Преобразование Лапласа эргодического распределения ступенчатого процесса полумарковского блуждания с задерживающим экраном в нуле
По заданной последовательности независимых одинаково распределенных пар случайных величин строится ступенчатый процесс полумарковского блуждания с задерживающим экраном в нуле....
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Назва видання: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18576 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Преобразование Лапласа эргодического распределения ступенчатого процесса полумарковского блуждания с задерживающим экраном в нуле / К.К. Омарова // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 155-159. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18576 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-185762011-04-03T12:04:13Z Преобразование Лапласа эргодического распределения ступенчатого процесса полумарковского блуждания с задерживающим экраном в нуле Омарова, К.К. По заданной последовательности независимых одинаково распределенных пар случайных величин строится ступенчатый процесс полумарковского блуждания с задерживающим экраном в нуле. By the given sequence of the independent identically distributed pairs random variables the step processes of semi-markov random walk with screen in zero is constructed. 2008 Article Преобразование Лапласа эргодического распределения ступенчатого процесса полумарковского блуждания с задерживающим экраном в нуле / К.К. Омарова // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 155-159. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18576 519.217 ru Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
По заданной последовательности независимых одинаково распределенных пар случайных величин строится ступенчатый процесс полумарковского блуждания с задерживающим экраном в нуле. |
| format |
Article |
| author |
Омарова, К.К. |
| spellingShingle |
Омарова, К.К. Преобразование Лапласа эргодического распределения ступенчатого процесса полумарковского блуждания с задерживающим экраном в нуле Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| author_facet |
Омарова, К.К. |
| author_sort |
Омарова, К.К. |
| title |
Преобразование Лапласа эргодического распределения ступенчатого процесса полумарковского блуждания с задерживающим экраном в нуле |
| title_short |
Преобразование Лапласа эргодического распределения ступенчатого процесса полумарковского блуждания с задерживающим экраном в нуле |
| title_full |
Преобразование Лапласа эргодического распределения ступенчатого процесса полумарковского блуждания с задерживающим экраном в нуле |
| title_fullStr |
Преобразование Лапласа эргодического распределения ступенчатого процесса полумарковского блуждания с задерживающим экраном в нуле |
| title_full_unstemmed |
Преобразование Лапласа эргодического распределения ступенчатого процесса полумарковского блуждания с задерживающим экраном в нуле |
| title_sort |
преобразование лапласа эргодического распределения ступенчатого процесса полумарковского блуждания с задерживающим экраном в нуле |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18576 |
| citation_txt |
Преобразование Лапласа эргодического распределения ступенчатого процесса полумарковского блуждания с задерживающим экраном в нуле / К.К. Омарова // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 155-159. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| work_keys_str_mv |
AT omarovakk preobrazovanielaplasaérgodičeskogoraspredeleniâstupenčatogoprocessapolumarkovskogobluždaniâszaderživaûŝimékranomvnule |
| first_indexed |
2025-07-02T19:33:30Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:33:30Z |
| _version_ |
1836564936811085824 |
| fulltext |
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
155
The hybrid integrated Euler-Fourier type transformation on a polar axis
with one junction point is realized by means of the delta-like sequence
method (Cauchy kernel).
Key words: the hybrid differential operator, hybrid integrated trans-
formation, Cauchy kernel, influence functions, spectral function, the inte-
grated image, the basic identity.
Отримано: 03.06.2008
УДК 519.217
К. К. Омарова
Институт кибернетики Национальной академии
наук Азербайджана, г. Баку
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ЭРГОДИЧЕСКОГО
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТУПЕНЧАТОГО ПРОЦЕССА
ПОЛУМАРКОВСКОГО БЛУЖДАНИЯ
С ЗАДЕРЖИВАЮЩИМ ЭКРАНОМ В НУЛЕ
По заданной последовательности независимых одинаково
распределенных пар случайных величин строится ступенча-
тый процесс полумарковского блуждания с задерживающим
экраном в нуле.
Ключевые слова: случайная величина, ступенчатый про-
цесс, блуждание, задерживающий экран, распределение.
Введение. Нахождению эргодического распределения ступен-
чатых процессов полумарковского блуждания с экраном или с экра-
нами посвящены немало работ. Основную эргодическую теорему для
полумарковских процессов доказал В. А. Смит. Общая эргодическая
теорема доказана И. И. Гихманом и А. В. Скороходом [2, c.427-429].
В работе И. И. Ежова и В. М. Шуренкова [3, с.640-642] дано упро-
щенное доказательство этой теоремы. В работах А. А. Боровкова [1,
с.652-653; 4, с.141-147] и других авторов изучены эргодические тео-
ремы для процессов полумарковских блужданий с задерживающими
экранами. В работе А. В. Скорохода и Т. И. Насировой [5, с.134-136]
доказаны эргодические теоремы для сложного процесса полумарков-
ского блуждания с задерживающим экраном в нуле. Некоторые даль-
нейшие развитие указанной работы опубликовано в [6].
В данной работе находятся явные виды преобразований Лапласа
по времени, преобразований Лапласа-Стилтьеса по фазе условного
распределения, безусловного распределения и явный вид преобразо-
вания Лапласа эргодического распределения ступенчатого процесса
© К. К. Омарова, 2008
Математичне та комп’ютерне моделювання
156
полумарковского блуждания с задерживающим экраном в нуле, когда
блуждание происходит в классе сложных лапласовых распределений.
Постановка задачи. Пусть задана последовательность незави-
симых одинаково распределенных пар случайных величин
( ) ( ){ } ,, 0≥kkk ωηωξ где случайные величины ( )ωξk , 0≥k , независи-
мы между собою, ( )ωηk , 0≥k , тоже независимы между собою и
( ) 0>ωξk , 1≥k . Кроме того, случайные величины ( ) 0>ωξk , 1≥k и
( ) 0>ωηk , 1≥k независимы между собою. Далее, предполагаем, что
( ) ∞<ωξ1E , ( ) ∞<ωη1E и ( ) 01 <ωηE . Построим ступенчатый про-
цесс полумарковского блуждания [6, с.11]
( ) ( ) ( ) ( ) ,,2,1,0, если ,,
1
100
1 …=<≤= ∑∑∑
+
===
kttX i
k
i
i
k
i
i
k
i
ωξωξωηω
где ( ) ( ) 000 == ωηωξ .
Задержим этот процесс с экраном в нуле по Боровкову [4, с.41]
( ) ( ) ( )( )ωωω ,,0inf,, 101 sXtXtX
ts≤≤
−= .
Обозначим
,0,)/,()/,(~
},),0(/),({)/,(
0
>=
=<=
∫
∞
=
− sdtzxtRezxsR
zXxtXPzxtR
t
st
ωω
0,)/,(~)/,(~,)(
0
)(1 >== ∫
∞
=
−− ααϕ αωξ
x
x
xs zxsRdezsREes ,
∫
∞
=
→
=<=
0
0
),(~lim)(~},),0({)/,(~),(~
z
s
sRsRzXdPzsRsR ααωαα .
Процесс X(t, ω) будем называть ступенчатым процессом полу-
марковского блуждания с задерживающим экраном в нуле (или же с
задерживающим экраном “0”).
Цель найти явные виды преобразований Лапласа по времени,
преобразований Лапласа-Стилтьеса по фазе условного распределе-
ния, безусловного распределения и преобразования Лапласа эргоди-
ческого распределения X(t, ω).
Отметим, что А. А. Боровковым [4, с.141-147] найден явный вид
самого эргодического распределения случайного блуждания с задер-
живающим экраном в нуле, когда оно происходит по любому распре-
делению.
Но в данной работе иным методом для процесса X(t, ω) находят-
ся )/,(~ zsR α , ),(~ αsR и )(~ αR , когда случайное блуждание происхо-
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
157
дит по сложному лапласовому распределению порядка (n, 1), хотя
предложенный метод применим и в случае сложного лапласового
распределения порядка (n, m) (в последнем случае имеются техниче-
ские трудности).
Очевидно, что
dtzXtXEezsR
t
st )),0(/),(()/0,(
~~
0
∫
∞
=
− =−=′ ωωα ,
dttEXesR
t
st ),()0,(
~~
0
∫
∞
=
−−=′ ωα
и преобразования Лапласа высших моментов процесса очень важны
для нахождения математического ожидания, дисперсии и высших
моментов процесса в любой момент времени.
И поэтому сперва составим интегральное уравнение для
)/,(~ zsR α , когда случайное блуждание происходит по любому рас-
пределению.
Составление интегрального уравнения для )/,(~ zsR α . Соста-
вим интегральное уравнение для )/,(~ zsR α , когда случайное блужда-
ние происходит по любому распределению.
Теорема 1. Функция )/,(~ zsR α удовлетворяет следующему ин-
тегральному уравнению
∫
∞
=
−
−<+
+−<+
−
=
0
1
1
.}{)/,(~)(
)0/,~}{)()(1)/,(~
y
y
z
zyPdyxsRs
xsRzPs
s
sezsR
ηϕ
ηϕϕα α
(1)
Доказательство теоремы 1. По формуле полной вероятности
имеем
{ } ( ){ }+=><==< zXtxtXPzXxtXP ),0(/;,),0(/),( 1 ωξωωω
( ){ } +><==<<+ }{}{),0(/;, 11 tPxzPzXtxtXP ξωξω (2)
( ){ } ( ){ }yXxutXPdyzduP
y
t
s
=<−∈+∈+ ∫∫
∞
==
ωωηξ ,0/),(,0max; 11
00
.
Умножив обе части равенства (2) на e–st, проинтегрировав по t от
0 до ∞ и учитывая обозначение для )/,(~ zxsR получим
∫
∞
=
<++
−
−=
0
1 }{)()/,(~)()(1)()/,(~
y
y yzPydyxsRs
s
szxzxsR ηεϕ
ϕ
ε ,
Математичне та комп’ютерне моделювання
158
где
<
≥
=
.0если,0
,0если,1
)(
x
x
xε
Далее имеем
∫
∞
=
−<+
+−<+
−
−=
0
1
1
.}{)/,(~)(
)0/,(~}{)()(1)()/,(~
y
y zyPdyxsRs
xsRzPs
s
szxzxsR
ηϕ
ηϕϕε
(3)
Умножив обе части равенства (3) на xe α− , проинтегрировав по x
от 0 до ∞ и учитывая обозначение для )/,(~ zsR α получим доказа-
тельство теоремы.
Теорема 1 доказана.
Уравнение (1) для произвольно распределенных случайных ве-
личин )(),( ωηωξ kk , 0≥k , можно решить методом последователь-
ных приближений. Но такое решение не пригодится для приложений.
Это уравнение имеет решение в явном виде в классе сложных лапла-
совых распределений. Определение сложного лапласового распреде-
ления порядка (n, 1) дано в доказательстве теоремы 2.
Теорема 2. Пусть )()(...)()()( 21 ωηωηωηωηωη −+++ −+++= kknkkk ,
,,1 ∞=k где )(ωη +
ki , ni ,1= , и )(ωη −
k имеют эрланговское распреде-
ление первого порядка с параметрами λ и µ соответственно.
Тогда
,
)]())([(
)](1[))((
)]())()][(()]([[
))(1)(()()/,(~ )(
1
1
z
nn
n
zsk
nnnn
nn
e
ss
s
e
sssks
sszsR
α
µϕλαλαµ
ϕαλαµ
µϕλλααµϕλλ
ϕϕλλααα
−
−+−
−+−
+
+
−+−−−
−+
−=
)]())([(
)](1)[((
)]())()[(()(
))(1())(()(
),(~
1
2
1
ss
s
ssssk
ssksR
nn
nn
n
ϕµλαλαµ
ϕαµ
ϕµλλααµϕµ
ϕµλαα
α
−+−
−−
+
+
−+−
−++
−=
.
Если 0)( <ωηkE , то
+−+
+−=
∑
=
−−
n
i
niin
nnR
1
1 )()(
))(()(~
λαλλαµλ
λαλµα ,
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
159
),(
)(2
)1()( 1 ωξ
µλλ
µω E
n
nnEX
−
+
−=
[ ] ),(
)(12
)5()2(4)1()( 2
122 ωξ
µλλ
µλµω E
n
nnnnnDX
−
+−++
=
где )(ωX удовлетворяет следующему равенству
RxxXPxtXP
t
∈∀<=<
∞→
},)({}),({lim ωω .
Вывод. По заданной последовательности независимых одинаково
распределенных пар случайных величин строится ступенчатый про-
цесс полумарковского блуждания с задерживающим экраном в нуле.
Список использованной литературы:
1. Боровков А. А. О блуждании в полосе с задерживающими границами //
Матем. заметки. – 1975. – Т.17. – Вып.4. – С.649-657.
2. Гихман И. И., Скороход А. В. – М.: Наука, 1973. – Т.2. – 639 с.
3. Ежов И. И., Шуренков В. М. Эргодические теоремы, связанные с марков-
ским свойством случайных процессов // Теория вероятностей и ее приме-
нения. – 1976. – Т.21. – № 3. – С.635-648.
4. Боровков А. А. Вероятностные процессы в теории массового обслужива-
ния. – М.: Наука, 1972. – 367 с.
5. Скороход А. В., Насирова Т. И. Об эргодической теореме для одного
класса процессов, построенных по суммам независимых случайных вели-
чин // Теория вер. и мат. статистика. – 1980. – № 22. – С.127-137.
6. Насирова Т. И., Омарова К. К. Распределение нижнего граничного функ-
ционала ступенчатого процесса полумарковского блуждания с задержи-
вающим экраном в нуле // Украинский математический журнал. – 2007. –
Т.59. – № 7. – С.912-919.
By the given sequence of the independent identically distributed pairs
random variables the step processes of semi-markov random walk with
screen in zero is constructed.
Key words: random variables, step process, reaching, delaying
screen, distribution.
Отримано: 12.05.2008
|