Модифікація методу січних площин на випадок апроксимації компактнозначного відображення чебишовським підпростором з додатковим обмеженням

В статті узагальнено метод січних площин на випадок задачі найкращої рівномірної апроксимації компактнозначного відображення чебишовським підпростором з додатковим обмеженням....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автори:	Гнатюк, В.О., Гнатюк, Ю.В., Гудима, У.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2008
Назва видання:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18566
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Модифікація методу січних площин на випадок апроксимації компактнозначного відображення чебишовським підпростором з додатковим обмеженням / В.О. Гнатюк, Ю.В. Гнатюк, У.В. Гудима // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 51-60. — Бібліогр.: 3 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-18566
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-185662011-04-03T12:04:05Z Модифікація методу січних площин на випадок апроксимації компактнозначного відображення чебишовським підпростором з додатковим обмеженням Гнатюк, В.О. Гнатюк, Ю.В. Гудима, У.В. В статті узагальнено метод січних площин на випадок задачі найкращої рівномірної апроксимації компактнозначного відображення чебишовським підпростором з додатковим обмеженням. In this article the method of cutting planes is generalized on the case of problem of the best uniform approximation continuous compact-valued maps by finite dimensional Chebyshev space of continuous single-valued maps with additional restriction. 2008 Article Модифікація методу січних площин на випадок апроксимації компактнозначного відображення чебишовським підпростором з додатковим обмеженням / В.О. Гнатюк, Ю.В. Гнатюк, У.В. Гудима // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 51-60. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18566 517.5 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	В статті узагальнено метод січних площин на випадок задачі найкращої рівномірної апроксимації компактнозначного відображення чебишовським підпростором з додатковим обмеженням.
format	Article
author	Гнатюк, В.О. Гнатюк, Ю.В. Гудима, У.В.
spellingShingle	Гнатюк, В.О. Гнатюк, Ю.В. Гудима, У.В. Модифікація методу січних площин на випадок апроксимації компактнозначного відображення чебишовським підпростором з додатковим обмеженням Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Гнатюк, В.О. Гнатюк, Ю.В. Гудима, У.В.
author_sort	Гнатюк, В.О.
title	Модифікація методу січних площин на випадок апроксимації компактнозначного відображення чебишовським підпростором з додатковим обмеженням
title_short	Модифікація методу січних площин на випадок апроксимації компактнозначного відображення чебишовським підпростором з додатковим обмеженням
title_full	Модифікація методу січних площин на випадок апроксимації компактнозначного відображення чебишовським підпростором з додатковим обмеженням
title_fullStr	Модифікація методу січних площин на випадок апроксимації компактнозначного відображення чебишовським підпростором з додатковим обмеженням
title_full_unstemmed	Модифікація методу січних площин на випадок апроксимації компактнозначного відображення чебишовським підпростором з додатковим обмеженням
title_sort	модифікація методу січних площин на випадок апроксимації компактнозначного відображення чебишовським підпростором з додатковим обмеженням
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18566
citation_txt	Модифікація методу січних площин на випадок апроксимації компактнозначного відображення чебишовським підпростором з додатковим обмеженням / В.О. Гнатюк, Ю.В. Гнатюк, У.В. Гудима // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 51-60. — Бібліогр.: 3 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT gnatûkvo modifíkacíâmetodusíčnihploŝinnavipadokaproksimacííkompaktnoznačnogovídobražennâčebišovsʹkimpídprostoromzdodatkovimobmežennâm AT gnatûkûv modifíkacíâmetodusíčnihploŝinnavipadokaproksimacííkompaktnoznačnogovídobražennâčebišovsʹkimpídprostoromzdodatkovimobmežennâm AT gudimauv modifíkacíâmetodusíčnihploŝinnavipadokaproksimacííkompaktnoznačnogovídobražennâčebišovsʹkimpídprostoromzdodatkovimobmežennâm
first_indexed	2025-07-02T19:33:06Z
last_indexed	2025-07-02T19:33:06Z
_version_	1836564912023797760
fulltext	Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1 51 УДК 517.5 В. О. Гнатюк, Ю. В. Гнатюк, У. В. Гудима Кам’янець-Подільський національний університет МОДИФІКАЦІЯ МЕТОДУ СІЧНИХ ПЛОЩИН НА ВИПАДОК АПРОКСИМАЦІЇ КОМПАКТНОЗНАЧНОГО ВІДОБРАЖЕННЯ ЧЕБИШОВСЬКИМ ПІДПРОСТОРОМ З ДОДАТКОВИМ ОБМЕЖЕННЯМ В статті узагальнено метод січних площин на випадок за- дачі найкращої рівномірної апроксимації компактнозначного відображення чебишовським підпростором з додатковим об- меженням. Ключові слова: метод січних площин, рівномірна апрок- симація, компактнозначне відображення. Вступ. У даній роботі для розв’язування задачі найкращої рів- номірної апроксимації неперервного компактнозначного відображен- ня елементами скінченновимірного чебишовського підпростору од- нозначних неперервних відображень, які задовольняють додатковому обмеженню, що задається системою замкнених куль з центрами та радіусами, які змінюються неперервно, модифіковано метод січної площини розв’язування задачі опуклого програмування, запропоно- ваний у праці [1], а також доведено його збіжність. Постановка задачі. Нехай S – метричний компакт, X – лінійний над полем комплексних чисел нормований сепарабельний простір, ( )XSC , – лінійний над полем дійсних чисел нормований простір од- нозначних відображень компакту S в X, неперервних на S, з нормою ( )sgg Ss∈ = max , ( )XK – сукупність непорожніх компактів простору X, ( )( )XKSC , – множина багатозначних відображень a компакту S в X таких, що для кожного Ss ∈ ( ) ( )XKKsa s ∈= , V – лінійний підпростір простору ( )XSC , , породжений лінійно незалежними ві- дображеннями ( )XSCgi ,∈ , ni ,1= , ( )XSCu ,∈ , ( )RSCr ,∈ , ( ) 0>sr , ( ) ( ) ( ){ }srsuxXxxsb ≤−∈= ,: , Ss ∈ , ( ){ ,,: XSCggD ∈= ( ) ( ) Sssbsg ∈∈ , . Через Mint будемо позначати внутрішність, а через M∂ – ме- жу множини М топологічного простору. Зрозуміло, що для Ss ∈ ( ) ( ) ( ){ }srsuxXxxsb <−∈= ,:int , ( ) ( ) ( ){ }srsuxXxxsb =−∈=∂ ,: . Будемо припускати, що існує елемент Vg ∈0 , для якого ( ) ( )sbsg int0 ∈ для всіх Ss ∈ . © В. О. Гнатюк, Ю. В. Гнатюк, У. В. Гудима, 2008 Математичне та комп’ютерне моделювання 52 Задачею найкращої рівномірної апроксимації відображення ( )( )XKSCa ,∈ скінченновимірним підпростором V однозначних непе- рервних відображень g компакту S в X, які задовольняють додатковому обмеженню Dg ∈ , будемо називати задачу відшукання величини ( ) ( ) ( ) ysgDV saySsDVga −= ∈∈∈ maxmaxinf* ∩ ∩α . (1) Згідно з теоремою 2.1 [2, с.1605] існує елемент DVg ∩∈* та- кий, що ( ) ( ) ( ) ysgDV saySsa −= ∈∈ ** maxmax∩α . Цей елемент будемо називати екстремальним елементом для величини (1). Позначимо через X* простір, спряжений з X, через B* – замкнену одиничну кулю простору X : { }1,: * ≤∈= fXffB , а через ( )BE – множину крайніх точок B . У подальшому будемо припускати, що обмеження DVg ∩∈ в задачі відшукання величини (1) є суттєвим у тому розумінні, що ( ) ( )DVD aa ∩** αα < , де ( ) ( ) ( ) ysgD saySsDga −= ∈∈∈ maxmaxinfα , та виконується умова (Н): для будь-яких Ss j ∈ , ( )BEf j ∈ таких, що лінійні неперервні на ( )XSC , функціонали ( )( ) ( )( )jjfs sgfg jj Re, =ϕ , nj ,1= , ( )XSCg ,∈ , є лінійно незалежними, визначник ( )( ) 0]det[ , ≠ifs g jj ϕ . Припускається, що хоча б n зазначених функціоналів існують. Умову (Н) будемо називати узагальненою умовою Хаара. При виконанні умови (Н) підпростір V називатимемо чебишов- ським підпростором простору ( )XSC , . Легко переконатися, що в цьому випадку екстремальний еле- мент для величини (1) єдиний. Актуальність теми. Практичне використання величини (1) та її екстремального елемента вимагає наявності чисельних методів їх відшукання. Мета роботи. Узагальнити метод січних площин на випадок за- дачі відшукання величини (1) та її екстремального елемента. Основні результати. Теорема 1. Якщо Ss j ∈ , ( )BEf j ∈ , 1,1 += nj , такі, що лінійні неперервні на ( )XSC , функціонали ( )( ) ( )( )jjfs sgfg jj Re, =ϕ , Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1 53 1,1 += nj , утворюють лінійно незалежну систему, додатні числа jρ , 1,1 += nj , задовольняють умови ( )( )( ) 0Re 1 1 =−∑ + = n j jijj sgfρ , ni ,1= , 1 1 1 =∑ + = n j jρ , то система векторів ( )( )( ) ( )( )( )( )1,Re,...,Re 1 jnjjj sgfsgf −− , 1,1 += nj , лінійно незалежна. Перейдемо до описання методу. На попередньому його кроці вибираємо будь-які Ss j ∈ , ( )BEf j ∈ , ( )jj say ∈ , 1,1 += nj , такі, що лінійні неперервні на ( )XSC , функціонали ( )( ) ( )( )jjfs sgfg jj Re, =ϕ , 1,1 += nj , утворюють лінійно незалежну систему, та при фіксованому 01 ≠+nλ розв’язуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь n-го порядку ( )( ) ( )( )∑ = +++−= n j ninnjijj sgfsgf 1 111 ReRe λλ , ni ,1= . Нехай ),,...,( 11 +nn λλλ – розв’язок цієї системи. Оскільки 01 ≠+nλ і виконується умова (H), то 0≠jλ , 1,1 += nj . Позначимо через ( )11 ,,..., +nn βββ той з векторів ( )11 1 1 1 ,,..., + − + =         ∑ nn n j j λλλλ , ( )11 1 1 1 ,,..., + − + = −−−        ∑ nn n j j λλλλ , для якого ( )( )∑ + = ≥− 1 1 0Re n j jjj yfβ . Нехай jj βρ =1 , jj sign βε = , 1,1 += nj , jjj ff ε= , 1,1 += nj . Зрозуміло, що числа 1 jρ та функціонали jf , 1,1 += nj , задовольняють умови ( )( ) ,0Re 1 1 1∑ + = ≥− n j jjj yfρ (3) ( )( )( )∑ + = =− 1 1 1 0Re n j jijj sgfρ , ni ,1= , (4) 01 >jρ , 1,1 += nj , ∑ + = = 1 1 1 1 n j jρ . (5) Математичне та комп’ютерне моделювання 54 На першому кроці методу розв’язуємо таку задачу лінійного програмування: θmin (6) ( )( )( ) ( )( ), 1 ReRe∑ = −≥+− n i jjjiji yfsgf θα 22,1 += nj , (7) де jjn ss =++1 , jjn ff −=++1 , jjn yy =++1 , 1,1 += nj . Нехай на q-му кроці (q ≥ 1) методу знайдено оптимальний роз- в’язок ( ) ( )qq n qqq θααθα ,,...,; 1= такої задачі лінійного програмування θmin (8) ( )( )( ) ( )( ),ReRe 1 jj n i jiji yfsgf −≥+−∑ = θα ,12,1 ++= qmnj (9) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )jjj n i jiji trtutg −−≥−∑ = ϕϕα ReRe 1 , ,,1 qpj = (10) де Ss j ∈ , ( )jj say ∈ , ( )BEf j ∈ , 12,1 ++= qmnj ; St j ∈ , ( )BEj ∈ϕ , qpj ,1= ; 1≥qm , qpm qq =+ . Теорема 2. Задача лінійного програмування (8)-(10) має опти- мальний опорний розв’язок. Справедливе співвідношення ( )DVa q ∩αθ ≤ , ,...2,1=q . (11) Доведення. Нехай i n i i gg ∑ = = 1 * α є екстремальним елементом для величини (1). Легко переконатися, що вектор ( )( )=DVa ∩;αα ( )( )DVan ∩* 1 ,,..., ααα= є допустимим розв’язком задачі (8)-(10). Задачею лінійного програмування, двоїстою до задачі (8)-(10), є задача відшукання ( )( ) ( )( )( ) ( )( )       −−+− ∑∑ = ++ = qq p j jjjj mn j jjj trtuyf 1 12 1 ReRemax ϕβρ (12) при обмеженнях ( )( )( ) ( )( )( )∑ ∑ ++ = = =−+− 12 1 1 0ReRe q qmn j p j jijjjijj tgsgf ϕβρ , ni ,1= , (13) ∑ ++ = = 12 1 1 qmn j jρ , (14) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1 55 0≥jρ , 12,1 ++= qmnj , 0≥jβ , qpj ,1= . (15) Внаслідок (4), (5) допустимим розв’язком цієї задачі є вектор ( )0,...,0,,...., 1 1 1 1 +nρρ . Оскільки задачі (8)-(10) та (12)-(15) мають допус- тимі розв’язки, то, як відомо (див., наприклад, [3, с.176]), вони мають і оптимальні розв’язки. Оскільки згідно з теоремою 1 система векторів ( )( )( )( jj sgf 1Re − , ( )( )( ) )1,Re, jnj sgf−… , 1,1 += nj , є лінійно незалежною, ці задачі ма- ють також опорні оптимальні розв’язки. Нехай ( )q p qq mn q qq ββρρ ,...,,,...., 1121 ++ – оптимальний розв’язок за- дачі лінійного програмування (12)-(15). Тоді ( )( )( ) ( )( )( )∑ ∑ ++ = = =−+− 12 1 1 0ReRe q qmn j p j jij q jjij q j tgsgf ϕβρ , ni ,1= , (16) ∑ ++ = = 12 1 1 qmn j q jρ , (17) 0≥q jρ , 12,1 ++= qmnj , 0≥q jβ , qpj ,1= . (18) Крім того, внаслідок першої теореми двоїстості в лінійному про- грамуванні (див., наприклад, [3, с.173]) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )∑∑ = ++ = −−+−= qq p j jjj q j mn j jj q j q trtuyf 1 12 1 ReRe ϕβρθ . (19) З рівності (16) випливає, що для будь-якого Vg ∈ ( )( )( ) ( )( )( ) 0Re 1 12 1 =−+− ∑∑ = ++ = qq p j jj q j mn j jj q j tgsgf ϕβρ . З урахуванням (17)-(19) для будь-якого вектора DVg ∩∈ звідси одержимо, що ( )( )( )+−= ∑ ++ = 12 1 Re qmn j jjj q j q ysgfρθ ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) +−≤−−+ ++≤≤ = ∑ jjmnj p j jjjj q j ysgtrtutg q q 121 1 maxReϕβ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ysgtrtutg saySs p j jjj q j q −≤−−+ ∈∈ = ∑ maxmax 1 β . Математичне та комп’ютерне моделювання 56 Тому ( )DVa q ∩αθ ≤ . Теорему доведено. Нехай, як і вище, ( ) ( )qq n qqq θααθα ,,...,; 1= – оптимальний розв’я- зок задачі лінійного програмування (8)-(10), знайдений на q -му кроці ( )1≥q . Для вектора ∑ = = n i i q i q gg 1 α знаходимо ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )       −−−−= ∈∈∈ trtutgysg q St qq saySs q max,maxmaxmax θε . Легко переконатися, що у випадку, коли 0≤qε , елемент qg є екстремальним для задачі відшукання величини (1). Якщо ж 0>qε , то у випадку, коли ( ) ( ) qq saySs q ysg θε −−= ∈∈ maxmax , для вектора qg знаходимо Ss qmn ∈++ 22 , ( )2222 ++++ ∈ qq mnmn say , ( ) 22 BEf qmn ∈++ такі, що ( ) ( ) ( )( )222222maxmax ++++++ ∈∈ −=− qqq mnmn q mn q saySs ysgfysg , та приєднуємо до обмежень (9) задачі (8)-(10) обмеження ( )( )( ) ( )( )2222 1 2222 ReRe ++++ = ++++ −≥+−∑ qqqq mnmn n i mnimni yfsgf θα , знаходимо оптимальний розв’язок ( ) ( )111 1 11 ,,...,; +++++ = qq n qqq θααθα одержаної в результаті цього нової задачі лінійного програмування і т.д. Якщо ж ( ) ( ) ( )( ) 0max >−−= ∈ trtutg q St qε , то для вектора qg зна- ходимо St qp ∈+1 , ( )* 1 BE qp ∈+ϕ такі, що ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), max 1111 111 ++++ +++ ∈ −−= =−−=−− qqqq qqq ppp q p ppp qq St trtutg trtutgtrtutg ϕ та приєднуємо до обмежень (10) задачі (8)-(10) обмеження ( )( )( ) ( )( )( ) ( ),ReRe 111 1 11 +++ = ++ −−≥−∑ qqqqq ppp n i pipi trtutg ϕϕα знаходимо оптимальний розв’язок ( ) ( )111 1 11 ,,...,; +++++ = qq n qqq θααθα одержаної в результаті цього нової задачі лінійного програмування і т.д. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1 57 Теорема 3. Послідовність { }∞ =1q qθ є неспадною. Послідовність { }∞ =1q qg збігається до екстремального елемента g для величини (1). Мають місце рівності ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,maxmaxmaxmaxlimlim * ysgysgDV saySs q saySsqa q q −=−== ∈∈∈∈∞→∞→ ∩αθ 0lim = ∞→ q q ε . Доведення. Оскільки множина обмежень задачі лінійного про- грамування, яка розв’язується на 1+q -му кроці включає обмеження (9), (10), то 1+≤ qq θθ . Отже, послідовність { }∞ =1q qθ є неспадною. Згід- но з теоремою 2 ( )DVa q ∩αθ ≤ , ,...2,1=q . Тому існує q q θ ∞→ lim і ( )DVa q q ∩lim αθ ≤ ∞→ . Легко переконатися, що послідовність { } { }∞ = ∞ = = 111 ),...,( q q n q q q ααα є обмеженою. Супротивне суперечить умові (Н). Маємо, що ∑∑∑ === ≤≤= n i ii n i q i n i i q i q gCggg 111 αα , де Cq i ≤α , ,...2,1=q , ni ,1= , тому обмеженою буде також послідо- вність { }∞ =1q qg . З урахуванням скінченновимірності простору V з по- слідовності { }∞ =1q qg можна вибрати збіжну підпослідовність { }∞=1µ µqg . Нехай lim gg q = ∞→ µ µ . Зрозуміло, що Vg ∈ . Припустимо, що іс- нує підпослідовність { }∞ =1νµν q така, що ( ) ( ) ( ) =      −−= ∈ trtutg q St q νµνµε max      −           −     = ++++ 1111 νµνµνµ νµ νµ ϕ qqqq ppp q p trtutg . (20) Оскільки      =      +++++ 11111 ,,...,; 1 νµνµνµνµνµ θααθα qq n qqq є оптималь- ним розв’язком задачі (8)-(10) при νν µµ qqq >= +1 , то Математичне та комп’ютерне моделювання 58 .Re ReRe 111 11 1 11 11      −                 −≥ ≥                 −=                 − +++ ++ = ++ ++∑ νµνµνµ νµ νµ νµνµνµ νµ ϕ ϕϕα qqq qqqq ppp p q p n i pip q i trtu tgtg Звідси та з (20) одержимо, що ( ) 11 1 1Re0 ++ + −≤    −≤≤ + νµνµ νµ νµνµ νµ νµ ϕε qq p qq p q ggtgg q . Оскільки 1limlim ggg qq == + ∞→∞→ νµνµ νν , то звідси отримаємо, що 0lim = ∞→ νµε ν q . Згідно з (20) для кожного St ∈ ( ) ( ) ( ) νµνµ ε qq trtutg ≤−− , ,...2,1=ν . Перейшовши в цій нерівності до границі при ∞→ν , одержимо, що ( ) ( ) ( )trtutg ≤− , St ∈ . Це означає, що DVg ∩∈* . Оскільки ( ) ( ) ,...2,1,maxmax =≤−− ∈∈ νεθ νµνµνµ qqq saySs ysg , то, пере- йшовши в цій нерівності до границі при ∞→ν та врахувавши непе- рервність по g функції ( ) ( ) ysgg saySs −= ∈∈ maxmax)(ψ , одержимо, що ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ysgDVysg saySsa q qsaySs −≤≤≤− ∈∈∞→∈∈ *** maxmaxlimmaxmax ∩αθ . Звідси одержимо, що g є екстремальним елементом для вели- чини (1) і ( )DVa q q ∩lim αθ = ∞→ . Припустимо тепер, що для всіх µ , починаючи з деякого номера, ( ) ( ) ( )( ) . maxmax 222222 µ µµ µ µ µµµ θ θε q mnmn q mn qq saySs q qqq ysgf ysg −−= =−−= ++++++ ∈∈ Оскільки     =     +++++ 11111 ,,...,; 1 µµµµµ θααθα qq n qqq є оптимальним розв’язком задачі (8)-(10) при µµ qqq >= +1 , то ( )( )( )∑ = ++++ =+− ++ n i q mnimn q i qq sgf 1 2222 11 Re µ µµ µ θα Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1 59 ( )( )( ) ≥+−= ++ ++++ 11 2222Re µ µ µ µ θ q mn q mn qq sgf ( )( ) ( ) ( ) −−=−≥ ∈∈ ++++ ysgyf q saySsmnmn qq µ µµ maxmaxRe 2222 ( )( )2222Re ++++− µ µ µ qq mn q mn sgf . Тому ( ) ( ) ( )( ) .Re maxmax 11 1 2222 ++ + −≤−≤ ≤−− ++++ ∈∈ µµ µ µµ µ µµ θ qq mn qq mn qq saySs ggsggf ysg qq Перейшовши у цій нерівності до границі при ∞→µ , одержимо, що ( ) ( ) ( )DVysg a q qsaySs ∩** limmaxmax αθ ≤≤− ∞→∈∈ . (21) Оскільки в розглядуваному випадку ( ) ( ) µµµ θε qq saySs q ysg −−=≤ ∈∈ maxmax0 , то, перейшовши в цій нерівності до границі при ∞→µ , згідно (21) одержимо, що ( ) ( ) ( ) ( ) .0limmaxmax limmaxmaxlimlim0 * ≤−−= =−−=≤ ∞→∈∈ ∞→∈∈∞→∞→ µ µ µ µµµ θ θε µµ q saySs qq saySs q ysg ysg Тому 0lim = ∞→ µε µ q . Оскільки ( ) ( ) ( ) µµ ε qq trtutg ≤−− для всіх St ∈ , ,...2,1=µ , то звідси одержимо, що ( ) ( ) ( )trtutg ≤−* для всіх St ∈ . Це означає, що DVg ∩∈* . З урахуванням цього і співвідношення (21) робимо висновок, що g є екстремальним елементом для величини (1) та мають місце співвідношення ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).limmaxmaxmaxmaxlim * DVysgysg a q qsaySs q saySs ∩αθµ µ ==−=− ∞→∈∈∈∈∞→ Оскільки екстремальний елемент g для величини (1) єдиний, то з проведених вище міркувань випливає, що lim ggq q = ∞→ і ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .maxmaxmaxmaxlimlim ysgysgDV saySs q saySsqa q q −=−== ∈∈∈∈∞→∞→ ∩αθ Крім того, маємо, що Математичне та комп’ютерне моделювання 60 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )}=−−    −−= =≤ ∈∈∈∞→ ∞→ trtutgysg q St qq saySsq q q max,maxmaxmaxlim lim0 θ ε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0max,maxmaxmax * =       −−−−= ∈∈∈ trtutgDVysg St a saySs ∩α , оскільки *g є екстремальним елементом для величини (1). Теорему доведено. Висновок. У даній роботі для задачі відшукання величини (1) модифіковано метод січної площини. Встановлено збіжність побудо- ваного методу. Список використаних джерел: 1. Kelly J. E. The “Cutting plane” methods for solving convex programs // SIAM J. – 1960. – 8, №4. – P.703-712. 2. Гудима У. В. Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компакт- нозначного відображення множинами неперервних однозначних відо- бражень // Укр. мат. журн. – 2005. – 57, №12. – С.1601-1619. 3. Юдин Д. Б., Гольштейн Е. Г. Линейное программирование (теория и ко- нечные методы). – М.: Физматгиз, 1963. – 774 с. In this article the method of cutting planes is generalized on the case of problem of the best uniform approximation continuous compact-valued maps by finite dimensional Chebyshev space of continuous single-valued maps with additional restriction. Key words: the method of cutting planes, the uniform approximation, the compact-valued maps. Отримано: 05.06.2008

Модифікація методу січних площин на випадок апроксимації компактнозначного відображення чебишовським підпростором з додатковим обмеженням

Репозитарії

Схожі ресурси