О представлении системы полулинейных и полуквадратичных соотношений

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автор:	Омельченко, П.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Кримський науковий центр НАН України і МОН України 2009
Назва видання:	Таврический вестник информатики и математики
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18235
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О представлении системы полулинейных и полуквадратичных соотношений / П.В. Омельченко // Таврический вестник информатики и математики. — 2009. — № 2. — С. 91-97. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-18235
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-182352011-03-19T12:04:28Z О представлении системы полулинейных и полуквадратичных соотношений Омельченко, П.В. 2009 Article О представлении системы полулинейных и полуквадратичных соотношений / П.В. Омельченко // Таврический вестник информатики и математики. — 2009. — № 2. — С. 91-97. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1729-3901 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18235 517.98 ru Таврический вестник информатики и математики Кримський науковий центр НАН України і МОН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
format	Article
author	Омельченко, П.В.
spellingShingle	Омельченко, П.В. О представлении системы полулинейных и полуквадратичных соотношений Таврический вестник информатики и математики
author_facet	Омельченко, П.В.
author_sort	Омельченко, П.В.
title	О представлении системы полулинейных и полуквадратичных соотношений
title_short	О представлении системы полулинейных и полуквадратичных соотношений
title_full	О представлении системы полулинейных и полуквадратичных соотношений
title_fullStr	О представлении системы полулинейных и полуквадратичных соотношений
title_full_unstemmed	О представлении системы полулинейных и полуквадратичных соотношений
title_sort	о представлении системы полулинейных и полуквадратичных соотношений
publisher	Кримський науковий центр НАН України і МОН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18235
citation_txt	О представлении системы полулинейных и полуквадратичных соотношений / П.В. Омельченко // Таврический вестник информатики и математики. — 2009. — № 2. — С. 91-97. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series	Таврический вестник информатики и математики
work_keys_str_mv	AT omelʹčenkopv opredstavleniisistemypolulinejnyhipolukvadratičnyhsootnošenij
first_indexed	2025-07-02T19:19:39Z
last_indexed	2025-07-02T19:19:39Z
_version_	1836564065383612416
fulltext	ÓÄÊ 517.98Î Ï�ÅÄÑÒÀÂËÅÍÈÈ ÑÈÑÒÅÌÛ ÏÎËÓËÈÍÅÉÍÛÕ ÈÏÎËÓÊÂÀÄ�ÀÒÈ×ÍÛÕ ÑÎÎÒÍÎØÅÍÈÉ Îìåëü÷åíêî Ï.Â.Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè Íàöèîíàëüíîé Àêàäåìèè Íàóê Óêðàèíûîòäåë �óíêöèîíàëüíîãî àíàëèçàóë. Òåðåùåíêîâñêàÿ 3, Êèåâ, 252601, Óêðàèíàe-mail: omel henko�imath.kiev.uaAbstra t. We study the �-algebra whi h generated by two selfadjoint elements a; b satisfying thealgebrai relations: mXi=1 fi(a)bgi(a) = h(a); lXj=1 pj(a)brj(a)bqj(a) = �(a);where fi; gi; h; i = 1;m; pj ; rj ; qj ; � j = 1; l are polynomials on R; m; l 2 N: We investigate propertiesof polynomials fi; gi; h; i = 1;m; pj ; rj ; qj ; � j = 1; l for whi h this �-algebra is �-tame. The results areillustrated by examples. 1. ÂâåäåíèåÂîçíèêàþùèå â çàäà÷àõ ìàòåìàòèêè è �èçèêè �-àëãåáðû ñòèìóëèðóþò èíòåðåñê èçó÷åíèþ òàêèõ àëãåáð è èõ ïðåäñòàâëåíèé ñ ðàçëè÷íûõ òî÷åê çðåíèÿ (ñì. íà-ïðèìåð [4, 3℄ è äð.). Âàæíûì êëàññîì �-àëãåáð ÿâëÿþòñÿ �-àëãåáðû ïîðîæäåííûåîáðàçóþùèìè x1; x2; : : : ; xk è îïðåäåëÿþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè:Pi(x1; x2; : : : ; xk; x�1; x�2; : : : ; x�k) = 0; i = 1; w; w 2 N ;ãäå Pi ïîëèíîìû îò íåêîììóòàòèâíûõ ïåðåìåííûõ x1; x2; : : : ; xk; x�1; x�2; : : : ; x�k: (ñì. íà-ïðèìåð [4℄)Â äàííîé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ �-àëãåáðà, ïîðîæäåííàÿ äâóìÿ ñàìîñîïðÿæåí-íûìè îáðàçóþùèìè a; b è óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèÿì:mXi=1 fi(a)bgi(a) = h(a); (1.1)lXj=1 pj(a)brj(a)bqj(a) = �(a); (1.2)ãäå fi, gi, h, i = 1; m, pj, rj, qj, �, j = 1; l, ïîëèíîìû íà R, m; l 2 N .Ñòàíäàðòíûé ïóòü îïèñàíèÿ �-ïðåäñòàâëåíèé �-àëãåáðû ñîñòîèò â îïèñàíèè âñåõíåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ñ òî÷íîñòüþ äî óíèòàðíîé ýêâèâàëåíòíîñòè, à çà-òåì ðàçëîæåíèå ïðîèçâîëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ â ïðÿìóþ ñóììó èëè ïðÿìîé èíòå-ãðàë íåïðèâîäèìûõ. Òàêîå ðàçëîæåíèå âîçìîæíî, è ïðèòîì åäèíñòâåííûì îáðà-çîì, åñëè W �-àëãåáðà, ïîðîæäåííàÿ ëþáûì îãðàíè÷åííûì �-ïðåäñòàâëåíèåì, ñîäåð-æèò ëèøü �àêòîðû òèïà I. Â ýòîì ñëó÷àå ñîîòâåòñòâóþùóþ �-àëãåáðó áóäåì íàçû-âàòü �-ðó÷íîé. Â ñëó÷àå åñëè çàäà÷à îïèñàíèÿ âñåõ �-ïðåäñòàâëåíèé �-àëãåáðû ñîäåð-æèò ïîäçàäà÷ó, çàäà÷ó îïèñàíèÿ âñåõ �-ïðåäñòàâëåíèé ñâîáîäíîé �-àëãåáðû ñ äâóìÿ 92 Îìåëü÷åíêî Ï.Â.ñàìîñîïðÿæåííûìè îáðàçóþùèìè, òî òàêóþ �-àëãåáðó áóäåì íàçûâàòü �-äèêîé (áî-ëåå ïîäðîáíî ñì. [4℄). Çàìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò òåîðèè ïðåäñòàâëåíèé â ëèíåéíûõïðîñòðàíñòâàõ, ñóùåñòâóþò åùå ïðîìåæóòî÷íûå êëàññû �-àëãåáð, õàðàêòåðèçóþùèåñëîæíîñòü îïèñàíèÿ âñåõ �-ïðåäñòàâëåíèé �-àëãåáðû. Â äàííîé ðàáîòå íàñ áóäóòèíòåðåñîâàòü ëèøü íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ è óñëîâèÿ íà �-àëãåáðû ïðè êî-òîðûõ îíè ÿâëÿþòñÿ �-ðó÷íûìè.Ñ ïîëóëèíåéíûì ñîîòíîøåíèåì (1.1) ìîæíî ñâÿçàòü ïðîñòîé íåîðèåíòèðîâàí-íûé ãðà� �, ïî âèäó êîòîðîãî ìîæíî ñóäèòü î ñëîæíîñòè çàäà÷è îïèñàíèÿâñåõ �-ïðåäñòàâëåíèé ñ òî÷íîñòüþ äî óíèòàðíîé ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîîòâåòñòâóþ-ùåé �-àëãåáðû. Êàê ïîêàçàíî â [4, 7, 11℄, �-àëãåáðà ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîëóëèíåéíîìóñîîòíîøåíèþ (1.1) ÿâëÿåòñÿ �-ðó÷íîé, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñâÿçíûå êîìïî-íåíòû ãðà�à � èìåþò âèä: q, q , q q. Åñëè � ñîäåðæèò â êà÷åñòâå ïîäãðà�à îäèíèç ãðà�îâ q q, q q q, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ �-àëãåáðà ÿâëÿåòñÿ �-äèêîé. Ïîýòîìóâïîëíå åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü ïðåäñòàâëåíèÿ ïîëóëèíåéíûõ ñîîòíîøåíèé ñ äî-ïîëíèòåëüíûìè ñîîòíîøåíèÿìè. Â äàííîé ðàáîòå â êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíîãî ñîîò-íîøåíèÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîëóêâàäðàòè÷íîå (êâàäðàòè÷íîå ïî b) ñîîòíîøåíèå (1.2).Â ðàáîòå ïîëó÷åíû óñëîâèÿ íà ïîëèíîìû fi; gi; h; i = 1; m; pj, rj, qj, �, j = 1; l,ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà ñîîòíîøåíèé (1.1), (1.2) ÿâëÿåòñÿ �-ðó÷íîé. Òàêæå â ðàáîòåïîêàçàíà ñâÿçü ìåæäó ïðåäñòàâëåíèÿìè ñîîòíîøåíèé (1.1), (1.2) è îðòîñêàëÿðíûìè�-ïðåäñòàâëåíèÿìè ãðà�îâ [14, 13, 16℄ è ñâÿçàííûìè ñ íèìè �-àëãåáðàìè [1, 5, 15℄.Ïðèâåäåíû ïðèìåðû.2. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿÎãðàíè÷åííûì ïðåäñòàâëåíèåì ñîîòíîøåíèé (1.1), (1.2) áóäåì íàçûâàòü ïàðóîãðàíè÷åííûõ ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ (A;B); äåéñòâóþùèõ â ãèëüáåðòîâîìïðîñòðàíñòâå H è óäîâëåòâîðÿþùóþ ñîîòíîøåíèÿì:mXi=1 fi(A)Bgi(A) = h(A) (2.1)lXj=1 pj(A)Brj(A)Bqj(A) = �(A); (2.2)ãäå fi; gi; h; i = 1; m; pj; rj; qj; � j = 1; l ïîëèíîìû íà R; m; l 2 N :Íåîãðàíè÷åííûì ïðåäñòàâëåíèåì ñîîòíîøåíèé (1.1), (1.2) áóäåì íàçûâàòü ïàðóñèììåòðè÷íûõ îïåðàòîðîâ (A;B); äåéñòâóþùèõ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H; åñ-ëè ñóùåñòâóåò òàêîå ïëîòíîå ïîäìíîæåñòâî K � H, ÷òî� K èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî A;B;EA(�); � 2 B(R);� K ñîñòîèò èç îãðàíè÷åííûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðà A, K � HB(A) � D(A);� ñîîòíîøåíèÿ (2.1),(2.2) âûïîëíÿþòñÿ íà K.Äëÿ îïèñàíèÿ ñòðóêòóðû ïàð òàêèõ îïåðàòîðîâ óäîáíî ââåñòè ñëåäóþùèå òðèîáúåêòà (ïîäîáíî ðàáîòàì [4, 7, 11℄)¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �2' 2009 Î ïðåäñòàâëåíèè ñèñòåìû ïîëóëèíåéíûõ è ïîëóêâàäðàòè÷íûõ ñîîòíîøåíèé 93� Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå �óíêöèè:�(t; s) = mXi=1 fi(t)gi(s); (x; y; z) = lXj=1 pj(x)rj(y)qj(z):Çàìåòèì, ÷òî â [4, 7, 11℄) èçó÷àëèñü ïàðû ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ (A;B),êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò òîëüêî ñîîòíîøåíèþ (2.1) è ñîîòâåòñòâåííî òîëüêî�óíêöèÿ �(t; s): Äëÿ èçó÷åíèÿ ïàð îïåðàòîðîâ (A;B), êîòîðûå óäîâëåòâîðÿ-þò òàêæå ñîîòíîøåíèþ (2.2), ìû ðàññìîòðèì åùå è �óíêöèþ òðåõ ïåðåìåí-íûõ (x; y; z):� Ïðîñòîé ãðà� �; ìíîæåñòâîì âåðøèí êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ âñå äåéñòâèòåëüíûå÷èñëà R; à âåðøèíà t 2 R ñâÿçàíà ðåáðîì ñ âåðøèíîé s 2 R òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà �(t; s) = 0:Â ñëó÷àå, åñëè �(A) = f�1; �2; : : : ; �ng; n 2 N [ f1g; è H�1 ; H�2; : : : ; H�n ñîîò-âåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå ïîäïðîñòðàíñòâà îïåðàòîðà A; òî îòíîñèòåëüíî ðàçëîæå-íèÿ H = H�1 �H�2 � : : :�H�n îïåðàòîðû A è B ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå áëî÷íûõìàòðèö: A = 0BB� �1 0 � � � 00 �2 � � � 0� � � � � � . . . � � �0 0 � � � �n 1CCA ; B = 0BB� B11 B12 � � � B1nB21 B22 � � � B2n� � � � � � . . . � � �Bn1 Bn2 � � � Bnn 1CCA ; (2.3)ãäå Bij : H�j ! H�i ; B�ij = Bji; i; j = 1; n:Óòâåðæäåíèå 6. Â ñëó÷àå äèñêðåòíîãî �(A) âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ýê-âèâàëåíòíîñòè �(t; s) = 0, �(s; t) = 0, (x; y; z) = 0, (z; y; x) = 0, äëÿâñåõ t; s; x; y; z 2 �(A).Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ñîîòíîøåíèÿ (2.1) è (2.2) âûïîëíÿþòñÿ, òî âûïîëíÿþòñÿ è ñî-ïðÿæåííûå ñîîòíîøåíèÿ, ó÷èòûâàÿ ñàìîñîïðÿæåííîñòü îïåðàòîðîâ (A;B) ïîëó÷èìòðåáóåìîå óòâåðæäåíèå. �Ïîäñòàâèâ áëî÷íûå ìàòðèöû (2.3) â ñîîòíîøåíèÿ (2.1) è (2.2), ó÷èòûâàÿ ñàìîñî-ïðÿæåííîñòü îïåðàòîðîâ (A;B), ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ðàâåíñòâ:8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>: �(�i; �j)Bij = 0; ïðè i 6= j�(�i; �i)Bii = h(�i);Pk2M�i�j (�i; �k; �j)BikBkj = 0; ïðè i 6= jPk2M�i (�i; �k; �i)BikBki = �(�i); (2.4) ¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �2' 2009 94 Îìåëü÷åíêî Ï.Â.ãäå M�i � ïîäìíîæåñòâî âåðøèí ãðà�à �; ñîåäèíåííûõ ðåáðîì ñ âåðøèíîé i, M�i�j �ïîäìíîæåñòâî òàêèõ âåðøèí ãðà�à �; êîòîðûå ñîåäèíåíû ðåáðîì è ñ âåðøèíîé i è ñâåðøèíîé j. Èç ñèñòåìû (2.4) âèäíî, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû ðàññìàòðèâàòü íåòðèâèàëü-íûå ïðåäñòàâëåíèÿ ñèñòåìû ñîîòíîøåíèé (1.1), (1.2), íåîáõîäèìî íàëîæèòü íà íèõñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 8<: �(�i; �k) = 0;�(�k; �j) = 0; ) (�i; �k; �j) = 0; (�i; �k; �i) 6= 0; �(�i) 6= 0; äëÿ âñåõ �i; �k; �j 2 �(A): (2.5)Çàìåòèì, ÷òî ñóùåñòâóþò íåòðèâèàëüíûå ïîëèíîìû �(t; s); (x; y; z), êîòîðûåóäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì (2.5), íàïðèìåð, �(t; s) � ïðîèçâîëüíûé ïîëèíîì äâóõïåðåìåííûõ íà R2 ; à (x; y; z) = �(x; y)� �(z; y)x� z .3. Ïðåäñòàâëåíèÿ ïîëóëèíåéíûõ è ïîëóêâàäðàòè÷íûõñîîòíîøåíèéÏðåäñòàâëåíèå ñîîòíîøåíèÿ (1.1) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïðåäñòàâëåíèå ñîîò-âåòñòâóþùåãî åìó ãðà�à �, ïðè÷åì çàäà÷à îïèñàíèÿ âñåõ íåïðèâîäèìûõ ïàð ñàìîñî-ïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ (A;B), óäîâëåòâîðÿþùèõ ïîëóëèíåéíîìó ñîîòíîøåíèþ (1.1)ñî ñïåêòðîì �(A) ñ òî÷íîñòüþ äî óíèòàðíîé ýêâèâàëåíòíîñòè, ýêâèâàëåíòíà çàäà÷åîïèñàíèÿ âñåõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ñîîòâåòñòâóþùåãî ñâÿçíîãî ïîäãðà�àãðà�à � (ñì. [14, 13, 16℄), à ñîîòíîøåíèå (1.2) çàäàåò äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ íàîïåðàòîð B. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 1. Ñèñòåìà ñîîòíîøåíèé (1.1),(1.2), õàðàêòåðèñòè÷åñêèå �óíêöèè êîòî-ðîé óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì (2.5) ÿâëÿåòñÿ �-ðó÷íîé, åñëè êàæäàÿ ñâÿçíàÿêîìïîíåíòà ãðà�à � ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ãðà�îâ Äûíêèíà (An, Dn, E6, E7, E8) èëèðàñøèðåííûõ ãðà�îâ Äûíêèíà ( ~An, ~D4, ~E6, ~E7, ~E8).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ïàðà ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ (A;B); ñî ñïåêòðîì�(A) = f�1; : : : ; �ng áóäåò ïðåäñòàâëåíèåì ñîîòíîøåíèé (1.1), (1.2) â ãèëüáåðòîâîìïðîñòðàíñòâå H: Îòíîñèòåëüíî ðàçëîæåíèÿ H = H�1 � : : : � H�n áëî÷íûå ìàòðè-öû A;B èìåþò âèä (2.3). Ââåäÿ îáîçíà÷åíèå (�i; �k; �i) := ik, ïîëó÷èì ñëåäóþùèåñîîòíîøåíèÿ íà áëîêè áëî÷íîé ìàòðèöû B = jjBijjjni;j=1:Pk2M�1 1kB1kBk1 = �(�1);Pk2M�2 2kB2kBk2 = �(�2);� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �Pk2M�n nkBnkBkn = �(�n); (3.1)ãäå Bij : H�j ! H�i ; i; j = 1; n; ik 2 R; çàìåòèì, ÷òî ik 6= ik:¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �2' 2009 Î ïðåäñòàâëåíèè ñèñòåìû ïîëóëèíåéíûõ è ïîëóêâàäðàòè÷íûõ ñîîòíîøåíèé 95Ëåììà 1. Åñëè ãðà� � ÿâëÿåòñÿ äåðåâîì, òî ñóùåñòâóåò îáðàòèìîå ïðåîáðàçîâà-íèå ïåðåâîäÿùåå ïàðó ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ (A;B) â ïàðó ñàìîñîïðÿæåííûõîïåðàòîðîâ (A; eB), êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ïðåäñòàâëåíèåì òîé æå ñèñòåìû ïîëóëè-íåéíîãî è ïîëóêâàäðàòè÷íîãî ñîîòíîøåíèÿ ñ íîâîé �óíêöèåé � (îáîçíà÷èì åå ~�)è ik = 1.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ãðà� � � äåðåâî, òî åãî ìîæíî ðàçäåëèòü íà ïîäãðà-�û òèïà öåïî÷êè Aw, êîòîðûå áóäóò ïåðåñåêàòüñÿ íå áîëåå ÷åì â îäíîé òî÷êå, èçàíóìåðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:s1 s2 s3 q q q s(w � 1) swÏîñòðîèì òðåáóåìîå ïðåîáðàçîâàíèå äëÿ êàæäîé òàêîé öåïî÷êè ñëåäóþùèì îá-ðàçîì: ~B1k1 =p 1k1B1k1 ; ~Bk11 = ~B�1k1; k1 2 ~M1; ~�(�1) = �(�1);~B2k2 =r 2k2 12 21B2k2 ; ~Bk22 = ~B�2k2; k2 2 ~M2; ~�(�2) = �(�2) 12 21 ;� � � � � � � � � � � �~Bwkw =s wkw (w�1)w w(w�1)Bwkw ; ~Bkww = ~B�wkw ; kw 2 ~Mw; ~�(�w) = �(�w) (w�1)w w(w�1) ;ãäå ~Mk � ïîäìíîæåñòâî âåðøèí ãðà�à �, ñîåäèíåííûõ ðåáðîì ñ âåðøèíîé k çà èñêëþ-÷åíèåì òåõ âåðøèí, äëÿ êîòîðûõ óæå ïîñòðîåíî ïðåîáðàçîâàíèå. Ïðÿìàÿ ïðîâåðêàïîêàçûâàåò, ÷òî ïîñòðîåííîå ïðåîáðàçîâàíèå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ëåììû. �Çàìå÷àíèå 1. Çàìåòèì, ÷òî äàííîå ïðåîáðàçîâàíèå ñïðàâåäëèâî è äëÿ ãðà�îâ ñöèêëàìè äëèíû 1 (ïåòëÿ), 2.Äàëåå, âîñïîëüçîâàâøèñü èçâåñòíûìè [14, 13, 16℄ ðåçóëüòàòàìè òåîðèè îðòîñêà-ëÿðíûõ �-ïðåäñòàâëåíèé ãðà�îâ è ðåçóëüòàòàìè ðàáîò [10, 6, 9℄ (äëÿ ãðà�à ~An) èñäåëàâ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïîëó÷èì óòâåðæäåíèå òåîðåìû. �4. ÏðèìåðûÏðèìåð 1. Çàäà÷à êëàññè�èêàöèè âñåõ, ñ òî÷íîñòüþ äî óíèòàðíîé ýêâèâàëåíòíîñòè,ïàð îãðàíè÷åííûõ ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ (A;B), óäîâëåòâîðÿþùèõ ñëåäóþ-ùåé ñèñòåìå ñîîòíîøåíèé, ÿâëÿåòñÿ �-ðó÷íîãî ïðåäñòàâëåí÷åñêîãî òèïàA3B +BA3 � (A2B +BA2) + A2BA+ ABA2 + ABA +B = 0;B2A2 +BA2B + A2B2 +B2ABAB +B2A2B2 +BABAB2 � B2A+BAB � AB2 = 0;Â ýòîì ñëó÷àå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå �óíêöèè èìåþò ñëåäóþùèé âèä:�(t; s) = t3 + s3 � (t2 + s2) + t2s+ ts2 + ts + 1 = 0; (x; y; z) = �(x; y)� �(z; y)x� z = x2 + y2 + z2 + xy + xz + yz � x+ y � z = 0;¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �2' 2009 96 Îìåëü÷åíêî Ï.Â.h(t) � 0; �(x) � 0;Âñå ñâÿçíûå êîìïîíåíòû ãðà�à äàííûõ ñîîòíîøåíèé èìåþò âèäs s ss è ëèøü îäíà s s s ,ñëåäîâàòåëüíî ñîîòâåòñòâóþùàÿ �-àëãåáðà �-ðó÷íîãî òèïà.Ïðèìåð 2. Ïóñòü õàðàêòåðèñòè÷åñêèå �óíêöèè ñèñòåìû (1.1),(1.2) èìåþò ñëåäóþ-ùèé âèä: �(t; s) = t2 + 2a11ts+ s2 + a0; a0 2 R; a11 = �q + q�12 ; q 2 R [ T; (x; y; z) = �(x; y)� �(z; y)x� z = z + 2a11y + x;h(t) � 0; �(x) = �a0x;òîãäà ïðåäñòàâëåíèå äàííîé ñèñòåìû (A;B) óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùåé ñèñòåìå óðàâ-íåíèé: A2B + 2a11ABA+BA2 = �a0B;B2A+ 2a11BAB + AB2 = �a0A;çàìåòèì, ÷òî ïîñòðîåííàÿ �-àëãåáðà ïðè a0 = 1 ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé Ôàðëè [2℄,ïðè a0 = a11 = 1 � óíèâåðñàëüíîé îáåðòûâàþùåé àëãåáðîé àëãåáðû Ëè so(3);ïðè a0 = a11 = �1 � ãðàäóèðîâàííûì àíàëîãîì àëãåáðû Ëè so(3). Î ïðåäñòàâëåíèÿõýòîé àëãåáðû ñì. [4, 6, 9, 10, 12℄.Ïðèìåð 3. Çàäà÷à êëàññè�èêàöèè âñåõ, ñ òî÷íîñòüþ äî óíèòàðíîé ýêâèâàëåíòíî-ñòè, ïàð ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ (A;B) óäîâëåòâîðÿþùèõ ñëåäóþùåé ñèñòåìåñîîòíîøåíèé ÿâëÿåòñÿ �-ðó÷íîãî ïðåäñòàâëåí÷åñêîãî òèïàA2B + 2a11ABA+BA2 + 2a1(AB +BA) + a0B = h(A);B2A+ 2a11BAB + AB2 + 2a1B2 = �(A);Â ýòîì ñëó÷àå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå �óíêöèè èìåþò ñëåäóþùèé âèä:�(t; s) = t2 + 2a11ts+ s2 + 2a1(t + s) + a0; a0 2 R; a1 6= 0; (x; y; z) = �(x; y)� �(z; y)x� z = z + 2a11y + x + 2a1;êàê ïîêàçàíî â [6℄ êàæäàÿ ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà ãðà�à äàííûõ ñîîòíîøåíèé îäíà èçñëåäóþùèõ: s ; s s s s : : : ; s s s : : : ; : : : s s s : : : ;ïðè ýòîì îïåðàòîð A ÿâëÿåòñÿ íåîãðàíè÷åííûì, à ñîîòâåòñòâóþùàÿ �-àëãåáðà �-ðó÷íîãî òèïà. ¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �2' 2009 Î ïðåäñòàâëåíèè ñèñòåìû ïîëóëèíåéíûõ è ïîëóêâàäðàòè÷íûõ ñîîòíîøåíèé 97Àâòîð âûðàæàåò áëàãîäàðíîñòü íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ Â.Ë. Îñòðîâñêîìóè Þ.Ñ. Ñàìîéëåíêî çà ïîñòàíîâêó çàäà÷è, ïëîäîòâîðíûå îáñóæäåíèÿ è ïîëåçíûåçàìå÷àíèÿ. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû1. S. Albeverio V.L. Ostrovskyi, Yu.S. Samoilenko On fun tions on graphs and representations of a ertain lass of �-algebras. - J. Algebra 308 (2007), no. 2, pp. 567-582.2. D.B. Fairlie, Quantum deformation of SU(2), J. Phys. A: Math. and Gen. 23 (1990), no. 5, pp. 183-187.3. M. Jimbo, Quantum R-matrix to the generalized Toda system: an algebrai approa h, Le t. Nones inPhys. 246 (1986), pp.335�361.4. V.L. Ostrovskyi, Yu.S. Samoilenko Introdu tion to the Theory of representation of �nited presented�-algebras. I.Representations by bounded operators. - Rev. Math. Math. Phys. - 1999 - 261p.5. V.L. Ostrovskyi Spe ial hara ters on star graphs and representations of *-algebras// arxiv: math.RA/0509240 - 20056. P.V. Omel' henko About �-representation of polynomial semilinear relations.// Methods ofFun tional Analysis and Topology, - vol.15 - 2009 - � 2, - pp.168-1767. Yu.S. Samoilenko, L.B. Turowska, V.S. Shulman Semilinear relations and their �-representation// Methods of Fun tional Analysis and Topology, - vol.2 - 1996 - � 1, - pp.55-1118. L.B. Turowska, �-Representations of the quantum algebra Uq(sl(3)), J. Nonlinear Math. Phys. 3(1996), no. 3-4, pp.396�401.9. L.B. Turowska, Yu.S. Samoilenko, Semilinear relations and �-representations of deformations ofso(3), Quantum groups and quantum spa es, Bana h enter publi ations, Inst. of Math. Polish A ad.of S ., Warszava 40 (1997), pp.21�40.10. Î.Â. Áàãðî, Ñ.À. Êðóãëÿê, Ïðåäñòàâëåíèÿ àëãåáð Ä.Ôàðëè, Ïðåïðèíò, Êèåâ, 1996,11. Þ.Í. Áåñïàëîâ, Þ.Ñ. Ñàìîéëåíêî, Â.Ñ. Øóëüìàí Î íàáîðàõ îïåðàòîðîâ, ñâÿçàííûõ ïîëóëè-íåéíûìè ñîîòíîøåíèÿìè // Ïðèìåíåíèå ìåòîäîâ �óíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà â ìàò. �èçèêå,Àêàä. Íàóê Óêðàèíû, Èíñò. Ìàò., Êèåâ, (1991), C. 28�51.12. Ì.Ô. �îðîäíèé, �.Á. Ïîäêîçèí, Íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðàäóèðîâàííûõ àëãåáð Ëè, Ñïåê-òðàëüíàÿ òåîðèÿ îïåðàòîðîâ è áåñêîíå÷íîìåðíûé àíàëèç, Àêàä. Íàóê Óêð. Èíñò. Ìàò., Êèåâ(1984), ñ.66�77.13. Ñ.À. Êðóãëÿê, À.Â. �îéòåð Ëîêàëüíî ñêàëÿðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðà�îâ â êàòåãîðèè ãèëüáåð-òîâûõ ïðîñòðàíñòâ. // Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ, - 2005 - Ò.39 - âûï.2 - ñ.13-30.14. Ñ.À. Êðóãëÿê, Ñ.È. �àáàíîâè÷, Þ.Ñ. Ñàìîéëåíêî Î ñóììàõ ïðîåêòîðîâ// Ôóíêöèîíàëüíûéàíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ, - 2002 - Ò.36 - âûï.3 - ñ.20-35.15. Â.Ë. Îñòðîâñüêèé, Þ.Ñ. Ñàìîéëåíêî Ïðî ñïåêòðàëüíi òåîðåìè äëÿ ñiìåé ëiíiéíî ïîâ'ÿçàíèõñàìîñïðÿæåíèõ îïåðàòîðiâ iç çàäàíèìè ñïåêòðàìè, ùî àñîöiéîâàíi ç ðîçøèðåíèìè ãðà�àìè Äèí-êiíà. // Óêð. ìàò. æóðíàë, - 2006 - Ò.58 - � 11 - ñ.1556-1570.16. À.Â. �îéòåð, Ñ.À. Êðóãëÿê, Ë.À. Íàçàðîâà Îðòîñêàëÿðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ êîë÷àíîâ, ñîîòâåò-ñòâóþùèõ ðàñøèðåííûì ãðà�àì Äûíêèíà â êàòåãîðèè ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ. // Ôóíêöè-îíàëüíûé àíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ, - 200917. Ë.Á. Òóðîâñêàÿ, Ïðåäñòàâëåíèå îäíîãî êëàññà êâàäðàòè÷íûõ �-àëãåáð ñ òðåìÿ îáðàçóþùèìè,Ïðèìåíåíèå ìåòîäîâ �óíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà â ìàò. �èçèêå, Àêàä. Íàóê Óêðàèíû, Èíñò. Ìàò.,Êèåâ, (1991), ñ.100�109. Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 17.09.2009¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �2' 2009

О представлении системы полулинейных и полуквадратичных соотношений

Репозитарії

Схожі ресурси