Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є на полярній осі
Методом дельта-подібної послідовності (ядро Коші) запроваджено гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є на полярній осі з однієї точкою спряження.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Series: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18575 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є на полярній осі / О.М. Нікітіна // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 142-155. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18575 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-185752011-04-03T12:04:12Z Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є на полярній осі Нікітіна, О.М. Методом дельта-подібної послідовності (ядро Коші) запроваджено гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є на полярній осі з однієї точкою спряження. The hybrid integrated Euler-Fourier type transformation on a polar axis with one junction point is realized by means of the delta-like sequence method (Cauchy kernel). 2008 Article Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є на полярній осі / О.М. Нікітіна // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 142-155. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18575 17.91:532.26 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Методом дельта-подібної послідовності (ядро Коші) запроваджено гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є на полярній осі з однієї точкою спряження. |
| format |
Article |
| author |
Нікітіна, О.М. |
| spellingShingle |
Нікітіна, О.М. Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є на полярній осі Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| author_facet |
Нікітіна, О.М. |
| author_sort |
Нікітіна, О.М. |
| title |
Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є на полярній осі |
| title_short |
Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є на полярній осі |
| title_full |
Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є на полярній осі |
| title_fullStr |
Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є на полярній осі |
| title_full_unstemmed |
Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є на полярній осі |
| title_sort |
гібридне інтегральне перетворення типу ейлера-фур’є на полярній осі |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18575 |
| citation_txt |
Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є на полярній осі / О.М. Нікітіна // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 142-155. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| work_keys_str_mv |
AT níkítínaom gíbridneíntegralʹneperetvorennâtipuejlerafurênapolârníjosí |
| first_indexed |
2025-07-02T19:33:28Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:33:28Z |
| _version_ |
1836564934601736192 |
| fulltext |
Математичне та комп’ютерне моделювання
142
УДК 517.91:532.26
О. М. Нікітіна
Харківський національний технічний університет “ХПІ”
ГІБРИДНЕ ІНТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ
ТИПУ ЕЙЛЕРА-ФУР’Є НА ПОЛЯРНІЙ ОСІ
Методом дельта-подібної послідовності (ядро Коші) запро-
ваджено гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Фу-
р’є на полярній осі з однієї точкою спряження.
Ключові слова: гібридний диференціальний оператор, гі-
бридне інтегральне перетворення, ядро Коші, функції впливу,
спектральна функція, інтегральне зображення, основна то-
тожність.
Аналіз та ціль статті. Вивчення фізико-технічних характерис-
тик композитних матеріалів, які знаходяться в різних умовах експлуа
тації, математично приводить до задачі інтегрування сепаратної сис-
теми диференціальних рівнянь другого порядку на кусково-одно рід
но му інтервалі. Одним із ефективних методів побудови аналітичних
розв’язків таких задач є метод гібридних інтегральних перетворень,
започаткованих в роботі Я. С. Уфлянда [7]. Основні положення теорії
гібридних інтегральних перетворень (ГІП) закладено в роботі [3].
Дана стаття присвячена запровадженню одного з типів ГІП.
Основна частина. Запровадимо методом дельта-подібної послі-
довності інтегральне перетворення, породжене на множині
( ) ( )[ ]∞∈=+ ,,0:1 RRrrI ∪ гібридним диференціальним оператором
(ГДО)
( ) ( ) ( ) 222
2
2
1 / drdaRrBarrR −+−= θθθ ααM , (1)
де aj > 0, Bα – диференціальний оператор Ейлера [1],
( ) 012,/12/ 2222 >++++= αααα drrddrdrB .
Означення. Областю визначення ГДО Mα назвемо множину G
вектор-функцій ( ) ( ) ( ){ }rgrgrg 21 ;= з такими властивостями:
1) вектор-функція ( ) ( )[ ] ( ){ }rgrgBrf 21 ; ′′= α неперервна на множині +
1I ;
2) функції gj(r) задовольняють умови спряження
( ) ( ) 02
1
2
1
21
1
1
1
1 =
+−
+
=Rr
jjjj rg
dr
drg
dr
d βαβα , j = 1, 2, (2)
3) мають місце умови обмеження
( )[ ] ( ) 0lim,0lim 2
1
0
==
∞→→ k
k
rr dr
rgdrgrγ , k = 0, 1. (3)
© О. М. Нікітіна, 2008
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
143
Ми вважаємо, що
1
jkα ≥ 0, 1
jkβ ≥ 0, с21 ⋅ c11 > 0, 1
2
1
1
1
1
1
21 jjjjjc βαβα −= .
Із умов спряження випливає базова тотожність: для u(r) ∈ G та
v(r) ∈ G справджується рівність
( ) ( ) ( ) ( )
RrRr dr
durv
dr
dvru
c
c
dr
durv
dr
dvru
==
−=
− 2
2
2
2
11
211
1
1
1 . (4)
Визначимо вагову функцію
( ) ( ) ( ) ( ) 21
12
1 σθσθθσ RrrrRrr a −+−= − ,
де ( ) 1122
121111
−+= ασ Racc , 2
22
−= aσ , та скалярний добуток
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫
∞
−
∞
+==
R
R
drrvrudrrrvrudrrrvrurru 222
0
12
111
0
, σσσν α .(5)
Використовуючи умови обмеження (3) та базову тотожність (4),
встановлюємо рівність
(Mα[u], v) = (u, Mα[v]). (6)
Звідси випливає, що ГДО Mα самоспряжений. Отже, його спектр
дійсний [2]. Оскільки оператор Mα має дві особливі точки (r = 0 та
r = ∞), то його спектр неперервний [3]. Можна вважати, що спектра-
льний параметр β ∈ (0, ∞). Спектральна функція, що відповідає спек-
тральному параметру β, в цьому випадку комплекснозначна [3]. Як-
що вважати, що спектральна функція
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,,, 2,1, βθβθθβ ααα rVRrrVrRrrV −+−=
то функції ( )βα ,, rV j – комплекснозначні:
( ) ( ) ( ),,,, 2,1,, βββ ααα riVrVrV jjj += j = 1, 2, i2 = –1.
Фундаментальну систему розв’язків для рівняння Ейлера
( ) 02
1 =+ να bB утворюють функції ( )rbr lncos 11
αν −= та
( )rbr lnsin 12
αν −= [1]; фундаментальну систему розв’язків для дифе-
ренціального рівняння Фур’є ( ) 02
2
22 =+ vbdrd утворюють функції
( )Rrb −2cos та ( )Rrb −2sin [1]; ( ) 2122
jj kb += β , 02 ≥jk , j = 1, 2.
Якщо покласти
( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ],lnsinlncos
lnsinlncos,
1111
11111,
rbrDrbrCi
rbrBrbrArV
αα
αα
α β
−−
−−
++
++=
( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ,sincos
sincos,
2222
22222,
RrbDRrbCi
RrbBRrbArV
−+−+
+−+−=βα (7)
Математичне та комп’ютерне моделювання
144
то для визначення восьми невідомих Aj, Bj, Cj, Dj (j = 1, 2) умови
спряження (2) дають алгебраїчну систему з чотирьох рівнянь, що яв-
но недостатньо. Отже, в якості дельта-подібної послідовності брати
ядро Діріхле не можна. Спробуємо за дельта-подібну послідовність
взяти ядро Коші – фундаментальну матрицю розв’язків задачі Коші
для параболічної системи рівнянь дифузії першого порядку, поро-
дженої ГДО Mα.
Розглянемо задачу про конструкцію обмеженого в області
( ) ( ){ }++ ∈∞∈= 11 ;,0:, IrtrtD розв’язку сепаратної системи параболіч-
ного типу [4]
( )[ ] 0,1
2
11
2
1
1 =−+
∂
∂ rtuBau
t
u
αγ , ( )Rr ,0∈ ,
02
2
2
2
22
2
2
2 =
∂
∂
−+
∂
∂
r
uau
t
u γ , ( )∞∈ ,Rr (8)
за початковими умовами
( ) ( )rgrtu t 101 , =
=
, ( )Rr ,0∈ , ( ) ( )rgrtu t 202 , =
=
, ( )∞∈ ,Rr (9)
та умовами спряження
( ) ( ) 0,, 2
1
2
1
21
1
1
1
1 =
+−
+
=Rr
jjjj rtu
dr
drtu
dr
d βαβα , j = 1, 2. (10)
Припустимо, що вектор-функція ( ) ( ) ( ){ }rturturtu ,;,, 21= є оригі-
налом за Лапласом стосовно t [5]. У зображенні за Лапласом парабо-
лічній задачі (8)-(10) відповідає крайова задача: побудувати обмеже-
ний на множині +
1I розв’язок сепаратної системи звичайних дифере-
нціальних рівнянь Ейлера та Фур’є для модифікованих функцій
( ) ( ) ( )rgrpuqB 11
2
1 , −=− ∗
α , ( )Rr ,0∈ ,
( ) ( ) ( )rgrpuqdrd 22
2
2
22 , −=− ∗ , ( )∞∈ ,Rr (11)
за умовами спряження
( ) ( ) 0,, *
2
1
2
1
2
*
1
1
1
1
1 =
+−
+
=Rr
jjjj rpu
dr
drpu
dr
d βαβα , j = 1, 2. (12)
Тут ( ) 2121
jjj paq γ+= − , ( ) ( )rgarg jjj
2−= , j = 1, 2; 0Re >jq .
Фундаментальну систему розв’язків для рівняння Ейлера
( ) 02
1 =− vqBα утворюють функції 1
1
qrv −−= α та 1
2
qrv +−= α [1]; фун-
даментальну систему розв’язків для диференціального рівняння
Фур’є ( ) 02
2
22 =− vqdrd утворюють функції ( )[ ]Rrqv −= 21 exp та
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
145
( )[ ]Rrqv −−= 22 exp або їх лінійні комбінації ( )Rrqv −= 21 ch та
( )Rrqv −= 22 sh [1].
Наявність фундаментальної системи розв’язків дає можливість
будувати загальний розв’язок крайової задачі (11), (12) методом фун-
кцій Коші [1, 6]:
( ) ( ) ( )∫ −+− +=
R
q dgrpErArpu
0
12
1
*
11
*
1 ,,, 1 ρρρρ αα ,
( ) ( ) ( ) ( )∫
∞
−− +=
R
Rrq dgrpEeArpu ρρρ 2
*
22
*
2 ,,, 2 . (13)
У рівностях (13) беруть участь функції Коші ( )ρ,,* rpE j [1, 6]:
( ) ( ) ,0,,,,
0
*
0
* =−
−=+= ρρ
ρρ
rjrj rpErpE j = 1, 2,
( ) ( ) ( )ρϕ
ρρ
ρρ
j
r
j
r
j
dr
rpdE
dr
rpdE
−=−
−=+= 0
*
0
* ,,,,
, (14)
де ( ) ( )12
1
+−= αρρϕ , ( ) 12 =ρϕ .
Нехай функція Коші
( )
<<<+≡
<<<≡
=
−−+−
+
+−
.0,
,0 ,
,,
11
1
22
*
2
1
*
1*
1
RrrDrCE
RrrCE
rpE
qq
q
ρ
ρ
ρ
αα
α
Властивості (14) функції Коші для визначення величин C1, C2 та
D2 дають алгебраїчну систему з двох рівнянь:
( ) 011
212 =+− −−+− qq DCC αα ρρ ,
( )( ) ( ) ααα ρραρα 2
21121
11 −−−+− −=+−−+− qq DqCCq .
Звідси отримуємо співвідношення:
1
1
12 2
1 q
q
CC −−−=− αρ , 1
1
2 2
1 q
q
D +−= αρ . (15)
Доповнимо систему (15) рівнянням:
01
1
11
1
11 =
+
=
+
Rr
E
dr
d βα : ( ) ( ) 0,, 211
11
11,211
12
11, =+ DRqZCRqZ αα . (16)
Із системи (15), (16) знаходимо, що
( ) ( )ραα ,2
*1
11,
112
11,1 qZС Ψ=
−
.
Математичне та комп’ютерне моделювання
146
Цим функція Коші ( )ρ,,*
1 rpE визначена й внаслідок симетрії
відносно діагоналі r = ρ має структуру:
( )
( )
( )
<<<Ψ
<<<Ψ
=
+−
+−
.0,,
,0,,
2
1,,
11
*1
11;
11
*1
11;
12
11,1
*
1
1
1
Rrrq
Rrqr
Zq
rpE
q
q
ρρ
ρρ
ρ
α
α
α
α
α
(17)
У рівностях (16), (17) беруть участь функції:
( ) ( )[ ] 1
1
11
1
11
11
11
1, , q
jjj RqRRRqZ −−−− −−= α
α αααβ ,
( ) ( )[ ] 1
1
11
1
11
11
12
1, , q
jjj RqRRRqZ +−−− +−= α
α αααβ ,
( ) α
α
α
αα
−−− −=Ψ 11 11
1,
12
1,1
*1
1, , q
j
q
jj rZrZrq .
Нехай функція Коші
( ) ( )
( )
∞<<<≡
∞<<<−+−≡
=
−−
+
. ,
,,shch
2
2
*
2
2121
*
2*
2
rReDE
rRRrqDRrqCE
E
Rrq ρ
ρ
Властивості (14) функції Коші для визначення величин C1, D1 та
D2 дають алгебраїчну систему з двох рівнянь:
( ) ( ) ( ) 0chch 21221
2 =−−+−− −− RqDeDRqC Rq ρρ ρ ,
( ) ( ) ( ) 1
221221 chsh 2 −−− =−++− qRqDeDRqC Rq ρρ ρ .
Звідси отримуємо співвідношення:
( ) 22
1
21 sh DRqqC +−−= − ρ , ( ) 22
1
21 ch DRqqD −−= − ρ . (18)
Доповнимо систему (18) рівнянням:
:0*
2
1
12
1
12 =
+
=
−
Rr
E
dr
d βα 012
1
121
1
12 =+ DqC αβ . (19)
Із системи (18), (19) знаходимо D2. З цим функція Коші
( )
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
∞<<<
−−−
∞<<<
−−−
−
=
−−
−−
.
,shch
,
,shch
1
2
1
1222
1
12
2
1
1222
1
12
1
122
1
122
*
2
2
2
rR
RqRqqe
rR
RrqRrqqe
qq
E
Rrq
Rq
ρ
ρβρα
ρ
βα
βα
ρ
(20)
Повернемось до формул (13). Умови спряження (12) для визна-
чення величин A1, A2 дають алгебраїчну систему з двох рівнянь:
( ) ( ) 0, 2
1
122
1
12111
12
11; =−+ AqARqZ βαα ,
( ) ( ) *
122
1
222
1
22111
12
21; , GAqARqZ =−+ βαα . (21)
У системі (21) бере участь функція
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
147
( )
( )
( )∫∫
∞ −
−
+−
+ −
−=
R
RqR q
dg
q
ecdg
ZR
cG ρρ
βα
ρρρρ ρ
α
α
α
α 21
122
1
12
21
0
12
112
11,
12
11*
12
21
.
Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності даної
крайової задачі: для isp += σ з 0Re σσ >=p , де σ0 – абсциса збіж-
ності інтегралу Лапласа, та ( )∞∞−∈= ,Im sp визначник алгебраїчної
системи (21)
( ) ( ) ( ) 012
21,
1
122
1
12
12
11,
1
222
1
22 ≠−−−≡∆ ααα βαβα ZqZqp . (22)
Визначимо породжені неоднорідністю системи (11) функції
впливу
( ) ( )
( ) ( )[
( ) ( )[
−Ψ−
−Ψ−
∆
=
+−
+−
rqq
qqr
pq
rp
q
q
*
,
,
2
1,,
1
*1
11;
1
222
1
22
1
*1
11;
1
222
1
22
1
11;
1
1
α
α
α
α
α
α
βαρ
ρβα
ρH
( ) ( )]
( ) ( )] ,0,,
0,,
1
*1
21;
1
122
1
12
1
*1
21;
1
122
1
12
Rrrqq
Rrqq
<<<Ψ−−
<<<Ψ−−
ρβα
ρρβα
α
α
( ) ( )
( )Rqq* er
p
crp −−+−
∆
= ρα
α
α ρ 2121
12; ,,H ,
( ) ( )
( )Rrqq* e
pR
crp −−+−
+ ∆
= 211,, 12
11
21;
α
α
αα ρρH , (23)
( ) ( ) ( )
( ) ( )([
( ) ( )([
−−
−−
∆
=
−−
−−
RqqZe
RrqqZe
pq
rp
Rrq
Rq
ρα
α
ρ
α
α
ρ
α
α
22
1
22
12
11;
22
1
22
12
11;
2
*
22;
ch
ch1,,
2
2
H
( )) ( )(
( )) ( )(
( ))]
( ))] .,sh
,sh
chsh
chsh
2
1
12
2
1
12
22
1
12
12
21;2
1
22
22
1
12
12
21;2
1
22
∞<<<−−
∞<<<−−
−−−−−
−−−−−
rRRq
rRRrq
RqqZRq
RrqqZRrq
ρρβ
ρβ
ραρβ
αβ
α
α
У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (21)
й підстановки одержаних значень A1 та A2 у формули (13) маємо єди-
ний розв’язок крайової задачі (11), (12):
( )=rpu j ,* ( ) ( ) +∫ −
R
j dgrp
0
12
1
*
1; ,, ρρρρ α
αH
( ) ( )∫
∞
+
R
*
j dgrp ρρρα 22; ,,H , j = 1, 2. (24)
Математичне та комп’ютерне моделювання
148
Повертаючись до оригіналу, отримуємо єдиний розв’язок пара-
болічної задачі (8)-(10):
( ) ( ) ( ) += ∫ −
R
jj dgrtrtu
0
12
11; ,,, ρρρρ α
αH ( ) ( )∫
∞
R
j dgrt ρρρα 22; ,,H . (25)
У рівностях (25) за означенням [5]
∫
∞+
∞−
=
i
i
pt
jkjk dperp
i
rt
0
0
),,(
2
1),,( *
;;
σ
σ
αα ρ
π
ρ HH ; j, k = 1,2 (26)
Особливими точками функцій впливу ),,( ρrp*
α;jkH є точки роз-
галуження 2
1γ−=p , 2
2γ−=p та p = ∞. Для цього випадку метод кон-
турного інтегралу з використанням леми Жордана та теореми Коші
приводить формулу (26) до “робочої формули” [3, 5]:
( ) ( )( ) ( )∫
∞
+−
+−=
0
22
;;
22
,,Im2,, ββργβ
π
ρ γβπ
αα derert ti
jkjk HH ,
j, k = 1, 2, (27)
де { }2
2
2
1
2 ;max γγγ = .
При виведенні формули (27) ми поклали ( )221
jjjj kiaibq +≡= − β ,
0222 ≥−= jjk γγ , j = 1, 2. Звідси одержуємо, що ( )≡+−= 22 γβp
( ) ( )iπγβ exp22 +≡ , dp = –2βdβ.
Безпосередніми підрахунками отримуємо:
1
2
1
22
1
22
1
2 jjjj ibib βαβα −=− ; j = 1, 2;
( )[ ]
( )[ ]≡+−+
+−−=
−−
−−−
)lncos()lnsin(
)lnsin()lncos(),(
11
11
11
1
1
11
1
11
11
11
1
1
11
11
12
1;
RbbRRbRi
RRbbRRbRRibZ
jjj
jjjj
αααβ
αααβ α
α
)ln,()ln,( 1
12
1;1
11
1; RbiYRbY jj αα +≡ ,
[ ] ),(2)lncos()lncos(2),( 1
1
1;1
11
1;1
12
1;1
*1
1; rbirrbYrbYirib jjjj α
α
ααα Ψ≡−=Ψ − ,
( )( ) ( )( )−+−=+∆ 12
11;
11
11;
1
222
1
22
22
αα
π
α βαγβ iYYbie i
( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( );2,1,22,11,221,12,2
12
21;
11
21;
1
122
1
12
βωβωββββ
βα
αααααα
αα
ieebieeb
iYYbi
−≡−−+=
=+−−
jj
j YYe 1
11;
1
22
1
21;
1
121, ααα αα −= , jj
j YYe 1
11;
1
22
1
21;
1
122, ααα ββ −= , j = 1, 2.
Визначимо потрібні в подальшому функції та величини:
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
149
( )
( ),22,11,21,12,2
2
22,
2
12,
2
2
2,22,1,12,211,
αααααα
ααααα ωωβ
eeeebeeb
eebf
−++=
=−=
( )
( ),22,11,21,12,2
2
21,
2
11,
2
2
2,11,21,21,12,
αααααα
ααααα ωωβ
eeeebeeb
ebef
−++=
=+=
( ) =+≡+= 2,12,21,22,12,11,
2
222,21,13, ααααααααα ωωβ ebeeebeef
2,21,1,11,2 αααα ωω eeb −= ,
( ) ( )
( )[ ],22,11,21,12,
2
12,
2
11,22
1,12,2,11,221,
αααααα
ααααα ωωβ
eeeeeebb
eebf
−++=
=+=
( ) ++=−= 2
22,
2
21,2,22,1,21,22, ααααααα ωωβ eeeef
( ),22,11,21,12,2 αααα eeeeb −+
( ) ≡+=−= 21,11,22,12,2,12,1,11,23, ααααααααα ωωβ eeeeeef
( );2,21,1,22,
1
2 αααα ωω eeb +≡ −
( ) ( )12
1112122,11,21,12,
+−=− α
αααα β Rbcceeee , ( ) ( ) 12
2,
2
1,
1
2
−− +=Ω ααα ωωββ b .
Виконавши зазначені в формулі (27) операції, маємо:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[∫
∞
−+=
0
2,2,12,1,1,11,11,
2,, ρβρβ
π
ρ ααααααα vrvfvrvfrtH
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )] ( ) ( ) ( ) 2
112,1,2,1,13,
2
addervvvrvf t βσββρρβ αα
γβ
ααααα Ω+− +− ,
( ) ( )rbrrv lncos 11,
α
α
−= , ( ) ( )rbrrv lnsin 12,
α
α
−= , 12
111
212
)(
)( += α
α β
β R
cb
cbd ;
( ) ( ) ( )[ ] ( ){
( ) ( )[ ] ( )} ( ) ( ) ( ) ;cos
sin2,,
2
2
222121,2,2,1,
0
22,2,1,1,12;
2
σβββρωω
ρωω
π
ρ
α
γβ
αααα
ααααα
adebcRbrvrv
Rbrvrvrt
tΩ−+−
−−−=
+−
∞
∫H
( ) ( ) ( ) ( )[
( ) ( ) ( ) ( ) ( )]
( ) ( ) .
2sinsinsin
coscos2,,
2
2
2
223,22222,
0
2221,22;
2
σββ
ρβρβ
ρβ
π
ρ
α
γβ
αα
αα
ade
RrbfbRbRrbf
RbRrbfrt
tΩ×
×−+−−−+
+−−=
+−
∞
∫H
(28)
Будемо вимагати виконання рівностей:
Математичне та комп’ютерне моделювання
150
( ) ( ) [ ] ( ) kkkj
t
jk adVrVert σβββρβ
π
ρ ααα
γβ
α
2
;;
0
; ),(),(Re2,,
2
Ω= ∫
∞
+−H , (29)
де Vα; jk (r, β), j, k = 1, 2, визначені формулами (7), а риска зверху
означає комплексне спряження.
Для визначення величин Aj, Bj, Cj та Dj (j = 1, 2) одержуємо алге-
браїчну систему рівнянь:
2
1
2
1 CA + = dα fα,11(β), (301)
2
1
2
1 DB + = dα fα,12(β), (302)
A1B1 + C1D1 = –dα fα,13(β), (303)
A1A2 + C1C2 = –c21b2(β)ωα,2(β), (304)
B1A2 + C1D2 = –c21b2ωα,1(β), (305)
A1B2 + C1D2 = c21b2ωα,1(β), (306)
B1B2 + D1D2 = –c21b2ωα,2(β), (307)
2
2
2
2 CA + = fα,21(β), (308)
2
2
2
2 DB + = fα,22(β), (309)
A2B2 + C2D2 = –b2fα,23(β). (3010)
Розглянемо алгебраїчну систему із семи рівнянь (304)-(3010). По-
кладемо C2 = 0. Одержуємо:
)(21,2 βαfA = , ( )( ) 1
21,23,22
−−= βαα ffbB , C2 = 0,
( )( )[ ] =−= − 2/11
21,
2
23,
2
222,2 βααα ffbfD =
−
2/1
21,
2
23,
2
221,22,
α
ααα
f
fbff
( )
2/1
2
2,
2
1,
21,
12
111221
+=
+ αα
α
α ωω
fR
bcbc ,
( ) ( )( ) 2/1
21,2,2211
−−= ββω αα fbcA , ( ) ( )( ) 2/1
21,1,2211
−−= ββω αα fbcB ,
( )
( )
( )
( ) ( )β
β
ωωωω
α
α
αα
α
αααα
αααα
12,2
21,111
2
2,
2
1,
12
221
2
23,
2
222,21,21,
2,23,21,21,221
1 eb
fbc
Rbc
fbfff
fbfbc
C
+
=
−
−
=
+
,
( )
( )
( ) ( ).
)( 11,2
21,111
2
2,
2
1,
12
221
2
23,
2
222,21,21,
1,23,22,21,221
1 β
β
ωωωω
α
α
αα
α
αααα
αααα eb
fbc
Rbc
fbfff
fbfbc
D
+
−=
−
+
−=
+
Покажемо тепер, що при такому визначенні величин Aj, Bj, Cj та
Dj (j = 1, 2) рівняння (301)-(302) перетворюються в тотожну рівність.
Безпосередніми підрахунками маємо:
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
151
1) ( )
( )
( )( ) ( ) ×=
−
−
+=+
ββ
ωω
β
ω
ααααα
αααα
α
α
21,
2
2
2
21
2
23,
2
221,22,21,
2
2,23,21,21,
2
2
2
21
21,
2
2,
2
2
2
212
1
2
1 f
bc
fbfff
fbfbc
f
bc
CA
2
23,
2
221,22,
2
2,
2
23,
2
22,1,23,21,2
2
1,
2
21,
2
2,
2
23,
2
2
2
2,22,21, 2
ααα
ααααααααααααα ωωωωωω
fbff
fbffbffbff
−
+−+−
( )[
] ( ) [
]( ) ( ) ( ) ( );11,11,
12
111
2212
2,
2
1,2,22,
1,12,2
2111
2
2,
2
1,
122
221
2,1,23,2
2
1,21,
2,1,23,2
2
2,22,2
2,
2
1,212111
122
2
2
21
βββωωω
ω
ωω
ωωω
ωωω
ωω
ααα
α
αααα
αα
αα
α
ααααα
ααααα
αα
α
fdfR
bc
bce
eb
bbc
Rbcfbf
fbf
bbcc
Rbc
≡=+−
−
+
=−+
+−
+
=
+
+
+
2)
( )
( ) =
−
+
+=+ 2
23,
2
221,22,21,
2
1,23,22,21,
2
2
2
21
21,
2
1,
2
2
2
212
1
2
1
)()( αααα
αααα
α
α
β
ωω
β
ω
fbfff
fbfbc
f
bc
DB
( )[
]=+++
−
+
=
+
2
1,
2
23,
2
22,1,23,21,2
2
2,
2
21,
2
1,
2
23,
2
2
2
1,22,21,2
2,
2
1,21211121,
122
2
2
21
2
)(
αααααααα
ααααα
ααα
α
ωωωω
ωω
ωωβ
fbffbf
fbff
bbccf
Rbc
( )[
( )] ( ) ( )
( ) ( ) ( );
1
1
12,2,11,21,21,
2
2,
2
1,2
2,
2
1,
1,23,22,21,2,
2,23,21,22,1,2
2,
2
1,
12
111
221
ββωω
ωω
ωω
βωωω
ωωω
ωω
αααααα
αα
αα
αααααα
ααααα
αα
α
fdebe
dfbf
fbfR
bc
bc
≡+×
×+
+
=++
++
+
= +
3)
( )
( )
( )
[ ] ( ) ×
+
=+×
×
−
+−
+=+
+
2
2,
2
1,11121,
1
221
1,23,22,21,
2
23,
2
221,22,21,
2,23,21,21,
2
2
2
21
21,
2,1,
2
2
2
21
1111
1
ααα
α
αααα
αααα
αααα
α
αα
ωωβ
ωω
ωω
β
ωω
bcf
Rbcfbf
fbfff
fbfbc
f
bc
DCBA
( )
] [
]=+−−
−
+
=++
+
−−−×
2
2,23,2
2
1,23,22,1,21,
22,2,1,2
2,
2
1,
2,1,
2
23,
2
2
2
2,23,21,2
2
1,23,21,22,1,
2
21,
2
23,
2
221,22,2,1,
)(
ααααααα
ααα
αα
α
αααααα
ααααααααααα
ωωωω
ωω
ωω
βωωω
ωωωωω
fbfbf
fdfbffb
ffbffbff
Математичне та комп’ютерне моделювання
152
( ) ( ) ([
)] ( )( ) ( ) ( ).11,2,12,222,1,1,21,
2,23,22,1,23,222,2,1,2
2,
2
1,
ββωωβω
ωωωωω
ωω
β
ααααααααα
αααααααα
αα
α
fdebedf
fbfbfd
−≡+−=−
−+−
+
=
Підставимо обчислені значення Aj, Bj, Cj та Dj (j = 1, 2) у форму-
ли (7). Одержимо:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[
( ) ( )] ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( ),,,lnsinlncos
)(
lnsin
lncos,
12;11;111,112,
2
21,111
2
2,
2
1,
12
221
11,
12,
2/1
21,2211;
ββ
β
ωω
βω
βωββ
αα
α
α
α
α
α
αα
α
α
α
α
ααα
riVrVrbrerbre
b
fbc
Rbc
irbr
rbrfbcrV
+≡−×
×
+
++
+−=
−−
+
−
−−
(31)
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ( ) ( )]
( )
( ) ( ) ( ) ( ).,,sin
sincos,
22;21;2
2/1
2
2,
2
1,
21,
12
212111
223,2221,
2/1
21,2;
ββωω
β
ββββ
αααα
α
α
αααα
riVrVRrb
fR
bbcci
RrbfbRrbffrV
+≡−
++
+−−−=
+
−
Перевіримо виконання умов спряження.
Безпосередніми підрахунками встановлюємо:
( ) [ ]12
11,1,
11
11,2,
2/1
21,22111;
1
11
1
11 ),( αααααα ωωββα YYfbcrV
dr
d
Rr
+−=
+ −
=
,
( ) [ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( ) [ ] ;),(
),(
11;
1
11
1
11
12
11,1,
11
11,2,
2/1
21,221
1,22,
1
1212,
1
212,21,
1
1211,
1
122
2/1
21,
2,21,1,22,2
1
121,12,2,11,2
1
12
2/1
21,
23,
2
2
1
1221,
1
12
2/1
21,21;
1
12
1
12
Rr
Rr
rV
dr
dYYfbc
eeeebf
eebeebf
fbffrV
dr
d
=
−
−
−
−
=
+=+−=
=−+−=
=+−+=
=−=
+
ββαωω
ωαβωαβ
ωωαωωβ
αβββα
αααααα
ααααααα
ααααααααα
αααα
=
+
=Rr
V
dr
d
12;
1
11
1
11 αβα 12212
21,
2
2,
2
1,221111
)(
)(
α
β
ωω
α
α
αα b
Rf
bcbc
+
+
,
=
+
=Rr
V
dr
d
22;
1
12
1
12 αβα
( )
≡
+
+ 21212
21,
2
2,
2
1,212111
)(
b
Rf
bbcc
α
β
ωω
α
α
αα
Rr
V
dr
d
=
+≡ 12;
1
11
1
11 αβα .
Аналогічно перевіряється рівність
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
153
Rr
rV
dr
d
=
+ ),(1;
1
21
1
21 ββα α
Rr
rV
dr
d
=
+= ),(2;
1
22
1
22 ββα α .
Розв’язок (25) параболічної задачі має інтегральне зображення:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) +
Ω= −
∞
+−∫ ∫ ρρσρβββρβ
π
α
ααα
γβ dgdVrVertu
R
j
t
j
12
11
0 0
1;; ,,Re2,
22
( ) [ ]∫ ∫
∞ ∞
+−
Ω+
R
j
t dgdVrVe ρσρβββρβ
π ααα
γβ
22
0
2;; )()(),(),(Re2 22
.
В силу початкових умов (9) маємо інтегральні зображення:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫
∞
− Ω
=
0 0
12
11;11;1 ,,Re2 ββρρσβρρβ
π α
α
αα ddVgrVrg
R
,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫
∞ ∞
Ω
=
0
22;22;2 ,,Re2 ββρσβρρβ
π ααα ddVgrVrg
R
.
Звідси одержуємо інтегральне зображення вектор-функції
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )rgRrrgrRrrg 211 −+−= θθθ :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫
∞ ∞
Ω
=
0 0
,,Re2 ββρρσβρρβ
π ααα ddVgrVrg . (32)
Теорема 1 (про інтегральне зображення). Якщо вектор-функ-
ція ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )rgRrrrRrrf 11
2/1 ⋅−+−= − θθθ α неперервна, абсолютно
сумовна й має обмежену варіацію на множині (0, ∞), то для будь-
якого r ∈ +
1I справджується інтегральне зображення (32).
Інтегральне зображення (32) визначає пряме Hα, 1 та обернене
1
1,
−
αH гібридне інтегральне перетворення, породжене на множині +
1I
ГДО Mα:
( )[ ]=rgH 1,α ( ) ( ) ( ) ≡∫
∞
0
, drrVg σβρρ α ( )βg~ . (33)
( )[ ]=− βα gH ~1
1, ( ) ( )[ ] ( ) ( )rgdgrV ≡Ω∫
∞
0
~,Re2 ββββ
π αα . (34)
Застосування запровадженого гібридного інтегрального пере-
творення до розв’язання відповідних задач математичної фізики ба-
зується на основній тотожності інтегрального перетворення ГДО Mα.
Математичне та комп’ютерне моделювання
154
Теорема 2 (про основну тотожність). Якщо вектор-функція
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )rgRrrgrRrrf 211 −+−= θθθ
неперервна на множині +
1I , а функції gj (r) задовольняють умови
спряження (2) та умови обмеження (3), то справджується основна
тотожність інтегрального перетворення ГДО Mα:
( )[ ][ ] ( ) ( ) ( ) −−−= ∫ − drrrVrgkgrgH
R
0
12
11;1
2
1
2
1, ,~ α
ααα σβββM
( ) ( ) ( ) ( )( )
−+− ∫
∞
11
1
22;21
1
12;
21
22;2
2
2
1, ωββωβσβ ααα ZZ
c
drrVrgk
R
, (35)
( ) ( )
Rr
iii rV
dr
dZ
=
+= ββαβ αα ,2;
1
2
1
2
1
2; , i = 1, 2.
Доведення. Тотожність (35) одержуємо, якщо проінтегрувати
під знаком інтегралів
( )[ ] ( ) ( )∫∫
∞
− +
R
R
drrV
dr
gdadrrrVrgBa 22;
2
2
2
2
0
12
11;1
2
1 ,, σβσβ α
α
αα
два рази частинами й скористатися властивостями функцій gj (r),
( )βα ,; rV j (j = 1, 2) та структурою σ1, σ2.
Застосування запровадженого формулами (33), (34) гібридного
інтегрального перетворення до розв’язання відповідних задач мате-
матичної фізики подамо в іншій роботі.
Список використаних джерел:
1. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз,
1959. – 468 с.
2. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопря-
женных операторов. – К.: Наук. думка, 1965. – 798 с.
3. Ленюк М. П., Шинкарик М. І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є,
Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економічна думка, 2004. –
368 с.
4. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. –
М.: Наука, 1972. – 735 с.
5. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного
переменного. – М.: Наука, 1987. – 688 с.
6. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.:
Наука, 1965. – 328 с.
7. Уфлянд Я. С. О некоторых новых интегральных преобразованиях и их
приложениях к задачам математической физики // Вопросы математиче-
ской физики. – Л., 1976. – С.93-106.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
155
The hybrid integrated Euler-Fourier type transformation on a polar axis
with one junction point is realized by means of the delta-like sequence
method (Cauchy kernel).
Key words: the hybrid differential operator, hybrid integrated trans-
formation, Cauchy kernel, influence functions, spectral function, the inte-
grated image, the basic identity.
Отримано: 03.06.2008
УДК 519.217
К. К. Омарова
Институт кибернетики Национальной академии
наук Азербайджана, г. Баку
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ЭРГОДИЧЕСКОГО
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТУПЕНЧАТОГО ПРОЦЕССА
ПОЛУМАРКОВСКОГО БЛУЖДАНИЯ
С ЗАДЕРЖИВАЮЩИМ ЭКРАНОМ В НУЛЕ
По заданной последовательности независимых одинаково
распределенных пар случайных величин строится ступенча-
тый процесс полумарковского блуждания с задерживающим
экраном в нуле.
Ключевые слова: случайная величина, ступенчатый про-
цесс, блуждание, задерживающий экран, распределение.
Введение. Нахождению эргодического распределения ступен-
чатых процессов полумарковского блуждания с экраном или с экра-
нами посвящены немало работ. Основную эргодическую теорему для
полумарковских процессов доказал В. А. Смит. Общая эргодическая
теорема доказана И. И. Гихманом и А. В. Скороходом [2, c.427-429].
В работе И. И. Ежова и В. М. Шуренкова [3, с.640-642] дано упро-
щенное доказательство этой теоремы. В работах А. А. Боровкова [1,
с.652-653; 4, с.141-147] и других авторов изучены эргодические тео-
ремы для процессов полумарковских блужданий с задерживающими
экранами. В работе А. В. Скорохода и Т. И. Насировой [5, с.134-136]
доказаны эргодические теоремы для сложного процесса полумарков-
ского блуждания с задерживающим экраном в нуле. Некоторые даль-
нейшие развитие указанной работы опубликовано в [6].
В данной работе находятся явные виды преобразований Лапласа
по времени, преобразований Лапласа-Стилтьеса по фазе условного
распределения, безусловного распределения и явный вид преобразо-
вания Лапласа эргодического распределения ступенчатого процесса
© К. К. Омарова, 2008
|