Існування періодичних розв’язків системи диференціальних рівнянь з частинними похідними і лінійно перетвореними аргументами
Доведено теореми існування неперервно-диференційованих та обмежених на R² розв’язків систем диференціальних рівнянь з частинними похідними і лінійно перетвореними аргументами....
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Назва видання: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18599 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Існування періодичних розв’язків системи диференціальних рівнянь з частинними похідними і лінійно перетвореними аргументами / М.І. Гром’як // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 66-71. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18599 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-185992011-04-06T12:03:39Z Існування періодичних розв’язків системи диференціальних рівнянь з частинними похідними і лінійно перетвореними аргументами Гром’як, М.І. Доведено теореми існування неперервно-диференційованих та обмежених на R² розв’язків систем диференціальних рівнянь з частинними похідними і лінійно перетвореними аргументами. The theorems of existence of continuously differentiated are wellproven and limited on R² of decisions of the systems of differential equalizations with the derivates of part and arcwise regenerate arguments. 2009 Article Існування періодичних розв’язків системи диференціальних рівнянь з частинними похідними і лінійно перетвореними аргументами / М.І. Гром’як // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 66-71. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18599 517.9 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Доведено теореми існування неперервно-диференційованих та обмежених на R² розв’язків систем диференціальних рівнянь з частинними похідними і лінійно перетвореними аргументами. |
| format |
Article |
| author |
Гром’як, М.І. |
| spellingShingle |
Гром’як, М.І. Існування періодичних розв’язків системи диференціальних рівнянь з частинними похідними і лінійно перетвореними аргументами Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| author_facet |
Гром’як, М.І. |
| author_sort |
Гром’як, М.І. |
| title |
Існування періодичних розв’язків системи диференціальних рівнянь з частинними похідними і лінійно перетвореними аргументами |
| title_short |
Існування періодичних розв’язків системи диференціальних рівнянь з частинними похідними і лінійно перетвореними аргументами |
| title_full |
Існування періодичних розв’язків системи диференціальних рівнянь з частинними похідними і лінійно перетвореними аргументами |
| title_fullStr |
Існування періодичних розв’язків системи диференціальних рівнянь з частинними похідними і лінійно перетвореними аргументами |
| title_full_unstemmed |
Існування періодичних розв’язків системи диференціальних рівнянь з частинними похідними і лінійно перетвореними аргументами |
| title_sort |
існування періодичних розв’язків системи диференціальних рівнянь з частинними похідними і лінійно перетвореними аргументами |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18599 |
| citation_txt |
Існування періодичних розв’язків системи диференціальних рівнянь з частинними похідними і лінійно перетвореними аргументами / М.І. Гром’як // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 66-71. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| work_keys_str_mv |
AT gromâkmí ísnuvannâperíodičnihrozvâzkívsistemidiferencíalʹnihrívnânʹzčastinnimipohídnimiílíníjnoperetvorenimiargumentami |
| first_indexed |
2025-07-02T19:34:21Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:34:21Z |
| _version_ |
1836564990294753280 |
| fulltext |
Математичне та комп’ютерне моделювання
66
УДК 517.9
М. І. Гром’як, канд. фіз.-мат. наук
Тернопільський національний педагогічний університет імені Воло-
димира Гнатюка, м. Тернопіль
ІСНУВАННЯ ПЕРІОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКІВ СИСТЕМИ
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З ЧАСТИННИМИ ПОХІДНИМИ
І ЛІНІЙНО ПЕРЕТВОРЕНИМИ АРГУМЕНТАМИ
Доведено теореми існування неперервно-диференційова-
них та обмежених на R2 розв’язків систем диференціальних
рівнянь з частинними похідними і лінійно перетвореними
аргументами.
Ключові слова: система диференціальних рівнянь, час-
тинні похідні, лінійно перетворені аргументи, періодичні
розв’язки.
У роботі досліджуються питання, пов’язані з існуванням непе-
рервно-диференційованого і обмеженого на 2R розв’язку системи
диференціальних рівнянь з частинними похідними і лінійно перетво-
реними аргументами. Для деяких аналогічних рівнянь ці проблеми
розглядались раніше у роботах [1—5].
Розглянемо систему диференціально-функціональних рівнянь виду
( ) ( ) ( ) ( ), , , ,t xu t x Au t x Bu t x Cu t a x bλ µ= + + + + +
( ) ( ), , ,xFu t a x b f t xλ µ+ + + + (1)
де λ , a , µ , b — деякі дійсні сталi, A, B, C, F — постійні ( n n× ) —
матриці, вектор-функція ( ), : R R Rnf t x × → є неперервною і обмеже-
ною на 2R (періодичною за t, x). Основною метою є встановлення умов
існування неперервно-диференційованого за ,t x розв’язку ( ),t xγ , що
належить класу C∞ за x і є обмеженим на 2R (періодичним за ,t x ).
Теорема 1. Нехай виконуються умови:
1) власні значення iλ , 1, ...,i n= , матриці А такі, що мають місце
співвідношення ( )1Re 0jλ Λ > , 1,...,j p= ; ( )2Re 0jλ Λ < ,
1,...,j p n= + , де 1Λ , 2Λ — сталі ( )p p× і ( )n p n p− × − — матриці;
2) λ — довільне дійсне число ( )0λ ≠ , 0 1µ< < ;
3) ( )2 1L B C F
a
+ + < , де L, a — додатні сталі;
© М. І. Громяк, 2009
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2
67
4) вектор-функція ( )f t ,x неперервна за t , належить класу C∞
за х і
2( , )
( , )
sup
i
i
t x R
f t x K
x∈
∂
≤
∂
, 0, 1,...,i = де K — деяка додатна стала.
Тоді система рівнянь (1) має обмежений на 2R розв’язок, що є
неперервно-диференційованим за t і належить класу C∞ за х.
Доведення. Оскільки всякий обмежений на 2R розв’язок сис-
теми рівнянь
( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )xu t x G t Bu x d G t Cu a x b dτ τ τ τ λτ µ τ
+∞ +∞
−∞ −∞
= − + − + + +∫ ∫
( ) ( , ) ( ) ( , ) ,xG t Fu a x b d G t f x dτ λτ µ τ τ τ τ
+∞ +∞
−∞ −∞
+ − + + + −∫ ∫ (2)
де G(t) визначається співвідношенням
1
2
1
1
( ,0) , при t<0,
( )
(0, ) , при t>0,
t
t
S diag e S
G t
S diag e S
Λ−
Λ−
−=
є розв’язком системи (1), то для доведення теореми достатньо показа-
ти, що система рівнянь (2) має неперервний обмежений на 2R
розв’язок, що належить класу C∞ за х.
Для побудови розв’язку системи рівнянь (2) скористаємось ме-
тодом послідовних наближень. При цьому послідовні наближення
визначимо наступними співвідношеннями:
0( , ) 0,u t x =
1 1( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )m m m
xu t x G t Bu x d G t Cu a x b dτ τ τ τ λτ µ τ
+∞ +∞
− −
−∞ −∞
= − + − + + +∫ ∫
1( ) ( , ) ( ) ( , ) ,m
xG t Fu a x b d G t f x dτ λτ µ τ τ τ τ
+∞ +∞
−
−∞ −∞
+ − + + + −∫ ∫ 1, 2, ...,m = (3)
Покажемо, що при всіх 1m ≥ і 2( , )t x R∈ виконуються оцінки
2
1 1
( , )
2sup ( , ) ( , ) ,m m m
t x R
Lu t x u t x K
a
β− −
∈
− ≤
2
1
1
( , )
( , ) ( , ) 2sup ,
i m i m
m
i i
t x R
u t x u t x L K
ax x
β
−
−
∈
∂ ∂
− ≤
∂ ∂
1, 2, ...,i = (4)
де ( )2 1L B C D
a
β = + + < .
Математичне та комп’ютерне моделювання
68
Дійсно, оскільки в силу (3) при m=1 маємо
1 0( , ) ( , ) ( ) ( , ) ,u t x u t x G t f x dτ τ τ
+∞
−∞
− = −∫
1 0( , ) ( , ) ( , )( ) ,
i i i
i i i
u t x u t x f xG t d
x x x
ττ τ
+∞
−∞
∂ ∂ ∂
− = −
∂ ∂ ∂∫ 1, 2, ...,i =
то, приймаючи до уваги умову 4), одержуємо
1 0 2( , ) ( , ) ( ) ,Lu t x u t x K G t d K
a
τ τ
+∞
−∞
− ≤ − ≤∫
1 0( , ) ( , ) 2( ) ,
i i
i i
u t x u t x LK G t d K
ax x
τ τ
+∞
−∞
∂ ∂
− ≤ − ≤
∂ ∂ ∫ 1, 2,...i =
Звідси випливає:
2
1 0
( , )
2sup ( , ) ( , ) ,
t x R
Lu t x u t x K
a∈
− ≤
2
1 0
( , )
( , ) ( , ) 2sup ,
i i
i i
t x R
u t x u t x L K
ax x∈
∂ ∂
− ≤
∂ ∂
1, 2, ...,i =
і, отже, оцінки (4) справедливі при m=1.
Міркуючи за індукцією, припустимо, що оцінки (4) мають місце
для деякого m 1≥ і покажемо, що вони не зміняться при переході від
m до m+1. Справді, враховуючи (3), (4), одержимо
1
1 ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( )
m m
m m u x u xu t x u t x G t B d
x x
τ ττ τ
+∞ −
+
−∞
∂ ∂
− ≤ − − +
∂ ∂∫
1( ) ( , ) ( , )m mG t C u a x b u a x b dτ λτ µ λτ µ τ
+∞
−
−∞
+ − + + − + + +∫
1( , ) ( , )( )
m mu a x b u a x bG t F d
x x
λτ µ λτ µτ τ
+∞ −
−∞
∂ + + ∂ + +
+ − − ≤
∂ ∂∫
1 12 2( ) ( )m mL LB K G t d C K G t d
a a
β τ τ β τ τ
+∞ +∞
− −
−∞ −∞
≤ − + − +∫ ∫
1
1
2 ( )
2 2 2 2 2( ) ,
m
m m
LF K G t d
a
L L L L LK B C F K
a a a a a
β τ τ
β β
+∞
−
−∞
−
+ − ≤
≤ + + =
∫
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2
69
1
1 1 1
1 1
( , ) ( , ) ( )
( , ) ( , )
i m i m
i i
i m i m
i i
u t x u t x G t B
x x
u x u x d
x x
τ
τ τ τ
+∞+
−∞
+ + −
+ +
∂ ∂
− ≤ − ×
∂ ∂
∂ ∂
× − +
∂ ∂
∫
( , )( )
1( , )
i
i
i
i
i
mu a x bG t C
x
mu a x b d
x
λτ µµ τ
λτ µ τ
+∞
−∞
∂ + +
+ − −
∂
−∂ + +
− +
∂
∫
1
1
1 1
1
( , )( )
( , )
i
i
i
i m
i
mu a x bG t F
x
u a x b d
x
λτ µµ τ
λτ µ τ
+∞ +
+
−∞
+ −
+
∂ + +
+ − −
∂
∂ + +
− ≤
∂
∫
1 12 2( ) ( )m mL LB K G t d C K G t d
a a
β τ τ β τ τ
+∞ +∞
− −
−∞ −∞
≤ − + − +∫ ∫
12 ( )mLF K G t d
a
β τ τ
+∞
−
−∞
+ − ≤∫
12 2 2 2 2 , 1,2,...m mL L L L LK B C F K i
a a a a a
β β− ≤ + + = =
Таким чином,
1
2( , )
2sup ( , ) ( , ) ,m m m
t x R
Lu t x u t x K
a
β+
∈
− ≤
1
( , )
( , ) ( , ) 2sup ,
i m i m
m
i i
t x R
u t x u t x L K
ax x
β
+
∈
∂ ∂
− ≤
∂ ∂
1, 2, ...i =
Цим самим доведено, що оцінки (4) мають місце при всіх 1m ≥ .
Отже, всі наближення ( , ),mu t x 0,1, ...,m = мають зміст, є непе-
рервними за , ,t x нескінченно диференційованими за x і для них ви-
конуються оцінки (4). Тому ряди
1
1
( , ) ( , )m m
m
u t x u t x
∞
−
=
− ∑ ,
1
1
( , ) ( , )i m i m
i i
m
u t x u t x
x x
−∞
=
∂ ∂
−
∂ ∂
∑ ,
Математичне та комп’ютерне моделювання
70
і, таким чином, послідовності ( , ),mu t x ( , )i m
i
u t x
x
∂
∂
, 0,1, ...,m =
1, 2, ...i = , рівномірно збігаються до деякої неперервної за ,t x і не-
скінченно диференційованої вектор-функції ( , )t xγ .
Оскільки ( , )t xγ = 1
1
( , ) ( , ) ,m m
m
u t x u t x
∞
−
=
− ∑ то в силу (3.4) одер-
жуємо
2( , )
2 1sup ( , )
1t x R
Lt x K
a
γ
β∈
≤
−
,
тобто вектор-функція ( , )t xγ є обмеженою при всіх 2( , )t x R∈ . Тео-
рема доведена.
Наслідок. Якщо виконуються умови теореми 1, λ-довільне ціле
число і вектор-функція ( , )f t x є T-періодичною за t , то розв’язок
( , )t xγ системи рівнянь (1) є також T-періодичним за t .
Теорема 2. Нехай виконуються умови 1), 3), 4) теореми 1, λ-
довільне ціле число (λ ≠ 0), │μ│=1 і вектор-функція ( , )f t x є T-
періодичною за t і є Х-періодичною за x . Тоді система рівнянь (1)
має T-періодичний за t і є Х-періодичний за x розв’язок, який є не-
перервно-диференційованим за t і належить класу C∞ за x.
Доведення. Існування неперервно-диференційованого обмеже-
ного на R2 розв’язку ( , )t xγ , що належить класу C∞ за x випливає з
теореми 1. При цьому ( , )t xγ = lim ( , )m
m
u t x
→∞
, де вектор-функція
( , )mu t x визначена співвідношенням (3). Оскільки при виконанні
умов теореми вектор-функція ( , )mu t x є T-періодичною за t і є Х-
періодичною за x при всіх 0m ≥ (безпосередньо випливає із (3)), то
вектор-функція ( , )t xγ є T-періодичною за t і є Х-періодичною за x.
Теорема доведена.
Список використаних джерел:
1. Азбелев Н. В. “Введение в теорию функционально-дифференциальных
уравнений” / Н. В. Азбелев, В. П. Максимов, Л. Ф. Рахматуллина — М. :
Наука, 1991. — 280 с.
2. Блащак Н. І. “Про періодичні розв’язки систем диференціальних рівнянь
в частинних похідних першого порядку з лінійними відхиленнями аргу-
ментів / Н. І. Блащак // Тези доп. Всеукраїнської конференції “Диферен-
ціально-функціональні рівняння та їх застосування” (Чернівці, 15—18
травня 1996 р.). — Київ, 1996. — С. 20.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2
71
3. Блащак Н. І. “Про періодичні розв’язки диференціальних рівнянь гіпер-
болічного типу” / Н. І. Блащак. — Київ : Інститут математики НАН Укра-
їни, — 1996.
4. Митропольский Ю. А. “Асимптотические методы исследования квази-
волновых уравнений гиперболического типа” / Ю. А. Митропольский,
Г. П. Хома, М. И. Громяк. — Киев, 1991. — 232 с.
5. Пелюх Г. П. “Введение в теорию функциональных уравнений” /
Г. П. Пелюх, А. Н. Шарковский. — Киев, 1974. — 120 с.
The theorems of existence of continuously differentiated are well-
proven and limited on R2 of decisions of the systems of differential equali-
zations with the derivates of part and arcwise regenerate arguments.
Key words: system of differential equalizations, derivates of part, ar-
guments, periodic upshots, are arcwise regenerate.
Отримано: 12.10.2009
|