòüïîáóäóâàòè êîìáiíàöiþ ëiíié ðiâíÿ òà ïðîñòðîâî¨ ñiòêè, ùî ïiäâèùó¹ íàãëÿäíiñòüïîäàííÿ îòðèìàíèõ ðåçóëüòàòiâ. Êðiì íàâåäåíèõ çàëåæíîñòåé, âáóäîâàíi ìîæëèâîñòiMathCad äîçâîëÿþòü ïîáóäóâàòè âiäïîâiäíi ïîâåðõíi òà �óíêöiîíàëüíi çàëåæíîñòi.Ïðîãðàìà äîçâîëÿ¹ øâèäêî çìiíþâàòè �óíêöiþ, ùî âèçíà÷๠õàðàêòåð âiëüíî¨ ìåæi,îòðèìóâàòè âiäïîâiäíi ðîçïîäiëè òà êîíòðîëþâàòè çáiæíiñòü îòðèìàíîãî ðîçâ'ÿçêó.Íàâåäåíà íà ðèñ.1 ïðîãðàìà, ìîæå áóòè ðåàëiçîâàíà áóäü ÿêîþ ìîâîþ ïðîãðàìóâàííÿ,çà óìîâè ïðîãðàìíî¨ ðåàëiçàöi¨ �óíêöi¨ ðîçâ'ÿçàííÿ ñèñòåìè ðiâíÿíü.
�èñ. 2. Ëiíi¨ ðiâíÿ íà ðiçíèöåâié ñiòöi¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �2' 2009
46 Ñëàâêî �.Â.ÂèñíîâêèÊiíöåâî-ðiçíèöåâó ñõåìó äëÿ çàäà÷i Ñòå�àíà ïîáóäîâàíî òàê, ùî ïîðÿäîê àïðîê-ñèìàöi¨ ðiâíÿííÿ çáåðiãà¹òüñÿ i äëÿ àïðîêñèìàöi¨ ãðàíè÷íèõ óìîâ. Òàêèé ïiäõiä íåòiëüêè âèðiâíþ¹ òà ïiäâèùó¹ ïîðÿäîê àïðîêñèìàöi¨ (îäíîðiäíà àïðîêñèìàöiÿ), àëåé ðîáèòü êiíöåâî-ðiçíèöåâó ñõåìó êîíñåðâàòèâíîþ. Òàêèì ÷èíîì, âðàõîâóþòüñÿ óñiâèäè åíåðãi¨, ùî âèêîðèñòîâóâàëèñÿ ïiä ÷àñ îòðèìàííÿ ðiâíÿííÿ. Ïîáóäîâàíèé àë-ãîðèòì, äîçâîëÿ¹ çíàõîäèòè ðîçâ'ÿçîê äëÿ ðiçíèõ �óíêöié, ùî âèçíà÷àþòü âiëüíóãðàíèöþ. �åçóëüòàòè îá÷èñëåíü ëåãêî âiçóàëiçóâàòè äëÿ áóäü-ÿêèõ çàëåæíîñòåé. Çà-çíà÷èìî äîäàòêîâî, ùî âèêëàäåíèé ìåòîä ìîæå áóòè çàñòîñîâàíèé äî ðiâíÿííÿ (1)çà íàÿâíîñòi êîíâåêòèâíèõ ÷ëåíiâ (ïðîïîðöiéíèõ ïîõiäíié �u/�x ) òà ÷ëåíiâ ïðîïîð-öiéíèõ øóêàíié �óíêöi¨. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû1. Â.À. Êóäèíîâ, Ý.Ì. Êàðòàøîâ, Â.Â. Êàëàøíèêîâ. Àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ çàäà÷ òåïëîìàññîïå-ðåíîñà è òåðìîóïðóãîñòè äëÿ ìíîãîñëîéíûõ êîíñòðóêöèé: ó÷åáíîå ïîñîáèå.- Ì.: Âûñøàÿ øêîëà,2005.� 429ñ.2. �óðñêèé Ä.À., Òóðáèíà Å.Ñ. Âû÷èñëåíèÿ â Math
ad 12. � ÑÏá.: Ïèòåð, 2006. � 544 ñ.3. Ôîðìàëåâ Â.Ô., �åâèçíèêîâ Ä.Ë. ×èñëåííûå ìåòîäû. - Ì.: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2004. � 400ñ.Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 30.11.2008
¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �2' 2009
|