Использование теорий анализа размерностей и подобия для описания кинетики электрохимических процессов

Показана возможность использования теории обобщенных переменных для описания кинетики простейшей электрохимической реакции. Получены три комплексные безразмерные величины, характеризующие соответственно относительную скорость, степень нелинейности и степень необратимости электродного процесса. Путем...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2005
Hauptverfasser:	Проценко, В.С., Данилов, Ф.И.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут загальної та неорганічної хімії ім. В.І. Вернадського НАН України 2005
Schriftenreihe:	Украинский химический журнал
Schlagworte:	Электрохимия
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/183914
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Использование теорий анализа размерностей и подобия для описания кинетики электрохимических процессов / В.С. Проценко, Ф.И. Данилов // Украинский химический журнал. — 2005. — Т. 71, № 7. — С. 41-45. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-183914
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1839142022-04-24T01:31:37Z Использование теорий анализа размерностей и подобия для описания кинетики электрохимических процессов Проценко, В.С. Данилов, Ф.И. Электрохимия Показана возможность использования теории обобщенных переменных для описания кинетики простейшей электрохимической реакции. Получены три комплексные безразмерные величины, характеризующие соответственно относительную скорость, степень нелинейности и степень необратимости электродного процесса. Путем численного моделирования установлена количественная взаимосвязь между этими комплексами для электрохимической реакции с лимитирующей стадией разряда-ионизации. Показано можливість використання теорії узагальнених перемінних для опису кінетики найпростішої електрохімічної реакції. Отримано три комплексні безрозмірні величини, що характеризують відповідно відносну швидкість, ступінь нелінійності та ступінь необоротності електродного процесу. Шляхом чисельного моделювання встановлено кількісний взаємозв’язок між цими комплексами для електрохімічної реакції з уповільненою стадією розряду-йонізації. It is shown that the generalized variables theory can be used for analyzing of the elementary electrochemical reaction kinetics. Three complex dimensionless quantities describing accordingly relative rate, degree of nonlinearity and degree of nonreversibility of electrode process are obtained. The quantitative deрendencies between these complexes for electrochemical reaction with a limiting discharge-ionization stage are recеived by numerical modeling. 2005 Article Использование теорий анализа размерностей и подобия для описания кинетики электрохимических процессов / В.С. Проценко, Ф.И. Данилов // Украинский химический журнал. — 2005. — Т. 71, № 7. — С. 41-45. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0041–6045 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/183914 541.138 ru Украинский химический журнал Інститут загальної та неорганічної хімії ім. В.І. Вернадського НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Электрохимия Электрохимия
spellingShingle	Электрохимия Электрохимия Проценко, В.С. Данилов, Ф.И. Использование теорий анализа размерностей и подобия для описания кинетики электрохимических процессов Украинский химический журнал
description	Показана возможность использования теории обобщенных переменных для описания кинетики простейшей электрохимической реакции. Получены три комплексные безразмерные величины, характеризующие соответственно относительную скорость, степень нелинейности и степень необратимости электродного процесса. Путем численного моделирования установлена количественная взаимосвязь между этими комплексами для электрохимической реакции с лимитирующей стадией разряда-ионизации.
format	Article
author	Проценко, В.С. Данилов, Ф.И.
author_facet	Проценко, В.С. Данилов, Ф.И.
author_sort	Проценко, В.С.
title	Использование теорий анализа размерностей и подобия для описания кинетики электрохимических процессов
title_short	Использование теорий анализа размерностей и подобия для описания кинетики электрохимических процессов
title_full	Использование теорий анализа размерностей и подобия для описания кинетики электрохимических процессов
title_fullStr	Использование теорий анализа размерностей и подобия для описания кинетики электрохимических процессов
title_full_unstemmed	Использование теорий анализа размерностей и подобия для описания кинетики электрохимических процессов
title_sort	использование теорий анализа размерностей и подобия для описания кинетики электрохимических процессов
publisher	Інститут загальної та неорганічної хімії ім. В.І. Вернадського НАН України
publishDate	2005
topic_facet	Электрохимия
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/183914
citation_txt	Использование теорий анализа размерностей и подобия для описания кинетики электрохимических процессов / В.С. Проценко, Ф.И. Данилов // Украинский химический журнал. — 2005. — Т. 71, № 7. — С. 41-45. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
series	Украинский химический журнал
work_keys_str_mv	AT procenkovs ispolʹzovanieteorijanalizarazmernostejipodobiâdlâopisaniâkinetikiélektrohimičeskihprocessov AT danilovfi ispolʹzovanieteorijanalizarazmernostejipodobiâdlâopisaniâkinetikiélektrohimičeskihprocessov
first_indexed	2025-07-16T03:58:02Z
last_indexed	2025-07-16T03:58:02Z
_version_	1837774440543289344
fulltext	щенко В.Ю. // Электрохимические процессы в водных растворах. -Владивосток: ДВУ, 1987. -С. 106—117. 18. Хабалов В.В., Моргун Н .П ., Жидачевская В.Л. и др. // Химия и технол. воды. -1989. -11, № 7. -С. 598—600. 19. M uller G., Radke C.R., Prausnitz J.M . // Ber. Bunsens. Phys. Chem. -1979. -83. -Р. 1123—1129. 20. Шевелева И .В., Хабалов В.В., Павлова Г.С. // Журн. физ. химии. -1990. -64, № 1. -С. 166—170. 21. Стрелко В.В., Картель Н .Т ., Клименко Л.А ., Каздо- бин К.А . // Укр. хим. журн. -1989. -55, № 2. -C. 167—170. 22. Клименко Л.А ., Стрелко В.В., Каздобин К.А . и др. // Там же. -1990. -56, № 7. -C. 715—720. 23. Fleischmann M ., Oldfield J.W . // J. Electroanal. Chem. -1971. -29. -Р. 241—250. 24. Городыский А .В., Шваб Н .А ., Каздобин К.А . // Укр. хим. журн. -1980. -46, № 8. -C. 899—904. 25. Цапах С.Л. // Журн. прикл. химии. -1983. -56, № 9. -С. 1994—2000. 26. Coeuret F., Le Goff P . // Electrochim. Acta. -1976. -21. -Р. 195—202. 27. Каздобин К.А ., Клименко Л.А ., Шваб Н .А . // Укр. хим. журн. -1990. -56, № 1. -С. 33—36. V. Vernadsky Institute of General and Inorganic Chemistry Reseived 24.05.2004 NAS Ukraine, Kiev Laboratorie des Sciences du Genie Chimique, CNRS-ENSIC, Nancy, France УДК 541.138 В.С. Проценко, Ф.И. Данилов ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИЙ АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЯ ДЛЯ ОПИСАНИЯ КИНЕТИКИ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ Показана возможность использования теории обобщенных переменных для описания кинетики простейшей электрохимической реакции. Получены три комплексные безразмерные величины, характеризующие соот- ветственно относительную скорость, степень нелинейности и степень необратимости электродного процесса. Путем численного моделирования установлена количественная взаимосвязь между этими комплексами для электрохимической реакции с лимитирующей стадией разряда-ионизации. Разработка и анализ кинетических моделей электрохимических реакций представляет собой в общем случае весьма сложную задачу. Затруд- нения, с которыми приходится сталкиваться при решении этой проблемы, обусловлены как не- простым физико-химическим содержанием про- цессов переноса массы и заряда через границу раздела фаз проводник 1-го рода—проводник 2-го рода , так и сложной формой соответствую- щего математического аппарата. Большое чиc- ло разнородных переменных, вводимых для опи- сания кинетики электрохимических реакций, зачастую затемняет общую картину явлений и не позволяет найти скрытые связи системы и объе- динить эти связи в простые количественные за- кономерности. Однако в действительности влияние отдель- ных факторов, представленных разными вели- чинами, проявляется не по отдельности, а сов- местно, и анализируя поведение сложных си- стем, к числу которых можно отнести любой электрохимический процесс, следует рассматри- вать эти величины в совокупности, объединяя их в комплексы, определяющие конечный ре- зультат воздействия ряда факторов и имеющие, таким образом, ясный физический смысл. Данная идея лежит в основе теорий подобия и анализа размерностей (теории обобщенных пе- ременных) [1, 2], широко используемых в раз- личных областях науки и техники для анализа поведения самых разнообразных сложных сис- тем и процессов. В то же время в современной электрохимии эти теории еще не находят ши- рокого применения, хотя могут оказаться весь- ма полезными и плодотворными в целом ря- де случаев [3, 4]. Цель нашей работы заключа- лась в рассмотрении возможности применения методов теории обобщенных переменных для описания кинетики простейшей электрохимичес- кой реакции. Особенностью и достоинством данных тео- рий является то, что они применимы, даже если уравнения, определяющие процесс, неизвестны. В таком случае для получения комплексов, опи- © В.С. Проценко, Ф .И . Данилов , 2005 ISSN 0041-6045. УКР. ХИМ . ЖУРН . 2005. Т . 71, № 7 41 сывающих поведение рассматривае- мой системы, необходимо лишь про- вести рациональный и исчерпываю- щий выбор основных параметров и характеристик данной системы. Рассмотрим некоторую электро- химическую реакцию, для которой ос- новными параметрами будем считать следующие величины: 1) плотность тока i, А/м2; 2) электродную поля- ризацию ∆E, B; 3) дифференциаль- ную поляризационную проводимость D = ∂i ∂∆E , А/(м2⋅В); 4) концентрацию реагента С, кг/м3; 5) гетерогенную кон- станту скорости электродного процес- cа k , (м/с); 6) электрохимический эк- вивалент реагента в данной реакции ε, кг/(А⋅с). Допустим, что уравнения, связывающие при- веденные выше параметры, неизвестны. Для уста- новления структуры безразмерных комплексов, характеризующих электродный процесс, исполь- зуем методику, подробно описанную в работе [2]. Степени размерностей основных парамет- ров системы сведены в табл. 1. Число параметров рассматриваемой систе- мы равно 6. Легко показать, что ранг матрицы, составленной из коэффициентов табл. 1, равен 3. Поэтому можно получить три комплексные безразмерные величины (6–3=3), характеризу- ющие данную систему: πi = [R 1] z i,1 [R 2] z i,2 ... [R 6] z i,6 , где i = 1, 2, 3. Для нахождения коэффициентов zi,1, ... zi,6 на основании данных табл. 1 составляем систе- му уравнений:        −2zi,1 + 2zi,2 − 4zi,3 − 3zi,4 + zi,5 = 0 zi,2 − zi,3 + zi,4 + zi,6 = 0 −3zi,2 + 3zi,3 − zi,5 − zi,6 = 0 zi,1 − zi,2 + 2zi,3 − zi,6 = 0 . Так как ранг матрицы коэффициентов дан- ной системы равен 3, то система имеет три неза- висимых решения (6–3=3). Эти решения неслож- но найти, например, методом подбора: – первое решение z1,1=1; z1,2=z1,3=0; z1,4= z1,5=–1; z1,6=1; – второе решение z2,1=–1; z2,2=z2,3=1; z2,4= z2,5=z2,6=0; – третье решение z3,1=z3,2=1; z3,3=0; z3,4=–1; z3,5=–3; z3,6=0. Таким образом, искомые безразмерные ком- плексы имеют вид: π1 = iε kC ; π2 = ∆E ⋅D i ; π3 = i ∆E k3C . Проанализируем физический смысл получен- ных комплексов. Величина iε в числителе комплекса π1 имеет размерность кг/(м2⋅с) и фактически характери- зует скорость электродной реакции как гетеро- генного процесса при данных условиях. Знамена- тель выражения π1 есть приближенная мера ско- рости прямой и обратной стадий электрохими- ческой реакции при равновесном потенциале (∆E=0). Действительно, в соответствии с теорией замедленного разряда ток обмена io=nFkCO 1–α⋅ CR α, а соответствующая ему скорость реакции ωo=kCO 1–α⋅CR α, где CO и CR — концентрации окисленной и восстановленной форм реагента, моль/м3; α — коэффициент переноса. При CO=CR получаем ωo= kCO, тo еcть величину, отлича- ющуюся от знаменателя комплекса π1 на по- стоянный множитель M r=CO/C — молярную массу деполяризатора. Ясно, что величина kC/ε имеет тот же по- рядок, что и ток обмена электрохимической ре- акции io. Поэтому комплекс π1 позволяет при- ближенно сопоставить реальный ток электрохи- мической реакции при данной поляризации с ее током обмена, являющимся здесь характерной ве- личиной. При равновесном потенциале (когда i=0) π1=0, с ростом поляризации (и тока) значе- ние π1 увеличивается. Таким образом, комплекс π1 Т а б л и ц а 1 Степени размерностей первичных величин (L — длина, M — масса , T — время, I — сила тока) для параметров электрохи- мической системы Парамет- ры систе- мы Величина и ее размерность Степени размер- ностей величин L M T I R1 i, А/м2 –2 0 0 1 R2 ∆E, В = (кг⋅м2)/(с3⋅А) 2 1 –3 –1 R3 D = ∂i ∂∆E , А/(м2⋅В) = (А2⋅с3)/(м4⋅кг) –4 –1 3 2 R4 С, кг/м3 –3 1 0 0 R5 k , м/c 1 0 –1 0 R6 ε, кг/(А⋅с) 0 1 –1 –1 42 ISSN 0041-6045. УКР. ХИМ . ЖУРН . 2005. Т. 71, № 7 выступает в роли безразмерной относительной ха- рактеристики скорости электродного процесса. Числитель комплексной величины π2, выра- жение для которой можно записать в виде π2= = i/i, представляет собой воображаемый ток i=∆E⋅D, который проходил бы через электрод при данной поляризации и соответствующей дифференциальной проводимости в соответст- вии с законом Ома , если бы электрод вел себя как электрически линейная система (рис. 1). В структуре комплекса π2 величина i* соот- носится с реальным током i, проходящим через электрод. Очевидно, что при малых отклонениях от равновесия, при которых поляризационная ха- рактеристика электрода практически линейна (i=∆E⋅D), величины i и i* совпадают, следова- тельно π2=1. С ростом поляризации отклонения от линейности все более увеличиваются и значе- ние π2 возрастает. Таким образом, комплекс π2 является мерой степени нелинейности электрод- ного процесса, рассматриваемого как электро- технический объект. Отметим, что комплекс π2 в принципе мо- жет равняться нулю (предельный ток, случай иде- ально поляризуемого электрода) и даже быть от- рицательным (отрицательная дифференциаль- ная проводимость для ниспадающих участков i, ∆E кривых). Несложно показать, что выражения в числи- теле и знаменателе комплекса π3 имеют размер- ность мощности (Дж/с). Что касается произве- дения i⋅∆E, то оно, очевидно, характеризует энер- гию, рассеиваемую за единицу времени в элек- трохимической системе в результате поляриза- ции электрода. Для выяснения физического смысла произ- ведения k3C укажем, что любая электрохими- ческая реакция, как частный случай гетероген- ного физико-химического процесса, может фор- мально рассматриваться как процесс переноса массы через некоторую контрольную поверх- ность (границу раздела фаз проводник 1-го ро- да—проводник 2-го рода). Вступающие в элек- трохимическую реакцию частицы в силу свое- го движения через эту поверхность обладают определенной кинетической энергией, равной 1/2mV 2, где V — скорость реального или вооб- ражаемого перемещения реагирующих частиц, масса которых равна m. При равновесном по- тенциале скорость этого переноса характеризу- ет гетерогенная константа скорости k , м/с. При этом масса вещества, проходящего через едини- цу площади поверхности раздела фаз за едини- цу времени, равна, очевидно, kC, а соответст- вующая кинетическая энергия — 1/2k3C. Так как при равновесном потенциале сосуществуют два противоположно направленных потока ве- щества (в катодном и анодном направлениях электрохимической реакции), то, допуская равен- ство концентраций окисленной и восстановлен- ной форм, получаем окончательно следующее выражение для суммарной кинетической энер- гии: k3C, тo еcть знаменатель комплекса π3. Видимо, можно утверждать, что величина k3C является характеристикой скорости обмена электрохимической системы в равновесных ус- ловиях, выраженной в энергетических единицах. Итак, величина π3 есть приближенная мера от- ношения энергии, рассеиваемой в виде теплоты за счет поляризации, к кинетической энергии переноса частиц окисленной и восстановленной форм в электродной реакции при равновесном потенциале. Ясно, что при ∆E=0 комплекс π3 равен нулю. С ростом поляризации величина π3 увеличивается тем быстрее, чем меньше значение гетерогенной константы скорости. Таким образом, численное значение ком- плекса π3 является характеристикой степени необ- ратимости электродной реакции. В соответствии с π-теоремой [2] между ком- плексами π1, π2, π3 должна существовать функци- ональная зависимость типа: f(π1, π2, π3) = 0 . (1) Рис. 1. Зависимость плотности тока от электродной по- ляризации: 1 — реальная поляризационная кривая, 2 — воображаемая прямая, построенная на основании закона Ома для данной поляризации E и соответст- вующей поляризационной проводимости D. ISSN 0041-6045. УКР. ХИМ . ЖУРН . 2005. Т . 71, № 7 43 Установление конкретного вида этой функ- ции выходит за рамки возможностей теорий по- добия и анализа размерностей и может быть осу- ществлено на основании экспериментальных данных или путем численного моделирования по известным уравнениям электрохимической кинетики. Рассмотрим одноэлектронную электрохими- ческую реакцию с коэффициентом переноса α= =0.5. В этом случае, если не учитывать замед- ленность транспортной стадии и влияние ДЭС на скорость разряда, уравнение поляризацион- ной кривой можно записать в виде: i = 2io sh   E 2RT ∆E   . (2) Если принять, что СO=CR=С, то ток обмена равен io=FkCo. Дифференциальная поляризационная про- водимость электрода определяется по формуле: D = ∂i ∂∆E = io E RT ch   F RT ∆E   . С использованием этих уравнений для раз- личных сочетаний значений k и C нами полу- чены зависимости комплексов π1, π2 и π3 от элек- тродной поляризации. Результаты расчетов для одной из комбинаций значений k и C (k=10–7 м/с, Co= 1000 моль/м3, C= 100 кг /м3, M r= 0.1 кг/моль — молярная масса деполяризатора) пред- ставлены в табл. 2. Как было отмечено выше и подтверждается полученными данными, с ростом поляризации и тока наблюдается увеличение всех трех ком- плексов. При небольших отклонениях от равно- весного потенциала комплекс π2 практически равен 1, тo есть в этих условиях система являет- ся линейным электротехническим объектом. Очень большие значения комплекса π3 ука- зывают на то, что рассеиваемая в результате по- ляризации энергия несопоставимо превосходит кинетическую энергию переноса частиц через межфазную границу. В теории подобия принято считать, что если комплекс принимает слишком большие или слишком малые значения, то он те- ряет свой смысл и вырождается, то есть должен быть исключен из числа анализируемых безраз- мерных относительных параметров. Очевидно, что вырождение комплекса π3 снимается (то есть он принимает не слишком бо- льшие значения и должен быть учтен в кине- тическом анализе) только для достаточно "быс- трых" (обратимых) электрохимических реак- ций с большим значением гетерогенной кон- станты скорости и при невысокой поляризации электрода. Однако в таких случаях уже при не- больших отклонениях от равновесного потенци- ала следует учитывать диффузионные ограни- чения и принятая в данной работе кинетичес- кая модель становится неадекватной . Поэтому такие случаи здесь не рассматриваются. С учетом вырождения критерия π3 уравне- ние (1) упрощается: f(π1, π2) = 0 . Зависимость комплексов π1 и π2 в билога- рифмической системе координат имеет сложный вид и соответствующая кривая может быть ус- ловно разделена на три участка (рис. 2). Участок I характеризуется постоянным зна- чением π2=1 (электрод ведет себя как линейная система) и соответствует небольшим отклоне- ниям от равновесия и сравнительно невысоким относительным скоростям реакции (π1<1). Участок II (область умеренной поляриза- ции, где 1<π1<20) в координатах lnπ2, lnπ1 с хорошей точностью может быть аппроксимиро- ван отрезком прямой, тангенс угла наклона ко- торой близок к 0.13. На этом участке уже суще- ственно проявляется нелинейность электрохи- мической системы (π2>1). Наконец, на участке III (область высокой по- Т а б л и ц а 2 Расчетные значения комплексов π1—π3 ∆E, В π1 π2 π3 0.001 0.039 1.000 3.76⋅1015 0.002 0.078 1.000 1.504⋅1016 0.005 0.195 1.003 9.41⋅1016 0.010 0.392 1.013 3.78⋅1017 0.020 0.799 1.050 1.54⋅1018 0.050 2.27 1.298 1.095⋅1019 0.100 6.87 2.027 6.63⋅1019 Несложно показать, что диффузионный массоперенос может быть учтен при введении безразмерного комплекса d/k , где d — константа скорости диффузионного массопереноса. В данной работе полагаем, что d>>k , то есть этот комплекс вырожден и в кинетическом анализе не принимается во внимание. 44 ISSN 0041-6045. УКР. ХИМ . ЖУРН . 2005. Т. 71, № 7 ляризации, π1>20) зависимость lnπ2, lnπ1 те- ряет линейный характер и представляет собой монотонно возрастающую кривую с выпукло- стью вверх. Очевидно, что комплекс π1 не может прини- мать бесконечно большие численные значения. Даже если не принимать во внимание возмож- ные диффузионные ограничения скорости реак- ции, пределом роста комплекса π1 является до- стижение области безактивационного разря- да , что в принятой выше кинетической модели не учитывается. При варьировании значений k и C на осно- вании уравнения (2) может быть получено бес- конечно большое число различных поляриза- ционных кривых. Однако ясно, что любая то- чка на этих кривых соответствует определенной и единственной точке на кривой рис. 2. Таким образом, данная единственная кривая объеди- няет в себе (включает в себя) бесконечно боль- шое число разнообразных поляризационных кривых, так как определенному значению без- размерных комплексов π1 и π2 отвечает беско- нечно большое множество сочетаний первона- чальных величин k и C . В этом заключается специфика и характерная черта анализа с по- зиций теорий обобщенных переменных — ис- следование приобретает обобщенный характер, недостижимый при использовании традици- онных методов. Очевидно, что для рассмотренной выше от- носительно простой кинетической модели ана- лиз с использованием относительных комплек- сных величин не может заменить, а лишь допол- няет классические кинетические уравнения. В то же время несомненно, что применение этого метода может оказаться чрезвычайно полезным для описания поведения более сложных много- факторных систем, при котором принципиаль- но важным является существенное снижение чи- сла используемых в анализе параметров и аргу- ментов [3, 4]. РЕЗЮМЕ. Показано можливість використання теорії узагальнених перемінних для опису кінетики найпростішої електрохімічної реакції. Отримано три комплексні безрозмірні величини, що характеризують відповідно відносну швидкість, ступінь нелінійності та ступінь необоротності електродного процесу. Шля- хом чисельного моделювання встановлено кількісний взаємозв’язок між цими комплексами для електрохімі- чної реакції з уповільненою стадією розряду-йонізації. SUMMARY. It is shown that the generalized vari- ables theory can be used for analyzing of the elementary electrochemical reaction kinetics. Three complex dimen- sionless quantities describing accordingly relative rate, degree of nonlinearity and degree of nonreversibility of electrode process are obtained. The quantitative deрen- dencies between these complexes for electrochemical reac- tion with a limiting discharge-ionization stage are recеi- ved by numerical modeling. 1. Гухман А .А . Введение в теорию подобия. -М .: Высш. шк., 1973. 2. Алабужев П .М ., Геронимус В.Б., Минкевич Л.М ., Шеховцев Б.А . Теории подобия и размерностей. Моделирование. -М .: Высш. шк., 1968. 3. Проценко В.С., Данилов Ф.И. // Электрохимия. -41, № 1. -С. 116—120. 4. Проценко В.С., Данилов Ф.И . // Там же. -41, №1. -С. 121—125. Украинский государственный химико-технологический Поступила 01.03.2004 университет, Днепропетровск Рис. 2. Зависимость между комплексами π1 и π2 в билогарифмических координатах. ISSN 0041-6045. УКР. ХИМ . ЖУРН . 2005. Т . 71, № 7 45

Использование теорий анализа размерностей и подобия для описания кинетики электрохимических процессов

Institution

Ähnliche Einträge