Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Бесселя-Ейлера на сегменті полярної осі
Методом порівняння розв’язку крайової задачі для системи диференціальних рівнянь Бесселя та Ейлера на сегменті [0, R2] полярної осі з однією точкою спряження r ≥ R1 < R2 , побудованого, з одного боку, методом функцій Коші, а, з другого боку, методом відповідного скінченного гібридного інтегрально...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18573 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Бесселя-Ейлера на сегменті полярної осі / М.П. Ленюк, М.І. Шинкарик // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 122-132. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18573 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-185732011-04-03T12:04:09Z Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Бесселя-Ейлера на сегменті полярної осі Ленюк, М.П. Шинкарик, М.І. Методом порівняння розв’язку крайової задачі для системи диференціальних рівнянь Бесселя та Ейлера на сегменті [0, R2] полярної осі з однією точкою спряження r ≥ R1 < R2 , побудованого, з одного боку, методом функцій Коші, а, з другого боку, методом відповідного скінченного гібридного інтегрального перетворення (СГІП) підсумовано поліпараметричну сім’ю функціональних рядів за власними елементами відповідного гібридного диференціального оператора. The method of comparison of the decision of a regional problem for system of differential equations Bessel and Euler on a segment [0, R2] of a polar axis with one point of the interface constructed r ≥ R1 > R2, on the one hand, by a method of functions Cauchy, and on the other hand, a method of corresponding hybrid integrated transformation (SGIP), summarises a polyparametrical family of functional numbers on own elements of the corresponding hybrid differential operator. 2008 Article Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Бесселя-Ейлера на сегменті полярної осі / М.П. Ленюк, М.І. Шинкарик // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 122-132. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18573 517.443 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Методом порівняння розв’язку крайової задачі для системи диференціальних рівнянь Бесселя та Ейлера на сегменті [0, R2] полярної осі з однією точкою спряження r ≥ R1 < R2 , побудованого, з одного боку, методом функцій Коші, а, з другого боку, методом відповідного скінченного гібридного інтегрального перетворення (СГІП) підсумовано поліпараметричну сім’ю функціональних рядів за власними елементами відповідного гібридного диференціального оператора. |
| format |
Article |
| author |
Ленюк, М.П. Шинкарик, М.І. |
| spellingShingle |
Ленюк, М.П. Шинкарик, М.І. Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Бесселя-Ейлера на сегменті полярної осі Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| author_facet |
Ленюк, М.П. Шинкарик, М.І. |
| author_sort |
Ленюк, М.П. |
| title |
Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Бесселя-Ейлера на сегменті полярної осі |
| title_short |
Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Бесселя-Ейлера на сегменті полярної осі |
| title_full |
Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Бесселя-Ейлера на сегменті полярної осі |
| title_fullStr |
Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Бесселя-Ейлера на сегменті полярної осі |
| title_full_unstemmed |
Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Бесселя-Ейлера на сегменті полярної осі |
| title_sort |
підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора бесселя-ейлера на сегменті полярної осі |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18573 |
| citation_txt |
Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Бесселя-Ейлера на сегменті полярної осі / М.П. Ленюк, М.І. Шинкарик // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 122-132. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| work_keys_str_mv |
AT lenûkmp pídsumovuvannâfunkcíonalʹnihrâdívzavlasnimielementamigíbridnogodiferencíalʹnogooperatorabesselâejleranasegmentípolârnoíosí AT šinkarikmí pídsumovuvannâfunkcíonalʹnihrâdívzavlasnimielementamigíbridnogodiferencíalʹnogooperatorabesselâejleranasegmentípolârnoíosí |
| first_indexed |
2025-07-02T19:33:23Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:33:23Z |
| _version_ |
1836564929496219648 |
| fulltext |
Математичне та комп’ютерне моделювання
122
УДК 517.443
М. П. Ленюк1, М. І. Шинкарик2
1Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича
2Тернопільський національний економічний університет
ПІДСУМОВУВАННЯ ФУНКЦІОНАЛЬНИХ
РЯДІВ ЗА ВЛАСНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ГІБРИДНОГО
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА БЕССЕЛЯ-ЕЙЛЕРА
НА СЕГМЕНТІ ПОЛЯРНОЇ ОСІ
Методом порівняння розв’язку крайової задачі для системи
диференціальних рівнянь Бесселя та Ейлера на сегменті [0, R2]
полярної осі з однією точкою спряження r = R1 < R2 , побудо-
ваного, з одного боку, методом функцій Коші, а, з другого бо-
ку, методом відповідного скінченного гібридного інтегрально-
го перетворення (СГІП) підсумовано поліпараметричну сім’ю
функціональних рядів за власними елементами відповідного
гібридного диференціального оператора.
Ключові слова: функціональні ряди, функції Коші, головні
розв’язки крайової задачі, умова однозначної розв’язності,
власні елементи гібридного диференціального оператора, ос-
новна тотожність, логічна схема.
Постановка проблеми та її аналіз. Тонкостінні елементи конс-
трукцій композитного типу, як правило, знаходяться в короткочасо-
вому стаціонарному режимі, на який вони виходять після стрибкопо-
дібного температурного або силового навантаження. Вивчення їх
фізико-технічних характеристик приводить до задач термомеханіки
(механіки) кусково-однорідних середовищ. Практика показує, що
навіть у найпростіших випадках величини, які характеризують стаці-
онарний режим елемента, зображаються поліпараметричним функці-
ональним рядом, який може бути умовно збіжним навіть тоді, коли
зображає аналітичну функцію. Звідси природне бажання замінити
функціональний ряд його результатом збіжності (функцією), що осо-
бливо важливо для інженерних розрахунків. Підсумовуванню однієї
сім’ї функціональних рядів присвячена дана стаття.
Основна частина. Розглянемо задачу про побудову обмеженого
на множині ( ) ( ){ }∞<∪∈= 22111 ;,,0: RRRRrrI розв’язку сепаратної
системи звичайних диференціальних рівнянь Бесселя та Ейлера для
модифікованих функцій
( ) )()( 11
2
1, 1
rgruqB −=−αν , ( )1,0 Rr ∈ ,
( ) )()( 22
2
2
*
2
rgruqB −=−α , ( )21, RRr ∈ (1)
за крайовими умовами
© М. П. Ленюк, М. І. Шинкарик, 2008
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
123
[ ] 0)(lim 10
=
→
rur
r
γ , R
Rr
gru
dr
d
=
+
= 2
)(2
2
22
2
22 βα (2)
та умовами спряження
12
1
2
1
21
1
1
1
1
1
)()( j
Rr
jjjj ru
dr
dru
dr
d ωβαβα =
+−
+
=
, j = 1, 2. (3)
У рівностях (1)-(3) qm > 0, c11c21 > 0, cj1 = 1
2
1
1
1
1
1
2 jjjj βαβα − ;
2
2
1
2
1
2
2
,
12
1 rdr
d
rdr
dB ανα
αν
−
−
+
+= , ( ) 2
222
2
2* 12
2
ααα +++=
dr
dr
dr
drB ,
1,ανB – диференціальний оператор Бесселя, *
2αB – диференціальний
оператор Ейлера [2], 2αj + 1 > 0, ν ≥ α1 > –1/2, (α) = (α1, α2).
Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рів-
няння Бесселя ( ) 02
1, 1
=− vqB αν утворюють модифіковані функції Бес-
селя 1-го роду ( )rqI 1, 1αν та 2-го роду ( )rqK 1, 1αν [1]; фундаментальну
систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера
( ) 02
2
*
2
=− vqBα утворюють функції 22
1
qrv −−= α та 22
2
qrv +−= α [2].
Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє будува-
ти розв’язок крайової задачі (1)-(3) методом функцій Коші [2, 3]:
( ) ( ) ( )∫ ++=
1
1
1
0
12
111,11 ,)(
R
dgrErqIAru ρρρρ α
αν ,
( ) ( ) ( )∫ −−−− ++=
2
1
22222 12
222222 ,,
R
R
qq dgqrErBrAru ρρρρ ααα . (4)
Тут Ej (r, ρ) – функції Коші [2, 3]:
( ) ( ) 0,,
00
=−
−=+= ρρ
ρρ
rjrj rErE ,
( ) ( ) ( )12
00
,, +−
−=+=
−=− j
r
j
r
j
dr
rdE
dr
rdE α
ρρ
ρ
ρρ
. (5)
Припустимо, що функція Коші
( )
( ) ( )
( ) ( )
<<<+≡
<<<+≡
=
+
−
.0,
,0,
,
11,21,21
11,11,11
1
11
11
RrrqKDrqICE
RrrqKDrqICE
rE
ρ
ρ
ρ
αναν
αναν
Математичне та комп’ютерне моделювання
124
Величина D1 = 0 в силу умови обмеження в точці r = 0. Для зна-
ходження величин C1, C2 та D2 властивості (5) дають алгебраїчну сис-
тему рівнянь:
( ) ( ) ( ) ( ) 01,121,12 11
=−+− ρρ αναν qKDDqICC ,
( ) ( ) ( ) ( ) 12
1
1,121,12
111
1
+
−=′−+′− ααναν
ρ
ρρ
q
qKDDqICC .
Звідси одержуємо співвідношення:
( )ραν
α
1,
2
112 1
1 qKqCC −=− , ( )ραν
α
1,
2
112 1
1 qIqDD =− . (6)
Доповнимо систему (6) алгебраїчним рівнянням:
( ) ( ) ( ) 0:0, 211
12
11;,211
11
11;,1
1
11
1
11 11
1
=+=
+
=
+
DRqUCRqUrE
dr
d
Rr
ανανρβα . (7)
Із алгебраїчної системи (6), (7) знаходимо, що:
( )[ ] ( )ραν
α
αν 111
*1
11;,
2
1
1
11
11
11;,1 ,
1
1
1
qRqqRqUC Ψ=
−
.
Цим функція Коші E1 (r, ρ) визначена й внаслідок симетрії від-
носно діагоналі r = ρ має структуру:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
<<<Ψ
<<<Ψ
=
.0,,
,0,,
,
1111
*1
11;,1,
1111
*1
11;,1,
11
11
11;,
2
1
1
11
11
1
1
RrrqRqqI
RrqRqrqI
RqU
q
rE
ρρ
ρρ
ρ
αναν
αναν
αν
α
(8)
У рівностях (7), (8) беруть участь функції Коші [2, 3]:
( ) ( ) ( )mm
m
jkm
m
jk
m
m
jkm
m
jk RqIqRRqI
R
RqU 11,1
2
11,
1
1
1
;, 111 +++
+
−
= αναναν αβανα ,
( ) ( ) ( ),11,1
2
11,
1
1
2
;, 111 mm
m
jkm
m
jk
m
m
jkm
m
jk RqKqRRqK
R
RqU ++−
+
−
= αναναν αβ
αν
α
( ) ( ) ( ) ( ) ( )rqIRqUrqKRqUrqRq m
m
jkm
m
jkm
m
jk 1,1
2
;,1,1
1
;,11
*
;, 11111
, αναναναναν −=Ψ .
Нехай функція Коші
( )
<<<+≡
<<<+≡
=
+−−−
+
+−−−
−
.,
,,
,
21222
21112
2
2222
2222
RrRrDrCE
RrRrDrCE
rE
qq
qq
ρ
ρ
ρ
αα
αα
Властивості (5) функції Коші для визначення величин Cj, Dj
(j = 1, 2) дають алгебраїчну систему з двох рівнянь:
( ) ( ) 02222
1212 =−+− +−−− qq DDCC αα ρρ ,
( )( ) ( )( ) 22222 2
22121222
ααα ρραρα −+−−− =−−+−+ qq qDDCCq .
Звідси отримуємо співвідношення:
( ) 221
212 2 qqCC +−−=− αρ , ( ) 221
212 2 qqDD −−−−=− αρ . (9)
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
125
Доповнимо систему (9) алгебраїчними рівняннями:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
=+
=+
=
+
=
+
=
+
=
−
.0,,
,0,,
:0,
:0,
222
22
22;222
21
22;
112
12
12;112
11
12;
2
1
12
1
12
2
1
12
1
12
22
22
2
1
DRqZCRqZ
DRqZCRqZ
rE
dr
d
rE
dr
d
Rr
Rr
αα
αα
ρβα
ρβα
(10)
Алгебраїчна система (10) в силу рівностей (9) набуває структури:
( ) ( ) 0,, 112
12
12;112
11
12; 22
=+ DRqZCRqZ αα ,
( ) ( ) ( )rq
q
DRqZCRqZ ,
2
1,, 2
*2
22;
2
222
22
22;222
21
22; 222 ααα Ψ=+ .
Згідно правил Крамера маємо:
( )
( ) ( )rq
RRqq
RqZ
C ,
,,2
,
2
*2
22;
21212;2
12
12
12;
1 2
2
2
α
α
α Ψ
∆
−= ,
( )
( ) ( )rq
RRqq
RqZ
D ,
,,2
,
2
*2
22;
21212;2
12
11
12;
1 2
2
2
α
α
α Ψ
∆
= .
Цим функція Коші E2 (r, ρ) визначена й внаслідок симетрії від-
носно діагоналі r = ρ має структуру:
( ) ( ) ×
∆
−=
21212,2
2 ,,2
1,
2
RRqq
rE
α
ρ
( ) ( )
( ) ( )
<<<ΨΨ
<<<ΨΨ
×
.,,,
,,,,
212
*2
22;2
*1
12;
212
*2
22;2
*1
12;
22
22
RrRrqq
RrRqrq
ρρ
ρρ
αα
αα
(11)
У рівностях (10), (11) беруть участь функції:
( )
,
,
22
22
2
1
2
1
2
2
22
22
1
2,
mRr
q
jj
q
m
m
j
m
m
jm
m
j
r
dr
d
R
R
qRqZ
=
−−
−−
+≡
≡
+
+
−=
α
α
α
βα
βαα
( ) ≡
+
−
−= +− 22
2 2
22
22
2
2, , q
m
m
j
m
m
jm
m
j R
R
qRqZ α
α βαα
,22
22
mRr
qm
j
m
j r
dr
d
=
+−
+≡ αβα
( ) ( ) ( ) 22
2
22
22
,,, 2
2
2,2
2
2,2
*
2,
q
m
m
j
q
m
m
j
m
j rRqZrRqZrq +−−− −=Ψ α
α
α
αα , j = 1, 2.
Математичне та комп’ютерне моделювання
126
( ) ( ) ( )
( ) ( ).,,
,,,,
22
21
22,12
12
2,
22
22
22,12
11
2,2122,
22
222
RqZRqZ
RqZRqZRRq
j
jj
αα
ααα
−
−=∆
Повернемось до формул (4). Умови спряження (3) та крайова
умова в точці r = R2 дають для визначення трьох величин A1, A2 та B2
алгебраїчну систему з трьох рівнянь:
( ) ( ) ( ) 11212
12
12;212
11
12;111
11
11;, ,,
221
ωαααν =−− BRqZARqZARqU ,
( ) ( ) ( ) 1221212
12
22;212
11
22;111
11
21;, ,,
221
GBRqZARqZARqU +=−− ωαααν , (12)
( ) ( ) RgBRqZARqZ =+ 212
22
22;212
21
22; ,,
22 αα .
У системі (12) бере участь функція
( )
( )
( ) += ∫ +
+
1
1
1
1
1
0
12
1
11
11
11;,
1,
12
1
11
12
R
dg
RqU
qI
R
c
G ρρρ
ρ α
αν
αν
α
( )
( ) ( )∫ −
+ ∆
Ψ
+
2
1
22
2
12
2
2122
2
*2
22;
12
1
21
,,12;
,R
R
dg
RRq
q
R
c ρρρ
α
ρ αα
α .
Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності кра-
йової задачі (1)-(3): визначник алгебраїчної системи (12)
( )( ) ( ) ( )−∆≡∆ 21212;11
11
21;,21, ,,,
21
RRqRqUqqv αανα
( ) ( ) 0,, 21222;11
11
11;, 21
≠∆− RRqRqU ααν (13)
для будь-якого ненульового вектора { }21;qqq = [4].
Визначимо головні розв’язки крайової задачі (1)-(3):
1) породжені крайовою умовою в точці r = R2 функції Гріна
( ) ( )
( )( ) ( )rqI
qqR
cqqqrWv 1,
21,
12
1
212
2121;, 12 ,
12,, αν
αν
αα ∆
=
+
,
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )[ −Ψ
∆
= rqRqU
qq
qqrWv ,
,
1,, 2
*1
22;11
11
11,,
21,
2122;, 21 ααν
αν
α
( ) ( )]rqRqU ,2
*1
12;11
11
21,, 21 ααν Ψ− , (14)
2) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна
( ) ( )
( )
( )rqIqqr 1,
,
22;
21
1
11;, 1
2,, αν
αν
α
αν ∆
∆
−=R ,
( ) ( )
( )
( )rqIqqr 1,
,
12;
21
1
21;, 1
2,, αν
αν
α
αν ∆
∆
=R ,
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
127
( ) ( )
( )
( )( ) ( )rq
qq
RqU
qqr ,
,
,, 2
*2
22;
21,
11
11
21,,
21
2
11;, 2
1
α
αν
αν
αν Ψ
∆
−=R ,
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )rqRqU
qq
qqr ,
,
1,, 2
*2
22;11
11
11,,
21,
21
2
21;, 21 ααν
αν
αν Ψ
∆
=R ; (15)
3) породжені неоднорідністю системи функції впливу
( ) ( )
( )( )
( ) ( )[
( ) ( )[
( )]
( )] ,0,,
,0,,
,
,
,
,;,
1111
*1
11;,22;
1111
*1
11;,22;
112
*1
21;,12;1,
112
*1
21;,12;1,
21,
2
1
2111;,
12
12
121
121
1
RrrqRq
RrqRq
rqRqqI
qRqrqI
qq
qqqr
<<<Ψ∆−
<<<Ψ∆−
−Ψ∆
−Ψ∆
∆
=
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
ανα
ανα
ανααν
ανααν
αν
α
ανH
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )ρρ ααν
αν
ααν ,
,
1,;, 2
*2
22;1,
21,
12
1
21
2112;, 212
qrqI
qqR
cqqr Ψ
∆
=
+
H ,
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )rqqI
qqR
cqqr ,
,
1,;, 2
*2
22;1,
21,
12
1
11
2121;, 211
ααν
αν
ααν ρρ Ψ
∆
=
+
H , (16)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
<<<Ψ
<<<Ψ
=
=
.,,,,
,,,,,
2
1
,;,
212
*2
22;2122;,
212
*2
22;2122;,
2
2122;
2
2
RrRrqqqW
RrRqqqrW
q
qqr
ρρ
ρρ
ρ
ααν
ααν
αH
У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (12),
підстановки отриманих значень A1, A2 та B2 у формули (4) маємо єди-
ний розв’язок крайової задачі (1)-(3) :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++= 112111;,212;, ,,,, ωανα qqrgqqrWru j
Rjvj R
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +++ ∫ +
1
1
0
12
1211;,212121;, ,;,,,
R
j
j drgqqrqqr ρρρω α
αναν HR
( ) ( ) ( )∫ −+
2
1
2 12
2212;, ,;,
R
R
j dgqqr ρρρρ α
ανH , j = 1, 2. (17)
Побудуємо розв’язок крайової задачі (1)-(3) методом інтеграль-
ного перетворення, породженого на множині I1 гібридним диференці-
альним оператором (ГДО)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) *
21,1, 21 ααναν θθθθ BrRRrBrRr −−+−=M , (18)
де θ (x) – одинична функція Гевісайда [3].
Математичне та комп’ютерне моделювання
128
Оператор ( )αν ,M як сполучення самоспряжених диференціальних
операторів є самоспряженим і не має на множині I1 особливих точок.
Тому його спектр дискретний. Для знаходження власних чисел та вла-
сних функцій ГДО ( )αν ,M розглянемо спектральну задачу Штурма-
Ліувалля: побудувати обмежений на множині I1 розв’язок системи ди-
ференціальних рівнянь Бесселя та Ейлера для звичайних функцій:
( )[ ] ( ) ( ) 0,1;,
2
1, 1
=+ ββ αναν rVbB , ( )1,0 Rr ∈ ,
( )[ ] ( ) ( ) 0,2;,
2
2
*
2
=+ ββ ανα rVbB , ( )21, RRr ∈ (19)
за крайовими умовами
( ) ( )[ ] 0,lim 1;,0
=
→
βαν
γ rVr
r
, ( ) ( ) 0,
2
2;
2
22
2
22 =
+
=Rr
rV
dr
d ββα αν (20)
та умовами спряження
( ) ( ) ( ) ( ) 0,,
1
2;,
1
2
1
21;
1
1
1
1 =
+−
+
=Rr
jjjj rV
dr
drV
dr
d ββαββα αναν , (21)
222
jj kb += β , 02 ≥jk , j =1, 2.
Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рів-
няння ( ) 02
1, 1
=+ vbB αν утворюють функції Бесселя 1-го роду
( )rbJ 1, 1αν та 2-го роду ( )rbN 1, 1αν [1]; фундаментальну систему
розв’язків для диференціального рівняння ( ) 02
2
*
2
=+ vbBα утворюють
функції ( )rbrv lncos 21
2α−= та ( )rbrv lnsin 22
2α−= [2].
Визначимо функції:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[
( )]
( ) ( ) ( )[
( )] ,lncos
lnsin,
,lnsin
lncos,
,
2
2
2
2
111
22
1
2
22
1
222
2
2;
22
1
2
22
1
222
1
2;
111,11
2
1
1
111,
1
1
1
11
111
11
1;,
α
α
α
α
αναναν
α
ααβ
α
ααβ
αβανα
−−
−
−−
−
++
+
+−=
−
−−=
−
+
−
=
mm
m
jm
mm
m
j
m
jm
m
j
mm
m
jm
mm
m
j
m
jm
m
j
jjjj
RRbRb
RbRRbY
RRbRb
RbRRbY
RbJRbRbJ
R
Rbu
( ) ( ) ( )
( ) ( ) .2,1,,,
,,
22
21
22;12
12
2;
22
22
22;12
11
2;2;
22
222
=−
−=
mjRbYRbY
RbYRbY
j
jj
αα
ααα βδ
Якщо покласти
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
129
( ) ( ) ( )rbJArV ,, 1,11;, 1αναν β = ,
( ) ( ) ( ) ( )rbrBrbrArV lnsinlncos, 22222;,
22 αα
αν β −− += , (22)
то крайова умова в точці r = R2 та умови спряження (21) для визна-
чення величин A1, A2, B2 дають однорідну алгебраїчну систему з
трьох рівнянь:
( ) ( ) ( ) 0,, 212
12
2;212
11
2;111
11
1;, 221
=−− BRbYARbYARbu jjj αααν , j = 1, 2,
( ) ( ) 222
21
22;222
22
22; ,,
22
BRbYARbY αα + = 0. (23)
Алгебраїчна система (23) має ненульові розв’язки тоді й тільки
тоді, коли її визначник дорівнює нулю:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 022;11
11
11;,12;11
11
21;,, 2121
=−≡∆ βδβδβ αανααναν RbuRbu . (24)
Корені βn трансцендентного рівняння (24) складають дискретний
спектр [5]: дійсні, різні, симетричні відносно точки β = 0, утворюють
на півосі β > 0 монотонно зростаючу числову послідовність з єдиною
граничною точкою β = ∞.
Підставимо в систему (23) β = βn (bj (βn) ≡ bjn) й відкинемо остан-
нє рівняння в силу лінійної залежності. Для A2, B2 отримаємо алгебра-
їчну систему
( ) ( ) ( ) 111
11
1;,212
12
2;212
11
2; 122
,, ARbuBRbYARbY njnjnj αναα =+
Звідси при ( )12
12211
2 +−= αRbcA n маємо:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ].,,
,,,
12
11
12;11
11
21;,12
11
22;11
11
11;,2
12
12
12;11
11
21;,12
12
22;11
11
11;,2
2121
2121
RbYRbuRbYRbuB
RbYRbuRbYRbuA
nnnn
nnnn
αανααν
αανααν
−−=
−=
Якщо ввести до розгляду функції
( ) ( ) ( ) ( )−= 12
1
22;11
11
11;,;, ,
21
RbYRbu n
j
nnjv αανα βω ( ) ( )12
1
12;11
11
21;, ,
21
RbYRbu n
j
n ααν ,
то ( ) ( )nvA βω α 2;,2 = , ( ) ( )nvB βω α 1;,2 = , а рівності (22) набувають ви-
гляду:
( ) ( ) ( ) ( )rbJRbcrV nnnv 1,
12
12211;, 1
2, αν
α
α β +−= , (25)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )rbrrbrrV nvnnvnv lnsinlncos, 21;,22;,2;,
22 α
α
α
αα ωβωβ −− −= .
Отже, власному числу βn ГДО Mν, (α) відповідає власна вектор-
функція
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nvnvmv rVrRRrrVrRrrV βθθβθθβ ααα ,,, 2;,211;,1, −−+−=
з квадратом норми
( )( ) ( ) ( )[ ] += ∫ +
1
1
0
12
1
2
1;,
2
, ,,
R
nn drrrVrV α
αναν σββ
Математичне та комп’ютерне моделювання
130
( ) ( )[ ] ≡+ ∫ −
2
1
2 12
2
2
2;, ,
R
R
n drrrV α
αν σβ ( )( )[ ] ( )∫
2
0
2
, ,
R
n drrrV σβαν . (26)
Тут 12
121
12
1111
12 : ++= αασ RcRc , 12 =σ ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12
221
12
11
11 −+ −−+−= αα σθθσθθσ rrRRrrrRrr .
Згідно з роботою [5] маємо твердження.
Теорема 1 (про власну функцію). Система ( )( ){ }∞
=1, , nnrV βαν вла-
сних функцій ГДО Mν, (α) ортогональна з ваговою функцією σ(r), по-
вна й замкнена.
Теорема 2 (про зображення рядом Фур’є). Будь-яка вектор-
функція g (r) = {g1 (r); g2 (r)} із області визначення ГДО Mν, (α) зобра-
жається абсолютно й рівномірно збіжним рядом Фур’є за системою
( )( ){ }∞
=1, , nnrV βαν :
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) 2
,
,
1 0
,
,
,
,
2
n
n
n
R
n
rV
rV
dVgrg
β
β
ρρσβρρ
αν
αν
αν∑ ∫
∞
=
= . (27)
Ряд Фур’є (27) визначає пряме ( )αν ,H та обернене ( )
1
,
−
ανH скін-
ченне гібридне інтегральне перетворення, породжене на множині I1
ГДО Mν, (α):
( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) n
R
n gdrrrVrgrgH ~,
2
0
,, ≡= ∫ σβαναν , (28)
( )[ ] ( )( )
( )( )
( )rg
rV
rV
ggH
n
n
n
nn ≡= ∑
∞
=
−
2
,
,
1
1
,
,
,~~
β
β
αν
αν
αν , (29)
( ) ( ) ( )[ ][ ] −−= nn grgH ~2
,, βαναν M ( ) ( ) ( ) −∫ +
1
1
0
12
11;,1
2
1 ,
R
n drrrVrgk α
αν σβ
( ) ( ) ( ) +− ∫ −
2
1
2 12
22;,2
2
2 ,
R
R
n drrrVrgk α
αν σβ ( ) ( ) ( ) ++−
Rn gRVR βα αν
α ,22;,
12
2
12
22
2
( ) ( ) ( ) ( )[ ]11
1
22;,21
1
12;,
12
1
1
21
2 ωβωβ αναν
α
nn ZZRc −+ +− , (30)
( ) ( ) ( ) ( )
1
,2;,
1
2
1
2
1
2;,
Rr
niini rV
dr
dZ
=
+= ββαβ αναν , i = 1, 2.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
131
Побудований за відомою логічною схемою [5] методом запрова-
дженого формулами (28)-(30) гібридного інтегрального перетворення
єдиний розв’язок крайової задачі (1)-(3) має структуру:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) +
+
= ∫ ∑ +
∞
=
1
1
0
12
11
1
2
,
22
1;,;,
,
,,R
n nn
nnj
j dg
rVq
VrV
ru ρρσρ
ββ
βρβ α
αν
αναν
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) +
+
+ ∫ ∑ −
∞
=
2
1
2 12
22
1
2
,
22
2;,;,
,
,,R
R n nn
nnj dg
rVq
VrV
ρρσρ
ββ
βρβ α
αν
αναν
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
+
+
+ +
∞
=
∑ R
n nn
nnj gR
rVq
RVrV 12
2
1
2
,
222
22
22;,);(, 2
,
,, α
αν
αναν
ββα
ββ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
−
+
+ ∑
∞
=
+
1
212
,
22
1
12;,;,
21
12
1
,
,2
n nn
nnj
rVq
ZrV
c
R
ω
ββ
ββ
αν
αναν
α
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
+
−∑
∞
=1
112
,
22
1
22;,;,
,
,
n nn
nnj
rVq
ZrV
ω
ββ
ββ
αν
αναν . (31)
Тут { }2
2
2
1
2 ;max qqq = . Якщо q2 = 2
1q , то 02
1 =k , 2
2
2
1
2
2 qqk −= ≥ 0. В
цьому випадку b1n = βn, b2n = 2
2
2
1
2 qqn −+β . Якщо q2 = 2
2q , то
2
1
2
2
2
1 qqk −= ≥ 0, 02
2 =k . В цьому випадку b1n = 2
1
2
2
2 qqn −+β , b2n = βn.
Порівнюючи розв’язки (17) та (31) в силу єдиності, одержуємо
наступні формули підсумовування функціональних рядів:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) kn nn
nknj
rVq
VrV
σββ
βρβ
αν
αναν 1
,
,,
1
2
,
22
;,;, =
+
∑
∞
=
( ) ( )21;, ,;, qqrjk ρανH , j, k = 1,2, (32)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )212;,
12
2
1
2
,
222
22
;,22;, ,,
,
,,
2 qqrWR
rVq
rVRV
j
n nn
njn
αν
α
αν
αναν
ββα
ββ +−
∞
=
=
+
∑ , j = 1, 2, (33)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) 12
1
21
1
2
,
22
;,
1
12;,
2,
,
+
∞
=
=
+
∑ α
αν
αναν
ββ
ββ
R
c
rVq
rVZ
n nn
njn
( ) ( )2121;, ,, qqrj
ανR , j = 1, 2, (34)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) 12
1
21
1
2
,
22
;,
1
22;,
2,
,
+
∞
=
−=
+
∑ α
αν
αναν
ββ
ββ
R
c
rVq
rVZ
n nn
njn
( ) ( )2111;, ,, qqrj
ανR , j = 1, 2. (35)
Математичне та комп’ютерне моделювання
132
Функції ( ) ( )212;, ,, qqrW jαν визначені формулами (14), функції
( ) ( )211;, ,, qqrj
iανR – формулами (15), а функції Hν, (α); jk (r, ρ; q1, q2) –
формулами (16). Оскільки праві частини в рівностях (32)-(35) не за-
лежать від нерівності ( ) 02
2
2
1 ≥− qq або нерівності ( ) 02
1
2
2 ≥− qq , то
можна покласти 2
1q = 2
2q = q2 ( 2
1k = 0, 2
2k = 0), звужуючи при цьому
сім’ю палі параметричних функціональних рядів.
З викладеного вище випливає твердження.
Теорема 3. Якщо вектор-функція f (r) = { })]([)];([ 2
*
1, 21
rgBrgB ααν
неперервна на множин I1, функції gj (r) задовольняють крайові умови
(2) та умови спряження (3) і виконується умова (13) однозначної
розв’язності крайової задачі (1)-(3), то мають місце формули (32)-(35)
підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власни-
ми елементами ГДО Mν, (α), визначеного рівністю (18).
Список використаних джерел:
1. Ленюк М. П. Исследование основных краевых задач для диссипативного
волнового уравнения Бесселя. – Киев, 1983. – 62 с. – (Препринт / АН
УССР. Ин-т математики; 83.3).
2. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз,
1959. – 468 с.
3. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.:
Наука, 1965. – 328 с.
4. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. – М.: Физматгиз, 1963. – 431 с.
5. Комаров Г. М., Ленюк М. П., Мороз В. В. Скінченні гібридні інтегральні
перетворення, породжені диференціальними рівняннями другого поряд-
ку. – Чернівці: Прут, 2001. – 228 с.
The method of comparison of the decision of a regional problem for
system of differential equations Bessel and Euler on a segment [0, R2] of a
polar axis with one point of the interface constructed r ≥ R1 > R2, on the
one hand, by a method of functions Cauchy, and on the other hand, a
method of corresponding hybrid integrated transformation (SGIP), summa-
rises a polyparametrical family of functional numbers on own elements of
the corresponding hybrid differential operator.
Key words: Not own integrals, functions Cauchy, the main decisions,
hybrid integrated transformation, the basic identity, condition of unequivo-
cal resolvability, the logic scheme.
Отримано: 03.06.2008
|