Разностная аппроксимация задачи оптимизации для нелинейного уравнения гиперболического типа с нелокальными условиями
В работе рассмотрена задача оптимизации процессов, описываемых системой Гурса-Дарбу с интегральными граничными условиями. Построена разностная схема для рассматриваемой задачи. Доказано сходимость по функционалу построенной разностной задачи оптимизации к исходной задаче....
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Назва видання: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18584 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Разностная аппроксимация задачи оптимизации для нелинейного уравнения гиперболического типа с нелокальными условиями / Т.В. Ширинов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 208-213. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18584 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-185842011-04-05T12:04:17Z Разностная аппроксимация задачи оптимизации для нелинейного уравнения гиперболического типа с нелокальными условиями Ширинов, Т.В. В работе рассмотрена задача оптимизации процессов, описываемых системой Гурса-Дарбу с интегральными граничными условиями. Построена разностная схема для рассматриваемой задачи. Доказано сходимость по функционалу построенной разностной задачи оптимизации к исходной задаче. In work the problem of optimization of processes described by system Goursat-Darboux with integrated boundary conditions is considered. The difference scheme for a considered problem is constructed. Convergence on a functional of the constructed difference problem of optimization to an initial problem is proved. 2008 Article Разностная аппроксимация задачи оптимизации для нелинейного уравнения гиперболического типа с нелокальными условиями / Т.В. Ширинов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 208-213. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18584 517.977.56 ru Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе рассмотрена задача оптимизации процессов, описываемых системой Гурса-Дарбу с интегральными граничными условиями. Построена разностная схема для рассматриваемой задачи. Доказано сходимость по функционалу построенной разностной задачи оптимизации к исходной задаче. |
| format |
Article |
| author |
Ширинов, Т.В. |
| spellingShingle |
Ширинов, Т.В. Разностная аппроксимация задачи оптимизации для нелинейного уравнения гиперболического типа с нелокальными условиями Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| author_facet |
Ширинов, Т.В. |
| author_sort |
Ширинов, Т.В. |
| title |
Разностная аппроксимация задачи оптимизации для нелинейного уравнения гиперболического типа с нелокальными условиями |
| title_short |
Разностная аппроксимация задачи оптимизации для нелинейного уравнения гиперболического типа с нелокальными условиями |
| title_full |
Разностная аппроксимация задачи оптимизации для нелинейного уравнения гиперболического типа с нелокальными условиями |
| title_fullStr |
Разностная аппроксимация задачи оптимизации для нелинейного уравнения гиперболического типа с нелокальными условиями |
| title_full_unstemmed |
Разностная аппроксимация задачи оптимизации для нелинейного уравнения гиперболического типа с нелокальными условиями |
| title_sort |
разностная аппроксимация задачи оптимизации для нелинейного уравнения гиперболического типа с нелокальными условиями |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18584 |
| citation_txt |
Разностная аппроксимация задачи оптимизации для нелинейного уравнения гиперболического типа с нелокальными условиями / Т.В. Ширинов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 208-213. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| work_keys_str_mv |
AT širinovtv raznostnaâapproksimaciâzadačioptimizaciidlânelinejnogouravneniâgiperboličeskogotipasnelokalʹnymiusloviâmi |
| first_indexed |
2025-07-02T19:33:50Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:33:50Z |
| _version_ |
1836564958329962496 |
| fulltext |
Математичне та комп’ютерне моделювання
208
8. Королюк В. С. Устойчивость автономной динамической системы с быст-
рыми марковскими переключениями // Доклады АН Украины. – 1990. –
сер. А – №6. – С.16-19.
9. Blankenship G. L., Papanicolaou G. C. Stability and Control of stochastic sys-
tems with wide band noise disturbances // SIAM. Appe. Math. – 1978. – 34. –
P.437-476.
10. Королюк В. С. Стійкість стохастичних систем у схемі дифузійної апрок-
симації // Укр. мат. журнал. – 1998. – 50, №1. – С.36-47.
11. Korolyuk V. S., Korolyuk V. V. Stochastic Models of Systems. – Kluwer,
Netherland, 1999. – 185 p.
12. Чабанюк Я. М. Асимптотична нормальність стрибкової процедури стоха-
стичної апроксимації у марковському середовищі // Вісник Чернів. ун-ту,
Математика. – № 349. – Чернівці. – 2007. – С.128-133.
13. Koroliuk V., Limnios N. Stochastic Systems in Merging Phase Space // World
Scientific Publishing. – 2005. – 330 p.
In this work the asymptotic views for the generator jumping evolution
in the Markov media and limits generator of evolution with the singular
perturbation problem for asymptotic representation are obtained.
Key words: jumping evolution, Markov process, solution of singular
perturbation problem.
Отримано: 05.06.2008
УДК 517.977.56
Т. В. Ширинов
Азербайджанский технический университет, г. Баку
РАЗНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО
ТИПА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
В работе рассмотрена задача оптимизации процессов, опи-
сываемых системой Гурса-Дарбу с интегральными граничны-
ми условиями. Построена разностная схема для рассматривае-
мой задачи. Доказано сходимость по функционалу построен-
ной разностной задачи оптимизации к исходной задаче.
Ключевые слова: задача оптимизации, система Гурса-
Дарбу, нелокальные условия, функционал.
Введение. Задачи оптимизации колебательных процессов имеют
многочисленные приложения. Например, при исследовании процес-
сов сорбции, сушки, трения, изнашивания, некоторых химических
процессов, а также в задачах математической биологии и демографии
часто встречаются краевые задачи типа Гурса-Дарбу [1, c.165-175; 2,
c.119-125; 3, c.88-103; 4, c.72-81; 5].
© Т. В. Ширинов, 2008
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
209
В данной работе рассматривается оптимизационная задача для
систем нелинейных гиперболических уравнений с нелокальными ус-
ловиями, где граничные условия заданы в интегральном виде.
Отметим, что задачи оптимизации с интегральными краевыми
условиями для нелинейных систем рассмотрены также в работах [6,
c.13-20; 7, c.22-29].
Постановка задачи. Рассмотрим задачу поиска минимума
функционала
)(inf* uJJ
Uu∈
= (1)
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ,,,,,,,,,,)(
1
∫∫∑ +Φ=
= Q
st
k
i
r dtdsustzstzstzstFstzuJ
iiτ (2)
на решениях );,(),( ustzstzz ≡= системы Гурса-Дарбу
,),(),),,(),,(),,(,,( Qstustzstzstzstfz stts ∈= (3)
при условиях
))0,(,()0,( tzttzt ϕ= , [ ]Tt ,0∈ (4)
[ ]lssszs ,0),(),0( ∈=ψ (5)
( ) ( ) cdttztn
T
=∫
0
0, . (6)
Будем считать, что класс допустимых управлений состоит из
функций u ∈ U, где
)(),( 2 QLUuu r⊂∈⋅⋅= . (7)
Предполагается, что ( )
ii rst ,τ , ( )ki ,1= – произвольный набор то-
чек из Q; τi, ri, k – натуральные числа, z ∈ Rn – вектор состояния;
u ∈ Rr – управление; t, s – скалярные независимые переменные; T, l –
заданные положительные числа; f, F, Ф, φ, ψ – заданные функции;
nRc ∈ – фиксированная точка; njitntn ij ,1,)),(()( == известная мат-
рица-функция, причем ( ) ;0det
0
≠∫
T
dttn U – заданное ограниченное
замкнутое выпуклое множество.
В дальнейшем будем предполагать, что:
a) функции ),,,,,(),,,,,,( uqpzstfuqpzstF и их частные производные
( ) ( ) ( ) ( )
nnnn uuuqqqpppzzz FFFFFFFFFFFF ,...,,,...,,,...,,,...,
1111
====
rknji
u
ff
q
ff
p
ff
z
ff
k
i
u
j
i
q
j
i
p
j
i
z ,1,,1,,,,, ==
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
Математичне та комп’ютерне моделювання
210
измеримые по ),( st для всех rnRuqpz +∈ 3),,,( , непрерывные по со-
вокупности rnRuqpz +∈ 3),,,( почти при всех Qst ∈),( ;
б) функция )(zΦ обладает непрерывными частными производными
( )
nzzz ΦΦ=Φ ,...,
1
при всех nRz ∈ ;
в) функция ),( ztϕ из (4) для почти всех [ ]Tt ,0∈ непрерывна по
nRz ∈ , измеримые по [ ]Tt ,0∈ при каждом фиксированном nRz ∈ .
Сделаем следующие предположения относительно заданных
функций:
I. ,),,,,,(,)0,0,0,0,,( 10 MuqpzstfMstf z ≤≤
32 ),,,,,(,),,,,,( MuqpzstfMuqpzstf qp ≤≤ .
II. 4),,,,,( Muqpzstfu ≤ .
III. ),()0,0,0,0,,( QLstF ∞∈ ,),,,,,( KuqpzstFz ≤
,),,,,,( KuqpzstFp ≤ ,),,,,,( KuqpzstFq ≤
NzKuqpzstF zu ≤Φ≤ )(,),,,,,( .
IV. Lt ≤)0,(ϕ , где LNKiM i ,,,4,1, = – постоянные.
С помощью метода последовательных приближений можно до-
казать, что при
[ ] 1)(~)(~1)( 1
10 <+− − TnTntTL (8)
начально-краевая задача (3)-(7) при каждом фиксированном допус-
тимом управлении Uu ∈ имеет единственное решение, где
∫∫∫ =
==
−
−
T
T
TT
dnTndttnTndttnTn
0
],0[1
1
0
1
0
)(max)(,)()(~,)()(~ ττ .
Можно доказать, что если выполняется условие I и (8), то спра-
ведливы следующие оценки:
≤− ),(),( rzstz τ ( )2/12/1
1 rstC −+−τ ,
≤−∫ dtrtzstz tt
T
),(),(
0
,2/1
2 rsC −
≤−∫ dsszstz ss
l
),(),(
0
τ .2/1
3 τ−tC
Если же в дополнение к условию, выполняются и условия II-IV, то
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
211
,||||)()( )(4 2 QLuCuJuuJ ≤−+
где 4,1, =iCi постоянные, которые не зависят от выбора [ ]Tt ,0, ∈τ ,
[ ]lrs ,0, ∈ и управлений Uuuu ∈∈, .
Дискретизация поставленной задачи. Для приближенного ре-
шения задачи (1)-(7) введем на Q последовательность прямоуголь-
ных сеток ( ){ } ,...,2,1,, =Nst
Nji где ,...0
,,1,0 Tttt
NNNN =<<<= α
lsss NNN N
=<<<= ,,1,0 ...0 β и точки ( ) kist
ii r ,1,, =τ входят в эту сет-
ку (для краткости в обозначениях индекс N будем опускать), и
обозначим
,,,,,, 11,, jjjiiiNjjNiiNN ssstttsstt −=∆−=∆==== ++ββαα
[ ) [ )
.max,max,min,min
,1,0,1,0,,,,,
,1,1,1,1
11
i
pi
Nj
j
Ni
j
Nj
j
N
jiijjjjiii
ttssttss
jiSTQssSttT
∆=∆∆=∆∆=∆=
−=−=×===
====
++
βαβ
δδ
βα
При обозначении сеточных функций (в целом) будем пользо-
ваться квадратными скобками. Так для дискретных управлений ][u –
матрица с элементами 1,0,1,0, −=−= βα jiuij .
Конечно-разностные отношения сеточных функций ][ y будем
обозначать следующим образом
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.1,0,1,0
,,, 1,1,,1
−=−=
∆∆
−
=
∆
−
=
∆
−
=
+++
βα ji
st
zz
z
s
zz
z
t
zz
z
ji
tijtji
tsij
j
ijji
sij
i
ijji
tij
Для каждого натурального N рассмотрим задачу минимизации
дискретного функционала
( ) ( ) ( )( )∑∑∫∫∑
−
=
−
==
+Φ=
1
0
1
01
, ,,,,,])([
α β
τ
i j Q
ijsijtijij
k
i
rN
ij
ii
dtdsuzzzstFzuI (9)
на решениях следующей разностной схемы
( ) =
tsijz ( ) ( )( ) ,,,,,,1
∫∫∆∆
ijQ
ijsijtijij
ji
dtdsuzzzstf
st
1,0,1,0 −=−= βα ji , (10)
( ) ( )∫∆
=
iT
i
i
ti dtzt
t
z 0,0, ,1 ϕ , 1,0 −= αi , (11)
Математичне та комп’ютерне моделювання
212
( ) 1,0,)(1
,0 −=
∆
= ∫ βψ jdss
s
z
jSj
sj , (12)
∑∫
−
=
+ =
1
0
0,1)(
α
i
i
T
cdtztn
i
. (13)
Дискретные управления ][u будем выбирать из множества
[ ]{ }1,0,1,0,,2 −=−=∈∈= βα jiUuLuU ij
r
NN , (14)
где r
NL ,2 – пространство дискретных функций со скалярным произ-
ведением ji
i
ijij
j
L stuu r
N
∆∆= ∑∑
−
=
−
=
1
0
1
0
,][],[
,2
α β
ϑϑ .
Обозначим
,...2,1,])([inf
][
==
∈
∗ NuII NUuN
N
, (15)
V. Последовательность ( ){ }ji st , , такова, что
+∞==
∞→∞→
nNNN
βα limlim , ( ) ( )lsTt NNNNNN µβγα +≤∆+≤∆ 1,1
и найдутся такие 0, 0
2
0
1 >cc , не зависимые от N , что
scstct NNNN δδ 0
2
0
1 , ≤∆≤∆ ,
где ,0,0 ≥≥ NN µγ 0,0 →→ NN µγ при ∞→N .
VI. Функции f, φ, ψ – равностепенно непрерывны в норме L1, т.е.
( )∫∫ −++
Q
st stustzstzstzrstf ),(),,(),,(),,(,,τ
( ) ( )
,0),()()(
)0,(,)0,(,
)),(),,(),,(),,(,,(
0
0
→=−++
+−++
+−
∫
∫
rOdssrs
dttzttzt
dtdsstustzstzstzstf
l
T
st
τψψ
ϕτϕ
при 0),( →rτ равномерно по управлениям Uu ∈ .
Основным результатом работы является следующая теорема:
Теорема. Пусть выполняются выше перечисленные условия I-
VI. Тогда последовательность разностных экстремальных задач (9)-
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
213
(14) будет аппроксимировать задачу оптимизации по функционалу
исходной задачи минимизации (1)-(7) в следующем смысле
∗∗
∞→
= JI NN
lim .
Список использованной литературы:
1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. –
Москва, 1972. – 735 с.
2. Галахов М. А., Усов П. П. Дифференциальные и интегральные уравнения
математической теории трения. – М.: Наука, 1990. – 280 с.
3. Короткий А. И., Цепелев И. А. Динамическое решение обратной задачи в
системе Гурса-Дарбу // Труду ИММ Ур. ОРАН. – 1995. – Т. 3. – С.88-103.
4. Нахушев А. М. Об одном приближенном методе решения краевых задач
для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвен-
ной влаги и грунтовых вод // Дифференциальные уравнения. – 1982. –
Т.18. – №1. – С.72-81.
5. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. – М.: Высшая шко-
ла, 1995. – 301 с.
6. Ибиев Ф. Т., Шарифов Я. А. Необходимое условие оптимальности в зада-
чах оптимального управления системами Гурса с интегральными усло-
виями // Вестник Бакинского Университета. Серия физико-математичес-
ких наук. – 2004. – №3. – С.13-20.
7. Ширинов Т. В., Мехтиев М. Ф., Шарифов Я. А. Об условиях оптимально-
сти в задаче оптимального управления для гиперболических систем с не-
локальными условиями // Доклады НАН Азербайджана. – 2005. – №2. –
С.22-29.
In work the problem of optimization of processes described by system
Goursat-Darboux with integrated boundary conditions is considered. The
difference scheme for a considered problem is constructed. Convergence
on a functional of the constructed difference problem of optimization to an
initial problem is proved.
Key words: problems optimization, Goursat-Darboux system, non-
local conditions, functional.
Отримано: 02.04.2008
|