Чисельне розв’язання обернених нелінійних крайових задач на квазіконформні відображення для двозв’язних областей з вільними поверхнями

Чисельне розв’язання обернених нелінійних крайових задач на квазіконформні відображення для двозв’язних областей з вільними поверхнями

Алгоритм чисельного розв’язання обернених нелінійних модельних задач на квазіконформні відображення для двозв’язних пористих деформівних обмежених еквіпотенціальними поверхнями та поверхнями течії середовищ за умов зворотнього впливу характеристик процесу на характеристики середовища модифіковано на...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2008
Hauptverfasser: Бомба, А.Я., Гаврилюк, В.І., Пригорницький, Д.О.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2008
Schriftenreihe:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18564
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Чисельне розв’язання обернених нелінійних крайових задач на квазіконформні відображення для двозв’язних областей з вільними поверхнями / А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк, Д.О. Пригорницький // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 33-41. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-18564
record_format dspace
spelling irk-123456789-185642011-04-03T12:04:02Z Чисельне розв’язання обернених нелінійних крайових задач на квазіконформні відображення для двозв’язних областей з вільними поверхнями Бомба, А.Я. Гаврилюк, В.І. Пригорницький, Д.О. Алгоритм чисельного розв’язання обернених нелінійних модельних задач на квазіконформні відображення для двозв’язних пористих деформівних обмежених еквіпотенціальними поверхнями та поверхнями течії середовищ за умов зворотнього впливу характеристик процесу на характеристики середовища модифіковано на випадки областей з вільними поверхнями. Numerical algorithm for solving of inverse nonlinear boundary value problems on quasiconformal mappings in doubly-connected warped environments limited by equipotential lines and surfaces of current is modified for cases of areas with free surfaces. 2008 Article Чисельне розв’язання обернених нелінійних крайових задач на квазіконформні відображення для двозв’язних областей з вільними поверхнями / А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк, Д.О. Пригорницький // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 33-41. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18564 519.632.4.001.57+517.54 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Алгоритм чисельного розв’язання обернених нелінійних модельних задач на квазіконформні відображення для двозв’язних пористих деформівних обмежених еквіпотенціальними поверхнями та поверхнями течії середовищ за умов зворотнього впливу характеристик процесу на характеристики середовища модифіковано на випадки областей з вільними поверхнями.
format Article
author Бомба, А.Я.
Гаврилюк, В.І.
Пригорницький, Д.О.
spellingShingle Бомба, А.Я.
Гаврилюк, В.І.
Пригорницький, Д.О.
Чисельне розв’язання обернених нелінійних крайових задач на квазіконформні відображення для двозв’язних областей з вільними поверхнями
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Бомба, А.Я.
Гаврилюк, В.І.
Пригорницький, Д.О.
author_sort Бомба, А.Я.
title Чисельне розв’язання обернених нелінійних крайових задач на квазіконформні відображення для двозв’язних областей з вільними поверхнями
title_short Чисельне розв’язання обернених нелінійних крайових задач на квазіконформні відображення для двозв’язних областей з вільними поверхнями
title_full Чисельне розв’язання обернених нелінійних крайових задач на квазіконформні відображення для двозв’язних областей з вільними поверхнями
title_fullStr Чисельне розв’язання обернених нелінійних крайових задач на квазіконформні відображення для двозв’язних областей з вільними поверхнями
title_full_unstemmed Чисельне розв’язання обернених нелінійних крайових задач на квазіконформні відображення для двозв’язних областей з вільними поверхнями
title_sort чисельне розв’язання обернених нелінійних крайових задач на квазіконформні відображення для двозв’язних областей з вільними поверхнями
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2008
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18564
citation_txt Чисельне розв’язання обернених нелінійних крайових задач на квазіконформні відображення для двозв’язних областей з вільними поверхнями / А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк, Д.О. Пригорницький // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 33-41. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT bombaaâ čiselʹnerozvâzannâobernenihnelíníjnihkrajovihzadačnakvazíkonformnívídobražennâdlâdvozvâznihoblastejzvílʹnimipoverhnâmi
AT gavrilûkví čiselʹnerozvâzannâobernenihnelíníjnihkrajovihzadačnakvazíkonformnívídobražennâdlâdvozvâznihoblastejzvílʹnimipoverhnâmi
AT prigornicʹkijdo čiselʹnerozvâzannâobernenihnelíníjnihkrajovihzadačnakvazíkonformnívídobražennâdlâdvozvâznihoblastejzvílʹnimipoverhnâmi
first_indexed 2025-07-02T19:33:01Z
last_indexed 2025-07-02T19:33:01Z
_version_ 1836564907153162240
fulltext Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1 33 УДК 519.632.4.001.57+517.54 А. Я. Бомба, В. І. Гаврилюк, Д. О. Пригорницький Рівненський державний гуманітарний університет ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ’ЯЗАННЯ ОБЕРНЕНИХ НЕЛІНІЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ НА КВАЗІКОНФОРМНІ ВІДОБРАЖЕННЯ ДЛЯ ДВОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЕЙ З ВІЛЬНИМИ ПОВЕРХНЯМИ Алгоритм чисельного розв’язання обернених нелінійних мо- дельних задач на квазіконформні відображення для двозв’язних пористих деформівних обмежених еквіпотенціальними поверх- нями та поверхнями течії середовищ за умов зворотнього впли- ву характеристик процесу на характеристики середовища моди- фіковано на випадки областей з вільними поверхнями. Ключові слова: чисельне розв’язання, нелінійні задачі, квазіконформні відображення, деформівні середовища, вільні поверхні. Вступ. В роботах [1, 2] побудовані алгоритми чисельного обер- нення розв’язків нелінійних крайових задач на квазіконформні відо- браження в областях, обмежених лініями течії та еквіквазіпотенціа- льними лініями – математичних моделей процесів руху рідин, газів, заряджених частинок і т. ін. в однорідних і неоднорідних анізотроп- них середовищах. Зокрема, у роботі [2] розв’язана задача моделю- вання відповідного процесу у середовищах, схильних до деформацій, де компоненти тензора провідності (зокрема фільтрації) приймались залежними не тільки від координат біжучої точки області, але й від шуканих функцій течії та потенціалу. Запропонований підхід дозво- ляє знаходити паралельно характеристичну функцію течії, квазікомп- лексний потенціал, повну витрату і поле швидкостей та побудувати динамічну сітку, що автоматично вирішує проблему розбиття області у випадках, якщо, наприклад, внутрішній контур має малі розміри в порівнянні із зовнішнім або обидва контури є сильно “хвилястими”. На даний час актуальними і мало вивченими є задачі моделю- вання впливу градієнтів на вихідні характеристики середовища (в першу чергу на коефіцієнт провідності). Так, при перевищенні дію- чими градієнтами деякого їх критичного значення у придренній (чи присвердловинній) зоні, відбувається втрата фільтраційної міцності ґрунту за рахунок переміщення дрібних його частинок (суфозії), що веде до зміни коефіцієнта фільтрації. В роботі [4] проведено матема- тичне моделювання нелінійних процесів осесиметричної фільтрації з урахуванням суфозійних явищ. Зокрема, розроблено методику роз- в’язання відповідних нелінійних задач з післядією руху води до дре- ни (свердловини) і із зволожувача в ґрунт, отримані аналітичні вира- зи для знаходження фільтраційної витрати, напорів і їх градієнтів, © А. Я. Бомба, В. І. Гаврилюк, Д. О. Пригорницький, 2008 Математичне та комп’ютерне моделювання 34 встановлено співвідношення між характеристиками недеформованого середовища та середовища, що деформується в залежності від гідро- динамічної дії фільтраційного потоку та конструктивних параметрів дренажу. У роботі [5] розроблений загальний підхід до розв’язання окреслених вище класів задач. Метою даної роботи є модифікація алгоритму чисельного розв’язання даних задач для випадку областей з вільними поверхнями. Постановка задачі. Розглянемо нелінійну задачу на знаходжен- ня квазігармонiчної функції ( )yxhh ,= (напору) в деякій двозв’язній криволінійній області (пористому пласті, що піддається деформації) ZG ( )iyxz += , обмеженій двома замкненими гладкими контурами { }0),( : ** == yxfzL – внутрішній, { }0),( : ** == yxfzL – зовнішній (рис. 1): ( ) ( ) 0),(),(,),(),(, =      ∂ ∂ ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ y yxhyxhhh yx yxhyxhhh x yxyx χχ , * * hh L = , * * hh L = , (1) де +∞<<≤ * *0 hh , ( )yx hh ,χχ = – обмежена неперервно диференці- йовна функція, що характеризує провідність середовища та його схи- льність до деформації. Як відомо (див., напр., [7]), дана задача є “дво- вимірним образом” відповідної просторової задачі для області ( ){ }),( ~ 0;),(: ~ ,, yxhhGyxhyxG z << ∈ = з вільною поверхнею h = h(x, y). Рис. 1. Фізична область фільтрації з вільною поверхнею Ввівши потенціал швидкості ( ) 22 22 ),(, ∗ ∗ ∗ − − = hh yxhhyxϕ та функцію течії ),( yxψψ = (квазікомплексно спряжену до ( )yx,ϕϕ = ), яка за- довольняє рівняння: Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1 35 ( )( ) ( )( ) 0,, 11 =⋅ ∂ ∂ +⋅ ∂ ∂ −− yyxxyx yx ψϕϕκψϕϕκ , (2) зафіксувавши на внутрішньому контурі деяку точку A та здійснивши умовний розріз Г вздовж відповідної лінії течії (через AD та BC на рис. 2 позначено відповідно верхній та нижній береги розрізу), при- ходимо до більш загальної задачі на квазіконформне (конформне у випадку 1=κ ) відображення )(zωω = [1-5] утвореної при цьому однозв’язної області Γ= /0 ZZ GG на відповідну область квазікомпле- ксного потенціалу { }QiG <<<<+== ∗ ∗ ψϕϕϕψϕωω 0,: з невідо- мим параметром Q (повною витратою): ( ) ( ) ( ) ( )          ∂ ∂ − ∂ ∂ == === ∂ ∂ −= ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∫ * ,,, ,0,1,0 ,,,, L yxyxBC ADCDAB yxyx dx x dy y Q xyyx ϕϕϕκϕϕϕκψ ψϕϕ ψϕϕϕκψϕϕϕκ (3) де ( )                  −−      −−      −−      −− = ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ yxyx hhh hh hhh hh ϕ ϕ ϕ ϕ χϕϕκ 2 2 2 2 22 2 22 2 2 , 2 , . Рис. 2. Область Gz та відповідна їй область квазікомплексного потенціалу Відповідну їй обернену крайову задачу на квазіконформне відо- браження ( ) ( ) ( )ψϕψϕω ,, iyxzz +== області ωG на 0 ZG аналогічно до [5] запишемо у вигляді: ( )        ∈ −=      − =      − ,, ,1,1 ,1,1 ωψϕ ∂ϕ ∂ ∂ψ ∂ ∂ψ ∂ ∂ψ ∂κ ∂ϕ ∂ ∂ψ ∂ ∂ψ ∂ ∂ψ ∂κ G yxx J y J xyx J y J (4) Математичне та комп’ютерне моделювання 36     ≤≤== ≤≤== ,10),,()0,(),,()0,( ,0,0)),1(),,1((,0)),0(),,0(( * * ϕϕϕϕϕ ψψψψψ QyyQxx Qyxfyxf (5) де ϕψψϕ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = yxyxJ . При цьому, відповідні рівняння другого по- рядку для знаходження функцій ( )ψϕ,xx = та ( )ψϕ,yy = (аналоги рівнянь Лапласа для випадку, коли 1=κ )        =      ∂ ∂       ∂ ∂ − ∂ ∂ +      ∂ ∂       ∂ ∂ − ∂ ∂ =      ∂ ∂       ∂ ∂ − ∂ ∂ +      ∂ ∂       ∂ ∂ − ∂ ∂ − − ,01,11,1 ,01,11,1 1 1 ψψψ κ ∂ψ ∂ ϕψψ κ ∂ϕ ∂ ψψψ κ ∂ψ ∂ ϕψψ κ ∂ϕ ∂ yx J y J yx J y J xx J y J xx J y J (6) як і (1) та (2), в силу залежності ( )yx ϕϕκκ ,= , є взаємозв’язаними. Алгоритм чисельного розв’язання поставленої задачі побу- дуємо аналогічно до [2, 5]. А саме, різницеві аналоги рівнянь (6) та крайових умов (5) у відповідній рівномірній сітковій області ( ){ :, jiG ψϕγ ω = ϕϕ ∆⋅= ii , ni ,0= ; ψψ ∆⋅= jj , mj ,0= ; n 1 =∆ϕ , m Q =∆ψ ,    ∆ ∆ = ϕ ψγ запишемо згідно з [7, 8] у вигляді: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ( )) ( ) ( )        =−−−+ +−−− =−−−−+ +−−− −−,++, − 1− ,/−+ − ,/+ −−,++, − 1− ,/−+ 1− ,/+ ,0 ,0 1,,2/1,1,2/1 ,1,21,,1 1 21 2 1,,2/1,1,2/1 ,1,21,,121 2 jijijijijiji jijijijijiji jijijijijiji jijijijijiji yyyy yyyy xxxx xxxx κκ κκγ κκ κκγ (7) де     ⋅∆ −−+ = + −−++++ + , 4 ,2/1 1,1,11,1,1 ,2/1 ji jijijiji ji J yyyy ψ κκ     ⋅∆ −−+ + +++−−+ ji jijijiji J xxxx ,2/1 1,1,11,1,1 4 ψ , , 4 , 4 ,2/1 1,1,11,1,1 ,2/1 1,1,11,1,1 ,2/1     ⋅∆ −−+     ⋅∆ −−+ = − ++−−−− − −−−++− − ji jijijiji ji jijijiji ji J xxxx J yyyy ψ ψ κκ Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1 37         ⋅∆ − ⋅∆ − = + + + + + 2/1, 1,, 2/1, ,1, 2/1, , ji jiji ji jiji ji J xx J yy ψψ κκ ,         ⋅∆ − ⋅∆ − = − − − − − 2/1, ,1, 2/1, 1,, 2/1, , ji jiji ji jiji ji J xx J yy ψψ κκ , ( )( )( ( )( )) , 4 1 1,1,11,1,1,,1 1,1,11,1,1,,1,2/1 −−+++++ −−++++++ −−++−− −−−+− ∆⋅∆ = jijijijijiji jijijijijijiji xxxxyy yyyyxxJ ϕψ ( )( )( ( )( )), 4 1 1,1,11,1,1,1, 1,1,11,1,1,1,,2/1 −−−++−− −−−++−−− −−+−− −−−+− ∆⋅∆ = jijijijijiji jijijijijijiji xxxxyy yyyyxxJ ϕψ ( )( )( ( )( )) , 4 1 1,1,1,11,1,1, ,11,1,11,1,1,2/1, +−−++++ −+−+++++ −−+−− −−−+− ∆⋅∆ = jijijijijiji jijijijijijiji yyyyxx xxxxyyJ ϕψ ( )( )( ( )( )) , 4 1 1,1,1,11,11,, ,11,1,11,11,,2/1, +−−+−+− −−−+−+−− −−+−− −−−+− ∆⋅∆ = jijijijijiji jijijijijijiji yyyyxx xxxxyyJ ϕψ та відповідно:     === === .,0,, ,,0,0),(,0),( ,0,,0, ,, * ,0,0* niyyxx mjyxfyxf miimii jnjnjj (8) Додаткові умови для граничних та приграничних вузлів (умови ортогональності) у сітковій області γ ωG записуються у вигляді [1-5, 9]: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )       =−−++ +−−+ −=−−−+ +−−− −+−− −+−− −+ −+ .0,043 43 ;11,034 34 1112, 1112, 10102,01 10102,01 m,=jyyyyy xxxxx m,=jyyyyy xxxxx jn,jn,j,nj,njn jn,jn,j,nj,njn j,j,j,jj, j,j,j,jj, (9) Формулу для знаходження величини γ одержимо на підставі умови “квазіконформної подібності в малому” [1-5] відповідних чо- тирикутників двох областей: ( ) ( )∑ −− = ++ +   −+−= 1,1 0, 2 ,1, 2 ,1, * , mn ji jijijiji ji yyxx nm κ γ ( ) ( ) /2 ,11,1 2 ,11,1   −+−+ ++++++ jijijiji yyxx Математичне та комп’ютерне моделювання 38 ( ) ( ) +   −+− ++ 2 ,,1 2 ,,1/ jijijiji yyxx ( ) ( )   −+−+ ++++++ 2 1,1,1 2 1,1,1 jijijiji yyxx , (10) де         ⋅∆ −−+ ⋅∆ −−+ = ++++++++ * , 1,1,1,,1 * , ,,11,1,1* , 2 , 2 ji jijijiji ji jijijiji ji J xxxx J yyyy ψψ κκ , ( )( ( ) ( )( )). 4 1 ,1,,11,1,,11,11,, ,11,1,1,1,1,1,1 * , jijijijijijijijiji jijijijijijijiji yyyyxxxxy yyyxxxxJ −−+−−+−− −−+−−+ ∆⋅∆ = ++++++++ ++++++++ϕψ Задавши кількість вузлів розбиття області ωG n та m, параметри 1ε , 2ε , 3ε , що характеризують точність роботи алгоритму розв’язан- ня відповідної (4)-(5) різницевої задачі, початкові наближення коор- динат граничних вузлів )0( ,0 jx , )0( ,0 jy , )0( , jnx , )0( , jny (так, щоб виконувались умови (8)) та початкові наближення координат внутрішніх вузлів ( ))0( , )0( , , jiji yx , mjni ,0,1,1 =−= (наприклад, рівномірно поділивши відрізки із кінцями в точках ( ))0( ,0 )0( ,0 , jj yx , ( ))0( , )0( , , jnjn yx ), знаходимо за фо- рмулою (10) початкове наближення ( ))0( , )0( , )0( , jiji yxγγ = величини γ . Далі проводимо уточнення координат внутрішніх вузлів ( ))( , )( , , k ji k ji yx із заданою точністю ε1 (k – номер загальної ітерації) з допомогою ітера- ційних схем типу “хрест”, отриманих шляхом розв’язання (7) віднос- но jix , та jiy , . При цьому необхідні значення градієнту напору та коефіцієнту провідності у вузлах сітки γ ωG обчислюються через зна- чення jix , , jiy , з попереднього кроку ітерації. Після цього, як і в [1- 5], “підправляємо” граничні вузли, розв’язуючи наближено систему рівнянь (9), наприклад, методом Ньютона. Якщо величина зміщення вузлів на границі за проведену k-ту загальну ітерацію ( ) ( )2)1( , )( , 2)1( , )( ,, max −− −+−= k ji k ji k ji k jiji yyxxS ( ),( ji – індекси координат граничних вузлів) більша за ε2, то повертаємось до уточнення внут- рішніх вузлів. В протилежному випадку знаходимо нові наближення Q(L) та γ(L) величин Q та γ за формулою (10) та умовою зв’язку між ними: γϕ ⋅∆= mQ . Якщо зміна невідомої витрати )1()( −− LL QQ бі- льша за 3ε , то знову повертаємося до уточнення внутрішніх вузлів, Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1 39 інакше – обчислюємо нев’язку “квазіконформності” отриманої сітки 2 2 2 1 δδδ += , де δ1, δ2 – нев’язки апроксимацій рівнянь (4): ( ) ( ) ( ) ( )       −⋅+−= −⋅−−= −+−+ −− = −+−+ −− = ,max ,max 1,1,,,1,1 1,1 1, 2 1,1,,,1,1 1,1 1, 1 jijijijiji mn ji jijijijiji mn ji xxyy yyxx κγδ κγδ де         ⋅∆ − ⋅∆ − = +−−+ ji jiji ji jiji ji J xx J yy , 1,1, , 1,1, , 2 , 2 ψψ κκ , × ∆⋅∆ = ϕψ4 1 , jiJ ( )( ) ( )( )( )jijijijijijijiji yyxxyyxx ,1,11,1,1,1,,1,1 −+−+−+−+ −−−−−× . Якщо потрібно підвищити ступінь точності наближеного розв’я- зку (зменшити нев’язку δ ), збільшуємо n і m та розв’язуємо задачу заново (оптимальність співвідношення між n та m досягається анало- гічно до [5, 9] шляхом оптимізації відповідних функціоналів з ураху- ванням заміни конформної сітки на відповідну квазіконформну). Комп’ютерна реалізація алгоритму та чисельні приклади. Описаний нами вище алгоритм чисельного розв'язання поставленої задачі реалізований у вигляді пакету програм для ПК IBM PC/AT. Його збіжність та точність перевірялися за допомогою тестових при- кладів. На рис. 3 зображена динамічна сітка, отримана в результаті розв’язання відповідної плоскої модельної задачі фільтрації, поро- дженої дією свердловини ( :*L ttx cos4)(* += , )tty sin2)(* += в елі- птичному пласті ( :*L ttx cos15)(* = , )tty sin10)(* = при 22 * yx ϕϕµκκ ++= ( )01.0,1* == µκ , n = 40, m = 120, ε = ε1 = ε2 = = ε3 = 10–4, 10* =h , 2=∗h . При цьому за k = 4589 ітерації знайдена повна витрата Q = 2.7053 при максимальній нев’язці δ = 0.5674. За- уважимо при цьому, що, навіть, і при порівняно малих значеннях n, m побудований програмний комплекс дозволяє виділити ділянки допус- тимих нев’язок (на рис. 3 схематично пунктиром розділені ділянки великих та малих нев’язок відносно деякого значення *δδ = ). На рис. 4 зображена відповідна вільна поверхня. Висновки і зауваження. Із вище викладеного бачимо, що мо- дифікація алгоритму чисельного розв’язання обернених нелінійних модельних задач на квазіконформні відображення для двозв’язних пористих деформівних обмежених еквіпотенціальними поверхнями та поверхнями течії середовищ за умов зворотного впливу характери- стик процесу на характеристики середовища для просторових задач з Математичне та комп’ютерне моделювання 40 вільними поверхнями ґрунтується на зведенні останніх до відповід- них їх плоских аналогів із невідомими витратами. Обґрунтування побудованого нами алгоритму почергового “за- мороження” шуканих параметра квазіконформності, внутрішніх та граничних вузлів криволінійної області, як і в [5], проводилось із ви- користанням ідей методу блочної ітерації (див., напр., [9]). У випадку, якщо контури L* та L* не є еквіпотенціальними ліні- ями (наприклад, коли )(* * * * Mϕϕ = , де M – біжуча точка відповідно- го контура, )(* * Mϕ – мало змінна неперервно-диференційована та періодична функція), безпосередньо скористатись перевагами запро- понованого нами підходу не можна. В цьому випадку можливим є комбінований підхід із використанням методу скінчених елементів [10] та методу мажорантних областей Г. М. Положого [11]. Список використаних джерел: 1. Бомба А. Я., Каштан С. С. Чисельне розв’язання обернених нелінійних крайових задач на конформні та квазіконформні відображення // Волин- ський математичний вісник. – 2001. – Вип. 8. – С.19-33. 2. Бомба А. Я., Пригорницький Д. О. Чисельне розв’язання обернених нелі- нійних крайових задач на конформні та квазіконформні відображення в двозв’язних областях // Вісник Київського університету. Сер.: фізико-ма- тематичні науки. – 2001. – Вип. 3. – С.151-158. 3. Бомба А. Я., Каштан С. С. Чисельне розв’язання обернених нелінійних крайових задач на конформні та квазіконформні відображення // Вісник Київського університету. Сер.: фізико-математичні науки. – 2001. – Вип. 4. – С.160-174. 4. Бомба А. Я., Хлапук М. М., Сидорчук Б. П. Математичне моделювання нелінійних процесів фільтрації з урахуванням малих деформацій середо- вища // Актуальні проблеми водного господарства. – Т.1. – Рівне: Вид-во УДАВГ, 1997. – С.11-15. Рис. 3. Плоский аналог вихідної задачі – свердловина в еліптичному пласті Рис. 4. Вільна поверхня Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1 41 5. Бомба А. Я., Пригорницький Д. О. Чисельне розв’язання обернених нелі- нійних крайових задач на квазіконформні відображення в двозв’язних деформівних середовищах // Вісник Львівського університету. Серія при- кладна математика та інформатика. – 2003. – Вип.7. – С.3-10. 6. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. – М.: Нау- ка, 1977. – 664 с. 7. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. – Киев: Наукова дум- ка, 1980. – 334 с. 8. Самарский А. А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1977. – 656 c. 9. Годунов O. K., Прокопов Г. П. О расчетах конформных отображений и построении разностных сеток // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1967. – Т. 7. – № 5. – С.1031-1059. 10. Савула Я. Г., Шинкаренко Г. А., Вовк В. Н. Некоторые приложения мето- да конечных элементов. – Львов: Редакционно-издательская группа Львов. ун-та, 1981. – 38 c. 11. Ляшко И. И., Великоиваненко И. М., Лаврик В. И., Мистецкий Г. Е. Ме- тод мажорантных областей в теории фильтрации. – Киев: Наукова думка, 1974. – 200 с. Numerical algorithm for solving of inverse nonlinear boundary value problems on quasiconformal mappings in doubly-connected warped envi- ronments limited by equipotential lines and surfaces of current is modified for cases of areas with free surfaces. Key words: numerical solution, inverse nonlinear boundary value problems, quasiconformal mapping, warped environments, free surfaces. Отримано: 25.06.2008 УДК 628.113.2:66.067.1+517.95 А. Я. Бомба1, І. М. Присяжнюк1, А. П. Сафоник2 1Рівненський державний гуманітарний університет 2Національний університет водного господарства та природокористування, м. Рівне ЗАКОНОМІРНОСТІ ФІЛЬТРУВАННЯ У ДВОШАРОВИХ ФІЛЬТРАХ У даній роботі встановлено аналітичні закономірності ма- сопереносу в двошарових фільтрах, що функціонують за зако- нами, прототипами яких є лінійна модель Мінца. Проведено аналіз роботи двошарових фільтрів у хвильовому режимі. Оп- тимізовано основні параметри процесу фільтрування. Ключові слова: фільтр, масопереніс, оптимізація. Вступ. Фільтрування в напрямку зменшення еквівалентного ді- аметру гранул завантаження – один з загальновизнаних методів під- © А. Я. Бомба, І. М. Присяжнюк, А. П. Сафоник, 2008

Ähnliche Einträge