Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора (Конторовича-Лєбєдєва)-Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0

Методом порівняння розв’язку крайової задачі для системи диференціальних рівнянь Бесселя та Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0 з однією точкою спряження, побудованого, з одного боку, методом функцій Коші, а, з другого боку, методом відповідного гібридного інтегрального перетворення, обчислено полі...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
1. Verfasser:	Ленюк, М.П.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2008
Schriftenreihe:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18572
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора (Конторовича-Лєбєдєва)-Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0 / М.П. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 112-121. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-18572
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-185722011-04-03T12:04:08Z Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора (Конторовича-Лєбєдєва)-Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0 Ленюк, М.П. Методом порівняння розв’язку крайової задачі для системи диференціальних рівнянь Бесселя та Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0 з однією точкою спряження, побудованого, з одного боку, методом функцій Коші, а, з другого боку, методом відповідного гібридного інтегрального перетворення, обчислено поліпараметричну сім’ю невласних інтегралів за власними елементами відповідного гібридного диференціального оператора. The method of comparison of the decision of a regional problem for system of differential equations Bessel and Euler on a polar axis r ≥ R0 > 0 with one point of the interface constructed, on the one hand, by a method of functions Cauchy, and on the other hand, a method of respective hybrid integrated transformation, calculates a polyparametrical family of not own integrals on own elements of the corresponding hybrid differential operator. 2008 Article Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора (Конторовича-Лєбєдєва)-Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0 / М.П. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 112-121. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18572 517.443 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Методом порівняння розв’язку крайової задачі для системи диференціальних рівнянь Бесселя та Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0 з однією точкою спряження, побудованого, з одного боку, методом функцій Коші, а, з другого боку, методом відповідного гібридного інтегрального перетворення, обчислено поліпараметричну сім’ю невласних інтегралів за власними елементами відповідного гібридного диференціального оператора.
format	Article
author	Ленюк, М.П.
spellingShingle	Ленюк, М.П. Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора (Конторовича-Лєбєдєва)-Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Ленюк, М.П.
author_sort	Ленюк, М.П.
title	Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора (Конторовича-Лєбєдєва)-Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0
title_short	Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора (Конторовича-Лєбєдєва)-Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0
title_full	Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора (Конторовича-Лєбєдєва)-Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0
title_fullStr	Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора (Конторовича-Лєбєдєва)-Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0
title_full_unstemmed	Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора (Конторовича-Лєбєдєва)-Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0
title_sort	обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора (конторовича-лєбєдєва)-ейлера на полярній осі r ≥ r0 > 0
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18572
citation_txt	Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора (Конторовича-Лєбєдєва)-Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0 / М.П. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 112-121. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT lenûkmp občislennânevlasnihíntegralívzavlasnimielementamigíbridnogodiferencíalʹnogooperatorakontorovičalêbêdêvaejleranapolârníjosírr00
first_indexed	2025-07-02T19:33:21Z
last_indexed	2025-07-02T19:33:21Z
_version_	1836564927217664000
fulltext	Математичне та комп’ютерне моделювання 112 7. Chapko R., Kress R. A hybrid method for inverse boundary value problems in potential theory // Journal of III – Posed and Inverse Problems. – 2005. – 13. – P.27-40. We look at the inverse problem of potential theory for finding optimal geometry of boundary surfaces and optimal distribution of boundary poten- tial in the axisymmetric case. The methodology of solution of the inverse problem comes down to the minimization of some functional and solving of system of the first genus integral Fredgolm equations with a logarithmic peculiarity. Key words: inverse problem, integral equations of spine-functions, method of сolokation, functional. Отримано: 29.05.2008 УДК 517.443 М. П. Ленюк Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича ОБЧИСЛЕННЯ НЕВЛАСНИХ ІНТЕГРАЛІВ ЗА ВЛАСНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ГІБРИДНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА (КОНТОРОВИЧА- ЛЄБЄДЄВА)-ЕЙЛЕРА НА ПОЛЯРНІЙ ОСІ r ≥ R0 > 0 Методом порівняння розв’язку крайової задачі для системи диференціальних рівнянь Бесселя та Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0 з однією точкою спряження, побудованого, з одного боку, методом функцій Коші, а, з другого боку, методом відпо- відного гібридного інтегрального перетворення, обчислено по- ліпараметричну сім’ю невласних інтегралів за власними елеме- нтами відповідного гібридного диференціального оператора. Ключові слова: невласні інтеграли, функції Коші, головні розв’язки, гібридне інтегральне перетворення, основна тото- жність, умова однозначної розв’язності, логічна схема. Постановка проблеми та її аналіз. Тонкостінні елементи конс- трукцій композитного типу, як правило, знаходяться в короткочасо- вому стаціонарному режимі, на який вони виходять після стрибкопо- дібного температурного або силового навантаження. Вивчення їх фізико-технічних характеристик приводить до задач термомеханіки (механіки) кусково-однорідних середовищ. Практика показує, що навіть у найпростіших випадках величини, які характеризують стаці- онарний режим композита, зображаються поліпараметричним невла- сним інтегралом, який може бути умовно збіжним навіть тоді, коли зображає аналітичну функцію. Звідси виникає природне бажання за- © М. П. Ленюк, 2008 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1 113 мінити невласний інтеграл його результатом збіжності (функцією), що особливо важливо при інженерних розрахунках. Обчисленню од- нієї сім’ї невласних інтегралів присвячена дана стаття. Основна частина. Розглянемо задачу про побудову обмеженого на множині ( ) ( ){ }0;,,: 01101 >∞∪∈=+ RRRRrrI розв’язку сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь Бесселя з виродженням при старшій похідній та Ейлера для модифікованих функцій ( ) ( ) ( )rgruqB 11 2 11 −=−α , ( )10 , RRr ∈ , ( ) ( ) ( )rgruqB 22 2 2 * 2 −=−α , ( )∞∈ ,1Rr (1) за крайовими умовами ( ) 01 0 11 0 11 0 gru dr d Rr =      + = βα , ( )[ ] 0lim 2 = ∞→ rur r γ (2) та умовами спряження ( ) ( ) 12 1 2 1 21 1 1 1 1 1 j Rr jjjj ru dr dru dr d ωβαβα =            +−      + = , 1,2j = . (3) У рівностях (1)-(3) qm > 0, c11c21 > 0, cj1 = 1 2 1 1 1 1 1 2 jjjj βαβα − ; ( ) 222 112 2 2 12 1 r dr dr dr drB λααα −+++= , 2α1 + 1 > 0, λ ∈ (0, ∞), ( ) 2 222 2 2* 12 2 ααα +++= dr dr dr drB , 2α2 + 1 > 0; 1αB – диференціальний оператор Бесселя [1], * 2αB – диференціальний оператор Ейлера [2]. Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рів- няння Бесселя ( ) 02 11 =− vqBα утворюють модифіковані функції Бес- селя 1-го роду ( )rIq λα11 , та 2-го роду ( )rKq λα11 , [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера ( ) 02 2 * 1 =− vqBα утворюють функції 22 1 qrv −−= α та 22 2 qrv +−= α [2]. Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє будува- ти розв’язок крайової задачі (1)-(3) методом функцій Коші [2, 3]: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ −++= 1 0 1 1111 12 111,1,11 ,, R R qq dgqrErKBrIAru ρρρρλλ α αα , Математичне та комп’ютерне моделювання 114 ( ) ( ) ( )∫ ∞ −−− += 1 222 12 22222 ,, R q dgqrErAru ρρρρ αα . (4) Тут Ej (r, ρ) – функції Коші [2, 3]: ( ) ( ) ,0,, 00 =− −=+= ρρ ρρ rjrj rErE 1,2j = , ( ) ( ) ( )12 00 ,, +− −=+= −=− j r j r j dr rdE dr rdE α ρρ ρ ρρ . (5) Припустимо, що функція Коші ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     <<<+≡ <<<+≡ = + − ., ,, , 10,2,21 10,1,11 1 1111 1111 RrRrKDrICE RrRrKDrICE rE qq qq ρλλ ρλλ ρ αα αα Властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему з двох рівнянь: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1111 ,12,12 =−+− λρλρ αα qq KDDICC , ( ) ( ) ( ) 112 ,12,12 1 1111 )()( −+−=′−+′− α αα λρλρλρ qq KDDICC . Звідси отримуємо співвідношення: ( )λρλ α α 11 1 , 2 12 qKCC −=− , ( )λρλ α α 11 1 , 2 12 qIDD =− . (6) Доповнимо алгебраїчними рівняннями: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     =+ =+ =      + =      + = + = − .0 ,0 :0, :0, 21 12 11;,21 11 11;, 10 02 11;,10 01 11;, 1 1 11 1 11 1 1 11 1 11 1111 1111 0 0 DRUCRU DRUCRU rE dr d rE dr d qq qq Rr Rr λλ λλ ρβα ρβα αα αα (7) Алгебраїчна система (7) в силу співвідношень (6) набуває вигляду: ( ) ( ) 010 02 11;,10 01 11;, 1111 =+ DRUCRU qq λλ αα , ( ) ( ) ( )λρλλλλ α α αα ,1 1 11;, 2 11 12 11;,11 11 11;, 11 1 1111 RDRUCRU qqq Ψ=+ . Звідси знаходимо, що ( ) ( ) ( )λρλ λλ λλ α α α α , , 1 1 11;, 1011;, 0 02 11;, 2 1 11 11 11 1 R RR RU C q q q Ψ ∆ −= , ( ) ( ) ( )λρλ λλ λλ α α α α , , 1 1 11;, 1011;, 0 01 11;, 2 1 11 11 11 1 R RR RU D q q q Ψ ∆ = . Цим функція Коші E1 (r, ρ) визначена й внаслідок симетрії від- носно діагоналі r = ρ має структуру: Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1 115 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )        <<< ΨΨ <<< ΨΨ ∆ = . ,,, , ,,, , , 10 1 1 11;,1 0 11;, 10 1 1 11;,1 0 11;, 1011;, 2 1 1111 1111 11 1 RrR rRR RrR RrR RR rE qq qq q ρ λλλρλ ρ λρλλλ λλ λρ αα αα α α (8) У формулах (7), (8) беруть участь функції ( ) ( ) ( )mqm m jkmq m jk m m jkm m jkq RIqRRI R qRU λαλβ α αλ ααα 1,1 2 1, 111 ;, 111111 +++      + − = , ( ) ( ) ( ),1,1 2 1 , 112 ;, 11 1111 mqm m jk mq m jk m m jkm m jkq RKqR RK R qRU λα λβααλ α αα ++− −      + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,2,1, , 1111 111111 , 2 ;, , 1 ;, ;, =− −=Ψ jrIRU rKRUrR qm m jkq qm m jkqm m jkq λλ λλλλ αα ααα ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). , 1 11 1;,0 02 11;, 1 12 1;,0 01 11;,101;, 1111 111111 RURU RURURR jqq jqqjq λλ λλλλ αα ααα − −=∆ Припустимо, що функція Коші ( )      ∞<<<≡ ∞<<<+≡ = −− + +−−− − ., ,, , 122 1112 2 22 2222 rRrCE rRrDrCE rE q qq ρ ρ ρ α αα Властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему з двох рівнянь: ( ) 02222 112 =−− +−−− qq DCC αα ρρ , ( )( ) ( ) 22222 2 1221222 ααα ρραρα −+−−− =+−+−+ qq DqCCq . Звідси маємо співвідношення: ( ) 221 212 2 qqCC +−−=− αρ , ( ) 221 21 2 qqD −−−= αρ . (9) Доповнимо алгебраїчним рівнянням: 0 1 2 1 12 1 12 =      + = − Rr E dr d βα : 01 12 12,1 11 12, 22 =+ DZCZ αα . (10) Із алгебраїчної системи (9), (10) знаходимо, що ( )[ ] ( )ραα 2 1 11, 1 12 11 12,22 22 ,2 qRqZqС Ψ−= − . Цим функція Коші E2 (r, ρ) визначена й внаслідок симетрії від- носно діагоналі r = ρ має структуру: Математичне та комп’ютерне моделювання 116 ( ) ( ) ( ) ( )    ∞<<<Ψ ∞<<<Ψ −= −− −− .,, ,,, ,2 1, 12 1 12; 12 1 12; 12 11 12,2 2 2 22 2 22 2 rRqr rRrq RqZq rE q q ρρ ρρ ρ α α α α α (11) У рівностях (10), (11) беруть участь функції: ( ) ,, 1 2222 2 1 12 1 121 1 12 1 221 1212 11 12, Rr qq r dr dR R qRqZ = −−−−       +≡      + + −= αα α βαβ α α ( ) ,, 22 1 22 2 1 1 12 1 221 12 1 12 1 1212 12 12, q Rr q R R qr dr dRqZ +− = +−       + − −=      +≡ αα α β α αβα ( ) ( ) ( ) 22 2 22 22 12 11 12,12 12 12,2 1 12, ,,, qq rRqZrRqZrq +−−− −=Ψ α α α αα . Повернемось до формул (4). Крайова умова в точці r = R0 та умови спряження (3) для визначення величин A1, A2 та B1 дають алге- браїчну систему з трьох рівнянь: ( ) ( ) 010 02 11;,10 01 11;, 1111 gBRUARU qq =+ λλ αα , ( ) ( ) ( ) 11212 11 12,11 12 11;,11 11 11;, , 21111 ωλλ ααα =−+ ARqZBRUARU qq , (12) ( ) ( ) ( ) 1221212 11 22,11 12 21;,11 11 21;, , 21111 GARqZBRUARU qq +=−+ ωλλ ααα . У системі (12) бере участь функція ( ) ( ) ( ) + ∆ Ψ ∫ − + 1 0 1 11 11 12 1 1011;, 0 0 11;, 12 1 11 12 , ,R R q q dg RR RR R cG ρρρ λλ λλ α α ρα α ( ) ( )∫ ∞ − −− + + 1 2 2 22 2 12 2 12 11 12, 12 1 21 ,R q dg RqZR c ρρρρ α α α α . Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності кра- йової задачі (1)-(3): визначник алгебраїчної системи (12) відмінний від нуля для будь-якого ненульового вектора { }21; qqq = та ( ) ( )21,ααα = , тобто ( )( ) ( ) ( )−∆≡∆ 12 11 12,1021;,21 ,,, 211 RqZRRqq q ααα λλ ( ) ( ) 0,, 12 11 22,1011;, 211 ≠∆− RqZRRq αα λλ . (13) Визначимо головні розв’язки крайової задачі (1)-(3): 1) породжені крайовою умовою в точці r = R0 функції Гріна ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ −Ψ ∆ = rRRqZ qq qrW q λλαα α α ,, , 1, 1 1 11;,12 11 22, 21 11; 112 ( ) ( )]rRRqZ q λλαα ,, 1 1 21;,12 11 12, 112 Ψ− , Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1 117 ( ) ( ) ( )( ) 22 11 21 12 1 2 11 12; , 1, qr qqR cqrW −− + ∆ −= α α ααα λ , ( )21,qqq = ; (14) 2) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна ( ) ( ) ( )( ) ( )rR qq Z qr q λλα α α α , , , 0 0 11;, 21 11 22,1 11; 11 2 Ψ ∆ −=R , ( ) ( ) ( )( ) ( )rR qq Z qr q λλα α α α , , , 0 0 11;, 21 11 12,1 21; 11 2 Ψ ∆ =R , ( ) ( ) ( )( ) 2211 21 21;,2 11; , , qq r qq qr −− ∆ ∆ −= α α α αR , ( ) ( ) ( )( ) 2211 21 11;,2 21; , , qq r qq qr −− ∆ ∆ = α α α αR ;(15) 3) породжені неоднорідністю системи (1) функції впливу ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    <<<Ψ <<<Ψ −= ,,,, ,,,, ,, 1111;0 0 11;, 1011;0 0 11;,2 11; 11 111 RrRqrWR RrRqWrR qr q q ρλρλ ρρλλ λρ αα ααα αH ( ) ( ) ( )( ) ( ) 22 112 , , 1,, 0 0 11;, 21 12 1 21 12; q q rR qqR cqr −− + Ψ ∆ = α α α αα ρλλρH , ( ) ( ) ( )( ) ( ) 22 111 , , 1,, 0 0 11;, 21 12 1 11 21; q q rR qqR cqr −− + Ψ ∆ = α α α αα λρλρH , (16) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) ( )] .,,, ;,,, ,, ,, ,2 1,, 12 1 12;1021;, 12 1 12;1021;, 2 1 22;1011;, 2 1 22;1011;, 212 22; 211 211 211 22 211 22 ∞<<<Ψ∆− ∞<<<Ψ∆−     −Ψ∆ −Ψ∆ ∆ = −− −− rRqRR rRrqRR qRRr rqRR qqq qr q q q q q q ρρλλ ρλλ ρλλ λλρ ρ αα αα αα α αα α α αH У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (12) й підстановки одержаних значень A1, A2, B1 у формули (4) маємо єди- ний розв’язок крайової задачі (1)-(3): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +++= 2121;1111;01; ,,, ωω ααα qrqrgqrWru jj jj RR (17) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∞ −− ++ 1 2 1 0 1 12 22; 12 11; ,,,, R j R R j dgqrdrgqr ρρρρρρρ α α α α HH , j=1,2. Побудуємо розв’язок крайової задачі (1)-(3) методом інтеграль- ного перетворення, породженого на множині + 1I гібридним диферен- ціальним оператором (ГДО) ( ) ( ) ( ) ( ) * 110 21 ααα θθθ BRrBrRRr −+−−=M , ( ) ( )21,ααα = , (18) Математичне та комп’ютерне моделювання 118 θ (x) – одинична функція Гевісайда [3]. Оператор M(α) як сполучення самоспряжених операторів є само- спряженим й має одну особливу точку r = ∞. Тому його спектр дійс- ний та неперервний. Можна вважати, що спектральний параметр β ∈ (0, ∞). Спектральну функцію, яка відповідає власному числу β, знайдемо як розв’язок системи рівнянь: ( ) 01 2 11 =+ vbBα , ( )10 , RRr ∈ , ( ) 2/122 jj kb += β , ( ) 02 2 2 * 2 =+ vbBα , ( )∞∈ ,1Rr , 02 ≥jk , j = 1, 2, (19) за крайовими умовами 0 0 1 0 11 0 11 =      + =Rr v dr d βα , ∞< ∞=rv2 (20) та умовами спряження 0 1 2 1 2 1 21 1 1 1 1 =            +−      + =Rr jjjj v dr dv dr d βαβα , j = 1, 2. (21) Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рів- няння Бесселя ( ) 01 2 11 =+ vbBα утворюють функції ( )1, 1 brC λα та ( )1, 1 brD λα [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціа- льного рівняння Ейлера ( ) 02 2 * 2 =+ vbBα утворюють функції ( )rbrv lncos 21 2α−= та ( )rbrv lnsin 22 2α−= [2]. Якщо покласти ( ) ( ) ( ) ( )11111; ,,, 11 brDBbrCArV λλβ ααα += , ( ) ( ) ( ) ( )rbrBrbrArV lnsinlncos, 22222; 22 αα α β −− += , то крайова умова в точці r = R0 та умови спряження (21) для визна- чення чотирьох величин Aj, Bj (j = 1, 2) дають алгебраїчну систему з трьох рівнянь: ( ) ( ) 0,, 110 02 11;110 01 11; 11 =+ BbRXAbRX λλ αα , j = 1, 2, (22) ( ) ( ) −+ 111 12 1;111 11 1; ,, 11 BbRXAbRX jj λλ αα ( ) ( ) 0,, 212 12 2;212 11 2; 22 =−− BRbYARbY jj αα . Візьмемо ( )10 01 11;01 , 1 bRXAB λα= , ( )10 02 11;01 , 1 bRXAA λα−= , де A0 підлягає визначенню. Для A2, B2 одержуємо алгебраїчну систему з двох рівнянь: ( ) ( ) ( ) ( )[ +−=+ 10 02 11;11 11 1;0212 12 2;212 11 2; ,,,, 1122 bRXbRXABRbYARbY jjj λλ αααα Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1 119 ( ) ( )] ( ) .2,1,,, 1,010 01 11;11 12 1; 111 =≡+ jAbRXbRX jj βδλλ ααα Визначник цієї системи ( ) ≡βα2 q =− 12 12; 11 22; 12 22; 11 12; 2222 αααα YYYY ( ) ( ) 012 1221 2 ≠+− αβ Rbc . При ( )βα20 qA = знаходимо, що ( ) ( )βω α 2;2 =A , ( ) ( )βω α 1;2 −=B , ( ) ( ) ( )βδβω αα 11;; 1 =j ( )12 1 22; , 2 RbY j α ( )βδα 21;1 − ( )12 1 12; , 2 RbY j α ; ( ) ( ) mRr m j m jm m j brC dr dbRX =       += 1111 1 1, ,, 11 λβαλ αα ; ( ) ( ) mRr m j m jm m j brD dr dbRX =       += 1111 2 1, ,, 11 λβαλ αα ; m = 0, 1, j = 1, 2, ( ) ( ) ( ) ,lnsinlncos, 2 2 112 1 2 1 1212 1 21 2 1 212 11 2, α α αααβ −−         −      −= RRbRbRb R RbY jjjj ( ) ( ) ( ) .lncoslnsin, 2 2 112 1 2 1 1212 1 21 2 1 212 12 2, α α α α αβ −−         +      −= RRbRbRb R RbY jjjj Якщо спектральна функція ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,,, 2;11;10 βθβθθβ ααα rVRrrVrRRrrV −+−−= то для компонент V(α); j (r, β) маємо такі вирази: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ,,,,,, 110 02 11;110 01 11;1; 11112 brCbRXbrDbRXqrV λλλλββ αααααα −= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )rbrrbrrV lnsinlncos, 21;22;2; 22 α α α αα βωβωβ −− −= . Наявність спектральної функції V(α)(r, β), спектральної густини ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) 12 2; 2 1; 1 2 −− +=Ω βωβωβββ ααα b та вагової функції ( ) ( ) ( ) ( ) 12 21 12 110 11 −− −+−−= αα σθσθθσ rRrrrRRrr , 12 121 12 1111 12 : ++= αασ RcRc , 12 =σ , дозволяють визначити пряме H(α) й обернене 1 )( − αH гібридне інтегра- льне перетворення, породжене на множині + 1I ГДО Mα [4]: ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )βσβαα gdrrrVrgrgH R ~, 0 ≡= ∫ ∞ , (23) Математичне та комп’ютерне моделювання 120 ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )( ) ( )rgdrVggH ≡Ω= ∫ ∞ − ββββ π β ααα 0 1 ,~2~ . (24) Єдиний розв’язок крайової задачі (1)-(3), побудований за відо- мою логічною схемою [4] методом запровадженого формулами (23), (24) гібридного інтегрального перетворення має структуру: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) +        Ω + = ∫ ∫ − ∞1 0 1 12 11 0 22 1;; ,,2 R R j j dgd q VrV ru ρρσρββ β βρβ π α α αα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) +        Ω + + ∫ ∫ ∞ − ∞ 1 2 12 22 0 22 2;; ,,2 R j dgd q VrV ρρσρββ β βρβ π α α αα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) −     Ω + + ∫ ∞ 0 2122 1 12;; ,2 βωβ β ββ π α αα d q ZrV j ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) +     Ω + − +∞ ∫ 21 12 1 0 1122 1 22;; 2,2 c R d q ZrV j α α αα βωβ β ββ π ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0 12 01 0 220 11 ;01; 1 ,,2 gRd q rVRV j + ∞ ∫ Ω +− + α α αα σββ βα ββ π , (25) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ,2; 1 2 1 22; Rr ii j i rV dr dZ =       += ββαβ αα , i = 1, 2, { }2 2 2 1 2 ;max qqq = . Порівнюючи розв’язки (17) та (25) в силу єдиності, одержуємо на- ступні формули обчислення поліпараметричних невласних інтегралів: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )qr q d VrV jk k kj ,,1,,2 ; 0 22;; ρ σβ ββ βρβ π α α αα H= + Ω ∫ ∞ , j, k = 1, 2, (26) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )qrW R d q rVRV j j ,1,,2 1;12 010 220 11 ;01; 1 ααα αα σ ββ βα ββ π + ∞ =Ω +−∫ , j = 1,2, (27) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )qr R c q d rVZ j j ,,2 21;12 1 21 0 22; 1 12; 1 αα α αα β ββ ββ π R + ∞ = + Ω ∫ , j = 1, 2, (28) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )qr R c q d rVZ j j ,,2 11;12 1 21 0 22; 1 22; 2 αα α αα β ββ ββ π R + ∞ −= + Ω ∫ , j = 1, 2. (29) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1 121 У рівностях (26)-(29) функції Гріна W(α); 1j (r, q) визначені фор- мулами (14), функції Гріна ( ) ( )qrj m ,1;αR – формулами (15), а функції впливу H(α); jk (r, ρ, q) – формулами (16). Якщо { } 2 1 2 2 2 1 ;max qqq = , то β 2 + q2 ≡ β 2 + 2 1q . В цьому випадку 02 1 =k , 2 2 2 1 2 2 qqk −= ≥ 0 ( )       −+== 2/12 2 2 1 2 21 , qqbb ββ . Якщо ж { } 2 2 2 2 2 1 ;max qqq = , то β 2 + q2 ≡ β 2 + 2 2q . В цьому випадку 2 1 2 2 2 1 qqk −= , 02 2 =k ( )       =−+= ββ 2 2/12 1 2 2 2 1 ,bqqb . Оскільки праві частини в формулах (26)-(29) не залежать від нерів- ності ( ) 02 2 2 1 ≥− qq або нерівності ( ) 02 1 2 2 ≥− qq , то можна покласти =2 1q 2 0 2 2 qq == (b1 = b2 = β), звужуючи при цьому сім’ю невласних інтегралів. Висновок 1. Якщо вектор-функція ( ) ( ) ( ){ }rgrgrg 211 ;= нале- жить області визначення ГДО M(α) та виконується умова (13) одно- значної розв’язності крайової задачі (1)-(3), то мають місце формули (26)-(29) обчислення поліпараметричних невласних інтегралів за вла- сними елементами ГДО M(α), визначеного рівністю (18). Висновок 2. Одержані формули (26)-(29) поповнюють довідкову математичну літературу в розділі обчислення невласних інтегралів від суперпозиції спеціальних функцій математичної фізики. Список використаних джерел: 1. Ленюк М. П., Міхалевська Г. І. Інтегральні перетворення типу Конторо- вича-Лєбєдєва. – Чернівці: Прут, 2002. – 280 с. 2. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с. 3. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с. 4. Ленюк М. П., Шинкарик М. І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економічна думка, 2004. – 368 с. The method of comparison of the decision of a regional problem for system of differential equations Bessel and Euler on a polar axis r ≥ R0 > 0 with one point of the interface constructed, on the one hand, by a method of functions Cauchy, and on the other hand, a method of respective hybrid integrated transformation, calculates a polyparametrical family of not own in- tegrals on own elements of the corresponding hybrid differential operator. Key words: functions Cauchy, the main decisions of a regional prob- lem, condition of unequivocal resolvability, own elements of the hybrid dif- ferential operator, the basic identity, the logic scheme. Отримано: 03.06.2008

Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора (Конторовича-Лєбєдєва)-Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0

Institution

Ähnliche Einträge