Matrices of LCAO-Hamiltonian in special points
Semiconductors of AII3BV2 group have the structures very near to cubic close packed lattices. Their cation’s vacancies might be either in positional disorder or vice versa. This detail directly affects on so-called “structural factors” of the matrix elements of the Hamiltonian. The matrix elements c...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | English |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18570 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Matrices of LCAO-Hamiltonian in special points / N. Don, V. Ivchenko, V. Remnyova // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 97-103. — Бібліогр.: 3 назв. — англ. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18570 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-185702011-04-03T12:04:02Z Matrices of LCAO-Hamiltonian in special points Don, N. Ivchenko, V. Remnyova, V. Semiconductors of AII3BV2 group have the structures very near to cubic close packed lattices. Their cation’s vacancies might be either in positional disorder or vice versa. This detail directly affects on so-called “structural factors” of the matrix elements of the Hamiltonian. The matrix elements change itself just depending on supposition about the degree of vacancies ordering. These investigations show that the part of energy levels is straightly depending on the degree of vacancies ordering, whereas other part of them is independent. Напівпровідники групи AII3BV2 мають структури, сильно наближені до кубічних щільно упакованих кристалічних ґраток. Їхні катіонні вакансії можуть знаходитися у відносному безладі і навпаки. Ця деталь безпосередньо впливає на так звані “структурні фактори” елементів матриці гамільтоніана. Елементи матриці змінюються в залежності від припущення про ступінь впорядкування вакансій. Дослідження показують, що частина енергетичних рівнів знаходяться в прямій залежності від ступеню впорядкування вакансій, тоді як друга їхня частина незалежна. 2008 Article Matrices of LCAO-Hamiltonian in special points / N. Don, V. Ivchenko, V. Remnyova // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 97-103. — Бібліогр.: 3 назв. — англ. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18570 en Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
English |
| description |
Semiconductors of AII3BV2 group have the structures very near to cubic close packed lattices. Their cation’s vacancies might be either in positional disorder or vice versa. This detail directly affects on so-called “structural factors” of the matrix elements of the Hamiltonian. The matrix elements change itself just depending on supposition about the degree of vacancies ordering. These investigations show that the part of energy levels is straightly depending on the degree of vacancies ordering, whereas other part of them is independent. |
| format |
Article |
| author |
Don, N. Ivchenko, V. Remnyova, V. |
| spellingShingle |
Don, N. Ivchenko, V. Remnyova, V. Matrices of LCAO-Hamiltonian in special points Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| author_facet |
Don, N. Ivchenko, V. Remnyova, V. |
| author_sort |
Don, N. |
| title |
Matrices of LCAO-Hamiltonian in special points |
| title_short |
Matrices of LCAO-Hamiltonian in special points |
| title_full |
Matrices of LCAO-Hamiltonian in special points |
| title_fullStr |
Matrices of LCAO-Hamiltonian in special points |
| title_full_unstemmed |
Matrices of LCAO-Hamiltonian in special points |
| title_sort |
matrices of lcao-hamiltonian in special points |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18570 |
| citation_txt |
Matrices of LCAO-Hamiltonian in special points / N. Don, V. Ivchenko, V. Remnyova // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 97-103. — Бібліогр.: 3 назв. — англ. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| work_keys_str_mv |
AT donn matricesoflcaohamiltonianinspecialpoints AT ivchenkov matricesoflcaohamiltonianinspecialpoints AT remnyovav matricesoflcaohamiltonianinspecialpoints |
| first_indexed |
2025-07-02T19:33:16Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:33:16Z |
| _version_ |
1836564922668941312 |
| fulltext |
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
97
N. Don, V. Ivchenko, V. Remnyova
Kherson National Technical University, Kherson
MATRICES OF LCAO-HAMILTONIAN IN SPECIAL POINTS
Semiconductors of VII BA 23 group have the structures very near
to cubic close packed lattices. Their cation’s vacancies might be ei-
ther in positional disorder or vice versa. This detail directly affects
on so-called “structural factors” of the matrix elements of the Ham-
iltonian. The matrix elements change itself just depending on sup-
position about the degree of vacancies ordering. These investiga-
tions show that the part of energy levels is straightly depending on
the degree of vacancies ordering, whereas other part of them is in-
dependent.
Key words: VII BA 23 compounds, Hamiltonian matrix, energy
bands, cation’s vacancies.
Introduction. Zinc phosphide (Zn3P2) has been intensively investi-
gated as one of the promising high-efficiency semiconductors for solar-
cell applications [1]. It is seems to bee an interesting compound not only
from the point of view of its possible applications but also because of its
basic properties, especially band-structure parameters. The crystal struc-
ture of phosphide-type compounds is very near to cubic close packed lat-
tices. The tight-binding-structure calculations for VII BA 23 semiconducting
compounds including the real crystal structures requires diagonalization of
the matrix Hamiltonian [2]:
−
−
−
−−−
a
pxxxyxysp
a
pxyxxxysp
a
pxyxyxxsp
xxxyxy
c
psp
xyxxxy
c
psp
xyxyxx
c
psp
spspsp
a
sss
spspspss
c
s
gEgEgEgE
gEgEgEgE
gEgEgEgE
gEgEgEgE
gEgEgEgE
gEgEgEgE
gEgEgEgE
gEgEgEgE
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
000
000
000
000
000
3000
000
000
*
0
*
1
*
2
*
3
*
1
*
0
*
3
*
2
*
2
*
3
*
0
*
1
0123
1032
201
*
3
*
2
*
1
*
0
3210
(1)
Such a Hamiltonian has been written down for these materials for the
real symmetry of cubic modifications with 53 hOmFm − space group. The
matrix elements change itself just depending on supposition about the de-
© N. Don, V. Ivchenko, V. Remnyova, 2008
Математичне та комп’ютерне моделювання
98
gree of vacancies ordering. They depend on eight individual material pa-
rameters thereto: xyxxspsspcscpasa EEEEEEEE ,,,,,,, [3].
Theory. The calculations have been made by the program created in
a comprehensive computer system Maple 8.
Let us assume that the origin is located on a site of the anionic sublat-
tice which is almost close packed. So it is useful to list first all 8 possible
cation positions:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
−−−=
−=
−=
−=
−−=
−−=
−−=
=
41111
41111
41111
41111
41111
41111
41111
41111
8
7
6
5
4
3
2
1
/d
/d
/d
/d
/d
/d
/d
/d
(2)
Here each positional vector is given up in the units of the lattice con-
stant. This allows us to define a wave vector without this constant into its
denominator. Therefore our definition of a wave vector has a form:
[ ]cbak πππ 222= . (3)
It is possible now to build an 8-vector with complex exponential
functions as components. Thereto each of functions has the scalar product
between a wave vector and a positional vector as its argument.
.
)(
2
1)(
2
1)(
2
1)(
2
1
)(
2
1)(
2
1)(
2
1)(
2
1
=
−−−⋅−+⋅+−⋅++−⋅
+−−⋅−+−⋅−−⋅++⋅
cbaicbaicbaicbai
cbaicbaicbaicbai
x
eeee
eeeeE
ππππ
ππππ
(4)
Now we need the set of vectors, which shall describe the probability of
the occupation of a position (pj, j = 0..6) as well as the magnitudes of so-
called structural factors (gj, j = 0..6). The probability distribution vectors are:
[ ]
[ ]
[ ];
;
;
876543212
876543211
876543210
wwwwwwwwp
wwwwwwwwp
wwwwwwwwp
−−−−=
−−−−=
=
[ ] ;876543213 wwwwwwwwp −−−−=
[ ];876543214 wwwwwwwwp −−−−=
[ ] ;876543215 wwwwwwwwp −−−−=
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
99
[ ]876543216 wwwwwwwwp −−−−= . (5)
Here the set of constants (wi, i = 1..8, iw≤0 and 1≤iw ) describes the
individual probabilities of the occupation of cation positions listed above.
It is good time now for the determination of so-called structural fac-
tors. Each of them will be presented as a function of three components of
the wave vector (a, b, c) and depends thereto on the set of probabilities but
only as on parameters.
;
)(
2
1
8
)(
2
1
7
)(
2
1
6
)(
2
1
5
)(
2
1
4
)(
2
1
3
)(
2
1
2
)(
2
1
10
cbaicbaicbaicbai
cbaicbaicbaicbai
ewewewew
ewewewewg
−−−⋅−+⋅+−⋅++−⋅
+−−⋅−+−⋅−−⋅++⋅
++++
++++=
ππππ
ππππ
;
)(
2
1
8
)(
2
1
7
)(
2
1
6
)(
2
1
5
)(
2
1
4
)(
2
1
3
)(
2
1
2
)(
2
1
11
cbaicbaicbaicbai
cbaicbaicbaicbai
ewewewew
ewewewewg
−−−⋅−+⋅+−⋅++−⋅
+−−⋅−+−⋅−−⋅++⋅
−++−
−−−+=
ππππ
ππππ
;
)(
2
1
8
)(
2
1
7
)(
2
1
6
)(
2
1
5
)(
2
1
4
)(
2
1
3
)(
2
1
2
)(
2
1
12
cbaicbaicbaicbai
cbaicbaicbaicbai
ewewewew
ewewewewg
−−−⋅−+⋅+−⋅++−⋅
+−−⋅−+−⋅−−⋅++⋅
−+−+
+−+−=
ππππ
ππππ
;
)(
2
1
8
)(
2
1
7
)(
2
1
6
)(
2
1
5
)(
2
1
4
)(
2
1
3
)(
2
1
2
)(
2
1
13
cbaicbaicbaicbai
cbaicbaicbaicbai
ewewewew
ewewewewg
−−−⋅−+⋅+−⋅++−⋅
+−−⋅−+−⋅−−⋅++⋅
−−++
++−−=
ππππ
ππππ
;
)(
2
1
8
)(
2
1
7
)(
2
1
6
)(
2
1
5
)(
2
1
4
)(
2
1
3
)(
2
1
2
)(
2
1
14
cbaicbaicbaicbai
cbaicbaicbaicbai
ewewewew
ewewewewg
−−−⋅−+⋅+−⋅++−⋅
+−−⋅−+−⋅−−⋅++⋅
++−−
−+−−=
ππππ
ππππ
;
)(
2
1
8
)(
2
1
7
)(
2
1
6
)(
2
1
5
)(
2
1
4
)(
2
1
3
)(
2
1
2
)(
2
1
15
cbaicbaicbaicbai
cbaicbaicbaicbai
ewewewew
ewewewewg
−−−⋅−+⋅+−⋅++−⋅
+−−⋅−+−⋅−−⋅++⋅
+−+−
−−+−=
ππππ
ππππ
.
)(
2
1
8
)(
2
1
7
)(
2
1
6
)(
2
1
5
)(
2
1
4
)(
2
1
3
)(
2
1
2
)(
2
1
16
cbaicbaicbaicbai
cbaicbaicbaicbai
ewewewew
ewewewewg
−−−⋅−+⋅+−⋅++−⋅
+−−⋅−+−⋅−−⋅++⋅
+−−+
+−−+=
ππππ
ππππ
(6)
The Hamiltonian has more simple form with the following basis
function: ( ) ( )
czyxazyx pppsppps ,,,,,,, , here the indicators “a, c” pointed
out whose functions (anion's or cation's) are presented.
Математичне та комп’ютерне моделювання
100
Let us to define few matrices, which will be used as blocks of the
Hamiltonian Matrix.
=
pa
pa
pa
sa
E
E
E
E
Ha
000
000
000
000
; (7)
=
pc
pc
pc
sc
E
E
E
E
Hc
000
000
000
000
; (8)
−
−−
−
=
0653
6042
5401
3210
gEgEgEgE
gEgEgEgE
gEgEgEgE
gEgEgEgE
Haс
xxxyxysp
xyxxxysp
xyxyxxsp
spspspss
. (9)
Finally we can to construct the complete Hamiltonian in the form of
a blocked (8*8) Matrix:
=
= + HcHac
HacHa
HcHacransposeHermitianT
HacHa
H
)(
. (10)
So, the Hamiltonian Matrix is obtained. Let it to be below:
.
;;
;;
2112
21
HHam
HHacHHac
HHcHHa
=
==
==
+ (11)
Then we can to rewrite the Hamiltonian Matrix in the form:
−
−
+
−
−
+
=
ε
ε
ε
ε
0
0
0
0
221
121
HH
HH
Ham . (12)
Let us to multiply Ham on the left with the matrix:
−
−
+
⋅−=
10
0
0
11
2
12
ε
ε
H
HA . (13)
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
101
Because the determinant A is equal to one, we have that determinant
of matrix A·(Ham-еE) is equal to determinant of matrix Ham-еE, here
=
10
01
E .
Because matrix A·(Ham-еE) is Upper Triangle Matrix with upper di-
agonal block
21
2
121
0
0
1
0
0
H
H
HH
−
−
+
⋅−
−
−
+
ε
εε
ε
. (14)
The final secular equation for the eigenvalues problem might be re-
written in the form:
( ) 0det 1,1 =⋅ HamA . (15)
The last equation has twice lower order as for starting 8*8 equation
0)(det =Ham .
Let us to find the reduced secular matrix S and the corresponding
secular equation.
=
ε
ε
ε
ε
000
000
000
000
E (16)
( ) +− ⋅−⋅−−= HacEHcHacEHaS 1 . (17)
The eigenvalues problem should be solved from such equation:
( ) 0det =S . (18)
Discussions. It should be noted first that diagonal blocks of Hamilto-
nian Matrix are independent on the both set of parameters: (a, b, c) and
(w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8). Thus our analysis will be in touching just
with the interaction (4*4) block of Hamiltonian Hac.
Disordered crystals
Let us consider a complete disordered crystal:
4/387654321 ======== wwwwwwww . (19)
Let us to consider the point a = 0, b = 0, c = 0 (or Г-point). Then
from (18)
( )
2
144
2
22
ssscsascsa EEEEE +−
±
+
=Γε ; (20)
Математичне та комп’ютерне моделювання
102
( )
2
144
2
22
xxpcpapcpa EEEEE +−
±
+
=Γε . (21)
Let us consider the point a = 1/2, b = 0, c = 0 (or X-point):
( )
2
72
2
22
xxpcpapcpa
X
EEEEE +−
±
+
=ε . (22)
Let us consider the point a = 1/2, b = 1/2, c = 1/2 (or L-point):
( )
2
183618
2
222
xyxyxxxxpcpapcpa
L
EEEEEEEE +++−
±
+
=ε . (23)
Ordered crystals
Let us to consider a complete ordered crystal:
0,1,1,1,1,1,1,0 87654321 ======== wwwwwwww . (24)
Let us to consider the Г-point:
( )
2
144
2
22
ssscsascsa EEEEE +−
±
+
=Γε ; (25)
( )
2
64192144
2
222
xyxyxxxxpcpapcpa EEEEEEEE +−+−
±
+
=Γε ; (26)
( )
2
1696144
2
222
xyxyxxxxpcpapcpa EEEEEEEE +−+−
±
+
=Γε . (27)
Let us to consider the X-point:
( )
2
84872
2
222
xyxyxxxxpcpapcpa
X
EEEEEEEE +++−
±
+
=ε . (28)
Let us to consider the L-point:
( )
2
84872
2
222
xyxyxxxxpcpapcpa
L
EEEEEEEE +++−
±
+
=ε . (29)
The investigations show that the part of energy levels is straightly
depending on the degree of vacancies ordering, whereas other part of them
is independent. Here may be illustrated an example of a couple of the de-
pending levels for Γ -point (see Eqs. (26) and (21)) for ordered and disor-
dered crystals respectively.
It would be noted that expressions (26) and (21) are describing one
and the same couple of levels, and a constant is never equal to zero gener-
ally speaking (i.e. 0≠xyE ). Therefore the difference between energy lev-
els is caused itself by structural factors and thus is the reflection of the
status of the vacancies organization (i.e. of their ordering).
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
103
References:
1. Pawlikowski J. M., Appl J. Phys. 53, 5 (1982).
2. Sieranski K., Szatkowski J., and Misiewicz J. Phys. Rev. B 50, 11 (1994).
3. Harrison A. W. Electronic structure and the Properties of Solids // The Physics
of the Chemical Bond. – San Francisco: W.H. Freeman and Co., 1980.
Напівпровідники групи VII BA 23 мають структури, сильно набли-
жені до кубічних щільно упакованих кристалічних ґраток. Їхні каті-
онні вакансії можуть знаходитися у відносному безладі і навпаки. Ця
деталь безпосередньо впливає на так звані “структурні фактори” еле-
ментів матриці гамільтоніана. Елементи матриці змінюються в залеж-
ності від припущення про ступінь впорядкування вакансій. Дослі-
дження показують, що частина енергетичних рівнів знаходяться в
прямій залежності від ступеню впорядкування вакансій, тоді як друга
їхня частина незалежна.
Ключові слова: VII BA 23 сполуки, матриця гамільтоніана, енерге-
тичні зони, катіонні вакансії.
Отримано: 02.06.2008
УДК 518:517.948
М. В. Дорошенко, Г. П. Коваль, Л. В. Лазурчак
Дрогобицький державний педагогічний університет
імені Івана Франка, м. Дрогобич
ЧИСЕЛЬНЕ ЗНАХОДЖЕННЯ ОПТИМАЛЬНОГО РОЗПОДІЛУ
ГРАНИЧНИХ ПОТЕНЦІАЛІВ ТА ГЕОМЕТРІЇ ГРАНИЧНИХ
ПОВЕРХОНЬ В ЗАДАЧАХ ТЕОРІЇ ПОТЕНЦІАЛУ
Розглядається обернена задача теорії потенціалу знаходже-
ння оптимальної геометрії граничних поверхонь та оптималь-
ного розподілу граничних потенціалів в осесиметричному ви-
падку. Методика рішення оберненої задачі зводиться до міні-
мізації деякого функціоналу та розв’язуванні системи інтегра-
льних рівнянь Фредгольма першого роду з логарифмічною
особливістю.
Ключові слова: обернена задача, інтегральні рівняння,
сплайн-функції, метод колокації, функціонал.
Постановка проблеми. Крайові задачі математичної фізики по-
діляються на прямі та обернені.
У прямих задачах потрібно знайти характеристики поля при ві-
домих геометрії граничних поверхонь та крайових умовах. В оберне-
© М. В. Дорошенко, Г. П. Коваль, Л. В. Лазурчак, 2008
|