Трикроковий ітераційний метод розв’язування систем нелінійних рівнянь

Досліджується новий підхід до побудови методів розв’язування нелінійних систем. Даний метод базується на методі спуску та деякій модифікації методу Ньютона. Досліджено швидкість збіжності. Проведено чисельні експерименти на тестових задачах....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
Hauptverfasser:	Бартіш, М., Ковальчук, О., Николайчук, Л.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2008
Schriftenreihe:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18561
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Трикроковий ітераційний метод розв’язування систем нелінійних рівнянь / М. Бартіш, О. Ковальчук, Л. Николайчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 9-18. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-18561
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-185612011-04-03T12:03:57Z Трикроковий ітераційний метод розв’язування систем нелінійних рівнянь Бартіш, М. Ковальчук, О. Николайчук, Л. Досліджується новий підхід до побудови методів розв’язування нелінійних систем. Даний метод базується на методі спуску та деякій модифікації методу Ньютона. Досліджено швидкість збіжності. Проведено чисельні експерименти на тестових задачах. In this paper a new way to the creation of the method for solving system of nonlinear equations is being researched, which is based on steepest descent and the Newton methods. We have proved theorem where the convergence of the proposed method is justified and the rate of convergence is established. Numeral experiments have been conducted on the test problems and they have been compared of the basic methods. The conclusions on the possibilities application of method have been made. 2008 Article Трикроковий ітераційний метод розв’язування систем нелінійних рівнянь / М. Бартіш, О. Ковальчук, Л. Николайчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 9-18. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18561 519.6 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Досліджується новий підхід до побудови методів розв’язування нелінійних систем. Даний метод базується на методі спуску та деякій модифікації методу Ньютона. Досліджено швидкість збіжності. Проведено чисельні експерименти на тестових задачах.
format	Article
author	Бартіш, М. Ковальчук, О. Николайчук, Л.
spellingShingle	Бартіш, М. Ковальчук, О. Николайчук, Л. Трикроковий ітераційний метод розв’язування систем нелінійних рівнянь Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Бартіш, М. Ковальчук, О. Николайчук, Л.
author_sort	Бартіш, М.
title	Трикроковий ітераційний метод розв’язування систем нелінійних рівнянь
title_short	Трикроковий ітераційний метод розв’язування систем нелінійних рівнянь
title_full	Трикроковий ітераційний метод розв’язування систем нелінійних рівнянь
title_fullStr	Трикроковий ітераційний метод розв’язування систем нелінійних рівнянь
title_full_unstemmed	Трикроковий ітераційний метод розв’язування систем нелінійних рівнянь
title_sort	трикроковий ітераційний метод розв’язування систем нелінійних рівнянь
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18561
citation_txt	Трикроковий ітераційний метод розв’язування систем нелінійних рівнянь / М. Бартіш, О. Ковальчук, Л. Николайчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 9-18. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT bartíšm trikrokovijíteracíjnijmetodrozvâzuvannâsistemnelíníjnihrívnânʹ AT kovalʹčuko trikrokovijíteracíjnijmetodrozvâzuvannâsistemnelíníjnihrívnânʹ AT nikolajčukl trikrokovijíteracíjnijmetodrozvâzuvannâsistemnelíníjnihrívnânʹ
first_indexed	2025-07-02T19:32:54Z
last_indexed	2025-07-02T19:32:54Z
_version_	1836564899487023104
fulltext	Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1 9 Список використаних джерел: 1. Гери М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые зада- чи. – М.: Мир, 1982. – 416 с. 2. Stefan Ropke, David Pisinger. An Adaptive Large Neighborhood Search Heuris- tic for the Pickup and Delivery Problem with Time Windows, 2005. – P.1-30. 3. Holland JH. (1975) Adaptation in natural und artificial systems – An introduc- tory analysis with applications to biology, control, und artificial intelligence // The University of Michigan Press, Ann Arbor, MI. 4. Giselher Pankratz. A Grouping Genetic Algorithm for the Pickup and Delivery Problem with Time Windows // OR Spectrum (2005) 27. – P.21-41. The author examined a generalization of the Vehicle Routing Problem with Time Windows – Pickup and Delivery Problem with Time Windows. The comparative analysis of methods to solve the problem is fulfilled. Key words: pickup and delivery problem with time windows, grouping genetic algorithm, an adaptive large neighbourhood search heuristic. Отримано: 05.06.2008 УДК 519.6 М. Я. Бартіш, О. В. Ковальчук, Л. В. Николайчук Львівський національний університет імені Івана Франка ТРИКРОКОВИЙ ІТЕРАЦІЙНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Досліджується новий підхід до побудови методів розв’язу- вання нелінійних систем. Даний метод базується на методі спуску та деякій модифікації методу Ньютона. Досліджено швидкість збіжності. Проведено чисельні експерименти на те- стових задачах. Ключові слова: задача про найменші квадрати, метод Ньютона, градієнтний метод, система нелінійних рівнянь. Вступ. Математичне моделювання складних фізичних процесів дуже часто потребує розв’язування систем нелінійних рівнянь. Уні- версальних методів для успішного розв’язування широкого класу по- дібних задач нема, тому актуальною є проблема побудови нових ефе- ктивних алгоритмів. Пропонується ітераційний метод для розв’язу- вання систем нелінійних рівнянь, який не потребує аналітичного за- дання матриці Якобі і більш повно на кожному кроці використову- ється інформація про функцію. Проведено теоретичні та практичні дослідження даного методу. © М. Я. Бартіш, О. В. Ковальчук, Л. В. Николайчук, 2008 Математичне та комп’ютерне моделювання 10 Постановка задачі для розв’язування систем нелінійних ал- гебраїчних рівнянь. Розглянемо задачу розв’язування системи нелі- нійних алгебраїчних рівнянь nn RRPxP →= :,0)( . (1) Відомим методом для розв’язування подібних задач є метод Ньютона [2] ( )[ ] ( )kkkk xPxPxx 1' 1 − + −= . (2) На практиці матрицю ( )kxP' часто замінюють наближеною, для якої виконується умова: ( ) γ kkk xPcQxP 1 ' )( ≤− , де ( ]1;0 ,01 ∈> γc . Отже, ми отримаємо деяку модифікацію методу Ньютона [ ] ( )kkkk xPQxx 1 1 − + −= , (3) де, наприклад, kQ – перша поділена різниця [1]. В даній роботі використовувалась наступна апроксимація ( ) ( ) ( ) , k kjkk jk h xPehxP Q −+ = nj ,,1 …= , де 0>kh – достатньо мале число. Поряд із задачею (1) можна розглядати задачу про найменші квадрати ( ) nR xPxPxf min)(),( 2 1)( →= . (4) Застосовуючи градієнтний метод для (4) отримаємо ( ) ( )kk T kkk xPxPxx ′−=+ β1 , (5) де 0>kβ визначається за одним із відомих алгоритмів і забезпечує монотонне спадання функції. Наприклад, ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 10 ,, <<′−≤−− εεββ kkkkkkk xhxfxfxhxf (6) або )(minarg 0 kkk hxf ββ β −= > , (7) де ( ) ( )kk T k xPxPh ′= . Використовуючи апроксимацію матриці Якобі отримаємо алго- ритм ( )k T kkkk xPQxx β−=+1 . (8) В статті пропонується новий алгоритм розв’язку задачі (1). Ма- ючи наближення kx , виконуємо один крок за методом (3) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1 11 [ ] ( )kkkk xPQxu 1−−= (9) і один крок за методом (8) ( )k T kkkk xPQxv β−= . (10) Виконання одного кроку за методом (8) не вимагає суттєвих до- даткових обчислень, оскільки ( )kxP і kQ визначені при обчисленні ku . Маючи значення ku і kv , визначаємо наступне наближення 1+kx за формулою ( )kkkkk uvux −+=+ λ1 , (11) де ( )( )kkkk uvuf −+= λλ λ minarg . Обґрунтування збіжності. Лема. Нехай ( )nnn RCPRRP 1,: ∈→ . Якщо kQ – матриця роз- мірності nn× , така що ( )( ) 1 1 <≤′− − αk TT k xPQI , (12) де ( )1 ;0∈α , тоді напрямок ( )k T kk xPQh = є напрямком спадання фун- кції f в точці kx . Доведення. Оскільки ( ) ( )kk T xPxP′ є напрямком найшвидшого спадання фу- нкції )(xf , то повинно виконуватися ( ) ( ) ( )( ) 0, >′ kk T k T k xPxPxPQ . За допомогою відповідних перетворень та умови (12) отримаємо ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .01 , , ,, 2 12 2 >′−≥ ≥      ′′      ′−−′= =′′−+′= =′′−+′=′ − kk T kk T kk T k TT kkk T kk T kk TT kkk T kk T kk TT kk T kk T k T k xPxP xPxPxPxPxPQIxPxP xPxPxPxPQxPxP xPxPxPxPQxPxPxPxPQ α Лема доведена. Теорема. Нехай 1) nn RRP →: , ( )nRCP 1∈ ; 2) Для Dyx ∈, , nRD ⊂ , )(' xP задовольняє умову Ліпшиця: Математичне та комп’ютерне моделювання 12 yxLyPxP −≤− )()( '' , (13) де ∞<< L0 ; 3) kQ – матриця розмірності nn× , така що m Qk 11 ≤− , (14) де 0>m , ( ) ( ) γ kkk xPcQxP 1≤−′ , (15) де ( ]1;0 ,01 ∈> γc , ( )( ) 1 1 <≤′− − αk TT k xPQI , де )1 ;0(∈α ; 4) початкове наближення х0 вибирають таким, щоб виконувалася умова: ( ) 10 <= γxPCq , (16) де ( ) m cxP m LC 11 022 += −γ . Тоді послідовність { }kx породжена (9)-(11) збігається до розв’язку х* задачі (1) і має місце оцінка ( ) ( ) ( )0 11 1 1 xPqxP k k γ γ −+ + + ≤ . (17) Доведення. Нехай відоме деяке наближення kx до розв’язку задачі (1). Із (9) та (14) отримаємо ( )kkk xP m xu 1 ≤− . (18) Врахувавши умову ( ) ( ) ( ) ( )kkkkkk xuQxPuPuP −−−= та умови (13), (15) та пронормувавши попередній вираз отримаємо ( )( ) ( )( ) ( )( ){ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 2 )( 112 2 1 2 1 0 +≤+≤ ≤−+−≤ ≤−−′+′−−+′= ∫ γγ γ ττ kkkk kkkkk kkkkkkkkk xPCxPxP m cxP m L xuxPcxuL dxuQxPxPxuxPuP Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1 13 де ( ) m cxP m LC 11 022 += −γ . Отже, ( ) ( ) 1+≤ γ kk xPCuP . (19) Так як ( ) ( ) ( ) 1 1 + + ≤≤ γ kkk xPCuPxP , то ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .0 11 0 11 1 0 11 1 1 11 xPqxPqq xPqCxPCxP kk k kk γ γ γ γγ γ γ γ γ −+−−+ + −+ + + ++ == =           ≤≤≤ … Отже, ( ) ( ) ( )0 11 1 1 xPqxP k k γ γ −+ + + ≤ . Теорема доведена. В більшості випадків досить важко підібрати “гарне” початкове наближення, тому використовують демпфований [2] множник. Отже, остаточно метод набуде наступного вигляду [ ] ( )kkkkk xPQxu 1−−= α , (20) ( )k T kkkk xPQxv β−= , (21) ( )( )kkkk uvufx −+=+ λ λ minarg1 , (22) при α ∈ (0;1]. На практиці часто зустрічаюся задачі вигляду mn RRP →: . (23) При nm > задачу (23) розв’язують у сенсі найменших квадра- тів. Одним із найбільш вживаних методів для розв’язування неліній- ної задачі у сенсі найменших квадратів є метод Гауса-Ньютона. ( ) ( )[ ] ( ) ( )kk T kk T kk xPxPxPxPxx ′′′−= − + 1 1 . (24) У задачах з нульовою нев’язкою, та за виконання певних умов метод Гауса-Ньютона має локально-квадратичну збіжність, а у випа- дку несумісних систем, збіжність стає лінійною і може суттєво погі- ршуватися зі збільшенням нев’язки. Якщо використати апроксимацію матриці Якобі, наприклад по- діленими різницями, отримаємо [ ] ( )k T kk T kkk xPQQQxx 1 1 − + −= , (25) Математичне та комп’ютерне моделювання 14 де ( ) ( ) ( ) , k kjkk jk h xPehxP Q −+ = mj ,,1 …= , при 0>kh – достатньо мале число. Пропонується трикроковий ітераційний метод для розв’язування задачі (23) у сенсі найменших квадратів, при апроксимації матриці Якобі [ ] ( )k T kk T kkkk xPQQQxu 1− −= α , (26) ( )k T kkkk xPQxv β−= , (27) ( )kkkkk uvux −+=+ γ1 , (28) де ( )( )( )kkkk uvuf −+= γγ γ minarg , при α ∈ (0;1]. Апробація. Роботу даних алгоритмів досліджено на тестових прикладах. Обчислення проводилися до виконання умови ε≤−+ kk xx 1 . В таблицях наведено кількість ітерацій, затрачених для отримання наближеного розв’язку задач. Розглянуто такі тестові функції: 1. Система Brent [4]. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ,4 202203)( ;1 ,423)( ;1 ,423)( 2 1 1 2 11 11 2 1 1 nkxxxxxP nkxxxxxxxP kxxxxxP k kkkk kk kkkkk k kkkk =−++−= <<−++−= =+−= − − −+ −+ + + ( ) .0* =xf Наступні дві системи мають вироджений якобіан у точці розв’язку. 2. Розширена сингулярна система Пауелла [3]. ( ) ( ) ( ) . 4 ,...,1 ,10)( ,)( ,5)( ,10)( 2 4344 2 142414 41424 243434    = −= −= −= += − −−− −− −−− ni xxxP xxxP xxxP xxxP iii iii iii iii Розв’язок )0,,0(* …=x . 3. Розширена проблема Грага і Леві [4]. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1 15 ( ) ( ) ( ) . 4 ,...,1 ,1)( ,)( ,10)( ,)( 44 414 2 14 3 142424 2 2434 34    = −= −= −= −= −− −−− −− − ni xxP xxtgxP xxxP xexP ii iii iii i x i i Розв’язок )1,1,1,0,,1,1,1,0(* …=x . У таблиці 1 представленні результати розв’язування вище наве- дених систем різницевим методом Ньютона (3) та запропонованим алгоритмом (20)-(22). Таблиця 1 ε = 10–5 ε = 10–8 № функції x0 n (3) (20)-(22) (3) (20)-(22) 4 14 9 15 10 20 21 16 31 25 (5; –5; 5; –5) 60 22 17 31 24 4 8 7 9 8 20 21 17 43 31 60 22 18 46 41 1 (2; 3; 2; 3) 100 23 18 69 47 4 19 14 29 22 20 20 15 32 24 60 21 15 36 25 (–3; –1; 0; 1) 100 21 16 38 26 4 20 14 32 21 20 21 15 35 23 60 21 16 38 24 2 (1; –2; 1; –2) 100 22 16 39 24 4 28 9 49 12 (1; 2; 1; 2) 60 31 9 59 12 4 20 11 39 22 20 22 11 45 24 60 23 12 51 25 3 (1; 1; 1; 0) 100 23 12 54 26 Отримані результати показують перевагу методу (20)-(22) перед методом (3). Відзначимо, у випадку коли якобіан у точці розв’язку вироджений, комбінований алгоритм працював суттєво краще в сенсі кількості обчислень, ніж класичний метод. Перейдемо до випадку nm > . 4. Система Gaussian [3]. Математичне та комп’ютерне моделювання 16 ( ) , 2 exp,15 ,3 2 32 1 k k k yxtxxPmn −         −− === де 2/)8( ktk −= та k yk k yk k yk 1 0.0009 6 0.2420 11 0.1295 2 0.0044 7 0.3521 12 0.0540 3 0.0175 8 0.3989 13 0.0175 4 0.0540 9 0.3521 14 0.0044 5 0.1295 10 0.2420 15 0.0009 Розв’язок [ ]Tx 0 ;1 ;4.0* = 10* 10639.5)( −⋅≅xf . 5. Система Bard [4]. ,,15 ,3 32 1       + +−=== xwxv uxyPmn kk k kk де uk = k, vk = 16 – k, wk = min (uk, vk), та k yk k yk k yk 1 0.14 6 0.32 11 0.73 2 0.18 7 0.35 12 0.96 3 0.22 8 0.39 13 1.34 4 0.25 9 0.37 14 2.10 5 0.29 10 0.58 15 4.39 Розв’язок Tx ]343695.2 ;1.133036 ;082411.0[* = ( ) 3* 1010744.4 −⋅≅xf . 6. Система Kowalik і Osborne [4]. ( ) ( ) ,,11 ,4 43 21 xxuu xuuxyPmn kk kk kk ++ + −=== де k yk uk k yk uk 1 0.1957 4.0000 7 0.0456 0.1250 2 0.1947 2.0000 8 0.0342 0.1000 3 0.1735 1.0000 9 0.0323 0.0833 4 0.1600 0.5000 10 0.0235 0.0714 5 0.0844 0.2500 11 0.0246 0.0625 6 0.0627 0.1670 Розв’язок [ ]Tx 136062.0 ;123057.0 ;191282.0 ;192807.0* ≅ ( ) 4* 1053753.1 −⋅≅xf . 7. Система Brown і Dennis [2, 4]. ( ) ( ) ( )( ),cossin,4 ,4 43 2 21 kk t kk ttxxextxPmn k −++−+=≥= Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1 17 де 5/ktk = [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) 4* * 1* * 5* * 1029112.4 0.2368 ;0.4034- ;13.2036 ;5944.11 :20 1021613.7 336679.1 ;32570.1 ;45424.3 ;18950.0 :10 1008309.9 67095.0 ;15301.1 ;87187.1 ;77781.0 :5 ⋅≅ −≅= ⋅≅ −−≅= ⋅≅ −≅= − − xf xm xf xm xf xm T T T Таблиця 2 ε = 10–5 ε = 10–8 № фун- кції x0 mn × (25) (26)-(28) (25) (26)-(28) (–5; 2; 1) 153× 9 6 10 7 4 (1; 3; 1) 153× 7 6 8 7 (2.5; 2.5; 2.5) 153× 10 5 11 6 (1; 2; 3) 153× 7 4 7 5 5 (3; 3; 3) 153× 6 5 10 6 (0.5; 0.3; 0.5; 0.3) 114 × 13 9 15 11 6 (0.25; 0.39; 0.415; 0.39) 114 × 18 8 18 9 54 × 215 40 215 43 104 × 43 23 45 23 (25; 5;–5; –1) 204 × 299 59 304 63 54 × 121 40 134 40 104 × 33 22 37 24 7 (1; 1; 1; 1) 204 × 261 44 264 44 Висновок. Запропоновані нові трикрокові ітераційні методи для розв’язування систем нелінійних рівнянь. Доведено швидкість збіж- ності запропонованого алгоритму. На тестових прикладах виконано їх числове дослідження, зроблено порівняння отриманих результатів з базовим методом, на основі яких вони побудовані. З наведених при- кладів бачимо, що запропоновані модифікації складають конкурен- цію класичним методам. Особливо цей ефект відчутний у випадку, коли якобіан в точці розв’язку вироджений (див. табл. 1), або є до- сить велика нев’язка (див. табл. 2). Використання запропонованих методів дозволяє скоротити час пошуку розв’язку системи, в порів- нянні з базовими методами. Список використаних джерел: 1. Бахвалов Н. С. Численные методы. – М.: Наука, 1973. 2. Дэннис Дж. мл., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимиза- ции и решения нелинейных уравнений. – М.: Мир, 1988. Математичне та комп’ютерне моделювання 18 3. Jorge J. More, Burton S. Garbow, Kenneth E. Hillstrom Testing unconstrained optimization software // ACM Transactions on mathematical Software. – Vol 7. – No. 1. – March, 1981. – P.17-41. 4. Luksan L., Vlcek J. Test problems for unconstrained optimization // Institute of computer science, Academy of sciences of the Czech Republic. – 2003. In this paper a new way to the creation of the method for solving sys- tem of nonlinear equations is being researched, which is based on steepest descent and the Newton methods. We have proved theorem where the con- vergence of the proposed method is justified and the rate of convergence is established. Numeral experiments have been conducted on the test prob- lems and they have been compared of the basic methods. The conclusions on the possibilities application of method have been made. Key words: the methods of steepest descent, the Newton methods, sys- tem of nonlinear equations. Отримано: 02.06.2008 УДК 519 І. В. Бейко1, П. М. Зінько2 1Українсько-Угорський інститут кібернетики та інформаційних технологій, м. Київ 2Київський національний університет імені Тараса Шевченка МЕТОДИ ВИСОКИХ ПОРЯДКІВ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ КОШІ ТА БАГАТОМІРНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ЗА ДОПОМОГОЮ АСИМПТОТИЧНО-РОЗВ’ЯЗУЮЧИХ ОПЕРАТОРІВ Побудовані чисельні методи підвищеної точності для роз- в’язування багатовимірних крайових задач і задач Коші з ви- користанням асимптотично-розв’язуючих операторів. Ключові слова: асимптотично-розв’язуючі оператори, крайові задачі, задачі Коші. Вступ. Для побудови оптимальних робочих моделей в роботах [1, 5, 7] використовуються розв’язуючі оператори, які узагальнюють псевдообернені оператори та функції Гріна. Їх асимптотичні апрок- симації (асимпотично-розв’язуючі оператори) використовуються для побудови математичних моделей складних керованих багатозв’язних систем у класі граф-операторних моделей, де k-та підсистема (k-й вузол граф-операторної моделі), представлена алгебраїчними, дифе- ренційними, інтегро-диференційними рівняннями чи їх сукупністю, представляється в канонічному вигляді Аks(хks, zks, рks) = ksAWθ , Aks: © І. В. Бейко, П. М. Зінько, 2008

Трикроковий ітераційний метод розв’язування систем нелінійних рівнянь

Institution

Ähnliche Einträge