Ієрархія еволюційних рівнянь для кореляцій плинів твердих сфер

Обговорюється підхід до опису кореляцій у системі багатьох твердих сфер на основі ієрархії еволюційних рівнянь для кореляційних функцій. Встановлено, що побудована динаміка кореляцій лежить в основі опису динаміки як скінченного, так і нескінченного числа твердих сфер, яка описується ієрархіями рі...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2022
Hauptverfasser:	Гап’як, І.В., Герасименко, В.І.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2022
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Математика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/185309
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Ієрархія еволюційних рівнянь для кореляцій плинів твердих сфер / І.В. Гап’як, В.І. Герасименко // Доповіді Національної академії наук України. — 2022. — № 3. — С. 3-12. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-185309
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1853092022-09-12T01:27:06Z Ієрархія еволюційних рівнянь для кореляцій плинів твердих сфер Гап’як, І.В. Герасименко, В.І. Математика Обговорюється підхід до опису кореляцій у системі багатьох твердих сфер на основі ієрархії еволюційних рівнянь для кореляційних функцій. Встановлено, що побудована динаміка кореляцій лежить в основі опису динаміки як скінченного, так і нескінченного числа твердих сфер, яка описується ієрархіями рівнянь ББГКІ для редукованих функцій розподілу або редукованих кореляційних функцій. In the communication we discuss an approach to describing the correlations in a system of many hard spheres based on the hierarchy of evolution equations for correlation functions. It is established that the constructed dynamics of correlations underlies the description of the dynamics of both finitely and infinitely many hardspheres governed by the BBGKY hierarchies for reduced distribution functions or reduced correlation functions. 2022 Article Ієрархія еволюційних рівнянь для кореляцій плинів твердих сфер / І.В. Гап’як, В.І. Герасименко // Доповіді Національної академії наук України. — 2022. — № 3. — С. 3-12. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2022.03.003 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/185309 517.9:531.19 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Гап’як, І.В. Герасименко, В.І. Ієрархія еволюційних рівнянь для кореляцій плинів твердих сфер Доповіді НАН України
description	Обговорюється підхід до опису кореляцій у системі багатьох твердих сфер на основі ієрархії еволюційних рівнянь для кореляційних функцій. Встановлено, що побудована динаміка кореляцій лежить в основі опису динаміки як скінченного, так і нескінченного числа твердих сфер, яка описується ієрархіями рівнянь ББГКІ для редукованих функцій розподілу або редукованих кореляційних функцій.
format	Article
author	Гап’як, І.В. Герасименко, В.І.
author_facet	Гап’як, І.В. Герасименко, В.І.
author_sort	Гап’як, І.В.
title	Ієрархія еволюційних рівнянь для кореляцій плинів твердих сфер
title_short	Ієрархія еволюційних рівнянь для кореляцій плинів твердих сфер
title_full	Ієрархія еволюційних рівнянь для кореляцій плинів твердих сфер
title_fullStr	Ієрархія еволюційних рівнянь для кореляцій плинів твердих сфер
title_full_unstemmed	Ієрархія еволюційних рівнянь для кореляцій плинів твердих сфер
title_sort	ієрархія еволюційних рівнянь для кореляцій плинів твердих сфер
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2022
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/185309
citation_txt	Ієрархія еволюційних рівнянь для кореляцій плинів твердих сфер / І.В. Гап’як, В.І. Герасименко // Доповіді Національної академії наук України. — 2022. — № 3. — С. 3-12. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT gapâkív íêrarhíâevolûcíjnihrívnânʹdlâkorelâcíjplinívtverdihsfer AT gerasimenkoví íêrarhíâevolûcíjnihrívnânʹdlâkorelâcíjplinívtverdihsfer
first_indexed	2025-07-16T05:56:26Z
last_indexed	2025-07-16T05:56:26Z
_version_	1837781889550647296
fulltext	3 ОПОВІДІ НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2022. № 3: 3—12 Ц и т у в а н н я: Гап’як І.В., Герасименко В.І. Ієрархія еволюційних рівнянь для кореляцій плинів твердих сфер. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2022. № 3. С. 3—12. https://doi.org/10.15407/dopovidi2022.03.003 Останнім часом, головним чином у зв’язку з проблемою строгого виведення кінетичних рів- нянь з динаміки багатьох частинок [1, 2], з’явилася низка статей [4—13], в яких обговорю- ються можливі підходи до опису еволюції стану системи твердих сфер. У цьому повідомленні розвинуто підхід до опису еволюції стану за допомогою як реду- кованих функцій розподілу, так і редукованих кореляційних функцій, який ґрунтується на динаміці кореляцій багатьох твердих сфер. Як відомо [1—3], у просторі 3 у початковий момент стан системи твердих сфер не фіксованого, тобто довільного, але скінченного середнього числа однакових части- нок, описується послідовністю 0 0 1(0) (1, , , , )nD D D   функцій розподілу ймовірності 0 0 1( , , ),n n nD D x x  n  1, визначених на фазовому просторі 3 3( \ )n n n   системи n твер- дих сфер. Кожна тверда сфера діаметром σ > 0 характеризується координатами фазового простору 3 3( , ) ,i i iq p x    i  1, і для конфігурацій у просторі виконуються такі нерів- ності: \| \| ,i jq q  1i j  , тобто множина 3 1{( , , ) \|\| \|<n n n i jq q q q     хоча б для однієї пари ( , ) : (1, , )}i j i j n   є множиною заборонених конфігурацій. Невід’ємні функції 0 ,nD n  1, які симетричні відносно перестановок аргументів 1, , nx x і дорівнюють нулю на мно- https://doi.org/10.15407/dopovidi2022.03.003 УДК 517.9:531.19 І.В. Гап’як 1, https://orcid.org/0000-0003-2102-1583 В.І. Герасименко1, 2, https://orcid.org/0000-0003-2577-2237 1 Київський національний університет ім. Тараса Шевченка 2 Інститут математики НАН України, Київ E-mail: gapjak@ukr.net, gerasym@imath.kiev.ua Ієрархія еволюційних рівнянь для кореляцій плинів твердих сфер Представлено членом-кореспондентом НАН України В.Г. Самойленком Обговорюється підхід до опису кореляцій у системі багатьох твердих сфер на основі ієрархії еволюційних рівнянь для кореляційних функцій. Встановлено, що побудована динаміка кореляцій лежить в основі опису динаміки як скінченного, так і нескінченного числа твердих сфер, яка описується ієрархіями рівнянь ББГКІ для редукованих функцій розподілу або редукованих кореляційних функцій. Ключові слова: ієрархія ББГКІ, ієрархія Ліувілля, кореляційна функція. МАТЕМАТИКА MATHEMATICS 4 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2022. № 3 І.В. Гап’як, В.І. Герасименко жині заборонених конфігурацій n , вважатимемо належать простору інтегрованих функцій 1 1 3 3( )n n nL L   з нормою: 1 1 1 3 3 \| ( , , ) \|n n n nLn n n f dx dx f x x          . Еволюція всіх можливих станів системи багатьох твердих сфер описується послідовніс- тю 1( ) (1, ( ), , ( ), )nD t D t D t   таких функцій розподілу ймовірності: 0 1 1( , , , ) (– ,1, , ) ( , , )n n n n nD t x x S t n D x x               0 1 1 1 3 3 1 1 ( (– , , , ), , (– , , , )), if ( , , ) ( ( \ )), 0, if ( , , ) n n n n n n n n n n D X t x x X t x x x x q q     (1) де для t  функція 1(– , , , )i nX t x x — фазова траєкторія i-ї твердої сфери, побудована в [1]. Зазначимо, що ця функція визначена майже всюди на фазовому просторі 3 3( \ )n n n   , а саме — поза множиною 0 n нульової міри Лебега, яка складається з точок фазового простору 1( , , )nx x , для яких у процесі еволюції можуть відбуватися багаторазові зіткнення, тобто зіткнення більш ніж двох частинок, одночасні зіткнення двох частинок і нескінченне число зіткнень на скінченному інтервалі часу [1, 2]. На просторі 1 1 3 3( )n n nL L   однопараметричне відображення (1) утворює сильно не- перервну групу ізометричних операторів. Інфінітезимальний генератор n  цієї групи опера- торів має таку структуру: int 1 2 1 < 11 2 (1, , ) ( ) ( , ) , n n n n n n j j j n f j f j j f          (2) де оператор Ліувілля вілного руху ( ) ,j j j p q       , який визначено на підпросторі 1 1 , 0n nL L , позначено символом ( )j і для t > 0 оператор int 1 2( , )j j описується формулою 2 * * int 1 2 11 2 1 1 2 2 2 ( , ) , ( ) ( , , , , , , , , )n j j n j j j j nj j f d p p f x p q p q x           × × 1 2 ( )j jq q    1 1 2 ( , , ) ( )).n n j jf x x q q   (3) Тут символом ,  позначено скалярний добуток, δ — міра Дірака, 2 3{ \|     1 21 , ( ) > 0}p p    , імпульси ,i jp p  до зіткнення твердих сфер визначаються такими ви- разами: , ( ) ,i i i jp p p p    , ( ) .j j i jp p p p    У випадку t < 0 оператор int 1 2( , )j j визначається відповідним виразом [1]. , 5ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2022. № 3 Ієрархія еволюційних рівнянь для кореляцій плинів твердих сфер Якщо 0 1 ,n nD L n  1, послідовність функцій розподілу, яка визначена формулою (1), є єдиним розв’язком задачі Коші для послідовності еволюційних рівнянь для стану, відомого як слабке формулювання рівняннь Ліувілля для твердих сфер [1]. Альтернативний підхід до опису станів системи скінченної кількості твердих сфер ґрун- тується на використанні функцій, які визначаються кластерними розкладами функцій роз- поділу ймовірностей. Такі функції інтерпретуються як кореляційні функції або кумулянти функцій розподілу ймовірностей. Введемо послідовність кореляційних функцій 1 1 1( ) (1, ( , ), , ( , , , ), )s sg t g t x g t x x    за допомогою кластерних розкладів функцій розподілу ймовірностей ( )D t  1 1 1(1, ( , ), , ( , , , ), )n nD t x D t x x    , визначених на дозволених конфігураціях 3 \n n  у такий спосіб: 1 1 \| \| P: ( , , ) , \|P\|>1 P1 ( , , , ) ( , , , ) ( , ), 1,n n n n iX ix x X Xn i i i D t x x g t x x g t X n            (4) де P: ( , , ) , \|P\|>11x x Xn i i     — сума за всіма можливими розбиттями P множини аргументів 1( , , )nx x на \| P \|>1 непорожніх підмножин 1( , , )i nX x x  , які взаємно не перетинаються. На множині 3 \n n  розв’язки рекурсійних співвідношень (4) визначаються такими розкладами: 1 1( , , , ) ( , , , )s s s sg t x x D t x x   1 \|P\| 1 \| \| P:( , , ) , \|P\|>1 P (–1) (\| P \| 1)! ( , ), 1.iX i x x X Xs i i i D t X s         (5) Структура розкладів (5) така, що кореляційні функції можна трактувати як кумулянти (напівінваріанти) функцій розподілу ймовірностей (1). Таким чином, кореляційні функції (5) дають можливість описувати еволюцію станів скінченної кількості твердих сфер у еквівалентний спосіб у порівнянні з функціями розпо- ділу ймовірностей (1), а саме на основі динаміки кореляцій [14]. Якщо початковий стан заданий послідовністю 0 0 1 1 1(0) (1, ( ), , ( , , ), )n ng g x g x x    ко- реляційних функцій 0 1 ,n ng L n  1, то еволюція всіх можливих станів, тобто послідовність 1 1 11, , , ),( ) ( ( ) (, , , ),s sg t g t x g t x x    кореляційних функцій )(sg t , s  1, визначається та- кими розкладами: 1( , , , ) ( ;1, , \| (0))s sg t x x t s g     0 1 \|P\|\|P\| \| \| P: ( , , ) P1 ( , { }, ,{ }) ( ), 1,jX j x x X Xs j j j t X X g X s         A (6) де P: ( , , )1x x Xs j j     — сума за всіма можливими розбиттями P множини 1( ), , sx x на \| P \| непо- рожніх підмножин Xj, які взаємно не перетинаються, множина 1 \|P\|({ }, , { })X X складається з 6 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2022. № 3 І.В. Гап’як, В.І. Герасименко елементів, які є підмножинами 1( , , )j sX x x  , тобто 1 \|P\|\| ({ }, , { }) \| \| P \|X X  , і символ X озна- чає множину індексів множини X координат фазового простору. Твірний оператор \|P\| ( )tA у розкладі (6) є кумулянтом \| P \| порядку груп операторів (1), який визначається розкладом   1 \|P\|\|P\| ( , { }, , { })t X X A           \|P'\| 1 \| ( )\| P'P':({ }, , { })1 \|P\| (–1) (\| P' \| 1)! (– , ( )),kZk ZX X Z kk k S t Z (7) де θ — відображення декластеризації   1 \|P\|({ }, , { }) (1, , )X X s   . Структура розкладів (6) встановлюється в результаті перестановки членів кумулянтних розкладів (5) для кореляційних функцій і кластерних розкладів (4) для початкових функ- цій розподілу ймовірностей. Таким чином, кумулянтне походження кореляційних функцій індукує кумулянтну структуру їх динаміки (6). Зокрема, за відсутності кореляцій між твердими сферами в початковий момент (по- чатковий стан, що задовольняє умову хаосу [1]) послідовність початкових кореляційних функцій на дозволених конфігураціях має вигляд ( ) 0 1 1(0) (1, ( ), 0, , 0, )cg g x   . У цьому випадку для 3 3 1( , , ) ( \ )s s s sx x      розклади (6) зображаються таким чином: 0 1 1 3 \ 1 ( , , , ) ( ,1, , ) ( ) , 1, s s s s i s si g t x x t s g x s       A (8) де характеристичну функцію дозволених конфігурацій n твердих сфер позначено 3 \n n   і твірний оператор ( )s tA цього розкладу є кумулянтом s порядку груп операторів (1), який визначається розкладом \|P\|–1 \| \| P:(1, , ) P ( ,1, , ) (–1) (\| P \| –1)! (– , ),s iX i s X Xi i i t s S t X        A (9) і використано позначення, прийняті у формулі (6). Зі структури ряду (8) зрозуміло, що у разі відсутності кореляцій у початковий момент кореляції породжені внаслідок еволюції системи твердих сфер цілком визначаються кумулянтами (9) груп операторів рівняння Ліувілля. Якщо 0 1 ,n ng L n  1, то однопараметричне відображення (6) породжує сильну неперервну групу обмежених нелінійних операторів і справедлива така оцінка: 1( ;1, , \| ) ! ,s Ls t s g s c   де   P: (1, , ) 1\| \| \| \| max(1, )max s X Xi Li Xi i c g  . Для 1 , 0 ,n ng L n  1, інфінітезимальний генератор цієї групи нелінійних операторів має таку структуру: 1(1, , \| ) (1, , ) ( , , )s s ss g s g x x       int 1 2 1 2\| \| \| \|1 2 P:( , , ) 1 21 1 2 1 2 ( , ) ( ) ( ),X X x x X X i X i Xs i i g X g X           (10) де використано прийняті у розкладі (6) позначення. 7ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2022. № 3 Ієрархія еволюційних рівнянь для кореляцій плинів твердих сфер Якщо 0 1 ,s sg L s  1, то для t  послідовність кореляційних функцій (6), визначених на множині дозволених конфігурацій, є єдиним розв’язком задачі Коші для ієрархії рівнянь Ліувілля у формулюванні в слабкому сенсі 1 1( , , , ) (1, , ) ( , , , )s s s s sg t x x s g t x x t        +            int 1 2 1 2\| \| \| \|1 2 P: ( , , )1 1 2 1 21 2 ( , ) ( , ) ( , ),X X x x X X i X i Xs i i g t X g t X (11) 0 1 0 1( , , , ) \| ( , , ), 1,s s t s sg t x x g x x s    (12) де P: ( , , )1 1 2x x X Xs     — сума за всіма можливими розбиттями P множини 1( ), , sx x на дві підмножини X1 та X2, які взаємно не перетинаються, символ  iX означає множину індек- сів множини Xi координат фазового простору та оператор s  визначається на підпросторі 1 1 0L L формулою (2). Слід зазначити, що ієрархія рівнянь Ліувілля (11) є рекурентною системою еволюційних рівнянь. Для довільних t  єдиний розв’язок задачі Коші для ієрархії рівнянь Ліувілля (11), (12) зображується послідовністю розкладів (6). Якщо 0 1 1 , 0n n ng L L  , n  1, послідовність розкладів (6) є класичним розв’язком і для довільних початкових даних 0 1 ,n ng L n  1, — уза- гальненим розв’язком. Підкреслимо, що динаміка кореляцій, тобто фундаментальні рівняння (11), що опису- ють еволюцію кореляцій станів твердих сфер, можна використовувати як основу для опису еволюції стану як скінченної, так і нескінченної кількості твердих сфер замість рівняння Ліувілля для стану. Далі ми встановимо, що побудована динаміка кореляції лежить в основі опису еволюції нескінченної кількості твердих сфер за допомогою ієрархій рівнянь для редукованих функ- цій розподілу або редукованих кореляційних функцій. Для системи твердих сфер нефіксованого, тобто довільного, але скінченного середнього числа однакових частинок, редуковані функції розподілу визначаються за допомогою функ- цій розподілу ймовірностей у такий спосіб [1]: –1 1 1 1 0 3 3( ) 1 ( , , , ) ( , ( )) ( , , , ), 1, !s s s s n s n s n n n F t x x I D t dx dx D t x x s n               (13) де нормувальний множник       1 1 0 3 3( ) 1 ( , ( )) ( , , , ) ! n n n n n I D t dx dx D t x x n    — велика не- рівноважна статистична сума. Можливість перевизначення редукованих функцій розпо- ділу закономірно виникає в результаті ділення ряду у виразі (13) на ряд нормувального коефіцієнта. 8 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2022. № 3 І.В. Гап’як, В.І. Герасименко Визначення редукованих функцій розподілу, еквівалентне (13), формулюється на осно- ві кореляційних функцій (6) системи твердих сфер у вигляді таких розкладів у ряд: 1 1 1 1 1 0 3 3( ) 1 ( , , , ) ( , { , , }, , , ), 1, !s s s s n n s s s n n n F t x x dx dx g t x x x x s n                 (14) де на множині дозволених конфігурацій 3( ) \s n s n    кореляційні функції кластерів твер- дих сфер 1 ( )ng t , n  0, визначаються розкладами 1 1 1( , { , , }, , , )n s s s ng t x x x x                  0 \|P\|\|P\| \| \|1 P:({ , , }, , , ) P1 1 ( , { ( )}, , { ( )}) ( ), 0.iXi x x x x X Xs s s n i i i t X X g X nA (15) Нагадаємо, що в розкладі (15) символ      P:({ , , }, , , )1 1x x x x Xs s s n i i означає суму за всіма можливими розбиттями P множини 1 1({ , , }, , , )s s s nx x x x   на непорожні підмножини Xi, які взаємно не перетинаються, та твірний оператор \|P\| ( )tA є \| P \| порядку кумулянтом (7) груп операторів (1). Оскільки кореляційні функції 1 ( )ng t , n  0, задовольняють відповідну ієрархію рів- нянь Ліувілля для кластера твердих сфер і твердих сфер, редуковані функції розподілу (14) задовольняють ієрархію рівнянь ББГКІ для твердих сфер [1]. Зазначимо, що ієрархія рівнянь ББГКІ для твердих сфер була вперше математично обґрунтована в роботі [2] (див. також [1]). Внаслідок визначення (14) та кумулянтної структури зображення розв’язку (6) для іє- рархії рівнянь Ліувілля (11), якщо початковий стан задається послідовністю редукованих функцій розподілу 0 0 1 1 1(0) (1, ( ), , ( , , ), )n nF F x F x x    , еволюція всіх можливих станів, тобто послідовність редукованих функцій розподілу ( ),sF t s  1, визначається такими роз- кладами в ряд [15]: 1 1 1 0 3 3( ) 1 ( , , , ) ( , {1, , }, !s s s s n n n n F t x x dx dx t s n              A 0 1 1, , ) ( , , ), 1,s n s ns s n F x x s     (16) де твірними операторами таких рядів 1 ( , {1, , }, 1, , )n t s s s n    A \|P\|–1 \| ( )\| P:({1, , }, 1, , ) P (–1) (\| P \| –1)! (– , ( ))iX i s s s n X Xi i i S t X           (17) є кумулянти відповідного порядку (7) груп операторів (1) і використано прийняті вище позначення. 9ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2022. № 3 Ієрархія еволюційних рівнянь для кореляцій плинів твердих сфер Зауважимо, що зображення (16) безпосередньо встановлюється для початкових станів, які задовольняють умову хаосу, завдяки справедливості в цьому випадку зображення (14) для кореляційних функцій кластера твердих сфер та твердих сфер. Як відомо, у мікроскопічному масштабі макроскопічні характеристики флуктуацій спо- стережуваних безпосередньо визначаються за допомогою редукованих кореляційних функ- цій (маргінальних або s-часткових кореляційних функцій, або кумулянтів маргіналів [4, 5]). У разі застосування альтернативного підходу до опису еволюції станів системи твердих сфер на основі кореляційних функцій (6) редуковані кореляційні функції визначаються за допомогою розв’язку задачі Коші для ієрархії рівнянь Ліувілля (11), (12) у такий спосіб: 1 1 1 0 3 3( ) 1 ( , , , ) ( , , , ), 1, !s s s s n s n s n n n G t x x dx dx g t x x s n               (18) де твірна функція 1( , , , )s n s ng t x x  визначається розкладом (6). Таке зображення для редукованих кореляційних функцій (18) може бути отримано як результат того, що редуковані кореляційні функції є кумулянтами редукованих функцій розподілу (14). Дійсно, традиційно редуковані кореляційні функції вводяться за допомо- гою кластерних розкладів редукованих функцій розподілу, подібно до кластерних розкладів функцій розподілу ймовірностей (4) і на множині дозволених конфігурацій 3 \n n  вони мають вигляд 1 \| \| P:( , , ) P1 ( , , , ) ( , ), 1,s s iX i x x X Xs i i i F t x x G t X s          (19) де, як і вище, P:( , , )1x x Xs i i     — сума за всіма можливими розбиттями P множини 1( ), , sx x на \| P \| підмножин 1( , , )i sX x x  , які взаємно не перетинаються. Внаслідок цього розв’язок рекурентних співвідношень (19) зображується через редуковані функції розподілу в та- кий спосіб: \|P\|–1 1 \| \| P:( , , ) P1 ( , , , ) (–1) (\| P \| –1)! ( , ), 1.s s iX i x x X Xs i i i G t x x F t X s          (20) Функції (20) інтерпретуються як функції, якими описуються кореляції станів твердих сфер. Структура розкладів (20) така, що редуковані кореляційні функції є кумулянтами (напівінваріантами) редукованих функцій розподілу (16). Оскільки кореляційні функції ( )s ng t , n  0, задовольняють ієрархію рівнянь Ліувіл- ля для твердих сфер (11), редуковані кореляційні функції, визначені формулою (18), задо- вольняють ієрархію еволюційних нелінійних рівнянь для твердих сфер (нелінійна ієрархія рівнянь ББГКІ): 1 1( , , , ) ( , , , )s s s s sG t x x G t x x t       10 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2022. № 3 І.В. Гап’як, В.І. Герасименко             int 1 2 1 2\| \| \| \|1 2 P: ( , , )1 1 2 1 21 2 ( , ) ( , ) ( , )X X x x X X i X i Xs i i G t X G t X 1 int 1 1 1 13 3 ( ( , 1) ( , , , ) s s s s i dx i s G t x x             +            int 1 2\| \| \| \|1 2 P: ( , , ) ; 11 1 1 2 1 2 ( , 1) ( , ) ( , )), 1,X X x x X X i X s Xs i s G t X G t X s (21) де P: ( , , )1 1 1 2x x X Xs     — сума за всіма можливими розбиттями множини аргументів 1 1), ,( sx x  на дві підмножини X1 та X2, які взаємно не перетинаються,      ; 1 1 2 i X s X — сума за індексом i, який набуває значень з підмножини 1X за умови, що індекс s+1 належить підмножині  2X , і використано позначення, прийняті в ієрархії рівнянь Ліувілля (11). У конкретному випадку початкового стану, заданого послідовністю редукованих ко- реляційних функцій ( ) 0 1(1, , 0, , 0, )cG G   на дозволених конфігураціях, тобто за відсут- ності кореляцій між твердими сферами в початковий момент часу [1], згідно з визначен- ням кореляційних функцій редуковані кореляційні функції зображуються такими розкла- дами в ряд: 1( , , , )s sG t x x  0 1 1 3( ) \ 0 13 3( ) 1 ( ;1, , ) ( ) , 1, ! s n s s n s n i s n s nn in dx dx t s n G x s n                 A (22) де твірний оператор ( )s n tA — кумулянт (9) груп операторів (1) рівнянь Ліувілля. Під- креслимо, що за відсутності кореляцій станів твердих сфер на дозволених конфігураціях у початковий момент часу генератори розкладів у ряд редукованих кореляційних функ- цій (22) і редукованих функцій розподілу (16) відрізняються лише порядком кумулянтів груп операторів твердих сфер. Тому за допомогою таких редукованих функцій розподілу або редукованих кореляційних функцій описується процес створення кореляцій у плинах твердих сфер. Отже, у статті розглянуто математичні проблеми опису еволюції багатьох твердих сфер за допомогою функцій, які описують процес поширення кореляцій. Підкреслимо, що струк- тура розкладів для кореляційних функцій (6), в яких твірними операторами є кумулянти відповідного порядку (7) груп операторів (1) твердих сфер, породжує відповідну кумулянт- ну структуру розкладів у ряди для редукованих функцій розподілу та редукованих кореля- ційних функцій. Зазначимо, що деякі нові підходи до виведення кінетичних рівнянь для системи бага- тьох твердих сфер, зокрема кінетичних рівнянь з початковими кореляціями, розглянуто в працях авторів [10—13]. 11ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2022. № 3 Ієрархія еволюційних рівнянь для кореляцій плинів твердих сфер Дослідження виконано за підтримки гранта Міністерства освіти і науки України за перспективний розвиток наукового напряму «Математичні науки і природничі науки» у Ки- ївському національному університеті ім. Тараса Шевченка та за часткової підтримки дер- жавної програми пріоритетних наукових досліджень Відділення математики НАН України на 2022—2023 рр. (проєкт II-01-22, реєстраційний номер № 7/1/241). ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. Cercignani C., Gerasimenko V.I., Petrina D.Ya. Many-particle dynamics and kinetic equations. Amsterdam: Springer, 2012. 255 р. 2. Petrina D.Ya., Gerasimenko V.I. Mathematical problems of statistical mechanics of a system of elastic balls. Russ. Math. Surv. 1990. 45, № 3. P. 153—211. https://doi.org/10.1070/RM1990v045n03ABEH002360 3. Gallagher I., Saint-Raymond L., Texier B. From Newton to Boltzmann: hard spheres and short-range potentials. Zürich: EMS Publ. House, 2014. 148 p. (Zürich Lectures in Advanced Mathematics, Vol. 18). 4. Bodineau T., Gallagher I., Saint-Raymond L., Simonella S. Fluctuation theory in the Boltzmann—Grad limit. J. Stat. Phys. 2020. 180. P. 873—895. https://doi.org/10.1007/s10955-020-02549-5 5. Duerinckx M., Saint-Raymond L. Lenard—Balescu correction to mean-field theory. Probab. Math. Phys. 2021. 2, № 1. P. 27—69. https://doi.org/10.2140/pmp.2021.2.27 6. Duerinckx M. On the size of chaos via Glauber calculus in the classical mean-field dynamics. Commun. Math. Phys. 2021. 382. P. 613—653. https://doi.org/10.1007/s00220-021-03978-3 7. Simonella S. Evolution of correlation functions in the hard sphere dynamics. J. Stat. Phys. 2014. 155, № 6. P. 1191—1221. https://doi.org/10.1007/s10955-013-0905-7 8. Pulvirenti M., Simonella S. Propagation of chaos and effective equations in kinetic theory: a brief survey. Math. Mech. Complex Syst. 2016. 4, № 3-4. P. 255—274. https://doi.org/10.2140/memocs.2016.4.255 9. Ivankiv L.I., Prykarpatsky Y.A., Samoilenko V.H., Prykarpatski A.K. Quantum current algebra symmetry and description of Boltzmann type kinetic equations in statistical physics. Symmetry. 2021. 13, № 8. 1452. https://doi.org/10.3390/sym13081452 10. Герасименко В.І., Гап’як І.В. Немарковське кінетичне рівняння Фоккера—Планка для системи твердих куль. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2014. № 12. С. 29—35. https://doi.org/10.15407/dopovidi2014.12.029 11. Gerasimenko V.I., Gapyak I.V. Hard sphere dynamics and the Enskog equation. Kinet. Relat. Models. 2012. 5, № 3. P. 459—484. https://doi.org/10.3934/krm.2012.5.459 12. Gerasimenko V.I., Gapyak I.V. Boltzmann–Grad asymptotic behavior of collisional dynamics. Rev. Math. Phys. 2021. 33. 2130001. 32 p. https://doi.org/10.1142/S0129055X21300016 13. Gerasimenko V., Gapyak I. Low-density asymptotic behavior of observables of hard sphere fluids. Adv. Math. Phys. 2018. 2018. 6252919. 11 p. https://doi.org/10.1155/2018/6252919 14. Prigogine I. Non-equilibrium statistical mechanics. New York: John Wiley & Sons, 1962. 328 p. 15. Gerasimenko V.I., Ryabukha T.V., Stashenko M.O. On the structure of expansions for the BBGKY hierarchy solutions. J. Phys. A: Math. Gen. 2004. 37. P. 9861—9872. https://doi.org/10.1088/0305-4470/37/42/002 Надійшло до редакції 21.12.2021 REFERENCES 1. Cercignani, C., Gerasimenko, V. I. & Petrina, D. Ya. (2012). Many-particle dynamics and kinetic equations. Amsterdam: Springer. 2. Petrina, D. Ya. & Gerasimenko, V. I. (1990). Mathematical problems of statistical mechanics of a system of elastic balls. Russ. Math. Surv., 5, No. 3, pp. 153-211. https://doi.org/10.1070/RM1990v045n03ABEH002360 3. Gallagher, I., Saint-Raymond, L. & Texier, B. (2014). From Newton to Boltzmann: hard spheres and short- range potentials. Zürich Lectures in Advanced Mathematics (vol. 18). Zürich: EMS Publ. House. 12 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2022. № 3 І.В. Гап’як, В.І. Герасименко 4. Bodineau, T., Gallagher, I., Saint-Raymond, L. & Simonella, S. (2020). Fluctuation theory in the Boltzmann– Grad limit. J. Stat. Phys., 180, pp. 873-895. https://doi.org/10.1007/s10955-020-02549-5 5. Duerinckx, M. & Saint-Raymond, L. (2021). Lenard–Balescu correction to mean-field theory. Probab. Math. Phys., 2, No. 1, pp. 27-69. https://doi.org/10.2140/pmp.2021.2.27 6. Duerinckx, M. (2021). On the size of chaos via Glauber calculus in the classical mean-field dynamics. Commun. Math. Phys., 382, pp. 613-653. https://doi.org/10.1007/s00220-021-03978-3 7. Simonella, S. (2014). Evolution of correlation functions in the hard sphere dynamics. J. Stat. Phys., 155, No. 6, pp. 1191-1221. https://doi.org/10.1007/S10955-013-0905-7 8. Pulvirenti, M. & Simonella, S. (2016). Propagation of chaos and effective equations in kinetic theory: a brief survey. Math. Mech. Complex Syst., 4, No. 3-4, pp. 255-274. https://doi.org/10.2140/memocs.2016.4.255 9. Ivankiv, L. I., Prykarpatsky, Y. A., Samoilenko, V. H. & Prykarpatski, A. K. (2021). Quantum current algebra symmetry and description of Boltzmann type kinetic equations in statistical physics. Symmetry, 13, No. 8, 1452. https://doi.org/10.3390/sym13081452 10. Gerasimenko, V. I. & Gapyak, I. V. (2014). The non-Markovian Fokker–Planck kinetic equation for a system of hard spheres. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., No. 12, pp. 29-35 (in Ukrainian). https://doi.org/10.15407/dopovidi2014.12.029 11. Gerasimenko, V. I. & Gapyak, I. V. (2012). Hard sphere dynamics and the Enskog equation. Kinet. Relat. Models., 5, No. 3, pp. 459-484. https://doi.org/10.3934/krm.2012.5.459 12. Gerasimenko, V. I. & Gapyak, I. V. (2021). Boltzmann–Grad asymptotic behavior of collisional dynamics. Rev. Math. Phys., 33, 2130001. https://doi.org/10.1142/S0129055X21300016 13. Gerasimenko, V. & Gapyak, I. (2018). Low-density asymptotic behavior of observables of hard sphere fluids. Adv. Math. Phys., 2018, 6252919. https://doi.org/10.1155/2018/6252919 14. Prigogine, I. (1962). Non-equilibrium statistical mechanics. New York: John Wiley & Sons. 15. Gerasimenko, V. I., Ryabukha, T. V. & Stashenko, M. O. (2004). On the structure of expansions for the BBGKY hierarchy solutions. J. Phys. A: Math. Gen., 37, pp. 9861-9872. https://doi.org/10.1088/0305- 4470/37/42/002 Received 21.12.2021 I.V. Gapyak1, https://orcid.org/0000-0003-2102-1583 V.I. Gerasimenko2, https://orcid.org/0000-0003-2577-2237 1 Taras Shevchenko National University of Kyiv 2 Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kyiv E-mail: gapjak@ukr.net, gerasym@imath.kiev.ua HIERARCHY OF EVOLUTION EQUATIONS FOR CORRELATIONS OF HARD-SPHERE FLUIDS In the communication we discuss an approach to describing the correlations in a system of many hard spheres based on the hierarchy of evolution equations for correlation functions. It is established that the constructed dynamics of correlations underlies the description of the dynamics of both finitely and infinitely many hard- spheres governed by the BBGKY hierarchies for reduced distribution functions or reduced correlation functions. Keywords: BBGKY hierarchy, Liouville hierarchy, correlation function.

Ієрархія еволюційних рівнянь для кореляцій плинів твердих сфер

Institution

Ähnliche Einträge