Условия оптимальности некоторых процессов, описываемых псевдопараболическим уравнением при нелокальных краевых условиях

В работе рассматривается нелокальная задача оптимального управления для псевдопараболического уравнения четвертого порядка с негладкими коэффициентами при нелокальных краевых условиях. Задача исследована при помощи одного нового варианта метода приращения, существенно использующего понятие сопряженн...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
1. Verfasser:	Мамедов, И.Г.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2008
Schriftenreihe:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18574
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Условия оптимальности некоторых процессов, описываемых псевдопараболическим уравнением при нелокальных краевых условиях / И.Г. Мамедов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 133-141. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-18574
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-185742011-04-03T12:04:11Z Условия оптимальности некоторых процессов, описываемых псевдопараболическим уравнением при нелокальных краевых условиях Мамедов, И.Г. В работе рассматривается нелокальная задача оптимального управления для псевдопараболического уравнения четвертого порядка с негладкими коэффициентами при нелокальных краевых условиях. Задача исследована при помощи одного нового варианта метода приращения, существенно использующего понятие сопряженного уравнения интегрального вида. Метод охватывает также, случай, когда коэффициенты уравнения являются, вообще говоря, негладкими функциями, что позволяет считать этот вариант более общим, чем классические варианты метода приращения. In the paper we consider a non-local problem of optimal control for a fourth order pseudoparabolic equation with non-smooth coefficients under non-local boundary conditions. Such optimal control problem was investigated with the help of a new variant of the increment method. This method essentially uses the notion of integral form adjoint equation and allows to cover the case when the coefficients of the equation are, generally speaking, non-smooth functions. In other words, this variant is more natural than classic variants of the increment method. 2008 Article Условия оптимальности некоторых процессов, описываемых псевдопараболическим уравнением при нелокальных краевых условиях / И.Г. Мамедов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 133-141. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18574 517.956 ru Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В работе рассматривается нелокальная задача оптимального управления для псевдопараболического уравнения четвертого порядка с негладкими коэффициентами при нелокальных краевых условиях. Задача исследована при помощи одного нового варианта метода приращения, существенно использующего понятие сопряженного уравнения интегрального вида. Метод охватывает также, случай, когда коэффициенты уравнения являются, вообще говоря, негладкими функциями, что позволяет считать этот вариант более общим, чем классические варианты метода приращения.
format	Article
author	Мамедов, И.Г.
spellingShingle	Мамедов, И.Г. Условия оптимальности некоторых процессов, описываемых псевдопараболическим уравнением при нелокальных краевых условиях Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Мамедов, И.Г.
author_sort	Мамедов, И.Г.
title	Условия оптимальности некоторых процессов, описываемых псевдопараболическим уравнением при нелокальных краевых условиях
title_short	Условия оптимальности некоторых процессов, описываемых псевдопараболическим уравнением при нелокальных краевых условиях
title_full	Условия оптимальности некоторых процессов, описываемых псевдопараболическим уравнением при нелокальных краевых условиях
title_fullStr	Условия оптимальности некоторых процессов, описываемых псевдопараболическим уравнением при нелокальных краевых условиях
title_full_unstemmed	Условия оптимальности некоторых процессов, описываемых псевдопараболическим уравнением при нелокальных краевых условиях
title_sort	условия оптимальности некоторых процессов, описываемых псевдопараболическим уравнением при нелокальных краевых условиях
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18574
citation_txt	Условия оптимальности некоторых процессов, описываемых псевдопараболическим уравнением при нелокальных краевых условиях / И.Г. Мамедов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 133-141. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT mamedovig usloviâoptimalʹnostinekotoryhprocessovopisyvaemyhpsevdoparaboličeskimuravneniemprinelokalʹnyhkraevyhusloviâh
first_indexed	2025-07-02T19:33:25Z
last_indexed	2025-07-02T19:33:25Z
_version_	1836564931917381632
fulltext	Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1 133 УДК 517.956 И. Г. Мамедов Институт кибернетики НАН Азербайджана, г. Баку УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ НЕКОТОРЫХ ПРОЦЕССОВ, ОПИСЫВАЕМЫХ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ ПРИ НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ УСЛОВИЯХ В работе рассматривается нелокальная задача оптимально- го управления для псевдопараболического уравнения четвер- того порядка с негладкими коэффициентами при нелокальных краевых условиях. Задача исследована при помощи одного но- вого варианта метода приращения, существенно использую- щего понятие сопряженного уравнения интегрального вида. Метод охватывает также, случай, когда коэффициенты урав- нения являются, вообще говоря, негладкими функциями, что позволяет считать этот вариант более общим, чем классиче- ские варианты метода приращения. Ключевые слова: нелокальная задача, задача оптималь- ного управления, необходимые и достаточные условия опти- мальности, функция Гамильтона-Понтрягина. Введение. Необходимые и достаточные условия оптимальности процессов для обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений с частными производными при локальных условиях дос- таточно полно изучены в работах многих математиков. Результаты, полученные в этом направлении подробно изучены в монографиях, например, Л. С. Понтрягина, В. Г. Болтянского, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко [1], Р. Белмана [2], Н. Н. Красовского [3], А. Я. Дубо- вицкого и А. А. Милютина [4], Н. Н. Моисеева [5], Ф. П. Васильева [6], Ж.-Л. Лионса [7], Р. Габасова и Ф. М. Кирилловой [8] и др. Выде- лим также работы А. И. Егорова [9], К. Т. Ахмедова и С. С. Ахиева [10] и др., в которых исследованы различные классы задач оптималь- ного управления. В работах [11-18] и др. изучены также некоторые классы опти- мальных процессов, связанных с нелокальными краевыми задачами. В данной статье исследована нелокальная задача оптимального управления для псевдопараболического уравнения четвертого поряд- ка при нелокальных краевых условиях. Впервые показано, что такие задачи можно исследовать при помощи нового понятия сопряженно- го уравнения, которое можно рассматривать как вспомогательное уравнение для определения множителей Лагранжа. Такие сопряжен- ные уравнения являются интегральными, и для линейных задач, на самом деле, являются сопряженными уравнениями, в смысле пред- ставленной статье, для исходных задач. © И. Г. Мамедов, 2008 Математичне та комп’ютерне моделювання 134 В общем случае можно было рассмотреть задачи, в которых пра- вые части краевых условий содержат некоторые управляющие функ- ции. Однако, для простоты изложений мы здесь ограничились случаем, когда лишь правая часть уравнения содержит управляющую функцию. Заметим также, что случай других или более общих, чем нело- кальных краевых, условий можно изучать методом, аналогичному предложенному ниже. Постановка задачи. Пусть управляемый объект описывается уравнением ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+++≡ txuDtxatxuDDtxatxuDDtxuV xtxtx ,,,,,, 3 0,3 2 1,2 3 1,3 ( ) ( ) ( )( ),,,,,, 1,0;2,0 3 txtxtxuDDtxa j t ji ji i xij υϕ=+ ∑ == <+ (1) при следующих нагруженных краевых условиях ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )              ∈=+≡ ∈=+≡ ∈=≡ ∈=+≡ ∈=≡ ∈=≡ ∈=≡ ;,~, ;,, ;, ;,, ;, ;, ;, 21,20 2 0 2 1,2 21,1001,1 21,001,0 10,30 3 0 3 0,3 0,200 2 0,2 0,1000,1 0,0000,0 GLttxuDDttxuDDtuV GLttxuDDttxuDDtuV GLttxuDtuV GLxtxuDxtxuDxuV RtxuDuV RtxuDuV RtxuuV ptxtx ptxtx pt pxx x x ϕσ ϕµ ϕ ϕν ϕ ϕ ϕ (2) где 2,0,0, =iiϕ – заданные постоянные, а остальные ji,ϕ являются заданными измеримыми функциями; t Dt ∂ ∂ = – оператор обобщённо- го дифференцирования в смысле С. Л. Соболева. Кроме того, задан- ные ( )txa ji ,, – измеримые функции на ;21 GGG ×= ( ),, 101 xxG = ( )102 ,ttG = и удовлетворяют лишь следующим условиям: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )GLtxaiGLtxaGLtxa tx p tx Pipi , ,0,3 , ,1,0, ,;2,0,,,, ∞∞ ∈=∈∈ . Заметим, что здесь предполагается, ( ) ( )1GLx ∞∈ν ; ( ) ( )2GLt ∞∈µ ; ( ) ( )2GLt ∞∈σ ; где [ ]100 ,ttt ∈ , [ ]100 , xxx ∈ и [ ]100 ,~ xxx ∈ – фиксиро- ванные точки. Заданная на rRG × функция ( )( )txtx ,,, υϕ удовлетво- ряет условиям Каратеодори в rRG × ( )( )( txtx ,,,т.е. υϕ , измерима по ( )tx, на G для всех заданных rR∈υ и непрерывна по υ на rR поч- Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1 135 ти для всех заданных ( ) Gtx ∈, ; и для любого положительного числа 0>δ существует функция ( ) ( )GLtx p∈,0 δϕ такая, что ( )( ) ( )txtxtx ,,,, 0 δϕυϕ ≤ почти для всех ( ) Gtx ∈, и всех rR∈υ , для которых ( ) ( ) ( )( ) rtxtxtx r r i i −=≤= ∑ = ,,...,,,; 1 1 υυυδυυ мерная управ- ляющая вектор-функция. Пусть вектор-функция ( ) ( ) ( )( )txtxtx r ,,...,,, 1 υυυ = измерима и ог- раничена на G и почти во всех точках ( ) Gtx ∈, принимает свои зна- чения из некоторого заданного множества .rR⊂Ω Тогда эту вектор- функцию будем называть допустимым управлением. Множество до- пустимых управлений обозначим через ∂Ω . Заметим, что для рассматриваемой нелокальной краевой задачи (1)-(2) установлены условия корректной разрешимости в интеграль- ном виде [19]. Кроме того, в этой постановке рассматриваемое урав- нение является обобщением многих модельных уравнений некоторых процессов (например, обобщенного уравнения влагопереноса, теле- графного уравнения, уравнения колебания струны и т.д.) Теперь рассмотрим следующую задачу оптимального управле- ния: найти допустимое управление ( )x,tx из ∂Ω , для которого реше- ние задачи (1)-(2) в пространстве С. Л. Соболева ( )( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )∞≤≤==∈≡∈ pjiGLtxuDDtxuGWu p j t i xp 1,1,0,3,0,,:,1,3 доставляет наименьшее значение многоточечному функционалу ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]∑ = ++= N k kkkkkkk txutxutxuS 1 00 0 00 0 ,,, γβαυ , (3) где ( ) ( )( ) Gtx kk ∈00 , заданные точки; RR kk ∈∈ βα , и Rk ∈γ заданные числа; N – натуральное число. Формула приращения критерия качества в интегральном виде и условия оптимальности. Для получения необходимых и дос- таточных условий оптимальности сначала найдем приращение функ- ционала (3). Пусть ( )tx,υ и ( ) ( )txtx ,, υυ ∆+ различные допустимые управления, a ( )txu , и ( ) ( )txutxu ,, ∆+ соответствующие им решения задачи (1)-(2) в пространстве ( )( )GWp 1,3 . Тогда приращение функцио- нала (3) будет иметь вид ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]∑ = ∆+∆+∆=∆ N k Kkkkkkk txutxutxuS 1 00 0 00 0 ,,, γβαυ . (4) Математичне та комп’ютерне моделювання 136 Очевидно, что при этом функция ( )( )GWu p 1,3∈∆ является реше- нием уравнения ( )( ) ( ),,,1,3 txtxuV ϕ∆=∆ (5) удовлетворяющее тривиальным условиям ,4,1,0,3,0,0, <+===∆ jijiuV ji (6) где ( ) ( ) ( )( ) ( )( )txtxtxtxtxtx ,,,,,,,, υϕυυϕϕ −∆+=∆ . Оператор ( )1,31,21,11,00,30,20,10,0 ,,,,,,, VVVVVVVVV = задачи (1)-(2) действует из ( )( )GWP 1,3 в ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )GLGLGLGLGLRRRE pppppp ××××××××≡ 2221 1,3 . Показано, что оператор V имеет сопряженный оператор ( )1,31,21,11,00,30,20,10,0 ,,,,,,, ωωωωωωωω=∗V , который действует в про- странстве ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )GLGLGLGLGLRRRE qqqqqq ×××××××≡ 2221 1,3 и удовлетворяет условию ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )++++= ∫∫ uVfuVfuVfdGtxuVtxfVuf G 0,20,20,10,10,00,01,31,3 ,, ( )( )( )∫ ++ 1 10,30,3 G dGxuVxf ( )( )( ) ( )( )( )∫∫ ++ 22 21,11,121,01,0 GG dGtuVtfdGtuVtf ( )( )( ) ( ) ( )+=+ ∫ 000,021,21,2 , 2 txufdGtuVtf G ω ( ) ( )+000,1 ,txuDf xω ( ) ( )++ 00 2 0,2 ,txuDf xω ( )( ) ( ) +∫ 10 3 0,3 1 , dGtxuDxf G xω ( )( ) ( ) ++ ∫ 201,0 2 , dGtxuDtf G tω ( )( ) ( ) +∫ 201,1 2 , dGtxuDDtf G txω ( )( ) ( ) ++ ∫ 20 2 1,2 1 , dGtxuDDtf G txω ( )( ) ( ) ( )( ),,, 3 1,3∫∫ ∗= G tx ufVdGtxuDDtxfω (7) где ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1,3 1,31,21,11,00,30,20,10,0 ,,,,,,,, qEtxftftftfxfffff ∈= про- извольный линейный ограниченный функционал на ( )1,3 pE , а u про- извольная функция из ( )( )GWP 1,3 и .111 =+ qp Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1 137 Теперь в равенстве (7) вместо u (x, t) подставим решение задачи (5)- (6), т.е. положим вместо u функцию Δu. Тогда справедливо равенство ( ) ( ) ( )∫∫ =∆=∆ G dGtxtxfuVf ,,1,3 ϕ ( )( ) ( ) ( )( ),,, 3 1,3 ufVdGtxuDDtxf tx G ∆=∆= ∗∫∫ ω (8) для всех ( ).1,3 qEf ∈ Иначе говоря, ( ) ( ) ( )( ) ( ) ,0,,,, 3 1,31,3 =∆+∆− ∫∫∫∫ dGtxuDDtxfdGtxtxf G tx G ωϕ (9) Функция ( )tx,u∆ как элемент пространства ( )( )GWp 1,3 удовлетво- ряет тривиальным условиям (6). Используя интегральное представле- ние функций из ( )( )GWp 1,3 [20]: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ − +−+= 00 2 2 0 00000 , 2 ,,, txuDxxtxuDxxtxutxu xx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +−++−+ ∫∫∫ ξξξξτττ dxuDDxxdxuDdtuDx t t tx t t tx x x ,,, 2 1 0000 32 000 ( ) ( ) ( ) ( ) ξτξττξξ dduDDxdxuDDxx tx x x t t t t tx , 2 1, 2 32 0 2 2 0 0 00 ∫ ∫∫ −+ − + получим, что ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )=∆+∆+∆ 00 0 00 0 ,,, kkkkkkk txutxutxu γβα ( ) ( ) ,,, 3∫∫ ∆= G txk dGtxuDDtxB где ( ) ( ) ( ) ( )( )[ +−−−= ttxxxxtxB kkk 0 0 2 02 1, θθα ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ;0020 0 020  −−−+−−−+ ttxxxxttxxxx kkkkkkk θθγθθβ ( )    ≤ > = 0,0 0,1 τ τ τθ – функция Хевисайда. Поэтому приращение (4) функционала (3) можно представить в виде ( ) ( ) ( ) ,,, 1 3 dGtxuDDtxBS G N k txk∫∫∑ = ∆=∆ υ Математичне та комп’ютерне моделювання 138 или ( ) ( ) ( ) ,,, 1 3 dGtxuDDtxBS G N k tx∫∫∑ = ∆=∆ υ (10) где ( ) ( )txBtxB N k k ,, 1 ∑ = = . Теперь используя (9), приращение (10) запишем в виде ( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) −∆+=∆ ∫∫ G tx dGtxuDDtxftxBS ,,, 3 1,3ωυ ( ) ( )∫∫ ∆− G dGtxtxf ,,,1,3 ϕ (11) где ( )( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ + − = 1 1 ,, 2 , 1,30,0 2 1,3 x x t t ddfaxtxf τξτξτξξω ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++−+ ∫ ∫∫ ∫ τξτξτξτξτξτξξ ddfaddfax x x t t x x t t ,,,, 1,30,21,30,1 1 11 1 ( ) ( ) ++ ∫ τττ dxfxa t t ,, 1,30,3 1 ( ) ( ) ( ) + − ∫ ξξξξ dtftax x x ,, 2 1,31,0 21 ( ) ( ) ( ) +−+ ∫ ξξξξ dtftax x x 1 ,, 1,31,1 ( ) ( ) ( )∫ + 1 ,,, 1,31,31,2 x x txfdtfta ξξξ . Так как 1,3ω зависит только от одного элемента ,f т.е. от ,1,3f то равенство (11) справедливо для всех ( ).1,3 GLf q∈ Для упрощения выражения (11) введем уравнение ( )( ) ( ) ( ) GtxtxBtxf ∈=+ ,,0,,1,31,3ω , (12) которое назовем сопряженным уравнением для задачи оптимального управления (1)-(3) и в качестве функции ( )txf ,1,3 возьмем решение уравнения (12) в Lq (G). Тогда формула (11) примет простой вид: ( ) ( ) ( )∫∫ ∆−=∆ G dGtxtxfS ,,1,3 ϕυ . (13) Уравнение (12) в данной статье введено в качестве сопряженной задачи для задачи оптимального управления (1)-(3). Оно имеет ряд преимуществ по сравнению с сопряженными задачами традиционно- го вида: во-первых, оно имеет смысл при весьма общих ограничениях на коэффициенты ai, j (x, t); во-вторых, оно легко может быть обобще- Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1 139 но для других более общих классов задач, связанных с интегро-диф- ференциальными уравнениями в частных производных или нело- кальными начально-краевыми условиями; в-третьих, оно позволяет охватывать также случаи, когда критерий качества является многото- чечным функционалом вида (4) или функционалом более сложной структуры. Следует заметить также, что переход от сопряженного интегрального уравнения (12) к традиционной сопряженной задаче возможен только в частных случаях задачи (1)-(3) [9]. Кроме того, уравнение (12) принципиальным образом отличается от сопряженных задач традиционного вида, используемых при обобщении принципа максимума на различные классы задач оптимального управления. Сопряженные задачи традиционного вида, как правило, задаются при помощи формального сопряженного дифференциального оператора, соответствующего линейному дифференциальному операторному уравнению в вариациях относительно уравнения, описывающего со- стояние управляемого объекта. Теперь для фиксированного ( ) G∈ξτ , рассмотрим следующую игольчатую вариацию допустимого управления ( ):,txυ ( ) ( ) ( ) ( )     ∈ ∈− =∆ ,,,0 ,,, , ε ε ε υυ υ GGtx Gtxtx tx (14) где 0, >Ω∈ ∂ ευ достаточно малый параметр, . 2 , 22 , 2       +−×      +−= εξεξετετεG Управление ( ),,txευ определяемое равенством ( ) =tx,ευ ( )+tx,υ ( )tx,ευ∆+ , является допустимым управлением для всех достаточно малых 0>ε и всех ( ) ,,, G∈Ω∈ ∂ ξτυ называемых игольчатым воз- мущением заданного управления ( )tx,υ . Очевидно, что ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] =−∆+−=− ∫∫ dGtxtxtxtxtxtxfSS G ,,,,,,,,1,3 υϕυυϕυυ εε ( ) ( ) ( )( )[ ] ,,,,,,,1,3 dGtxtxtxtxf G ∫∫ −−= υϕυϕ (15) Так как задача оптимального управления (1)-(3) линейна, то из (15) вытекает следующая теорема. Теорема. Пусть ( ) ( )GLtxf q∈,1,3 – решение сопряженного урав- нения (12). Тогда для оптимальности допустимого управления ( )tx,υ Математичне та комп’ютерне моделювання 140 необходимо и достаточно, чтобы почти для всех ( ) ,, Gtx ∈ выполня- лось условие ( )( ) ( ) ( )( ),,,,,,,,,,max 1,31,3 txtxftxHtxftxH υυ υ = ∂Ω∈ где ( ) ( )υϕυ ,,,,, 1,31,3 txfftxH ⋅= – функция Гамильтона-Понтрягина. Эта теорема показывает, что для решения задачи оптимального управления (1)-(3), достаточно найти решение ( ) ( )GLtxf q∈,1,3 инте- грального уравнения (12). Тогда оптимальное управление ( )tx,υ можно найти как точку из ,∂Ω которая доставляет максимальное значение функции ( )( )υ,,,, 1,3 txftxH в ∂Ω относительно .υ Выводы. Применяя нетрадиционный вариант метода прираще- ний получено необходимое и достаточное условие оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина в задаче управления, описы- ваемой псевдопараболическим уравнением при нелокальных краевых условиях. Список использованной литературы: 1. Понтрягин Л. С. и др. Математическая теория оптимальных процессов. – М.: Наука, 1969. – 384 с. 2. Белман Р. Динамическое программирование. – М.: Наука, 1960. – 400 с. 3. Красовский Н. Н. Теория управления движения. – М.: Наука, 1968. – 476 с. 4. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Необходимые условия слабого экс- тремума в общей задаче оптимального управления. – М.: Наука, 1971. – 113 с. 5. Моисеев Н. Н. Численные методы в теории оптимальных систем. – М.: Наука, 1971. – 424 с. 6. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. – М.: Наука, 1981. – 400 с. 7. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми урав- нениями с частными производными. – М.: Мир, 1972. – 416 с. 8. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Принцип максимума в теории оптимального управления. – Минск: Наука и техника, 1974. – 271 с. 9. Егоров А. И. Об оптимальном управлении процессами в некоторых сис- темах с распределенными параметрами // Авт. и телем. – 1964. – Т.25. – №5. – С.613-623. 10. Ахмедов К. Т., Ахиев С. С. Необходимые условия оптимальности для некоторых задач теории оптимального управления. – Докл. АН Азерб. ССР, 1972. – Т.28. – №5. – С.12-16. 11. Ахмедов Ф. Ш. Оптимизация гиперболических систем при нелокальных краевых условиях типа Бицадзе-Самарского. – ДАН СССР, 1985. – Т.283. – №4. – С.787-791. 12. Айда-заде К. Р. О решении задач оптимального управления с промежу- точными условиями // Вычысл. матем. и матем. физики. – 2005. – Т.45. – №6. – С.1031-1041. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1 141 13. Айда-заде К. Р., Абдуллаев В. М. О применении методов первого порядка для решения задач оптимального управления с промежуточными усло- виями // Известия НАН Азербайджана. – 2004. – Т.24. – №2. – С.48-52. 14. Ибиев Ф. Т., Шарифов Я. А. Об одной задаче оптимального управления для систем Гурса с интегральными условиями // Известия НАН Азербай- джана. – 2004. – Т.24. – №2. – С.83-85. 15. Мамедов И. Г. Задача оптимального управления в процессах, описывае- мых нелокальной задачей с нагружениями для гиперболического интег- ро-дифференциального уравнения // Известия НАН Азербайджана. – 2004. – Т.24. – №2. – С.74-79. 16. Hasanov K. Q., Gasimov T. M. Optimal control problem for the hyperbolic type equation with non-classic boundary conditions // The Second International Conference on Control and Optimization with Industrial Applications, COIA 2008, June 2-4, Baku. – P.74. 17. Mutallimov M. M., Zulfugarova R. T. Sweep algorithm for solving an optimal control discrete problem with three-point boundary conditions // The Second International Conference on Control and Optimization with Industrial Applica- tions, COIA 2008, June 2-4, Baku. – P.137. 18. Mamedov I. G. An optimal control problem for a fourth order pseudoparabolic equation with separated multi-point conditions // The Second International Conference on Control and Optimization with Industrial Applications, COIA 2008, June 2-4, Baku. – P.117. 19. Mamedov I. G. On correct solvability of a problem with loaded boundary con- ditions for a fourth order pseudoparabolic equation // Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics. – 2008. – Volume 43. – P.107-118. 20. Мамедов И. Г. Задача Гурса нового типа для нагруженных вольтерро-ги- перболических интегро-дифференциальных векторных уравнений чет- вертого порядка с негладкими матричными коэффициентами // Известия НАН Азербайджана. – 2006. – Т.26. – №2. – С.74-79. In the paper we consider a non-local problem of optimal control for a fourth order pseudoparabolic equation with non-smooth coefficients under non-local boundary conditions. Such optimal control problem was investi- gated with the help of a new variant of the increment method. This method essentially uses the notion of integral form adjoint equation and allows to cover the case when the coefficients of the equation are, generally speak- ing, non-smooth functions. In other words, this variant is more natural than classic variants of the increment method. Key words: non-local problem, optimal control problem, necessary and sufficient conditions of optimality, Hamilton-Pontryagin function. Отримано: 12.05.2008

Условия оптимальности некоторых процессов, описываемых псевдопараболическим уравнением при нелокальных краевых условиях

Institution

Ähnliche Einträge